Условия Тауберова типа, связывающие различные методы суммирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

2 ц ^

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.52

СТЕПАНЯНЦ СУРЕН АРМЕНОВИЧ

УСЛОВИЯ ТАУБЕРОВА ТИПА, СВЯЗЫВАЮЩИЕ РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА, 1997

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - член-корреспондент РАН,

профессор П.Л.Ульянов.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Б.И.Голубов. доктор физико-математических наук, профессор А. В. Ефимов.

Ведущая организация - Московский государственный университет путей сообщения.

Защита диссертации состоится ^¿¿Л/Сб'е/Л_ 1997 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании диссертащюнного совета Д. 05Э. 05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899. ГСП. Москва. Воробьевы горы. МГУ. механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этаж ).

Автореферат разослан -_ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д. 053.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Т. П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К условиям тауберова типа для двух заданных методов суммирования "верхнего" Р и "нижнего" Q ( обозначение TQ(Р) -условие ) относят условия на последовательность { ап }. достаточные для того, чтобы суммируемый методом Р ряд I ап суммировался и методом Q.

Изучение условий тауберова типа, появившихся в конце прошлого века в работах Таубера ( см., например, [1] ), занимает значительное иесто в теории суммирования рядов и ее приложениях. Различные важные зиды тауберовых условий, подходы к их исследованию и применению содержатся, например, в таких известных работах, как [2-6], каждая из которых в свою очередь повлекла за собой серию работ, посвященных соответствующему виду условий. В представленной диссертации рассматриваются задачи в классической постановке, идущей от Таубера и Харди.

В 1897 году в работе [1] Таубером было доказано, что условие in = о(1/п) является Т(с_ 0)((А)) - условием, где (А) - метод Абеля, ( С, а ) - метод Чезаро порядка а. В 1910 году Харди показал ( см. [7] ), что ап = 0( 1/п ) является Т(С,0)(( С, а )) - условием при

1. Tauber А. Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen // Monatsh. Math, und Phys. 1897. 8. 273-277.

2. Hardy G.H., Littlewood J. E. Tauberian theorems concerning power series and Dirlchlet's series whose coefficients are positive // Proc. London Math. Soc. 1914. 13, N 2. 174-191.

3. Szasz 0. Verallgemeinerung und neuer Beweis einiger Sätze Tauberscher Art // Münchner Sitzungsberichte. 1929. 325-340.

1. Ingham A.E. Some tauberian theorems connected with the prime number theorem // J. London Math. Soc. 1945. 20. 171-180.

5. Ульянов П.Л. Сходимость и суммируемость // Труды Московского Мат. Общества. 1960. 9. 373-399.

3. Давыдов H.A. (с)-свойство методов Чезаро и Абеля-Пуассона и теоремы тауберова типа // Матем. сб. 1963. 60, N 2. 185-206.

7. Hardy G.H. Theorems relating to the summablllty and convergence of slowly oscillating series // Proc. London Math. Soc. 1910. 8, N 2. 301-320.

- г -

любом а > О (в случае, когда "верхний" метод есть метод (А), этот результат тоже верен [8] ).

Вопрос о том, насколько можно улучшить результат Харди, оставался открытым до 1948 года, когда Лоренц в работе [9] наложил некоторое условие на последовательность неотрицательных чисел { сп } и установил, что оно является необходимым и достаточным для того, чтобы соотношение ап = 0(с„) было Т(С о;(Р) - условием, где Р - один из методов ( С, а ) с а > 0 или метод (А). Отметим, что для каждого из эти> методов условие оказывается одним и тем же. Но тогда возникает вопрос: не будет ли для любых а и ш таких, что 0 < ш < а, условие Лоренца необходимым и достаточным для того, чтобы соотношение ап = 0(с„) былс T(c.aj)(( С' а )) ~ условием? Причем в силу регулярности метода ( С. ш ) достаточность здесь действительно имеет место. Если же дл* каких-то а и ш необходимость несправедлива, то появляется задачг отыскания менее ограничительных, чем у Лоренца, условий на последовательность { сп }, достаточных для того, чтобы ап = 0(с„) было Т(с.4>)(( с- а )) " Условием. Эта задача и другие вопросы, связанные с TQ(Р) - условиями, где в качестве "нижнего" метода Q фигурирует уже не обязательно ( С, 0 ), но некоторый метод ( С, а ), и рассматриваются в диссертации.

Следует отметить, что хотя отдельные T(Ci<0 (Р) - условия были известны еще в начале века, их систематическое изучение началось в рамках общего направления, цель которого - перенесение классических результатов о сходящихся рядах на случай рядов, суммируемых по Чезаро. Это направление стало активно развиваться в восьмидесятых годах, когдг интерес к данной тематике был привлечен соответствующими результатам! такими, например, как полученное Алпаром ( см. [10] ) обобщение теоремы Кожима-Шура на ряды, суммируемые по Чезаро.

8. Llttlewood J.E. The converse of Abel's theorem on power series // Proc. London Math. Soc. 1910. 9, N 2. 434-448.

9. Lorentz G.G. Tauberlan theorems and tauberlan conditions // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. 63, N 2. 226-234.

10. Alpar L. On the linear transformations of series summable In the sense of Cesaro // Acta math. Acad. scl. hung. 1982. 39, N 1-3. 233-243.

Цель работы. Изучить связи, выраженные в форме условий тауберова типа, между некоторыми широко распространенными методами суммирования числовых рядов ( такими, например, как методы Чезаро ( С,' ш ) и методы дискретных средних Рисса ( иа, а ) ).

Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием методов теории суммирования расходящихся рядов, теории систем линейных алгебраических уравнений, конечно-разностных свойств непрерывных функций.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены некоторые Т(С-цЛ(( а )) - условия, менее ограничительные. чем известные условия тауберова типа с "нижним" методом ( С, 0 ).

2. Исследован вопрос о связи "лакунарных условий" тауберова типа и "о-условий" тауберова типа. Найдены новые лакунарные условия, относительно которых доказана теорема, обобщающая соответствующий результат о связи Лоренца.

3. Получены необходимые условия тауберова типа, показывающие, в частности, что последовательность Харди является наилучшим с точки зрения порядка "0-условием" тауберова типа не только в случае, когда "нижним" методом является сходимость, но и для любого "нижнего" метода ( С, 0) ) с ш > 0.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в различных вопросах теории функций действительного переменного и теории чисел.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Саратовских зимних школах по теории функций и приближений в 1994 и 1996 годах, на Воронежской зимней математической школе в 1995 году, на научных семинарах механико-математического факультета МГУ по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством член-корреспондента РАН, профессора П.Л.Ульянова, профессора М.К.Потапова и профессора М.И.Дьяченко в 1994-1996 годах.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 научные работы

( список публикаций приведен в конце автореферата ). Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 8 параграфов, и списка литературы, содержащего 44 наименования. Общий объем работы - 140 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор ранее полученных результатов по изучаемой теме, приводятся используемые в диссертации определения, излагается основное содержание работы.

В диссертации рассматриваются последовательности действительных чисел { ап }*ПТ0 и соответствующие им ряды I ап . Последовательность неотрицательных чисел обозначается { сп }. Приведем одно часто используемое определение.

+ Оо

Последовательность натуральных чисел { пг }г=1 называется лаку-нарной по Адамару, если существует действительное число q такое, что Я > 1 и пг+1/пг > д для г = 1, 2, 3 ... .

Перейдем теперь непосредственно к результатам диссертации и е первую очередь введем условия ( 0. а ), считая а - фиксированным неотрицательным числом.

Последовательность { с„ ] ( сп > 0 для всех п ) удовлетворяет условию (Б. а ), если для любого е > 0 существует лакунарная пс Адамару последовательность { пг } такая, что

_< £-/1г для г = 1- 2. з... .

Отметим, что условие ( Б, 0 ) - это в точности условие Лоренца, при любом р > О необходимое и достаточное для того, чтобы ап = 0(сп) было Т(С- 0) (( С, ¡} )) - условием.

Введенные условия ( Б, а ) рассмотрены в главе 1, в первом параграфе которой установлены, в частности, следующие свойства эти; условий.

Утверждение 3. Если { сп } ( 0. ш ), то { сп } е ( Б. ос ),

где а > а > 0.

Утверждение 4. Для любых фиксированных а и ш таких, что а > а) > 0, существует последовательность { сп } такая, что сп ) О для всех п и { сп } <£. ( 0, а ), но С сп } ф ( д, ш ).

Относительно условий ( Б. а ) в $ 4 доказана теорема 4. являющаяся основной в первой главе.

Теорема 4. Пусть а и ш - фиксированные действительные числа, причем 0 < ш < а, и пусть { с„ } <£ ( Б, ш ). Тогда ап = 0(сп) является Т(С^)(( Ий, а )) - условием.

Благодаря тому, что при любом а > 0 имеет место включение методов суммирования ( С. а ) ¿1 ( Ий, а ), из теоремы 4 сразу получаются теоремы, "внутренние" для методов Чезаро и Рисса.

Теорема 4(С). Пусть а и ш - фиксированные действительные числа, причем 0 < ш < а. и пусть { сп } ( 0, ш ). Тогда ап = 0(с„) является Т(С>и)) ((С, а )) - условием.

Теорема 4(1?с1). Пусть а и ш - фиксированные действительные числа, причем 0 < ш < а. и пусть { сп }<£( 0, ш ). Тогда ап = 0(сп) является Т(Ка Я<1. а )) - условием.

Используя указанное включение методов суммирования, можно получать соответствующие следствия и к другим результатам данной работы.

Отметив сейчас этот факт, мы в дальнейшем не будем приводить автоматически получающиеся таким образом следствия.

Из теоремы 4(С), в частности, вытекает, что при 0 < ш < а требование { сп }<£( В, 0 ) не является необходимым для того, чтобы ап = 0(с„) было Т(С-И,)(( С, а )) - условием, так как условие ( 0. ш ), как следует из утверждений 3 и 4, менее ограничительное, чем условие (Б).

Глава 2 посвящена лакунарным условиям тауберова типа. Приведем в качестве типичного примера лакунарное тауберово условие для метода ( А ).

Пусть { пг }+гТ! - возрастающая последовательность натуральных чисел, а последовательность { ап } - такова, что

ап = 0 при п * П!, п2, п3 ... . (*)

Тогда, если Э Ч > 1 такое, что пг + 1/пг > я для всех г, то условие (*) является Т(С 0)((А)) - условием ( см. [11] ).

11. Hardy G.H., Llttlewood J.E. A further note on the converse of Abel's theorem // Proc. London Math. Soc. 1926. 25. N 2. 219-236.

В диссертации приводятся известные Т(С.0)(Р) - условия того же характера и для некоторых других методов Р. "Верхний" метод Р в этих результатах оказывает влияние на величину "лакуны" между соседними ненулевыми элементами последовательности { ап }. Зафиксируем теперь "верхний" метод, а в качестве "нижнего" будем рассматривать методы ( С, К ) с различными целыми неотрицательными к и зададим вопрос -как в зависимости от к изменяются соответствующие тауберовы условия?

Для ответа на этот вопрос в случае, когда "верхний" метод есть метод ( Ий, 1 ) ( или ( С, а )) в работе для целых неотрицательных к вводятся условия (С, к ).

Последовательность действительных чисел { ап } удовлетворяет условию ( С, к ), если существует натуральное число С и лакунарная по Адамару последовательность { пг } такая, что

ап = О, если п ф. ( пг - С; пг ] ни при каком г, а в каждом из полуинтервалов ( пг - С; пг ] может быть не более ( к + 1 ) ненулевого элемента последовательности { ап }.

В первом параграфе главы 2 доказана следующая теорема 6.

Теорема 6. Пусть к и 1 - фиксированные целые числа, причем 1 > к > 0. Тогда требование ( ап } е( в, к ) является Т(С к) (( 1М, 1 )) - условием.

Если порядок 1 "верхнего" метода ( Ий, 1 ) строго больше порядка к "нижнего" метода ( С, к ), то в терминах условий ( С, к ) приведенный результат является точным, то есть справедливы теоремы 7 и 8.

Теорема 7. Для любого целого к ( к > 0 ) существует последовательность { ап } такая, что { ап } ( С, к + 1 ), ряд I ап суммируем методом ( С, а ) при любом а > к, но ряд I ап не является суммируемым методом (С, к ).

Теорема 8. Для любого натурального к существует последовательность { ап } такая, что { ап } ( С. к ), ряд I ап суммируем методом ( С, к ), но ни при каком ш ( 0 < ш < к ) ряд I а„ не является суммируемым методом (С, к - ш ).

Результат второго параграфа главы 2 имеет характер теоремы оЕ ослаблении тауберовых условий. Такие теоремы можно встретить у многих авторов ( см. [12-14] ); для нас ориентиром служит теорема 1

12. Меуег-Коп1я №., Tietz Н. Оьег (Не Ыш1 иегшщзиткеЬгзгиге уот type о // БШсИа таШ. 1968. 31, N3. 205-216.

1аботы [9] Лоренца. Мы не станем приводить утверждение этой теоремы сдельно, а отметим, что оно получается, если в теореме 9 диссер-'ации положить к = 0.

Зафиксируем к - целое неотрицательное число.

Пусть С - любая, но фиксированная константа такая, что : ) к + 1, и пусть { пг - последовательность натуральных чисел 'акая, что пг + 1 - пг > С для всех г.

Пусть Кг] (г - целые, г > 0; 3 - целые. О < 3 < к ) - некоторые фиксированные, отличные друг от друга, натуральные числа такие, 1То Кг] ^ ( пгм - С; пг + 1 ].

Мы сейчас рассмотрим некоторые утверждения Н и Т ( эти ут-¡ерждения, конечно, могут быть неверны для произвольного метода сумми-ювания Р ). носящие характер теорем тауберова типа, а затем приведем георему 9 о связи этих утверждений.

Н. Если ряд зию и„ = 0 при ) < j < к. то ряд Т. Если ряд

I un - суммируем методом п * Кг]- гДе г " целое, I un - суммируем методом

Z ап

зию ап = о(сп), где сп зуем методом ( С, к ).

суммируем методом ) 0 для всех п,

Р и удовлетворяет усло-г > 0; J - целое, ( С, к ). Р и удовлетворяет усло-то ряд Г ап - сумми-

Теорема 9.

пусть метод

i

(С, к )СР. Тогда. 1 если выполнено

Пусть к - фиксированное целое неотрицательное число суммирования Р аддитивен и имеет место включение

если для метода Р справедливо утверждение H

П..

( п.

г+1

V < V < пг+1

V * Кг] всех j, 0 с j < к

71 о утверждение Т тате справедливо.

V + 1 )К-с„ = 0(1),

13. Кангро Г. Об ослаблении тауберовых условий // Изв. АН Эст. ССР Физ. Матем. 1970. 19, N 1. 24-33.

14. Noll D.. Stadler W. Weakening Tauberlan conditions for summa-billty methods // Analysis. 1989. 9, M 1-2. 41-53.

В третьей главе вновь рассматриваются TQ(Р) - условия вида ап = 0(сп), на этот раз уже с точки зрения наложения на { сп }, при фиксированных к и а (0<к<а), требования, необходимого для того, чтобы ап = 0(с„) было Г(Ск)(( С. а )) - условием.

Последовательность { сп } ( где с„ > О ) удовлетворяет условию ( ND, к ), если Зе ( е > 0 ) и Зр ( О < р < 1 ) такие, что q ( 1 < q < q3 < 2 ) существуют следующие объекты, зависящие от q:

I) последовательность натуральных чисел { nr(q) frTi такая, что

q < nr+1(ч)/пг<ч) < q3;

II) последовательность { такая, что

О < V> < с„;

III) ( к + 2 ) возрастающих последовательностей натуральных чисел

{ 11г(ч) }г=°! (1 = 1. 2.....к + 2 ),

( к + 2 ) возрастающих последовательностей натуральных чисел

{ mlr("> (1 = 1. 2.....к + 2 );

и для этих объектов для бесконечного числа номеров г одновременно верны следующие соотношения (1), (2) и (3)

<р<я)< 4 g ф < Ч> ^

■■■ Ocrllr "<-<кн)г Г+1

(1)

у- '

У с^.

В этом определении, как и в следующей ниже теореме 10. к - фиксированное натуральное число.

Теорема 10. Пусть последовательность неотрицательных чисе/ { сп ^ п = о удовлетворяет условию ( N0, к ). Тогда существует последовательность { ап , для которой выполнены следующие три условия:

1) | ап | < сп для всех п;

2) ряд I ап суммируем к нулю любым методом ( С, а ) с а - действительным, а > к;

3) ряд Е ап не является суммируемым методом (С, к ).

Тем самым условие непринадлежности { сп } к классу последовательностей, удовлетворяющих условию ( ND, к ), является при каждом а > R необходимым условием того, что an = 0(сп) есть Т(с. к) (( С, а )) - условие.

Несмотря на внешнюю громоздкость, во многих случаях условия ( ND, к ) проверяются довольно легко. Так. во втором параграфе третьей главы они применяются к решению вопроса о наилучшем с точки зрения порядка Т(С-к)(( С. а )) - условии.

Пусть к - фиксированное целое число ( к ) 0 ), а - фиксированное действительное число ( а > к ).

Тогда условие ап = 0(1/п) является Т(Ск)(( С. а )) - условием.

Если w(n) - функция натурального аргумента такая, что w(n) —> + и при п —> + <», то, как следует из теоремы Лоренца ( см. [21] ). an = 0(w(n)/n) не является Т(С.0)П С, а )) - условием ни при каком а > 0.

Скажем в таком случае, что последовательность cn = 1/п обеспечивает наилучшее с точки зрения порядка Т(С.0)(( а )) ~ условие вида а„ = 0(с„). Ранее было замечено, что необходимость в теореме Лоренца не допускает переноса на Т(с К)(( С, а )) - условия с к > 0.

Тем не менее, и в этом случае последовательность сп = 1/п остается наилучшей с точки зрения порядка, то есть верна следующая теорема 11, доказываемая простой проверкой того, что { w(n)/n } б ( ND, к ) для всех к.

Теорема 11. Пусть w(n) - функция натурального аргумента такая, что w(n) —> + и при п —> + ». Тогда an = 0(w(n)/n) не является Т(с.к) (( С, а )) - условием ни при каких к и а ( к - целое, О < к < а ).

Автор глубоко признателен научному руководителю член-корреспонденту РАН профессору П.Л.Ульянову за постановку задач, поддержку и [тостоянное внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Степанянц С.А. Теоремы тауберова типа для методов суммирования Чезаро // Вестник Московского Университета, сер.1. Математика. Механика. 1993. N 2. 40-44.

г. Степанянц С.А. Теоремы тауберова типа для методов суммирования Чезаро и Рисса // Теория функций и приближений ( Труды 7-й Саратовской зимней школы 1994 г.) Саратов. 1995. Ч.З. 105-109.

3. Степанянц С.А. Условия тауберова типа, связывающие методы суммирования Чезаро и Рисса // Воронежская зимняя математическая школа - 1995, Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики ( тезисы докладов ). Воронеж. 1995. 219.

4. Степанянц С.А. Теоремы тауберова типа и лакунарные условия для методов суммирования Чезаро и Рисса // Вестник Московского Университета, сер.1. Математика. Механика. 1996. И 4. 41-45.