О суммировании случайных полей регуляторными методами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

£, Ь и -САН$Т-ТОТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ДИАФАРОВ Камяль Азиз оглы

О СУММИРОВАНИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ РЕГУЛЯРНЫМИ МЕТОДАМИ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученоа степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1992

... • г"НЧЛ^ ГССУД"'' 1 '

' САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ДКАФАРОВ Камиль Азиз оглы

О СУММИРОВАНИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ РЕГУЛЯРНЫМИ МЕТОДАМИ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1992

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ -доктор физико-математических наук, профессор А.И.МАРШШШЕН

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ -доктор физико-математических наук, профессор Л.Б.КЛЕБАНОВ кандидат физико-математических наук, доцент В.А.ЕГОРОВ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ -Киевский политехнический институт

Защита состоится "22 - ОКтября 1992 г. в 15 ~~ часов на заседании специализированного совета К 063.57.29 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Ст.Петергоф, Библиотечная пл.,2, математико-механический факультет СШГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им.М.Горького СПбГУ, Университетская наб. 7/-Э.

Автореферат разослан "18" (Л'г&АЪрЯ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физ.-мат.наук О.й.РЕйНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории расходящихся рядов, как известно, обобщения понятия предала последовательности частичных сумм имеют большое значение. Эти обобщения обычно осуществляются с помощью некоторого вспомогательного семейства линейных функций, образованных из членов последовательности частичных сумм.

В диссертации рассматриваются методы суммирования случайных полей .которые можно определить с помощью семейства

шг= N х.,.х ш, Тг- с1,...,1э, т - множество параметров с обычно, или кг:>. •

Исследования, связанные с методами суммирования случайных слагаемых, ведутся по следующим направлениям:

- ограниченность почти наверное св дальнейшем: п.н.э, сходимость к нулю п.н. указанного выше семейства ;

- справедливость слабого закона больших чисел ;

- справедливость усиленного закона больших чисел ;

- справедливость центральной предельной теоремы ;

- справедливость закона повторного логарифма ;

- доказательство принципа инвариантности ;

- исследование области притяжения устойчивого распределения ;

- исследование методов суммирования зависимых случайных величин;

- суммирование последовательности банаховозначных случайных величин методами суммирования и т.д.

Из работ по названной тематике, которые внесли существенный вклад , можно отметить исследования Гапошкина„ Лая, дэ Акосты и Куэлбса, Маедаимы, Бингхэма, Мартикайнена, Микоша и Норваяши и других. Все эти исследования касаются методов суммирования последовательности случайных величин, нумеруемый одномерным индексом (г = 1).

Цель работы. Целью работы является расширение круга исследуемых задач по некоторым из вышеназванных направлений на случай, когда рассматриваются регулярные метода суммирования случайных величин с многомерным индексом (г > 1).

Методы исследования. В диссертационной работе используются прямые вероятностные методы, предельные теоремы теории вероятностей, методы математического анализа (теоремы тауберового типа), комбинаторные метода.

Научная новизна .В диссертации получены следующие новые результаты:

- найдены необходимые и достаточные условия суммируемости п.н. методами Абеля и Чезаро последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с двумерным индексом;

- доказан принцип инвариантности для методов суммирования Абеля и Чезаро последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с двумерным индексом;

- установлен функциональный закон повторного логарифма для сумм Чэзаро последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с двумерным индексом;

- доказана эквивалентность регулярных методов суммирования г-мерных массивов { г>1 ) из независимых симметрично распределенных банаховозначных случайных элементов.

А также доказаны некоторые факты, использованные для получения вышеизложенных результатов, но представляющие и самостоятельный интерес. К таким можно отнести принципы сжатия кратных рядов из независимых симметрично распределенных банаховозначных случайных элементов в различных формах; некоторые вероятностные неравенства, указывающие на скорость сближения двухпэраметриче-ских процэссов взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин с двумерным индексом с двухпараметриче-скими винеровскими процессами.

Практическая ценность и теоретическое значение. Результаты работы носят теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при решении различных задач теории вероятностей и математической статистики, в частности, задач стохастической аппроксимации, линейной регрессии и т.д. .

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по предельным теоремам теории вероятностей Санкт-Петербургского университета, на VII межвузовской конференции молодых ученых Санкт-Петербургского университета (апрель,

- в -

1989г.), и на третьей Международна Пэтрозаводской конференции " Вероятностные методы в дискретной математике " (мая, 1992г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, одна сдана в печать.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 71 наименование. Общий объем работы 88 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены основные понятия и обозначения, принятые в диссертации, дан краткий литературный обзор и сформулированы основные результаты диссертации.

В первой главе изучаются условия суммируемости методами Абеля и Чезаро последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с двумерным индексом.

Пусть x,|xkl,it,i>ij - независимые одинаково

распределенные случайные величины. Предполагая х. = о если i•j =0 , введем новыэ случайные величины

Y, , = X, , - X, , - X, , + X, , , к , 1 2 1. k,l k,l k—l ,1 k,t-l k—1,1—1 • •

Обозначим также log+ x = log maxCe.x> , где log x - lo{Jex . Основными в первой главе являются следующие теоремы.

Теорема 1.1.1. Пусть О < х , у ■ < 1. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) ЕХ = 0 , E|X|log+|X| < оо ;

2) последовательность { xk t } подчиняется усиленному

закону больших чисел, т.е.

lim ТЛГ I 1 xk.i - 0 п-н-

n.m-»co l£k<n l<l<m

3) последовательность | Yk t j суммируема к нулю п.н. методом Абеля , т.е.

»<к<с» «£t<co

lim J У \к (S Хк t = О П.Н.

X . М-.1 ~ 1

- в

Теорема 1.2.1. Пусть а , р > 1. Тогда условие 1) теоремы 1.1.1 является достаточным для суммируемости к нулю п.н.

последовательности | Ук 1 | методом Чезаро порядка (а,р) , т.е.

1)

m,

Г^Щ-ШЩ 1 1 ttrTiT1) h.i ' ° п.н

I n J I m J »¿kin l<l<m

Глава 2 посвящена некоторым вопросам аппроксимации. В § 2.1 получены некоторые вероятностные неравенства, полезные для аппроксимации следующих процессов частичных сумм:

2 С1.£Э » п 2 т 2 > У ЬСп.к.т.П X, , ,0£1,а<1,

п, т Сл £л

И

Z Ct,s3

0

1 I ..............>.1

hCt.k.s.13 Xu

. О £ t.s< 1 . t.s > 1

где х, | хк ь , к,1 ^ 1 | - независимые одинаково распределенные случайные величины такие , что

I) ЕХ = 0, ЕХ2 = 1 ;

ьсих.з.уэ - некоторая вещэственнозначная функция, удовлатворя-щая условиям: .

II) ьсих.в.уэ - ГСихЭ дСз.у) ;

III) существует постоянные а, р е к такие, что ГСХ1.\хЭ » Ха ГСЪ.хЗ ,\>0. 0<х<Ъ<а>;

ОС^.руЗ » ^Р дСв.уЭ . й > 0. О < У < г < оо ;

1

IV) Г Jc

f С1,хЭ dx < to .

I

g С1.уЭ d у < со .

v) для всех 0 < t.x.s.y < о> существуют

a-i

dx < со ,

"J.

ЭГСЪ.хЭ

Эх

J.

9f С t. хЭ ЭдС s . у)

ЭдС s. уЗ

Эу

Эх dy < оо .

Эу

Отметим также, что обозначения

?(t,s) = о( r>(t,s) ) П.н.

f (t,s) = 0( r>(t,s) ) П.Н.

означают

р( lim f (t.s)XT)(t.s3 - 0 I. - 1

I t,a-»00 ' И

p| lim sup I? <t,s)/T>(t,s> I < со I - 1.

I- t . • »00 )

Для процессов z^ct.sj справедлива следующая теорема:

Теорема 2.1.2. Если выполнены условия х) - iv) и Etxi"< ® для некоторого » > 2, то можно построить такую последователь -

ность винеровских процессов | wn m(t,s) , t,s > о J , что для

всех ^ «s £ о , J и х > 0 имеет место неравенство

sup Z Сt,s5 - W С^зСО.тСяЭЭ > CnnD a •

o<i.B<il n,m n"m I

i

•J г\Сп,пО + г^СпЭСх + log<l/T(Cn> »J1 +

2<i<3 +

2^r*CnDCx + log(l/r*Ci>0 )}J* + 2|r ^rOr'cirDCx

>

+ log(log2(lxTtCn3r*CnO )/Т^СЮг*СпО JjJ1 j < D^ (пи)"* + D tTe .

где о положительная постоянная . последовательность положительных чисел, таких, что ßnm 0 при n.m -» а> ; г (п,м) , г,(п) , г*(га) - некоторые последовательности положительных чисел , зависящие от ь, и

I »

p(t) = f faCl,x5 dx . r(s) = Г g'cl.y? dy . Jo Jo

В теореме 2.1.3 доказана возможность аппроксимации процесса z(t,s) следующим процессом

r(t,s> = J J h<t,x.s.y) dW(x.y> .

( О , t JXiO, »J

где w - двухпараметрическия винеровския процесс.

Теорема 2.1.3. Если выполнены условия i) - v) , то

I

|2(ъ.з) - Г (t, s ) | = о |г ^С t, (ts logl ogts )*j + Ö(r7(t,s>) П'.Н. ,

если еще E ix t ^ < со для некоторого ь> > 2 , то

|r:(t,s) - Г (t, s ) | - o^Ct-.s) (ts)"J » 0(r7(t.s>) п.н. гдо г ('-,--), r„('-.s) - последовательности положительных чисел,

irr ь .

В § 2.2 доказывается принцип инвариантности для сумм Чезаро:

-- 1

- <«> $ I ^

[llJI.ni .|»<к<п1-11<1<.тт-1

О « 1,$ < 1 .

Пусть Рпт вероятностная мера, индуцированная чрг мера, индуцированная *пт(рсо.тсо) на пространстве Скорохода ю( со,1 з2), <!{■, ) - расстояние Прохорова-Леви между мерами.

Теорема 2.2.2. Пусть выполнено условие I) и Е|х ^ < т для некоторого и > 2 , тогда

о| (пш) I , <х,р > 0 ;

ifp ,W 1 ^ n.m р,Т J

>[(n m J

-±< C.p < 0.

В § 2.3 установлен функциональный закон повторного логарифма в форме Штрасеена для сумм Чезаро .

Пусть R(t.s.u.v) ковариационная функция процесса r(t,s) с

ВеСОВОЯ функцией hCt.x.s.yZ» - (t-x)a(s-y)/î,

ih(r) - репродуцирующее гильбертово пространство с ядром

R(t.s.u.v) И ПУСТЬ t

к - {»«nw :.-mw(r)-s'(r<i,i.i.i>"* ) •

Основным в § 2.3 является следующий результат.

Теорема 2.3.3. Пусть выполнено условие i ) . Если a,ft > о , тогда п.н. к является множеством предельных точек

последовательностей »

f Ênmloglognnrt ~z 1

С 201+1X2^+0 J

1 2 ^ ^ ^ firu î-k+oj fimsi-l+fTI

^ ï l imi-t J l cms.-l J k'

0<t .«<1

i

2nmloglognm"^~2 fp m ,-k+«■> p ms,-I,

^J" 7 I tmi-k J*- rmsi-1 >

•ri+a](ImS1+ll xktl

i ni ] J v i ms > J)

Qsi.tii

§ 2.4 посвящен доказательству принципа инвариантности для

метода Абеля.

Рассматриваются абелевы суммы : * 1

о<к< о<1< —

»-А 1-ц

независимые

где , по-прежнему . х » { хк t » к> i |

одинаково распределенные случайные величины, удовлетворяющие

условию I).

Сначала доказывается теорема:

Теорема 2.4-.1. Пусть выполнено условие i) и Е|*|" < » для некоторого V > 2 , тогда можно построить такую последовательность винеровских процессов | wK ^(t,s) , t,s > о | „ что для всех с <= £ о , ] и х > о имеет место неравенство

р| sup I Хх (t.s) - W fi(l-expc-a0).i(l-expc-20)l I > ^ o<t , о£оо' 'и 'м J I .

í 1 ' .

—<1+£)х-1> 1 —u+d/v 1 -

(1-Х)2 log- + (l-v)X log- +

1-Х 1-fj

--lí*C)/l>

— log — ]) 1-Х 1-ц Jj

где ai = a^c) -постоянная ; а вх ^ -. □ при 1- .

+ C(l-x)<l-м)Г log-log-- < Bx Jl{ 1-Х)(1-м)Г,

Как следствие этой теоремы получаем принцип инвариантности

для метода Абеля.

Теорема 2.4.2. Пусть выполнено условие I) и Е|х|" < со для

некоторого v > 2 , тогда

dipxU'\J = — юз—

J 1-Х 1-/J '

где рХм и меры, индуцированные хх и*

Wx ^(1-ехрС-20 ).j(l-expC-2sD )] СООТВвТСТВбННО НЭ

пространстве Скорохода n>(ro.uz).

Глава 3 посвящена вопросам суммирования банаховозначныг случайных элементов в связи с исследованием проблемы эквива-

'лэнтности регулярных методов суммирования. Как показано в этой главе, поставленная цэль достигается в предположении, что случайные элементы симметрично распределены.

В первых двух параграфах этой главы, которые представляют и самостоятельный интерес, получены в разных формах принципы сжатия кратных рядов.

Пусть ев,«-«) сепарабелъное банахово пространство, п « шг , е(п) в .. +пг . ® с . мг - { 1,2.....г > ,

^ , С" в Иг ^ Я К , |п| я п(" ■ ■ п^ ,

Введем

о(®,1,1Г,п) = | р «и': 1Г<р<1Г+Гг.р] » п. при J е О, в(р-£) =

а- -(1,о) =У а- * (р) , здесь х - индикатор множества

* " о(о,1,!Г,п)

Определение. Вариацией массива { а- , ¡Г е шг | назовем следующую величйну

г -Сага®

Var| а-, С а INr j « sup

п>1

l l

k< п ©cN

1-0

. Пусть ^ у- - ; 5 е м', Г е и" | - массив в - значных случайных элементов , удовлетворяющих условиям : А1) для каждого п ^ Г ряд ^ £ сходится в норме в п.н.,

k>i

ч

А2) Uj =. | у- - , п г j , Г > 1ч независимые и симметрично

. распределенные вт - значные случайные элементы , где -пространство последовательностей | х- , n е wr j

• Пусть | Ь- - ; п е к', F s W1 | чисел ,. удовлетворяющих условиям : В1) Ь^- - , где {<=■-} и { } такие , что

В2> V»r | ое- , F е IN4 | < со ,

е IN j £ Ш .

массив вещественных

ВЗ) Var I ft-- I < со ,ГД8 Var / ft-\ = sup Var / ft- Г e IN4 }.

nil

r

Приведем еще одно условие : ab) для каждого к > Г

ч

,k "п.к

Обозначим

"к = { ьп,к Yn,k • " - Ч } годится в норме в П.Н..

Z- = у У- - , Z- = У Ь- - Y- г .

п п , к ' п п , к ri , к

к>1 к >7

q q

Основными в § 3.2 являются следующие результаты.

Теорема 3.2.3. Пусть выполнены условия м), А2), bi ) - вэ).

Тогда если

И z~ И - О П.н. при |п| со ,

то

II Z- || О П.Н. при |п| -. 00 .

Теорема 3.2.4-. Пусть выполнены условия ai ), лг), bi ) - вэ), ab) . Тогдз если • .

| z- , п > Г_ | сходится в норме в п.н., то справедливы

следующие утверждения :

1) | z- , п > Гг | сходится в норме в п.н.,

г) ряд £ сходится в норме в п.н., где к>7

ч

Y- = 11га Ь- - Y- - . к г» # к n f к

з) имеет место равенство

lim г- = У Y- п.н.

| п | -»оо к ä i

q

В § 3.3 изучается вопрос od. эквивалентности регулярных методов суммирования. Получено также обобщение теоремы Кахана о том, что для широкого класса регулярных методов суммируемость п.н. последовательности независимых случайных величин влечет сходимость п.н. ряда, составленного из этих случайных величин.

Пусть А = |а-- ; n е ¡Г е Шч | - МЗССИВ ВвЩвСТВ8ННЫХ

чисел. Если для всех к > Г выполняется Ига а- - = 1 , то

Ч »I«

массив А называют массивом обобщенного суммирования. Пусть

задан ряд £ и- где ^ и- ; к в и4 | массив элементов из в. ' к>Г

Рассмотрим рады ^ = 2 о- ^ и- , п > Г. , предположим, что к^Г

Ч

все эти ряды сходятся.

Если | V- ; й >; Гг | сходится'в норме в п.н., то ряд ^ . и- называют А - суммируемым, а предел и™ V- = а

к>1 ' | п | ЧОО

" V

называют А суммой ряда 2,

. Теорема 3.3.3- Пусть А - { ; п е тг, С е | -

массив обобщенного суммирования. Тогда, если ряд ]> х-

к>7

ч

А - суммируем п.н. , то он сходится в норме в п.н. и его сумма совпадает с его А - сушой.

Обозначим теперь М> - класс массивов обобщенного суммирования А » ^ а- £ ; п « Г в мч | , которые удовлетворяют дополнительному условию ограниченности вариации :

• Тогда с помощью теоремы 3.3.3 и одного следствия теоремы 3.2.4 мы получим следующий основной результат § 3.3.

Теорема 3.3.Л. Пусть | х- , к е шч | - независимые

симметрично распределенные ш - значные случайные элементы. Если ряд ^ х-. А*- суммируем п.н. некоторым массивом А* из м , к>Г

ч

то он А - суммируем п.н. и всеми массивами А из м , причем все А - суммы совпадают между собой.

Для известных регулярных методов суммирования кратных рядов соответствующие массивы имеют ограниченные вариации. Поэтому, согласно последней теореме подобные ряда либо п.н. суммируемы с помощью всех регулярных методов суммирования, либо не суммируемы при.всех регулярных методах.

Следовательно, поскольку п.н. суммируемость по Чэзаро порядка Г есть справедливость усиленного закона больших чисел , то все регулярные методы суммирования независимых симметрично распределенных банаховозначных случайных элементов сводятся усиленному закону больших чисел, широко используемому в теории вероятностей.

По теме диссертации опубликованы слвдующие работы:

1. Джафаров К.А. О суммируемости двойной последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин методом • Абеля.^/Вестник ЛГУ. - 1990. - Сер.1, вьгп.2СМ8). - О. 104.

2. Джафаров К.А. О суммировании Методами Абеля и Чэзаро последовательности случайных величин с двумерным индексом. //Вестник ЛГУ. - 1991. - Сер.1, вып. 1CN1). - С. 24 - 29.

3. Джафаров К.А. Принцип сжатия кратных радов из независимых банаховозначных случайных элементов.//Вестник ЛГУ. - .1991. -Сер.1, Bbin.3<N15). - С. 6 -.13. , '

4. Джафаров H.A. Принцип сжатия и метода суммирования кратных случайных рядов.//Рукопись двп. в ВИНИТИ 10.01.1992. -N 180-В92. 9с.