Предельные распределения для случайных последовательностей со случайными индексами в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

>

Московский госуда рственный университет им. Н.В.Ломоносов а факультет вычислительной математики и кибернетики

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ ИНДЕКСАМИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссергации на соискание ученой степени кандидата физ ико-математических наук

на правах рукописи

УДК 519.214.4

Коссова Елена Владимировна

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре могематимескоя статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Наумныя руководитель:

доктор физ.-мат. наук, доцент В.Ю.КОРОЛЕВ

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор А.В.БУЛИНСКИЙ кандидат физ.-мат. наук, доцент Ю.С.ХОХЛОВ

Ведущая организация:

Научно исследовательский институт математики и механики им.*Н.Г.Чеботарева при Казанском государственном университете

Защита состоится " 11 ^/г^-^Х.*^ 1995 г. в часов на

заседании специализированного совета Д 053.05.38 при МГУ им. М.В.Ломоносова ( 1 19399, ГСП-3, Москва В-234, Воробьевы горы, МГУ, факультет ВМиК, ауд. 685)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан б марта 1995 г.

Учения секретарь специализированного совета профессор

Н. Я. ТРИФОНОВ

ОБМАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теыы. Интерес к асимптотическому поведемив случайных последовательностей со случайными индексами воз ник в конце сороковых годов и с тех пор не ослабевает, главный образом, в связи с необходимость» применения подобных конструкция в качестве математических модеделе я во многих прикладных з ада-чах. Наиболее часто используемыми на практике (и наиболее хорошо изученными) примерами случайно индексированных случайных последователь ноете й являются последовательности сумм случайного числа случайных величин (случайных сумм) и статистик, построенных по выборкам случайного объема.

Все рез ультаты, относящиеся к случайным последовательностям со случайными индексами, мохно услов но разделить на две группы. Первая из них содержит утверждения, полученные в предположении стохастической независимости индексов от исходной последовательности . Вторая группа объединяет результаты, в которых такое предположение не делается. Результаты, приведенные в данной диссертации , относяте я к первой из указанных групп.

На первый взгляд, условие независимости индексов от исходной последовательности может показаться слишком ограничительным. Однако на практике модели подобного типа успешно применяются даже чаче, чем мохно было бы ожидать. Это заключение подтверждает-с я многочисленными примерами из теории массового обслуживания, теории надежности, математической экономики, финансовой математики , математической теории страхования (актуарной мтематики), ядерной физики и других областей, в которых модели, основанные на случайных последовательностях с независимыми случайными индек— —сами, играют определяющую роль. Условие независимости позволяет получить не только достаточные, но и необходимые условия сходимости случайно индексированных случайных последовательностей. Более того, если основная последовательность обладает свойством перемени в а ни я , то она асимптотически независима от любой случайной величины. Поэтому структура предельных законов, равно как и достаточные уеловия сходимости таких последовательностей с произвольно зависимыми индексами о к аз ыпаютоя такими ке, как и в неэависи-

мом случае. Как известно, свойство перемешивания присуще на растэ-юцим суммам независимых одинаково распределенных случайных величин и последовательным экстремальным значениям в однородных выборках растущего объема. Поэтому результаты, полученные в предположен иvj независимости индексов и исходной последовательности . можно считать своего рода маякам*' при изучении обцей ситуации.

Среди исследования по асимптотической теории случайных Поспелова тельностей с независимыми случайными индексами, которые могут быть отнесены к числу основополагающих, следует отметить пионерную работу Г.Роббинса*, в которой приведены н&которые достаточные условия сходимости распределения "нараставших" случайных сумм к сдвиговым или масштабным смесям нормальных законов. Результаты Роббинса были затем обобщены Р„Л.Гобруииным2, которые с помощью специального выбора центрирующих и нормирующих констант продемонстрировал возможные виды связи между предельными распре-делениямА произвольных случайно и неслучайно индексированных слу-

з

чайных последовательностей. О.Барндорфф—Нильсен намел необходимые и достаточные условия сходимости распределений экстремальных порядковых статистик в выборках случайного объема. Следующий этап раз вития асимптотической теории случайных последовательноете й с независимыми случайными индексами связан с исследованиями Б.В. Гнеденко и его учеников. В работе (ч) приведены достаточные условия сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий (доказана знаменитая теорема переноса). Б.В.Гнеденко впервые пос гавил задачу об отыскании не тол ько достаточных, ной необходимых условий с ходимости случайных последовательностей со случайными индексами в схеме серий. Ему и его ученикам принадлежат первые результаты в этом направлении. Некоторые итоги исследований в этой области подве-

0) H.Robbins. The asymptotic distribution of the sum of a 'random number of random variables. *- Bull. Amer. Math. Soc.. 194S, Vol, 54, No. 12, pp. 1151-1161. ( ) P.Л.Добруmии. Лемма о пределе слохнол случайной функциии. -

э УМН, 1955» т. 10, N 2(64), с. 157-159. ( ) О.Barndorff-Niе1 sen . On the lirait distribution of the maximum of a random number of indepeendent random variables. - Acta Math. Acad. Sei. Hung., 1964, Vol. 15, No. 3-4, pp. 300-403. (•) Б.В.Гнеденко, Х.Фахим. Об одной теореме переноса. - ДАН СССР, 1969, т. 187, N 1, с. 15-17.

4

дены в монографии В.М.Круглова и В.Ю.Королева ( ), содержащей, помимо прочего, исчерпывающее описание предельного поведения случайных сумм центрированных слагаемых в схеме серий. В.О.Королевым6 найдены необходимые и достаточные условия сходимости распределений произвольных случайных последовательностея с независимыми случайными индексами.

Во всех упомянутых выше работах рассматривалоя одномерный случай. В то же время ао многих прикладных задачах приходится иметь дело с многомерными наблюдениями. Более того, в таких задачах , которые связаны, скахем, с обработкой сигналов, размерность наблюдений может быть бесконечной. Специальные виды многомерных и бесконечномерных случайно индексированных случайных последовательностей - < лучайные суммы - рассматривались во многих

работах, из которых упомянем статьи В.Паулаускаса7, В.Бернотаса8,

э 10

Я.Росиньского , М.Финкелывтейна, С.Мейберга и Г.Такера , содержание многомерные обобщения упомянутых выше результатов Б.В.Гне-денко и его последователей о случайных суммах центрированных слагаемых.

Известно, что в отличие от классической ситуации, при случайном суммировании центрирование слагаемых и центрирование самих сумм приводит к разньгм предельным законам. За счет центрирования случайных сумм константами класс возможных предельных законов существенно расмиряется и даже для случайных сумм независимых одинаково распределенных предельно малых слагаемых совпадает со множеством всех распределений. В схеме серий одномерные

5) В.М.Круглое, В.Ю.Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. М.: Изд-во Московского университета, 1990.

) В.Ю.Королев. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами. - Теория вероятн. и ее примен., 1994, т. 39, N 2, с. 313-333.

) В.Паулаускас. О сумме случайного числа многомерных случайных векторов. - Лит. матем. сб., 1972, т.12, N2, с.109-131.

) В.Бернотас. О сумме случайно го числа случайных независимых величин со значениями в гильбертовом пространстве. - Лит. матем. сб.', 1977, т. 17, N 3, с. 17-1S.

) J.Rosinski. Limit theorems for randomly indexed sums of random vectors. - Colloq. Math.. 1975, Vol.34, No.1, pp.91-107.

) M.Finkelstein, S.Scheiberg, H.G.Tucker. Integral t ransforms with infinitely divisible kernels. - Теория вероятн. и ее примен., 1994, т. 39, N. 4, с. 856-S63.

центрированные случайные суммы ранее рассматривались в работе M.Финкельмтейна и Г.Такера ( ) , где приведены условия их сходимости к тому же закону, к которому сходятся суммы с неслучайным числом слагаемых, а та кже в работах В. Ю.Королева и В.M.Кру-

12 _ .. 13

глова и В.Ю.Королева , где помимо достаточных получены необходимые условия слабой сходимости распределений центрированных случайных сумм. Многомерных результатов об асимптотическом поведении неслучайно центрированных случайных сумм, представляющих особый интерес для построения аппроксимирующих распределений , до недавнего времени не было. С другой стороны, упоминавшиеся выше многомерные результаты получены лишь при скалярной нормировке, в то в ремя как на практике часто выгоднее иметь де-ло с операторной нормировкой, например, при изучении одновременного поведения различных статистик, построенных по одной и той же выборке, скажем, среднего и экстремальных значений. Г.Зиге-

14 ^

лем были получены достаточные условия сходимости операторно нормированных случайных сумм в ситуации, когда элементы этих сумм принимают значения из банахова пространства. Произвольные oneраторно нормированные и неслучайно центрированные случайные последовательности со случайными индексами и значениями в банаховом пространстве ранее не рассматривались. Поэтому весьма актуальна задача об изучении, асимптотического поведения подобных последовательностей которой и посвящена данная диссертация.

В диссертации рассматриваете я асимптотическое поведение случайно индексированных операторно нормированных и неслучайно центрированных последовательностей случайных элементов, принимающих значения из сепарабельного банахова пространства в предположении независимости индекса от исходной последовательности.

(tl> M.FinkeIstein, H.G.Tucker. Convergence of random sums with nonrandom centering. - Теория вероятн. и ее примен., 199 1 » т. 36, N 2, с. 397-402. ( ) V.Yu-KoroleV, V.M.Kruglov. Limit theorems for random sums of independent random variables. - Lect. Notes Math., 1993, Vol. 1546, pp. 100-120. ( ) B.D.Королев. Предельные распре деле ния дли случайных последовательностей со случайными индексами и некоторые их приложения. - дис. докт. физ.-матем. наук, М.: МГУ, 1993» 265 с. { ) G.Siegel. Convergence of randomly selected sums in a separable Banach space. - Math. Nachr., 1988, Vol.139, pp.139-153.

Исследованы покоординатная и диагональная предельные схемы различающиеся, прехде всего, формулировками условия сходимости неслучайно индексированных последовательностей. Из-за того. что наличие случайных индексов может по-разному учитываться в формулировках задач покоординатной и диагональной предельных схем', ни одна из них не сводится к другой.

Цели и задачи работы. Изучение эффектов, вызываемых бесконечной раз мерностью значений, операторной нормиров кой и неслучайным центрированием при изучении условий слабой сходимости случайных последовательностей с независимыми случайными индексами и их предельных законов.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с помочью метода, сочетающего элементы метода характеристических функционалов и метода вероятностных метрик.

Научная новизна работы. В данной диссертации впервые исследовано предельное поведение произвольных операторно нормированных и неслучайно центрированных случайных последовательностей со случайными индексами в случае, когда элементы этих последовательностей принимают значения из банахова пространства. Доказаны' соответствующие теоремы переноса. Найдена взаимосвязь между предельными законами последовательностей со случайными и неслучайными индексами.

При некоторых дополнительных предположениях найдены необходимые и достаточные условия слабой сходимости бесконечномерных случайных последовательностей со случайными индексами при операторном нормировании и неслучайном центрировании. При некоторых дополнительных предположениях в схеме серий получены необходимые и достаточные условия слабой сходимости центрированных случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных ба-наховоэ«1ачных элемен¥Ъв .

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докла-дыва.пись в 1993-94 гг. на семикара х по избранным вопросам теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслуживания в МГУ (руководители В.М.Эолотарев, В . I). Калашников и

В.М.Круглов) и »а семина pax кафедры математической статистики факультета ВМиК МГУ (руководитель Ю.В.Прохоров).

По теме диссертации опубликовано три научные работы:

1. В.Ю . Королев, Е.В.Коссова. Асимптотика случайно индексирова н-ных бесконечномерных случайных последовательностей; независимые индексы. - в сб. "Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара", М. : BHVMCY1, 1990, с. 3S-44.

2. В.Ю.Королев, £. В.Коссова. О предельных распределениях случа й-но индексированных многомерных случайных последовательностей при операторной нормировке. — в сб. "Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара", М.:ВНЙИСИ, 1991, 'с. 85-100.

3. Б.В,Коссова. Сходимость случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных элементов со значенкями в банаховом пространстве. - Вестник моек. ун-та, сер. 15 вычисл. матем.

и киберн., 1994, N 1, с. 56-59. Одна статья сдана в печать:

V.Yu. Korolev and E.V.Kossova. On convergence of multidimensional random sequences with independent random indices. -Journal of Mathematical Sciences, 1995.

Структура и об'ем работы. Диссертация состоит из введения, предваритель ных замечаний, двух глав и списка литературы, содержащего 37 наименований. Обьем диссертации - 107 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В автореферате сохраняется нумерация утверждений и формул, использованная в диссертации,

Введение состоит кз исторической справки и краткого описания основных результатов, представленных в диссертации.

В предварительных замечаниях сформулированы основные определения и вспомогательные теоремы, а та кже приведе ны обоз на-чения , используемые при доказательстве утверждений.

В данной диссертацки рассматриваются случайные элементы (с,э. J, и ринимоющие з наче ния из cena рабельного ба нахова простра не ти а (II, | ■ | ) . Обоз ни чим it - - сопряженное и R простри нсгио непрерывных линсиимх функционалов, о и ределоиных па №, /Ч 11}

Е

— совокупность вероятностных распределений, определенных на борелевскоп о-алгебре Л(В) сепарабельного банахова пространства В. Множество линейных невырожденных операторов, действуюиих из В в В, обозначим в{В), Обозначим А оператор, сопряженный к А. Будем считать, что все с.э. и случайнные величины (с . в . ) , упоминаемые в- данной диссертации, определены на одном вероятностном пространстве (Q,/i,P). Символы и = обозначают слабую с ходимость и совпадение рспределении соответственно.

Первая глава посвяцена исследованию предельного поведения случайных последовательноетея со случайными индекса ми в покоординатной предельной схеме.

Рассмотрим семейство последовательностей {£ } п=1... с.э., принимающих значения в В. Предположим, что существуют два семеяства последовательностей: операторов {В } ,

г», k ki 1

В ев(В) и неслучайных элементов {а ) , а еВ такие, что

n, к * ' 1 п,к kit1 п,к *

пру» каждом

V»" "..»"'«Vi'V»» (1-n

где rt - с.э. , характеристический функционал (х.ф.) Eexp{ilt*ri )}

п t

которого обозначим h (t), teB .

n

Рассмотрим также семейство [v } целочисленных положи-

n nil

тельных с.в. таких, что при каждом с.в. и^ и последовате-

льность {£ } ^ стохастически независимы. Пусть с €В, D €0(В), Нас. будет интересовать асимптотическое при п-*о

поведение с.э. С v -с ). В параграфе 1.1 описан эф-

' п

фект, связанный с изменением предельных распределения последовательностей с.э., когда . индексирование последовательностей константами заменяется индексированием случайными величинами. Следуя Б.В.Гнеденко, подобные утверждения называются теоремами переноса.

Пусть t€B*, 6>0. Обозначим

К (Ö;t) = {k: |(D ~lB . )*t|i5).

п , к '

Будем говорить, что выполняетея услотие согласованности, если для любого гсВ* и любых Т,6>0

lim sup sup |fn (t )-h (r) I =0,

n-Mo keK (6;t) jr ¡ST где f (t) -- х.ф. с.э. q . Обозначим u (s)=D"1B q.

n,k n,k n n n ,1»

v =D_1 (a -c ). w (g)=u (g)+v (gelB).

л n n. f n n л n

n

Теорема 1.1.1. Пусть семейства с.э. {п } ^ ^ , и

-5--л, k k¿.l, n¿1

{u (s)} слабо относительно компактны для любого g€ü.

n n¿t

Предположим, что при каждом n¿ 1 имеет место (1.1), причем выполнено условие согласованности. Пусть существует некоторый с.э. п с распределением Н такой, что п * п (п-ко).

Пусть существует случайное поле w(g) такое, что для Н-по чти каждого g£lB выполнено

un(g)+vn * w{ g) Ín-HD), (1.2S)

Тогда

í i) поле w(g) стохастически непрерывно, измеримо по g и

зависит от g линейно, ( i i) tn =» W(n) (r>-w>) , где поле w(g) и с.з. rj независимы.

Пусть W(.;g) -- распределение с.э. w(g), т.е. для любого борелевского множества SsB имеем W(S;g)=Р(w(g)€S). Тогда в силу независимости w(g) и п распределение предельного с.э. £ можно записать в виде

G(S) = P(w(n)GS) = /W<S;g)H(dg).

В

В параграфе 1.2 приведены необходимые и достаточные условия слабой сходимости случайных последовательностей со случайными индексами в предположении сходимости тех же последовательностей с неслучайными индексами.

Для фикс и ров а иных с.э. С и rj определим множество W( С J Ч) » состоящее из из меримых случайных полей w( g) (geli), принимающих значения из Ю, независимых от с.з. Г) и таких ♦ что распределение с.з. £ представимо в виде распределения суперпозиции с.э.

W(Cln) = {w(g). gcB; P(C*-~S)=/W(S;g)H(dg) для любого Se/?( 11) , где

К

w(g) и Г) независимы). Здесь W(.,g) - закон распределенля (з.р.)

\о

с.э. w(g), Н - з.р. Г)« Множество W(C|f) всегда непусто, так как содержит случайное поле такое, что w(g)=C Для любого g€B. Для некоторых С и П множество W(Cfrj) состоит более, чем из одного элемента.

Пусть £(g) и 1(g), g€ß, -- два измеримых случайных поля со значениями- в В, Н -- некоторое распределение, определенное на В(В), не вырожденное в нуле. Введем функционал

Л(£(-) ,М -})=/ ,*.<g)>H<dg),

Н В

где 11 — метрика Леви-Прохорова. Этот функционал характеризует расстояние между•измеримыми случайными полями. В самом деле, Л^ -- неотрицателен, обладает свойством симметричности, удовлетворяет неравенству треугольника, а равенство

ЛИШ.),М.))=0

равносильно тому, что для Н-почти всех geB

Будем говорить, что последовательность измеримых случайных полей w (.) Лн~сходится к некоторому измеримому случайному полю w(. ), если

lim AH(wj.),w<.))=0

п"*©

Заметим, что Л^-сходимость случайных полей w (.) к некоторому измеримому случайному полю w(.) эквивалентна слабой сходимости wn(g) к w(g) для Н-почти всех g€B (где Н - распределение некоторого с.э«, не вырожденного в нуле)»

Теорема 1.2.1. Предположим, что семейства {17 } ^ и

—---*------ ■- п, к k i 1 , 1

{D~ В ^ g} слабо относительно компактны для любого g^B»

п

П =» п при k-ио для любого nil и выполнено условие CO^aCOBDH-tt , к п

ности.

Предположим, что существует с.э. rj с распределением Н такой, что при п-«х>

пя + п

Тогда для того, чтобы при некоторой последовательности

\\

(с } , с было выполнено

п nil п

Сл => С (п-но)

необходимо и достаточно, чтобы существовала Л^-компактная последовательность измеримых случайных попей {w'(.)} ^ , w' { . )e:W(C|n) 'для любого nil, для которой

lim Л fv'<-),w <.)>=0-

Н п п

п-*<0

(Под Л^-компактностъю последовательности {w (•)} подразумевается возможность из любой последовательности номеров Jf выделить подпоследовательность Jf яЛ такую, что для некоторого измеримого случайного поля w(g) справедливо:

Пи Л (w (-)>w(.)) = 0.)

, Н п п-*0, л€Н

1

В третьем параграфе первой главы рассмотрена ситуация, когда при всех п последовательности {£ } ^ , {В } ^ и

n,к к21 п,к к21

{а } . одинаковы: В sß , a га , £ . Положим и =

1 n,k'k^t п, к к' п, к к ^п, к ^к 'к

= В"1(£ -а ), С =D~t{£ -с ), где (v } - последовательность к к к к к * к kij

положительных целочисленных с.в., стохастически независимых от ^k^kii" Такой вариант покоординатной схемы назовем однородным. В этом случае, вместо условия согласованности достаточно предположить выполнение условия 1 ¡->0 при ь-мо.

Теоремы 1.3-1 > 1.3.2 являются аналогами теорем 1.1.1 и 1.2.1. Теорема 1.3.3 представляет собой ене один вариант частичного обращения теоремы 1.2.1 в однородном случае.

Пусть £ — с.э., a — измеримое случайное поле.

Определим множество |w) , состоящее из тех с.э. rj, независимых от поля w(.), которые позволяют представить распределение с. э. С в виде распределения суперпозиции w и /f: U(Cjwi =

P(CGS)-/W(S;g)H(dg) для любого S£ß(B), w(g) и п независимы}, В

где W ( . , g) - э.р. с.э. w(g), Н - э.р. r|«

Теорема' 1.3.3. Предположим, что последовательность с.э.

{П } слабо относительно компактна, пусть для некоторого

k к£ J

измеримого случайного поля w( . ) при каждом gel1

12L

и> ■» »(к) (к-«о).

к

Для того чтобы имела место сходимость

Ск => С и-ко) (1.32)

необходимо и достаточно, чтобы существовала слабо относительно

компактная последовательность с.э. {п* } ^ , п'еи(ГI) * для

к к

которой

п<п. ) - 0 (£*»). (1.33)

к к

Глава 2 посвящена изучения? асимптотического поведения случайных последовательностей со случайными индексами (и прежде всего, случайных сумм) в диагональной предельной схеме. Рассматривается семейство последовательностей (С * *

1 з

2..., со значениями в В. В схеме, которую, следуя ( ), условимся называть диагональной, мы предполагаем существование последовательностей целых положительных чисел {к } таких, что афинно лреобраз ованные с.э. £ слабо сходятся к некоторому

п

С ^ Э . Г) при П-К» .

В § 2.1 роль констант к играют квантили индексов р . В этом параграфе доказана теорема переноса для операторно нормированных и неслучайно центрированных произвольных случайных последовательностей. Основным исходным условием диагональной схемы является предположение о том, что для почти всех по мере Лебега 0,1) имеет место сходимость

В <чГ'(С . ( (Ч)> * П(Я) (п-*>) (2.1)

п п, 1 I ч) п

п

где п( Я) — некоторый банаховозначный случайный процесс. Как и ранее, нас интересует асимптотическое поведение раслределе-ния с.э. £ =0 1(С -с ), где Б еб(В), с Обозначим

п п п, 1' п п п

п

<г (Ч)=0~*1а {q)-c ), р (ч:в)= 0_1В Че(0,1). «еВ.

п г» л п г» по

Теорема 2.1.1. Предположим, что существует измеримый случайный процесс я€[0,1), со значениями » В и такой,

что для почти всех я€{0,I) имеет место (2.1). Пусть для почти

всех qC(O.l) и для всех &€В при п-к» выполнено

Э piq;g), (2-2)

n '

причем функция 0(q;g) измерима.

Если существует с.э. v такой", что при п-хо

£(л:а(л)),а <я) ) * P(n;a<Jt>bv), (2.3)

А

ТО

Сп => Э(я;п(л) )+v (n-KD), (2.4)

где с.в. л распределена равномерно на 10,1) и пара

независима от процесса ri{q).

В §§ 2.2, 2.3 рассматриваются случайные суммы независимых

одинаково распределенных с.э. Пусть {£ — последо-

n j , г>£ 1

вательность серий независимых одинаково в каждой серии распределенных с.э. Пусть (t> } — последовательность цепочислен-

п 1

ных положительных с.в. таких, что при каждом nil с.в. v и последовательность {£ } ^ независимы. Положим Г =€ +-- . + €

nj jil nt

Теорема 2.2.1. Пусть последовательности натуральных чисел {к } ^ , векторов {а } . и {с } {а €В, с и

n п21 n 1 п »¿1 л п

операторов {В } ^ и {D } ^ (Ве9(В), D€6(B)> удовлет-

П nil П л£1 л п

воряют следующим условиям:

(A) В-1 (С -а-) ф г) (л-ю),

n п, К п

П *

где п — некоторый с,э, с х.ф. h(t)f teB ;

(Ij) Существует оператор В такой, что для любого geB

D~1В^ g Bg (n-ют),

(B) Найдутся такие с.в. и и бзна ховозначный с.э. v, что <i> /к ,D~1 (а /к -с )) * (u,v) (п-«>).

П А П Л Л Г» л

Тогда

(C) D"1 (С -с ) * С (п-ко),

1> П

где С с.э. с х.ф. g[t)=К(hU(B*t)ехр{i{t,v)) ], teB* .

Замечание. Теорема 2.2.1 останется в сипе, если вместо условия {В) слабой сходимости пар (f /к ,D '(a -v /к -с >>

л I) Г» П П 1> п

потребовать слабую сходимость каждой иэ последовательностей

(f /к } v . (D~ (a v /к -С )} (условие (В')).

n n nil n n n П n (»¿1

В § 2-3 домазаны утверждения, являющиеся мастичными обращениями теоремы 2.2.1 . Эти утверждения обобиают результаты, полученные Д.Саасом и Б .Фрайером15 , рассмотревшими одномерные случайные суммы центрированных слагаемых. Чтобы подчеркнуть отот факт» для аналогичных условий в данном па раграфе используются те же буквенные обозначения, что и в ( *S )

В этом параграфе предполагаете я , что помимо услови я (1 ), последовательности операторов {В } и {D } ^ связаны

п 1 it n2 1

условием

(12): для любого geB существует такое число N=N(g)<®, что

sup flB^D^gJ 5 N(g).

Вначале рассматривается ситуация, когда имеет место (В) . Обозначим #(£lu,v) -- множество з.р. Н(В) (Вс#, где В - боре— певская а-алгебра подмножеств С) таких, что для х.ф. с.э. С при заданных и и v имеет место представление

g(t)=E<hu(b*(t))exp{it(v)}), (*)

где h(t) -- х.ф., соответствующий э.р» Н(В). Вообце говоря, для н'екоторых с.э. £ w пары (u,v) множество lu,v) может

быть пустым. Например, когда с. в. и являете я вырожденной в нуле, а с.э. v и С различно распределены.

Теорема 2.3.1. Пусть для последовательностей операторов {В } . t {D } ^ (В ,D €в(В)) выполняются условия (I ), (I )

гч nit г» i\2I n n t 2

и имеет место (В'), где Р(и=0)*1. Тогда для выполнепия (с) необходимо и достаточно, чтобы существовала слабо относительно компактная последовательность э.р. {Н } из #(£lu,v), для которой

] im П( О »Н ) 0 (п-ко), (2.41 )

( ) Ц.Саос, П.Фрайер. Одна задача теории суммирования со случайным индексом. - Лит. матем. сб., 1971, т. 11, N I, с.

IS 1-187.

is

где Q (В)=Р(В~ (Ç . -а )€В ) для любого ВсД, П - метрика Леви-

n n п, К п

п

Прохорова.

Множество 7/(Çlu,v) состоит из единственного элемента, если выполняется условие

*

(Т)) : для заданных с. в. и, с.э. v и оператора В из равенства

E[hi(B*t)]Uexp{it(v)} = E[hz(B*t)JUexp{it(v)}, справедливого при всех t£B*, следует

h 1 < В* t î = h2(B*t) для любого tel?*,

где h.(t) - некоторые х.ф..

В это* случае теорема 2.3.1 приобретает более простой вид Теорема 2.3.2. Пусть выполняются условия (I^ ) , (12), (В'), где Р(и=0)^1 и (D). Тогда (С) имеет место тогда и только тогда, когда выполняется (а).

Далее рассматривается ситуация, когда выполняется условие (А), где 17 — некоторый с.э. с х.ф. h(t). Будем предполагать, что P(rj=a)/1 для любого а€В. Обозначим tf(ÇIrj) — множество пар (u,v) таких, что при заданном с.э. т) для х.ф. с.э. Ç имеет место представление (*), где h(t) -- х.ф. с.э. г?. (Какими бы ни были Ç и п» множество Я{ Ç1 п) всегда не пусто, так как содержит пару (u,v): P(u=0)=l, v=Ç).

Теорема 2.3.3. Пусть имеет место (А), где Р(г7=а)*1 для любого аеВ. Тогда для того чтобы имело место (С), необходимо и достаточно, чтобы существовала слабо относительно компактная последовательность пар (u ,v ) из Я(ÇI17) такая, что

L(i> /к , и )->0, ПЮ'Ча -г /к -с ),v )-*0 (п-о) (2.44)

n n n n n n n n n

где L - метрика Леви, П - метрика Леви-Прохорова.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами диссертации являются следующие:

1) В двух предельных схемах - покоординотной и диагональной - найдено взаимосвязь между предельными законами бесконечномерных случайных последовательностей со случайными и неслучайными индексами при операторно;*. нормировке и неслучайном центрировании. Доказаны соответству ющие теоремы переноса .

2) В покоординатной предельной схеме при некоторых дополнительных предполоз:ениях найдены необходимые и достаточные условия слабой сходимости бесконечномерных случайных последовательностей со случайными индексами при операторном нормировании и неслучайном центрировании.

3) При некоторых дополнительных предположениях в схеме серий получены необходимые и достаточные условия слабой сходимости неслучайно центрированных случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных банаховозначных элементов.