Топологические признаки плотности цилиндрических мер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.».

Глава I. Функциональные пространства, связанные с последовательностью независимых симметричных случайных величин.

1. Предварительные сведения.

2. Критерий сходимости рядов независимых симметричных случайных элементов в пространствах if, Z ^ р<°°.

3. Пространства и ^fo > Lf) t

4. Пространства В} и пространства типа Орлича.

Глава П. Достаточные топологии

5. Плотные цилиндрические вероятности.

6. Топологические признаки плотности цилиндрических вероятностей.

V. Достаточные топологии в пространствах, сопряженных к пространствам £{Р.

8. Достаточные топологии в гильбертовом пространстве.

9. Топологии Трв гильбертовом пространстве.

10. Дифференцирование характеристических функционалов и моменты.

11. Сходимость рядов независимых симметричных случайных элементов.

Глава Ш. Некоторые вопросы теории меры в бесконечномерных пространствах

12. Топологические векторные пространства, в которых каждая вероятность плотна.,.

13. Измеримые линейные функционалы.

Обозначения*.

Предметный указатель,

I Литература.

Теория меры в бесконечномерных линейных топологических пространствах представляет собой интенсивно развивающийся раздел анализа, имеющий многочисленные применения в теории вероятностей, геометрической теории банаховых пространств, математической физике, в теории дифференциальных уравнений» Первые результаты по теории меры в бесконечномерных пространствах получили Н.Винер, А.Н.Колмогоров, П.Леви. Н.Данфорд, Б.Ж.Петтис и С.Бохнер предложили концепции интегралов от векторнозначных функций. Своё дальнейшее развитие теория меры в бесконечномерных пространствах получила в 50-е годы в фундаментальных трудах М.Донскера, Э.Мурье, Ю.В.Прохорова, М.Фреше, Р.Форте.

К числу классических задач бесконечномерной теории меры от

U о носится задача продолжения цилиндрическои меры, заданной на алгебре цилиндрических множеств, до счётно^аддитивной меры на порождённой этой алгеброй ^алгебре. Эта задача была решена А.Н.Колмогоровым в важном частном случае, имеющем принципиальное значение душ обоснования теории случайных процессов, и Н.Винером для меры, которая строится в математической модели одномерного броуновского движения.

Необходимые и достаточные условия счётной аддитивности цилиндрической меры были получены Ю.В.Прохоровым для ряда функции ональных пространств, в том числе для гильбертова пространства и пространства непрерывных функций.

Важный шаг в развитии этой теории был сделан в работах Р.А.Минлоса и В.В.Сазонова. Р.А.Минлос показал, что непрерывность характеристического функционала цилиндрической меры, определённой на пространстве, сопряженном к ядерному, необходима и достаточна для счётной аддитивности соответствующей цилиндрической меры* Этот, результат явился положительным ответом на вопрос, поставленный И.М.Гельфандом в р8].

Для гильбертова пространства В.В.Сазонов [2д] построил специальную топологию с этим свойством: непрерывность в ней характеристического функционала эквивалентна счётной аддитивности со* ответствующей ему цилиндрической вероятности. В дальнейшем топологии с такими свойствами мы будем называть ^-топологиями.

A.Н.Колмогоров в [2l] показал, что обобщение теоремы Сазонова на счётно-гильбертовы пространства даёт общий результат, включающий в себя как теорему Сазонова, так и теорему Минлоса.

А.М.Вершик и В.Н.Судаков в работах [15] , [1б] ввели понятие достаточной топологии (т.е. топологии, непрерывность в которой характеристических функционалов влечёт счётную аддитивность мер) и предложили ряд задач, связанных с понятием ^-топологии и достаточной топологии.

В ряде последующих работ рассматривался вопрос об обобщении теоремы Минлоса-Сазонова на банаховы пространства. В.В.Сазонов и

B.Н.Судаков построили примеры, показывающие невозможность её обобщения на любое банахово пространства. Л.Гросс ввёл понятие измеримости норм, которое оказалось плодотворным при изучении га-уссовских мер в банаховых пространствах. В работах Д.Х.Муштари [25], [бб] дано близкое к окончательному описание класса банаховых пространств, в сопряженных к которым существует ^-топология. Этот класс пространств содержит все пространства со свойством ограниченной аппроксимации, которые изоморфны некоторому подпространству пространства измеримых функций, наделённого топологией сходимости по мере. Р.М.Дадли показал достаточность слабой топологии [42]и нашел критерий достаточности скалярного произведения, заданного на банаховом пространстве (43]• Ряд новых достаточных топологий в гильбертовом пространстве был построен A.M.Вершком и В.Н.Судаковым в [1б], Х.~С.Го в [4]. Некоторые достаточные топологии можно задавать радоновыми отображен ниями, теория которых развита в трудах Л.Шварца и его учеников [62]. Достаточные топологии, определённые скалярными произведениями в локально выпуклых пространствах построили О.Г.Смолянов и С.В.Фомин в [зо].

Другой важной задачей является описание слабо компактных семейств мер в топологических векторных пространствах. Ю.В.Прохоров и В.В.Сазонов в [28] показали, что построенная в гильбертовом пространстве топология Сазонова представляет интерес и для этой задачи: равностепенная непрерывность в ней семейства характеристических функционалов влечёт цредкомпактность соответствующего семейства мер. Топологии с такими свойствами мы будем называть Леви-достаточными.

Как мы уже видели, важное значение для теории ^-топологий имеют пространства, изоморфные подпространствам пространства измеримых функций. Такой изоморфизм, вообще говоря, не единственен. В.Н.Судаков в [3l] показал, что гильбертово пространство изоморфно замкнутой (в топологии сходимости по мере) линейной оболочке последовательности независимых одинаково распределённых симметричных случайных величин с любой общей функцией распределения, имеющей второй момент. В работах К.Урбаника, В.А. Войчинского [б4] и Ж.Бретагноль, ДДакуна-Кастелли [40] рассмотрены пространства Орлича, которые изоморфны пространствам случайных величин, порождённым случайными мерами с независимыми приращениями.

В предлагаемой диссертации изучаются подпространства пространства случайных величин. В сопряженных к ним пространствах вводятся новые понятия измеримости (S-измеримость и \м-измери-мость) p-полунормы, которые влекут её достаточность и Леви-дос-таточность. Эти понятия позволяют взглянуть с общей точки зрения на многие известные классы достаточных норм, а также построить новые классы. Имеются примеры (см. Д.Х.Муштари [2б]) достаточных полунорм и R-полунорм, сумма которых не достаточна. Однако сумма измеримых полунорм и p-полунорм измерима. Поэтому топология, определённая всеми ^-измеримыми р-полунормами, является Леви-достаточной „^-топологией. Эта топология существенно сильнее топологии, построенной Д.Х.Муштари в таких пространствах.

Для наиболее интересных случаев введённые понятия S-изме-римости и v^-измеримости полунорм можно сформулировать в терминах сходимости и почти всюду ограниченности частных сумм рядов нека» торых независимых случайных элементов со значением в банаховом пространстве. В первой главе диссертации изучаются условия сходимости и почти всюду ограниченности частных сумм таких рядов. При этом метод изучения, который используется на протяжении всей шавы основан на теории пространств, состоящих из сумм таких рядов: описывается структура, топология, метрика этих пространств, изучаются условия, при которых эти пространства изоморфны пространствам типа Орлича последовательностей из банахова пространства.

Диссертация состоит из трёх глав, которые содержат 13 параграфов. Перейдём к подпробному изложению содержания диссертации.

Пусть В - вещественное банахово пространство, /Г(В)(соответственно L° ) ~ пространство всех измеримых по Бохнеру случайных элементов со значением в $ (соответственно случайных величин), заданных на вероятностьном пространстве lQ.,01) J?) .

Л В) наделено топологией сходимости по вероятности. Пусть^-последовательность независимых симметричных одинаково распределённых случайных величин с общей функцией распределения р . Обозначим через В} линейное пространство, состоящее из таких последовательностей хп 6 $ » что ряд сходится по вероятности. Пространство £*£F) В^ вкладывается в пространство Z-°(f$ ) (элементу £{F}&J ставится в соответствие сумма ряда (X)) и топологию в пространстве f, в} определим как прообраз при этом вложении топологии пространства В)• В случае, когда В — R. ~ множество действительных чисел, пространство £{f? бУДем обозначать через ею .

При Zs р<оо получено описание пространств Lp) и топологий в них (см. § 2 и § 3). В частности, пространство сН

- гильбертово пространство) имеет следующую структуру. Теорема 3.1. Пусть оо

Тогда пространство ^/р, Н} состоит из таких последовательностей РСИ € Н , что оо

7 "(<*»)) = Е г fiix„n)

• и=1 О Г причём топология в пространстве задаётся метрикой tг .

Из теоремы 3,1 следует, что пространство является пространством типа Орлича с функцией Орлича ^ , изоморфным

Lf F - подпространству Ц* , порождённому последовательностью случайных величин р . Б отличие от теории пространств Орлича э и функция Орлича не обязательно выпукла,

В первой главе также найдены условия на банахово пространство В и функцию распределения F , при выполнении которых пространство совпадает с пространство типа Орлича последовательностей в 3 • Функция Орлича & при этом отроится только по функции распределения F • Эти результаты позволили использовать технику пространств Орлича при изучении пространств

В) , В качестве применения найдены условия совпадения пространства & {*F ^ В } с пространством

Теорема 4.2. Пусть банахово пространство В имеет устойчивый тип р , О -< р <• % . Следующие условия эквивалентны:

Са) №,е> б) найдутся такие CLt Cl9x0> о 9 что для каждого х б <=х=>)

С< — i P(xJ -

Кроме того,в главе I рассмотрен ряд обобщений приведённых выше результатов:

1) изучаются пространства рядов (}0 с разнораспределён-ными независимыми случайными величинами ^^ ;

2) изучаются пространства рядов GO, сходящиеся в тополо^ гиях, более сильных, чем топология сходимости по вероятности.

Вторая глава является основной главой диссертации. Она содержит исследования, связанные с достаточными и Леви-достаточными топологиями. При этом признаки достаточности р-полунорм формулируются б терминах их измеримости:

Определение 6.2. Пусть существует - изоморфное вложение полного метрического пространства X в/-? , ^л - щлиндрическая вероятность на сопряженном к X пространстве У , определённая вложением , Т^ - последовательность линейных непрерывных конечномерных операторов в X , сильно сходящаяся к единичному, - p-полунорма на У , непрерывная в топологии Макки.

F -полунорма «^называется S-измеримой (дляjU и Тп )» если для любых е , S > о существует такое натуральное У\ , что для всех У1,

В следующей теореме формулируются признаки достаточности Р -полунорм.

Теорема 6.1. В условиях определения 6.2:

1) 5-измеримая p-полунорма достаточна и Леви-достаточн на;

2) топология , определенная всеми S-измеримыми р-по-лунормами - Леви-достаточная ^-топология.

Понятие £-измеримости полунорм тесно связано с понятием измеримости полунорм по Гроссу (определение измеримости полунорм по Гроссу см. в работе Р.Дадли, Ж.Фельдман, Л.Ле Кам [44*])• Измеримость по Гроссу мы рассматриваем только для полунорм, непрерывных в топологии Макки, в пространствах, для которых имеет смысл определение 6.2 и только относительно цилиндрической вероятности jU .

Теорема 6.2. -измеримая полунорма измерима по Гроссу,

Пространствами, для которых имеет смысл определение 6.2, являются пространства типа Орлича 1 они изоморфны пространству L{f\ ~ подпространству /f, в качестве мы берём Ри - проекторы на первые п координат канонического базиса £ = = {0И} пространства последовательностей т.

Теорема 7.1. Полунорма Я на пространстве измерима

Г . 0 ь по Гроссу тогда и только тогда, когда она S-измерима для хч .

Следствие I. Полунорма Q на пространстве шу S-изме g Г ■ - СгО рима для г^ тогда и только тогда, когда ряд сходится почти всюду в пополнении пространства (l{F}) по полунорме Cjp.

Следствие I позволяет использовать результаты первой главы для изучения S-измеримых полунорм в пространствах, сопряженных к пространствам типа Орлича

Определение. Пусть i-^ P <"00^ g банахово пространство с сопряженным В'» ~ вероятность на В • (I) Вероятность^, имеет порядок р , если 5 llxll рс/и(х) <. в

2) Вероятность jU имеет слабый порядок р, если для каждого у, £ В.

Пусть i ^ Р вероятность /и на В имеет слабый порядок j

Р. Тогда }•/. - полунорма на D . Обозначим через Lp тополоп' , г гию на q , определённую всеми полунормами г lp} р » гДе вероятность jU имеет порядок р .

Как показывает следующая теорема, понятие S-измеримости существенно зависит от способа реализации гильбертова пространства Н пространством случайных величин.

Теорема 8.2. Пусть Z < р < <х>9 функция распределения Г имеет второй момент, <Jp - изоморфизм гильбертова пространстjf г г " ва Н с подпространством случайных величин L t FJ" , f^. - цилиндрическая вероятность на Н » определённая изоморфизмом . Следующие условия эквивалентны: а) функция распределения Р имеет р-тый момент; б) каждая полунорма I* l^u^p » где вероятность^ имеет порядок р ^-измерима для и Р^ •

Из теоремы 8.2 вытекает, что топология ТГр, Z< р^00, на гильбертовом пространстве Н является Леви-достаточной ^-топологией. Топология ТГр строго сильнее топологии ТГ^ , если

Более того, существуют примеры семейств характеристических функционалов, равностепенно непрерывных в топологии 'Lp и не равностепенно непрерывных в топологии 1Г^ , р ^ . (следствие 2 леммы 9.1).

В § 10 рассмотрены бесконечномерные аналоги известной в одномерном случае связи п-кратной дифференцируемости характеристической функции с наличием h-ro абсолютного момента у распределения.

Теорема 10.I. Пусть В - банахово пространство, В - его сопряженное, - вероятность на В •

I) Если вероятность/U имеет слабый порядок Yl-tp, , h^N » i » то её характеристический функционал р у\ раз дифференцируем (по Фреше) в пространстве (В ? I • .

2) Если вероятность^ имеет слабый порядок Л и полунорма I' I и сла(3° непрерывна на единичном шаре пространства В ,

Г>п и то её характеристический функционалjU ft раз дифференцируем(по

Фреше) в пространстве В •

3) Если вероятность U имеет порядок У] , то её характеристик ' отческий функционалу И раз дифференцируем в топологии Lп .

4) Если характеристический функционал вероятности |U. и раз дифференцируем в линейной топологии^на В'» где Л чётно, то то вероятность jU имеет слабый порядок У\ •

Следствие 2. Вероятность |W на гильбертовом пространстве Н имеет порядок П, где У] чётно, тогда и только тогда, когда её хал рактеристический функционал ju У) раз дифференцируем в топологии Ц.

Во второй главе вводится также (вообще говоря более слабое, чем S-измеримость) понятие W-измеримости F-полунормы. W-изме-римость р-полунормы влечёт её достаточность и Леви-достаточность. Изучается связь понятия W-измеримости с понятием измеримости по Гроссу. Кроме того, рассмотрены применения достаточных топологий для описания радоновых операторов, для исследования сходимости рядов независимых случайных элементов со значением в банаховом пространстве, для выделения условий на характеристический функционал вероятности, при которых эта вероятность имеет не обязательно чётный порядок р , О р в

В третьей главе изложены некоторые результаты, связанные с теорией меры в бесконечномерных пространствах. В параграфе 12 рассмотрено обобщение понятия плотности вероятности, а именно понятие плотности вероятности относительно компактологии. Параграф 13 посвящён вопросам измеримости по Лебегу линейных функционалов и продолжимости вероятностей на более широкие (^-алгебры. При этом оказалось, что существенную роль играют вероятности, не сосредоточенные на конечномерных подпространствах. Доказано предложение 13.2): если вероятность ja-на пространстве X не сосредоточена на конечномерных подпространствах и базис Гамеля пространства X - неизмеримый кардинал, то существует ^неизмеримый по Лебегу линейный функционал на X • Для сепарабельного пространства Фреше получено более сильное утверждение (теорема I3.I): существует линейный функционал, неизмеримый по Лебегу относительно каждой вероятности, не сосредоточенной на конечномерных подпространствах. Это утверждение обобщает пример Й.Хоф-мана-Йоргенсена [47Т.

В заключение приведём основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Введены и изучены пространства последовательностей в банаховом пространстве В • При В ~ L,P »

Z ^р <<х>, дано полное их описание. Найдены условия совпадения пространства с пространством с 45) , о<р<*.

2. Получены новые топологические признаки плотности цилиндрических мер: введены понятия. S« и w-измеримости F-полунорм; показано, что классы и w-измеримых f~-полунорм порождают Леви-достаточные S-топологии. Изучены достаточные и измеримые полунормы в пространствах, сопряженных к пространствам & "f Fn} , и гильбертовом пространстве Н .

3. Дано обобщение на бесконечномерный случаи известной в одномерном случае связи дифференцируемости характеристических функций с существованием моментов у распределений.

Основные результаты опубликованы в работах автора (см. А.Н.Чупрунов [34], [35], (Зб], [37]) и в работах автора,, написанных совместно с Д.Х.Муштари (см. Д.Х.Муштари, А.Н.Чупрунов [38^» [39]), причём теоремы 6.2 и 7.1 диссертации получены совместно с Д.Х.Муштари. Предложение 5.1 обобщает теорему Д.Х.Муштари (доказанную для Сг(ос) =• ос? ), Остальные результаты работ [зв] и [зэ], приведённые в диссертации, получены автором.

Результаты исследований, представленных в диссертации, докладывались на Итоговых научных конференциях КГУ в 1982, 1983, 1984 годах, на Итоговых научных конференциях КХТИ в 1978, 1979, 1980, 1981, 1982, 1984 годах, на Третьей международной вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1981), на семинаре "Векторнозначные меры и дифференцирование в бесконечномерных пространствах" под руководством О.Г.Смолянова (МГУ), на семинаре "Гауссовские меры в бесконечномерных пространствах" под руководством В. В.Булдышна (Институт математики АН УССР).

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Физматгиз, 1975.- 351 с.

2. Булдыгин В.В. Сходимость случайных элементов в банаховых пространствах.- Киев: Наукова думка, 1980.- 240 с.

3. Вахания Н.Н. Вероятностные распределения в линейных пространствах.- Тбилиси: Мецниереба, 1971.- 154 с.

4. Го Х.-С. Гауссовские меры на банаховых пространствах.-М.: Мир, 1979.- 176 с.

5. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные случайные величины.- М.: Наука, 1965.- 524 с.

6. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.- М.: Мир, 1971.- 392 с.

7. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича.- М.: Физматгиз, 1958,- 271 с.

8. Лоэв М. Теория вероятностей.- М.: ИЛ, 1962.- 719 с.

9. Муштари Д.Х. Вероятности и топологии е банаховых пространствах.- Рукопись деп. в ВИНИТИ, $ 4264-79.- 241 с.

10. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1977.- 357 с.

11. Судаков В.Н. Геометрические проблеммы теории бесконечномерных распределений.- Л.: Труды МИАН СССР, т. 61, 1977.190 с.

12. Фрёлихер А., Бухер В. Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы.- М.: Мир, 1970.- 168 с.

13. Халмош П. Теория меры.- М.: ИЛ, 1953.- 291 с.Статьи.

14. Бухвалов А.Б. Свойство Радона-Никодима в банаховых пространствах измеримых вектор-функций.- Мат. заметки, 1979, т. 26, №6, с. 865 874.

15. Бершик A.M., Судаков В.Н. Вероятностные вопросы теории меры в линейных пространствах.- Успехи матем. наук, 1962, т. 17, № 4, с. 261 269.

16. Бершик A.M., Судаков Б.Н. Вероятностные меры в бесконечномерных пространствах.- Записки научн. семинаров ЛОМИ, 1969, т. 12, с. 7 67.

17. Владимирский Ю.Н. О некоторых топологических свойствах счётно-аддитивных цил1шдрических мер.- Теория вероятн. и её примен., 1976, т. 24, № I, с. 211 215.

18. Гельфанд И.М. О некоторых проблеммах функционального анализа.- Успехи матем. наук, 1956, т. II, № 6(72), с. 3' -12.

19. Грибанов Ю.И. О полноте нормированных пространств.- Приложение функционального анализа к приближенным вычислениям. Казань: Изд-во Казанского университета, с. 61 63.

20. Горгадзе З.Г. Гауссовские распределения в пространствах измеримых функций: Дисс. на соискание уч. ст. канд. физ.-мат. наук: Тбилиси: НУ, 1977, 104 с.

21. Колмогоров А.Н. Замечание к работам Р.А.Минлоса и В.В.Сазонова.- Теория вероятн. и её применен., 1959, т. 4, № 2, с. 237 239.

22. Круглов В.М. Интегралы по безгранично делимым распределениям в гильбертовом пространстве.- Мат. заметки, 1972,т. II, № 6, с. 669 676.

23. Минлос Р.А, Обобщённые случайные процессы и их продолжение до меры.- Тр. Моск. матем. об-ва, 1959, т. 8, с. 497 518.

24. Муштари Д.Х. Критерий типа П.Леви слабой сходимости вероятностей в пространствах Фреше.- Теория вероятн. и её примен., 1979, т. 24, №. 3, с. 580 585.

25. Муштари Д.Х. О пространствах, в которых выполняются критерии типа Бохнера и Леви.- Конструктивная теория функций и функциональный анализ. Казань: Изд-во Казанского университета, 1979, т. 2, с. 69 82.

26. Муштари Д.Х. Достаточные бохнеровские топологии.- Конструктивная теория функций и функциональный анализ. Казань: Изд-во Казанского университета, 1981, т. 3, с. 64 73.

27. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей.- Теория вероятн. и её примен. , 1956, т. I, № 2, с. 177 238.

28. Прохоров Ю.В., Сазонов В.В. Некоторые результаты, связанные с теоремой Бохнера.- Теория вероятн. и её примен., 1961, т. 6, № I, с. 87 93.

29. Сазонов В.В. Замечание о характеристических функционалах,- Теория вероятн. и её примен., 1959, т. 4, № 2, с. 201 205.

30. Смолянов О.Г., Фомин С.В. Меры на топологических линейных пространствах.- Успехи матем, наук, 1976, т. 31, №4, с. 3-56.

31. Судаков В.Н. Некоторые задачи, связанные- с распределениями в бесконечномерных пространствах: Дисс. на соискание уч. ст. канд. физ.-мат. наук: Л.: ЛГУ, 1962, 122 с.

32. Тариеладзе В.И. Ковариационные операторы вероятностных мер в бесконечномерных пространствах: Дисс. на соискание уч. от. канд. физ.-мат. наук: Тбилиси: Математический ин-т 1^узинокой ССР, 1975, 131 с.

33. Тариеладзе В.И. Некоторые характеризации гауссовских мер в банаховых пространствах.- Труды ВЦ АН Грузинской ССР, 1975, т. 14, $ 2, с. 80 116.

34. Чупрунов А.Н. 0 неизмеримых подпространствах.- Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанского университета, 1976, т. 6, с. ИЗ 116.

35. Чупрунов А.Н. Об измеримости линейных функционалов. -Мат. заметки, 1983, т. 33, J& 6 с. 943 948.

36. Чупрунов А.Н, Функциональные пространства, порождённые последовательностью независимых симметричных случайных величин,- Рукопись деп, в ВИНИТИ, $ 856 82, 42 с.

37. Чупрунов А.Н, Локально выпуклые пространства, в которых каждая вероятность плотна,- Изв. вузов. Математика, 1983, № 3, с. 86 88.

38. Муштари Д.Х., Чупрунов А.Н. Достаточные топологии и нормы.-Теория вероятн. и её примен., 1983, т. 28, JS 4, с.700 714.

39. Муштари Д.Х., Чупрунов А.Н. Достаточные и измеримые нормы.-Звукопись деп. в ВИНИТИ, В 2882 82, 56 с.

40. Bretagnolle J., Dacunha-Castelle D. Application de 1*etude de certaines formes lineaires aleatoires au plongement d'espaces de Banach dans des espaces jP. Ann. Ec. Norm. Sup., '1969, v.4, ы 2, p. 437 - 4-80.

41. Chobanjan S.A., Tarieladze V.I. Gaussian characterizations of certain Banach spaces. J. Multivar. Anal., 1977, v.7, N 1,p. 183 - 203. 42> Dudley R.M. Random linear functionals. - Trans. Amer. Math. Soc., 1969, v.136, N 2, p. 1 - 23.

42. Dudley R.M. Small operators between Banach and Hilbert spaces. Studia Math., 1970, v. 38, Ж 1, p. 35 - 41.'

43. Dudley R.M., Feldman J., Le Gam L. On semi-norms and probabilities and abstract Wiener spaces. Ann. Math., 1971,v. 93, N 2, p. 390 408.

44. Ferniqus X. Integrabilte des processus gaussiens. C. r. Acad, sci., ser. A, 1970, v. 270, N 7, p. 1698 - 1699.

45. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires. -Mem. Amer. Math. Soc., 1955, v.16, p. 1 92.

46. Hoffmann-J/Srgensen J. A weird linear functional on R°°. Preprint N 39 Mat. inst., Aarhus univ.Aarhus: Mat. inst., Aarhus univ., 1971-1972. 6 p.

47. Hoffiaann-J/5rgensen J. Sums of independent Banach spaces valued random variables. Preprint IT 15 - Mat. inst., Aarhus univ. Aarhus: Mat. inst., Aarhus univ., 1972, 89p.

48. Hoffmann-J/Srgensen J. Integrability of seminorms, the 0-1 law and affin kernel for measures. Preprint N 6 Mat. inst., Aarhus univ. Aarhus: Mat. inst., Aarhus univ., 1975. 39 P.

49. Ito K., Nisio M. On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables. Osaka J. Math., 1968, v. 5, P. 35 - 48.

50. Jain N.C., Marcus M.B. Integrability of infinite sums of independent vector-valued random variables. Trans. Amer.Math. Soc., 1975, v. 212, N 1, p. 1 36.

51. Kwapien S. On a theorem of L. Schwartz and its applications to absolutely summing operators. Stud, math., 1970, v. 38, N 1, p. 193 - 201.

52. Nguen Duy Tien. Sur le theoreme des trois series de Kolmogo-rov et la convergence en moyenne des quadratique des martingales dans espace de Banach. Теория вероятностейи её применения, 1979, . 24, N 4, с. 79^ 807.

53. Puri i.l.L., Shey S.S. Realization of spaces of random variables. Appl. Anal., 1979, v. 8, N 4, p. 337 - 347.

54. Ramachandran B. On characteristic functions and moments. -The indian journal of statistics, Sankhya, Ser. A, part 1,1969, v.31, N 2, ' p. 1 12.

55. Rosenthal H. On the sub spaces of I? ( p?" 2 ) spanned by sequenses of independent random variables. Israel I. Hath. 1970, v. 8, N 2, p. 237 - 303.

56. Schwartz L. Suite de 1' expose iM 24 et theoreme de dualiteen situation generale; complement. Seminaire Laurent Schwartz, 1969-197O, exp. 25.

57. Schwartz L. Probabilites cylindriques et applications radonifiantes. J. Рас. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, 1971, v. 18, M 2, p. 39 - 128.

58. Sztencel R. On boundedness and convergence of Banach space valued random series. Probabilty and mathematical statistics, v. 2, К 1, p. 83 - 88.

59. Urbanik., Woyczynski W.A. A random integral and Orlicz spaces. Bull. Acad. Polon. Sci., 1967, v.15, N 3,p. 161 169.

60. Vakhania N.N. Support of Gaussian measure in Banach space. -Nagoya Math. J., 1975, v. 57, p. 59 63.

61. Woyczynski W.A. Linear processes generated by independent random variables. Proc. Amer. Math. Soc., 1977, v. 34, N 2, p. 5'I5 - 520.