Закон больших чисел для взвешенных сумм случайных элементов в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

11 а и

ВИЛЬНЮССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На прааах рукописи

ВОЛОДИН АНДРЕЙ ИГОРЬЕВИЧ

УДК 519.21

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ВЗВЕШЕННЫХ СУММ СЛУЧАЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая

статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВИЛЬНЮС -1990

Работа выполнена в научно-ийследовательском институте математики и механики им.Н.Г.Чеботарева-при Казанском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им.В.И.Ульянова-Ленина.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Д.Х.Муштари.

Научный консультант: кандидат физико-математических Haj

А.Н.^фпрунов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Л.И.Cayлис,

- кандидат физико-математических нау К.А.Любинскас.

Ведущая организация: Ленинградский государственный

университет.

Запита состоится "Л1"....декебра.....1990 г. в 15 часов на заседании специализированного совета Д 061.01.06 при Вильнюсском университете по адресу: 232006,г.Вильнюс,ул.Hayгардуко 24,факультет математики,ауд.101.

С диссертацией можно ознакомиться в- научной библиотеке Вильнюсского университета(уя .Университето,3).

Автореферат разослан . £ £г'Г.. 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 961.01.06 ~ доц.П.С.Вайтиус

\t

/

i

ОРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Расширение области прн-екит'.ости закона Сольккх чисел является, но существу, расширением власти возмогших приложения теории вероятностей. Раэлг'ные вари-нта закона больших чисел в банаховых пространствах били получены,

ой, В. А.Войчшским, К.А.Маркусом, Р.Тейлором, Т.А.Азларовнм, H.A. ¡олодиним, А.Шангуа, Р.Норвайшей. Существуют Д-л подхода к распро-:тракекию закона больших чисел на случайные величины со значения-га в банаховом пространстве случайнее элементы :

1) на множестве всех центрированных случайных элементов вводится нор:ла и показвается, что класс всех случайных элементов, У1Я которых справедлив слабый закон больших чисел,есть банахово зространство относительно этой iiopva, - именно так устаппвливаст-:я необходимые к достаточные условия выполнимости слабого закона Зольших чисел н произвольном банахово^ пространстве;

2) используется геометрическая теория банаховых пространств, позволяющая формулировать условия справедливости закона больших чисел в терминах моментов.

Возможности этих двух методов далеко не исчерпаны; pi..iee они применялись только к закону больших чгсел Маршшкевича и к центральной предельной теореме. Поэтому важной является задачз распространения этих методов на другие схемы суммирования. Актуальность диссертационной работы состоит не только в сукествекнбм расширении области применимости закона болняи чисел, но л в распространении указанных методов на новчЯ класс задач: законы больших чисел- для Езгешеннкх сумм независимых банахсвозкачннх случайных элемент оз при различных условиях на взвеси.

яавным образом, в конце 70-х п в 80-х годах А.Беком, А.де Акос-

Цель работы. Установление законов больиих чисел для взвешенных суш независимых центрированнюс случайных элеыен тов. Нахождение условий, эквивалентных слабому закону больших чисел для взвешенных суш в произвольном банаховом пространстве Характеркзацкя классов банаховых пространств, в которых выполня ются некоторые законы болыгах чисел.

Общая методики. Применяются методы функционального анализа, в особенности, геометрическая теория банаховы пространств. Инструментом доказательства законов слукат вероятн стные неравенства для супа; случайных элементов, в частности, зк поненциальные неравенства. Обобыаются методы доказательства зак нов больших чисел Карцкякевича.

Научная новизна. Получено описание класса случайных элементов со значениями в произвольном банаховом прос ранстве, удовлетворяющее слабому закону больших тасел для взвешенных сумм. В пространствах устойчивого типа изучен закон боль ыих чисел относительно более сильнойчем почти наверное, сходимости, Введен класс В ^ -выпуклых пространств, обобщающий Ъ-выпуклые пространства Бека и В р -вкпукже пространства Шангуа. П( лучено описаете В^ -знлуклкх пространств в терминах законов б< лызих чисел для взвешенных сумм.

Практическая ценность. Работа носит 1 оретический характер. Результаты работы можно использовать для 1

кения ряда задач математической статистики и функционального ан: #

якза. .

Апробация работы. Результаты диссер?а;зш докладывались на 5-ой международной Вильнюсск'ой конференции по а срии вероятностей и математической статистики (, 1989 г."), на 2-ог. международном конгрессе по теории вероятностей и математической

;татистикя общества Я, Бернулли в Упсале ( Швеция ) (.заочно, 1990

Всесоюзной конференции по предельным теоремам, посвященной '0-летию академика АН УэССР С.Х.Сираядиноьа в Ташкенте (1990 г.) , ¡тогоьнх научных конференциях Казанского университета С1935-1989 ■.г.)', а также на семинаре по распределениям в банаховых лростра-:ствах под руководством профессора З.И.Паулаускаса в Вильнюсском •ииверситете С1983 г Л , на семинаре по теории вероятностей под уководством академикачАН УССР А.В.Скорохода и профессора ¡0.1.Да-ецкого в Институте математики АН УССР (2989 г.)., на семинаре по еории вероятностей и математической статистики под руководством кадемика.Й.Я.ДусЗилвса в Вильнюсском университете С1990 г.) л не-днократно на секккаре по распределениям в банаховых пространст-ах в НИИ математики и мехашнш им. Н.Г. Чеботарева при Казанском гаюерептете (19-35-1990 г. г.) .

Публикации. Основные результаты диссертации опуб-ккованы в четырех работах автора, список которых приводится в онце автореферата. _ ■ ■ *

Структура к объем диссертации, кссертааии состоит из введения, двух глав, разбитых на ? параг-афов, заключения и списка литературы. Общий объем - 109 страниц, писок литературы содержит 141 наименование^

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

' Всюду в-дальнейшем (Е,Ц- !1) - вещественное сепарабельное анахово пространство, (Л,*?,вероятностное пространство, . 0 ( Е) - мноя.естш сиг*-но измеримых отображений К*. Л —1- Е, азываемых случайная? элементами; случайными неличкнаки бурут назваться кзмер:::/.ь:е отобт-гкенкя £ : ~Я- .

■ Пусть ( X последовательность яез&висниых' кептркро??}!-

ных случайных элементов. Положим Тп » XI а» (й^Сп

1 & 4 & двойная последовательность вещественных чисел,

называемая взЕесью. Как обычно, 5П означает сумму первых п членов последовательности Если (Х^.-)^3 - независимые коне

X . то используется обозначение ТП(Х) .к вместо Т„

и £п.

»о

Скажем, что последовательность случайных элементов (.УгИ ^

стохастически ограничена, если {¿ф I? I и У

-I гл

Для сокращения формулировок утверждений главы I введем следующие множества случайных элементов:

= \.Хе1»0(.Е)\Х центрирован и Тп 00-»• О по вероятности при п -»•«» },

V/ И* N р СЕ") « [Хе и0(Е)1 X цеитриров я и б^Сх^/п^-®.<

по вероятности при п -ъ 1 < ^-с. 2, то есть множество сяучайн! элементов, которые удовлетворяют слабому закону больших чисел Ма; цинкевлча,

(.£)=■ 1>0СЕ)\Х центрирован и последовательность - ( Тп СЯ") стохастически ограничена},

ЬЬ-^СЕ^- { X е I»0 (_Е)\ X центрирован и последовательность

«о *

(й^оО/г^Л')^ стохастически ограничена}, 1 ^ (>¿2,

Перейдем непосредственно к изложению содержания диссертации, Во введении обсуждаются результаты работы и указывается их место среди аналогичных исследований,- в основном тексте диссертации приводятся только формулировки утверждений и их док^зетель-

» СТЕО.

В первой главе реализуется подход 1} к' изучению закона боль-иих чисел. В произвольном сепарабельяом банаховом пространстве

тодятся необходимые и достаточные условия выполнимости слабого закона больших чисел С§ 1.2) и стохастической ограниченности (§ [.I) взвешенных сумы независимых одинаково распределенных центрированных случайных элементов. Иными словаки, дается описание кланов WLUNftlEi и 5ЪЛС£), При этом коэффициенты опре-

<кз

1еллотся числовыми функциями (a^ t-t)j^ ^ (. йо): —> IL ,

ja которые накладываются некоторые'предположения, выбираемые из следующей группы условий. Для всех ^

(О функции 1<Ц-„(ЛН монотонно убывает и Ълх\ а ^ (t) - О: [i i) существуют такие полохптельнне монотонно убывающие функции

. <х>

С'ЦД^'р что для всех t 5 I Ca) I a^ttnH W [ a^OVH при любом n с-jf, CS) существует такое U> I, что t^(Lt)» Э ifc (.-fc). Обозначим через Ctl целую часть,"t Lv-Z) и введем функции

•fit)- К( max \afe(A)l, тя.«)» </min (.t). fcitW fcfittj

как мы имеем дэло с законом больших чисел, то естественно на-южить следующее условие

tü) интеграл $ te-lt) t~ dt сходится, Л .

CS) существуют такие p .4. 2 и А > 0, что ^C«) > А , В § 1.1 изучается пространство S'bo.tE). Приведем основной >езультат параграфа. Для центрированного едуча;-дсго элемента X голожм AaCK)-= £ \lTnOOU и определим пространство

5Ъa <Lc) - {X е L0 С t)\ X центрировал и ^ которое

является бакзхо.ъы:.-; с коркой Устанавливается ( следствие

•еорсмы d.i.'I.) , что >сле эзвьск ск удовлетворяет услогстяк U);

СО

(ii), íiüK®)» T0 SbaCE) « SBa С E).

В § 1,2 находятся необходимые кдостаточные условия справедливости слабого закона больвих чисел для взвешенных сумм независимых одинаково распределенных центрированных случайных элементог при условиях (t)>(ii)C&) и LH i) на взвеси. Доказывается ( теорема 1.2.3), что пространство W LLHcxtE) есть замыкание пространства всех простых (^принимающих лишь конечное число значений) центрированных случайных элементов по норме Л а СО в пространст

ве S СЕ). Зтог результат является аналогом известного утверждения Г.Пизье (G.Pisior. Lo theoretae de la limite centrale et le loi du logarithme itera dans les овраге в de Bariach // Seminare Kaurey-Schwartz,.- 1976-1977.- exp. îi Iil-IY) в случае Центральной предельной теоремы и закона повторного логарифм.- и обобщает результат Р.Норвайаи (Р.Норвайша. Закон больших чисел в банаховом пространстве.- Кандидатская диссертация. Вильнюс, Ï984.- И1 е., теорема II.Ï.Ii) о законе, больших чисел Маршшкевича. . .

В § i.S результаты, полученные в предыдущих параграфах, применяются к случайным элементам, , представимым в виде некоторого ряда. Сперга рассматривается закон больших,чисел для взвешенных суш независимых копий случайного элемента, задаваемого в виде

■ о®

суьыы сходящегося п.н. ряда Х= "XI г}} в котором Ccc¿) - элементы Б , Crç.0 " независимые центрированные случайные величин! Отметим, что не требуется одинаковой распределенности

Перед формулировкой результата введем следующие обозначения. Пусть симметричная случайная величина, модуль которой1 имеет

* - во

распределение Вейбулла с параметром О и С ^^ t), - независимые копки fa а. •

Теорема i.3.l. Пусть взвеси а удовлетворяют услошям (i),tit)

«о

(ИЧ) и X. - XL Если существует такое S : 2>&>f>

Счисло р взято из условия CUv, что СО* ряд 7Z. Э^

сходится п.я. при v\/s . Т? i > fb к о it'*)

\

при -t ГО X i W UU N.O. СЕ),

Во второй половике § 1.3 рассматривается закон больших чисел Марцинкевича в пространствах L ^ . Пусть - канонический ба~

зис н \\-ft су - обычная норма в пространстве

»о

Теорема 1.3.2. Пусть I 2, и X — ¿—ХЛе^ - сим-

метричный случайный элемен&о значениями в . Рассмотрю/! следующие, условия:

Оо

X СЕ U^Y*7* ^ i-1

С2) ±9 "g \_UXW О ,

сз) $<*? tf в i uxu А/ «о .

t> о '

Если выполняются (I) к С2), то X « Если' выполняются

(Я и сз), то X <=

В последнем §'d.4 главы I рассматривается проблема мультишги-'каторов. Пусть У. принадлежит определенному, связанному с законом большх чисел классу случайных элементов," и случайна! величина | не зависит от К . При каких условиях на £ случайный элекеиг ^ X принадлежит -тому же классу, что" и X ?

Предложение 1.4.1. Пусть t б WLLH^CE), 2. Если

TO ^Х feWLUMpCEV

Предложение 1.4.2. Пусть X е- в "Ь^ CS), i Ä'|> & 2. Есля вы-

- -

полняется О) , то ^Х 6- -р (£).

В главе II диссертация изучается законы больших чисел для взвешенных суш независимых, не обязательно одинаково распределенных симметричных случайных элементов в банаховом пространстве устойчивого типа , 2 -р-с 2. Реализуется подход 2) к доказательству законов больших чисел. На случайте олементы накладывается ыоментные условия и устанавливается боле:., сигъгая, чем п.и. сходи?.:ость взвешенных суш.

В этой глазе не предполагается, что взвеси о. задается некоторыми функциями, как в главе I, - под взвесью о - (£<;«5П, п понимается та:сая двойная последовательность вещественных чгсел, что '

у(пУ^^т««. I а ^ Сп->\, -ге^ 1а^ст1

есть возр§стаэдие последовательности. Будек обозначать через такук лозрастащую функцию 1Д.4" что ЧЧ^С«^ =• п для всех

г» Наконец, скахем, что последовательность случайных зл^ен--тов СК^) стохастически доминирует ся случайной величиной ^(обозначение СХ^Ч ^ ), если для всех "Ь > С

къ 4

В § 2.1 изучается полная сходимость взьеиенних сумм случайна элементов. Последовательность случайных элементов СУп) сходится к случайному элементу V , если для всех о 0 сходится

»э

рад "М

Теорека 2.1 Л. Пусть существуют такие ^ : I ^ р ^ 2 к Г > 0_,

что У (.п^ГК^Р для всех \nfciT , Санзхсво пространство £ кмеет устойчивый тип р и независимые, екг.метричнь'е случайные элеглектк Тогда ^ля всех р(Е)/(р(|=)~р), гле р СЕ) =

- и -

е имеет устойчивый ш ^ , и ^ О

со

В § 2.2 устанавливаются условия более сильной, чем г.я. сходимости взвешенных сумм случайных элементов со значениями в банаховом пространстве устойчивого типа •р . Эта -сходимость вводится следующим образом: для возрастающей непрерывной функции \ : ТК1--^ iCob

О' случайных элементов СЧП). и У последовательность Vn->Y в {■ , если £ 4 ( vu-p i j при

• ' Обозначим & f = {4; 4 (.o)=o> £ полуаддитивна, воз-

растает и существует <ь -с-р с i i W t" ' At ¿<х>].Скахеы, что

1 л

взвесь a fe F.p , если соответстзупгая последовательность *fe(tftm) является правильно меняющейся последовательностью с параметром

А/л, то есть Ч(п) причем $ллг\ LCmn) /L Cn) = 4

для всех m е iT

• Теорема 2.2.1. Пусть Сагахово пространство Е имеет устойчивый тип , i -t <р ^ 2, взвесь F^, С^Ч«) - независимые симметричные случайные элементы с СХ^.) 4Тогда из Е<К?;) с оо следует, что 0 в ПРИ

3 § 2.3 обобщается понятие В -выпуклого пространства Х.Иеки и Ъ-р-выпуклого пространства А.Шакгуа. Устанавливаются усиленные зачова больиих чисел для взвешенных сумм случайные зл;ментг.з,свч-

оо

заннье с гтим обсбщещюм. Пусть = (УСп")) ^ - возраст ащая тосле-

доЕательяссть подохитгльшис чисел, £. •> 0 и ^ Нормированное пространство Е назовем г)грыпУкли'1« е<?ли юбкх

а; , ... , €■ £, Й'гс;^^ < , ' кожно так расставить знаки ±л чтобы имело не сто неравенство Ц±ос,±.,.±.ас^(,\ л (.(-£•) 'з'сЦ).

Пространство Е назовем "Ву-выпуклым, есл! найдутся такие

0 и 2, что & будет -выпуклым.

Отметки несколько элементарных свойств "Б# -выпуклых пространств. Если пространство Е ("5,К>£)-выпукло, т.

1° для люЗого 0 ^ 5 <-г, пространство В К 5)-выпукло, 2° его пополнение -Еыпукло,

3° дабое его подпространство -внпукло,

4° его второе сопряженное (4,1?, е) -выпукло, С>° существуют такие ^ I и что для Л!Сбой возрастаю-

щей последовательности эг. с для всех лб>Г про-

странство Е будет Саг,ЦБ) -выпуклый,

Крейде, чем сформулировать теорему, характериэувдуж В^-вы- ■ пуклые пространства черва законы йолылис чисел для взвешенных .сукм,-отметим, что н& последовательности Ч и , соответствующие ззвеск а, . будут накладываться мультипликативные условия ■ следующего типа.

Пусть X = С1 СпУл) - возрастающая последовательность вещественных чисел.

Условие С А) . Ъ С г» ту* "4 Ст} для всех ., Условие ■ существует такие М> I и Ъ > -I, что для всех пс-Ы" 1у СНп5

Для последорательности X введем слелуггдие характеристики:

оо Су

П=И и» г.

Теорема £.ЗЛ. Рассмотрим слеяухеие утверждения: (I) Е имеет.ус.ойчивый тяп , 1 ■<- р-с 2,

для всех взвесей а 'из Е слеяует, что"Гл-*о

гг.н., каковы бы ни были независимые симметричные случайнее элемента С:< и")-О;

утверждение (.£) выполняется хотя бы для одной взвеси а

п

СЗ) для всех взвесей а сумма "2И рд. Сп) -> о по вероятности при и о», каковы бы НИ дыми ос (.. £ 2> симметричные беряулкезские случайнее тэиличины),

Сз') утверждение (.3) выполняется хотя бы для одной взвеси а, (4) пространство £ "Ь-^,-выпукло. Если удовлетворяет услопга (А) и -рС^) , ю Ш если -се удовлетворяет условию (.Ъ) , то СзО-> если аз. удовлетворяет условию С А) и -р^^ае), го ¿4) наконец,

очевидно,

(2) =£> (2')

С помощью теоремы 2.3.-1 можно доказать ряд свойств -выпуклых пространств, не столь тривиальных^как 1° -

6° Если удовлетворяет СА> и СЬ) . то следующие утверждения эквивалентны:

(Г) пространство иг/еет устойчивый тип -р - "р^, £.2) для всех независимых симметричных случайна элементов (Хц)А -¿£из £ Ч"(1)-!. оа следует, что £> п / УС^.-ьО п.к., (3} пространство Е- Ъу -выпукло.

Обозначим { ъЦ ц

1 ¿1

7° Пустьудовлетворяет условию СА)' • Пространство Е Ь^ -выпукло тогла и только тогда, когда А^С^ 1 —при

8° Пусть и 'Е2 - нормированные пространства, "К : —з> Е?г - линейное ьёпрервнсо и открытое отображение, £<| является 1> 5-выпуклым и удовлетворяет условию (А) . Тогда В-Ог^сЕ^) -выпукло.

ОСНОБНЬЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНССИЙ1Е НА ЗАЩИТУ

1. Установлена необходимые и достаточные условия выполнимости слабого закона больших чисел для взвешенных сумм независимых одинаково распределенных центрированных случайных элементов со значениями в произвольном банаховом пространстве.

2. В пространствах устойчивого типа р полу .он» законы больших чисел для взвезенных сумм в терминах более сильной, чем п.н., СХОД.ЧМОСГИ.

3. Найден класс банаховых пространств, который характеризуется законом больших чисел для взвесенних суш; это - специальные обобщения пространств А.Бека и А.Ыангуа. \

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю Дакияру Хамидовкчу кустари и консулЕТанту Алексею Николаевичу Чупрунову'за полезные обсуждения к внимание к работе.

, 'РАБОТЫ АВТОРА, ЬШ0Л1ЕЫНЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Условия стохастической-ограниченности в банаховых пространствах.- Казак1 . 1937.- 19 е.- Рукопись депонирована в ВИНИТИ 10.12.8?, В 865I-B8?.

2. Ограниченные по вероятности последовательности случайных элементов // Материалы итог. науч. хон$. Казанского ун-та за 1937 г. Естественные и точные науки краткое ссдеряа.чие докладов ; Казань.- 1937.- С.9. .

3. Сходимость взвешенных сумм случайных элементов в пространствах типа ^ //Изв. вузов, [«атекатика.- 1920.- )Ь 10.- С.30-12.

4. Ов the law of large пияЪега for weighted aima of ran don elements in p-type в p roe a // 5-ая мезщународная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистики;' Тезис:: докладов.- ВКлыиэс, 1939.-'С.2£6-217. . . • •