Тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов Дирихле и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГБ ОД

"V. А!

институт МАТЕМАТИКИ имени В. И. РОМАНОВСКОГО

У АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

На правах рукописи

КАРИМОВА Мухаббат Мамуровна

ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ С ОСТАТКОМ ДЛЯ КРАТНЫХ ОБЩИХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Ташкент — 1994

Работа выполнена в Душанбинском государственном педагогическом университете

Официальные оппоненты: член-корреспондент АН Узбекистана, доктор физико-математических наук профессор Ш. А. Алимов

доктор физико-математических наук профессор М. И. Исраилов

доктор физико-математических наук профессор М. Ф. Тимьн

Ведущая организация: Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Защита диссертации состоится « В » 1С К' I) Я 10Д4 г.

в _¡0 ч. на заседании специализированного совета

Д 015.17.21 в Институте математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан

Автореферат разослан » Я 1<ЗД4 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических

Актуальность тв"к. ОД<>рсимг ггорв'и или те^ре«»« г чуба рое» тит по."(пились п с«лкп о теорией су>'"иррм»шя рчсхилпщихсп рядов Никакой ».«егод не п силпк су»пчцюочть слшгкоч быстро рпсходя -

щиеся рякп ил к слтккеч мпдтенми рясхоцфцигчгя ряда. Гйорпиц. а которых оеучгстнлпотсп стот прип'лпп, тэннятеп тйррочячи тп.у-бспор'т типа.

В Ш97 го.пу матчычтик т Д.Таубер утпрркдпл, что ччт

гп-о

схо дится при |х| с 1

Игл - 5

Х-1-0

гпат — о, т —

»о

ТО У ат СХОДИТСЯ К Б

т-о

Прямое обращение известной теоремы Абеля' о непрерывности

степенного ряда: ^

если ^ ' сходится К ' Э , то т*о

од

Е1т У 1*1-0

0 т=о

не всегда пернэ. Оно верно лить при определённых огрчничениях,

*

нзклчднгяеьцу. на общий член ряда, т.е., при выполнении так ня-зывпсимх некоторых тяуберовнх условий. Условие ГпаГП-,-0 ня-яывзетсл тя^бороРЫ"-'. •

Тоорр'-ч, где по эадянной псимптотике рядя ^ Ощ Хт

I г, ГП = 0

при X — 1-0

находится асимптотика

T Qm , П --m^n

ири'оп^-.цилёшшх 1'а.убероьих условиях мазыьам-(.к иуберошин 1fcO(MlMSMH дик. СТвЯВНШХ рядов.

v2" ~> 0' ..

'плреш, где по заданной исимототике / (1ц> Ч 4 ь • и IIUXOUW'ICH асимптотика

2, Q|» • ,п ' ~ > ~

А in*а:

при определён! ¡ш: т^уОерових условиях наайьаыгеи iворемами rayOt рова тнш» для общи»; рядоь Дирихле.

. b iyüV гиду тауберова теорема для общих 1>лдоь ^доьхль Сил* докаааш Ландау : если

ГГнО

сходится при £Г> 0 0.т - ьвщесгвенш

^о^о, Кт , \„.—при m

F(cr) —- S при (г-~ '0 uj

ат о ' Агп-'

Х,„ 1 ' СЗ),

чо ряд ^Г ат сходится.« S

mío •

la.'/бероЕо условие (J) тем сильнее, чем медленнее A m — о»

так Qm^rOÍ"-) . , ;

\ ш' ,ьсли I П) = ш ;

i

• В í910 году Яиттльвуд доказал теорему предодуц^ую,

заменив условие (3) , условием

"Л™ / * < »>

b 19И голу Хпрлч и Литтльвуд докидали recipevy

Лпп.юу, зяг.'оннр условие (3) одностороннем тчуберог'ии услсисе'/

a,n' !1° \т > . U) >

примем Хтл{ - Л.tri

• ib)

Литтльруд укзэнввег, что теорема его верни и (;ео усло-

вия '(;). Однако, докялятельстро этого моментя в J9«"tt году onytí-лккорчй muíppup Анпндп-Гяу Пример , иоиааврянчвий необхо-

димость у с. поит ((Л при док»л"!тельстре теоресы с уелорием (С>) щлшядлеямт Аншпд-Гпу . В ]Эс9 году 0. Szasz и Лняндч-F«y докяэплч, что если

оо

2a..,e"*4,ír ~ -¿г; J-^0, О^О,

го Am необчопимо удовлетпорчет условии» (Б) . Это условие tu И'-" существенную роль при получении тнубероемх теорем с ociar K'j г1. В I'930 го 0. 5 К US?. до к a w л : е с л и

Jo^e-^ — S, сг--.о.

171-0

tiHU'i.'lHi-MIO 1,0) г.

fim atn?0 , (7)

то ряд 2 ат сходится к 5 .

я'Г-Ъ

Эта теоро'.'я содержит и себе ,г?срему Хорди-Литтльвуда .

li:v'i.4b'!tf\ угл-.'РКЯ 15) и (6) влекут {?) .

В 1'-< 10 году Раетягскал доказал геореиу с еуглдкро

ианьем Рис с а первого порядка: с-г.д«

I

аЯ1е"*та" — 5,

т-о 0'---О

II ш п о л на ш условия (Ь) и 16) , ча

« , а-»

(11 »в

В 19Ы году поаьилась монография Г.Харди " Расходящийся ряда ", где иало&еш классические таубйроьы геореин. Подсчет осгыков к ним изучен М. А .Субханкулоьыы. Получение основных ре-аультотоь здесь связано с методом Кира»<ата, усове рые1 ю -г вина ¡шин А.Г'.Иостиикоьич, Г.4рийдом, Я.Норуьаарои, М. А .Субхыпк^лошн. А.Г.Постников .усовершенствовал метод, используя равномерное приближение алгебраическими полиномами Мах-од Карамата-4фойдч-Корзьаарг. основан на I прибялжьмие функций алгебраическими полшюиани с учетом быстроты приблиис-нин и величины суимц модулей коэффициентов апнрокситфулщих полиномов. В этом направлении работы А.Г.Постникова Г.Фройда/Н.Кореваара поящий лись в пятидесятые годи одновременно. В ник и а работах М.А,Суб-> ханкулсва обобщены и уточнены классические '¡чуо'еронц теореш Литтльвуда и Харди-Лигтльвуда.

'Гауберовы теоремы 'находит применение в различных областях математики и приводят к весьма глубоким ^¿зультатам. Точность многих асимптотических-форму а, нар'ример', в теории чисел, а гармоническом анализе, спектральной теории., математической физике, теории вероятности и теории .дифф^ренциалинах .уравнен;;": зависит от точности'остатка применяемых для этой цели тауСерошх теорем.

Если в геораие условие на сумцу ряда накладывается в некс. -торой комплексую Я обысти, то её: называют-комплексной тауберовой теоремой. Первая комплексная георема с остатком для степенных

рндов была нолученя А.Г.Постниковым в 1961 году.

В 1964 году М.Л.Субханкулов впервые получил результат с остатков для обобщённых рлдоэ Дирихле в комплексной области ( од -мерный случаП ).

Сравнительно мало иссл¿догола тауберовн теоре"ы с остатком для рядоя Дирихле прячем дпп кратных общи* рлдоп Дирилле эта теория вооб^ не рассматривалась.

Дпойкш рядпч посзященя монография А.И.Янушяусклса " Двой -1Г23 ряды " , изданная в 1980 году,

Лбсолотняя сходимость кратных рядов Дирихле рассмотрены в известиях статьях В.П.Громова " К теории кратных рядов Дирихле " .

Многомерным тяубероил« теоремам посвгацены работа Г.Харди, И.Диттльвудя, К.Кноппа, Г.Деланжя, Дурчноня Ведия, В.Г.Челидзе. М.Ф.Тгмяна, С.Б.Топурня, В.С.Владимирова, Ю.Н.Дрожжиновя, В.И. Завьялова, Монография В.С.Владимирова, Ю.Н.Дрожжиновя и Б,И. Завьялова " Многомерные тауберовы теоремы для обобщённых функций " внесла существенный вклад и явилась принципиальным сдвигом в »•ногомерной тауберовой теории.

Однако, пшеукаэвкные работы совсем не касались войросов , связанных с остаточтеми членами в многомерных тауберовых теоремах. Теоремы Харди-Литтльвуда, Кнопт, Дуранона Ведия-, Дзланжа выделяют только главный член роста искомой асимптотики и не содержат никакой инфоргоции о порядке отклонения искомой величины от главного члена асимптотики.

Вот эти трудные вопросы изучаются в исследуемой работе.

1яуборош теоремы с остатком для кратных обобщённых 'рядо» Дирихле впервые рассмотрены в 70-е года автором и некоторые

из огих результатов доложены на семинарах М. А. Субханку »ом.

Таким образом, актуальность те «и обус;>...ьлош разработкой теории таубероьих теорем с остатка« для кратных общих рядов Дирихле кок а действительной так и в комплексное! областях , тем более тауберовы теоремы с остатком в настоящее время находят все большее пр1*»<еисние и различных областях: математики и приводят к весьма глубоки»' результата«; точность многих асимптотических формул зависит от точности остаточного члена , приме няемых для стой цели теорем тауберова типа.

Цель работы. I. Построить теория таубероаих теорем с ос

татком для кратных общих радов Дирихле.

2. Получить действительные тауберош теорем с остатком для интегралов Стилтьеса к-кратных общих рядов Дирихле.

3. Получить двусторонние и односторонние комплексные тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов Дирихле. Исследовать тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов Дирихле при средних Рисса целых неотрицательных порядков.

5. Получить тауберовы теоремы со степенной функцией в главном члене роста.

6. Дать применение полученных результатов к цратны*» рядаг Тейлора-Дирихле.

Метод исследования. В реферируемой работе получены действительные и комплексные тауберовы теоремы с остатком и их при -ложения.

-у

Для изучений действительных таубероеых теорем с остатком автор применяет метод, основанный на Ь ,. приближение функции даух переменных алгебраическими полиномами, где учитывается

быстрота приближения и оценка модалеП 'коэффициентов пгснроканч'р рупщего почино"*. Этот метод получен авторе» и тпуберовой мп -тематической школе М.Л.Субхлнкулова.

При исследовании многомерных комплексных тауборовы.к теорем с остатком использовался метод обобщенной формулы обращения интегрального преобразования , полученный автором при помощи меюдов теория функции комплексного персенного.

Научная новизна . Основные новые научные результаты.

1. Получены действительные тпуберови теоремы с остатком для ■ кратных интегралов Стилгьесо, для крптшх общих рядов Дирихле.

2. Для кратных общих ге.'дов /Дирихле доказаны комплексные тоу ■ беровы теоремы с остаткам

3. Получены односторонние тауберовн теоремы с остатком. Найдены оценки су»дг» коэ[фщкентов кратных общих рядсз Дирихле, оценки сумм коэффициентов рядов Тейлора-Дирихле, оценки сучи коэффициентов кратных рядов 'Тейлора-Дирихле.

'1. Доказаны комплексные тэуберовн теоремы с остатком при ри -сопсхих средних целых неотринятельтах порядков, &чни приложения этих теорем к кратным ряда» Тейлора-Дирихле. Приведет сравнения полученных результатов с реэулгга класс; ;ких тяуб< ропых таорем. >. Исс'.'еяовпт» теоремы типа Тяубера при средних Рисса со сточенной ¡{уикиией в главном члене роста для общих и крчг'чх о обк-.их рядов Дирихле. Приведён припер неулучввемости ¿-¿ср^м.

Длл крчтннх общих рядов Дирихле кпсллгле построена теория тауберовых теорем " "етзтком.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты исследования представляют прежде всего теоретический интерес, ибо они могут быть использованы при решении некоторых вопросов теории чисел, теории дифференциальных уравнений.

Метода разработки могут бить прменеш при получении таубе-ровых теорем с остатком для кратных рядов wypt-e ,

Дисеертац'лаиная работа может служить в некоторой степени основой для чтения специальных курсов по тауберопоП теории, при проведении затем спецсеминаров, при подготовке курсовых и дипломных работ на математических и механико-математических факультетах университетов.

Агшробацил работы. Основные резулыс.4и исследования докладывались и обсуждались на научшх семинарах:

- кафедр общей математики, математического анализа ДП1У, ITS ( Г. Душанбе ),.

- кафедр математического анализа ЛГПИ (г,Санкт-Петербург,. I9?d 1983 г.г.,рук.прсф.В.С.6иденскнй ), ЛГУ ( 1988 г. рук. про,р

- Г.И.Натансон ), ЛОМЯ " Аналитическая теори« чисел " ( ¡983 рук. проф. А.В.Малышев ),

- кафедры математического анализа МГУ ( г.Москва, 1986 , 1988, рук. проф. В.А.Садовничий ), " Дополнительные глава анализ и тригонометрические ряда и их суммирование " ЙГУ ( г, рук. проф. В.Н.Чубариков ),

- " Аналитическая теория чисел и её приложение " АН СССР и МГУ ( 1333 г., рук. проф. А.А.Карацуба ),

- " Несамосоцрятешие операторы " ЯГУ ( 1933 г., рук. доктор

физ,-мат.'наук А.А.Шкаликов ),

на н.сем, ма тем.института ш.В.И.Стеклова РАН ( 1932 г.,

"рук., академик С.Н.Никольский ).

Результаты исследования сообщались и докладывались:

- на Всесоюзной летней математической школе-конференции АН СССР, и АН Таджикистана (г.Душанбе,1986,рук.проф.С.Б.Стечкин),

- на Всесоюзной научной конф.,поев.275-летию М.В.Ломоносова ( г.Москва, 1986,пред.секции проф. А.А.Карацуба ),

- на Всесоюзной научной конференции " Современные проблемы теории функций " ( г. Баку, 1989 г. ),

- на герценоБских чтениях, Всероссийски и Всесоюзных конференциях (г.Санкт-Петербург, 1973,1983,1985,1988 г.г. ),

- нл Всесоюзной, Международной научных конференциях ( г. Днепропетровск, 1990, 1993 г.г. ),

- на Международной научной конференции ( г.Самара, 1992 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы, з 23 работах, список которых приведён в конце автореферата.

Структура работа. Диссертация состоит из введения, где приводится краткий исторический обзор и краткое содержание работы, пяти глав, списка литературы и оглавления.Объём диссертации -262 страниц машинописного текста.

К каждой главе даны краткие необходимые пояснения результатов и методы их исследования.

В главе I изучаются действительные, тауберовы теоремы с остатков для кратного интеграла Стилтьеса и кратных общих рядов Дирихле. Метод исследования здесь основан на приближения функций двух переменных алгебраическими полиномами. Этот метод является распространение^ метода Карамата-Фройда на многомерный случай. Следствием полученных результатов являются теоремы Фрой-да Г.

Ц 5 1.1 иркь<:деиы необкодише обозначения и определенна. О § 1.2 получсчш действительные'таубероцы теоремы.-§ 1.3 посвя^аетсн частным случаям предцдущих теорем. [|риьедсм нэкотсрие из результатов итой глаци: 'Г соре м а 1.к. 1 Пусть и Т

функции ограниченной ьяриацни , Г(0,0)= 0 ; и пусть абсолит-но сходящийся при СГ О и Г] > 0 кратный интеграл Стилтьеса

3|,г(сг,п) ~ ^ | е^^6 ^,6)^,0)

удовлетьоряет условию.

0-, Г) —о

при ¿/> О , 0;

¿/> о , г>о;- [г.сц)<к.(и)]

^(Ьи) * ес6 Й,чи), с>0, Ьз о,: ¡ = 1,2; Я Со) = о, (1.о 2)

. и —о

сб

Тор да

5 5 1Р0б(^0}Сх-г)Чу-8)1±а'Си18) =

□ а

= 11

д.^у+б+д Г(А*р)Г(г»б) Г(кЧ) Г(сМ) 1 ги)-Г(р)

/

Г'ДВ 5" > 0 ; р»0 , §»0; к>0 и

сЬ>0 - целые ; соответствующие постояннее и оценке О рисят только от , р , К , у , б , С1 .

Т е о р в м а 1.^.2 Пусть кратный общий ряд Дирихле

О-О о-»,

т=о п»о '

где

О^Х0<Л,<--'<\т<--- , —~ «х» при т-*- в« ,

•••< Мп^— Рп"*- °° гтр" п — °° ,

П[рп - нещестгешш; абсолют«» сходится при 0"> 0 , г|>0

и удовлетворяет условно

Г(<г,п) = и + 0(Я,(сг) Мп)} ; С,II — ■*-О

и пусть пополнено одно из следующих условий:

5тг,г«0, Бщи Н0, (5тп< к0); 5тр=0(0.

Тогд-ч здесь

5пп = X 2 а1]

!<г»0 и ЙаО -целые неотрицательные; постоянные в оценке у зависят от К и с! ; !?|(и) те же, что-и в теореме 1.2.1 .

В глава II изучаются комплексна.; тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов'Дирихле .

Эффективность таких теорем заключается в том , что в реэу/и тате имеем степенное понижение в остатке, в то время как в действительных тауберовых теоремах - лишь логарифмическое !

Следствием полученных теорем в результате уточняются из -вестше классические таубероеы теореш Харди-Литтльвуда и Каоц-па, также обобщается на многомерный случай один из результатов М.А.Субханкулова.

В § 2.1. приведены, вспомогательные предложения, где доказывается лемма 2.1.2 , она является основной,ибо она применяет ся в доказательстве всех теорем главы II. § 2.2 посвящен комплексным теоремам типа Таубера с остатком для общих кратных .рядов Дирихле. В § 2.3 приведены приложения.

Приведем некоторые из результатов главы II.

-Теорема £.2.1 Пусть '

"■тп с

т«о п-о

рд со

Пэ^) = X I атпё*Хт£

5 = <гаь Ы- П + 01,

где

0« А0-71,<...<Ага<... , \т

абсолютно сходится при Яе б>0 области 0:

т

п

и ке 0

и в

с^, 8« сгг]\ 0<ш, <<1, О-СГ*(Г0<у.

0<Пг!По<г

удовлетворяет оценке

, IH IWI—-+-0,

F(5,W)= f + OGsi1 iwir)'; "" (,2,,;

и пусть

(*m Vi) 0»гГЯгм)

1 (2-2-2-) n^O ; juh> 0 , tnèo,

V-Vl=Ö(^m); 0«/><1. (2.2.3.)

Рп-Яп-1 =0(/п) 7 04/>*1. (2-2.4;

Тогда

сс

, у —Г + <=>0 при ß > ш, у? > V .

г. Е С °mn=A(W,",vAj<)+(Xx -Г*

—схз при j3 4 ujj pç, V _

з. Е С

X,t¿r--*- 4- ОО При J3> Ujj pé У

X, y--- + eso npufl 4 CUj y>> Vj

1Ц A(i v>14')=с + 0 (x* 0(y2 iv"',)J Cfeiu>r . • (2.1.0)'

i с о p i; ц « ¿.c.k. Пусть выполнены все условии теоремц

к.2.1 , кроме тоуберова условия ( 2.2.Г, ) и шесто него иццо,;-наш сдодуицие

<п

0 _ П (Яп~,им-|)

Imn-U— «. у<8; (2.п,;

1'Де п щ

Ptnn" Е °mj , Q = С ain ,

j=o ? 1,nn ¡--Q A-,=//M = o.

Тогда

..E с

V1 fn^ .

+ 0

' ' J При p ■■ CO , p> 'l> .

________oo

■ ' 'y при ;.) ь, cj, o(~ )"■

3. С L +

U)<t, Р<Б

при р-^ш,

<? , У J ап1п = А (£, х,у, uj ,м. -L,^) +

»га"* !'-!.!

при p^U!,

г;^ А(К, Х,у, UU,VTJL, Y ) вырдтенп формулой (Г.I.O) .

В глщо III иэлотскн односторонние тауйеровы теоремы с :;г'т".тк"". ¡7то такие теоремы, в которых тауберовы условия на коэффициента крзтного общего ряде Дирихле налетеш односторонним об-рчзом.

Дскчзвтельство таких теоре" несколько сложнее, поэтому предварительно докпаывчются ле»ши с соэтветсгвушичи тауберевыми условиями, наложении"» нч коэффициенты рядов, опте» доказываются соот-ветствушие тауберовы теорема с' остатком для-кратных общих рядов Дирихле- Это в §5 3.1, 3.? . В § 3.3 доказан ряд односторон -них теорем тт/берова типа с остатком для кратных рядов Тейлора-Дирихле, что является применением теорем 5 3.2 . 5 3.4 пссвящён обобщению односторонней комплексно1,'! тауберовоП теоре№ с остатком М.А.Субханкулова на крчтный слагай.

Приведём некоторые из результатов :

Т е о р е »• я 3.2Пусть выполнены все условия теорекы 2.2.? , кроме условий (2.2.5) и (2.2.6), вместо них соответст -веяно выполнены следующие односторонние тауберовы условия

Рглп>-Н —'0<U)<T<1 Km

Нп - •

Тогда справедливы утверждения теоремы '¿.'¿.к .

Теорема 3.3.2 Пусть кратный ряд Тейлора-Дирихле

К*.*) - Ё 2 Отле""15-^; 5-<г + 11 т«о п»о

абсолютно сходится при Ие 5 > 0 , ВеМ^ , и в области й определенной условиями :

0<п*цо<-2

удовлетворяет оценке

0(151*И*); де.М — + о/ сг.зл)

и пусть

Чтп>" ; У«Б, 0<б-!-.

Тогда

' 2 ^ а««.-А(Ь,х,л.шлА,х)4"0(«ььТ)+

£> У —*■ + » ш < Т, >1 < о ;

где А (С выражена формулой (2.1.0) .

В четвёртой главе работ доказаны комплексные тауберови теоревд с остатком для общих и кратных Общих рядов Дирихле с риссовекими средними при целых и неотрицательных порядках , вкратце, такие теоремы', называют теоремами типа (1?, А, к) И (X, ^ , к , с| ) : , из последних легко получить теоре-

1.Щ типа ( I?, т, к ) 11 (И, т , л , к, с1)

Следствием полученных теорем уточняются и обобщаются известии;.

результаты Деланжа, Дуранона Ведия, Харди-Литтльвуда.

Р § 4.1 приведены основные леммц. § 4.2 посвящен тауборо-вым теоремам типа (Я, А. , к) и Л, р , К ,с! )

В § 4.3 - приложения к кратным и некратным рядам Тейлора-Дирихле, т. е. , получены теоремы типа ( Р*, ГП, к) и

П , гр , П , ^ ) . Приведём некоторые результаты

из'главы 1У. :

• 'Теорема 4.Е.1 Пусть общий ряд Дирихле

\1\ « СцО-У, , , 0^(Г*СГ0< 1/2

удовлетворяет оценке

е + 0(|5|^) , — + о

и пусть

|ат | <К, —г, о^т<| , и <Т. ([.¿Л)

Ат- ^ш-1 - О(^гп) ; о «у <1

Тог.дгГ'при V К 0 , целом

х * при у > и .

•I — < «з При £ * Ц>.

где • •'

х-'1' . если Л < к ;

Р(х)

>

х"^, если > к

Еп х ' если Л = к

Теорема 4.2.2 Пусть выполнены все условия тесре»ы 4.2Л , кроме условия (4.2.1) , и вместо него выполнено следующее

а т > - Н о —ТХ- . . О < а * 1 ,

1 . Л-П1

Тогда справедливы утверждения теоремы 4.2.1 .

■ Т е о е " а 4.2.3 Пусть кратный общий ряд Дирихле Р (.Б,XV') абсолютно сходится при ,йе5> 0 , ReW > 0 ц в области & :

и<П*По< 2

удовлетворяет условию (2.2.1), пусть выполнены условия (2.2.3), (2.2.4) и таубе'ровы условия теоремы 2.2.2 при 8 = §.

Тогда для УК 2 0 , Йг 0 -Целых

<• 2 -А(1,Р.ИЬ

- 21 -

X, у — ¿ « , т , р < £ при р > to, р > ^

2- I 1 - À(E,P,Q) +

+ Q(xKÍÜ""*u,-T) + +

г,у — + о« , X, р< g при р -л ш,

3 I Z O-^fO-f )d Qmn - A(M,Q) ,

Лгп*х finí У

+ Q(xK{UM)tf,-r) +0(ydí"'°,V*s) i

X,y —- too p -< T , \><

При p > ÜJr p« V

«■ I I (<4nf (<-Wû„ = A(e,p,Q)

X,y — í 0.-3 UJ< r, p< g

при p «& UJ, p > «í ;

А(е,РЛ) - t» 0{P(x)d(y)}

- 2Р. -

Р(Х) =

ос"*" 9 ■ если К > X ,

если К <

Спх , если к = .

(4.2.2)

у*1 если у-»* если «1 < у, Епу ^если (1 =

(4.2.3)

Теорема 4.2.6 / типа ( И , А , [Д , к , с1 )

Пусть кратный общий ряд Дирихле абсолютно сходится

При 5 > 0 , Яе М>0 и/в области- в :

Н|=£(>Ш |6| < Сп"\ 0<и<1,0<У<!.

О <сг^сг0 -С -1 , 0.,<П*.Г]о< у удовлетворяет условий (2.2.1) , пусть выполнены .условия (2.2.4) и (2.2.3) и

О тг[ > - Н ^^^^"-Нпп) > 0<т<|

-•с « Лт Ц*

0<1<1- (3.1.16)

Тогда при УК ^ 0 Йй'О - целых

- 2Ö-.

* У )] +00

при /3 > Ll) p > V.

E d-¥)k(i-t)4n -

= A ({,X, y, cu, V, d, p, Q)+ О У M+U.-C y«/(v- 1НЯ- É) .

x, y—0)4при jJáto, /)> V

3.C С (î-^d-^a.n-

При

4.Е С =

ч-оо при jíJíUj yj^v^

А Я) =

-Я-

-еч 0(xlkM}lu,-,,) + 0(a(dH,(,",,) +

+ [)(PiX)Q(y)) (4.2.0)

к P(x) , Q(y) выражены формула»!! (4.2.3) , (4.2.>1 Пятая глава исследуемой работы появященэ тауберовы« теоремам типа (R,Ä.,k)n(R,A.,|i,k,d) со степенной функцией в главном члене роста. В § 5.1 изучаются тзубероиы терре«щ с остатко»» для кратных и некратных общих рядоь Дирихле с риссовски«и средними целого и неотрицательного поряд -ка, причём со степенной функцией в главное члене роста.

i Приложение, теоре«» § 5.1 к кратны» и некратны-« рядам Тейлора-Дирихле рассматривается в § 5.2 , т.е. , здесь получены тео -ре»« типа (. Ч , m , К ) и типа ( R , ГТ1 , П , К", d ) со степенной функцией в главно" члене роста." В. § 5;3 приводится пример неулучшаемости тауберовых теоре» с остатком .

Приведён некоторые результаты ия главы У : Теоре v а 5.1.3 . Пусть кратный общий ряд Дирихле F(s,W) абсолютно сходится при Re S > Ö , ReW>0 , в области G :

удовлетворяет оценке

¿,y,fl,p>0

и пусть

Kin|<K7-----Tfô—1--- Ц.р>о, Am>0,

; . Am Kn Ц„ >0,

^m-^ггы = 0(Àm) i CU£<1,

Г

Ип-Нпн ^О(Нп); .

¡Тогда для У. целых кг О И сЬО

S I ('-Tf)K(|-t)"a™ =

Ят»Е Мп4У

Г т M 11 P г

г(ц*оr(p+i) I uv >Q(yd(4-:,' + 5-1) + 0{P(x)Q(y)}J;

X, у :— t , j3 > Ш , 6 > S> .

'•I I O-Wi'-f) «.....

= СхМУР _ I I , n

Г(|1+1)Г(рН)

X

Q(yldH>tv-,)) f Q jp(ac)'Q

x,y —

- t m, p s ш, 5 * ^.

3-Е I -

- [ I + 9 (хк(Ш"') + Р"1 ) 4-

Т(ц+1) Г(р + 1)

*■! I О-^У а

гпп

Г4ц+1)Г(РИ) [,4и1х / +

г ле

Р(х)=

X

х^ > если ц>Л

-Д. 41

-у + ое-, V

сс , если СКуЦ

Епх, если ;

у"* ,-если р>у у"7", если р<у ; Еп у ^ если р = у.

Теорема 0.2.3 Пусть кратный ряд Тейлора-Дирихле

абсолютно сходится при К Р Э > 0 , IV > 0 ив области & :

0< 1 5 По^Т

а

пусть"

атп = 0(тИ пР")' т,п>0; ^,р>0.

Тогда дли V К > 0 и й > 0 , целых

( ^ тп - гчцчтрч) I.

X, у —- + сю , где Р(х) п Ц ¡,у) те ;ле , что и о теореме 5.1.3

Автор инражиот сцою глубокую благрлдриость всем у-.тстшпгам и руководителям нижеуказанных научных сепинаров, конференций за вни/птельноб отношение к исследуемой работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Нарпг/ова М.М. L, приближение ^ункциП дн.ух переменных

полинотам!. - Тезисы докл.науч.конф.Вузов Респ., I96& Душанбе, с. 72 .'

2. Каримова М.М; L( приближение функций двух переменных

полипомат/и и теорема типа Таубера для двойных интегралов я рядея.//Учёные Записки ДПЩ - Душанбе,сер.мате«. , 1966, т. 53, вып. 5, с. 58-67.

3. Каримова М.М. О тэуберовей теореме Дзланжа дли кратних

рядов Дирихле.//Учёные Записки ДПШ - Душанбе, сер.т.-атем. 11970, т. 71, сып. G, с. 152 - 172 .

4. Каримова М.М. Комплексные теоремл тяуберова типа для двой-

ных рядов Дирихле с односторонними таубеговьши условиями. - Рукопись деп.. в ВИНИТИ , Люберцы, Ji 3044, 26.06.80 - 67 с. 5: ffop::vnna М.М. Комплексные теорега тяуберова типа для

двойных рядов Дирихле с односторонними тауберош-vH условиями.//Изв.All Тал1£;ССР,отд.фиэ.-мат. ,хш. и геол. наук, Душанбе, I9BI , № I,

6. Каримова М.М. Теория тауберсвых теорем с остатком для двой-

ных рядов Дирихле с односторонними тауберовыми условиями.//Сборник Hill'. Бсесо'лр.1;ыа иау», .и-технн -тескнй центр для служебного пользования. - Москв?, 1931, № II госрсгнстр !f' 800^X05 .

7. Каримова М.М. Комплексные теоренн тауберова тше> с остпт

ко:.« для обобщённых двойных 'рядов Дирихле с риссоп-

сними средними. - рукопись деп. в ВИНИТИ, Либерии» ¡f" Í&84, ¿8.02.00, - 73 с.

8. Каримова М.М. Тауберош теореш с остатком для двойных

рядов Дирихле с риссовскдаи средними.// Сборник НИР . Всесоюзный научно-технический цетр длч служебного пользования. - Москва, 1988, № II, госрег. К' 84Q0ó¿lú0 .

9. Каримова М.М. Комплексные гауйеровы теоремы с остатком

для обобщённых рядов Дирихле с , » ;совскими сред -ними.//Изв.Ali Тада.ССР отд. физ.-мат.,хим. и геол.

9

наук , Душанбе, 19В6, № 2 ( 100 ) 10 Каримова М.М. Действительная тауберова теорема с остат -ком.для кратных интегралов Лапласа-Стилтьеса. - Тезисы докл.Всесоюзной научной школи-конферен. " Современные проблемы теории ¡{¡ункций " . - Баку, ■ 1989, с,' 55. '

VI • Каримова М.М. Тауберовы теореш типа ( К , , ^ ) и ( R , 3 , ' С , к , </ ■).//Вестник ИГУ. Сер. матеи.,механ. - Москва, 1909, №5, с. 37 - 41 . Í2. Каримова М.М., Мамараджабова Н. Тауберова теорема для правильно меняющихся функций.//Материалы Респ, науч.-прак.конференции молодых учёных и специалистов ТадГ»: кис тана. - Ходжеит, 1990, с.58-61.

13. УЧримова М.М., Худоёров X. Тауберова теорема с остатком

для рядов Тейлора-Дирихле. //Сборник научных статей ДГПУ . - Душанбе,' 1991, с. 36-3?. .

14. Каримова М.М. Приложение одного интегрального преобра-

зования к решению некоторых классов дифференци*-

-Овальных уравнений»//Сборник ¡тучных трудов ДШУ " Дифференциальные «"интегральные -уравнения и их приложения ". - Дгаанбе 1991, с. 37 - 43 . '

15. Каримова М.М. ■ Тауберова Teopevn с остаточным членом

для двойных рядов Дирихле. //Материалы Всесоюонг ной конференции " По теории приближения функций - Днепропетровск, 1991, с. 52.

16. Каримова М.М. Приложение тауберовых теорем.//Межвузов-

ский сборник научных трудов Ульяновского госпед-университета " Функциональный анализ.Линейные операторы " . - Ульяновск, 1991 , с. 37-45.

17. Каримова M.IA. Односторонняя тауберова теорема для

двойных рядов Дирихле. - Материйлы научной конф

ДШ. - Душанбе , 1992,-с;. II-I2 .

!

IB. Каримова М.М. Тауберова тёорекы с остатком для кратных рядов Дирихле.//Тезисы докл. Международной науч конференции. - Самара, 1992, с. 122 . 19.. Каримова М.М. Теоремы тауберова типч для кратных рядов Дирихле.//Межвузовский сборник научных трудов Ульяновского госпедунивврситега " Функциональ -• ный анализ. Линейные операторы" . - Ульяновск, :. 1992, с. 38-45

20. Карияова М.М. Тауберова теоремы с остатком для кратных

общих рядов Дирихле. - Монография. Изд.Донипг'1992 Душанбе, 239 с. •

21. Каримова М.М. Об односторонних тауберовых теоремах

//Материалы научной конференции ДШУ . - Д/шаное, 1993 , с, 13-14 .

22. Каримова М.и. Теория тауберовых теорем общих рядов Ди -рихле и их приложения. //Тезисы Международной научной конференции " Теория приближения и задачи вычислительной математики " - Днепропетровск, I993, е.95.

£3. Каримова М.й. Приложений одного диф^еренцивлммго про -образования в теории таубероеых теорем. //Сборник научных трудов ДШУ " Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения " . - Душанбе, 1993, с. 19-£2.

КЛРГЛЛИ УШК1 ДИРИХЛЕ ЦАТОРШИ УЧУН ЦОЛДШрШ ТЛУВЕР ТЕОРЙШЛРН ва УЛАВШНГ 1£ШАНГЛИИ

Диссертацияда олинган асоеий янги плмий натижалзр

1. Каррали Стнлтьес иитеграллари, каррали ууучнй Дирихле торлари учун долдицли хацюртП Таубор теоуе»«алари келгчга.л чи^арияган. Ургаиша »тетоди пики узгарурчан функциянн ал -гебраик купходлар билан I,, маъносидя як.инлагашга ясос-ланган, бу ерда еппроксимяцияловчи полином козффициешяп-рини модулларшшнг бацоен ва пцинлашит тпзлиги зугеобги олинган.

2. Каррали уч.уишй Дирихле ^аторлэри УЧУ" ¡'рлпидли ко«ил°ис Таубер теоремалпри исботланган. Бундай тгоремалярни пелти-риб чш(арш. нетоди комплекс узгврувчан функция нэзарнясшш методларига асосланган. ,

3. Дирихлени учушй , 1'арряли умумий ^аторлзри, Тьйлор-Дирих-лени датори, Тейлор-Днрихлёни каррали даторларм учуй бир томонлача крлдидли Таубер теоремаляри кед гприб чшедэилгеш.

4. 1Саррали учучий Дирихле цаторллри учуй бутун манфиН^ас тар-тибли Рисс уртялшрмрпда долдицли комплекс Таубер теоре«я-лари исботланган. Тейяор-Дири.хяе даторлари учун 1сулл*шиыи вп классик Таубер теоремтлари б план так,досланши келтирнл-ган.

5. Дирихлени рсумий ва каррали упу»*яй крторлари учун уларни усувчиларини бои !^смн Д9р?к?ли функция йулганидл Тяубер тинидаги теи:?мчлар Рисс уртчликларид'» ургвнилган.

Шундвй килпб, каррпли ,у<'\;"Гй Дкрпгло ^пторлпри учун крлди^.ти Таубер теорба ?ярини назаричи* тузиягяя.

- y i -

iAUjJfc-ia.^»* UWSi UIUSU -I'libUtfttUi t'uii l»1JfcfIitfi GfcH6H6U£BD

i>nacuu*va »ru» tuluh ¡.hma.viioif

Trio jcain hciJ l'lsiiu a roll is»' 0 l j uf.taJji--.il in I ho Lheaiu

i, iireni Vfiiiiai'JMi i'tui.ul ¡-..-i-jr Ui»om>:s biv ¡.t>i.«i nod for ¡HI itioa'a juil ti(»U !''•(• DirioliJ tl'u lUtHiiilb genurul Vwad

wvitu, 'fin ciovuoU ct' xr.va&t 1 gation it, bcota on t-mipi-axiwu-tai.i» or tiinot iojia of two vti/luhl&s by a liyjiu-di u polyiioms, V'iitu- tiu ¡>|jpriiiiuuii.ion x'cile ai.d stitiiuation ixodulva ot ap-roxtuui ii'.f; polynon, ¡.-usi'i'i Ci 1 «at sirs oouiiiderod.

i. C^jipUiJi 'jYu.titriom iiiiiu-ijntiei' tJjooi'ema are proved for JUi'inh-let's sulci pie ¿enei'uJlaud uerius. l'hs rselhod of obtaining the.ie theoren.a to outitii on Uit; aiettioaa of cowipleu variable fuiiot. ton thoory.

3. Oiie-Oiit) 'l'uuberiremainder thuorcrou are obtained for Dirioli-let'd generalized aeries, for Dli-ichle t' s laultiplo ¿fciierallz-. ed eeidea, ior 'iuilor-uirichltt' a aeries', for 1'ai] or-Dirich-' let's multiple generalized aeriea,

4. Cumylex TaulieriBii remainder theorems with diaa'a ¡nean-valudu

of non-negative orders ere proved, 'ille application of then« theoretic to i'ailor-Dirichlet's multiple aeriea and thair comparison with the classic Tauberian thaorema are givon.

5. Tauberlan-type theorems with Bias's mean-vulues.wi th th-j degrei; function in the main growth aembnv for Dlrjchlet'a genarolJz-ed and icultjple generalized series are imrejtigated. An example of non-improvuble theorems is giien.

Thus a theory of Tauter-inn reaalndar theorems for Diricii-let's laultiple generalized seriea via9 founded.

ВВЕДЕНИЕ ' Ч • . / V . . : ;

СШ1СОК ОСНОВНЫХ. ОБОЗНАЧЕНИЙ . :. 29

ГЛАВА I ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ; ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ С ОСТАТКОМ

§ 1.1 Некоторые определения и лемма . . . . 32

§ 1.2 . Действительные тауберовы теоремы с остатком 37

§ 1.3 Одномерные тауберовы теоремы с остатком

ГЛАВА II ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ С ОСТАТКОМ ДНЯ КРАТНЫХ ■0В1Щ РЯДОВ ДИРИХЛЕ . . . . ,

§ 2.1 - Вспомогательные предложения . . .4., . 53

§ 2.2 Комплексные теоремы типа Таубера с остатком 59

1. Anandá: Hau : , An example in the theóry summation . Ъу Biesz typical means . Proc. London Math.Soc., 1930. T. 30 ( 2 •> . - P. ,367 - 372 .

2. Громов В.П. Кратные ряды Дирихле. Сибирский матем.ж., 1969. .I.IÖ, .I 2. -С. 522-536.

3. Громов В.П. К теории кратных рядов Дирихле I. Изв.АН Арм.ССР. Сер.матем., 1970. - Т.5, № 2. - С.449-457.

4. Каримова M.M. Некоторые комплексные тауберовы теоремы сУу остаточным членом. Учёные Записки Душанбинского тоспед-: института. Сер.матем., 1970. - Вып.6. - С.173-224 (т.71)

5. Каримова М.М. О тауберовсй теореме Деланжа для кратных 4 рядов Дирихле. Учёные Записки Душанбинского госпединститута, Душанбе. Сер.матем., т.71. Вып.6. - С.152-172.

6. Каримова.М.М. Комплексные теоремы тауберова типа с остат ком для двойных рядов.Дирихле с односторонними тауберовы- : ми условиями. Ред.ж.Изв.АН Тадж.ССР,отд.физ.-мат., хим,и геол.н., Душанбе, 1980. ВИНИТИ $ 3044, ДЕЛ. с. 1-67.

7. Каримова. М.М. Комплексные теоремы тауберова типа длядвойных рядов Дирихле с односторонними тауберовымй условвиями. Изв. АН Тадж.ССР,отд.физ.-мат., хим. и геол. на. ук, Душанбе, 1981, M У

8. Каримова М.М. Теория тауберовых теорем с остатком для. двойных, рядов Дирихле с односторонними тауберовыми усло-у виями. ~ Сборник. НИР. Всесоюзный центр ( научно-информаци онный) для служебного пользования, Москва, 1981, № II, госрегистр, л' 80066105.

9. Каримова М.М. Тауберовы теоремы с остатком.для двойных рядов Дирихле, с риссовскими средними. Сборник НИР. Всесоюзный на:/чно-технический информационный центр служебногс пользования, Москва, 1986, Jf II,госрегистр.№340062160.

10. Каримова ILM. Тауберовы теоремы типа ( R , m , к ) и CR , А , U i К , d ). Вестник МГУ.Сер.матем.,механ. Москва, 1989, № 5 с. 37-41.

11. Каримова.М.М., Мймаражабова Я.М. Тауберова теорема для правильно меняющихся функций. Материалы Республиканской научно-практической конференции > Ленинабад, 1990, с.58-GI.

12. Knopp л. Limitierunge Umkersstze für Doppelfolgen Math. /Zeit, J939,; Bd. ; 45, TT 4, Sv>: ! 5-28,

13. Littlewood J.3. The converse of Abel8g therem on power series. -Pros. London Math. Soc., I9IÖ- T.9 ( 2 ). -Г. 434-4-48.,

14. Натансон К.П. Конструктивная теория функций . М.: 1949, 688 с.38у Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. -M. : 1957 , 552 с.39« Постников А.Г. Остаточный член в тауберовой теореме Хар~ ди-Литтльвуда. ДАН СССР, 77, 1951, с. 193-196. .

15. Постников А.Г. Тауберова теория и её применения . Труда Maтем. .института АН СССР, 1979, т. 144, с. 3-147 2

16. Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел. Калинин, 1973

17. Прахар К. Распределение простых чисел. M., 1967, 511 сEajagopal . Math2 Gazette, 1946". î. 30. - P. 272-276.44. .Сене-га É. Правильно меняющиеся функции. M., 1985,141с

18. СубханкуjjOB .M.А. Об одной теореме Лкттльвуда . Изв.АН Узб.ССР, сер.физ,-мат.наук, 1964, №2 , С, 22-30.

19. Субханкулов М.А., Мзраилова М.М. Тауберовы теоремы с ос таточным членом для двойных интегралов Лапласа и Лапласа-Стилтьеса. Учёные .Записки .Душанбинского госпединститутаСер.матем., 1966, т.53 , БЫп. 5, с. 76-103.

20. Субханкулов M.Ä. Тауберовы теоремы с остатком , М. 1976, 399 с.

21. Субханкулов М.А., Ташбаев В.Х. Обратные аддитивные за -дачи. ДАН Тадж.ССР, 1963, № 6 . -С. 7-II.

22. Tauber А. Ein Satz* aus die Theorie der unendlichenSeihen. Monatsh. Кя-fch. undPhys., -(397. -Bd. 8 . -S. 273 -277 .52* Ташбаев В*Х. Остаточный член в прямых аддитивных зада -чах. Изв.АН Уз.ССР, сер. физ.-мат.наук, i960, № 4 , -С. 31-37.

23. Тиман М.Ф. Об остаточном члене в тауберовой теоремеХарди-Диттльвуда. Научные Записки Днепропетровского госукивёрситета ,1956. Т.95. - Вып.5. - С. 215-221.

24. Тспурия С.Б. 0.некоторых теоремах тауберова типа для двойных рядов и двойных интегралов. Автореферат дис. на соиюк. канд.физ.-мат.наук, Тбилие^, 1959.

25. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и'интегрального исчисления. Т. 2, 1959

26. I'reud G. ; Res.tglied eines Taubershen Satzes 'I . AotaTkiä'th. Acad. Sei. Hung*, 1951.-'T. 2. S. 299-30S.

27. Hardi G.H. Littlwood J .E. ^Som© theorems concerning Mr i oiile fs series. > Messenger of Math* , I 914 .Ï. 43 (2). P. !34 ~ !47. / 4

28. Харди Г. Расходящиеся ряды.- M., 1951, 504 с.

29. Челидзе В.Г. Тауберовы теоремы для двойных; рядов. .4 Труда .Тбилисского госуниверситета . Сер.матем. - Т. .84 1962, с. 18-21.

30. Янушаускас А.И. Элементарные теоремы о сходимости двой-У ных рядов Дирихле. ДАН.СССР, 1977, т. 234, с. 34-37.

31. Янушаускас"А.И. Двойные ряды Дирихле. Литовский матем. сб., 1973, т. 18, с. 20I-2II.

32. Янушаускас А.И. . 'Двойные ряды., Новосибирск, 1980 :.■;.ôo; -'Каримова М.М. i. Худоёров X. ïayÔepoBa теорема с остатком ; Для рядов Тейлора-Дирихлё. Сб.научных статей Душанбинск кого госуниверситета Пажухиш ва Бозефт Душанбе, 1991, с. 36-37.

33. Каримова М.М. Приложение одного интегрального преобразо^ваиия к. решению некоторых классов дифференциальных уравнений. Сб. научных трудов Душанбинского госуниверситетаДифференциальные и интегральные уравнения и их приложения " Душанбе, 1991, с. 37-43.

34. Каримова М.М. Тауберова теорема с остаточным членом длядвойных рядов Дирихле . Материалы Всесоюзной конференции по теории приближения функций . - Днепропетровск, 1991 г с. 52. ' ^ ' . '

35. Каримова М.М. Приложения тауберовых теорем. Ме&вузовск кий сб. научных трудов Ульяновского госпединститутаФункциональный анализ. Линейные операторы " »Ульяновск, 1991, с. 37-45. ■

36. Каримова М.М. Теоремы тауберова типа для кратных рядов Дирихле. Межвузовский.сб. научных трудов Ульяновского ■: госпедуниверситета " Функциональный анализ. Линейные-one-f раторы - Ульяновск, 1992, вып. 33 , с. 38-46.

37. Каримова М.М. Тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов Дирихле. - Монография , изд. Дониш, Душанбе,1992, 239 с. .

38. Каримова М.М. Теория тауберовых теорем общих рядов Дирихле и их приложения. -. Тезисы. Международной научной конференции " Теория приближения и задачи вычислительной математики " . Днепропетровск, 1993, с. 95. ■ ■.

39. Каримова М.М., 1 Приложения, одного дифференциального преобразования в теории тауберовых теорем. Сб. науч ■ шх трудов Душанбинского, госпедуниверситета " ■ Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения " -Душанбе, 1993, с. 19-22 .