Вероятностные приложения тауберовых теорий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ШЕМШЧВСКИИ ИНСТИТУТ им. В.А СТЕКЛОВА

Г "В од

'! ' 1 г- ]' 1 г4».

На правах рукописи

Якьшив Арсен Любомирович

УЖ 519.2

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТАУБЕРОЖХ ТЕОРШ

(01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА

- 1998

Работа выполнена в Ордена Ленина и Ордена Октябрьской Революции Математическом институте им. ВЛ.Стеклова Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты;

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н.Дронжкнов,

доктор физико-математических наук, профессор В.М.Круглов,

доктор физико-математических наук, профессор А.Д.Соловьев.

Ведущая организация: Московский Государственный институт электроники и математики.

Защита диссертации состоится А. 1938 г. в

на заседании диссертационного Ученого Совета Д.002.38.03 при Мате.матичвоком институте т. В.А.Стеклова РАН по ащ>есу: 117966, г, Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан ШШ-Цй. 1998 г.

Ученый секретарь

Совета Д.002.38.03, д.ф.-м.н., профессор

Общая хаоактесистлка работы.

АаГ/АЛЫ'ООТЬ T;l;j. Осковы таубэровой теория заложены П.Абелем, ГД.Харщ1,И.2Лкттлвудом и А.Таубером, в честь 'которого эта теория берет свое название. Существенное влияние на ее становление оказали Н.Влнер, ^.В-Келадл, й.Карашта, К.Кореваар.

Глубокое распространение тауберовой теорпк на обобщенные йуякцкн дано В .С .Ьла,дащровки, 1Ал.Дро.^:;шювыгл к Б.И .Завьялова.

Широкое применение тауберова теория получила е теории вероятностей. ТауберовЕ теоремы при исследовании аснодхтоитс&их задач теорпя.. вероятностей применяя:!, в частности, А .Г .Блнгхе:л, В.А.Затуткн, 3...¡.Золотарев, A.A.'.îobkkob, а .Г.Постников, Б.а. Севастьянов, Б.уеллер л ряд другие ма-гекатнков.

В ластоядз:' ппссеэтгшки сояергзатся дальяеСжз ассленогаигл как по тауберово?. теории, так к по эе вероятеостгаш пркжггскзй;.

Цельа работы является: изучение классов ^яквдй, обобщавшее правильно ыепяхгшеся, доказательство тауберовкх теорем л ех прпкеяекле npz лсслелованЕХ ветвящихся процессов, безгранично аодзмЕХ распределений, А - подстановок к случай/шх процессов реко слов.

:и5Т07ЖА АЗСЛВ ЛЬАь,л. Доказательство ссответствузхдвс асимптотических соотношений основаяо на изучении свойств преобразований Далласа л прикеаениг тауберовнх теорем.Основной слолностьа здесь является проверка соответствующих тауберовых условий. Поэтому подход здесь инлиьпдуаяьккй к каддой исслелуелой задаче. Доказательство тауберовых теорем существенно использует свойства введенных автором так наз; шае^нх последовательностей асимптотически непрерквякх Аункглй и теоремы непрерывности для преобразования Лапласа функций, определенных в конусе пз fi^ .

TiA7ЧП£ :ш:ЗНА. Ï работе: а) доказали тауберовы теорвдсы для преобразования Лапласа;

б) доказаны предельные теорелк для: критических ветвящихся процессов Безлмана-Херрнса;

в) исследована асимптотика вероятностей болъзих уклонений для безгранично лагвашх случайных величия, а такле асимптотика плотности безгранично далвдах раоцределелиЕ на бескопечноего;

г) доказаны предельные теоремы для числа плклое (общего к фш:-■ сировайвдй.-дденн) случайных А - подстановок;

д) изучени асшлптотжческие свойства моментов изменения состояний, в случайное процессе рекордов.

Бее перечисленные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты к методы дзссертацкЕ когут быть использованы не только в пзретделенных направлениях, но и в теории массового обслуглвання, управления запасами, иадеяностн и других теоретических п прикладных областях теории вероятностей.

АПРОБАЦИЙ. РАБОТЫ. Основные результаты исследований докяагк-вались на 1У шэшународной конфереядги но теории вероятностей и математической статастаке (1985 г., Вильнюс), ИЛ семинаре по проблемам непрерывности и устойчивости стохастических моделей (1989 г., Кирижгов), И конференции по вероятностным методам б дискретной математике (1091 г., Петрозаводск), а тахне на следующих семинарах: по ветвяпшлоя процессам в пол руководством член.-лоре. РАЯ 5.А. Севастьянова, но вероятностным .методам в дискретной математике под руководством член.-корр. РАЛ Б.а.Севастьянова, д.й.-и.н. АЛ.Зубкова, проф. Е.А.Колчлна к проф. Б.П.Чистякова, по избраянш задачамтеэрлк вероятностей и математической. статлстлвд пои руководством акад. РАН Ю.З.Прохорова и проб. Б. .Сазонова, отдела теории вероятностей е математической статистики Института ГДатеватшси АН Украины под руководством акад. АН У В.С .Аоролюка, сепкнаре ВЖ МГУ

по теор£Ш вероятностей и гаатекат^ческой статкстаке яод руководством йро$, 2.л.1г,ругло2а, лро£. В.М.'одотарева н проф. Ь.Б.Ка-лашккова, семинаре :зйад по теории вероятностей я катематэтеско" статистике под руководство« псо§. Г.л.Ивченко, сшпнаре .Х-Жи по вероятностным методам в ддсдреткой катеттяке под руководством проф. Б.1-.Кодчняа.

Ш'ВЛ-КАш-1. Осяознне результаты диссертации ояуЗлжэганк в работах автора [1-12] , спясок которых приведен в конце автореферата.

¿Т?УЕТ7?А 7. ОЕЪ^у: РАБ07г1. Диссертация состоит :>з введения, 5 глав, содеркадлх в совокупности 12 параграфов к списка <штера-турк. Описок длтературк состоит кз 7С. наименований, обгцйй объем работа - 129 стралнц.

-- -'У ■ - ? Г -Г.-:-. й -■ ;

Бо введеназ дан краткий обзор полученных результатов :: отмечена нд овнзь с результата:.!!' другие нсс:е-;ованд1:.

Нукеращиг параграфов в ддссеоташд" сквозная.

первая глава посвящена тауберовнл теореиам а состоит лз трех параграфов. Первый параграф яоект вспомогательную роль - в нек ксслелузтся те обобпенкя правильно меняющихся Лункшй, которые в дальнейшем будут использоваться в тауберовкх теоредж. Зторол параграф посьязея гжогоморпзл таубзровж теорелаы, а третий -оаномеракм.

Прелде, чем еборыу¡гкровать основные результатк главк I, введем некоторке понятия.

Пусть Г - зашшуткй Бапукякй острый телеснй конус в с верлнной в нуле, то-есть, замкнутое вдлундое ;лно-хество в , такое, "то дал всех х €Г к £ > О -¿л: еГ , прячем ¿н-бГ£ф л ¿к { Г *Ф0 , ГFe

Г * = Ухе г}.

ÍIde этом сопряженный колус / тоже бупет въшукллдг острим к телесным.

ПололЕЫ $ - Г s 1°} , & ~ ¿K-i г „ С - ¿H-6 Г *. г , г

Запись сг & ^ (х * у) будет означать, что € Г

(zc <= € Q) Аналогичным образов вводится отношение

порядка в конусах (£, Л С . Естественным образом теперь Ш5ШО ввести понятие монотонной функции (в Г, £г> Г* еле с ). Скажем, функцию Дат) мы будем называть неубыващей в Г , если Г

при х sy -fdxy < ЩУ и т.ч. При h. ~ t колола! Г Преобразование Лапласа функции -f на. Г будем обозначать JL СХ) :

г -fA,*)

/оо = Je г

в пре.Ш10ло;кен:-;и, что оно существует при 7l& С . Функцию -fC^) будем казнзать t - ие-пенно колеблющейся на боокоавчностаг в Г (в £ ), если ыя всех ос е Г (х € £) при ^оо п д: зс

¿(¿Ъ) ~ = о См»,

где - некоторая пааояятельяая rfiyaracsi переменкой í ^ о . Положительную $гякцию /fce) буаеа называть слабо осцнлкрущей на бесконечности в Г (в G~ ), если она' fc - медленно колеблется на бесконечности в Г (в <£ ) при x(f) .для произвольного

вектора ее S (е € G) •

Праведен две тауберськ теорема, доказаякне в § 2. TS0PE1A 2.3. Пусть $ункидк tíé) празнлько меняется на бесконечности с показателей J >-н, , функция f(x) t - меддеяло колеблется на боокопечкоств в Г л цля всех' ЛбС lf!C*-)<' Тогда справе дливн следущие утверждения: I) Если я-:я всех А б С nps í

Кл) , /Кл)/< со, (!)

то для каждого хе £ ярк -6 оо

"Л

причем для всех Я € С существует л

2) Зслп клеет иесто (2), то для лекоторо'1 лупкплл вннолненн такко соотношения (1) л (3).

3) 3 яредпололеклл какого яз л. 1), 2) йуякгяя (рСх) непрерывна н однородна г> £ со степенью онносодностл ^ (то-естъ,

(/?(1х) ~ -¿^(рсх) нрз: -6 >о и X е & ), а соотчолеаие (2) выполнено равяо&ерно по ас е. ¡с зля произвольного компакта /С с £

Пр;: :: ЪСб) £ 1 лз тесрелк 2.3 следует известная

тауберова теорема Алттлвуда.

Аля явул конусов будед: писать , сслл залл-

каазе ляог.ества -{от: /ал = <*содержится в снгГ^.

Tr.0PE.lA ¿Л. Пусть дня некоторых неотрицательных функций /Таг; и ¿^х; , определенных в Г , существует лх преобразования

/■Л, -л

Лапласа л при Л € С , функция рСх) слабо оспллллрует на бесконечности в Г , ~ дСх) 7 х еГ,где

функция £(х) монотонна в £р , З^ннцкя Лсх) слабо осциллирует в (Г л для некоторые действительных > -л. ? (?>о , с >о н ПРОИЗВОЛЬНЫХ в л е е Г , 12! ~ 1

Р(-бх) /гае} & С1зс\л (4)

лрн $ 1x1 ^ ^> ж е Г . Рели зля некоторого телесного

конуса всех Л б <Г0

С-Сх-ь)/FCti) 1

то ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО КОНуса ro< Г

/Р(эс) 1 (/ОС/-» СО , ce € ro ) .

Из теоремы 2,4 следуют известные тауберовк теореж Харда к Лпттлвуда, Харамата, Зладхлдрова.

ЗАЫЕЧАНлЗ. В § 1 показано, что для каждой слабо осщсллцрую-aeïï функции F(oc) s некоторых «С? в > о > с > о справедливо неравенство (4). Tas что единственным дополнительным требование!.! в теореме 2Л является неравенство «С > -h, ..

Б § 3 диссертации вводится новое понятие слабой эквивалентности функций на бесконечности. Для двух (Оункщй; еg¿4) , заданных к положктельннх прд é^ л ьж будем писать, что

4с-6) ~'/ft) ^

при ¿"9оо , если для произвольного £ > о мозяо указать такое (о >1) , что дл я любого S'éYcbS'û) найдется >о , что при i о выподяенк неравенства

£ J-U) £ pi-iff-S)).

Вела одна кз функций ^ или ^ слабо оещьллкрует па бесконечности, то из (5) следует ех обкчная эквивалентность на бесконечности -f-l-t ) л, ^(-i ) то-есть, соотношение

//Vj /f(-t) -7 при / .

Приведем одну ез тауберовых теорем § 3.

I30PEHA 3.1. Пусть заданы функции Q(-H) , > о ,

с'т= i,A , > о , причем Cfyd) к не возрастают, а лли) и в^С-Ь) слабо осцкллирувт на бесконечности. Положим

f

0 o

^ -A

Зсди a (-l/-i) ** Sfate) при -é °o К ЕЛЯ вск: я е /о, )

вш)/вс*> < "í,

ОО

то Q(-t) éfe; при / оо .

TICPILLi 3.1 в дальнейаек применяется при исследовании асяштотическюс свойств случайнго: процессов рекордов, а та;лке безгранично пелилнх распределений.

Вторая глава состоит из двух параграфов: 5 4 л § L ne'i изучается один класс критических ветвящихся процессов йенл-?,сатза-Харр~са.

Напомним, что в ветвящихся процессах Бедлааяа-Харрпса калдая частила является независимой вероятностной копией первоначальной частник, имелш£ фушадоэ распределения яязня Q(i-) , i о к производяцуз Гушяшз числа пототов.порозсае-ккх частицей в конце "шзнп, &(S) > S € Ео> 12 . Критичность процесса означает, что Я '(*) = 1 (в среднем одна частица посочс-лает одну). Пусть- число частях- в коиеят / в процессе Беллмана-йарриса, если в начаиьнкй лххлект ¿ = о в процессе бала одна частила пулевого возраста. В параграфе 4 доказывается следузацая продольная теорела.

TKOPZii 4.1. Пусть GCot) о,

&CS) = $ + (1-S')'t+* ) , S е Со, i),

V - QU) = , -é> о >

и (i- ест)

- Я^СО)

—> OO f/l OO )

где <¿ & , j6 >0 . фуаЕцзи^ z ¿ 0 иедленао меняется

Приводится явная формула для производящих функций предель-

ного процесса, из которой следует, что ^7/гз —> при .

Ото указывает на новый яеогшданЕкй эффект, обнаруженный в ветвящихся процессах Беллкача-ларрнса.

мы 4.1 доказана В.А.Ватутины« еще в IS7S году. Теорема 4.1 была получена ладь в I9G4 году, так как .для ее доказательства потребовалась разработка специального .матеьэтического аппарата, основанного на многомерных таубесовых теоремах. В § 5 в условиях теоремы 4.1 доказана еде одна предельная теорема.

ТЕ0РЕ.1А 5.1. Пусть выполнены все предположения тзорег;ы 4.1 н при о s rs-í есть число частиц в процессе, которые

существует в момент т я будут существовать б шгвеят é •

-i

Тогда для произвольного £ £ (0,11 при J - (i-teL) и -¿

Р

Ответа."., что предельная теорема zum Nfír) в условиях теоре-

М / ¡J4(V>o] 1- (1-S)*.

Теорема 5.1 указывает на то, что для рассматриваемого класса процессов при больших •£ с вероятностью, близкой к 7 , все существующие в момент ^ частицы имеют возраст, больший .

Таким образом, процесс продолжается за счет существования чacт^щ-nдoлгoяитeлeft,'. Дальнейшими исследованиями в этом направлении занимались В.А. Топчи! и С.М. Сагитов. В частности, В.А. Топчяй обнаружил аналогичные эффекта в ветвящихся процессах Крамда-Мода-Дгерса, а С.М. Сагитов изучал асимптотическое поведение-редуцированных ветвящихся процессов.

Если отношение в (6) стремится не к бесконечности, а к некоторой неотрицательной константе, то в этом случае справедливы другие предельные теорема {В.А. Ватутин).

3 главе 3 изучается асимптотика безгранично делимнх распределений на бесконечности. Пусть случайная величина ^ имеет безгранично делимое распределение с мерой Деви (¿х) . Положим

= 5 иЫх) > -6*0.

■ь

В 1961 году З.М. Золотарев показал, что если % ^ о и ) правильно меняется на бесконечности, то } ^

Обобщению и уточнению этого результата посвящен § 6 главы 3. Здесь, в частности, доказали слецущие две теоремы. ТЕОЕ0Ш 6.1. Пусть

¿¿Т^ < (?)

оо

Тогда при {г -* ~=> ■

ТЕОРЕМА 6.2. Пусть , вниолнено (7) и при неко-

тором а >о у функции ¿//V) существует непрернвная производная с^'ц) » вогнутая на множестве Г®^ . Тогда при £->«5

Р{ 6 } ~ - А!! + о^т/6) .

Теорема 6.1 пересекается с результатами Сгибнева, Эмбрехтса,

с л

Голди и Веравербеке, однако случай, когда ^ ),

но Р/ ^ > у(4) при ^ , в этих работах не содержится. Что же касается теоремы 6.2, то ранее бшга получена лишь оценка для интеграла разности между Р{ $>■£} и (В.М. Золотарев). В теореме же 6.2, как нетрудно заметить, приведена точная асимптотика для этой разности. Исследован в § 6 так&е и случай = 00 (теорема 6.3). Случай, когда дара Лева безгранично делимого распределения сосредоточена на конечно® множестве, рассмотрен в литературе достаточно подробно. Наиболее общие результаты здесь получены В.М. Кругловым 1 8.1, Антоновым.

В § 7 исследуется асимптотика плотности безгранично делимых распределений на бесконечности. Доказана следующая теорема. ТЕОРЕМ 7.1. Представим спектральную меру в виде ~ / , где д - ее абсолютно непрерывная часть. Пусть

И . о

) - плотность меры Л ,/з . Предположим ^что для всех н е А/

оо

] ^ ¿6 <

существуют такие £>о и ¿> £ , что ^(-1) 1/-6- для всех ^ с (о, е) , функция ¿а) = монотонна и непрерывна при ^ , функция ^и) слабо осциллирует на бесконечности и для всякого я > 1

ГСЛ^/ък) < -1,

оо

где г«) / ¿у . Тогда при д(-+ )}

где - плотность распределения случайной величины ^.

Если к настоящему времени имеется большое количество результатов, касающихся асимтотикк Р/ I7 > i } , то аеиштотика плотности безгранично дадшшх распределений общего вида ранее не изучалась. Так что теорема 7.1 является первым результатом в

-И-

этон направлен!"!:.

В главе II изучаются асимптотические свойства случайных А -подстановок. Зарлксируем некоторое кконество Д £ А/ . (\ --подстановками называют подстановки, .длины цлллов которых принадлежат множеству . Пусть 7/г - совокупность всех Д --подстановок степени д, , - число цшс.юз случайной под-

становки, ралнолеопо распределенной в Т^ , кмеэдюс длину Ые(\ ^ь» ~ ойдее число ее циклов:

н ей

Через /X/ будем лалее обозначать число элементов конечного лнслсества X . В главе 1Д ставятся и релаэтся спедундие задачи:

1) леходлелпе асимптотики/"П^ 1 при к .

2) Аснлптотичесчое поведение (в сла,^ол ол :ело) и при к >=о и •Тдкс.г.оогагшог» ме/1 ,

В § 8 рассматривается случай единичной аснлптотпчсснон плотности глколества А :

/ Ы : Ьл 6 А 7 ^ $ ц ]—> ^ ^ »о) (б)

7а;,ое выдедеаке частного случая оправдывается б салу трех причин. Первая: этот случай является наиболее проста.-; с точки зрения применяемого математического аппарата. Вторая: ото позволяет легче перейти к более слохнолу случаю произвольной асимптотической пдотяостн лно:т:ества А . Третья: соответствующие результате, обобщают некоторые исследования, производившиеся ранее. С^рмулируеы полученные в | 8 результате. ТЗОЕЗаА 0.1. Пусть внполнено (3). Тогда при н

¡Тн1 ^ к ! еоср С- £ )

ы е 8^)

где 8Г^) = ■ ьл $ к. ? ф й ).

Т20РЕЫА 8.2, Пусть выполнено (8). Тогда распределение случайной величины

& = С^к-^))/^

слабо схоцится ври н к стандартному нормально;.^ закону,где

еы) ■= ёк !г\ —

у* е вс*)

ТЕОРЕМА 8.3, Пусть вшолнено (8). Тогда дая произвольного фгжсированного >п ё А распределение случайной величины слабо сходится при И- «з к пуассоновскому распределению с параметром .

Ранее Э .А .Вендором к А.И.Павловым были рассмотрены соответственно случаи конечного 6 = /V 4 А ж сходимости ряда

^ . Ьл €6

Теорема 8.2 обобщает такие известный результат Гончарова Б Л. Б § 9 исследование продолжается в случае произвольной асимптотической плотности й , равной <3' >■ о . Сформулируем полученные здесь результаты.

ТЕ0Р2МА 9.1. Пусть при п оо

/к : к $ к > ¡с е А I /л. О" > о,

//с: КГ<:И.? ке А , Ы~к:€Й 1/*ъ б""1, (Ю)

если М > ь , М =■ О (л). Тогда

/Гя/- я/ /^-'¿¿м /Г(<э),

где функция ^ ¿л) медленно меняется на бесконечности, причем

^(п) = ^ 1/Ы - яви*),

Мё АК

- постоянная ЭЧлера, Г(') - гамаНУУакция.

Т20Рй«1А 9.2. Пусть выполнены соотношения (9) и (10). Тогда распределение случайной величины

& = С -

слабо сходится при л «*» к стандартному нормальному закону, где

= ¿И ^/м . Ме Д^'-н

ТЕОРЕМА 9.3. Пусть выполнена соотношения (9) и (10). Тогда для произвольного ¿¡шсзрованного М е Д распределение случайной величины слабо сходится при к л пуассояовскому распределению с параметром -т/м. .

Для других классов шояеств Л аяаадгичане задачи решались в работах Ю.В.Болотникова, В.Н.Сачкова, В.Е.Тараканова, А.В.Кол-чияа, В.Ф.Колчина, А.И.Павлова.

Отметим, что в результатах автора главы 1У, опубликованных ь 19Ь9 году, впервые показано, что асимптотика 17~н I/к ! может отличаться от степенной функции произвольным медленно меняяьзшся множителем. Это обстояте.1ьство существенно расширило класс рассматривающихся ранее множеств А. До этого изучались то.шсо множества А, у которых 1Ти!/ь ! имело чисто стеленную асимптотику.

В § 10 приводятся примеры множеств й , удовяетзоршовдах соотношениям (9) и (10).

Пусть заданы некоторая функция у(4) при Ьъ-О п конечное объединение Д отрезков из Со,12 . Число М€Л/ ш будем включать в мнокество А тогда и только тогда, когча

-14-

€ А ({ау есть дробная часть а) . ТВОВМк 10.2. Пусть для некоторого нецелого <¿ >f е медленно меяящейся fía бесконечности функции

д({) =г

причем для /г = 7, ¿, ... } £"<¿ 3-* Z ( £ 3 - целая часть <¿ )

ПрИ —> аз

^V-tíj = ofr~Ke(*». ш)

Тогда выполнены соотношения (9) и (10). Ответим, что условие (II) не является ограничительным, йзвество, что для всякой медленно меняющейся ¿{¡/акции существует эквивалентная ей на бесконечности, обладающая свойством (II). Для большинства использующихся медленно меняющихся функций оно выполнено. .Отдельно разобраны случаи <L é (o,-i) и целого ai .

В последней, пятой главе, изучаются вероятности больших уклонений ддя некоторых случайных величин в схеме рекордов.

Более конкретно, пусть заданы .две последовательности независимых в совокупности случайных величин э > и > > ■ ■ • ' щжчем = f&C)3cgN> f>{ г = Gcsr-y , = о,-т, г, ■ ■ ■ Будем предполагать, что F(о) ~ о к (?{лэ непрерывна. Доло;ша

К * {<-. С е /V, JV > Ъ

Sh = ••• , * € - О ,

А/Л?) = ЪО, Sh £ i } J MU) =■ tn^c:

tG К , С < NU) 5 , TU) = i - FU),

-1э-

У({) = / Т(и) ¿и (-е >,

о~)

Пусть 's0¿ - момент ¿' -го скачка б случайном процессе рекордов ■[ Т^/ц^ > £ г-о V,, = о. 3 § II изучается асимптотика Р^Тс > •£ у яра ¿-»«о и фиксированных ¿'е /V , где ту = ~ ^---т . Здесь доказаны следующие три теоремы.

ТШР&ЛА 11.1 Пусть для всех а е (о,-г)

^-»оо

Тогда для каждого с е А/ при ^ °о

где /хЛ; - неубываощая, мел^екко женящаяся на бесконечности аушшия, равная ¿и ^ /1/^.)) •

теорема. 1Т.2. пусть М - м <оо н = о -Ь «о . Тогда для всех ¿' £ /V при £

Гс- > -6 } ^ Ы тГ' ¿п ) /Сс~г)!

ШШЕзк 11.3. Пусть для всех « е. (о>1) к некоторого с е N а-Ь *

4 во о о

где = ¿е&) (Ч. г

= . Тогда

р{ Тс->Ь) //а ) /V / (-> «в) .

Теорема 11.1 охватывает случаи, когда Л/= оо и функция дЦ) - {г >*} не является медленно меняющейся на

бесконечности. Теорема II .2 справедлива при М ^ <«к ~ - о (■*/&пО, Наиболее сложной для доказательства яв-

ляется теорема 11.3, в которой исследуется промежуточный случай, когда £(■£) медленно меняется на бесконечности.

Аналогичные задачи изучались ранее ь работах Эмбрехтса, Оми п Бесткотта. В этих работах рассмотрен случай, когда функция ~Т(4) регулярно меняется на бесконечности. Подход авторов базировался на представлении Р{ Г£- £ зг^ в виде

где Р Си}х) - и - кратная свертка функции распределения Яс*) с собой, а - некоторые яолоштельяые числа, л последующем асимптотическом анализе этого соотношения.

Переход к более общему случаю потребовал привлечения новых идей. Сава относится, в частности, введенное в главе I понятие слабой эквивалентности функций, а также тауберова теорема 3.1.

В последнем, двенадцатом параграфе диссертации, рассматриваются так называемые К. -ые рекордные моменты. Для каждого И г о по случайным величинам з • • • , построим

вариационный ряд

$ V

п.

к: -ые (к & А/) рекордные моменты { (н) , к ~ ... у

»Г*>

определяются следующим образом: V (о) ^ /с--г л ^ О .и,* Ч) ГН) , >

я. = о, -I, в § 12 доказывается следующая теорема.

ÏSOPEIîlA 12.ï. Для всех le, h. € N при í-feo

Асимитоткка вероятностей больших уклонений для случайных величия V (п) получена автором впервые.

Автореферат написан при финансово» поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, гранты 97-01-00721 и 96-15-9602.

Основные работа автора по теме диссертации.

1. Якнмив A.A. Две предельные теоремы для критических ветая-ллхся процессов Беллмана-Харриса //латем. заметки. 1904. Т. об. В I. С. IÜ9-ÍI6.

2. Якыдав АЛ. Многомерные тауберовы теореыы типа Карашта, Кел-дьша и ЛкттлЕуда //ДАН СССР. 19оЗ. Т. 270. !Ь 3, С. 558-5GI.

3. Якнмкв А.Л. Асимптотика вероятности проноляения ветввдихся процессов Беллмана-Харриса //Трудн ЖАН СССР. 1986. Т. 122. С. 177-205.

4. Якнмив А.Л. Асимптотические свойства моыеятов изменения состояний в случайном процессе рекордов /'/Теория вероятн. и ее пржен. 1Эо6. Т. 31. 3 3. С. 577-581.

о. Якымив А.Л. Асимптотическое поведение одного класса безгранично делимых распределений //Теория вероятя. и ее примен, 1SS7. Т. 32. И. С. G9I-7C2.

6. Якымив A.A. 0 числе А-иодстановок /Датем. сб. 1969. Т. 130. & 2. С. 2S4-303.

7. Якнмив А.Л. 0 подстановках с длинами циклов из заданного множества //дискретная математика. Ï989. T. I. Ш I. С. 125- -134.

.-188. Якшшв АЛ. Асимптотика плотности безгранично делимого распределения на бесконечности //Проблеш устойчивости стохастических моделвй.: Труды сеьзшара. Ц. :ВШИСИ. IS90. С. 123-131.

9. Якшив АЛ. О случа&шх подстановках с длинами цихсдов из заданного множества //Вероятностные процессы и их приложения: Межвузовский сборник. М.: IS9I,. С. 24-27.

10. Якымие А.Л. 0 некоторых классах подстановок с длинами циклов из заданного множества //Дискретная математика. 1992. Т. 4. М 3. G. 128-134.

11. Яккмив АЛ. Асимптотика К-х рекордных моментов //Теория ве-роятн. и ее примен. IS95, Т. 40. >5 4. С. 925-928.

12. Уvkyhb¿irfl.%. tÍÁCO-TM^S ¿o* tando^i.

p¡ - p&ttwuici-ÍLons // Рг-ое. 3 ~ td P¿i vc-zawdsk Сен-f. ои. Ръоб. Me-iA-cds en D¿sch. Mo-iA. 1943. P. 459-469.

ЛИТЕРАТУРА

1. AM N. N. Uni^buoka^ и&ъ cUt RMA? 1 + + {/УоиЛИсЛ j-Uf MaiA. 1&AG. V.1. P.

2. HcMoly ф.Н.3 ~3Uit£e WVod у. S. Тсш&Мак

COn$Ct>rUh.cj. poxovt a^d Di'zt'ck&ei^s ¿^a'gs

cotjjiObe^tS aru poMtiirt-// Ръое. da^don Math. St^e. 1914 • V. 13. P- 114 - 191.

3. Tcuc4vt fi. Sa ib cui& d&t ТЛлс^е dm. u,hj&uioL'(vh£*i fW^M // Mo ha hell . Hail, i/sr* . V.8 P. -

-1чч-.

of MaU.

13гл. V- a/91, p. i~ioo.

5. Кеддап H.B. Об одной таубер0Е0й теореме// Тр. МИАН СССР. I9EI. Т. 38. С. 77-86.

6. /Ссчмтъба J. /У-е^-г^с Beu^-'i iihd QCbu'fyVt -

Sa'6?e // 2. 1<Э$-Г. Zd.il

Я ¿0<f- л 99.

7. Kot&irac^c Я vesty guested fotfvi о/ ^dtSi

-i flBOZM^X .

//fhec. Htd. aJcad. YJe/^soU. iW. fi. V. P- 36 -

8. Владимиров В.С*, Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тауберош теоремы для обобщенных функций. М.: Наука, 1986

9. N' Н ■ Таи&ы'сы -iAzor^c ¿к.

№hs £ч MatA. im. P. 6-ЛО.

10. Ватутин В.А. Дискретные предельные распределения числа частиц в критических ветвящихся процессах Беллкана-Харраса// Теория вероятн, и ее примен. 1977. Т. 22. II. С. 150-155.

11. Золотарев В.М., ¡Ливанов И.О. Дополнения. В кн.: Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985.

-2012. Новиков А.А. Ыартингальные тождества» неравенства ж их применение в нелинейных граничных задачах доя случайных процессов // Докторская диссертация. ШАН СССР, 1982,

13. Постников А.Г. Тауберова теория и ее применения. Мл Наука, 1979.

14. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы, ограниченные снизу// ДАН СССР. 1978. Т. 238. & 4. С. 8II-8I3.

15. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.; Мир, 1984.

16. '¡Utbjfa'wood. У- £. T-Az одикгл of г ■fox, рогом. S<^и'е.£ // Ргое. ¿¡London HaiA, $хс. 1910 ■ I/. Э. Р. ЧЪЧ-ЧЧ9.

17. Топчий БД. Предельные теореш дяя критических общих ветвящихся процессов с долгоясивудами частицами// Стохастические и детерминированные модели сложных систем. Новосибирск, 1988. С. II4-I54.

18. Сагитов С.М. Три предельные теореш дяя редуцированных критических ветвящихся процессов// 7Ш. 1995. I 5. С. 183-202.

19. Ватутин В.А. Предельные теореш для критического ветвящегося процесса Беллмана-Харрнса с бесконечной дисперсией// Теория вероятностей и ее примен. 1976. Т. 21. J6 4. С. 861-863.

20. Ватутин В.А. Новая предельная теорема .для критического ветвящегося процесса Беллыана-Харриса// Матем. cd. 1979. Т. 109.

# 3. С. 440-452.

21. Золотарев В.М. Об асимптотическом поведении одного класса безгранично делимых законов распределения// Теория вероятн. и ее примен. 1961. Т. 4. В 3. С. 330-334.

22. Сгибнев И.О. Асимптотика безгранично делишзс распределений в // Сиб. Матем. ж. 1990. Т. 31. й I. С. 135-140.

23. ёыЛ-uekis Р. , QoBclie СА.М-, Л/. кЛсх/жкшKaJLty and ck^mU М^ибЩ//!. WaAz. VwxT- 19*9. V.W. Р.ЗЗ^Ш.

-2124. Круглов В.М., Антонов С.Н. Об асимптотическом поведении безгранично делимых распределений в банаховом простраястве/Деория вероятн. и ее прдаен. 1982. Т. 27. $4. G. 625-642.

25. Круглов В.М., Антонов G.H. Еще раз об асимптотическом поведении безгранично делимых распределений в банаховом простраястве//Те-ория вероятк. и ее прим. 1984. Т. 29. № 4. G. 735-742.

26. Бендер З.А. Асимптотические метода в теории перечисленз:"//Ие-

речислительвде задачи комбинаторного анализа. М.: Мир, 1979.

27. Павлов А.И. О подстановках с .длинами циклов из заданного мно-жества//Теория вероятн. и ее примен. 1586. Т.. 31. 13. С. 618619.

28. Гончаров В.Л. Из области комбинаторики// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1944. Т. 8. С. 3-48.

29. Болотников Ю.В., Сачков В.Н., Тараканов В.Е. О некоторых классах случайных величия на циклах случайных подстановок// Мат. сб. 1979. Т. 108. J6 I. С. 91-104.

30. Колчин A.B. Сушн независимых случайных величин и некоторые комбинаторные задачи//Кандидатская диссертация. ЖУ, 1994.

31. Колчин В.Ф, 0 числе подстановок с ограничениями на длины циклов //Дискр. маг. 1991. Т. 3.12. С. 97-109.

32. Павлов А.Й. 0 числе циклов и цикловой структуре подстановок некоторых классов/Д1ат. сб. 1984. Т. 124. & 4. С. 536-556.

33. Павлов AJI. Онекоторых классах подстановок с теоретико-числовыми ограничениями на длины циклов/А1ат.сб. 1986. Т.129. Ш 2. С. 252-263.

34. Павлов А.И. О числе подстановок с длинами циклов из заданного множества// Диск. мат. 1991. Т. 3. С. I09-123.

35. Westwít М- 'tav-dc^ ъеоо-иА ьчхМ/I Prve, Rcp. $ое.

XandoH. 194 я. 3S?. Но им . Р. 5-4.9-S44.

36. быАгокй Р., Owtf В. Oh ^JoicL'KaUd ЖъыЛьЪ'о* vanJo*» Yzootd рхосЫШ. //MaíA. Рсос. GunJ. Soe. . К 95. Р.ЪЪ9-б£$.