Вероятностные приложения тауберовых теорий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Якымив, Арсен Любомирович АВТОР
доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
1998 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.05 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Вероятностные приложения тауберовых теорий»
 
Автореферат диссертации на тему "Вероятностные приложения тауберовых теорий"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ШЕМШЧВСКИИ ИНСТИТУТ им. В.А СТЕКЛОВА

Г "В од

'! ' 1 г- ]' 1 г4».

На правах рукописи

Якьшив Арсен Любомирович

УЖ 519.2

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТАУБЕРОЖХ ТЕОРШ

(01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА

- 1998

Работа выполнена в Ордена Ленина и Ордена Октябрьской Революции Математическом институте им. ВЛ.Стеклова Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты;

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н.Дронжкнов,

доктор физико-математических наук, профессор В.М.Круглов,

доктор физико-математических наук, профессор А.Д.Соловьев.

Ведущая организация: Московский Государственный институт электроники и математики.

Защита диссертации состоится А. 1938 г. в

на заседании диссертационного Ученого Совета Д.002.38.03 при Мате.матичвоком институте т. В.А.Стеклова РАН по ащ>есу: 117966, г, Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан ШШ-Цй. 1998 г.

Ученый секретарь

Совета Д.002.38.03, д.ф.-м.н., профессор

Общая хаоактесистлка работы.

АаГ/АЛЫ'ООТЬ T;l;j. Осковы таубэровой теория заложены П.Абелем, ГД.Харщ1,И.2Лкттлвудом и А.Таубером, в честь 'которого эта теория берет свое название. Существенное влияние на ее становление оказали Н.Влнер, ^.В-Келадл, й.Карашта, К.Кореваар.

Глубокое распространение тауберовой теорпк на обобщенные йуякцкн дано В .С .Ьла,дащровки, 1Ал.Дро.^:;шювыгл к Б.И .Завьялова.

Широкое применение тауберова теория получила е теории вероятностей. ТауберовЕ теоремы при исследовании аснодхтоитс&их задач теорпя.. вероятностей применяя:!, в частности, А .Г .Блнгхе:л, В.А.Затуткн, 3...¡.Золотарев, A.A.'.îobkkob, а .Г.Постников, Б.а. Севастьянов, Б.уеллер л ряд другие ма-гекатнков.

В ластоядз:' ппссеэтгшки сояергзатся дальяеСжз ассленогаигл как по тауберово?. теории, так к по эе вероятеостгаш пркжггскзй;.

Цельа работы является: изучение классов ^яквдй, обобщавшее правильно ыепяхгшеся, доказательство тауберовкх теорем л ех прпкеяекле npz лсслелованЕХ ветвящихся процессов, безгранично аодзмЕХ распределений, А - подстановок к случай/шх процессов реко слов.

:и5Т07ЖА АЗСЛВ ЛЬАь,л. Доказательство ссответствузхдвс асимптотических соотношений основаяо на изучении свойств преобразований Далласа л прикеаениг тауберовнх теорем.Основной слолностьа здесь является проверка соответствующих тауберовых условий. Поэтому подход здесь инлиьпдуаяьккй к каддой исслелуелой задаче. Доказательство тауберовых теорем существенно использует свойства введенных автором так наз; шае^нх последовательностей асимптотически непрерквякх Аункглй и теоремы непрерывности для преобразования Лапласа функций, определенных в конусе пз fi^ .

TiA7ЧП£ :ш:ЗНА. Ï работе: а) доказали тауберовы теорвдсы для преобразования Лапласа;

б) доказаны предельные теорелк для: критических ветвящихся процессов Безлмана-Херрнса;

в) исследована асимптотика вероятностей болъзих уклонений для безгранично лагвашх случайных величия, а такле асимптотика плотности безгранично далвдах раоцределелиЕ на бескопечноего;

г) доказаны предельные теоремы для числа плклое (общего к фш:-■ сировайвдй.-дденн) случайных А - подстановок;

д) изучени асшлптотжческие свойства моментов изменения состояний, в случайное процессе рекордов.

Бее перечисленные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты к методы дзссертацкЕ когут быть использованы не только в пзретделенных направлениях, но и в теории массового обслуглвання, управления запасами, иадеяностн и других теоретических п прикладных областях теории вероятностей.

АПРОБАЦИЙ. РАБОТЫ. Основные результаты исследований докяагк-вались на 1У шэшународной конфереядги но теории вероятностей и математической статастаке (1985 г., Вильнюс), ИЛ семинаре по проблемам непрерывности и устойчивости стохастических моделей (1989 г., Кирижгов), И конференции по вероятностным методам б дискретной математике (1091 г., Петрозаводск), а тахне на следующих семинарах: по ветвяпшлоя процессам в пол руководством член.-лоре. РАЯ 5.А. Севастьянова, но вероятностным .методам в дискретной математике под руководством член.-корр. РАЛ Б.а.Севастьянова, д.й.-и.н. АЛ.Зубкова, проф. Е.А.Колчлна к проф. Б.П.Чистякова, по избраянш задачамтеэрлк вероятностей и математической. статлстлвд пои руководством акад. РАН Ю.З.Прохорова и проб. Б. .Сазонова, отдела теории вероятностей е математической статистики Института ГДатеватшси АН Украины под руководством акад. АН У В.С .Аоролюка, сепкнаре ВЖ МГУ

по теор£Ш вероятностей и гаатекат^ческой статкстаке яод руководством йро$, 2.л.1г,ругло2а, лро£. В.М.'одотарева н проф. Ь.Б.Ка-лашккова, семинаре :зйад по теории вероятностей я катематэтеско" статистике под руководство« псо§. Г.л.Ивченко, сшпнаре .Х-Жи по вероятностным методам в ддсдреткой катеттяке под руководством проф. Б.1-.Кодчняа.

Ш'ВЛ-КАш-1. Осяознне результаты диссертации ояуЗлжэганк в работах автора [1-12] , спясок которых приведен в конце автореферата.

¿Т?УЕТ7?А 7. ОЕЪ^у: РАБ07г1. Диссертация состоит :>з введения, 5 глав, содеркадлх в совокупности 12 параграфов к списка <штера-турк. Описок длтературк состоит кз 7С. наименований, обгцйй объем работа - 129 стралнц.

-- -'У ■ - ? Г -Г.-:-. й -■ ;

Бо введеназ дан краткий обзор полученных результатов :: отмечена нд овнзь с результата:.!!' другие нсс:е-;ованд1:.

Нукеращиг параграфов в ддссеоташд" сквозная.

первая глава посвящена тауберовнл теореиам а состоит лз трех параграфов. Первый параграф яоект вспомогательную роль - в нек ксслелузтся те обобпенкя правильно меняющихся Лункшй, которые в дальнейшем будут использоваться в тауберовкх теоредж. Зторол параграф посьязея гжогоморпзл таубзровж теорелаы, а третий -оаномеракм.

Прелде, чем еборыу¡гкровать основные результатк главк I, введем некоторке понятия.

Пусть Г - зашшуткй Бапукякй острый телеснй конус в с верлнной в нуле, то-есть, замкнутое вдлундое ;лно-хество в , такое, "то дал всех х €Г к £ > О -¿л: еГ , прячем ¿н-бГ£ф л ¿к { Г *Ф0 , ГFe

Г * = Ухе г}.

ÍIde этом сопряженный колус / тоже бупет въшукллдг острим к телесным.

ПололЕЫ $ - Г s 1°} , & ~ ¿K-i г „ С - ¿H-6 Г *. г , г

Запись сг & ^ (х * у) будет означать, что € Г

(zc <= € Q) Аналогичным образов вводится отношение

порядка в конусах (£, Л С . Естественным образом теперь Ш5ШО ввести понятие монотонной функции (в Г, £г> Г* еле с ). Скажем, функцию Дат) мы будем называть неубыващей в Г , если Г

при х sy -fdxy < ЩУ и т.ч. При h. ~ t колола! Г Преобразование Лапласа функции -f на. Г будем обозначать JL СХ) :

г -fA,*)

/оо = Je г

в пре.Ш10ло;кен:-;и, что оно существует при 7l& С . Функцию -fC^) будем казнзать t - ие-пенно колеблющейся на боокоавчностаг в Г (в £ ), если ыя всех ос е Г (х € £) при ^оо п д: зс

¿(¿Ъ) ~ = о См»,

где - некоторая пааояятельяая rfiyaracsi переменкой í ^ о . Положительную $гякцию /fce) буаеа называть слабо осцнлкрущей на бесконечности в Г (в G~ ), если она' fc - медленно колеблется на бесконечности в Г (в <£ ) при x(f) .для произвольного

вектора ее S (е € G) •

Праведен две тауберськ теорема, доказаякне в § 2. TS0PE1A 2.3. Пусть $ункидк tíé) празнлько меняется на бесконечности с показателей J >-н, , функция f(x) t - меддеяло колеблется на боокопечкоств в Г л цля всех' ЛбС lf!C*-)<' Тогда справе дливн следущие утверждения: I) Если я-:я всех А б С nps í

Кл) , /Кл)/< со, (!)

то для каждого хе £ ярк -6 оо

причем для всех Я € С существует л

2) Зслп клеет иесто (2), то для лекоторо'1 лупкплл вннолненн такко соотношения (1) л (3).

3) 3 яредпололеклл какого яз л. 1), 2) йуякгяя (рСх) непрерывна н однородна г> £ со степенью онносодностл ^ (то-естъ,

(/?(1х) ~ -¿^(рсх) нрз: -6 >о и X е & ), а соотчолеаие (2) выполнено равяо&ерно по ас е. ¡с зля произвольного компакта /С с £

Пр;: :: ЪСб) £ 1 лз тесрелк 2.3 следует известная

тауберова теорема Алттлвуда.

Аля явул конусов будед: писать , сслл залл-

каазе ляог.ества -{от: /ал = <*содержится в снгГ^.

Tr.0PE.lA ¿Л. Пусть дня некоторых неотрицательных функций /Таг; и ¿^х; , определенных в Г , существует лх преобразования

/■Л, -л

Лапласа л при Л € С , функция рСх) слабо оспллллрует на бесконечности в Г , ~ дСх) 7 х еГ,где

функция £(х) монотонна в £р , З^ннцкя Лсх) слабо осциллирует в (Г л для некоторые действительных > -л. ? (?>о , с >о н ПРОИЗВОЛЬНЫХ в л е е Г , 12! ~ 1

Р(-бх) /гае} & С1зс\л (4)

лрн $ 1x1 ^ ^> ж е Г . Рели зля некоторого телесного

конуса всех Л б <Г0

С-Сх-ь)/FCti) 1

то ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО КОНуса ro< Г

/Р(эс) 1 (/ОС/-» СО , ce € ro ) .

Из теоремы 2,4 следуют известные тауберовк теореж Харда к Лпттлвуда, Харамата, Зладхлдрова.

ЗАЫЕЧАНлЗ. В § 1 показано, что для каждой слабо осщсллцрую-aeïï функции F(oc) s некоторых «С? в > о > с > о справедливо неравенство (4). Tas что единственным дополнительным требование!.! в теореме 2Л является неравенство «С > -h, ..

Б § 3 диссертации вводится новое понятие слабой эквивалентности функций на бесконечности. Для двух (Оункщй; еg¿4) , заданных к положктельннх прд é^ л ьж будем писать, что

4с-6) ~'/ft) ^

при ¿"9оо , если для произвольного £ > о мозяо указать такое (о >1) , что дл я любого S'éYcbS'û) найдется >о , что при i о выподяенк неравенства

£ J-U) £ pi-iff-S)).

Вела одна кз функций ^ или ^ слабо оещьллкрует па бесконечности, то из (5) следует ех обкчная эквивалентность на бесконечности -f-l-t ) л, ^(-i ) то-есть, соотношение

//Vj /f(-t) -7 при / .

Приведем одну ез тауберовых теорем § 3.

I30PEHA 3.1. Пусть заданы функции Q(-H) , > о ,

с'т= i,A , > о , причем Cfyd) к не возрастают, а лли) и в^С-Ь) слабо осцкллирувт на бесконечности. Положим

f

0 o

^ -A

Зсди a (-l/-i) ** Sfate) при -é °o К ЕЛЯ вск: я е /о, )

вш)/вс*> < "í,

ОО

то Q(-t) éfe; при / оо .

TICPILLi 3.1 в дальнейаек применяется при исследовании асяштотическюс свойств случайнго: процессов рекордов, а та;лке безгранично пелилнх распределений.

Вторая глава состоит из двух параграфов: 5 4 л § L ne'i изучается один класс критических ветвящихся процессов йенл-?,сатза-Харр~са.

Напомним, что в ветвящихся процессах Бедлааяа-Харрпса калдая частила является независимой вероятностной копией первоначальной частник, имелш£ фушадоэ распределения яязня Q(i-) , i о к производяцуз Гушяшз числа пототов.порозсае-ккх частицей в конце "шзнп, &(S) > S € Ео> 12 . Критичность процесса означает, что Я '(*) = 1 (в среднем одна частица посочс-лает одну). Пусть- число частях- в коиеят / в процессе Беллмана-йарриса, если в начаиьнкй лххлект ¿ = о в процессе бала одна частила пулевого возраста. В параграфе 4 доказывается следузацая продольная теорела.

TKOPZii 4.1. Пусть GCot) о,

&CS) = $ + (1-S')'t+* ) , S е Со, i),

V - QU) = , -é> о >

и (i- ест)

- Я^СО)

—> OO f/l OO )

где <¿ & , j6 >0 . фуаЕцзи^ z ¿ 0 иедленао меняется

Приводится явная формула для производящих функций предель-

ного процесса, из которой следует, что ^7/гз —> при .

Ото указывает на новый яеогшданЕкй эффект, обнаруженный в ветвящихся процессах Беллкача-ларрнса.

мы 4.1 доказана В.А.Ватутины« еще в IS7S году. Теорема 4.1 была получена ладь в I9G4 году, так как .для ее доказательства потребовалась разработка специального .матеьэтического аппарата, основанного на многомерных таубесовых теоремах. В § 5 в условиях теоремы 4.1 доказана еде одна предельная теорема.

ТЕ0РЕ.1А 5.1. Пусть выполнены все предположения тзорег;ы 4.1 н при о s rs-í есть число частиц в процессе, которые

существует в момент т я будут существовать б шгвеят é •

-i

Тогда для произвольного £ £ (0,11 при J - (i-teL) и -¿

Р

Ответа."., что предельная теорема zum Nfír) в условиях теоре-

М / ¡J4(V>o] 1- (1-S)*.

Теорема 5.1 указывает на то, что для рассматриваемого класса процессов при больших •£ с вероятностью, близкой к 7 , все существующие в момент ^ частицы имеют возраст, больший .

Таким образом, процесс продолжается за счет существования чacт^щ-nдoлгoяитeлeft,'. Дальнейшими исследованиями в этом направлении занимались В.А. Топчи! и С.М. Сагитов. В частности, В.А. Топчяй обнаружил аналогичные эффекта в ветвящихся процессах Крамда-Мода-Дгерса, а С.М. Сагитов изучал асимптотическое поведение-редуцированных ветвящихся процессов.

Если отношение в (6) стремится не к бесконечности, а к некоторой неотрицательной константе, то в этом случае справедливы другие предельные теорема {В.А. Ватутин).

3 главе 3 изучается асимптотика безгранично делимнх распределений на бесконечности. Пусть случайная величина ^ имеет безгранично делимое распределение с мерой Деви (¿х) . Положим

= 5 иЫх) > -6*0.

■ь

В 1961 году З.М. Золотарев показал, что если % ^ о и ) правильно меняется на бесконечности, то } ^

Обобщению и уточнению этого результата посвящен § 6 главы 3. Здесь, в частности, доказали слецущие две теоремы. ТЕОЕ0Ш 6.1. Пусть

¿¿Т^ < (?)

оо

Тогда при {г -* ~=> ■

ТЕОРЕМА 6.2. Пусть , вниолнено (7) и при неко-

тором а >о у функции ¿//V) существует непрернвная производная с^'ц) » вогнутая на множестве Г®^ . Тогда при £->«5

Р{ 6 } ~ - А!! + о^т/6) .

Теорема 6.1 пересекается с результатами Сгибнева, Эмбрехтса,

с л

Голди и Веравербеке, однако случай, когда ^ ),

но Р/ ^ > у(4) при ^ , в этих работах не содержится. Что же касается теоремы 6.2, то ранее бшга получена лишь оценка для интеграла разности между Р{ $>■£} и (В.М. Золотарев). В теореме же 6.2, как нетрудно заметить, приведена точная асимптотика для этой разности. Исследован в § 6 так&е и случай = 00 (теорема 6.3). Случай, когда дара Лева безгранично делимого распределения сосредоточена на конечно® множестве, рассмотрен в литературе достаточно подробно. Наиболее общие результаты здесь получены В.М. Кругловым 1 8.1, Антоновым.

В § 7 исследуется асимптотика плотности безгранично делимых распределений на бесконечности. Доказана следующая теорема. ТЕОРЕМ 7.1. Представим спектральную меру в виде ~ / , где д - ее абсолютно непрерывная часть. Пусть

И . о

) - плотность меры Л ,/з . Предположим ^что для всех н е А/

оо

] ^ ¿6 <

существуют такие £>о и ¿> £ , что ^(-1) 1/-6- для всех ^ с (о, е) , функция ¿а) = монотонна и непрерывна при ^ , функция ^и) слабо осциллирует на бесконечности и для всякого я > 1

ГСЛ^/ък) < -1,

оо

где г«) / ¿у . Тогда при д(-+ )}

где - плотность распределения случайной величины ^.

Если к настоящему времени имеется большое количество результатов, касающихся асимтотикк Р/ I7 > i } , то аеиштотика плотности безгранично дадшшх распределений общего вида ранее не изучалась. Так что теорема 7.1 является первым результатом в

-И-

этон направлен!"!:.

В главе II изучаются асимптотические свойства случайных А -подстановок. Зарлксируем некоторое кконество Д £ А/ . (\ --подстановками называют подстановки, .длины цлллов которых принадлежат множеству . Пусть 7/г - совокупность всех Д --подстановок степени д, , - число цшс.юз случайной под-

становки, ралнолеопо распределенной в Т^ , кмеэдюс длину Ые(\ ^ь» ~ ойдее число ее циклов:

н ей

Через /X/ будем лалее обозначать число элементов конечного лнслсества X . В главе 1Д ставятся и релаэтся спедундие задачи:

1) леходлелпе асимптотики/"П^ 1 при к .

2) Аснлптотичесчое поведение (в сла,^ол ол :ело) и при к >=о и •Тдкс.г.оогагшог» ме/1 ,

В § 8 рассматривается случай единичной аснлптотпчсснон плотности глколества А :

/ Ы : Ьл 6 А 7 ^ $ ц ]—> ^ ^ »о) (б)

7а;,ое выдедеаке частного случая оправдывается б салу трех причин. Первая: этот случай является наиболее проста.-; с точки зрения применяемого математического аппарата. Вторая: ото позволяет легче перейти к более слохнолу случаю произвольной асимптотической пдотяостн лно:т:ества А . Третья: соответствующие результате, обобщают некоторые исследования, производившиеся ранее. С^рмулируеы полученные в | 8 результате. ТЗОЕЗаА 0.1. Пусть внполнено (3). Тогда при н

¡Тн1 ^ к ! еоср С- £ )

ы е 8^)

где 8Г^) = ■ ьл $ к. ? ф й ).

Т20РЕЫА 8.2, Пусть выполнено (8). Тогда распределение случайной величины

& = С^к-^))/^

слабо схоцится ври н к стандартному нормально;.^ закону,где

еы) ■= ёк !г\ —

у* е вс*)

ТЕОРЕМА 8.3, Пусть вшолнено (8). Тогда дая произвольного фгжсированного >п ё А распределение случайной величины слабо сходится при И- «з к пуассоновскому распределению с параметром .

Ранее Э .А .Вендором к А.И.Павловым были рассмотрены соответственно случаи конечного 6 = /V 4 А ж сходимости ряда

^ . Ьл €6

Теорема 8.2 обобщает такие известный результат Гончарова Б Л. Б § 9 исследование продолжается в случае произвольной асимптотической плотности й , равной <3' >■ о . Сформулируем полученные здесь результаты.

ТЕ0Р2МА 9.1. Пусть при п оо

/к : к $ к > ¡с е А I /л. О" > о,

//с: КГ<:И.? ке А , Ы~к:€Й 1/*ъ б""1, (Ю)

если М > ь , М =■ О (л). Тогда

/Гя/- я/ /^-'¿¿м /Г(<э),

где функция ^ ¿л) медленно меняется на бесконечности, причем

^(п) = ^ 1/Ы - яви*),

Мё АК

- постоянная ЭЧлера, Г(') - гамаНУУакция.

Т20Рй«1А 9.2. Пусть выполнены соотношения (9) и (10). Тогда распределение случайной величины

& = С -

слабо сходится при л «*» к стандартному нормальному закону, где

= ¿И ^/м . Ме Д^'-н

ТЕОРЕМА 9.3. Пусть выполнена соотношения (9) и (10). Тогда для произвольного ¿¡шсзрованного М е Д распределение случайной величины слабо сходится при к л пуассояовскому распределению с параметром -т/м. .

Для других классов шояеств Л аяаадгичане задачи решались в работах Ю.В.Болотникова, В.Н.Сачкова, В.Е.Тараканова, А.В.Кол-чияа, В.Ф.Колчина, А.И.Павлова.

Отметим, что в результатах автора главы 1У, опубликованных ь 19Ь9 году, впервые показано, что асимптотика 17~н I/к ! может отличаться от степенной функции произвольным медленно меняяьзшся множителем. Это обстояте.1ьство существенно расширило класс рассматривающихся ранее множеств А. До этого изучались то.шсо множества А, у которых 1Ти!/ь ! имело чисто стеленную асимптотику.

В § 10 приводятся примеры множеств й , удовяетзоршовдах соотношениям (9) и (10).

Пусть заданы некоторая функция у(4) при Ьъ-О п конечное объединение Д отрезков из Со,12 . Число М€Л/ ш будем включать в мнокество А тогда и только тогда, когча

-14-

€ А ({ау есть дробная часть а) . ТВОВМк 10.2. Пусть для некоторого нецелого <¿ >f е медленно меяящейся fía бесконечности функции

д({) =г

причем для /г = 7, ¿, ... } £"<¿ 3-* Z ( £ 3 - целая часть <¿ )

ПрИ —> аз

^V-tíj = ofr~Ke(*». ш)

Тогда выполнены соотношения (9) и (10). Ответим, что условие (II) не является ограничительным, йзвество, что для всякой медленно меняющейся ¿{¡/акции существует эквивалентная ей на бесконечности, обладающая свойством (II). Для большинства использующихся медленно меняющихся функций оно выполнено. .Отдельно разобраны случаи <L é (o,-i) и целого ai .

В последней, пятой главе, изучаются вероятности больших уклонений ддя некоторых случайных величин в схеме рекордов.

Более конкретно, пусть заданы .две последовательности независимых в совокупности случайных величин э > и > > ■ ■ • ' щжчем = f&C)3cgN> f>{ г = Gcsr-y , = о,-т, г, ■ ■ ■ Будем предполагать, что F(о) ~ о к (?{лэ непрерывна. Доло;ша

К * {<-. С е /V, JV > Ъ

Sh = ••• , * € - О ,

А/Л?) = ЪО, Sh £ i } J MU) =■ tn^c:

tG К , С < NU) 5 , TU) = i - FU),

-1э-

У({) = / Т(и) ¿и (-е >,

о~)

Пусть 's0¿ - момент ¿' -го скачка б случайном процессе рекордов ■[ Т^/ц^ > £ г-о V,, = о. 3 § II изучается асимптотика Р^Тс > •£ у яра ¿-»«о и фиксированных ¿'е /V , где ту = ~ ^---т . Здесь доказаны следующие три теоремы.

ТШР&ЛА 11.1 Пусть для всех а е (о,-г)

^-»оо

Тогда для каждого с е А/ при ^ °о

где /хЛ; - неубываощая, мел^екко женящаяся на бесконечности аушшия, равная ¿и ^ /1/^.)) •

теорема. 1Т.2. пусть М - м <оо н = о -Ь «о . Тогда для всех ¿' £ /V при £

Гс- > -6 } ^ Ы тГ' ¿п ) /Сс~г)!

ШШЕзк 11.3. Пусть для всех « е. (о>1) к некоторого с е N а-Ь *

4 во о о

где = ¿е&) (Ч. г

= . Тогда

р{ Тс->Ь) //а ) /V / (-> «в) .

Теорема 11.1 охватывает случаи, когда Л/= оо и функция дЦ) - {г >*} не является медленно меняющейся на

бесконечности. Теорема II .2 справедлива при М ^ <«к ~ - о (■*/&пО, Наиболее сложной для доказательства яв-

ляется теорема 11.3, в которой исследуется промежуточный случай, когда £(■£) медленно меняется на бесконечности.

Аналогичные задачи изучались ранее ь работах Эмбрехтса, Оми п Бесткотта. В этих работах рассмотрен случай, когда функция ~Т(4) регулярно меняется на бесконечности. Подход авторов базировался на представлении Р{ Г£- £ зг^ в виде

где Р Си}х) - и - кратная свертка функции распределения Яс*) с собой, а - некоторые яолоштельяые числа, л последующем асимптотическом анализе этого соотношения.

Переход к более общему случаю потребовал привлечения новых идей. Сава относится, в частности, введенное в главе I понятие слабой эквивалентности функций, а также тауберова теорема 3.1.

В последнем, двенадцатом параграфе диссертации, рассматриваются так называемые К. -ые рекордные моменты. Для каждого И г о по случайным величинам з • • • , построим

вариационный ряд

$ V

п.

к: -ые (к & А/) рекордные моменты { (н) , к ~ ... у

»Г*>

определяются следующим образом: V (о) ^ /с--г л ^ О .и,* Ч) ГН) , >

я. = о, -I, в § 12 доказывается следующая теорема.

ÏSOPEIîlA 12.ï. Для всех le, h. € N при í-feo

Асимитоткка вероятностей больших уклонений для случайных величия V (п) получена автором впервые.

Автореферат написан при финансово» поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, гранты 97-01-00721 и 96-15-9602.

Основные работа автора по теме диссертации.

1. Якнмив A.A. Две предельные теоремы для критических ветая-ллхся процессов Беллмана-Харриса //латем. заметки. 1904. Т. об. В I. С. IÜ9-ÍI6.

2. Якыдав АЛ. Многомерные тауберовы теореыы типа Карашта, Кел-дьша и ЛкттлЕуда //ДАН СССР. 19оЗ. Т. 270. !Ь 3, С. 558-5GI.

3. Якнмкв А.Л. Асимптотика вероятности проноляения ветввдихся процессов Беллмана-Харриса //Трудн ЖАН СССР. 1986. Т. 122. С. 177-205.

4. Якнмив А.Л. Асимптотические свойства моыеятов изменения состояний в случайном процессе рекордов /'/Теория вероятн. и ее пржен. 1Эо6. Т. 31. 3 3. С. 577-581.

о. Якымив А.Л. Асимптотическое поведение одного класса безгранично делимых распределений //Теория вероятя. и ее примен, 1SS7. Т. 32. И. С. G9I-7C2.

6. Якымив A.A. 0 числе А-иодстановок /Датем. сб. 1969. Т. 130. & 2. С. 2S4-303.

7. Якнмив А.Л. 0 подстановках с длинами циклов из заданного множества //дискретная математика. Ï989. T. I. Ш I. С. 125- -134.

.-188. Якшшв АЛ. Асимптотика плотности безгранично делимого распределения на бесконечности //Проблеш устойчивости стохастических моделвй.: Труды сеьзшара. Ц. :ВШИСИ. IS90. С. 123-131.

9. Якшив АЛ. О случа&шх подстановках с длинами цихсдов из заданного множества //Вероятностные процессы и их приложения: Межвузовский сборник. М.: IS9I,. С. 24-27.

10. Якымие А.Л. 0 некоторых классах подстановок с длинами циклов из заданного множества //Дискретная математика. 1992. Т. 4. М 3. G. 128-134.

11. Яккмив АЛ. Асимптотика К-х рекордных моментов //Теория ве-роятн. и ее примен. IS95, Т. 40. >5 4. С. 925-928.

12. Уvkyhb¿irfl.%. tÍÁCO-TM^S ¿o* tando^i.

p¡ - p&ttwuici-ÍLons // Рг-ое. 3 ~ td P¿i vc-zawdsk Сен-f. ои. Ръоб. Me-iA-cds en D¿sch. Mo-iA. 1943. P. 459-469.

ЛИТЕРАТУРА

1. AM N. N. Uni^buoka^ и&ъ cUt RMA? 1 + + {/УоиЛИсЛ j-Uf MaiA. 1&AG. V.1. P.

2. HcMoly ф.Н.3 ~3Uit£e WVod у. S. Тсш&Мак

COn$Ct>rUh.cj. poxovt a^d Di'zt'ck&ei^s ¿^a'gs

cotjjiObe^tS aru poMtiirt-// Ръое. da^don Math. St^e. 1914 • V. 13. P- 114 - 191.

3. Tcuc4vt fi. Sa ib cui& d&t ТЛлс^е dm. u,hj&uioL'(vh£*i fW^M // Mo ha hell . Hail, i/sr* . V.8 P. -

-1чч-.

of MaU.

13гл. V- a/91, p. i~ioo.

5. Кеддап H.B. Об одной таубер0Е0й теореме// Тр. МИАН СССР. I9EI. Т. 38. С. 77-86.

6. /Ссчмтъба J. /У-е^-г^с Beu^-'i iihd QCbu'fyVt -

Sa'6?e // 2. 1<Э$-Г. Zd.il

Я ¿0<f- л 99.

7. Kot&irac^c Я vesty guested fotfvi о/ ^dtSi

-i flBOZM^X .

//fhec. Htd. aJcad. YJe/^soU. iW. fi. V. P- 36 -

8. Владимиров В.С*, Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тауберош теоремы для обобщенных функций. М.: Наука, 1986

9. N' Н ■ Таи&ы'сы -iAzor^c ¿к.

№hs £ч MatA. im. P. 6-ЛО.

10. Ватутин В.А. Дискретные предельные распределения числа частиц в критических ветвящихся процессах Беллкана-Харраса// Теория вероятн, и ее примен. 1977. Т. 22. II. С. 150-155.

11. Золотарев В.М., ¡Ливанов И.О. Дополнения. В кн.: Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985.

-2012. Новиков А.А. Ыартингальные тождества» неравенства ж их применение в нелинейных граничных задачах доя случайных процессов // Докторская диссертация. ШАН СССР, 1982,

13. Постников А.Г. Тауберова теория и ее применения. Мл Наука, 1979.

14. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы, ограниченные снизу// ДАН СССР. 1978. Т. 238. & 4. С. 8II-8I3.

15. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.; Мир, 1984.

16. '¡Utbjfa'wood. У- £. T-Az одикгл of г ■fox, рогом. S<^и'е.£ // Ргое. ¿¡London HaiA, $хс. 1910 ■ I/. Э. Р. ЧЪЧ-ЧЧ9.

17. Топчий БД. Предельные теореш дяя критических общих ветвящихся процессов с долгоясивудами частицами// Стохастические и детерминированные модели сложных систем. Новосибирск, 1988. С. II4-I54.

18. Сагитов С.М. Три предельные теореш дяя редуцированных критических ветвящихся процессов// 7Ш. 1995. I 5. С. 183-202.

19. Ватутин В.А. Предельные теореш для критического ветвящегося процесса Беллмана-Харрнса с бесконечной дисперсией// Теория вероятностей и ее примен. 1976. Т. 21. J6 4. С. 861-863.

20. Ватутин В.А. Новая предельная теорема .для критического ветвящегося процесса Беллыана-Харриса// Матем. cd. 1979. Т. 109.

# 3. С. 440-452.

21. Золотарев В.М. Об асимптотическом поведении одного класса безгранично делимых законов распределения// Теория вероятн. и ее примен. 1961. Т. 4. В 3. С. 330-334.

22. Сгибнев И.О. Асимптотика безгранично делишзс распределений в // Сиб. Матем. ж. 1990. Т. 31. й I. С. 135-140.

23. ёыЛ-uekis Р. , QoBclie СА.М-, Л/. кЛсх/жкшKaJLty and ck^mU М^ибЩ//!. WaAz. VwxT- 19*9. V.W. Р.ЗЗ^Ш.

-2124. Круглов В.М., Антонов С.Н. Об асимптотическом поведении безгранично делимых распределений в банаховом простраястве/Деория вероятн. и ее прдаен. 1982. Т. 27. $4. G. 625-642.

25. Круглов В.М., Антонов G.H. Еще раз об асимптотическом поведении безгранично делимых распределений в банаховом простраястве//Те-ория вероятк. и ее прим. 1984. Т. 29. № 4. G. 735-742.

26. Бендер З.А. Асимптотические метода в теории перечисленз:"//Ие-

речислительвде задачи комбинаторного анализа. М.: Мир, 1979.

27. Павлов А.И. О подстановках с .длинами циклов из заданного мно-жества//Теория вероятн. и ее примен. 1586. Т.. 31. 13. С. 618619.

28. Гончаров В.Л. Из области комбинаторики// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1944. Т. 8. С. 3-48.

29. Болотников Ю.В., Сачков В.Н., Тараканов В.Е. О некоторых классах случайных величия на циклах случайных подстановок// Мат. сб. 1979. Т. 108. J6 I. С. 91-104.

30. Колчин A.B. Сушн независимых случайных величин и некоторые комбинаторные задачи//Кандидатская диссертация. ЖУ, 1994.

31. Колчин В.Ф, 0 числе подстановок с ограничениями на длины циклов //Дискр. маг. 1991. Т. 3.12. С. 97-109.

32. Павлов А.Й. 0 числе циклов и цикловой структуре подстановок некоторых классов/Д1ат. сб. 1984. Т. 124. & 4. С. 536-556.

33. Павлов AJI. Онекоторых классах подстановок с теоретико-числовыми ограничениями на длины циклов/А1ат.сб. 1986. Т.129. Ш 2. С. 252-263.

34. Павлов А.И. О числе подстановок с длинами циклов из заданного множества// Диск. мат. 1991. Т. 3. С. I09-123.

35. Westwít М- 'tav-dc^ ъеоо-иА ьчхМ/I Prve, Rcp. $ое.

XandoH. 194 я. 3S?. Но им . Р. 5-4.9-S44.

36. быАгокй Р., Owtf В. Oh ^JoicL'KaUd ЖъыЛьЪ'о* vanJo*» Yzootd рхосЫШ. //MaíA. Рсос. GunJ. Soe. . К 95. Р.ЪЪ9-б£$.