О поведении преобразования Лапласа некоторых мер вблизи границы области сходимости

Петрушов, Олег Алексеевич

О поведении преобразования Лапласа некоторых мер вблизи границы области сходимости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Петрушов, Олег Алексеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О поведении преобразования Лапласа некоторых мер вблизи границы области сходимости»

Автореферат диссертации на тему "О поведении преобразования Лапласа некоторых мер вблизи границы области сходимости"

ФГБОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

Петрушов Олег Алексеевич

О поведении преобразования Лапласа некоторых мер вблизи границы

области сходимости

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

2 4 ОКТ 2013

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2013

005535699

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, механико-математический факультет, кафедра теории чисел.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор

Нестеренко Юрий Валентинович

Официальные оппоненты: Попов Антон Юрьевич

доктор физико-математических наук, (ФГБОУ ВПО

"Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова", профессор)

Королёв Максим Александрович кандидат физико-математических наук (ФГБУН

"Математический институт имени В.А. Стеклова РАН")

Ведущая организация ФГБОУ ВПО

"Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского"

Защита состоится 15 ноября 2013 г в 16 часов 45 мин на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при ФГБОУ ВПО Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Автореферат разослан 15 октября 2013 года.

Учёный секретарь г

диссертационного совета /

Д.501.001.84 при МГУ " е^ доктор физико-математических наук,

профессор Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Проблемы асимптотического поведения сумм значений теоретико-числовых функций тесно связаны с исследованием аналитических свойств преобразования Лапласа некоторых мер.

Преобразованием Лапласа меры dv(t) называется интеграл Римана-Стильтьеса

роо

FM(s)=/ e-stdu(t). (1)

Например, функция ^^ представима в виде (1) с v(t) = J2n<e' Нп)> гДе А(п) - функция Лиувилля, а представление (1) для ^у выполняется с u(t) = £n<e^(n), где ß(n) - функция Мёбиуса. Естественно, что аналитические свойства функций u{t) и F[^](s) тесно связаны между собой. Известна классическая тауберова теорема Харди-Литтлвуда1.

Пусть v(x) - неубывающая функция, интеграл (1) сходится при 3?s > 0. Если при s —> 0+ выполняется асимптотическое равенство

F[v](s)~ ^-,А>0,у>0,

то

Ах 1

р(х) ~ KT-7т при % +00-

Г(7 + 1)

В 1967 году И.Катай2 доказал общую теорему. В терминах преобразования Лапласа она в предположении о мероморфности в

определённой полуплоскости, разложении Лорана в некотором полюсе в+ito, в > 0, io Ф 0 и поведении F[i/](s) в неких областях даёт оценку: Для достаточно большого Т имеем

и(х)

max —.—г-г > о,

т<х<кт etixxk~l

v{x) -min —,—z—r < —б, т<х<кт eäxxk~1

где 5 > 0, к, > 1 - константы, которые вычисляются по поведению F[z/](s), к - кратность полюса.

Эта теорема при применении к и(х) = J2n<e* м(п)> гДе M(n) ~ функция Мёбиуса даёт следующий результат.

'D. Widder. The Laplace transform. Prinston Univ. press, 1941. стр 192

2I. Katai. On investigations in the comparative prime number theory, Acta Mathematica Academiae Scien-tiarum Hungaricae, 18(1967), no 3-4, 379-391

Пример 1. Пусть М(х) = 5Zn<xAí(n)- Тогда существуют эффективно вычисляемые постоянные к > 1, Ó > 0 такие, что для каждого достаточно большого Т на промежутке [Г,Тк] найдутся xi,x2, удовлетворяющие неравенствам

Mixjx^2 > 5, М{х2)х~1/2 < -5,

В диссертации доказываются теоремы об осцилляции v(x) при более слабых ограничениях на особенность и область аналитичности F[y](s).

Степенной ряд A(z) = anzU после замены переменной z = e~s становится рядом F (s) = X^i апе~п'\ который является частным случаем преобразования Лапласа (1) с u(t) = ^2n<tan, поэтому описание поведения степенного ряда A(z) при стремлении по радиусу {z — e2m/3r\r G [0,1]} к единичной окружности сводится к тому, чтобы посмотреть, как себя ведёт ряд ^Z^Li anC_ns при стремлении к оси Oy по промежутку {s = i2nß + crja > 0}. Если при ß из всюду плотного в отрезке [0,1] множества выражение F{i2irß+ сг) неограничено при а —» 0+, то особенности ряда A(z) всюду плотны на единичной окружности, значит ряд A(z) не продолжается за единичный круг.

Возможность аналитического продолжения и поведение вблизи единичной окружности функций, заданных степенными рядами, изучались давно.

Адамар привёл простейший пример функции, голоморфной в круге \z\ < 1, которая не может быть продолжена за единичный круг ни в одной

ЕОО 2П 71= 1Z ■

Если радиус сходимости степенного ряда равен 1, то невозможность продолжения за единичный круг ни в одной точке доказана в случаях лакунарности рядов (теоремы Фабри3 4 и Мандельброита5), арифметических условиях (теоремы Сегё6 и Карлсона7) или в случае если этот ряд отвечает тета-функции8 или модулярной форме9.

Например, теорема Фабри утверждает, что если

оо

m = £4*4

П=1

где

\п е N, lim = 0,

71->00 Ап

3Е. Fabry, Sur les points singuliers d'une fonction donnee par son développement en serie et l'impossibilité du prolongement analytique dans des cas tres généraux, Ann. Scient Ecole Nonn. Sup. ser S 13(1896), 367-399.

4Л. Бибербах. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967, с 80

5S. Mandelbroit, Sur les series de Taylor qui présentent des lacunes, Ann. Scient Ecole Norm. Sup. ser S. 40(1923), 413-462.

6G. Szego, Uber Potenzreihen mit endlish viellen verchsiedenen Koeffizienten Sitzung, der Pr. Akad. der Wiss., Math.-phys. К1Щ1922), 88-91

7F. Carlson, Uber Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, Mathematische Zeitschrift, 9(1921), 1-13.

8Д. Мамфорд Лекции о тета-функциях. M.: Мир, 1988

9Н. Коблиц. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. М.: Мир, 1988.

и радиус круга сходимости f равен 1, то ряд f(z) не продолжается за единичный круг ни в одной точке, а теорема Сегё утверждает, что степенной ряд

оо

£/пЛ (2)

п=1

коэффициенты которого могут принимать лишь конечное число различных значений, или представляет рациональную функцию, или не продолжается за пределы единичного круга. В случае рациональности (2), начиная с некоторого номера, коэффициенты образуют периодическую последовательность.

Поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям алгебраических полей, изучалось В. Н. Кузнецовым, В. В. Кривобоком, Е. В. Сецинской10 в 2005 году.

Известен ряд работ о поведении степенных рядов с коэффициентами

- значениями арифметических функций при стремлении к 1 по радиусу единичной окружности. Например, в качестве коэффициентов рассматривались /л(п) - функция Мёбиуса, ф(п) - функция Эйлера, Л(п) -функция Мангольдта, т(та) - число делителей п ( Г.Х.Харди, Д.Е.Литтлвуд11, Катай12, С Герхолд13, Бэнкс, Лука, Шпарлинский14, Вигерт15).

Арифметическая функция а(п) называется

мультипликативной, если a(mri) — а(тп)а(п) при (m, п) = 1,

вполне мультипликативной, если а(тп) = а(т)а(п) для всех m,n£

аддитивной, если а(тта) = aim) + а(та) при (ш, та) = 1, вполне аддитивной, если а(тп) — а(т) + а(та) для всех т, та € N. В 2009 году П.Борвейн и М.Конс16 доказали общий результат для вполне мультипликативных функций, принимающих два значения. Если /(та)

- нетривиальная вполне мультипликативная функция N —> { — 1,1}, то

П=1

10В.Н. Кузнецов,В.В. Кривобок,Е.В. Сецинская, О граничных свойствах одного класса степенных рядов, Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам, 2005.3, 2005, 40-47.

nG.H. Hardy,J.E. Littlewood, Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Fimction and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica, 41(1916) no 1, 119-196.

12I. Katai, On oscillations of number-theoretic functions, Acta Arithmetica, 13(1967), 107-122.

13S. Gerhold. Asymptotic estimates for some number-theoretic power series, Acta Arithmetica, 142(2010), no 2, 187-196.

14W.D. Banks, F. Luca, I.E. Shparlinski, Irrationality of Power Series for Various Number Theoretic Functions, Manuscripta Math, 117(2005), 183-197.

15S. Wigert. Sur la serie de Lambert et son application a la theorie des nombres. Acta. Math, 41(1916), no 1 197-218.

10P. Borwein M. Coons. Transcendence of Power Series for some Number Theoretic Functions. Proc of the American Math. Soc., 137(2009),no 4, 1303-1305.

- трансцендентная функция над Щх\. Отсюда они вывели, что функции

00 оо

£>(«)*" И £Л(п)*"

11—1 п=1

трансцендентны над Щх\. Здесь А(п) - функция Лиувилля.

Возникают задачи об обобщении подобных результатов. Во первых рассматривать степенные ряды с коэффициентами - значениями арифметических функций при стремлении переменной к корням из единицы по радиусам единичной окружности и во вторых обобщить классы арифметических функций, для которых это можно сделать.

Цель работы.

Цель работы - доказать аналоги тауберовых теорем для преобразований Лапласа мер, не являющихся положительными и вывести из этих аналогов асимптотические оценки поведения некоторых арифметических функций и степенных рядов с коэффициентами -значениями некоторых арифметических функций при стремлении по радиусу к единичной окружности.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие основные результаты. Все они являются новыми.

1. Доказано, что если преобразование Лапласа действительной функции удовлетворяет некоторым условиям, то эта функция допускает двустороннюю омега-оценку, которая зависит от поведения преобразования Лапласа вблизи особой точки. Параметры омега-оценки эффективны. Доказанная омега-оценка является аналогом тауберовой теоремы для достаточно общих случаев мер.

2. Исследовано асимптотическое поведение при стремлении переменной к корням из единицы по радиусам единичной окружности для общих классов степенных рядов с коэффициентами - значениями мультипликативных и аддитивных функций, определяемых небольшим количеством ограничений, откуда в частности следует непродолжаемость этих степенных рядов за единичный круг.

3. Исследовано асимптотическое поведение степенных рядов с коэффициентами - значениями функции Мёбиуса при стремлении переменной к корням из единицы по радиусам единичной окружности. Впервые получены нетривиальные омега-оценки, характеризующие поведение степенного ряда с коэффициентами ¿г(п).

Основные методы исследования.

В работе используются методы аналитической теории чисел и мультипликативной теории чисел.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты дают способ исследования асимптотического поведения разных теоретико-числовых функций и рядов и представляют интерес для специалистов по аналитической теории чисел, арифметическим функциям и степенным рядам.

Апробация результатов.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ и научных конференциях:

• Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством проф. Ю.В. Нестеренко, проф. Н.Г. Мощевитина в 2012-2013 гг;

• Семинар по теории диофантовых приближений под руководством проф. Ю.В.Нестеренко в 2012-2013 гг ;

• XVII Международная конференция «Ломоносов» в Москве (2011 г, апрель, 11-15)

• VIII Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвящённая 190-летию П.Л.Чебышева и 120-летию И.М.Виноградова в Саратове (2011 г, сентябрь 12-17 ).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах, список которых приведен в конце автореферата [1-4]. Работа [2] опубликована в журнале рекомендованном ВАК. Работа [4] - тезис доклада на международной конференции.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из трёх глав и списка литературы.

Полный объём диссертации - 118 страниц, библиография включает 28 наименований.

Краткое содержание работы

Содержание главы 1 Первая глава - введение. Здесь мы приводим мотивацию наших исследований, историю проблемы, объясняем результаты и структуру работы.

Содержание главы 2. В главе 2 из свойств преобразования Лапласа F[î/](s) (см (1)) вблизи границы области аналитичности выводятся свойства функции v(t) и рассматривается случай, когда v{t) в равенстве (1) не монотонна, и особенность преобразования Лапласа не лежит на действительной прямой. Общий результат применяется к теоретико-числовым функциям.

В параграфе 2.1.1 доказываются теоремы об осцилляции v'{x), и(х) при более слабых ограничениях чем в тауберовой теореме и теореме Катай на особенность и область аналитичности F[f](:r).

Теорема 1. Дана действительная функция v{t), абсолютно непрерывная на каждом отрезке [0, iî] ( R > 0), а интеграл (1) сходится в полуплоскости 5Rs > <7i. Предположим, что функция F(s) = F[t/](s) обладает следующими свойствами.

1) F(s) аналитически продолжается в некоторую окрестность отрезка [cto,cti].

2) F(s) аналитически продолжается в некоторую область G такую, что G С {3?s > сто}, и (сто + Uq, сто 4- ito + а) С G, где а > 0, io Ф 0.

3) Существуют числа с > 0, а > 0; п S No такие, что

|F(ct0 + itQ + х)\

lim J—*—-.—---—— > с. (3)

х->о+ х~а(— 1пх)п ~ v '

Тогда справедливы неравенства

пы __> (4)

u-^+oo (in и)п - Г(а) ' w

v'(u) с

„ЙГооu°-1e*>«(lnu)n - "ВД■ (5)

Теорема 2. Пусть действительная функция v(t) имеет ограниченную вариацию на любом отрезке [0,Д] (R > 0), интеграл (1) сходится в полуплоскости {5ïs > cti}, и F'[i/](s) обладает условиями 1)-3) теоремы 1. Тогда в случае сто > 0 справедливы неравенства:

Пт > с

ui+1oou°-ie'7°u(lnu)n ~ Г(а)|сто + ¿¿оI '

г <г _с

^^-^-»"ОпкГ - Г(а)|<г0 + й0Г (?)

а в случае сто < 0 справедливы неравенства:

I- Ф)-Ко)-^(о) > с

и-»+оо и°-1е<7°и(1пи)п ~ Г (а) I (7о + ^о Г

и(и) - КО) - ПО) <_(9-

Теоремы 1-2 доказываются в параграфе 2.1.1.

В параграфе 2.1.2 доказывается точность неравенств, полученных в теоремах 1 - 2, а именно, что оценки в правых частях равенств (4)-(5),(6)-(9) в этих теоремах не могут быть увеличены более чем в два раза.

В параграфе 2.1.3 доказываются следствия теорем 1-2 для рядов и интегралов Дирихле, так как ряды и интегралы Дирихле являются преобразованиями Лапласа некоторых мер.

В параграфе 2.2.1 рассматривается пример, когда теоремы Харди-Литтлвуда и Катай неприменимы, а наша теорема применима. Пусть f(s) — где ф) = (1 - 21_в)С(в), а > 0, а £ Ъ. Так как /(а) = F[v]{s), где и не монотонна, то теорема Харди-Литтлвуда неприменима. Особые точки /(я) не являются полюсами, поэтому теорема Катай также неприменима. А теорема 1 даёт следующие оценки:

Пример 2. Пусть а(п) - коэффициенты разложения в ряд Дирихле функции ((1-21-8)С(в))_а, С(х) = £п<з;а(п). Тогда справедливы следующие оценки:

— С (и) ^

пт --г-^—- > с,

и-»00 (1пи)а-1и-1

г сы ^

ит Т,-г-:-г < —с,

¿-¿о (1пм)а-1Г1 -

где с> 0 - некоторая эффективно вычисляемая постоянная.

С использованием результатов параграфа 2.1.3 в параграфе 2.2.2 устанавливаются связи между расположением нулей дзета-функции Римана с учётом кратностей и поведением функций

,ц(п)

где 0 < а <

Теоремы 1-2 позволяют оценивать осцилляцию и(х) при более общих, чем у Катай условиях на .Р^]^).

В теореме Катай существенно использовалось, что особая точка функции F[ь'](s) - полюс. В нашем случае особая точка может быть точкой ветвления и не изолированной особой точкой.

Результаты секции 2.3 используются в главе 3.

Содержание главы 3. В главе 3 изучается поведение сумм степенных рядов с коэффициентами - значениями арифметических функций вблизи границы единичного круга. Пусть ¡3 € С, тогда при Кв > 1 функция раскладывается в ряд Дирихле с некоторыми коэффициентами тд(п):

со

с '(*) = 5>(п)«"-

71=1

Обозначим

сю

= (ю)

п= 1

В секции 3.1 изучается поведение степенных рядов (10) вблизи единичной окружности. Радиус сходимости этих рядов равен 1. Возникает вопрос о возможности продолжения этих функций за единичный круг и поведении вблизи единичной окружности.

В секции 3.1 доказывается следующая ниже теорема 3 для класса степенных рядов (10), которая влечёт за собой непродолжаемость сумм рядов (10) за единичный круг ни в одной точке. Введём ещё одно обозначение:

Пусть д(х) > 0, тогда равенство /(х) = П(д(х)) при х —> а означает, что существует 5 > 0 и бесконечная последовательность ^ —> а, такие что

1/(^)1 >5д{Ь).

Через р будем обозначать простые числа.

Теорема 3. Если ¡3 £ С \ Ъ, I е Ъ, то при любом е > 0 для функции Яр(г) выполняется равенство

В,р(е2п'Н) = Г2((1 - *)-1+£) при г 1 - .

В секции 3.2 рассматриваются степенные ряды с мультипликативными и аддитивными коэффициентами, и доказываются общие теоремы о поведении рядов на некоторых лучах, исходящих из точки 0 и, как следствие, получается непродолжаемость этих степенных рядов за единичный круг.

В секции 3.2 исследование поведения степенного ряда А (г) = на лУче 2 = ге2тф при г —> 1- сводится к исследованию поведения функции от я, задаваемой рядом

Е-^^г- (И)

п п=1

при приближении к её особым точкам. При ф 6 <Ц> последовательность е2"'^" связана с характерами Дирихле. Поэтому ряд Дирихле (11) выражается в

виде линейной комбинации рядов

= ■ (12) • пь

п=1

Определение 1. Кручением ряда Дирихле F(s) = характером х

называется ряд Дирихле F(s, х) = X^li ■

Исследование ряда (11) сводится к исследованию кручений (12). Методы, изложенные в секции 3.2, позволяют исследовать поведение степенных рядов с коэффициентами - арифметическими функциями на лучах, соединяющих 0 и е2тф, где ф е Q, в отличие от предыдущих результатов, где исследование велось на луче, соединяющим 0 и 1. Они дают возможность исследовать поведение некоторых степенных рядов на лучах и доказывать непродолжаемость степенного ряда за единичный круг, откуда сразу следует трансцендентность степенного ряда над С(х). Перейдём к описанию результатов секции 3.2.

Определение 2. Рядом Дирихле последовательности а(п) называется

ЕОО Q(fl)

В параграфах 3.2.1 - 3.2.2 исследуется структура рядов Дирихле мультипликативных и аддитивных последовательностей и доказываются некоторые теоремы о суммах, содержащих характеры.

С использованием этих результатов в параграфе 3.2.3 доказываются теоремы о поведении некоторых рядов Дирихле и их кручений.

С помощью доказанных результатов в параграфе 3.2.4 устанавливаются следующие теоремы - основные результаты секции 3.2.

Теорема 4. Пусть а(п) - вполне мультипликативная функция, принимающая положительные значения, а(р) < р, и существуют такие A,B,0<j<A<B, что для всех р выполняются неравенства А < а(р) < В. Обозначим Р0 = sup{р : ^ > 1}, H(s) = Пр<р0(1 -п > 0 - порядок полюса H(s) el и 2\.(z) = o(n)zn. Тогда если a(q) Ф 1 для некоторого простого q , то

Я(е^г) = П(( 1 - г)-г(- 1п(1 - г))4-1"1-1"6), г -» 1-

каковы бы ни были I € Z, е > 0.

Из теоремы 4 следует

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 4 и, кроме того, а(р) Ф 1 для бесконечно многих р. Тогда степенной ряд 2l(z) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Теорема 5. Пусть а(п) - комплекснознанная мультипликативная функция, 0 < а(р) < р. Существуют А, В,с, 0<^<А<В,0<с<2, такие, что для всех р выполняются неравенства А < а(р) < В, а(рк) = 0(<*). Пусть ЭД = х a{n)zn, Ep{s) = 1 + a(pk)P~ks, причём

Ер(1) ф 0 для всехр, (13)

WÏ^Ï

для некоторого простого q. Тогда

ЩеФг) = П((1 - гГЧ-Ц! - г))л-х-£)

для любых I 6 Z, s > 0 при г —> 1—,

Константа в О в условии теоремы предполагается независимой от

р и к.

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 5 и, кроме того, Ер{ 1) ф для бесконечно многих р. Тогда степенной ряд 2l(z) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

В параграфе 3.2.5 доказана асимптотическая теорема, важная для исследования степенных рядов многих мультипликативных последовательностей. Рассмотрим пример её применения.

Пример 3. Пусть a G С, -а £ N0, <та(гг) = £d|nna и 6a(z) = <^a(n)zn. Пусть I ф 0(mod р), тогда при и —> 0+ справедливо асимптотическое разложение

&а(е^е~и) = Г(а + 1)С(а + 1)р-а-1и-°-1+

со

+C(i-a)pa-1u~1 + J2cktk,

k=О

где Cfc - некоторые явно указанные числа, зависящие от а, к, 1,р.

Доказывается это утверждение в параграфе 3.2.7. В параграфе 3.2.6 с использованием результатов параграфов 3.2.1 и 3.2.2 доказываются следующие теоремы:

Теорема 6. Пусть а(п) - комплекснозначная аддитивная функция, 21(г) = £~=1а(п)Л Gp(s) = ZZMp") ~ a(pk-l))p~k\ Пусть

|q(/+1) - a(pk)\ < С для всех простых р, k е N.

Тогда если Gq( 1) ф 0 для данного простого q, то при любом I ф 0{mod q) верно неравенство

Ш_(1-г)|Я(е^г)|>|С??(1)|. (14)

Следствие 3. Пусть справедливы условия теоремы 6 и, кроме того, Ср(1) Ф 0 для бесконечно многих р. Тогда степенной ряд Щг) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Если а(п) - вполне аддитивная функция, то теорема 6 допускает уточнение:

Теорема 7. Пусть а(п) - комплекснозначная вполне аддитивная функция, Щ2) = &{п)гп, |а(р)| < С для всех р. Тогда каково бы ни было простое число ц, такое, что а{ц) ф 0 для данного простого д, при любом I £ Zд\ {0} справедливо неравенство

Пт (1 - г)Ще^г)\ > ^^ (15)

для любого I ф 0(тод, д).

При условии вполне аддитивности функции а{п) следствие 3 допускает уточнение.

Следствие 4. Пусть справедливы условия теоремы 7 и, кроме того, а(р) 0 для бесконечно многих р. Тогда степенной ряд 21(г) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Результаты параграфов 3.2.4 - 3.2.6 показывают, что, наложив определённые условия на арифметическую структуру коэффициентов степенного ряда, можно получить класс рядов, непродолжаемых за единичный круг.

В параграфе 3.2.7 содержатся примеры конкретных рядов, к которым применимы теоремы. Степенные ряды многих арифметических последовательностей раскладываются в асимптотические ряды при -г =

К функции Ш(г) = Р-{п)гп не применимы общие теоремы 3 -7, поэтому она рассматривается отдельно в секции 3.3. В параграфах 3.3.1 -3.3.3 доказывается следующая оценка

Теорема 8. Для любого рационального /3 существует а > 0, что при г —* 1-

Ш1(ге2"^) = П((1 — г)~а). (16)

В параграфе 3.3.4 рассматриваются случаи, когда оценку при г —> 1— можно усилить. В параграфе 3.3.5 выводится следствие для частичных сумм ряда ЕГ=1

Следствие 5. Для любого (3 £ существует а > 0, что при х —> +оо

= П(ха). (17)

Доказательство теоремы 8 использует следующий принцип. Если имеется такое число ß G Q, что maxo<t<r |9Ji(e27r'^i)| растёт медленно при г —> 1—, то можно получить некоторый степенной ряд, продолжающийся за единичный круг в точке е27™13, коэффициенты которого принимают конечное число значений и не являются периодическими, что противоречит теореме Сегё (см стр 1).

При /? = 0 результат (17) хуже, чем у Катай. С другой стороны при ß 0 методы Катай не позволяют получить оценку (17).

В параграфе 3.3.6 для рациональных ß Е Q с небольшими знаменателями мы получим безусловное усиление теоремы 8 и следствия 5.

Теорема 9. Пусть ß = ^eQuq< 100, тогда при г —> 1—

m(re2ni0) = П{{1 - г)'*). Теорема 10. Пусть ß = ^€Quq< 100, тогда при х —► +оо

J2Kn)e2™3 = fi(VS).

п<х

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф., чл-корр. РАН Ю.В.Нестеренко за постановку задачи, многочисленные полезные советы и обсуждения.

Автор благодарит проф. Н.Г. Мощевитина за плодотворные обсуждения и поддержку.

Автор очень признателен всему коллективу кафедры теории чисел механико-математического факультета МГУ за хорошую атмосферу и поддержку.

Работы автора по теме диссертации

1. O.A. Петрушов. О поведении некоторых степенных рядов вблизи единичной окружности. Чебышовский сборник, 12(2011), 85-95.

2. O.A. Петрушов. Асимптотические оценки функций на основе поведения их преобразования Лапласа вблизи особых точек, Математические заметки, 93(2013),№6, 2013, 920-931.

3. O.A. Петрушов. О поведении некоторых степенных рядов вблизи единичной окружности.Часть 2. Деп. в ВИНИТИ, 18.06.2013. Библиогр. аннотир. указатель "Депонир. науч. работы"{2013) №8.

4. O.A. Петрушов. О поведении некоторых степенных рядов вблизи единичной окружности. АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ: СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ Тезисы докладов VIII Международной конференции, посвящённой 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова, Саратов 12—17 сентября 2011 г С 55-56.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж (00 экз. Заказ №

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Петрушов, Олег Алексеевич, Москва

ФГБОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

04201451670

На правах рукописи

Петрушов Олег Алексеевич

О поведении преобразования Лапласа некоторых мер вблизи границы области сходимости

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: член-корреспондент РАН, профессор Нестеренко Юрий Валентинович

Москва - 2013

Оглавление

1 Введение 3

2 Асимптотические оценки функций на основе поведения их преобразования Лапласа вблизи особых точек 17

2.1 Общие теоремы....................... 17

2.1.1 Теоремы об особенности преобразования Лапласа 17

2.1.2 О точности неравенств в теоремах 1-2.....22

2.1.3 Следствия из теорем 1-2 для интегралов и рядов Дирихле...................24

2.2 Частные случаи.......................27

2.2.1 Пример применения результатов секции 2.1 .. . 27

2.2.2 Следствия для теоретико-числовых функций . . 29

2.3 Оценки модуля функций на основании поведения их преобразования Лапласа..................32

3 Поведение степенных рядов

вблизи единичной окружности 36

3.1 О степенных рядах, отвечающих степеням дзета-

функции ...........................36

3.1.1 Свойства интегралов Дирихле и лемма о разложении тригонометрической последовательности по характерам........36

3.1.2 Возведение в степень эйлеровых произведений . 39

СО

3.1.3 Разложение в ряд Дирихле степени эйлерова произведения....................42

3.1.4 Доказательство теоремы 3.............44

3.2 Общие теоремы о степенных рядах............46

3.2.1 Структура рядов Дирихле мультипликативных

и аддитивных последовательностей .......46

3.2.2 Свойства кручения характером и свойства скрученных сумм с простыми числами......48

3.2.3 Поведение рядов Дирихле со вполне мультипликативными коэффициентами и

их кручений в единице...............54

3.2.4 Теоремы о степенных рядах мультипликативных последовательностей .... 59

3.2.5 Теоремы об асимптотическом анализе степенных рядов..................70

3.2.6 Теоремы о степенных рядах аддитивных последовательностей................73

3.2.7 Оценки степенных рядов с коэффициентами -классическими арифметическими функциями . 78

3.3 Поведение М(г).......................88

3.3.1 Оценки функций ^у, на прямых <т = -0.5 - N .....5 . . ............88

3.3.2 Совместные оценки функций ^у, ц]ху(х ~ примитивные характеры) на горизонтальных отрезках.......................92

3.3.3 Доказательство теоремы 8.............95

3.3.4 Теоремы о поведении степенного ряда М(г) при некоторых условиях................104

3.3.5 Следствие для частичных сумм..........107

3.3.6 Малые модули ...................108

Глава 1 Введение

В диссертации изучается поведение преобразования Лапласа вблизи границы области сходимости. В главе 1 приводится история проблемы и обзор результатов диссертации. В главе 2 из свойств преобразования Лапласа функций вблизи границы области аналитичности выводятся свойства самих функций. Общий результат применяется к теоретико-числовым функциям. Степенной ряд после простой замены становится также преобразованием Лапласа некоторой меры. В главе 3 изучается поведение сумм степенных рядов с коэффициентами - значениями арифметических функций вблизи границы единичного круга.

В главе 2 рассматривается связь между поведением действительной функции v(t) при t —> +оо и поведением преобразования Лапласа F[v](s) заряда du(t)

poo

F[u](s)= / e~stdv(t) (1.1)

вблизи его особой точки. Известна классическая тауберова теорема (см [1] стр 192), которая является следствием результата Караматы (см [lj стр 191):

Пусть и(х) - неубывающая функция, интеграл (1.1) сходится при > 0. Если при s —» 0+ выполняется асимптотическое равенство

то

Ах1

Если верно асимптотическое равенство для /^[^(й) с некоторым остаточным членом, то можно оценить остаточный член в асимптотике и(х). Справедлива теорема Харди-Литтлвуда с остаточным членом Фрейда (см [2] стр 50):

Пуст,ъ и(х) - неубывающая функция, интеграл (1.1) сходится при > 0. Если для некоторого числа 7 > 0 при в —» 0+ выполняется асимптотическое равенство

где А > 0, £ > 0 - постоянные, то

111 X

В главе 2 рассматривается случай, когда р{х) не монотонна, и особенность преобразования Лапласа не лежит на действительной прямой.

В 1967 году И.Катай [3] доказал общую теорему. В терминах преобразования Лапласа она в предположении о мероморфности в некоторой полуплоскости, разложении Лорана в некотором полюсе 6>2 + Но, 02 > 0, ¿о 0 и поведении (5) в некоторых областях даёт оценку:

Для достаточно большого Т имеем

и{х)

тах -т-г—г > д,

Т<х<кТ ев2Ххк-1

и(х) X

1Т11П —-т—г < — О,

т<х<кт ев2Ххк~1

где 6 > 0, к > I - некоторые константы, которые вычисляются по поведению ^[г/] (з), к - кратность полюса.

Эта теорема при применении к и{х) = Yhn<ex гДе ß{n) ~

функция Мёбиуса даёт следующий результат.

Пример 1. Пуст,ь М(х) = ]Cn<zм(п)> тогда для каждого достаточно большого Т найдутся Х\, Х2 удовлетворяющие неравенству Т < х < Тк такие, что

М(хг)х;1/2 > Ö, М(х2)х~1/2 < -6,

где к, > 1, 6 > 0 - некоторые эффективно вычисляемые постоянные.

Перейдём к изложению результатов главы 2. В параграфе 2.1.1 доказываются теоремы об осцилляции v'{x), v(x) при более слабых ограничениях на особенность и область аналитичности F[v](x).

Теорема 1. Дана действительная функция v, абсолютно непрерывная на каждом отрезке [О, R] ( R > 0), а интеграл (1.1) сходит,ся в полуплоскости üfts > Предположим, что функция F(s) = обладает следующими свойствами.

1) F(s) аналитически продолжается в некоторую окрестность отрезка [сг0, а\}.

2) F(s) аналитически продолжается в некоторую область G такую, что G С > сг0}; и (ctq + Üq, ctq + Üq + а) С G, где а > О, to^O.

3) Существуют числа с > 0, а > 0, n G No такие, что

К |F(<7° + ^ + 3:)l > с. (1.2)

2^0+ х_а(— In х)п ~ v '

Тогда справедливы неравенства

-- v'(u) с

lim --—Ц-^ > ——, 1.3

lim --—Ц-Г^ < 1.4)

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 кроме одного: действительная функция у имеет лишь ограниченную вариацию на любом отрезке [О, Я] (И, > 0). Тогда в случае сто > 0 справедливы неравенства:

и(и)

uii+i» иа~ 1eaoU (Inи)п ~ Г(а)|а0 + it0\'

lim < -с

uZ^oo ^-^«(lnu)" - Г(ск)|(7о + йоГ

а в случае ctq < 0 справедливы неравенства:

v{u) - i/(0) - F{0)

lim -- > -

иа~1еа*и{\пи)п - Г(а)ко + г£0|'

Ит и(и) - ко) - т < -с и^+оо {\пи)п - Г(ск)|ао + г£оГ

Теоремы 1-2 доказываются в параграфе 2.1.1.

В параграфе 2.1.2 доказывается точность неравенств, полученных в теоремах 1 - 2, а именно, что константа в этих теоремах может быть увеличена не более чем в два раза.

С использованием результатов параграфа 2.1.3 в параграфе 2.2.2 выводятся связи между расположением нулей дзета-функции Римана с учётом кратностей и поведением функций

Ма(х) = £

п<х

Па

где 0 < а <

Теоремы 1-2 позволяют оценивать осцилляцию и{х) при более общих, чем у Катай условиях на

В теореме Катай существенно использовалось, что особая точка функции F[v](s) - полюс. В нашем случае особая точка может быть точкой ветвления и не изолированной особой точкой.

Рассмотрим пример, когда теоремы Харди-Литтлвуда и Катай неприменимы, а наша теорема применима. Пусть /(s) = (r]{s))~a, где 7](s) — (1 — 21~s)£(s), а > 0, а ^ Z. Так как коэффициенты не знакопостоянны, то теорема Харди-Литтлвуда неприменима. Особые точки f(s) не являются полюсами, поэтому теорема Катай также неприменима. А теорема 1 даёт следующие оценки:

Пример 2. Пусть а(п) - коэффициенты разложения в ряд Дирихле функции f(s), С{х) — Yln<xa(n)- Тогда справедливы следующие оценки:

ТГ- С (и)

lim —-г—-—- > с,

и^>оо (lnU)a~LU 1

С (и)

lim —--—-—- < —с,

и—кх> (m и)а 1и~1

где с> 0 - некоторая эффективно вычисляемая постоянная.

Доказывается это утверждение в параграфе 2.2.1.

Результаты секции 2.3 используются в главе 3.

Степенной ряд YlnLi апгП после замены переменной z = е~1 становится рядом Y^=\ane~nt, который является частным случаем преобразования Лапласа. В главе 3 изучается поведение степенных рядов вблизи единичной окружности. Возможность аналитического продолжения и поведение вблизи единичной окружности функций, заданных степенными рядами, изучались давно.

Адам ар привёл простейший пример функции, голоморфной в круге \z\ < 1, которая не может быть продолжена за единичный круг ни в одной точке: ^ ■ Функция стремится к бесконечности

^4- 4- 1

на лучах вида z = е^тъ при t —> 1—.

Если радиус сходимости степенного ряда равен 1, то невозможность продолжения за единичный круг ни в одной точке доказана в следующих случаях:

1) Если степенной ряд f{z) лакунарен, т.е.

оо

/(¿) = ]TaAnz\

71=1

где

Хп Е N, lim — = 0.

71—>00 \п

Этот результат доказан Е.Фабри в 1896 году, (см [5] с 80,[4]).

2) Если Р - бесконечное множество простых чисел, а последовательность Ап содержит только конечное число членов кратных р Е Р для каждого р Е Р, и f(z) — Yln=iaKzXn- Это было доказано С. Мандельброитом. (см [6]).

3) Если коэффициенты степенного ряда принимают конечное число значений, и он не является рациональной функцией. Этот результат доказан Сегё в 1922 году (см [5] стр 165, [7]).

4) Если коэффициенты степенного ряда целые, и он не является рациональной функцией. Это было доказано Ф.Карлсоном в 1921 году (см [8]).

5) Если этот степенной ряд отвечает модулярной форме [9] или тета-функции [10].

Поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям алгебраических полей, изучалось В. Н. Кузнецовым, В. В. Кривобоком, Е.

B. Сецинской в 2005 году в работе [11], где доказывалось, что существуют конечные пределы радиальных производных по лучам z _ е2?пг£ ПрИ ^ дЛЯ всех r G Q за исключением конечного числа.

Перейдём к изложению результатов диссертации, доказанных в главе 3. Всюду в секции 3.1 £(s) - дзета-функция Римана. Пусть ß Е

C, тогда при > 1 функция C^(s) раскладывается в ряд Дирихле с некоторыми коэффициентами тр(п):

оо 71=1

При натуральных 5 сходимость очевидна. Обозначим

оо

(1.5)

п= 1

В секции 3.1 изучается поведение степенных рядов (1.5) вблизи единичной окружности. Радиус сходимости этих рядов равен 1. Возникает вопрос о возможности продолжения этих функций за единичный круг и поведении вблизи единичной окружности.

В секции 3.1 доказывается следующая ниже теорема 3 для класса степенных рядов (1.5) которая влечёт за собой непродолжаемость сумм рядов (1.5) за единичный круг ни в одной точке. Введём ещё одно обозначение:

Пусть д{х) > 0, тогда равенство /(х) = £1{д{х)) при х —> а означает, что существует 5 > 0 и бесконечная последовательность -> а, такие что |/(£&)| > 6д(Ьк). Через р будем обозначать простые числа.

Теорема 3. Если /3 е С \ 1^2,, то при любом г > О

В секции 3.2 рассматриваются степенные ряды с мультипликативными и аддитивными коэффициентами, и доказываются общие теоремы о поведении рядов на некоторых лучах, исходящих из точки О и, как следствие, получается непродолжаемость этих степенных рядов за единичный круг.

Известен ряд работ о поведении степенных рядов с коэффициентами - значениями арифметических функций вблизи границы единичного круга. Например, в качестве коэффициентов рассматривались /¿(п) - функция Мёбиуса, ф(п) - функция Эйлера, Л(п) -функция Мангольдта.

В 1914 году Г.Х.Харди и Д.Е.Литтлвуд [12] доказали, что если

оо

то существует постоянная К > 0, что каждое из неравенств

Ну) < т > к.

выполняется для бесконечного числа у при у —> 0+, а если гипотеза Римана верна, то

РЫ-оЦI).

В 1967 году И.Катай [13] доказал, что существует такая постоянная К > 0, что каждое из неравенств

п—\ 00

71=1

выполняется для бесконечно многих z при z 1 — ,

В работе [14] в 2010 году С.Герхолдом изучалась связь между поведением функции Yl^Li ¿¿(n)zn при z —> 1-й расположением области аналитичности функции и аналогичные задачи для соответствующих рядов Дирихле.

В 2005 году В.Д.Бэнкс, Ф.Лука, И.Е.Шпарлинский [15] доказали иррациональность степенных рядов некоторых теоретико-числовых последовательностей над Z[x], в частности

$>(п)л ][>(п)л $>(п)л

71 71 71 71

где си(п) - число простых делителей п, Q(n) - число простых множителей в разложении п.

В 1917 году С. Вигерт [16] вывел асимптотическое разложение

оо оо р2

У т(п)е~"' ~ - log - + 1 - У ;-S|±J- е

h t t ¿J(n + 1)!(„+1)

при £ —> 0+, \агд(£)\ < 5 < где 7 - постоянная Эйлера, Вп - числа Бернулли.

В работе [17] П.Фладжоретом, К. Гордоном и П.Дурнасом исследовались асимптотики некоторых степенных рядов при приближении к 1 на основании преобразования Меллина.

Определение 1. Функция а(п) называется

мультипликативной, если а(тп) = а(т)а(п) при (т,п) = I, вполне мультипликативной, если а(тп) = а(т)а(п) для всех т,п еЩ,

аддитивной, если а(тп) = а(т) -I- а(п) при (т, п) = 1, вполне аддитивной, если а(тп) = а(т) + а(п) для всехт,п Е N.

В 2009 году П.Борвейн и М.Конс [18] доказали, что если /(п) -нетривиальная вполне мультипликативная функция N —» {—1,1}, то

оо 71=1

- трансцендентная функция над Ъ[х\. Отсюда они вывели, что функции

оо оо

71= 1 71=1

трансцендентны над Z[x]. Здесь А(п) - функция Лиувилля.

В секции 3.2 исследование поведения степенного ряда ос(п)гп на луче 2 = ге2^ при г —> 1 — сводится к исследованию поведения ряда Дирихле

(1-6)

71=1

при приближении к особым точкам (1.6). При ф € 0> функция е2тггфп связана с характерами Дирихле. Поэтому ряд Дирихле (1.6) выражается в виде линейной комбинации рядов

71=1

которые называются кручениями ряда Дирихле характерами х-Исследование ряда (1.6) сводится к исследованию его кручений.

Методы, изложенные в секции 3.2 , позволяют исследовать поведение степенных рядов с коэффициентами - арифметическими функциями на лучах, соединяющих О и е27™^, где ф е О, в отличие от предыдущих результатов, где исследование велось на луче, соединяющим 0 и 1. Они дают возможность исследовать поведение некоторых степенных рядов на лучах и доказывать непродолжаемость степенного ряда за единичный круг, откуда сразу следует трансцендентность степенного ряда над С (ж).

Перейдём к описанию результатов секции 3.2 .

Определение 2. Рядом Дирихле последовательности а(п) называ-

Еоо а(п)

Теорема 4. Пуст,ь а(п) - вполне мультипликативная функция, принимающая положительные значения, а(р) < р, и существуют такие А, В, 0 < у < А < В, что для всех р выполняются неравенства А < а(р) < В. Обозначим Р0 = эир{р : ^^ >

= ПР<р0(1 — ^тг)-1, п > 0 - порядок полюса Н(з) в 1 и = а{.п)гП- Тогда если а{ц) Ф 1 для некоторого простого

д , то

Ще^г) = П((1 - г)-1( — 1п(1 - г))Л+п-1~£), г 1 - О каковы бы ни были I € Ъ, е > 0.

Из теоремы 4 следует

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 4 и, кроме того, а(р) Ф 1 для бесконечно многих р. Тогда степенной ряд 21 (z) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Теорема 5. Пусть а(п) - комплекснозначная мультипликативная функция, 0 < а(р) < р. Существуют А, В,с, 0 < у < А < В,

0 < с < 2, такие, чт,о для всех р выполняются неравенства А < а{р) < В, a{pk) = 0{ск). Пусть QL(z) = ZZi «W-^, Ep(s) =

1 + Y1T= i Oi(pk)p~ks, причём

Ep( 1) Ф 0 для всех p, (1.7)

EM * A

для некоторого простого q. Тогда

21 (e^r) = iî((l - r)-x(- ln(l - г))л~1_£)

для любых l G Ъ, e > О при г —> 1 —.

Константа в О в условии теоремы предполагается независимой от р и к.

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 5 и, кроме того, Ер( 1) ф ^zy для бесконечно многих р. Тогда степенной ряд Щг) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Пример 3. Пусть а е С, —a g N0, cra(n) = Yhd\nna и ®а(2) = aa(n)zn. Пусть I ф 0(mod р), тогда при и —> 0+ справедливо асимптотическое разложение

ea(efe~u) = Г(а + 1)С(а + 1 )р-а-1и-а~1+

оо k=0

где ск - некоторые явно указанные числа, зависящие от а, к, 1,р.

Теорема 6. Пусть а(п) - комплекснозначная аддитивная функция, ад = £~=1 Ср(з) = ЕТ=МРк) - *{рк~1))Гк5. Пусть

\а(рк+1) — а(рк)\ < С для всех простых р, к Е N.

Тогда если Сд(1) ф 0 для данного простого то при любом I ф О{тоб, д) верно неравенство

Нт (1 — г)|21(е^г)| > |С9(1)| (1.8)

г—> 1 —

Следствие 3. Пусть справедливы условия теоремы 6 и, кроме того, Ср(1) ф 0 для бесконечно многих р. Тогда степенной ряд Щг) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Если а(п) - вполне аддитивная функция, то теорема 6 допускает уточнение:

Теорема Т. Пусть а(п) - комплекснозначная вполне аддитивная функция, Щг) — ^™=1а(п)гП> — С для всех р. Тогда каково

бы ни было простое число такое, что а(д) ф 0 для данного простого ц, при любом I Е Ъч \ {0} справедливо неравенство

И^(1-г)|21(е¥г)|>^М (1.9)

т—>1— (/ — 1

для любого I ф 0(тос1 ц).

При условии вполне аддитивности функции а(п) следствие 3 допускает уточнение.

Следствие 4. Пусть справедливы условия теоремы 7 и, кроме того, а{р) ф 0 для бесконечно многих р. Тогда степенной ряд 21(<г) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Результаты параграфов 3.2.4 - 3.2.6 показывают, что наложив определённые условия на арифметическую структуру коэффициентов степенного ряда, можно получить класс рядов, непродолжаемых за �