Резольвенты и спектры периодических операторов с разбегающимися возмущениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Головина Анастасия Михайловна

РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ С РАЗБЕГАЮЩИМИСЯ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 Г Ь"ЛП ¿013

- . • V і I V. / I

Уфа-2013

005531780

005531780

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Башкирский государственный педагогический университет им М. Ак-муллы"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, Борисов Денис Иванович

Официальные оппоненты:

Кожевникова Лариса Михайловна, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры математического анализа, факультет математики и естественных наук, Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета

Валеев Нурмухамет Фуатович, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, отдел теории функций, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет".

Защита состоится "20" сентября 2013 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112, ауд. 24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН. Автореферат разослан "_ _" июня 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Классическим примером оператора с разбегающимися возмущениями является дифференциальный оператор второго порядка с двойной потенциальной ямой % = + + +

где V, W - вещественные финитные измеримые потенциалы, I - большой положительный параметр. При I —> оо носители потенциалов оператора %е находятся на большом расстоянии друг от друга (см. рис.1). Именно этим объясняется термин "разбегающиеся возмущения".

Операторы с разбегающимися возмущениями давно являются объектом исследования многих учёных (HunzLker W., Klaus M., Simon В., Cornelis van der Мее, Morgan J.D.(III), Ahlrichs R., Harrell E.M., Hpegh-Krohn R., Davies E.B., Mebkhout M., Graffi V., Silverstone H.J., Aktosun T., Aventini P., Seiler R., Tamura H., Pinchover Y., Kostrykin V., Schräder R., Wang X., Wang Y., Exner P., Reity O.K., Kondej S., Veselic I., Борисов Д.И.). Это связано с тем, что операторы с разбегающимися возмущениями часто возникают как математические модели в различных приложениях, например, в квантовых волноводах при моделировании наноструктур, и обладают различными свойствами, интересными с математической точки зрения.

Большое количество работ посвящено изучению асимптотического поведения собственных значений и собственных функций операторов Дирака и Лапласа возмущённых потенциалами в случае простого и двукратного предельных собственных значений. Основными результатами этих работ являются: во-первых, первые члены асимптотических разложений собственных значений и собственных функций (Hunziker W., Klaus M., Simon В., Cornelis van der Мее, Morgan J.D.(III), Ahlrichs R., Harrell E.M., Hpegh-Krohn R., Davies E.B., Mebkhout M., Silverstone H.J., Graffi V., Aktosun T., Tamura H., Pinchover Y., Reity O.K., Wang X., Wang Y.), во-вторых, представления для собственных значений и собственных функций в виде равномерно сходящихся рядов (Silverstone H.J., Graffi V-, Harrell E.V). Для членов этих рядов были выведены оценки, однако формулы для коэффициентов получены не были.

Работ по изучению асимптотического поведения резольвент операторов подобного рода гораздо меньше. Все они посвящены изучению

е

21

Рис. 1: Пример разбегающихся возмущений

резольвент операторов Шрёдингера с возмущениями в виде потенциалов, на которые накладывались различного рода условия, обеспечивающие их убывание на бесконечности. Основной результат этих работ -описание поведения первых членов асимптотического разложения резольвенты (Kostrykin V., Schräder R., Aventini Р., Seiler R., Davies E.B.).

В работах Борисова Д.И. исследовалось асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций оператора Лапласа с конечным числом разбегающихся возмущений в случае простого и двукратного предельных собственных значений. Возмущениями здесь были произвольные абстрактные локализованные в определённом смысле операторы. Были получены первые члены асимптотических разложений собственных значений и собственных функций.

В настоящей диссертации рассматривается эллиптический оператор с конечным числом разбегающихся возмущений. Невозмущённый оператор - это многомерный матричный периодический дифференциальный оператор произвольного чётного порядка достаточно общего вида. Возмущениями являются произвольные абстрактные локализованные операторы, в определение которых входят специальные весовые функции. Локализованность возмущений состоит в том, что на весовые функции накладываются условия убывания вместе с определенным числом первых производных, причем практически отсутствуют ограничения на скорость убывания. Если возмущающими операторами являются потенциалы, то наше условие локализованное™ превращается в условие убывания этих потенциалов. Возмущения всех предыдущих работ являются частным случаем возмущений, описанных в диссертации.

Цель работы. Основная цель работы - исследование асимптотического поведения резольвенты и спектра возмущённого оператора при стремлении к бесконечности расстояний между областями, в которых локализованы возмущения. Также целью является доказательство тео-

рем сходимости и построение полных асимптотических рядов для резольвенты, изолированных собственных значений возмущённого оператора и исследование вопросов сходимости асимптотических рядов.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Основной результат второй главы диссертации - явное представление для резольвенты, с помощью которого доказывается равномерная резольвентная сходимость возмущённого оператора к некоторому предельному и выписывается разложение резольвенты возмущённого оператора в полный асимптотический ряд, сходящийся в равномерной операторной норме. В предположении, что невозмущённый и возмущённый операторы самосопряжены, а возмущающие операторы симметричны, во второй главе диссертации доказывается устойчивость существенного спектра относительно возмущений и сходимость собственных значений возмущённого оператора к собственным значениям предельного оператора в случае произвольной кратности предельного собственного значения.

В третьей и четвёртой главах диссертации при аналогичных предположениях о самосопряжённости и симметричности строятся представления в виде равномерно сходящихся рядов для собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущённого оператора, когда предельное собственное значение является простым или двукратным. Выводятся явные формулы и степенные оценки для их членов. В четвёртой главе диссертации также рассматривается случай произвольной кратности предельного собственного значения двух разбегающихся возмущений. Вычислены первые поправки ддя собственных значений и показано, что они расположены симметрично относительно нуля.

Методика исследования. Представление для резольвенты возмущённого оператора было получено с помощью определённых алгебраических преобразований, позволяющих свести задачу о нахождении резольвенты возмущённого оператора к обращению почти единичного оператора.

Существование и сходимость собственных значений возмущённого оператора доказывается на основе результатов о равномерной резольвентной сходимости.

Разложения собственных значений и собственных функций возмущённого оператора в виде рядов построены с помощью новой довольно простой методики. Суть её состоит в том, что уравнение на собственные значения возмущённого оператора сводится к некоторому регулярно

возмущённому уравнению в специальном гильбертовом пространстве. При этом малость возмущения удаётся описать двумя характерными малыми параметрами. Применение затем адаптированной версии метода Бирмана-Швингера позволяет свести задачу к анализу операторного уравнения и поиску нулей некоторой голоморфной функции. Анализ данной функции позволяет получить представления для собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущённого оператора в виде равномерно сходящихся рядов. Для поиска членов построенных рядов предложен простой и изящный метод.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться при изучении задач математической физики. Методы исследования, применявшиеся в диссертации, могут использоваться при изучении других спектральных характеристик операторов с разбегающимися возмущениями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики с ВЦ УНЦ РАН (Уфа), семинаре отдела уравнений математической физики Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург), семинаре отдела теоретической физики Института ядерной физики Чешской АН (Ржеж, Чехия), семинаре факультета математики Технического университета (Кемниц, Германия), семинаре кафедры математики и статистики ВГПУ им. М. Акмуллы (Уфа). Отдельные результаты были доложены на международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2010" (Москва, 2010), международной конференции "Спектральная теория операторов и её приложения", посвященной памяти профессора А.Г. Костюченко (Уфа, 2011), международной школы-конференции "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании" для студентов аспирантов м молодых учёных (Уфа, 2011), международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 110-ой годовщине со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, 2011), международной конференции "Крымская осенняя математическая школа (КРОМШ-2011)" (Симферополь, 2011), международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2012" (Москва, 2012), всероссийской конференции "Асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений" (Челябинск, 2011), международной конференции "Крымская осенняя математическая школа (КРОМШ-2012)" (Симферополь, 2012), международной конференции "Дни дифракции"

(Санкт-Петербург, 2012), международной конференции "Асимптотический анализ и спектральная теория нелинейных структур" (Майнц, 2012)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5]. Работа [1] выполнена совместно с Д. И. Борисовым. Из результатов этой работы в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых в совокупности на тринадцать параграфов, пяти иллюстраций, и списка литературы, содержащего 50 наименований. Общий объем диссертации - 110 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор литературы, формулируются постановки задачи, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

В первой главе диссертации приводятся примеры операторов математической физики, для которых справедливы все полученные в диссертации результаты.

Вторая глава посвящена изучению резольвенты возмущённого оператора. Постановка задачи следующая. Пусть х = (х\,...,ха) - декартовы координаты в Kd, d ^ 1, Г - произвольная периодическая решётка в Rd размерности d. В пространстве L2(Rd; С") рассматривается оператор

дР д7 дв

101 = Ы = т liJKim-l

с областью определения Hfm(Rd;C"), где т G N, G Cm{Rd), Ьц € C2m~1(Rd) - матрнчнозначные функции, периодические относительно решетки Г. Здесь и далее под пространствами ^(R^; <Сп) и TF22m(Rd; С") будем понимать соболевские пространства вектор-функций со значениями в Сп. Предполагается, что оператор Но эллиптичен.

Пусть а = а(г) - функция из С2ш_1[0, +оо), обращающаяся в нуль в некоторой окрестности нуля. Будем предполагать, что все производные функции а(г) до порядка (2т — 1) равномерно ограничены и выполнено

+•30

равенство / a(t)dt = +оо. Считаем, что функции q € C2m(R+) неот-о

рицательны, в некоторой окрестности нуля равны единице и выполнена

- / а(()Л

оценка я (г) ^ Се 0 , г = 1 где С - некоторая константа. Из

условий на функции а(г) и ъ(г) следует, что ?*(?•) 0 при г -л +ос. Также предполагается, что функции щ € С2т(К+) неотрицательны, в некоторой окрестности нуля равны единице и все их производные вплоть до порядка 2т стремятся к нулю на бесконечности.

Рассмотрим в пространстве Сп) семейство произвольных опе-

раторов г = 1,..., к, с областями определения 1¥^т(Ша;Сп). Предполагается, что данные операторы ограничены как операторы из пространства И/22т(К<г;Сп) в ¿2(КЙ;СП), но вообще говоря, неограничены как операторы в .^(Е^С"). Обозначим через А, » = 1,/г, операторы в пространстве 1.2(К<г; С") с областью определения И,"|т(И<'; С11), действующие по правилу (£;и)(х) := • |)м)(х) с областями

определения Ж^К^С"). В диссертации рассматриваются разбегаю-к

щиеся возмущения вида 5(— А'г)А<5(Хг). Здесь Хг € Г - дискретные ¿=1

параметры, £(•) - оператор сдвига, действующий следующим образом: (5(Г)м)(х) :=г<(х + У), У € Г.

Введём дополнительные обозначения. Пусть X вектор вида X =■ (Хь ..., А^), г (А') := шт|А^ — А'5-|. Будем предполагать, что т(Х) ->

+оо. Пусть I - тождественный оператор, || • Цу^Уа _ норма линейного оператора, действующего из нормированного пространства У1 в нормированное пространство Уг, <?(•) - спектр оператора. Рассмотрим в пространстве ¿2(Ж'г; С") семейство операторов Н{ := Но + А, » = 1 с областями определения С").

Одним из основных результатов второй главы является

к

Теорема 1. Пусть множество К := С\ и <тСНг) непусто. Тогда для

г—О

достаточно больших т(Х) оператор Их замкнут. Для любого Л € К и достаточно больших т(Х) верно представление

к

(Пх ~ А)"1 :=[]>>(-*,•)(% - Л)_15(Аг)

г=1

-(¿-ххно-Аг^а+Рл-г1.

к

Тх ■= £ - А)_1<5(А'Л) - {По - А}"1],

где ІІРхіі^СЕ^с-И^Р^С») ^ 0 пРи ^

к

Предположение о непустоте множества К := С\ У а (Ні) в формули-

і=о

ровке основного результата является достаточно естественным и весьма слабым. Это предположение справедливо для довольно широкого класса операторов. Например, множество К непусто, если невозмущённый оператор Но и операторы Ні, і = 1,..., к, являются самосопряжёнными. Множество К заведомо непусто, если предположить, что операторы Ні либо операторы —Ні, і = 0,..., к, т - секториальны.

Разлагая оператор (I + Тх)~1 в ряд Неймана, нетрудно получить асимптотический ряд для резольвенты оператора Нх

со к

(Нх-ХГ1 - АГ1^)

3=0 »=1

Данный ряд, являясь асимптотическим для резольвенты оператора Нх, СХОДИТСЯ В равномерной резольвентной норме II ■ II І/2(К<І;СП)->І2(К<,;СП) •

Следующие результаты второй главы описывают положение существенного спектра и сходимость дискретного спектра доя случая самосопряжённых операторов.

Теорема 2. Пусть операторы. Но, Ні, Нх, » = 1,--,к, самосопряжены. Тогда существенные спектры операторов Нх, Ні, і — 1, совпадают с существенным спектром оператора Но-

Теорема 3. Пусть операторы Но, Ні, Нх, » = 1, самосопря-

к

жены и (То := и (г(Ні). Тогда спектр возмущённого оператора а(Нх)

сходится к предельному спектру сто. А именно, для любого 7 > 0 найдётся константа К(7) такая, что сЛэ^А, <то) < 7 для всех

А Є а(Нх)

при т(X) > К(7). Теорема 4. Пусть

операторы Но, Нг, Нх, і — 1,..., /с, самосопряжены, а Ад - собственное значение кратности р» каждого из операторов

Ні. і = 1,..., к. Тогда существует ровно р = рі + ■ ■ ■ + Рк (с учётом

(і)

кратности) изолированных собственных значений \х , ] = 1,...,р, возмущённого оператора Нх, сходящихся к До при т(Х) —> +оо.

Главным результатом третьей главы диссертации являются представления для собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущённого оператора в виде равномерно сходящихся рядов в случае простого предельного собственного значения. Пусть Ао - простое и изолированное собственное значение оператора И\, не принадлежащее спектрам операторов Но, Иг, г = 2,..., к, а -фо - нормированная в пространстве ^(К^С") собственная функция, соответствующая собственному значению Л0. Через и будем обозначать малую фиксированную окрестность точки Л0, замыкание которой не содержит никаких других точек спектров операторов Но, Иг, кроме самой точки Ао- Символом 72.1 (А) будем_обозначать приведённую резольвенту оператора И\ в окрестности и и = ("Н» - А)"1, где г > 2, а А € и. Под приведённой резольвентой ТС^А) мы понимаем голоморфную часть ряда Лорана оператора СН1 — А)-1 в точке Ао- Положим

е(Х) = шах { тах^ • |)5(Х3- -

1 г7

Сформулируем теорему о поведении собственных значений оператора Их в случае простого предельного собственного значения.

Теорема 5. Пусть операторы Но, Иг, Их, г = 1, ■ ■ -, к, самосопряжены. Тогда при достаточно больших т(Х) в окрестности и существует единственное собственное значение \х оператора Их, которое сходится, к А0 при т(Х) +оо. Собственное значение Хх простое и изолированное и представимо в виде сходящегося для достаточно больших т(Х) ряда

со

Ах = А0 + ^Л,(Х), (1)

3=2

Соответствующую собственную функцию фх можно выбрать так, что она будет представляться в биде сходящегося в ^'"(К1'; С") для достаточно больших т(Л') ряда

к оо

Фх(х) = Фо(х - Хг) + - (2)

9=1 3=1

Ряды (1), (2) сходятся равномерно по X для достаточно больших т(Х). Члены данных рядов определяются равенствами

Л? = Е (АЗД -Хя)Фя*-иФо) , (3)

<7=2

3 к

¿=2 «=1 ф1,о--=фо, фз, о := о, 8 = 2,..., к, q=l,...,k. (5)

Верны оценки

|Л,(Л')| < С^(А'), < (6)

где С - некоторая константа, не зависящая от о и X. Выполнено е(Х) 0 при т(А') +оо.

В четвёртой главе рассматриваются два наиболее типичных случая кратного предельного собственного значения. В первом случае Ао - простое собственное значение операторов Ч\ и Ч2, не принадлежащее спектрам остальных операторов Чг, ? = 3,..., к, а фо^, j = 1,2 - соответствующие нормированные в ¿2(КЙ;СП) собственные функции операторов Н\ и В этом случае будем говорить, что собственное значение А0 имеет кратность 1 +1. Во втором случае А0 - двукратное собственное значение оператора Ч\, не принадлежащее спектрам остальных операторов Чг, 1 = 2,..., к, а 3 = 1,2- соответствующие нормированные в пространстве /^(К^С™) собственные функции. В этом случае будем говорить, что Ао имеет кратность 2 + 0.

Как и в случае простого предельного собственного значения, V -малая фиксированная окрестность точки А0, замыкание которой не содержит никаких других точек спектра операторов Но, кроме Ао, г = 3,..., к в случае кратности 1 + 1 и г = 2,..., к в случае кратности 2 + 0, 'Лд(А) - приведённые резольвенты операторов Нч в окрестности и, д = 1, 2 в случае кратности 1 + 1 и д = 1_в случае кратности 2 + 0. Положим К{(\) = {Чг - А)"1, где ! > 3, А £ Ь', И

е(Х) = тах 11иах дах^ \\С^Я{\ ■ |)5(Л", - Хэ^Аь^су

е *7¿4

Теорема 6. Пусть операторы Но, ¡;. Их, ъ — 1,...,сальосоп/ряснсс-ны, а Ао - собственное значение кратности 1 +1 и выполнено неравенство

|- ХМо,иФо,з)Ьа(кЛ!с-)| > с > (7)

где С - некоторая константа, не зависящая от X. Тогда при достаточно больших т(Х) в окрестности и существует ровно два (с учётом кратности) собственных значения ] = 1,2, возмущённого оператора Их, которые сходятся к собственному значению Ао при т(Х) —» +оо. Данные собственные значения А^', = 1,..., 2 предста-вимы в виде сходящихся при достаточно больших т(Л') рядов

оо

А^Ао + ЕЛ^Х). (8)

г=1

(1)

Соответствующие собственные функции Фх , 3 ~ 1,2, можно выбрать так, что они будут представляться в виде сходящихся в пространстве И'|тп(К'г;Сп) для достаточно больших т(Х) рядов

Фх\х) =г(0%Х)ф0А(х - XI) + г$(Х)фо,2(х - Х2)

к оо <г=1 г=1

Ряды (8), (9) сходятся равномерно по X для достаточно больших т(Х). Члены данных рядов определяются равенствами

-Л?\Х)=А[1)(Х) = \[с2з(х2-х1)ф0Л,ф0,,)ы^сп}[ (10)

+ 9=1,2, ¿>1, (11)

- го,1-я^(хч - Я = 1,2,

=-(%,- Ао) 1 - Х1)фол

+ СчЗ(Хя-Х2)фо,^, <7^3, Лг0) = (Р?);г«)с2, г >2, (14)

(12) (13)

$$ =7гд(А0) ^ - - Х3-,)Фз-я,І-І

3 = 1 (=1

к г \

— СдЯІХд — Хр)фрЛ~ 1 ] , 9=1,2, р=3 /

\ї=1

(16)

Здесь Р^ = \1(}) ] ~ вектор с компопепталш, = (сд5(Хч — \/і,2/

&12 = — ^"2)^0,2,^0,1), с компонентами = го^2 =

—, а гр' = ( Г/'А | - вектора, удовлетворяющие уравнению \Ч2/

(в - Л^Е^Д = + г0«)л?) - Р«>

г/, ортог <жальные век?порам ^ = 1,2, г ^ 1. Верны оценки

|ЛИ>(А-)| < СУ (А), < (17)

где С - некоторые константы, не зависящие от г, і, д, X. Выполнено є{Х) 0 яры трО -> +ос.

В случае кратности '2 + 0 положим (А) = (Hi — А) i ) 2 и ерО = max | max maxа \\С°щ(\ ■ \)S{Xq - A'O^ojH^^.^), max max \\^Vi(\ • - Х,)Я,(А)?,(| • |)|| „ }.

Теорема 7. Пусть операторы Ho, Hi, Нх, г = 1,..., fc, самосопряжены, а Xо - собственное значение кратности 2 + 0 и выполнено неравенство

/ ^

( £ (£iS(*i - XiXWi - До)"1 - Х^Ао.ь ^од)^.^

\»=2 к

- J2 (CiS(Xi - Xi)(Hi - Xo)~1£iS(Xi - Х^фоа,

i=2

к

+ 4\^(С18(Х1 - Х^ - Хо)'1^^ - Х1)ф0Л,ф0,2) Ь2(¥_Л.сп)\ ¿=2 ^ Се2(Х),

(18)

где С > 0 - некоторая константа, не зависящая от X. Тогда при достаточно больших т(Х) в окрестности II существуют ровно два (с учетом кратности) собственных значения А^Р, ] = 1,2, возмущенного оператора Нх, которые сходятся к собственному значению Ао при т(Х) +оо. Собственные значения А^, ^ = 1,2, представимм в виде сходящихся для достаточно больших т(Х) рядов

оо ¿=1

Соответствующие собственные функции ф^> 3 ~ можно выбрать так, что они представимы в виде сходящихся в И/2Ш(К<';СП) для достаточно больших т(Х) рядов

ФхЧ*) =г{0Ц(Х)ф0Л(х - Хг) + г$МХ)(х - XО

+ £!>$(*-*«'*)• (20) д=1 ¿=1

Ряды (19), (20) сходятся равномерно по X для достаточно больших т(Х). Члены данных рядов определяются равенствами

Л(1)=Л(2)=0, (21) А?> = \ (ьп + Ь22 + (-1у^/(Ьп-Ъ22)2 , з = 1, 2,

к 9=2

к

= ^Аадо 2,

t=2

^ =

(=1 3=2

9=2

г —1 к

+ £ - - ), г >- 3,

£=2 9—2

(22)

(23)

£=1 £—1 «V = - А0) 1£,5(х«г - <7 > 2,

$$ = 7г1(А0)^г«» (А?фо,г - £ С. 15 (А'х - (24)

(25)

ЛЯ _ , „и) „, , , „(Я ... „ „ > 9 ; > о

(А^Х, \ . ^ з (26)

л:

' г—1

ия

>1 =(пч - Ло)-1 - -

4 = 2

- - А'О^! ), 9 > 2, < ^ 3.

... /г^Л /ЬЦ

Здесь Гп = I лй ~~ собственные вектора матрицы В ( г

\Ь12

'0,2

с компонентами

-О) _ г0,1 —

^/ь?2 + з|ьи - ь22 + (-1)5\/(Ь11 - ь22)2 +4|Ь12|2|

- &22 + (-1)3У(6Ц-622)2+4|612|2) и,У I 2

У612 + 1рп - ь22 + (~1Уу/{Ьи - ь22)'2 +4|612|2|

I гО')\

г} = I I - вектора, удовлетворяющие уравнению

4,2 )

¿-1

&22,

(в - Л20)е)г& = Е^Е + №№ - I > 3,

и ортогопсиаьные векторам Гд , р= 1,2, г ^ 1. Верпы оценки

|ЛРРО| (29)

где С - некоторые константы, не зависящие от г,;}, <?, X. Выполнено е(Х) —0 при т(X) +оо.

Наиболее значимый результат второй главы диссертации - это ряды (1), (2), (8), (9), (19), (20), а также формулы и оценки для членов этих рядов. Ценность данного результата заключается в сходимости рядов к и Л®1 достаточно больших т(Х). Более того, сходимость равномерна по X. Оценки (6), (17), (29) означают, что эти ряды сходятся как степенные. Эти оценки также означают, что ряды (1), (2), (8), (9),

(19), (20) в определённом смысле можно трактовать и как асимптотические - порядок малости остатка увеличивается с увеличением номера остатка.

Таким образом, эти ряды являются способом точного вычисления собственных значений Л^-1 и соответствующих им собственных функций Фх\ Члены данных рядов задаются рекуррентными формулами (3)-(5), (10)-(16), (21)-(28). Метод, с помощью которого были построены ряды (1), (2), (8), (9), (19), (20), применим и в общем случае, то есть, при произвольной кратности предельного собственного значения. Вместе с тем, процесс построения рядов, аналогичных (1), (2), (8), (9), (19), (20), в общем случае крайне громоздкий. Именно поэтому в диссертации мы ограничились лишь двумя наиболее типичными случаями кратности 1 + 1 и 2 + 0 предельного собственного значения. При этом условия (7), (18) обеспечивают расщепление возмущённых собственных значений на уровне первых ненулевых поправок.

В четвёртой главе также рассматривается невозмущённый оператор с двумя разбегающимися возмущениями. Пусть Ао - собственное значение оператора кратности р и собственное значение оператора %2 кратности ц. Символами з = 1,... ,р и ф^з = 1,..., д будем обозначать собственные функции операторов Н\ и соответствующие собственному значению Ао. Предполагаем, что р ^ В этом случае из первых поправок з = 1,... ,р + я первые q-p равны нулю. Остальные 2р поправки имеют вид ±^//7., г = 1,...,р, где рч - собственные значения матрицы ВВ*. Матрица В здесь задаётся формулой

В :=

(АЭД - ,ФЬ1}) ■ ■ • (аЭД - Х2)ф$,\

^(А^А-! - Х3)ф$,4У) ... (с^Хг - Х2)ф$, у

символ * означает эрмитово сопряжение, а под символом (-, ■) понимается скалярное произведение в пространстве ЬгР^'С").

Выражаю самую искреннюю благодарность моему научному руководителю Борисову Денису Ивановичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Борисов Д.И., Головина A.M. О резольвентах периодических операторов с разбегающимися возмущениями. // Уф. мат. журнал. -2012. - Т. 4. - № 2. - С. 65-74.

[2] Головина A.M. Резольвенты операторов с разбегающимися возмущениями //' Матем. заметки. - 2012. - V. 91. - № 3. - С. 464-466.

[3] Головина A.M. О дискретном спектре возмущённого периодического дифференциального оператора // Докл. АН. - 2013. - Т. 448. -№ 3. - С. 1-3.

[4] Головина A.M. О спектре периодических эллиптических операторов с разбегающимися возмущениями в пространстве ,// Алг. ан., принято к печати.

[5] Golovina A.M. On the resolvent of elliptic operators with distant perturbations in the space // Russ. J. Math. Phys. - 2012. - V. 19. - № 2. - P. 182-192.

[6] Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations // J. Math. Sci. - 2013. - V. 189. - № 3. - P. 342-364.

Головина Анастасия Михайловна

РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ С РАЗБЕГАЮЩИМИСЯ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 05.06.2013 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Тираж 120 экз. Заказ 939. Гарнитура 'ТітезКе%уЕІотап". Отпечатано в типографии "ПЕЧАТНЫЙ ДОМЪ" ИП ВЕРКО. Объём 1 п.л. Уфа, Карла Маркса 12, кор. 4. т/ф: 6(347)27-24-600, 27-29-223.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования "Башкирский государственный педагогический университет

им. М. Акмуллы"

На правах рукописи Головина Анастасия Михайловна

РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ С РАЗБЕГАЮЩИМИСЯ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н. Борисов Д. И.

Уфа-2013

СО О)

о со со

со

о см

о

СМ со

Оглавление

Введение 4

1 Примеры 33

1.1 Примеры невозмущёиных операторов........................33

1.2 Примеры весовых функций....................................36

1.3 Примеры возмущающих операторов..........................38

1.4 Применение главных результатов к классическому примеру 42

2 Резольвента и сходимость спектра 51

2.1 Вспомогательные утверждения................................51

2.2 Равномерная резольвентная сходимость......................60

2.3 Существенный спектр..........................................65

2.4 Сходимость спектра............................................68

3 Собственные значения и собственные функции - случай простого предельного собственного значения 73

3.1 Редукция уравнения на собственные значения..............73

3.2 Ряды для возмущённых собственного значения и собственной функции....................................................81

4 Собственные значения и собственные функции - случай двукратного предельного собственного значения 89

4.1 Редукция уравнения на собственные значения.......> 89

2

4.2 Ряды для возмущённых собственных значений и собственных функций........................... 96

4.3 Случай произвольной кратности предельного собственного значения............................. 109

Литература 111

Введение

Классическим примером оператора с разбегающимися возмущениями является дифференциальный оператор второго порядка с двойной потенциальной ямой

= + + + в 12(К), (0.0.1)

где V, \У - вещественные финитные измеримые потенциалы, I - большой положительный параметр. При I —> оо носители потенциалов оператора находятся на большом расстоянии друг от друга (см. рис.1). Именно этим объясняется термин "разбегающиеся возмущения".

Операторы с разбегающимися возмущениями рассматривались разными авторами (см., например, [19], [20], [22] - [25], [27], [28], [32], [33] -[36], [38] - [50]). Основное внимание уделялось изучению асимптотического поведения резольвенты, а также собственных значений и собственных функций как в случае простого, так и в случае кратного предельного собственного значения. При этом достаточно большое количество работ посвящено изучению собственных значений и собственных функций оператора Лапласа, возмущённого потенциалами в случае простого предельного собственного значения (см., например, [19], [20], [27], [35], [39], [41], [45], [48]). Исследования асимптотического поведения собственных значений и собственных функций оператора Лапласа с несколькими разбегающимися потенциалами в случае кратного предельного собственного значения проводились в работах [32], [33], [38]. Резольвента оператора Лапласа с несколькими разбегающими потенциалами исследовалась в работе [22], книге [28, Гл. 8, §8.6] и статье [43]. Имеется также ряд ра-

4

Л

Рис. 1: Пример разбегающихся возмущений

бот, в которых возмущения задавались иным образом, то есть, не в виде потенциалов (см., например, [23] - [25], [42]). Остановимся подробнее на каждой из цитированных выше работ.

В [22] исследовалось поведение резольвенты оператора Лапласа в пространстве К3 с тремя разбегающимися потенциалами. Потенциалы удовлетворяли двум условиям, первое из которых обеспечивало относительную компактность, а второе описывало аналитические свойства потенциалов. Была доказана сходимость резольвенты возмущённого оператора к резольвенте невозмущённого оператора в смысле сильной резольвентной сходимости. Также было приведено разложение резольвенты возмущённого оператора в ряд Неймана, сходящийся в смысле сильной резольвентной сходимости. В книге [28, Гл. 8, §8.6] изучались асимптотические свойства оператора Шрёдингера с двумя разбегающимися возмущениями в пространстве Е3. Возмущениями здесь являлись два вещественных убывающих на бесконечности потенциала. Доказана сходимость резольвенты унитарного преобразования некоторого матричного оператора, который строился на основе исходного оператора с разбегающимися возмущениями. При этом унитарное преобразование вводилось специальным образом и само зависело от расстояния между разбегающимися потенциалами. В [43] рассматривался оператор — — Д+У1+У2(- — €) в пространстве К3, где V]., Уг - вещественнозначные функции из класса Ролльника (Ко11шк с1аай). Класс Ролльника вводился как множество функций V = У(х), для

которых

/

|.т — у |2

dxdy < оо.

H3xR3

Исследовалось поведение резольвенты возмущённого оператора Не при \Е\ —> +00. Была доказана равномерная сходимость к нулю в норме Гильберта-Шмидта оператора

(Не - Л)"1 - № - Л)"1 - (П2 - А)"1 + (По - Л)"1, (0.0.2)

где Но = —A, 7ii = —А + Vi, = —А + V2, а число Л не принадлежит спектрам операторов Но, %2- Другими словами, возмущённый оператор в пределе "расщеплялся" на три предельных оператора*.

В статьях [19], [20], [27], [35], [39], [41], [45], [48], исследовалось асимптотическое поведение собственных значений и соответствующих им собственных функций оператора Шрёдингера в пространстве d > 1 с несколькими разбегающимися возмущениями. Рассматривался случай, когда возмущённое собственное значение сходится к простому предельному собственному значению. Возмущениями в [20], [27], [35], [41], [48] являлись потенциалы, удовлетворяющие различным условиям, обеспечивающим гладкость и убывание на бесконечности. Были построены ^первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций в случае простого предельного собственного значения. В работах [19], [45] в качестве возмущений рассматривались кулоновские потенциалы. Были построены полные асимптотические разложения для собственных значений и соответствующих им собственных функций в случае простого предельного собственного значения. Отметим, что формулы для коэффициентов этих рядов выведены не были. В [39] разбегающимися возмущениями являлись финитные потенциалы, рассматриваемые в пространстве d = 1 или d = 3. В случае простого предельного собственного значения были получены представления для собственных значений и собственных функций возмущённого оператора в виде равномерно сходящихся рядов и выведены оценки

на их коэффициенты. Данные ряды одновременно являлись асимптотическими. Формулы для коэффициентов этих рядов также выведены не были.

В статьях [32], [33], [38] рассматривался оператор Лапласа с несколькими разбегающимися потенциалами. Изучалось поведение собственных значений данного оператора, когда предельное собственное значения являлось простым собственным значением первого предельного оператора (оператор Лапласа с первым потенциалом) и простым собственным значением второго предельного оператора (оператор Лапласа со вторым потенциалом). Возмущениями в [33], [38] были два убывающие на бесконечности потенциала, а в [32] возмущениями являлись три кулоновские потенциала. В работах [33], [38] были построены первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций в случае двукратного предельного собственного значения. В [33] также было показано, что первые поправки собственных значений возмущённого оператора симметричны относительно нуля, то есть, равны по модулю, но противоположны по знаку. В статье [32] были построены представления для собственных значений и соответствующих им собственных функций в виде равномерно сходящихся рядов. Выведены оценки на их коэффициенты. Однако формулы для коэффициентов этих рядов не были получены.

В работах [36], [40], [44], [46], [49], [50], изучалось поведение собственных значений, возникающих из края существенного спектра предельного оператора. Исследованы различные случаи существования таких собственных значений. Получено описание первых членов асимптотических разложений данных собственных значений. В статьях [34], [47] изучалось поведение собственных значений оператора Дирака в трёхмерном пространстве в случае простого предельного собственного значения. В [34] возмущениями были убывающие на бесконечности потенциалы, а в [47] возмущениями являлись кулоновские потенциалы. Построены первые члены асимптотических разложений собственных значений и соот-

ветствующих им собственных функций возмущённого оператора в случае простого предельного собственного значения. В [42] изучались свойства спектральных лакун оператора Лапласа, возмущённого дельта-потенциалом. Были получены нижние оценки для первой спектральной лакуны оператора Лапласа. Данные оценки применимы и к разбегающемуся дельта-потенциалу. В работе [25] исследовалось асимптотическое поведение-собственных значений и соответствующих им собственных функций оператора Лапласа с несколькими разбегающимися возмущениями в случае простого предельного собственного значения. В качестве возмущений рассматривалась смена типа граничных условий. Участки границы, на которых менялся тип граничных условий, находились на большом расстоянии друг от друга. Были доказаны теоремы сходимости и построены первые члены асимптотических рядов для собственных значений и собственных функций в случае простого предельного собственного значения.

В [23], [24] исследовалось асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций оператора Лапласа с конечным числом разбегающихся возмущений в многомерном пространстве и бесконечном цилиндре. Возмущающими операторами здесь были произвольные абстрактные локализованные операторы. Локализованность данных возмущений заключалась в том, что каждый из них был определён на некоторой ограниченной области. Была доказана сходимость собственных значений и собственных функций возмущённого оператора к соответствую-

ь

щим им собственным значениям и собственным функциям предельного оператора при произвольной кратности предельного собственного значения. Были получены первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций.

Достаточно близкими к задачам с разбегающимися возмущениями являются задачи об операторах с малым параметром перед старшей производной и заданным фиксированным потенциалом. Подобного рода операторы давно являются объектом многочисленных исследований различных авторов. Например, в работах [9], [10], [29] рассматривался оператор

Лапласа с малым параметром перед старшей производной и несколькими потенциалами. Исследовалось поведение собственных значений возмущённого оператора как в случае простого, так и в случае двукратного предельного собственного значения. Были получены экспоненциальные оценки для первых спектральных лакун. Операторы с малым параметром перед старшей производной и несколькими потенциалами с помощью замены переменной можно свести к описанным выше операторам с разбегающимися потенциалами. Однако, носители последних будут расширяться одновременно с разбеганием. В нашем случае разбегающиеся возмущения предполагаются фиксированными и именно в этом заключается отличие операторов с разбегающимися возмущениями от операторов с малым параметром перед старшей производной.

В диссертации рассматривается эллиптический оператор с конечным числом разбегающихся возмущений в многомерном пространстве. Невозмущённый оператор - это многомерный матричный периодический дифференциальный оператор произвольного чётного порядка достаточно общего вида. Возмущениями являются произвольные абстрактные операторы, основным свойством которых является локализованность. Локализация возмущений описывается весовыми функциями, входящими в определение возмущающих операторов. На весовые функции накладываемся определённый набор требований, которые фактически обеспечивают гладкость весовых функций и их убывание на бесконечности вместе с фиксированным набором производных. Если возмущающими операторами являются потенциалы, то наше условие локализованности превращается в условие убывания этих потенциалов. При этом практически отсутствуют ограничения на скорость убывания. Возмущения всех предыдущих работ (за исключением работы [25]) являются частным случаем возмущений, описанных в диссертации. Даже абстрактные возмущения, описанные в [23], [24], получаются из наших, если весовые функции выбрать финитными. Фактически, рассмотренные в диссертации возмущения являются обобщением всех вышеупомянутых. Отметим, что возму-

щения, аналогичные нашим, были рассмотрены в [2], но для другого типа задач. В качестве возмущающих операторов можно выбрать дифференциальный оператор высокого порядка, не превосходящего порядок невозмущённого оператора, интегральный оператор, конечномерный оператор, псевдодифференциальный оператор. В работе [23, п.8, пример 5] описано преобразование, с помощью которого дельта-потенциал можно свести к дифференциальному оператору второго порядка. Если воспользоваться этим преобразованием, то в качестве возмущающего оператора можно взять и дельта-потенциал.

В диссертации исследуются резольвента и спектр возмущённого оператора при стремлении к бесконечности расстояний между областями, в которых локализованы возмущения. Во второй главе диссертации выводится явное представление для резольвенты возмущённого оператора, на основе которого доказывается равномерная резольвентная сходимость возмущённого оператора к некоторому предельному. Приводится разложение резольвенты возмущённого оператора в полный асимптотический ряд, сходящийся в равномерной операторной норме. Данный результат получен без различного рода ограничений, накладываемых на невозмущённый оператор. А именно, невозмущённый оператор не обязательно является симметричным и, следовательно, самосопряжённым. Более того, он не предполагается даже секториальным. Единственное условие, которое накладывается на невозмущённый оператор в данном случае -замкнутость (см. лемму 2.2). Для получения данного представления разработана новая достаточно простая оригинальная схема (см. доказательство теоремы 0.1). Её суть заключается в том, что с помощью определённых алгебраических преобразований задача о нахождении резольвенты возмущённого оператора сводится к обращению почти единичного оператора.

В предположении, что невозмущённый и возмущённый операторы самосопряжены, а возмущающие операторы симметричны, во второй главе диссертации доказывается устойчивость существенного спектра возму-

щённого оператора относительно возмущений и сходимость собственных значений возмущённого оператора к собственным значениям предельного оператора в случае произвольной кратности предельного собственного значения. Существование и сходимость собственного значения возмущённого оператора доказывается на основе результатов о равномерной резольвентной сходимости.

В третьей и четвёртой главах диссертации при аналогичных предположениях о самосопряжённости и симметричности, строятся представления в виде равномерно сходящихся рядов для собственных значений возмущённого оператора, когда предельное собственное значение является простым или двукратным. Выводятся явные формулы и степенные оценки для их членов. Для построения этих рядов также разработана новая довольно простая методика (см. доказательства теорем 0.5, 0.6, 0.7). Суть сё состоит в том, что уравнение на собственные значения возмущённого оператора сводится к некоторому регулярно возмущённому уравнению в специальном гильбертовом пространстве. При этом малость возмущения удаётся описать двумя характерными малыми параметрами. Применение затем адаптированной версии метода Бирмана-Швингера, описанной в работах [5], [3], позволяет свести задачу к анализу операторного уравнения и поиску нулей некоторой голоморфной функции. Анализ данной функции позволяет получить представления для собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущённого оператора в виде равномерно сходящихся рядов. Для поиска членов построенных рядов предложен достаточно простой и изящный метод (см. четвёртую главу диссертации, параграф 4.2). Методика, с помощью которой строятся ряды для собственных значений и собственных функций возмущённого оператора применима и в общем случае, то есть, при произвольной кратности предельного собственного значения. Вместе с тем, в общем случае процесс построения рядов для собственных значений и собственных функций возмущённого оператора является довольно громоздким. Это объясняется тем, что возникают многочисленные частные случаи, ^свя-

в

занные с