Спектральные свойства оператора линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Прибыль, Марина Александровна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
08-1
2347
арственный университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет
На правах рукописи УДК 517.984.5
Прибыль Марина Александровна
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
01.01.02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва, 2008
Работа выполнена на кафедре общих проблем управления Механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук
профессор A.B. Фурсиков. Оффициальные оппоненты: доктор физико-математических наук
профессор М.С. Агранович, доктор физико-математических наук профессор A.A. Шкаликов. Ведущая организация: Московский энергетический институт.
Защита состоится И апреля 2008 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП - 1, РФ, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико - математический факультет, аудитория 16-24.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико - матемаг тического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).
Автореферат разослан "11"марта 2008 года.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ доктор физико-математических наук профессор
И.Н. Сергеев
! Общая характеристика работы.
; Актуальность темы. Изучению математических вопросов уравнений вязкой сжимаемой жидкости посвящено много работ как российских, так и'зарубежных авторов. Первой в этой области была работа Я.И. Канеля х, в которой исследовалась задача Коши для одномерного нестационарного движения вязкого сжимаемого газа в переменных Лагранжа:
ди др(ь) д (1ди
dt + дх ^дх
dv du dt~dx='
где и - скорость, v - удельный объем, р = p{v) - давление, fi = const > О - вязкость среды, t - время. В указанной работе доказана корректность задачи "в целом" по времени и сходимость решения при t —► оо к стационарному решению.
В дальнейшем появляются работы, в которых рассматривается более общая постановка задачи для одномерного движения. А именно, предполаг гается, что газ теплопроводен, т.е. удовлетворяет следующей системе уравнений:
dv du _ q ^
dt dx
с граничными условиями
g(t, 0) = q(t, 1) = 0, a(t, 0) - a(t, 1) = 0, (4)
либо уравнения (l)-(3) рассматриваются на всей прямой. Здесь е = e(v, 9) - внутренняя энергия, а = —p(v, 9) + fi(v)ux - тензор напряжения, q = q(v, 9, Qx) - тепловой поток, 9 - абсолютная температура, р - давление, fi(v)
'Капель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа//Диф. уравнения - 1968. -г. 4, №4, с. 374-380.
- вязкость. А.В. Кажихов 2,э, А.А. Amosov С.М. Dafermos б, Т. Nagasa-wa 6 доказали глобальное существование сильных решений задачи (1)-(3) с начальными условиями при различных предположениях на функции е, a, q .
Изучению поведения решения при t —> оо системы (1)-(3) также посвящено много работ. С.Н. Антонцев 7, Е. Feireisl 8 и S. Jiang 9 исследовали поведение при больших временах сильного решения задачи Коши и начально-краевой задачи для системы (1)-(3) с граничными условиями (4). В случае граничных условий
q(t, 0) = q(t, 1) = 0, cr(i, 0) = a{t, 1) - ~R(t) < 0,
где R(t) - заданная функция, поведение решения при больших временах изучал В. Ducomet10.
Глобальное существование слабого решения и его поведение при больших временах исследовалось также для многомерных уравнений вязкой сжимаемой жидкости. Однако вопросы существования глобального сильного решения в случае теплопроводного газа и единственность слабого решения при больших начальных данных остаются открытыми.
В случае достаточно малых начальных данных существование глобаль-
2Кажкхов А.В. Теория начально-краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа//Краев. задачи для уравн. гидродинамики, Дин. сплош. среды. - 1981. - т. 50, с. 37-62.
"Кажихов А.В., Шалухин В.В. Однозначная разрешимость "в целом"по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа//Прикл. матем. и механика. - 1977. - т. 41, с. 282-291.
'Amosov А.А. The existence of global generalized solutions of the equations of one-dimensional motion of real viscous gas with discontinuous data//Diff. Eqs. - 2000. - V. 36, pp. 540-558.
'Dafermos C.M. Global smooth solutions to the initial-boudary value problem for the equations of one-dimensional nonlinear thermoviscoela3ticity//SIAM J. Math. Anal. - 1982. - V. 13, pp. 397-408.
'Nagasawa T. On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas no-fixed on the boundary//J. Diff. Eqs. - 1988. - V. 65, pp. 49-67.
7Antontaev S.N., Kazhihov A.V. and Monakhov V.N. Boundary Value Problems in Machanics of Nonhomogeneous Fluids// North-Holland, Amsterdam, New York. - 1990.
'Feireiel Б. and Petzeltova H. Unconditional stability of stationary flows of compressible heat-conducting fluids by large external forces//J. Math. Fluid Mech. - 1999. - V. 1, pp. 168-186.
'Jiang S, Large-time behavior of solutions to the equations of a one-dimensional viscous polytropic ideal gas in unbounded domains//Comm. Math. Phys. - 1999. - V. 200, pp. 181-193.
'"Ducomet B. Asymptotic behaviour for a non-monotone fluid in one dimension: The positive temperature
case//Math. Meth. Appl. Sci. - 2001. - V. 24, pp. 543-559.
ного сильного и слабого решения и сходимость к соответствующему стационарному решению при t —> оо доказали D. Hoff 11 и A. Matsumura, Т. Nishida 12. В случае больших начальных данных ситуация значительно сложнее. Тем не менее P.-L. Lions 13 установил глобальное существование слабого решения для системы уравнений, описывающих движение адиабатической жидкости:
dtp + div(p-u) = О,
dt(pu) + div(/?u ® и) + а у (р7) = + + м) V divu,
при 7 > jj^ и размерности d = 2,3. Здесь а > 0 - число, Л - второй коэффициент вязкости. Поведение при больших временах глобального слабого решения этой системы исследовалось, например, в работах В. Ducomet14, Е. Feireisl 16, J. Neustupa 1б.
Доведение при больших временах решения нелинейных уравнений вязкой сжимаемой жидкости, в частности, изучение их устойчивости, может быть сведено к исследованию спектральных свойств оператора, описываемого линеаризованными стационарными уравнениями. Во всех работах, упомянутых выше, линеаризация проводилась на нулевой скорости и(х) = О и постоянной плотности р{х) — const, что приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Спектральная задача для таких уравнений с помощью преобразования Фурье сводится к исследованию спектра матрицы, см. работы M.R. Levitin 17, М. Nunez 18. В дис-
uHoff D. Strong convergence to global solutions for multidimensional flows of compressible, viscous fluids with polytropic equations of state and discontinuous initial data//Arch. Rat. Mech. Anal. - 1996. - V. 132, pp. 1-14.
"Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive gases//J. Math. Kyoto Univ. - 1980. - V. 20, pp. 67-104.
13Lions P.-L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Vol. 2 - Oxford Science Public., Clarendon Press.: Oxford, 1998.
uDucomet B. Hydrodynamical models of gaseous stars//Rev. Math. Phye. - 1996. - V.8, pp. 957-1000.
"Peireiel E. and Petzeltova H. Unconditional stability of stationary flows of compressible heat-conducting fluids by large external forces//J. Math. Fluid Mech. - 1999. - V.l, pp. 16&-186.
"Neustupa J. Selected Topics in the Theory of Stability, Vol.3 - CTU Reports, Czech technical university in Prague: Praha, 1999.
"Levitin M.R. Vibrations of viscous compressible fluid in bounded domains: spectral properties and asymptotic»//Asimptotic Analysis. - 1993. - V.7, pp. 15-34.
"Nunez M. Spectral analysis of viscous static compressible fluid equilibria//J. Phys. A: Math. Gen. -2001. - V. 34, pp. 4341-4352.
сертации исследуется спектр аналогичных уравнений, но с переменными коэффициентами.
Спектральные задачи для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами - это обширная область математической физики, которая уже стала классической. Подробный исторический обзор этой области, по нашему мнению, приводить нецелесообразно, так как многие ее разделы (теория самосопряженных эллиптических операторов, ассимп-тотика спектральной функции и другие) не имеют прямого отношения к диссертации. Однако мы не можем не отметить работу М.В. Келдыша 19, из которой выросла вся современная теория несамосопряженных дифференциальных операторов (см., например, И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн 20, М.С. Агранович 21). В диссертации основным аппаратом для исследования спектральной задачи является метод псевдодифференциальных операторов. Поэтому мы должны отметить, что теория псевдодифференциальных операторов широко использовалась при исследовании спектра самосопряженных и несамосопряженных операторов (см., например, Л. Хермандер 22, М.С. Агранович 21, М.А. Шубин 23).
В диссертации рассматриваются модельные стационарные уравнения вязкой сжимаемой жидкости, заданные в К*4, (1 = 2,3, с периодическими краевыми условиями. Берется линеаризация этих уравнений на заданном стационарном решении (й(х) ,~р(х)), зависящем от х, Она приводит к системе уравнений с переменными коэффициентами. Доказано, что спектр оператора, описываемого полученными уравнениями с переменными коэффициентами, дискретен и лежит в некотором секторе комплексной плоскости. Кроме того установлена оценка резольвенты. Исследование спектра подобного оператора с переменными коэффициентами и доказательство оценки
18Келдыш М.В. Собственные значения и собственные функции для некоторых классов несамосопряженных уравнений//ДАН СССР. - 1951. - т. 77 № 1, с. 11-14.
мГЬхберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1965.
51 Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях. Дифференциальные уравнения с частными производными. Итоги науки и техники, т. 63. - М.: ВИНИТИ, 1990, с. 5-129.
"Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, Том
3: Псевдодифференциальные операторы. - М.: Мир, 1987.
"Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. - М.: Добросвет, 2003.
резольвенты ранее не изучались.
Мотивацией к выбору модельной задачи послужили стационарные уравнения вязкой сжимаемой жидкости, записанные в переменных Лагранжа:
где ¡1 > 0 - коэффициент вязкости, |-7(а;)| - якобиан преобразования переменных Эйлера к переменным Лагранжа, - алгебраические дополнения к соответствующему элементу с индексами у в матрице Якоби 1(х), ■£) - компоненты вектора скорости жидкости. Структура выписанных уравнений аналогична структуре модельных уравнений, исследуемых в диссертации.
Цель работы. Целью диссертации является доказательство сектори-альности оператора, описываемого модельными стационарными линеаризованными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости, и дискретности его спектра. Секториальность оператора означает, что спектр оператора лежит в симметричном относительно вещественной прямой секторе комплексной плоскости, содержащем отрицательную полупрямую, и выполнена оценка резольвенты, когда спектральный параметр находится вне указанного сектора.
Основные методы исследования. В диссертации используется аппарат псевдодифференциальных операторов, общая теория несамосопряженных линейных операторов.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:
• получено доказательство секториальности оператора, описываемого модельными линеаризованными стационарными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости с переменными коэффициентами;
• получено доказательство дискретности спектра данного дифференциального оператора.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты планируется использовать для обобщения метода стабилизации параболических уравнений и системы На-вье - Стокса, предложенного A.B. Фурсиковым 24>2Й>26, на случай нестационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости. Кроме того, они могут быть использованы для исследования поведения решений при t —> оо тех же нестационарных уравнений.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались неоднократно на семинарах в МГУ под руководством профессора A.B. Фурси-кова (2004 -2008) и в Институте Вычислительной Математики РАН(2006); на семинаре под руководством профессора Е.В. Радкевича в МГУ(2007); на семинаре под руководством профессора Ю.А. Дубинского в Московском Энергетическом Институте (2007), на Международной конференции "Mathematical Hydrodynamics" МИАН (июнь 2006), на Всероссийской конференции "XXVIII Конференция молодых ученых механико - математического факультета МГУ" (апрель 2006), на Всероссийской конференции "Ломоносов -2006" (апрель 2006), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" , посвящённой И.Г. Петровскому, МГУ (май 2007); на Всероссийской конференции "Современные методы
,4Фурсиков A.B. Стабнлизируемость квазилинейного параболического уравнения с помощью грат нячиого управления с обратной связью//Матеы. Сб. - 2001. - т. 192, № 4, с. 115-160.
2вФурсиков A.B. Стабилизация с границы решений системы Навье-Стокса: разрешимость и обоснование возможности численного мояелированяя//Дальневост. матем. журнал. - 2003. - т. 4 № 1, с. 86-100.
"Rirsikov A.V. Real Processes and Realizability of a Stabilization Method for Navier-Stokes Equations by Boundary Feedback Control.- Nonlinear Problems in Mathematical Physics and Related Tbpics П, In Honor of Professor O.A.Ladyzhenskaya, Kluwer//Plenum Publishers, New-York, Boston, Dordrecht, London, Moscow, 2002, pp. 137-177.
теории функций и смежные проблемы", Воронеж (февраль 2007); в Крымской осенней математической школе-симпозиуме, Крым (сентябрь 2007).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ [1 - 7]. Публикаций написанных в соавторстве нет.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации -81 страница, библиография включает 56 наименований. Нумерация теорем и лемм в автореферате совпадает с нумерацией в диссертации.
Краткое содержание диссертации.
Рассмотрим модельную задачу стационарного движения вязкой сжимаемой жидкости:
где х € в, = 2,3, и{х) - вектор скорости жидкости размерности р(х) > 0 - плотность, р(р) е С1 (0, оо) - давление, р'(р) ф 0, /(ж) - внешняя сила, ¡1 - коэффициент вязкости. Все функции в (5), (6) удовлетворяют периодическим краевым условиям с периодом 2тг, т.е. предполагается, что х пробегает тор Т6- = Шй/2ттЪ'1. Для простоты положим ¡л = 1. Пусть (й(х),р(х)) - произвольное решение системы (5), (6). Линеаризуем систему на указанном решении и рассмотрим следующую спектральную задачу:
ЩА<Х) ~ УР(Р(Х)) = /(я),
(5)
—/э(ж)с1т1 = 0,
(6)
р{х)
1
т-сАи(х) + (Ь(х) у +с(х))р(х) = М(х)
(7)
—р(а;)<Иу и(х) = А р(х),
(8)
где
Нх) = р'(р{х)), с(х) =
Vр'(Р(х)) VР(Р{х)) АЧХ)
р{х) р2( х) р2{х)'
(9)
Здесь Л G С - спектральный параметр. Отбрасывая члены низшего порядка в левой части системы (7), (8), рассмотрим спектральную задачу:
~&и(х) + b(x) V = Ms). (10)
р[х)
—p(x)div и(х) = Хр(х). (11)
В главе 1 исследуется спектр оператора, описываемый левой частью системы (10), (11), заданными на торе Td. Параграф 1 посвящен постановке задачи.
Введем функциональные пространства Соболева Hk(Td), которые определяются как пополнение C°°(Td) по норме
\£6Z<<
где (Fy)(£) - коэффициенты Фурье. Введем пространство Я =
L2{Td) х ... х 1/2(Td) хЯх(Тй) с нормой d
3=1
и пространство J = H2(Td) х ... х H2(Td\ хЯ1(Td) с нормой
d
о=1
Обозначим через А(х, D) = {апт(х, оператор, который задается
левой частью системы (10),(11). Область определения и область значений оператора Л(ж, D) : Я —► Я, определяются соотношениями:
Ю(у1(ж,£>)) = J, ЩА(х, D)) С Я.
Перепишем задачу (10),(11) в виде
{A{x,D)-\E)U(x)^0> (12)
где 1!{х) = (и{х),р(х))~вектор размерности <¿+1, <1 = 2,3, Е - единичный оператор.
Множество всех чисел Л € С, для которых Я(А(х, Л) — \Е)~1) = Н и определен обратный оператор (А{х,В) - ЛЕ)~г : Н J, называется резольвентным множеством оператора А{х,Б). Это множество обозначим г(А(х,Б)). Множество а(А(х,П)) = С \ г(А(х, £>)) называется спектром оператора А(х, Б).
Определение. Замкнутый оператор А(х, Б) : Н —► Н называется секториалъным, если существуют </э € тг), ао € К и М > 0 такие, что сектор = {Л : 0 < | аг§(Л - <2о)| < <ру А ^ ао} лежит в г(А(х, £>)) и р^у для любого А 6 500)¥>.
Параграф 2 посвящен проверки эллиптичности системы (10),(11). В параграфе 3 предполагается, что оператор А(х, D) имеет постоянные коэффициенты, обозначим его А(Б). Предполагая, что функции р(х) и Ь(х) постоянны, элементы оператора А(£>) = {а„т(£))}^=1 определяются левой частью системы (10), (11). С помощью теории рядов Фурье находятся собственные значения и соответствующие им собственные векторы оператора А{Б). Собственные значения определяются формулами:
Ах® = -4?, аеъ*, ¿ = 2,3, (13)
р
- корень кратности й — 1 и
Л2,з(0 = -Щ ± + а = 2,3, (14)
- простые корни. Доказаны следующие леммы:
Лемма 1.3.1. Пусть (1 = 2. При любых £ 6 22 существует 8 линейно независимых собственных вектора. Собственный вектор
= (15)
соответствует собственному значению (13), а собственные векторы
ГО-(Ое^) = (гЬр^, 1Ьр$2, ^ + А2,з«)) № (16)
соответствуют собственным значениям (Ц).
Лемма 1.3.2. Пусть ¿ = 3. При любых £ 6 I? существует 4 линейно независимых собственных вектора. Два из них, соответствующие собственному значению (13), определяются следующим образом: для любых £2, £з
(6, Ч1А 0)^'«;
для и любых £1, £3
(-б.&ДО)^-«,
для £3 ф 0 и любых 6
(Чз.О^ьОУ^),
а два других собственных вектора, соответствующие собственным значениям (Ц), определяются формулой
(гЬЬ,^ + Л2,3(0)
Рассмотрим множество
М = {Л е С : А = А(£) определены в (13), (14) при £ е Ъ*, & = 2,3}.
(17)
В следующей лемме достаточно точно описано подмножество комплексной плоскости, содержащее спектр оператора А(Б).
Лемма 1.3.4. Множество М содержится в мнооюестве
М1 = {Л е С : ЬпА = 0, 11еА е (-оо, -С2) и (0,Со]}и
и {А € С : ВвА € [-С2|0], ЬпА € \-СиС1]}, (18)
для некоторых чисел Со, Сх, С? > 0.
Эта лемма необходима при доказательстве дискретности спектра операторов A(D) и А(х> D), а также того, что спектры указанных операторов лежат в некотором секторе комплексной плоскости, и для доказательства оценки резольвенты операторов A{D) и А(х, D).
Теорема 1.3.1. Спектр оператора A(D) дискретен и лежит в симметричном относительно вещественной прямой секторе комплексной плоскости, содержащем отрицательную полупрямую.
В параграфе 4 исследуется спектр оператора A{x,D) с переменными коэффициентами. Определим множество
М(х) — {А(я,£) определены в (13), (14)
пщр = р(х), Ъ = Ь(х), £eZd, d = 2,3}. (19)
При каждом фиксированном х € Td оператор А(х, D) = A{D) имеет собственные значения, которые определяют множество М(х) — М, а Со = Со(х), С\ — С\(х), Сг = С%{х), которые определены в (18). Введем следующие константы: N0 = тахСоЫ, Ni = maxСЛх), N2 = maxC2(x). Тогда
хеТЛ xe т* xeTd
объединение (J M{x) содержится в множестве
Для малого /3 > 0 определим сектор
5> = {АеС:0< |агё(Л-^0)| < тг - аг^ё ^ -/?, А ^ ]\Г0}. (21)
14 о
Очевидно, сектор вр не содержит множества М\. Пусть Л е Б р. Для любого Н е Н решение уравнения
xeTd
Ml = {Л е С : ImA = 0, Re Л 6 (-оо, -iV2) U (О, N0}}U
U {А б € : Re А е [-iV2,0], ImA g [-iVi, Ni]}. (20)
(A{xíD)-XE)U(x) = h(x)
(22)
ищем в виде ряда, определенного следующим образом:
+ |А|>|А*|, A esfi'
[Ri(x,D) + Rlt(x,D), |А| < |А*|, Хе Sp'
где Л* - некоторый вектор из сектора
В,\(х,0) = £ Щх.Я-ХЕГКЕ-ОЫ^ЖРЬт^, Но
Функция /11 (ж) является искомой, число £о > 1 будет описано позже. Матрица (А(х, £) — ХЕ)"1 является символом псевдодифференциального оператора {А(х, £>) — ХЕ)'1. При этом матрица <Э(х, А) выбрана так, чтобы при подстановке (23) в (22) получить оператор, обратный к А(х, В) — ХЕ с точностью до вполне непрерывных операторов. Подставляя (23) в (22) для случая |А| > |А*|, получим:
(А(х, В) - ХЕ) О - АЕ)-\Е - Я{х^Х»е^'О^т =
= + = М®). Ш > 1П А € % (24)
Подставляя (23) в (22) для случая |А| < |А*| и используя формулу (24), получим:
(А(х, И) - XО) + Л\.(х, 0))кг(х) =
+ (Л(а, В) - АЕ)Е.\.(х, £>)/ц(®) = Л(®), |А| < |А*|, А € Бр. (25)
Далее доказываются вспомогательные утверждения о некоторых свойствах элементов кпт(х}£, А) матрицы К(х, А), которые необходимы для доказательства дискретности спектра оператора А(х, Б). Лемма 1.4.1. Пусть А е вр. Производные
1. В*кпт(х,£,\),п = 1,...,(1, т= И <4,
В. \№%кс1+1т(х,£,Х)1т = 1,...><1) Н<6,
8. (¡+1(х,А), |а| < 6,
стремятся к нулю при |£| оо равномерно по х € Тл. Лемма 1.4.2. Пусть А € Бр. Производные
1. П%кпт(х,£, А), п = 1,..., т = 1,... 1, |о|<4,
№ахкы п(х, А), т = 1,..., <*, |а| < 6, 3. А), |а| <6,
стремятся к нулю при |А| —> оо равномерно по £ е и х € Т4*.
Используя результаты последних двух лемм, получаем следующие основные утверждения для оператора
К{х^,Х)у{х) = £ АХ^уХОе^, А е Бр
и оператора
К{х,В)\)у(х) = £ К(х,£}ЩРу№е<Ы\ А е %
Теорема 1.4.1. Пусть А € Существует Ао £ К. такое, что ¿ля любого |А| > Ао имеет место оценка \\К(х, Д А)|| < 1.
Выберем А* е вр в равенстве (23) такое, чтобы |А*| > Ао, где Ао выбрано в теореме 1.4.1.
Теорема 1.4.2. Для любого А € Бр оператор К{х,Б)\) : Н —► Н компактен.
Выберем число
£о = maX{v/2^Й, ^N> + N1Щ, 1}, (26)
где N0, N1, N2 определены в (20), р* = тахр(х). Число £о выбрали столь
хёТ*
большим, что при |А| < |А*| и > |0 матрицы К{х,£,\), (2(х,£,А) и (А(х, £) - \Е)~1 корректно определены для всех А € С, |А| < |А*|, а при |А| > |А*| и любом £ € определены для А е Б р.
В параграфе 4 доказаны следующие основные теоремы, использующие результаты параграфа 3.
Теорема 1.4.3. Пусть А е Яр. Оператор {А(х, В) - АЕ)~1 определен для всех А € вр за исключением дискретного множества точек.
Теорема 1.4.4. Пусть A G Sp. При |А| > |А*| оператор (A(x,D) — АЕ)~х определен для всех A S Sp.
Из последних двух теоремы получен главный результат главы 1.
Теорема 1.4.5. Спектр оператора А(х, D) дискретен и лежит в секторе комплексной плоскости, симметричном относительно вещественной и содержащем отрицательную полупрямую.
Во второй главе диссертации доказывается оценка резольвенты оператора A(x,D), описываемого модельными стационарными линеаризованными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости при отбрасывании членов низшего порядка, заданными на торе Td, d — 2,3, когда спектральный параметр лежит вне некоторого сектора. Для оператора, содержащего члены низшего порядка, который описывается левой частью уравнений (7), (8), доказывается секториальность и дискретность спектра.
В параграфе 1 рассматривается оператор с постоянными коэффициентами A(D), элементы которого определены в (10), (11) при постоянных функциях р(х) и Ь(х), и для этого оператора доказывается оценка резольвенты.
Для малого а > 0 рассмотрим сектор Sa = {А е С : 0 < | arg(A - С0)| < тг - arctg^ - а, А ф С0}. (27) Заметим, что М"Г)Sa = 0, где множество
М" определено в (18). Следующая лемма доказывает оценку резольвенты оператора A(D).
Лемма 2.1.1. Cyvj,ecmeyem т > 0 такое, что для А £ Sa верна оценка
Из теоремы 1.3.1 и леммы 2.1.1 следует главный результат для оператора с постоянными коэффициентами A(D), определенном на торе Td.
Теорема 2.1.1. Оператор A(D) секториален и его спектр дискретен.
В параграфе 2 главы 2 доказывается оценка резольвенты оператора А(х, D) с переменными коэффициентами, элементы которого задаются левой частью уравнений (10),(11).
Рассмотрим множество
М2 = (<С\,ЗДи{АеС: |А| < |А*|}. 14
Из теорем 1.4.3 и 1.4.4 следует, что спектр оператора А(х, £)), состоящий из дискретного множества точек, содержится в множестве (28). Для достаточно малого 7 > 0 определим сектор
,__Зтг
= {Л е С : 0 < |аг8(Л- < у -7>-
Заметим, что 57 П М% = 0. Следующая лемма - о свойствах элементов матрицы И\(х, £), которая является символом псевдодифференциального оператора Я\(х, £>), определенного в (23).
Лемма 2.2.2. Пусть А 6 57. Существует I > 0 такое, что следующие выражения:
1. к = = + н<4,
я. КНГЕгти.!А)|, з = 1, • • • И < б, з. Р^+ы+х^бА)!, Н<6,
не превосходят [Л_^/2|А.ц -
Из последней леммы следует теорема об оценке резольвенты оператора
Теорема 2.2.1. Пусть А 6 <97. Существует число Ь > О такое, что
ИДьС®, £>)1| <-Ь,__
Из теорем 1.4.5 и 2.2.1 получен следующий результат о спектральных свойствах оператора А(х, Ц).
Теорема 2.2.2. Оператора А(х, Б) секториален и его спектр дискретен.
Теорема 2.2.2 доказана для оператора А(х, £>), который получен линеаризацией модельных стационарных нелинейных уравнений вязкой сжимаемой жидкости и отбрасыванием членов низшего порядка. В заключении главы 2 доказывается аналогичная теорема для оператора, содержащего члены низшего порядка, а именно для оператора В(х,В), который определяется левой частью уравнений (7), (8). Следующая теорема описывает главный результат работы.
Теорема 2.3.1. Оператор, описываемый модельными линеаризованными стационарными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости (7), (8), секториален и его спектр дискретен.
Автор выражает благодарность научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Андрею Владимировичу Фурсикову за постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения.
Список работ автора по теме диссертации.
[1] Прибыль М.А. Спектральный анализ линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости//Матем. Сб. - 2007. - т. 198 № 10. - с. 119-140.
[2] Прибыль М.А. Спектральный анализ линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости, заданных в R3 с периодическими краевыми условиями//Алгебра и анализ - 2008. - т. 20 № 2. - с. 149-177.
[3] Прибыль М.А. О спектре линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости//Труды конф. «Ломоносов-2006». Подсекция «Математика». - Москва, 2006. - с. 67-68.
[4] Прибыль М.А. Секториальность оператора линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости//Труды XXVIII конф. молод, ученых мех.-матем. факультета МГУ. - Москва, 2006. - с. 158-161.
[5] Прибыль М.А. Спектральные свойства оператора, описываемого линеаризованными стационарными уравнениями вязкой сжимаемой жидко-с.ти//Материалы Воронежской зимней матем. школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». - Воронеж, 2007. - с. 185-186.
[6] Pribyl' М.А. Spectral properties of the linear steady-state equations for viscous compressible fluid//Int. conf. «Mathematical Hydrodynamics». -Moscow, 2006. - p. 61.
[7] Pribyl' M.A. Spectral properties of the linear steady-state equations for viscous compressible fluid: the three-dimensional case//International conference «Differential Equations and Related Topics», dedicated to I.G.Petrovskii. -Moscow, 2007. - p. 251.
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова
Подписано в печать ОУ ,03. 0% Формат 60x90 1/16. "Усл. печ. л. У.0 Тираж Ш экз. Заказ 09
Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета
Введение.
1 Исследование структуры спектра
1.1 Постановка задачи.
1.2 Эллиптичность системы.
1.3 Случай постоянных коэффициентов.
1.3.1 Вспомогательные леммы.
1.4 Случай переменных коэффициентов.
1.5 Построение правого параметрикса.
1.5.1 Свойства операторов Л) и Т7)£(яг, Л).
1.6 Доказательство существования решения уравнения (А(х, £>) - ХЕ)11(х) = Н(х).
1.7 Доказательство единственности решения уравнения (А(х,0) — ХЕ)и(х) — Н(х).
1.8 Дискретность спектра оператора А(х,И) в области (С\5,1)\[а, Ь]
2 Оценка резольвенты
2.1 Случай постоянных коэффициентов.
2.2 Случай переменных коэффициентов.
2.2.1 Доказательство оценки резольвенты.
3 Структура спектра оператора линеаризованных модельных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости с членами низшего порядка
Актуальность темы. Изучению математических вопросов, касающихся уравнений вязкой сжимаемой жидкости, посвящено много работ как российских, так и зарубежных авторов. Одной из первых в этой области была работа Я.И. Канеля [8], в которой исследовалась задача Коши для одномерного нестационарного движения вязкого сжимаемого газа в переменных Лагран-жа: где и - скорость, v - удельный объем, р = р{у) - давление, ц = const > 0 -вязкость среды, t - время. В указанной работе доказаны корректность задачи "в целом" по времени и сходимость решения при t —> со к стационарному решению.
В дальнейшем появлялись работы, в которых рассматривается более общая постановка задачи для одномерного движения. А именно, предполагается, что газ теплопроводен, т.е. удовлетворяет следующей системе уравнений: dv ди dt дх ди да dt дх
1) dv ди dt дх
2)
3) с граничными условиями: q(t, 0) = q(t, 1) = 0, a(t, 0) = a(t, 1) = 0,
4) либо уравнения (1)-(3) рассматриваются на всей прямой. Здесь е = e(u, в) -внутренняя энергия, а = —p{v, в)-\-р(у)их- тензор напряжения, q = q(v, 0, 9Х) - тепловой поток, 9 - абсолютная температура, р - давление, p(v) - вязкость.
A.B. Кажихов [4] - [7], [23], S. Kawashima и T. Nishida [42], С.М. Dafermos [24], [25], T. Nagasawa [50], а также D.A. Iskenderova и Sh.S. Smagulov [37] доказали глобальное существование сильных решений задачи (1)-(3) с начальными условиями при различных предположениях на функции е, er, q в случае идеального газа. Соответствующие результаты для реальных газов были получены S. Jiang [39], В. Kawohl [43], R.H. Pan [53], Y.M. Qin [56] и A.A.Amosov [22].
Изучению поведения решения при t —» оо системы (1)-(3) также посвящено много работ. С.Н. Антонцев [23], Е. Feireisl [30], S. Jiang [38] исследовали поведение при больших временах сильного решения задачи Коши и начально-краевой задачи для системы (1)-(3) с граничными условиями (4). В случае граничных условий q(t, 0) = q(t, 1) = 0, a(t, 0) = cr(i, 1) = -R(t) < 0, где R(t) - заданная функция, поведение решения при больших временах изучал Т. Nagasawa [49], L. Hsiao и T. Luo [36], В. Ducomet [26], [28].
Глобальное существование слабого решения и его поведение при больших временах исследовались также для многомерных уравнений вязкой сжимаемой жидкости. Однако, вопросы существования глобального сильного решения в случае теплопроводного газа и единственность слабого решения при больших начальных данных остаются открытыми.
В случае достаточно малых начальных данных существование глобального сильного и слабого решений и сходимость к соответствующему стационарному решению при t —» оо доказаны, например, в [35], [48], [57]. В случае больших начальных данных ситуация значительно сложнее. Тем не менее P.-L. Lions [46] установил глобальное существование слабого решения для системы уравнений, описывающих движение адиабатической жидкости: dtp + div(pu) = 0, dt{pu) + div(ycm (g) и) + a v (p7) = + (С + p) V divu, при 7 > -¡щ и размерности d — 2,3. Здесь а > 0 - число, £ - второй коэффициент вязкости. E.Feireisl, A. Novotny и H. Petzeltova в [31], [32] обобщили результат P.-L. Lions на случай 7 > d — 2,3. В [40] S. Jiang и P. Zhang доказали глобальное существование слабых решений для показателя 7 > 1, когда начальные данные сферически симметричны. Поведение при больших временах глобального слабого решения этой системы исследовалось, например, в работах [27], [29], [30], [33], [41], [51].
Изучение поведения при больших временах решения нелинейных уравнений вязкой сжимаемой жидкости, в частности, изучение их устойчивости, может быть сведено к исследованию спектральных свойств оператора, описываемого линеаризованными стационарными уравнениями. Во всех работах, упомянутых выше, линеаризация проводилась на постоянном решении (щ,ро), не зависящем от х, что приводит к стационарным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Спектральная задача для таких уравнений с помощью преобразования Фурье сводится к исследованию спектра матрицы, см. [44], [45], [52]. В диссертации исследуется спектр стационарных модельных уравнений, связанных с описанием течения вязкой сжимаемой жидкости, но с переменными коэффициентами.
Спектральные задачи для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами - это обширная область математической физики, которая уже стала классической. Подробный исторический обзор этой области, по нашему мнению, приводить нецелесообразно, так как многие ее разделы (теория самосопряженных эллиптических операторов, ассимптотика спектральной функции и другие) не имеют прямого отношения к диссертации. Однако мы не можем не отметить работу М.В. Келдыша [10], из которой выросла вся современная теория несамосопряженных дифференциальных операторов (см., например, И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн [2], М.С. Агранович [1]). В диссертации основным аппаратом для исследования спектральной задачи является метод псевдодифференциальных операторов. Поэтому мы должны отметить, что теория псевдодифференциальных операторов широко использовалась при исследовании спектра самосопряженных и несамосопряженных операторов (см., например, JL Хермандер [20], М.С. Агранович [1],
М.А.Шубин [21]).
В диссертации рассматриваются стационарные модельные уравнения, связанные с описанием течения вязкой сжимаемой жидкости, заданные в с1 = 2, 3, с периодическими краевыми условиями. Берется линеаризация этих уравнений на заданном стационарном решении (й(х), зависящем от х.
Она приводит к системе уравнений с переменными коэффициентами. Исследуется структура спектра оператора, описываемого полученными уравнениями с переменными коэффициентами. Доказано, что спектр оператора лежит в дополнении к некоторому сектору ¿>, т.е. в С\5'. Кроме того, установлена дискретность спектра в области С\5 всюду, кроме отрезка, на котором спектральная задача теряет свойство эллиптичности по Дуглису-Ниренбергу. Также установлена оценка резольвенты, когда спектральный параметр лежит в секторе Б. Исследование спектра подобного оператора с переменными ко1 эффициентами и доказательство оценки резольвенты ранее не проводились.
Цель работы. Целью диссертации является исследование спектра оператора, описываемого модельными стационарными линеаризованными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости, и доказательство секториальности оператора.
Основные методы исследования. В диссертации используются аппарат псевдодифференциальиых операторов и общая теория несамосопряженных линейных операторов.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:
• доказано, что спектр оператора, описываемого модельными линеаризованными стационарными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости с переменными коэффициентами (см. ниже, уравнения (10), (11)), лежит в дополнении к некоторому сектору 5, т.е. в С\5, причем в области (С\«9)\[а, Ь] спектр дискретен, где а, Ь 6 К, аЪ > 0;
• получена оценка резольвенты оператора, описываемого модельными линеаризованными стационарными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости с переменными коэффициентами, когда спектральный параметр принадлежит сектору S.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для исследования поведения решений при t —> со соответствующих нестационарных уравнений. Более того, эти результаты планируется использовать для обобщения метода стабилизации параболических уравнений и системы Навье -Стокса, предложенного А.В. Фурсиковым в [17], [18], [34], на случай нестационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались неоднократно на семинарах в МГУ под руководством профессора А.В. Фурсикова (2004 -2008) и в Институте Вычислительной Математики РАН(2006); на семинаре под руководством профессора Е.В. Радкевича в МГУ(2007); на семинаре под руководством профессора Ю.А. Дубинского в Московском Энергетическом Институте (2007), на Международной конференции "Mathematical Hydrodynamics" МИАН (июнь 2006), на Всероссийской конференции "XXVIII Конференция молодых ученых механико - математического факультета МГУ" (апрель 2006), на Всероссийской конференции "Ломоносов -2006" (апрель 2006), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" , посвящённой И.Г. Петровскому, МГУ (май 2007); на Всероссийской конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы" , Воронеж (февраль 2007); в Крымской осенней математической школе-симпозиуме, Крым (сентябрь 2007); в Школе-семинаре "Нелинейный анализ и экстремальные задачи", Иркутск (июнь 2008).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ: [11] - [16], [54], [55]. Публикаций, написанных в соавторстве, нет.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации - 97 страниц, библиография включает 57 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Рассматривается стационарная модельная задача, связанная с описанием течения вязкой сжимаемой жидкости:
М -AtiW — VPWí^/M, (5) р{х) р{х) p(x)áivu = 0, (6) где х = (reí,., x¿) 6 №Ld, d = 2, 3, ¡i > 0 - коэффициент вязкости, d д2 id д \
A = v = дх2' V ' " '' дхб/ ' неизвестными функциями являются скорость жидкости и(х) = (^1 (х),., щ^х)) и плотность р(х) > 0, а заданными функциями является сила /(х) — (Л(^), • • •, /¿¿(ж)) и давление £ Сх(0, оо), причем р'(р) либо строго положительна, либо строго отрицательна. Все функции в (5), (6) удовлетворяют периодическим краевым условиям по х^ с периодом 2-7Г. Это эквивалентно предположению, что х = ., хпробегает тор Та = ^/271-2^.
Для простоты положим р — 1. Пусть (й(х), р(х)) - произвольное решение системы (5), (6). Линеаризуем эту систему на указанном решении и рассмотрим следующую спектральную задачу:
Ц-Аи(х) + Ь(х) V р{х) + с(х)р(х) = Аи(х), (7) р[х) где с11у и(х) = А р(х), (8)
Ь(х) = -ЩР'Ш), (9) Ур'(Р(х)) , уР№)) р{х) + П*)
Здесь А б С - спектральный параметр. Отбросим члены левой части системы (7), (8), содержащие р(х), которые являются членами низшего порядка в смысле эллиптичности по Дуглису-Ниренбергу, и рассмотрим сначала спектральную задачу:
-Ц- Аи(х) + Ь{х) у р{х) = Хи(х), (10) р[х) p(a:)div и(х) = Хр(х). (11)
В главе 1 исследуется структура спектра оператора, описываемого левой частью уравнений (10), (11), заданными на торе Td. Параграф 1 посвящен постановке задачи.
В дальнейшем мы будем использовать функциональные пространства Соболева Hk{Td). Введем пространство Я = L2(Td) х . х L2(Td\xHl{Td) с
4 Sr У d нормой iMilr-EteiiL + b+iii^,
3=1 а также пространство J = H2{Td) х . х Н2 (Td) x Н1 (Td) с нормой d y\\2j = J2\\yj\\h ^ \\yd+i\\h
Обозначим через A(x,D) = {anm(x, D)}d^=1 дифференциальный оператор, который задается левой частью системы (10),(11). Область определения D(j4(x, D)) и область значений R(A(z, D)) оператора А{х, D) удовлетворяют соотношениям
D(A(z,L>)) = J, TL(A(x,D)) с Н.
Перепишем задачу (10),(11) в виде
A(x,D)-\E)U(x) = Q, (12) где U{x) = (и{х),р{х))~ вектор размерности d + 1, d = 2, 3, Е - единичный оператор.
Определение 1. Точка A G С называется регулярной точкой оператора А{х, D) : J —> Н, если определен ограниченный обратный оператор (А(х, D) — Ai?)-1 : Н —> J. Множество всех регулярных точек называется резольвентным множеством оператора A(x,D). Это множество обозначим r{A(x,D)).
Определение 2. Множество а(А(х, D)) = C\r(A(x, D)) называется спектром оператора А(х, D).
Из определения спектра вытекает, что при Л € сг(А{х, D)) обратный оператор (А{х, D) — А.Е)-1 не определен. Это может случиться, в частности, по двум причинам:
1. Ker(A(rc, D) — ХЕ) ф 0. В этом случае Л называется собственным значением, а вектор е G Кег(А(ж, D) — ХЕ) называется собственным вектором, который соответствует собственному значению Л.
2. 1ш(А(ж} D) — А.Е) не замкнут в Н. Такой случай при некотором Л также может иметь место для изучаемой системы.
Определение 3. Замкнутый оператор А{х, D) : Н —Н называется сек-ториалъным, если существуют (р G (§,тг), ао € М « М > 0 такие, что сектор Sao,(p = {Л € С : | arg(A — ао)| < А ^ ао} лежит в r{A(x,D)) и ||(A{x,D) - ЛЯ)"1!! < для любого A G Sa0iV?.
Близкие определения даны в [9]1, [19]2.
Параграф 2 посвящен проверке эллиптичности оператора B(x,D), который описывается левой частью системы (7),(8). Установлено, что указанный оператор эллиптичен по Дуглису-Ниренбергу. Однако, у оператора B{x,D) — ХЕ эллиптичность по Дуглису-Ниренбергу теряется при некоторых А для некоторых х. Это происходит из-за того, что слагаемое —А в компонентах оператора B(x,D) — ХЕ, порожденных уравнением (8), входит в старшие члены.
ХВ [9] сектор Sa0iV¡, указанный в определении 3, содержит числовую область значений оператора A(x,D).
2В [19] сектор Sao,<p = {А е С : ц> < | arg(A — ао)| < тг, А ф а}, где ц> € (0,7г/2), лежит в r(A(x, D))
В параграфе 3 предполагается, что оператор А(х, И), порожденный левой частью системы (10), (11), имеет постоянные коэффициенты, т.е. А(х,0) = А{Г>) не зависит от х. Для него рассматривается спектральная задача:
А(0)-\Е)Щх) = 0. (13)
Мы найдем собственные векторы и собственные значения оператора А(0). Собственные векторы будем искать в следующем виде:
17)(0е<м, <£ € Ъ\ й где = X) хт€т, е ~ коэффициенты Фурье веществент=1 нозначной вектор-функции II (х). Подставляя эти собственные векторы в (13) и учитывая, что == получим систему уравнений
ЛК) - XI) = о, £ е (14) где I - единичная матрица размера (с? + 1) х {й + 1).
Элементы матрицы А(£) = {о>пт{0}п^п=ъ <^ = 2,3, выписаны ниже в формулах (1.3.4), (1.3.5) первой главы диссертации. Собственными значениями являются корни уравнения с!е1;(Л(£) — XI) = 0. А именно, число является корнем кратности с1 — 1 и
2 = 2,3, (16) являются простыми корнями. Заметим, что
АзЮ = + + 4&ЖР - Ьр\ |€| оо. Л
Следовательно, Л = Ьр - точка накопления собственных значений Аз(£) при |£| —> со. Именно в точке Л = Ъ~р2 теряется эллиптичность по Дуглису-Ниренбергу оператора А(х, И) — XЕ. В диссертации доказаны следующие леммы:
Лемма 1.3.1. Пусть й — 2. При любом £ € 22\{0} существуют 3 вза-имоортогоналъных собственных вектора. Собственный вектор
ЩОе« = (6, 0)ег'^ (17) соответствует собственному значению (15), а собственные векторы
РП^уМ = ^ 1|! + л2>3(о) (18) соответствуют собственным значениям (16).
Лемма 1.3.2. Пусть (1 = 3. При любом £ Е Ж3\{0} существуют 4 взаимоортогональных собственных вектора. Два из них, соответствующие собственному значению (15), определяются следующим образом: + £ з^О для $ +
V Й + Й' Й + <еГ2'Т ■
Л два других собственных вектора, соответствующие собственным значениям (16), определяются формулой
Ьй, гбб, ¿Ь£з, у- + А2,з(0) Рассмотрим множество
М ~ {Л е С : Л = определены в (15), (16) с? = 2, 3}. (19)
В следующей лемме будет доказано, что <т(А(1))) СМ и {Ьр2}.
Лемма 1.3.3. Пусть А ^ М и А ^ 6р2. Тогда оператор (А(О) — А.&)-1 : Н J определен и непрерывен, т.е. А € г(Л(£))).
Следствие 1.3.1. Справедливо равенство М и {Ьр2} = сг(А(1))).
А «
Лемма 1.3.4. Для предельной точки А = Ъ~р собственного значения Аз(£); образ оператор {А(Ц) — ХЕ) : 7 —> Н не замкнут в Н.
В следующей лемме достаточно точно описано подмножество комплексной плоскости, содержащее спектр оператора А^И).
Лемма 1.3.5. Существуют константы Со,С\,С2 > 0 такие, что множество М и {Ьр2} содержится в множестве
М' = { ХеС: 1т А = 0, ИеА € (-оо,-С2) и (0, С0]}и и {А Е С : ИеАе [-С2,0], 1т А € [~СъСу\}. (20)
Эта лемма необходима для доказательства секториальности операторов А(Б) и А(х, И), а также для исследования структуры спектра оператора А(х, И). Для достаточно малого а > 0 рассмотрим сектор
5а = {А € С : | агё(А - С0)| < тг - - а, А ф С0}, (21) о где Со, С\ > 0 - числа из (20). Заметим, что Ба П М' = 0.
Теорема 1.3.1. Спектр а(А(В)) оператора А{И), состоящий из собственных значений конечной кратности и одной точки накопления {Ьр2}, лежит в С\5а. При этом сг(А(0)) С М'.
В параграфах 4-8 исследуется спектр оператора А(х, Б) с переменными коэффициентами. Рассмотрим оператор А{х, И) с коэффициентами, "замороженными" в некоторой точке хо, т.е. оператор с постоянными коэффициентами А{хо, И). Тогда символ Л(:го,£) оператора А(2'о, задается элементами аптп(хо,£)> определенными ниже в формулах (1.3.4), (1.3.5) первой главы диссертации, при /? = р(х0) и Ь = 6(ж0)- Подставляя в формулы (15),(16) р = р(х0), Ъ = Ь(хо), получим выражения для = 3 — 1,2,3.
Определим множество
М(х0) = {Л(0 = где \jipc0,£) определены в (15), (16) при р = р{х0), Ъ = Ь(хо), ^ € (1 = 2,3}. (22)
При \j(xQ,t;) = ^'(0 множество М(хо) совпадает с множеством М, определенным в (19). В силу леммы 1.3.5 множество Ми{Ьр2} содержится в множестве М'. Поэтому множество М(хо) и {&(#о)р2(^о)} содержится в множестве М'(хо), где М'(хо) определено в (20) при Со = Со(хо), С\ = С\(хо), Сч =
62(^0) • Введем следующие константы: N0 = тахСо(гго), N1 = тахСх^о), х0е тл х0 ет<*
N2 — тах С2Ого). Тогда объединение и (М(хо)и{Ь(хо)р2(хо)}) содержится х°еТсг х0 в множестве
М\ = {А € С : 1тЛ = 0, ИеЛ б (—оо, —N2) и (0, А^0]}и и{АбС: ЫеА € НУ2,0], ЬпЛ € (23)
Для достаточно малого /3 > 0 определим сектор вр - {Л е С : | агё(Л - Я0)| < тг - - /3, А ф М,}. (24)
1\о
Очевидно, сектор Бр не содержит множества М\. Рассмотрим корень Лз(гс, £), определенный в (16) (со знаком плюс перед квадратным корнем) при р = р(х): Ъ = Ъ{х). Заметим, что для любого е > 0 существует число 6£ > 0 такое, что для всех £ € : |£| > 6£ выполнено неравенство вир |Л3(а;,£) - Ь(х)р2(х) | < е. хет<í
Так как функции Ь(х) и р(х) вещественнозначны, то отрезок У Ь(х)р2(х) хета лежит на вещественной прямой М. Обозначим его [а, 6] = У Ь(х)р2(х). Заметим, что [а, Ъ] не содержит пуля, так как функция Ъ{х) = — либо строго положительна, либо строго отрицательна. Рассмотрим следующую комплексную окрестность 0£ отрезка [а, 6]:
0£ = {Л е С : пип |А - [а, Ь]| < е}. (25)
Для Н £ Н рассмотрим уравнение
А(х, И) - ХЕ)и(х) = И{х), х е Тй.
26)
Определим операторы к\{х,В Щх) = £ (А(х,0-Л/)-1(/-д(^е,А))(^)«)е^ (27) и
1(х,В)}1(х)= £ (28) где I - единичная матрица, матрица-функция Л) определена в (1.5.6)
параграфа 5 главы 1. Правый параметрикс к оператору А(х, О) — ХЕ будем искать по формуле:
Гй^^ + ^Л), |А|>7, Ае^
Дл,7>е(а;,Р) = < (29) а^ + Д^Я), |А| < 7, А ^ Ое.
Отметим, что в равенстве (29) при |А| < 7 оператор Щ(х, И) есть оператор Щ{х, В) при А = 7. Матрица (А(х, £) — Л/)-1 в (27), (28) является обратной к символу псевдодифференциального оператора (А(х, V) — ХЕ), и при каждом х 6 имеет собственные значения Xj(x,t;), ^ = 1,2,3 и точку накопления Л = Ь(х)р2(х). Собственные значения и спектральный параметр Л из окрестности точки накопления при каждом х € Тй исключаются в (29). Для этого в равенстве (29) выбираем число 7 по формуле
7 - тах{ЛГ0 + е, + (30) где е - число из (25), Л/^-Л^Л/г - числа из (23)3. В равенствах (27), (28) выбираем число <5о = £0(7) достаточно большим (см. подробности в параграфе 5 главы 1). Структура матрицы (£(х,£,Х) в (27), (28) выбрана так, чтобы при подстановке Я^7>£(х, £))?г(х) (оператор Д\)7)£(ж, V) определен равенством (29)) в равенство (26) вместо 17(х) получить сумму единичного оператора
3Число 7 выбирается по формуле (30) лишь на первом этапе. В дальнейшем мы будем увеличивать это значение. и компактного для случая |А| < 7, Л е Ое, а в случае |А| > 7, Л е 5/з, получить сумму единичного оператора и оператора с малой нормой. Делая эту подстановку при |А| > 7, А € Яр, получим
А(х, £>) - ХЕ)Ёх,ъе(х, Б)Н{х) = (Е + К7(х, Д Х)Щх) = Н{х), |А| > 7, А е (31) где через К7(х,Б, А) : Н Н обозначим оператор, определенный ниже в (1.5.21) параграфа 5 первой главы диссертации.
Теорема 1.5.1. Пусть А £ Эр. Существует Ао £ М : Ао > N0 + е, Ао > уЛ^ + (е определено в равенстве (25)), такое, что для любого |А| > Ао выполнена оценка ||?Г7(а;, Д А)|| < 1.
Подставляя Д\>7)£(:с, Б)Н(х) в уравнение (26) вместо II (х), где Д\17)£(ж, И) - оператор (29) в случае [А[ < 7, А ^ 0£, получим
А(х, £>) - АЕ)Ёх,Ъ£(х, БЩх) = (Е + Тъе(х, В, А))ОД = |А| < 7, А £ Ое, (32) где Т7)£(а;; Д А) : Н Н - оператор, который определяется ниже в (1.5.23) параграфа 5 первой главы диссертации.
• Теорема 1.5.2. Оператор И, X) : Н —Н компактен при любом
X £ 0£, |А| < 7.
Определим сектор
Чтг
51 = { АеС:|ащ(А-у/2^)|<т}, (33) где 70 > 7 - некоторое число. Из выбора числа 70 следует, что ¿>1 С 5/?. Из теорем 1.5.1, 1.5.2 получен следующий результат.
Теорема 1.6.1. Оператор являющийся правым обратным к оператору А(х, Ц) ~ XЕ, определен для всех А € Кроме того, при любом е > 0 в области {<С\3\)\0£ оператор определен для всех X, за исключением дискретного множества точек.
Взяв вместо окрестности Ое, определенной в (25), окрестность Ое. и устремляя к нулю, получим теорему:
Теорема 1.6.2. Оператор А(:г, Б) — ХЕ при всех А Е ¿х имеет правый обратный 11\(х, Б). Кроме того, при А е (С\5,1)\[а, Ъ] правый обратный оператор Н\(х,Б) определен всюду, за исключением дискретного множества точек.
Для доказательства соотношения Кег(А(я;, Б) — ХЕ) = 0 установлено, что 1т(А*(х,Б) - ХЕ) = <7*, где (А*(х,Б) - ХЕ) : Я* Г - оператор, сопряженный к (А(х, И) — ХЕ) : <7 —>• Я, а пространства Я*, <7* сопряжены соответственно пространствам Я, J. Это делается в параграфе 7 с помощью конструкции, аналогичной конструкции, приведенной в параграфе 6. Объединяя результаты параграфов 6 и 7, получена основная теорема главы 1:
Теорема 1.8.1 .Спектр оператора А(х, И) лежит в дополнении к сектору ¿>1, т.е. в С \ ¿>1. Кроме того, в области (С \ ¿>1) \ [а, Ъ] спектр состоит из собственных значений конечной кратности.
Замечания 1.8.1. Спектральные свойства оператора А(х,Б) при X € [а, Ь] в случае переменных коэффициентов не изучены. Напомним, что в случае постоянных коэффициентов показано, что этот отрезок вырождается в точку, причем эта точка является точкой накопления собственных значений.
Во второй главе диссертации доказывается оценка резольвенты оператора А(х,Б), элементы которого заданы в (10), (11), когда спектральный параметр лежит в некотором секторе, содержащемся в ¿>1.
В параграфе 1 главы 2 рассматривается оператор с постоянными коэффициентами А(Б), элементы которого определены в (10), (11) при постоянных функциях р(х) и Ь(х), и для этого оператора доказывается следующая лемма:
Лемма 2.1.1. Справедлива оценка
777
А{Б) - ХЕ)-^ <— X 6 5«, где Ба определен в (21), т > 0 не зависит А £ 5а.
Из теоремы 1.3.1 и леммы 2.1.1 следует главный результат для оператора с постоянными коэффициентами А(Б), определенного на торе
Теорема 2.1.1. Справедливы следующие утверждения:
1.
Оператор А(О) секториален, причем его спектр лежит в <С\За.
2. Спектр оператора А{Б) состоит из собственных значений конечной кратности и одной точки накопления Ь~р2.
Во втором параграфе главы 2 доказывается оценка нормы резольвенты оператора А(х, Б) с переменными коэффициентами, элементы которого задаются левой частью уравнений (10),(11). Для этого достаточно доказать оценку нормы правого обратного оператора И) к оператору (А(х, -О) — ХЕ), так как из результатов параграфа 8 главы 1 следует, что он является резольвентой.
Определим для малого £ > 0 сектор следующим образом:
Зтг
5С = {Л € С : | аг§(А - уЪуо)I < — С}
Теорема 2.2.1. Существует число Р > 0 такое, что для А Е Г
Да(*,£>)||<
А-л/2То\'
Из теорем 1.8.1 и 2.2.1 получен следующий основной результат о спектральных свойствах оператора А{х, И).
Теорема 2.2.2. Справедливы следующие утверждения:
1. Оператор А(х, Б) секториален, причем его спектр лежит в
2. В области (С\й'^)\[а, Ь] спектр оператора А(х,П) состоит из собственных значений конечной кратности.
Теорема 2.2.2 доказана для оператора А(х, £>), который получен линеаризацией модельных стационарных нелинейных уравнений вязкой сжимаемой жидкости и отбрасыванием членов низшего порядка.
В третьей главе доказывается аналогичная теорема для оператора, содержащего члены низшего порядка, а именно для оператора В(х,В), который определяется левой частью уравнений (7), (8). Следующая теорема описывает главный результат работы.
Теорема 3.0.3. Существует сектор 5 комплексной плоскости С, такой, что для оператора В{х, И), описываемого модельными стационарными линеаризованными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости (7), (8), верны следующие утверждения:
1. Оператор В(х, Б) секториален, причем его спектр лежит в С\5.
2. В области (С\5')\[а, Ь] спектр оператора В(х, И) состоит из собственных значений конечной кратности.
Автор выражает благодарность научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Андрею Владимировичу Фурсикову за постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения.
1. Кажихов A.B. Задача Коши для уравнений вязкого газа//Сибирский математический журнал. 1982. - т. 23, с. 44-49.
2. Кажихов A.B. Корректность "в целом" смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа//Динамика сплошной среды. 1975. - т. 21, с. 18-47.
3. Кажихов A.B. Теория начально-краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа//Краевые задачи для уравнений гидродинамики, Динамика сплошной среды. -1981. т. 50, с. 37-62.
4. Кажихов A.B., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость "в целом" по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого га-за//Прикладная математика и механика. 1977. - т. 41, с. 282-291.
5. Канель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа//Дифференциальные уравнения. 1968. - т.4 №4, с. 374-380.
6. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
7. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений//ДАН СССР. 1951. - т. 77 № 1, с. 11-14.
8. Прибыль М.А. О спектре линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости//Труды конференции «Ломоносов-2006». Секция «Математика и механика», подсекция «Математика». М.: МГУ, 2006, с. 67-68.
9. Прибыль М.А. Секториальность оператора линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости//Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. М.: МГУ, 2006, с. 158-161.
10. Прибыль М.А. Спектральный анализ линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости//Матем. Сб. 2007. - т. 198 № 10, с. 119-140.
11. Прибыль М.А. Спектральный анализ линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости, заданных в К3 с периодическими краевыми условиями//Алгебра и анализ 2008. - т. 20 № 2, с. 149-177.
12. Прибыль М.А. Спектральные свойства оператора, описываемого линеаризованными стационарными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости/ /Тезисы Школы-семинара «Нелинейный анализ и экстремальные задачи». Иркутск. 2008, с. 52.
13. Фурсиков A.B. Стабилизируемость квазилинейного параболического уравнения с помощью граничного управления с обратной свя-зью//Матем. Сб. 2001. - т. 192 № 4, с. 115-160.
14. Фурсиков А.В. Стабилизация с границы решений системы Навье-Стокса: разрешимость и обоснование возможности численного модели-рования//Дальневосточный математический журнал. 2003. - т. 4 № 1, с. 86-100.
15. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.
16. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, Том 3: Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1987.
17. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Добросвет, 2003.
18. Amosov А.А. The existence of global generalized solutions of the equations of one-dimensional motion of real viscous gas with discontinuous data//Diff. Eqs. 2000. - V. 36, pp. 540-558.
19. Antontsev S.N., Kazhihov A.V. and Monakhov V.N. Boundary Value Problems in Machanics of Nonhomogeneous Fluids//North-Holland, Amsterdam, New York. 1990.
20. Dafermos C.M. Global smooth solutions to the initial-boudary value problem for the equations of one-dimensional nonlinear thermoviscoelasticity//SIAM J. Math. Anal. 1982. - V. 13, pp. 397-408.
21. Dafermos C.M. and Hsiao L. Global smooth thermomechanical processes in one-dimensional nonlinear thermoviscoelasticity//Nonlinear Anal. T.M.A. -1982, pp. 435-454.
22. Ducomet B. Asymptotic behaviour for a non-monotone fluid in onedimension: The positive trmperature case//Math. Meth. Appl. Sci. 2001. - V. 24, pp. 543-559.
23. Ducomet B. Hydro dynamical models of gaseous stars//Rev. Math. Phys. -1996. V. 8, pp. 957-1000.
24. Ducomet B. On the stability of a stellar structure in one dimensional. II. The reactive case//RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1997. - V. 31, pp. 381-407.
25. Ducomet B. Some asymptotics for a reactive Navier-Stokes-Possion system//Math. Models. Meth. Appl. Sci. 1999. - V. 9, pp. 1039-1076.
26. Feireisl E. and Petzeltova H. Unconditional stability of stationary flows of compressible heat-conducting fluids by large external forces//J. Math. Fluid Mech. 1999. - V. 1, pp. 168-186.
27. Feireisl E., Novotny A. and Petzeltova H. On the existence of globally defined weak solutions to the Navier-Stokes equations of isentropic compressible fluids//J. Math. Fluid Mech. 2001. - V. 3, pp. 358-392.
28. Feireisl E., and Petzeltova H. On compactness of solutions to the Navier-Stokes equations of compressible flow//J. Diff. Eqs. 2000. - V. 163, pp. 57-75.
29. Feireisl E., Matusu-Necasova S., Petzeltova H. and Straskraba I. On the motion of a viscous compressible flow driven by a time-periodic external force//Arch. Rational Mech. Anal. 1999. - V. 149, pp. 69-96.
30. Hoff D. Strong convergence to global solutions for multidimensional flows of compressible, viscous fluids with polytropic equations of state anddiscontinuous initial data//Arch. Rational Mech. Anal. 1995. - V. 132, pp. 1-14.
31. Hsiao L. and Luo T. Large-time behavior of solutions for the outer presser problem of a viscous heat-conductive one-dimensional real gas//Proc. Roy. Soc. Edinburg. 1996. - V. 126A, pp. 1277-1296.
32. Iskenderova D.A. and Smagulov Sh.S. The Cauchy problem for the equations of a viscous heat-conductiong gas with degenerate density//Compute. Maths. Math. Phys. 1993. - V. 33, pp. 1109-1117.
33. Jiang S. Large-time behavior of solutions to the equations of a one-dimensional viscous polytropic ideal gas in unbounded domains//Comm. Math. Phys. 1999. - V. 200, pp. 181-193.
34. Kagei Y., Kobayashi T. Asymptotic behavior of solutions for the compressible Navier-Stokes equations on the half space//Arch. Rat. Mech. Anal. 2005. - V. 177, pp. 231-330.
35. Kawashima S. and Nishida T. Global solutions to initial value problem for the equations of one-dimensional motion of viscous polytropic gases//J. Math. Kyoto Univ. 1981. - V. 21, pp. 825-837.
36. Kawohl B. Global existence of large solutions to initial boundary value problem for a viscous, heat-conducting one-dimensional real gas//J. Diff. Eqs. 1985. - V. 58, pp. 76-103.
37. Levitin M.R. Vibrations of viscous compressible fluid in bounded domains: spectral properties and asymptotics//Asimptotic Analysis. 1993. - V. 7, pp. 15-34.
38. Levitin M.R. Vibrations of a viscous compressible fluid in bounded and unbounded domains// Mathematical Methods in Fluid Mechanics. 1991. -V. 274, pp. 251-255.
39. Lions P.-L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics, V. 2 Oxford Science Publications, Clarendon Press.: Oxford, 1998.
40. Luo T. Global smooth solutions to the Cauchy problem for a viscous heat-conductive one-dimensional real gas//Acta. Math. Sinica, New Series. 1995.- V. 11, pp. 201-214.
41. Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive gases//J. Math. Kyoto Univ. 1980.- V. 20, pp. 67-104.
42. Nagasawa T. Global asymptotics behavior of the outer pressure problem with free boundary//Japan J. Appl. Math. 1988. - V. 5, pp. 205-224.
43. Nagasawa T. On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas no-fixed on the boundary//J>. Diff. Eqs. 1986. - V. 65, pp. 49-67.
44. Neustupa J. Selected Topics in the Theory of Stability, V. 3 CTU Reports, Czech technical university in Prague: Praha, 1999.
45. Nunez M. Spectral analysis of viscous static compressible fluid equ-ilibria//J. Phys. A: Math. Gen. 2001. - V. 34, pp. 4341-4352.
46. Pan R.H. Global smooth solutions and the asymptotic behavior of the motion of a viscous, heat-conductive one-dimensional real gas//J. Partial Diff. Eqs.- 1998. -V. 11, pp. 237-288.
47. Pribyl' M.A. Spectral properties of the linear steady-state equations for viscous compressible fluid//International conference «Mathematical Hydrodynamics». Moscow, 2006, p. 61.
48. Pribyl' M.A. Spectral properties of the" linear steady-state equations for viscous compressible fluid: the three-dimensional case//Internationalconference «Differential Equations and Related Topics», dedicated to I.G.Petrovskii. Moscow, 2007, p. 251.
49. Qin Y. Global existence and asymptotic behaviour for a viscous heat-conducting one-dimensional real gas with fixed and thermally insulated endpoints//Nonlinear Anal. 2001. - V. 44, pp. 413-4410.
50. Valli A. and Zajaczkowski W.M. Navier-Stokes equations for compressible fluids: global existence and qualitative properties of the solutions in the general case//Comm. Math. Phys. 1986. - V. 103, pp. 259-296.
