Качественные свойства решений в задачах колебаний вращающейся сжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Задача Коши для системы движения идеальной сжимаемой вращающейся жидкости

§ I. Представление решения задачи Коши

§ 2. Асимптотика решения при t -»оо для однородной задачи Коши

§ 3. Стабилизация решения в случае стационарных внешних сил

§ 4. Предельные амплитуды при вынужденном колебании

ГЛАВА II. Задача Коши для системы с переменными коэффициентами

§ 5. Абстрактная задача Коши для системы,встречающейся в задаче распространения волн во вращающейся среде

§ 6. Метод волнового оператора для изучения асимптотики решения задачи Коши при t -> о©

§ 7. Асимптотика при i 00 решения задачи распространения волн в сжимаемой вращающейся стратифицированной жидкости

ГЛАВА III. Начально-краевые задачи для идеальной сжимаемой вращающейся жидкости в слое

§ 8. Представление решения

§ 9. Асимптотика решения при "t —> со

ГЛАВА IV. Спектральные свойства операторов в задаче о колебании сжимаемой жидкости во вращающихся ограниченных областях

§ 10. Спектр 1-ой и 2-ой краевых задач для вязкой сжимаемой жидкости в ограниченной области

§ II. Спектр 1-ой и 2-ой краевых задач для идеальной сжимаемой жидкости в ограниченной области. Примеры

Систематическое изучение задач о малых колебаниях вращающейся жидкости началось в серидине пятидесятых годов. Начало этим исследованиям было положено в работах С.Л.Соболева [21,22] . Система С.Л.Соболева,описывающая движение идеальной несжимаемой жидкости,изучалась в дальнейщем многими авторами,в частности в работах [1,8,10,II,18,19,27,28]. Исследование задачи Коши и начально-краевых задач для соответствующей системы идеальной сжимаемой жидкости впервые было проведено в [12,13]. В [13] рассматривалась система уравнений вида

-I>,w] +vf> = Ffoc.t)

0LZ2k ч-сAvV- = YC^tO (0.1) эь для трехмерной вектор-функции I? = , и скалярной функции ,описывающая малые движения идеальной сжимаемой жидкости во вращающейся системе координат. Здесь <?С -коэффициент сжимаемости, F = (F± , F^* F3) и УС^зЬ) -заданные функции, 60 =(0,0,(о).

Для системы(0.1) в [14,16] было в явном виде построено решение задачи Коши с начальными условиями

W*>t)jt=0= tf'W , (0.2) оО л и в [17] было доказано,что если , \>°С*Э * С0 ClR3J ,то решение задачи Коши для однородной системы (0.1) (F(x,t) = o, ¥(x}t) = 0 ) убывает по ± при t 00 как Ofl/i) , равномерно для всех х ,принадлежащих компакту К из IK и также было установлено,что главные члены в асимптотике определяются не одним из старших членов oLZ в системе

0.I),благодаря которому система (0.1) является симметрической гиперболической в отличие от системы Соболева,а младшими членами,представляющими кориолисово ускорение. Вопросы существования и единственности решений смешанных задач для системы (0.1) в ограниченных областях были изучены в [13,15].

В [30] был изучен вопрос существования и единственности решения задачи о движении вязкой сжимаемой жидкости без учета вращения и в [6] было построено асимптотическое представление при t —> со решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полупространстве для линеаризованной однородной системы уравнений движения вращающейся жидкости с учетом сжимаемости и вязкости. В С6] рассмотрена следующая система

Щ - LVjUJ -jpvJivV+Vt» =fCx,t) oC st + cfcvU" = 0 , 9fc где коэффициенты вязкости т/>0 > постоянные,и установлено,что при t 00 решение задачи Коши для однородной системы убывает как 0(t"3^) и в главном члене асимптотики коэффициент вязкости находится в знаменателе и поэтому нельзя переходить к пределу при ")/-> О .В С6] также изучены вопросы стабилизации и принцип предельной амплитуды при стационарных и периодических внешних возмущениях в правой части системы (0.3). Для системы Соболева вопросы стабилизации и принцип предельной амплитуды были изучены в [18]. Но для системы (0.1) эти вопросы до сих пор были не исследованы. Также не было изучено поведение решения задачи Коши для системы (0.IJ с переменными коэффициентами,т.е.,для стратифицированной вращающейся идеальной жидкости.

Для задачи Коши для симметрических гиперболических систем с переменными коэффициентами в работах £3,4,36,37И был использован метод волнового оператора для изучения асимптотики решения по времени. Метод волнового оператора,который основывается на теории полугрупп,был впервые предложен в[3]. С помощью этого метода обычно установливается,что при определенных условиях решение системы с переменными коэффициентами при большом времени ведет себя почти также как решение системы с постоянными коэффициентами. В случае движения идеальной сжимаемой жидкости без учета вращения этот метод был использован в С36,37]. В замечании работы Г373 указано, что при добавлении младших членов,система (0.1) становится дисперсивной и поведение решения задачи Коши существенно отличается от поведения соответствующего решения системы без младших членов.

Задачи колебания вязкой жидкости во вращающихся ограниченных сосудах и спектральные свойства операторов в этих задачах были изучены в С 9] лишь в случае несжимаемой жидкости с условием непротекания на границе,а с учетом сжимаемости эти задачи не были исследованы. Такие задачи для идеальной сжимаемой жидкости были изучены в С5] только для ограниченной области с гладкой границей с условием непротекания на границе.

Согласно работам Г32,37] система является дисперсивной, если групповая и фазовая скорости не совпадают.

В силу выше сказанного,целью настоящей работы является

1) исследование стабилизации решения задачи Коши для системы (0.1) при стационарных внешних возмущениях и нахождение предельных амплитуд при вынужденном периодическом колебании о идеальной сжимаемой вращающейся жидкости во всем 1R а

2) изучение поведения при большом времени решения задачи g

Коши для стратифицированной вращающейся жидкости во всем К , т.е.,для систем типа (0.1) с переменными коэффициентами ,

3) наховдение скорости убывания при t -> оо решения начально-краевой задачи для системы (0.1) в трехмерном слое при отсутствии внешних возмущений ,

4) исследование спектра в задачах колебаний вязкой и идеальной сжимаемой жидкости во вращающихся ограниченных областях при различных граничных условиях.

Работа состоит из четырех глав,включающих одинадцать параграфов с нумерацией формул,своей для каждого параграфа.

В первой главе рассматривается система (0.1) уравнений идеальной сжимаемой вращающейся жидкости в области ^X -Ite»*) • зс €. fi?3, t >0 ] с начальными условиями (0.2), Параграфы 1,2 имеют вспомагательный характер. В §1 приводится представление решения задачи Коши (0.1), (0.2),построенное в С14,16]. В §2 изучено асимптотическое поведение решения при t -*оо задачи (0.1),(0.2) при отсутствии внешних сил,когда ос е !1?3 . Результат §2 используется во второй главе для системы с переменными коэффициентами.

В §3 найден предельный режим при стабилизации решения задачи (0.13,(0.2) при стационарных внешних силах,т.е.,

F(x3b) EjOО 3 S У О) .

Доказана

Теорема 3. Пусть I) (k/ffli?3))3, 2) Пх) е WiOR3),

3) ^Сх) , УСзс) ^ С/Сi + lxjc) з |х| —> оо ?

ОО

•з

-оО -io сю

4) J :fC*)chc3 =0, 5) j ^X)eli3 = О . ОС

Тогда

Ьт. = 1?**Сх) = Л

Ъ-Уоо q оо 0 ^ = . (0.4)

Причем У cot) , являются единственным классическим решением следующей стационарной системы

-О, wj + vf> = fCx) , = УС*) (0.5) в классе функций с условием |~ 0'

Также установлено,что решение нестационарной задачи(0.1) (0.2) при t —► оо стабилизируется к решению стационарной задачи (0.5) со скоростью 1/fc равномерно по всем х из произвольного компакта в 1R .

В §4 найдены предельные амплитуды при вынужденном периодическом колебании,т.е.,когда в системе (0.1)

FC*,t) = fCoc)€-lU , ycx,t)= VWe1^, где > - вещественный параметр. Доказана

Теорема 5. Пусть I) f Хз+ъ)^ w/fJR3))3, о о

2) j УГ*', x3+t:)ch: 6 hlf(lR3) , где х' = , ,

3) и УСх) убывают при |эс|-*оо как C/Ci + jx!c),

Тогда,при й2"^2, v**cx> + а*СэО ,

LOib

Ьг^ = f>*cx) + 4*0) , t—> оо где У (х) j f> (ос) имеют вид (0.4) и являются единственным решением стационарной задачи (0.5),а

-О<гЛ>г = Я 1 г HIV* ^ > — f —т™" л где f^f + , = ра + У*

0.6) 3

ИоС^^ОЮ -U3l>**Cx)

- сою *3С:х) -151 ujJ ,

Причем 15**(эс) + U.*£x) , 4-^*60 являются единственным классическим решением следующей стационарной задачи

- j jC*)

LAot2^ + c&vtf = УС*) iliw. IKx) =o . loc |->oO

Таким образом в случае вынужденного колебания при A^w2, функции tf **(*) + U*O0 ^ + являются предельными амплитудами. При Л2—* to2, интегралы (0.6) в U^C*) и неограниченно растут. Это означает,что при У1- ^ наступает резонанс в отличие от случая вязкой сжимаемой жидкости [6].

Если в. §§3,4 положим = О и У(эс) = 0 ,то результаты соответствуют движению несжимаемой жидкости,которое исследовано в[18]. Результаты §§3,4 изложены в £33,34].

Во второй главе изучается система (O.I0 с переменными коэффициентами,которая в частности описывает движение стратифицированной жидкости. Рассматривается следующая система 21L

ГСбО)Тг 2L fDCx) <=llv It = 0 > ОС €1?3

0.7) с начальными условиями lL(oc,o) = U.°(*), ЯХ^о) = 1, (0.8) где ?0Ы), СоСх) € C^OlR3), Рл(х) > ^ const. >0 .

Система (0.7) является симметрической гиперболической. Для изучения асимптотики решения использован метод волнового оператора. С этой целью в §5 рассмотрена абстрактная задача Коши для общих симметрических гиперболических систем,встречающихся в задаче распространения волн во вращающейся среде и щ. = £~lczО + ВЦ = -ILH (0#9)

Щэс,о) -1С*) , х € И?71 ,

I/ где DK = эхк э ="• , Е(Ь0, А - симметрические матрицы порядка 'Vn х m , £ (х)- положительно определенная мат-ца, - постоянные матрицы и В - постоянная кососимметрическая матрица порядка тп х"т . Рассматривается соответствующая задача с постоянными коэффициентами

Ж. = Ео1 Z А%1Л° + <BU° = -lL0H° ЭЬ K=i (0.10) где £0 = fxi^oo-5^ • Доказывается,что если Е(эс)В = ВЕСэс) и Е0В = ВЕ0 »то операторы L и L0 являются самосопряженными с областями определения Л где преобразование Фурье f(x) и И0 есть пространство (L^flR11)) со скалярным произведением где <'»•>- евклидово скалярное произведение векторов.

Самосопряженные операторы L и L6 порождают группы унитарных операторов ^tT(t)] и ,которые определяют решения задач Коши (0.9) и (0.10) соответственно,. Если существует сильный предел операторов w = s-Ghvu VC'b)Vо(ьУ то оператор X называется волновым оператором £3,31,37] для задач (0.9) и (0.10). В §6 показано,что если существует волновой оператор "W и начальные данные -fC*) и -f СэО связаны таким образом,что = i ,то ti-nu и U'C*, t) - Hfoc, t) |J S о , (0. II) где Н есть пространство со скалярным произведением

ОМ) = . И?"

В работах [3,31,37] найдены разные достаточные условия существования волнового оператора,которые не применимы в нашем случае при рассмотрении задачи (0.7)и (0.8). Поэтому, в §6 получено одно новое достаточное условие существования волнового оператора. Доказана

Теорема 8. Пусть выполнено условие

ТИ?" для всех из некоторого,плотного в И0 ,подмножества М из SCbe) и некоторого конечного Т ,где (Л°(эс, Ь) - решение задачи Коши (0.10), EK*te) и Е*^ -элементы матриц ЕС*) и Е0 соответственно. Тогда существует волновой оператор W для задач (0.9), (0.10).

С помощью результатов §§5,6 для задачи Коши (0.7), (0.8) в §7 доказано,что если существуют постоянные N >0 3 ^ 1 и У >2 такие,что при |эс|

I P/*)-i|£Nl*fV , (CP.^dcx)]"1- сГ11! £N| где С >0-некоторая постоянная,то выполняется достаточное условие СХ) и следовательно,существует волновой оператор для задачи (0.7),(0.8). Если начальные функции таковы,что \U-\V] ,то при t—>©о решения задач Коши для систем (0.7)и (0.1) удовлетворяют (0.II),т.е.,тлеют один и тот же порядок асимптотического поведения в норме И

В третьей главе рассматривается система (0.1) в слое IK^xC ВД с начальным условием (0.2) и с краевыми условиями

В §8 построено решение задачи СОЛ), СО.2), (0.12) в виде ряда P(0C31) = S Ф^Сх^Ь) NOk,3C3) ,

К -"V где 1М01к>*з) является собственной; функцией,соответствующей собственному значению Л к ,следующей краевой задачи ^[К =0

Собственные значения находятся из уравнения tijUCHa-wo] = ЛСа^-а-О/С^+о*о*).

При изучении динамики атмосферы и океана обычно учитываются граничные условия непротекания на нижнем уровне слоя и нулевого давления на верхнем уровне слоя,т.е., К*>«|Хз==о . (олз)

В §9 доказано,что при определенных условиях на начальные функции решение начально-краевой задачи (0. I), (0.2), (ОЛЗ) при t—> 00 убывает как 1/-t равномерно для всех ос из п произвольного компакта в 1R хГ0,к/] . Аналогичный результат получен для несжимаемой жидкости в С19].

В четвертой главе найдены спектры операторов в задачах о колебании вязкой и идеальной сжимаемой жидкости во вращающихся ограниченных областях. В §10 рассматривается система (0.3) с нулевой правой частью,т.е., ;£(эс,Ь) = 0 . В ограниченной области Л. с границей dSL из класса ,исследуется задача о нормальных колебаниях,зависящих от времени по закону exf>C-y\tr) ,где 3 - комплексное число. л <

Полагая в системе (0.3) Wx,fc)= V(x)e , , получаем следующую систему со спектральным параметром

0.14)

- ПЙ, UCx-Я - -JAV- У/S Vc&v D ЧЩ =о

-At>4 + = О, где U = CUi, l^» , ЙСх) -fatCx), (O^O), co3Coo) .

Рассматриваются две краевые задачи для системы (0.14) с краевым условием

1) НшГ0 или (П) ; 1=1,2,3, где Тц - компоненты тензора напряжения и имеют вид

ТЦ = + ^СЩ+Щ)orij- Cos С xjj внешняя нормаль к поверхности 3sl , символ Кронекера. Система (0.14) записывается в операторном виде = ,где \5 = С 1Л|) . Оператор А у является эллиптическим по Дуглису-Ниренбергу. Рассматриваются два замкнутых оператора fii^ и , соответствующие краевым условиям (I) и (Д) ,с областями определения

ЙСЛ5 J = { If е С *£Сщ}3>« е(L,^} ,

Mj) = | U ё ( wiCrt))3* i^C-n) : (Ь^О))4 j

Существенный спектр замкнутого оператора А определяется как множество

А - Al) - нефредгольмов}

С помощью теории эллиптических по Дуглису-Ниренбергу систем уравнений £.23,24,291 доказаны следующие результаты. т тг

Теорема II. Спектры операторов и Jсостоят из изолированных собственных значений конечной кратности и существенных спектров fessGflJ) =: li/^CA+i), l/^c?(0 + Я)} ^essСЛ?) = li/^CP+i) 3 i/^Pj.

Спектр оператора (а также оператора ) симметричен относительно вещественной оси. Все собственные значения оператора находятся в следующем секторе комплексной плоскости где - наименьшее собственное значение оператора (-Л") в ограниченной области П при нулевом краевом условии Дирихле и 1 wCx)|. А все собственные значения операто

TL ра находятся в следующем секторе г

Если % является собственным значением оператора Jq 9 то fRe^^-v1^i и следовательно нестационарное движение,зависящее от времени как e.xfs(->fc) 5 убывает экспоненциально со временем. А в случае второй краевой задачи собственные значения могут находиться на мнимой оси,поэтому движение,зависящее от времени как ех|?С-ЗЬ)? может быть периодическим.

В §11 рассматривается система идеальной сжимаемой жидкости в ограниченной области XL ,вращающейся с постоянной угловой скоростью 6J вокруг оси

-Си, taj -fi-v^ =0 * (0.15;

4- A div V — о с краевым условием (1°) $.71 или (Д°)

Здесь 60 = (OjO,u>) # Система (0.15) записывается в операторном виде = . Рассматриваются два оператора и Л J соответствующие краевым условиям (J.°) и QL*,) с областями определения {\> € KCSL) х wic^)} , ад?) = КС^)х frfci)} > о Г— f 3 где КС-Ф есть множество векторов 1> из (1-дСл-)) таких, что U обладает обобщенной дивергенцией из Ь^С-п-) и удовлетворяет граничному условию (1°) т.е.,

Ktn.-) = {Ъ € ОаСл»3 : V Y € }2j€ (ff, vy5= ft,у) } т "IT

Доказывается,что операторы J)e и являются кососамосопряженными. Для ограниченной области -Л- с произвольной гладкостью границы установлено,что

Vess(Jlf) = &s*GA?) = l-irtj icol.

Этот факт в случае идеальной несжимаемой жидкости установлен в Ц35]. Если граница области JT1. липшицева,то вне отрезка

D-L<0, Lto3 на мнимой оси спектр оператора Д0 (а также оператора J|j) дискретен и симметричен относительно нуля. Этот результат иллюстрируется для второй краевой задачи на примере областей типа jfLA = ЦОАЗ х Со, х Го, с;] и -О-^,- £х: .В этих примерах оператор

•тг

Ло имеет чисто точечный спектр и полную систему собственных функций и поэтому решение начально-краевой задачи для нестационарной системы почти периодично по времени.

Таким образом,в работе получены предельный режим при стабилизации решения задачи Коши и предельные амплитуды при вынужденном колебании для системы идеальной сжимаемой вращающейся жидкости со стационарными и периодическими по времени внешними силами соответственно. Методом волнового оператора изучена асимптотика решения задачи распространения волн в неоднородных вращающихся средах. Найдено новое достаточное условие для существования волнового оператора,что позволило найти условия,при которых поведение решений задачи Коши для системы с переменными коэффициентами^ частности,для стратифицированной жидкости и для системы с постоянными коэффицие-нтами,т.е.,длн однородной жидкости,одинаково при большом времени. Построено решение начально-краевой задачи в слое для однородной системы с постоянными коэффициентами и установлена скорость затухания решения при граничных условиях,возникающих в динамике атмосферы. Найдены спектры в задачах о нормальных колебаниях вязкой и идеальной сжимаемой жидкости во вращающихся ограниченных областях,что дает качественную характеристику поведения решения в зависимости от времени.

1. Александрии Р.А. Спектральные свойства операторов,поро-жденных системами дифференциальных уравнений типа С.Л.Соболева. Труды московского мат. общества, I960, т.9, с.455 505.

2. Асланян А.Г.,Лидский В.Б. Распределение собственныхчастот тонких упругих оболочек. М: Наука, 1974.

3. Бирман М.Ш. Об условиях существования волновых операторов. Изв.АН СССР,сер.мат.,1963, т.27, Р 4, с.883 -906.

4. Бирман М.Ш. Задачи рассеяния для дифференциальных операторов при возмущении пространства. Изв.АН СССР,сер. мат.,1971, т.35, с.440 455.

5. Гараджаев А. О нормальных колебаниях идеальной сжимаемой жидкости во вращающихся упругих сосудах. ДАН СССР, 1983, т.269, № 2, с.273 278.

6. Глушко А.В. Асимптотические свойства решений начально иначально-краевой задач динамики вязкой сжимаемой жидкости. Каццидатская диссертация. М, 1982.

7. Градштейн И.С.,Рыжик И.М. Таблицы интегралов,сумм,рядови произведений. М : Физматиз., 1962.

8. Зеленяк Т.И.,Капитонов Б.В.,Сказка В.В.,Фокин М.В. Опроблеме С.Л.Соболева в теории малых колебаний вращающейся жидкости. Препринт. Новосибирск, 1983.

9. Копачевский Н.Д. Малые движения и нормальные колебаниясистемы тяжелых вязких вращающихся жидкостей. Препринт. Харьков, 1978.

10. Масленникова В.Н. Оценки в Lj, и асимптотика при t->°°решения задачи Коши для системы С.Л.Соболева. Труды мат.ин-та,АН СССР, 1968, т. 103, с.И7 141.

11. Масленникова В.Н. Явные представления и априорные оценки решений граничных задач для систем Соболева. Сиб.мат.журнал, 1968, т.9, № 5, с.1182 1198.

12. Масленникова В.Н. Построение решения задачи Коши дляодной системы уравнений с частными производными. ДАН СССР, 1955, т. 102, К? 4, с.685 688.

13. Масленникова В.Н. О смешанных задачах для одной системы уравнений математической физики. ДАН СССР, 1955, т.102, № 5, с.885 888.

14. Масленникова В.Н. Решение в явном виде задачи Коши дляодной системы уравнений с частными производными. Изв.АН СССР,сер.мат.,1958, т.22, с.135 160.

15. Масленникова В.Н. Смешанные задачи для одной системыуравнений с частными производными первого порядка. Изв.АН СССР,сер.мат.,1958, т.22, с.271 298.

16. Масленникова В.Н. Явное представление решения задачиКоши и оценки в для одной гиперболической системы. Сиб.мат.журнал, 1972, т.13, № 3, с.612 629.

17. Масленникова В.Н. Асимптотика при t-»e>0 решениязадачи Коши для одной гиперболической системы,описывающей движение вращающейся жидкости. Дифф.урав., 1972, т.8, Р I, с.85 96.

18. Масленникова В.Н.,Пал П.К. О стабилизации и предельнойамплитуде решения задачи Коши для неоднородных систем Соболева. ДАН СССР, 1981, т.256,№? 6,с. 1297-1302.

19. Пал П.К. Асимптотическое разложение решения при большом времени краевой задачи для системы Соболева в слое. Дифф.урав. и функц.анализ, Ун-т дружбы народов, 1983, с.49 63.

20. Рисс Ф.,Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональномуанализу. М : Мир, 1979.

21. Соболев C.JI. 0 движении симметричного волчка с полостьюнаполненной жидкостью. ПМТФ, I960, № 3, с.20 55.

22. Соболев C.JI. Об одной новой задаче математической физики. Изв.АН СССР, 1954, т.18, с.З 50.

23. Agmon S.,Douglis A.,Nirenberg L. Estimates near theboundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. Comm.Pure Appl.Math.,1964, V.I7, p.35 92.

24. Douglis A.,Nirenberg L. Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations. Comm.Pure Appl.Math.,1955, V.8, p.503 538.

25. Geymonat G.,Grubb G. Spectral theory for boundaryvalue problems for elliptic system of mixed order. Bull.Amer.Math.Soc.,1974, V.80, p.1255 1259.

26. Geymonat G.,Sanchez-Palencia E. On the vanishing viscosity limit for acoustic phenomena in a bounded region. Arch.Rat.Mech.Anal.,1981, V.75, p.257 268.

27. Greenspan H.P. On the general theory of contained rotating fluid. J.Fluid Mech.,1965, 7.22, p.449 462.

28. Greenspan H.P. The theory of rotating fluids. Cambridge Univ.Press, 1968.

29. Grubb G.,Geymonat G. The essential spectrum of elliptic systems of mixed order. Math.Arm.,1977, V.227, p.247 276.

30. Itaya N. The existence and uniqueness of the solutionof the equations describing compressible viscous fluid flow. Proc.Japan Acad.,1970, V.46, p.379 382.

31. Kato T. Perturbation theory of linear operators, 2ndedn. Berlin, Springer-Verlag, 1980.

32. Lighthill M.J. Waves in fluids. Cambridge Univ.Press,1978.

33. Pal P.K. Stabilisation of the solution for a systemof rotating compressible fluid. Indian J.Pure Appl. Math.,1983, V.I4, p.108 114.

34. Pal P.K. Limiting amplitudes for forced oscillationsin a rotating compressible fluid. Indian J.Pure Appl. Math.,1983, V.I4, p.671 679.

35. Ralston J.V. On stationary modes in inviscid rotatingfluids. J.Math.Anal.& Appl.,1973, V.44, p.366 383.

36. Schulenberger J.R.,Wilcox C.H. Eigenfunction expansions and scattering theory for wave propagation problems of classical physics. Arch.Rat.Mech.Anal., 1972, V.46, p.280 320.

37. Wilcox C.H. Wave operators and asymptotic solutionsof wave propagation problems of classical physics. Arch.Rat.Mech.Anal.,1966, V.22, p.37 78.