Некоторые задачи о колебаниях стратифицированной жидкости в сосуде тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ТУРКМЕНСКИЙ.ГОСУДАРСТВЕННА Я УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ МАГГЫМГУЛЫ

на правах рукописи

,■ / ШЫРОВ АЛЛАБЕРДИ

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В СОСУДЕ .

Специальность 01.01.02.-дифференциальные, уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

АШГАБАТ -

19 9 4

Работа выполнена в Туркменском государственном университете одета Магтымгулы

Научный руководитель

- академик АН Туркменистана профессор М. Б. Оразов

Официальные оппоненты: ' - доктор физико-математических

наук, профессор А. Гараджаев - кандидат физико-математических

на заседании специализированного совета по присуждению.ученой степени кандидата физико-математических наук в ТГУ имени Магтымгулы (744014, Ашгабат, Сапармырат Туркменбашы шаёлы,31).

С диссертаций можно ознакомиться в библиотеке ТГУ имени Магтымгулы.

Автореферат разослан " " С^-С^^иьи^\ 994 г.

наук, доцент М- М. Овезова

Ведущая организация

- Туркменский институт транспорта и связи

Защита состоится '"¿^" ииЪ/млоО^ 1994 г. в часов

а?

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук,доцент.

I. Актуальность, темы. В настоящее время в связи о развитием,соврвмейной техники, проблемами гвсфгаики,океанологии, физики атмосферы, значительно возрос интерес к изучению движения жидкости.

Задачи о малых движениях жидкости в сосуде относятся к числу классических, задач гидромеханики. Исследование в втой области связаны о именами таких крупных ученных как Гельмгольц Г., Н.Е.Жуковский, К.Нейман, Дк.Релей, Г.Стокс.

! I

Из современных исследований важную роль в решении этих вадач сыграли работы математиков и механиков С.Л.Соболева, С.Н.Н.Моисеева, В.В.Румянцева, И.Ы. Рапопорта и ряда других.

Мощным инструментом изучения задач о собственных движениях динамических систем является спектральная теория оператор-функций, полиномиально зависящих от спектрального параметра.именуемых иногда пучками операторов.

Основопологающими работами в тбории операторных пучков являются работы М.В.Келдаша.В последствии теория операторных пучков была развита в работах математиков Д.Э.АллахЬердиева, А.Г.Кастюченко.Ц.Г.Крейна, Г.К.Лакгера, М.В.Оразова, Г.В.Радзиевского и ряда других авторов.

Для нас важно отметить работы Н.Г.Аскерова, С.А.Габова, А.Гарадкаева.Н.Д.Копачевского, С.Г.Крайне, М.В.Оразова, А.Н.Темнова и других,в которых изучались конкретные задачи с использованием спектральной теории пучков.

Важной областью механики, где спектральная теория несамосопряженных операторов находит широкое применение, является исследование задач о свободных колебаниях стратифицированной кидкости .

Надо отметить, что возникающие при атом спектральные зядачи актуальны и с точки зрения спектральной теории огг^ра

торов. Как нам известно , ати задачи еще на исследованы и относятся к классам задач, для которых не построена общая абстрактная теория. Поэтому некоторые из этих задач могут послужить отправным пунктом для создаваемых теорий и примером уже созданных теорий.

Цель работы.Исследование задач о нормальных колебаниях вязкой, несжимаемой, стратифицированной жидкости, задачи о колебаниях идеальной сжимаемой жидкости и изучение пучков операторов, возникающих при исследовании названных задач.

Метод исследования основан на функциональном анализе и на результатах спектральной теории несамосопряженных операторов.

Научная новизна.В диссертащш вперние приводится постановка рассматриваемых задач. Получены . результаты касающиеся структуры спектров и полноты с' точностью до конечномерного подпространства системы из собственных функций спектральных задач.

Практическая и теоретическая ценность. Рассмотренные задачи могут являться отправным пунктом в. постановке, абстрактных проблем в спектральной теории пучков, Результаты

диссертации могут быть исползованы в дальнейших

»

исследованиях задач вязкой стратифицированной и идеальной снимаемой жидкости.

Апробация работы.Основные результаты диссертаций обсуждались на семинарах академика АН Туркменистана, профессора Оразова М.Б., на семинаре члена АН Туркменистана, профессора Худай-Веренова О.Г., на научном семинаре кафедры математического анализа ТГУ им. Магтымгулы ( руководитель, лектор физино-математичвских наук, профессор Атдаев С.),до-■локткк на семинаре члена All Туркменистана, профессора Маре-

s

дова M.M.,-на XI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах ( 1986 г.г. Челябинск ),на VIII РэспуОлийалскоЯ научной конференции молодых ученных (1986 г. >п./шгабат), па Всесоюзной конференции по дифференциальным

■ , уравнениям я опткмальйэму управлению (1990 г., м.Фирюза), на : еяогодпой конференции профессорско-преподавательского

. состава ТГУ имени Иагтшгула.

Публикации. Основные результаты диссертация опубликованы в Сt-61» список которых приведен в конца автореферата.

. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из ввэдешя, двух глав, дополнений и списка литературы. Объем работы-89 страниц мепшгоппского текста. Библиография состоит из 83 наэдэковагсй. I

СОДЕЕШШЕ Р1Б0ГУ. , Во вводетш даэтся itpantan йоторэтзская справка и обзор литератур:-: по , теш диссертация, сбосновцвсэтся актуальность работа я кратко нзлогаэтсл оэ содортзниэ.

. Первая глава диссертация'посвякоиа исследованию задач о норлальвнх • колебаниях. упругой оболочки, ' запояюшгой двуслойной вязкой, иастттй, стратафвдфованяоЯ «йдкостьэ Я состоят кз четырех параграфов. ... , . ВJ1.1. приводится постановка звдача Аля. неЕргжшкщзЯсз .'оболочка.

"В Ü3«C(x1,x2,x3)í рёс«,сатр:£Еазгсл огреткешвя область

. / П.. , 'с гранмцаЗ 2 класса С4 , а 2 прэдетазляет собой

■ 'упругую1. оболочку, 'зегашэайиув вязкой, '.несжимаемой . страгк^кцкроваиисй ШмоаШ..' Фогда ураадевия сис&уках

ко-язбййй такой коганичеокой cacrsicx »яге сад

еЬ

агил

—гЧг (у >«=0, 1-ц2 1 дгг 1 1 1

ду

дХ дХ

^роУ,=0, • «117 ^=0,

---.Ш^-рЛ-Р+Т2 (V )а,=0,

, г ~г г 9Хг г г -г

01

¿Р.,

гн

- _=0, 41V ур-0.

(П,),

(а,)

(О,),

<о,>

( I )

где

феранциалышй оператор на 2» который задает уравнения равно весия для упругой оболочки, Виктор смещений упругой. оОош чки и через е -обознача ими дуль упругости,, р- коайищшнт ' Пуассона, 0<р< р- плотность, а Ь-тсщцнна оболочки, П1П 2, -силы напряжения,,, воаникаюцие на шз-за

движения кидаости.п^-нориаль внешней к й^, У^-скорости част шщ видкосги,рО1>0, рО2>0 - константы, усредаящне в облает ях О, и значения р0(х3), а у^О, иг>0 усредняют значения. т}(х3)/р0(х3) в О, и 0г, р0-стационарное распределение плот ностй Рг--=Р/р0< (4=1,2), Р-давлещю. е -ускорение свооодного падения, к-орт оси х^, л(Хз)>0 -динамическая вязкость,а р^-щю-гность идаости в (1=1,2).

При 8гом на границе соприкосновения Г=П П (х3=1) долгам, очевидно,¿»подняться условия

г, IV, )п=Т2(та)п, --(на Г) (2)

где первое равенство означает непрерывность скорости,а второе - равенство напряжений. Здесь

дЧ

тензор Навьо-Стокса, соответствующий■течению п- внепняя нормаль на Г к й,.

На поверхностях предполагаются выполневнымп условия

в и1

.——— = 7, (на 2.) (1-1,а) (3) .

а ъ

(3) является условием прилипания вязкой"яидкостн на стенке оболочки "

Напомним, что основным частотным параметром, характеризующим распространение и типы волп в стратифицироварной кид-кости,является так называемая частота Вяйсяля-Брента Н(х3), которая определяется соотношением'

П2(13)=^(х3)/р0(з3)1 р0(0)>0.

Рассматршается случай устойчивой стратифккпшт еяд-костп

0« Н^ И2(х3)< со

Пытаясь искать решение задачи (1)-(3), зависящее от времени как esp(-Xt) пркшдкм к следувдеЭ спектральной , задаче

eh(1-^s)"1Iu1+Xaf4iu1+T1 (vt >11, =0, <2t), -v^+T^-Xv^-'gp^Vp^k^', divv^O, (П1 ), eh(1 -ц2 j~1lAia+X2phu2+T2(Yg)n^'»0, (2a), -v2A72+7Pa-Xv2+A.-1gp^Vpov2fe=0, dlv V2=0, (OJ,

-A«,-*, (2,). -Xi^ (2g) VV (v^)n=Tg(Vg)n (H- Г)

(4)

В §1.2 задача (4) с помощь» вспомогательных задач сводит ся к исследованию операторного пучка в . пространстве ff=3(0)©ig<2) " ' *

£(X)*I-

А"1 R* о v

.-1

-П

A-1 R* *

.-Г

-R V

0 0

0 s

i -1 !

в q

О О

(5)

где 3Kfl)=tV€l2(n);dtv v=0 в £î>, *=[ ^ ] , /

s>o. v_1>o, А~1>о. Эти операторы,а такав операторы R.E* 3 е Окомпактш и конечного порядка.

В § 1.3 приводятся результаты,касающиеся структуры спек. тра задачи'(4) и пучка (Б).Основной результат дается следующими теоремами. '

Теорема 1.1. Спектр пучка £(к) из ( 5 ) (и задача (4)) ' состоит из о.з.^ конечной алгебраической кратности, имеющих предельные точки в о и на « ', расположен в правой полуплоскости и симметричен относительно вещественной оси. При этом при больших|\| все С/.э. Л^ , за исключением коьач-■ • ного числа точенпопадают в сколь угодно малые углы,примыкающие к мнимой оси и положительной полуоси.

Теорема 1.2. Система | векторов {Фк)={(^с,1к,Хкт|к)}, где (Ск,г)к) собственный вектор пучка С{\) из (5) отвечающий всем с.з. ^ при }\1с|>И>о, полна в

ьг=ь2(Е)«'3(0)©ьг(Е) ' с точностью до конечномерного подпространства. Система век торов

полна в

(2)«3(П)® (Е)

с точностью до конечномерного подпространства.

Здесь и^,7к-собственше функции задачи (4), отвечающие

С • 3 •

^2<Е)-пространство С.Л.Соболева на е.

В §1.4 рассмотрена задача о нормальных колебаниях двуслойной вязкой, несжимаемой стратифицированной жидкости • • во вращающейся упругой оболочке.

В и3-{(х,,х2,х3)} рассматривается ограниченная область П с границей 2 класса о4 . Где 2 представляет собой упругую оболочку, заполненную вязкой, несжимаемой, стратифицированной жидкостью. Сосуд вращается равномерно с угловой скоростью ек (е>0, к- орт оси ж3).Тогда линеаризованные уравнения свободных колебаний этой механической системы имеют вид

2 -1 д2и.

еМ1-Ц ) ьи, +рь +Т1(71)п1=0 (2,)

at 2

вч.

- Р, -8Р01 р, к-йи», Хк+У, Дт (О,)

О X

2 *

е*1(1-ц2Г1ьиг+рн д "г + (2г) дt2

= - 7Рг-вр^Ргк-2872^УгД7г, (О,) (7)

^г +у р0Уг=0. й±7 Уг=0,- (О,) •

Т1(71)п=тг(72)п, ' ' ■ (на Г)

гд§ слагаемые в уравнениях, системы '( *! ) отвечают .

за силы инерции, возникающие во вращающейся - жидкости.Ос- ; талышэ обозначения даны в §1.1. ; ' ■ , .*•" •

Рассматривая движения, зависящие от времени как в?р(-^), задача ('/), сводится к изучению спектральной, задачи

е1г(1-цг)"'1Ьи1+А.2рЬи1-1-Т1 (V, )П1=0 )

р^^О, сИУ ^=0 (О )

еЬ(1-цг)-1Ьи2+Л2рНи2+Тг(У2)пг=0 ' ( 8 )

' -УгЛ?2т2-^г-2ет2хк+А."1вр^у Р<^2к:=0, НУ У2=0 (П2)

-Л.",^, (£,);-аи2=72(£2); т, (у, )п=Т2(у2)п (Г)

Здесь Г граница соприкосновения двух жидкостей.

Далее дословным повторением рассукдений, проведенных в §1.1-§1.3 доказывается

Теорема 1.3. Спектр задачи ( 8 ) состоит 1:з с.з. А-к конечной алгебраической кратностн,. имеющих предельные точки во и на со, расположен в правой полуплоскости.При этом при больших все с.з. за исключением конечного числа точек, попадают в сколь угодно малыо углы, примыкающие к мнимой оси и положительной полуоси.Система соответствующих векторов^}, определяемых формулой, аналогичной (6),полна с точностью до конечномерного подпространства.

Вторая глава диссертации посвящена изучению задачи о рас пространении волн в идеальной сжимаемой жидкости,движущейся поступательно во вращающемся цилиндре.'

В §2.1 приводится постановка задачи. Рассматриваются малые возмущения идеальной сжимаемой жидкости,которая движется со скоростью и вдоль оси х^ и вращается как твердое тело вокруг этой оси с угловой скоростью О. Как известно,линеаризованные уравнения для такой меха: лческой системы имеют вид:

м

ЭР

2 й V, ----

2 дх.

—- + 2 О V 01

ар

^з ар

0Р 2

— + вг <117 V = О

пг

где р-коэффициент скимаеиости,Р-давление,у=(у1,у2,)-возму ущенне'вектора скорости частицы шдкоста, Т>/Ш=д/диид/дх^..

Система (9) рассмотрена в цилиндре 5=^х(-оо,-н»), где ограниченная область С <={(х1 } -сечение цилиндра, 7=аСеС2, а ось цилиндра направлена вдоль оси х3. На боковой по-

ным условие непротекания • '

Vя 71п1 + ^"г = 0 (Г) ( ю )

где (1Ц ,0) нормаль к Г.

Цель настоящей главы состоит в изучении вопроса о распространении волн вида

ехр(-(шг-4са3) (II)

в задаче (9)-(Ю). •

Задача (9)-{10) госта .подстановки решения вида (II) сведе на к следущей спектральной задаче

верхности цилиндра Г = ух (-»,+«) предполагается выполнен- .

:аг - + 4П2«!2 ] Р = О, <(})

( 12 )

где ^(-п^п., ,0), ц=<ди-а и •' * . Как видно задача ( 12 ) зависит от двух спектральных пара-

метров и и а (или ц и а ). Важно провести исследование спектра этой задачи по о при фпссированном а € к и наоборот, исследование спектра по а при фиксированном иск. В §2.2 задача (12) сводится к пучку вида

e((i,a)= I- J -г--—^-А +2ц flQ (13)

где А-1 положительный, самосопряженный,компактный оператор, О-ограниченный, самосопряженный оператор, возникающий из-за граничного условия. С помощью этого пучка доказана

Т е о р е м а 2.1. Спектр задачи < 12 ) по и,при фиксированном а € R, (а значит и спектр пучка а(ц,а) по р.), является вещественным. При больших |и|,(|ц|), спектр задачи ( 12 ),(соответственно пучка ( 13 )),состоит из собственных значений — * к =» M.N+1,...,( ± а>,ц =н,К+1,...).

Система всех векторов {( Р* , Р* полна в простран

стве ^(G)© Wg(G) с точностью до конечномерного подпространства. Система всех векторов {, м£ цолна в пространстве с точностью до конечномерного

подпространства.

Где {^-собственный вектор пучка а(ц,а). Третий параграф посвящен исследованию свойств пучка из ( 13 ) при фиксированном ueR. Основной результат параграфа дается теоремой.

Т е ope м а 2.2. При фиксированном ы € ® спектр задачи ( 12 ) при |a|>R состоит из'с.з. ап с предельной точкой в » и локализованных следующим образом:

1. В случав 0<и<р с.з. (^'локализованы у мнимой оси;

2. В случае р<и<ю с.з. ап локализованы у вещественной оси;

3. В случав и = р с.з. ап при ш>0 (ш<0) локализованы у полонительной (отрицательной) полуоси. При ш=0 с.з. ап. при больших |а| нет.

В случаях 1 и 2 система корневых функций задачи (12 ), отвечающих с.з. р.п двукратно полнв в пространстве . ^(С) с точностью до конечномерного подпространства, а в случае 3 при ш и О система корневых функций полна в - ^(С) таюга с точностью до конечномерного подпространства.

Пользуясь случаем, приношу глубокую благодарность своему научному руководителю, академику АН Туркменистана, профессору Оразо'ву М.Б. за постановку задача и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ашров А., Оразов Ы.Б. К задачз о колебаниях • вязкой стратифицированной жидкости в упругой оболочке. .//Тез. докл. Н Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах.- Челябинск, 1936.- Ч.Ш. .

2. Аширов А.,Оразов Ы.Б. К задаче о колебаниях идеальной сш-маемой кидкости во вращающемся цилиндре. // Тез. докл. УШ Республ. научной кокф. молодых ученых. и специалистов.-Ашхабад, 198В. -с.457-458.

3. Аширов А. О полноте корневых функций в задаче о колебаниях вязкой стратифицированной кидкости в упругой оболочке. // Ж.вычисл. мэтем. и матем. физ.- 1987". -117. -с. 1105-110?.

Л. Аширов д., Оразов М.Б. К задаче о нормальных- колебаниях

ЗПрутой оболочки, заполненной двуслойной модельной вязкой насжимавыой стратифицированной жидкостью. //Иеслод. пи м;пь ыатнчеокой »1нзика и ее приложениям.-Ашхабад., 1989. с.4-17.

5. Аширов А., Оразов Ы.6. К задаче о нормальных колебаниях • вращающейся упругой оболочки, заполненной двуслойной «свд

костью. // Тез. Докл. Всесоюзной кон&. " Дифференциальные уравнения и оптимальное управление.и~ Ашхабад, 1990.- с. 19-20.

6. Аширов А., Оразов Ы.Б. Задача о распространении волн в идеальной сжимаемой жидкости, движущейся поступательно во вращавшемся цилиндре. // Исследования по теории и приблиионниы кетодам дифференциальных уравнений.-Ашхабад. ,1991^ с.4Г, 63.

РЕФЕРАТ

Соекы вагтларда хезирки замен техникасынш' есмеги, геофизикада, океанлары вв атмосфераны евренмекде йузе. чккян проблемалар сувуклнкларын херекетини евренмеклиге увей хас-да. гуйчлендирди. ...

Гапдакы сувуклнкларын, ыргшщнлары барадакы -ыеселелер гадромеханикаш.тн. классыкы меселэлеринё догнали Со луп, бу угурда сонкк дввурде эдилен ишлер зсасан ада белли математиклер, ыэханиклер С. Л. Соболеве, Н. Н. Моисееве,

B.В. Румянцеве, И.М. Ропопорга ве башга-да бирнече авторларз дегишлидир.

Динамики систеыаннн хусусы херекети .барадакы ыеселелери евренмекде спектра л параметре . полиноыиал еагланшшшш оператор-функцияларыа (операторларщ десселеринш) спеюграл , ' теориясы гуйчли аппарат хекыунде у ли рол ойнаяр. ;

Операторлар десселери теориясыкш эоасшда М. ВЛСелдашш,' фундаыеатал идлери дуряр. Оператор дессолери теорияск- ¡белли математиклер Д.. Э. Аллахвердиевщ, .А. Г. Костечеюсонщ,- '.. Ы.Р. Крейнкя, Г.К. Лаягерщ, Ы.Б. Оразошц, Г.В.РздзиезсгсиЕка. • Ев бейлеки бырнэче азторларыц шиерйвде кас-да есдгршщи. ■ ■

Н.Г.АскеровыЕ, С.А.Гебовнг,' ¿.Гератввйа, Н. Д.Копаче ескжиш,

C.Г.Крайний,' М.Б.Оразоаыа, А.Н.Тешювыа вэ бейлеки евторларик. стлеринде десселервд спектрал теорвдфяш у'лашзк .билон анык \ • кеханмки меселелер вврвншщй..-.', "г. ' ■

Шу . диссертацион ш-' йш. -'гат . гксылмаяя, ' шепбепшк, стрэта&ширленен сувуклш? силен доддуршш мааогак сардаиш

вэ аЯланян цшгавдрдец акяа идеал гисылян сувуклжларин ыргылдылары барадакы меселелерв ве оларда Пузо чикни операторлар десселерши дернеыеклига багшлавяр.

Диссертацион иш гиривден, ики бапдав, гошыача овлумден ве эдебиятларын санавывдан иоарат.

Гиривдэ диссертацияныц темаси бошча бар болан адебиятлара гнсгача ыаглумат берилЯер, ишин актуаллыгы эсасландаршшр ве онуц ыазиуны гнсгача баян эдилйэр.

Ишц биринжи бабыида ики гат гыснлмаян, • шепбешик стратиДицирленен сувуклыклар Силен долдурылан, ыайшгак Оарданш ыргылдылары барадакы меселе середилйер.

Икинам бал айланян цилиндрден акян идеал лкшшн сувуклыгш. ыргалдылары барадакы ыеселэ бапгшланяр.

Ишин гошмача белушшде герек болан кебир фактлар йыгналандыр.

ЦЬЯлеликде диссертацион ишде эсасан ашакдаки нетижелер алынды.

1. Ики гат рысылнаяя, шепбешик0 стратифнцирленен сувукшк силен доддырылан майышгак бардашщ ■ыргшщшш зорекети предел нокатлары А.-О, ш болан дискрет спектре эв. Оларын хекывси cap ярым текизликце хыяла ве положитель ярым онун голай товервгинде, половитель ока симметршсликде ерлешандирлер.

2. Ики гат гцсилмаян, шепбешик, стрэтифицирленен суву клик билен долдурылаи ыайшгак Оарданын ыргшшыли херокоти барадакы мосольниа хусусы функциялары тукеникли едче г ли белек гиндолигв чвнли такьскльжда долулик хвсиечшс

ЭВДИр.

3. Айланнн цилмядрдещ акт идеал гыснлян сувуклнгнд иртилднлзры барадаки меселвнин ш бопгче спектри хакыкн, предел вокятларм - с» ве <о болан хусусн бахаларщ кеплугинден нбзрат, ыеселенин. шу хусуса бахалара дегишли хусусн векторларн тукеникли елчеглк белек гинлиляге ченли такнклнкда долулнк хесиотине эе.

4. Айланян цилиндрден акш идеал гнснлян оувуклшш цргилднлары барадаки меселанвд а бошча спектри предел нокдцн

<» болан хусусн бахаларнд кеплугинден дуряр. Олар акш тизлигине ве гысьгжылык коаМициевтине Саглшшкда орлепевднр., Меселенин бу хусусн бахалара дегишли тусусы векторларн тукеникли елчэгли белек гяниплиге чонли такнклыкда долнлюс хесйвткае эедар. .