Малые движения и собственные колебания идеальной неоднородной несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

(

I и

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ АН УКРАИНЫ

На правах рукописи

СМИРНОВА СВЕТЛАНА ИВАНОВНА

МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание научной степеьк кандидата физихо - математических наук

Донецк - 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа Симферопольского государственного университета

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация."

доктор физ.-мат наук, профессор Копачевский Н.Д.

доктор физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник Барняк М.Я.

кандидат 'физ.-мат. наук. доцент Суворов С.Г.

Физико-технический институт

низких температур АН Украины (г. Харьков)

Защита состоится 1994 г. в час

на заседании специализированного совета Д. 06.01.01 по присуждению научной степени кандидата физико-математических наук при Институте прикладной математики и механики АН Украины по адресу: 340114, г. Донецк-114, ул. Р.озы Люксембург, 74.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики и механики АН Украины.

Автореферат разослан " и^г-с^Л 1994 г.

I

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-матемапгчесхих , наук Марковский

и" '

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При изучении задач динамики неоднородных жидкостей, заполняющих произвольную ограниченную область, наряду с численными методам;: решения важными являются методы качественного исследования. Так, ряд интересных и полезных задач можно рассматривать в рамках линейных моделей, приводящих к нетрадиционным начально-краевым задачам. Сложность решения этих задач состоит в том, что спектральный, параметр может входить не только в уравнения, но и в граничные условия. В ряде задач возникает неоднородность, существенно отличная. от вертикальной стратификации, например, это происходит при воздействии на движущуюся жидкость хориолисовых сил, при движении жидкости в условиях невесомости и т.д. Задачи такого типа важны в езязи с изучением проблем геофизики, океанологии, физики атмосферы, при использовании криогенных и шугеюбразных жидкостей в космической и ракетной технике, а также в теории сейш.

Задачи о колебаниях стратифицированных жидкостей в неограниченной области подробно рассматривали Стоке, Гельмгольц, Краусс, Дж.Тернер, О.М.Филлипс, Ю.З.Млрс-польский, Л.В.Черкесов.

Вопросами существования и единственности решений уравнений гидродинамики неоднородной жидкости занимались О.АЛадыженская, В.А.Соло.чников, С.Н.Антонцев, А.В.Кажи-хов и другие.

Исследования задач о малых колебаниях неоднородной (стратифицированной) жидкости, в свою очередь, гтрньодят к новым результатам в качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными (С.Л. Соболев, В.Н.Масленникова, Р. А. Александрии, Т.И.Зеленяк, Н.Д.Копа-чевский и др.)

Проблемы колебаний стратифицированной жидкости исследовались А.И.Задорожннм, Н.Д.Копачевскн.ч, А.Н.Темповым, С.А.Габовым, А.Г.Свешниковым, М.Ю.Царьковым, А.В.Андроновым, Т.П.Темченко.

Задачи о колебаниях неоднородных жидкостей (в линейной постановке) в последние годы привлекли внимание ряда авторов. Первые исследования в этой области проводили Н.Д.Колачевский, А.Н.Темнов, М.Ю.Царьксв.

Как следует из приведенного краткого обзора, до настоящего времени в недостаточной мере были изучены за-

дачи о малых колебаниях идеальных неоднородных жидкостей, заполняющих произвольную ограниченную область либо контейнер.

Представляет интерес для исследователей случай, когда переменная плотность изменяется не вдоль некоторой оси (стратифицированная - жидкость), а более сложным образом, учитывающим, например, действие неоднородного потенциального поля и поля центробежных сил. Здесь возникают новые начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных, а также ' задачи на собственные значения, в которых спектральный параметр входит полиномиально не только в уравнение, но и в краевое условие.

Цель работы. 1. Исследование малых движений идеальной неоднородной жидкости, заполняющей полностью либо частично неподвижный либо вращающийся сосуд произвольной формы.

2. Изучение задачи о малых колебаниях идеальной неоднородной жидкости, заполняющей (полностью1 либо частично) сосуд, образованный двумя соосными круговыми цилиндрами и находящийся под действием внешнего цилиндрически симметричного поля массовых сил.

3. Исследование од номерных спектральных задач типа задачи Штурма-Лиувилля, порожденных проблемой малых колебаний неоднородной жидкости и содержащих спектральный параметр линейным и квадратичным образом как в уравнении, так и в краевом условии.

Методика исследования. Систематически применяются методы функционального анализа, преимущественно методы спектральной теории операторных пучков. На протяжении всей работы существенно используются методы теории диф-ференциатьных уравнений в частных производных, а также спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов, в частности, оператора Штурма-Лиувилля.

Научная новизна. Результаты диссертации представляют собой качественное исследование новых начально-краевых задач гидродинамики. В частности:

1. Рассмотрена задача о малых колебаниях идеальной неоднородной несжимаемой жидкости, полностью заполняющей ' неподвижный (либо вращающийся) сосуд. Доказана теорема о корректной разрешимости эволюционной задачи, получены некоторые общие свойства решений спектральной задачи.

2. В случае частично заполненного неподвижного (либо вращающегося) сосуда задача о малых колебаниях иде-

алыюй неоднородной несжимаемой жидкости приведена к операторно-дифференциальному уравнению в гильбертовом пространстве. Доказана корректная разрешимость задачи Ко-ши. Установлено наличие ь такой системе вР1утренких и поверхностных волн, а также доказаны свойства базисности мод поверхностных волн.

3. Изучена задача о собственных колебаниях идеальной неоднородной жидкости, полностью либо частично заполняющей неподвижный, а также вращающийся сосуд, образоватшй двумя соосными круговыми цилиндрами и находящийся во внешнем цилиндрически симметричном потенциальном поле массовых сил. Каждый из четырех перечисленных случаев приводится к одномерной спектральной задаче, подобной классической 'задаче Штурма-Лиувил-ля, однако при этом спектральный параметр входит как в уравнение, так и в граничное условие полиномиальным образом. Изучены свойства спектра и собственных функций полученных задач. Пслучены разложения решении начально-краевых задач в ряд Фурье по собственным функциям, асимптотические формулы для частот и мод поверхностных волн. Доказаны теоремы о плотности частот внутренних волн на некоторых отрезках.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации, могут быть использованы в различных вопросах теории дифференциально-операторных уравнений, уравнений типа уравнения Шгурма-Лиувилля, уравнений с частными производными, а также в теории сейш, при проектировании динамических устройств, содержащих жидкости.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной научно-технической конференции "Вклад молодых ученых и специалистов в научно-технический прогресс" (Севастополь, 1937), XXII Всесоюзной зимней математической школе (Воронеж, 1955), конференции "Проблемы комплексной автоматизации гидрофизических исследований" (Севастополь, 1989), 1-1V Крымских осенних математических школах-симпозиумах по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, 1950,1991,1992,1993),. XXV Всесоюзной зимней математической школе (Воронеж, 1993), ХУП-ХХП научных конференциях профессорско-преподавательского состава Симферопольского государственного университета (Симферополь, 1988,1989,1990,'1991,1992,1993)", на семинарах кафедры математического анализа СГУ, на семинаре под руководством член корр. АН Украины И.АЛукоЕСкого в Институте математики АН Украины (Киев, 1992), на семинаре под руководством проф. Б.В.Базалия а Институте прикладной математики и механики АН Украины (Донецк, 1994).

Публикации. Результаты выполненных исследований отражены" в работах [1-11].

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 140 страницах и состоит из введения, двух глав, 13 приложений и списка литературы из 121 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ. РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, изложены ее основные результаты.

В главе 1 рассмотрены колебания идеальной неоднородной несжимаемой жидкости, полностью заполняющей сосуд 52 произвольной формы и имеющей переменную равновесную плотность Ро(х) , хЕ £2 ,. Глава состоит из четырех параграфов.

В §1 изучены малые колебания неоднородной жидкости в произвольном неподвижном сосуде. Предполагается,

что квадрат частоты неоднородности N 2(х) удовлетворяет физически естественному условию

0 < ЛГ! := Л'2.„ < н\х) < N1^ = : М\< со , (1)

М\х):= -УРо- УПо/^оСх) , где П 0(х) - потенциал внешнего поля массовых сил. Дается постановка начально-краевой задачи - линеаризованной системы уравнений, граничных и начальных условий. При исследовании задачи применяется метод проектирования уравнений движения неоднородной жидкости на ортогональные подпространства естественно возникающего здесь гильбертова весового пространства Ь2(£2,/э0). При этом используется следующее ортогональное разложение пространства I, 2 (£2 , р0) вектор-функций, квадратично суммируемых по О с весом ЯоМ :

ь 2 (П . Ро) = С (П ,/>о) © О (О - яо). <2)

где 10 (€1, ро) - подпространство Ь 2 , Яо)> которое получается замыканием в норме Ь 2 , />0) множества

То <Ро) = { и е С1^) : («V и = 0 , * 6 Й,

и-п = 0,*€ 5Й (3)

а С (£2, ро) " подпространство квазипотенциальных векторов:

0 (О ,р0) = е Ь 2 (Я ,р0) : V = УФ/р0(х)}. (4)

Проектирование уравнений исходной начально-краевой задачи на подпространство I о , ро) и учет граничных и начальных условий приводит к задаче Коши в пространстве I о , />0) :

, ^ + и = Р0 ?. и(0) = и°, (0) = V (0) = V 0 (5) где В0 - так называемый оператор неоднородности.

Доказано, что в неоднородной жидкости, полностью заполняющей резервуар произвольной формы, существуют колебания, которым отвечают внутренние волны. Квадраты частот таких волн образуют предельный спектр, располо-

2

женный на отрезке [0 , N + ] = 10 и совпадающий со спектром оператора неоднородности В0 (В0 = В д , 0 < В0 < N I; <т(В0) = [О.ЛГ^] ).

Для более детального изучения характера спектра возникающей здесь спектральной задачи в §2 рассмати.:ается ее важный частный случай. Это задача, когда сосуд с жидкостью образован двумя соосными круговыми цилиндрами (радиусов Л] и /?2 11 высотой к) и находится под 'действием внешнего цилиндрически симметричного поля массовых сил с потенциалом П 0 = П 0{г).

Переход в начально-краевой задаче к шшшдрическсл системе координат и разделение переменных в ней позволяют сформулировать задачу для нахождения радиальной компоненты поля смещений. Для функции V (г) г и г(г) возникает счетное множество классических задач Штурма-Лиувилля:

, , Р0 ,2 м1РО

+ — у/ = Л -V/ , (О)

Г г

Гр О

V?

т2 + (лкг/Н)2 11=\/с»2,

(т = 0 , ± 1 , ± 2 ,..., '¿ = 0,1,2, \т ! + к * 0) с очевидными граничными условиями на стенках шшнндров:

* (^1) = к (Л2) = 0. (7)

Изучение структуры спектра задачи (6)-(7) дает возможность сделать следующие выводы: эта задача имеет дискретный положительный спектр | ^ктп^ 'п— 1 с единственной

предельной точкой на бесконечности; соответствующие собст-

со ' ,

IV ¿„„¡(г) 11 _ образуют ортогональный базис в некотором подпространстве гильбертова пространства. Представлена асимптотическая формула для собственных чисел Хктп при п 00 .

Теорема 1. В задаче (6)-(7) квадраты частот собственных колебаний неоднородной жидкости со \т образуют

2 { множество, плотное на отрезке [0 , N + ].

ч

Показано, что собственные функции пространственной задачи, отвечающие ненулевым частотам колебаний, образуют базис в некотором подпространстве векторного гильбертова пространства Ь 2 (£2 , ро)- Получена формула разложения решения начально-краевой задачи в ряд Фурье по собственным функциям.

В параграфах 3,4 главы 1 изучены колебания идеальной неоднородной жидкости во вращающемся сосуде как произвольной формы (§3), так и специального вида (§4). В случае, когда сосуд с жидкостью вращается вокруг вертикальной оси Охз с угловой скоростью со о = <и0 е з , предполагается, что квадрат частоты неоднородности '

2

Ы\х , со0) = N 2(х) + ^ (УРо 'У (*? + *!)) =

У/>0 • УП1

РО 1

в состоянии равновесия удовлетворяет условию

О < Л' 1(со0) <N2(x, со0) < N +(«о) < оо. (8)

После проектирования на подпространство I о (£2, /э0) исходная начально-краевая задача приводится к задаче Ко-ши в 3 о (С2 , ро):

<12и (1

Л

%-ftK0il + B0(co0)u = P0f | (9)

.и(0) = и°,у(0) = ^(0) = у°, '

гае Ко - гироскопический оператор, обладающий свойствами

К0 = - Ко , I 1*0 I I < 2со0 , сг (К0) = [-2&»0 , 2и»о ] . (10)

Исследование свойств операторных ¡коэффициентов задачи (9) -(10) позволяет доказать теорему о разрешимости

эволюционной задачи. Исследована задача о нормальных колебаниях, отвечающая задаче (9).

Теорема 2. Спектр нормальных „ колебаний вращающейся неоднородной жидкости в области С2 лежит на отрезке [-Л0,Л()] вещественной оси, где

А0 = со0 + + .

В §4, как и в §2, рассмотрен тот же частный случай, однако здесь полностью заполненный сосуд с жидкостью равномерно вращается с угловой скоростью су0. Рассмотрения по-прежнему проводятся в цилиндрической системе координат. В задаче о нахождении радиальной компоненты поля смещений осесимметричность сосуда и симметричность внешнего поля массовых сил с потенциалом П о (г) позволяют после разделения переменных получить счетное множество одномерных спектральных задач:

. Ро ,2 Ра / хгг, ч , + — * = Л — (N (со0) +

"У "У

| 4 си д (якг/К) ^ 2тш0р0 N (со0) _

т2 + {тхкг/к)2 * т2+ (л/сг/Л)2 * п 1'

+ <Ю

т 2+ {як/К)2

т , к = 0,1,2, ..., к + т * 0,

с граничными условиями (7).

Уравнение (11) можно рассматривать как обобщение задачи Штурма-Лиувилля на случай, хогда собственное значение квадратично и линейно входит в уравнение. Доказано, что спектральная задача (11), (7) имеет вещественный

дискретный спектр | _ 1 , причем \ктп -* ± а>

(п со ), при этом соответствующие собственные функции

{1 оо

= 1 ооразуют двукратный (ортогональный) оаз;:с в

некотором гильбертовом пространстве. Получена формула асимптотического поведения квадратов собственных значений. Выведены двусторонние оценки положительных и отрицательных собственных значений, которые позволяют сделать ряд выводов.

ГР 0 ,

—Г-т IV

т2+ (лкг/Н)2

Теорема 3. Квадраты частот собственных чколебаний

¿со ьтЛ жидкости во вращающемся полностью заполненном суде образуют счетное множество, плотное на отрезке [О , N +(а>о) + 4 о § ].

Для исходной пространственной задачи показано, что собственные функции, отвечающие ненулевым частотам колебаний, образуют базис в некотором подпространстве гильбертова пространства. Получена формула < разложения решения эволюционной задачи в ряд , Фурье по собственным функциям.

Во второй главе (§§5-8) рассматриваются колебания идеальной неоднородной жидкости в частично заполненном сосуде (с вращением и без него). Предполагается, что в состоянии относительного равновесия жидкость занимает область , ограниченную твердой стенкой Б и равновесной свободной поверхностью Г.

В §5 использован операторный подход к проблеме колебаний неоднородной жидкости в произвольном неподвижном бассейне О. Для приведения исходной начально-краевой задачи к дифференциально-операторному уравнению в некотором гильбертовом пространстве используется следующее ортогональное разложение пространства Ь 2 (£2 , ро)'-

Ь 2 (П , Ро)= I о (Я , Ро) Ф С Л, вС0 • Ро) © 0 0 , Г (О • Ро)*2> где 1 о »Ро) определено в (3), а

о А , 5(П . Ро) = € ь 2 (а , Ро): V **Р01(х)ЧФ ,

Ро1(х)УФ • п = 0 (х Е Б), <Ну (ро\х) УФ) = 0 (х € О у , Со..гФ.Яо) = = Р = 0 (х е Г)}-

В §5 показано, что проектирование уравнений исходной задачи на ортогональные подпространства (12) приводит к задаче Коши в гильбертовом пространстве НГ = ^о(".Ро)©НГ: 2

^~ + (В + Сг)и = /, | (13)

• и (0) = и о, и ' (0) = и , , где операторные матрицы £ и С г имеют струкгуру

= 1=**. 0 <В£Х%1Г, СГ= «НаЕ(0,Со),

с0 = Аг,/2 (А>М~>)'ГАГ,/2 » о , . Аре 5оо , НГ:=Ь2(Г)0{1| •

С использованием свойства операторов В и С р доказывается корректная разрешимость эволюционной задачи (13).

Рассмотрение собственных колебаний системы, т.е. решений задачи (13), зависящих от времени по закону ехр(юл), приводит к спектральной задаче:

(В + С р) " = Г>ы = со2и , ы = (\у0,7)'е Нр. (14)

1 2

В §5 исследуется спектр задачи (14) при со >// + путем перехода к задаче

Гад^-О, у=1/о2, <р{ = С1/2г], (15)

на собственные значения для самосопряженного- операторного пучка специального вида ^(у); изучение основано на идее факторизации пучка .

Теорема 4. Если выполнено условие

I\Со 1 11 <//+2, (16)

то пучок допускает факторизацию

= , (17)

где (у) голоморфна и голоморфно обратима в некоторой связной, симметричной относительно И окрестности и отрезка [ 0 , N +2 ) , ге Я и а (г) С (- с , N +2 - е ) при достаточно малой с > 0. Оператор X имеет структуру г = (1 + 8)Со1, веБи, (/ + Б )-1 е 51.

Наличие у 2 симметризатора ^ е 91 , » 0 в Нр, Р = I + , Т\ € , позволяет изучить свойства собственных векторов спектральной задачи.

Теорема 5. При выполнении условия (16) задача 1 1

(15) при <о > N + , имеет дискретный спектр, состоящий из счетного множества нормальных собственных значений с единственной предельной точкой на бесконечности. Система собственных векторов пучка ^(у) , отвечающая собственным

-JO-

л

значениям из отрезка [ 0, N + ) , образует базис Рисса и р-базис в пространстве Н г .

Далее в работе исследуется влияние неоднородности жидкости по плотности. Оказывается, что неоднородность порождает внутренние волны, распространяющиеся во всем объеме жидкости.

Теорема 6. Отрезок 10 = [ 0, N + ] принадлежит предельному спектру задачи (14). Ему отвечают внутренние волны в неоднородной жидкости.

В §6 проводится исследование нормальных колебаний жидкости, частично заполняющей сосуд, в частном случае, описанном в §2. Исходная начально-краевая задача допускает отделение угловой и временной переменных в виде бегущих волн, когда зависимость полей смещений и давления от времени и угловой переменной имеет вид

ехр [/ (cot- тв) ], т = 0 , ± I , ± 2 ,..., (18)

а вертикальная компонента z отделяется б виде

cos — , Л = 0,-1, 2,... . (19)

После исключения всех амплитудных функций для радиальной компоненты поля смещений получено счетное множество одномерных спектральных задач (б) с граничными условиями

и. (Л,) - О,

[ п о' (г) {(>п/г)2 + (лк/h )2) ] ~l w ' (г) = A2 w (г) (г = R2) . (20)

Задача (6), (20) есть задача со спектральным параметром как в уравнении, так и в краевом условии.

- Исследование задачи (6),(20) приводит к следующим физическим и математическим выводам:

1) В идеальной жидкости существуют внутренние волны,, обусловленные неоднородностью поля плотности вдоль радиуса. Спектр частот . внутренних волн образует счетное множество, плотное на отрезке [— N + , N].

2) При наличии свободной поверхности наряду, с внутренними волнами в жидкости имеются поверхностные волны, родственные обычным поверхностным волнам в однородной жидкости. Спектр их частот дискретен, расположен на действительной оси вне отрезка [— N + ,N + ] и имеет две предельные точки.

3) Собственные функции спектральной задачи и построенные по ним собственные поля смещений образуют ортогональные базисы в некоторых гильбертовых пространствах.

4) Свойство базисности собственных функций позволяет получить разложение решения начально-краевой задачи в ряд Фурье по собственным функциям.

В конце §6 получены асимптотические формулы для частот поверхностных волн.

В §§7,8 рассматриваются задачи, аналогичные описанным в §§5,6, однако снова при наличии равномерного вращения системы.

Так, в §7 изучены колебания идеальной неоднородной жидкости, частично заполняющей произвольный сосуд, равномерно вращающийся вокруг вертикальной оси Охз с постоянной угловой скоростью со о .

После проектирования уравнения движения исходной начально-краевой задачи на подпространства (12) приходим к дифференциальному уравнению второго порядка в гильбертовом пространстве Н р:

,2 ,

y-f-2w0fKx + B(co0)x + CT(p0)x = f, (21)

х(0) = *°, д: ' (0) = х

с операторными коэффициентами В (со0) = В *(со0) , 0 < В (со0) < N 2+(<об) IГ,

К = -К* , 11 JsT 1 »

С г(«о) = diàg (0 , С (<о0)) ,

СН) = А г1/2 (Ро(*)^)'гАг 1/2 » 0.

С учетом свойств операторов В (coq) и С г(са0) доказана теорема о корректной разрешимости задачи (21).

Рассмотрены нормальные колебания системы, приводя-^ щие к спектральной задаче

cü2x-2oj0(oKx-D0x = 0, К = — i К. (22)

Исследование спектра задачи (22) показало, что частоты колебаний образуют объединение двух множеств: предельный спектр, который совпадает с предельным спектром задачи (9), а также дискретный спектр собственных значений (при 1« 1> си0 + V£u £ + N + (су0) ) с предельной точкой на бесконечности. Дискретному спектру отвечают поверхностные волны, родственные волнам на поверхности однородной вращающейся жидкости. Предельному спектру отвечают внутренние волновые движения в неоднородной вращающейся жидкости.

Доказана теорема о том, что при выполнении условия ;.,(С0) > 4 а0 (щ + V о t> + N %(а,0) ) + N %(со0) , (23)

где -¿¡(О;) - минимальное собственное значение оператора С0, из совокупности мод поверхностных волн можно выделить систему векторов, полную и минимальную в Н р и образующую базис Рисса, а точнее /»-базис при р > 2. При отсутствии условия (23) собственные функции образуют р . - базис с точностью до конечного дефекта.

В §8 рассматриваются малые колебания идеальной неоднородной жидкости в открытом врашаюп-'емся сосуде, образованном сооскыми круговыми цилиндрами (радиусов В.\ и R2 , высотой а ) и находящемся" во внешнем цилиндрически симметричном поле массовых сил с потенциалом П о(г). Исходная начально-краевая задача после разделения переменных в виде (18),(19) и исключения всех амплитудных функций, кроме радиальной компоненты поля смещений, приводит к счетному множеству одномерных спектральных задач (11) с граничными условиями

» №) = О,

. w ' (г) = /} П (г) ((т/г)2 + (nk/h)2) w (г) -2 <ул т

- л -— w (г) (г = R2). (24)

Эти задачи похожи на классические задачи Штурма-Лиувилля, однако здесь спектральный параметр полиномиально (полином второй степени) входит как в уравнение, так и в граничное условие. .

Исследование спектральной задачи (11),(24) приводит к следующим выводам:

1. Спектр квадратов частот внутренних волн образует множество, плотное на отрезке [ 0 , N +(«0) + 4 <у0 ].

2. При каждом кит задача (11),(24) самосопряженная и имеет дискретный вещественный спектр

= 1 с предельными точками Я = ± . Все собственные значения Лдтп> кроме, быть может, одной пары, рас-

1 2 2 —— I

положены в зоне \Х I > (Ы + (со0) + 4 су0 )

3. При достаточно больших к и т задача имеет пару собственных значений, расположенных в области

1Л 12< (Л^Оо) + 4су^)-1 .

4. Указанным парам собственных значений отвечают поверхностные волны, родственные обычным поверхностным волнам в однородной вращающейся жидкости. Спектр их частот лискретрн, расположу вне отрезка [— V N +(«0) + 4 ио , N 4. (<у0) + 4 о)0 ] и имеет предельные точки ± со .

5. Собственные поля смешений исходной начально-краевой задачи, отвечающие собственным функциям спектральной задачи, образуют ортогональный базис в некотором гильбертовом пространстве. Это позволяет получить разложение решения исходной эволюционной задачи в ряд Фурье по собственным функциям.

В §8 получены также асимптотические формулы для поверхностных волн, возникающих в неоднородной вращающейся жидкости.

Основные необходимые понятия и определения, связанные с вопросами гидродинамики неоднородной жидкости, приведены в приложении П1. В приложениях П2-П13 проводятся доказательства ряда утверждений, сформулированных в тексте диссертации.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Николаю Дмитриевичу Кспачевскому за постановку задач и постоянную помощь в работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Смирнова С.И. Операторы векторного анализа и гидродинамики неоднородной жидкости / Симфероп. ун-т.-Симферополь, 1989. - 35 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 14.03.89, N 765-Ук89.

2. Смирнова С.И. Свободные колебания идеальной неоднородной жидкости в полностью заполненном сосуде / Симфегхзп. ун-т. - Симферополь, 1989. - 19 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 15.03.89, N 772-Ук89.

3. Смирнова С.И. Колебания идеальной неоднородной несжимаемой жидкости, полностью заполняющей сосуд, образованный соосными круговыми цилиндрами / Симфероп. ун-т. - Симферополь, 1992. - 28 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 18.09.92, N 1450-У к92.

А. Смирнова С.И. Колебания идеальной неоднородной несжимаемой жидкости в полностью заполненном вращающемся сосуде / Симфероп. ун-т. - Симферополь, 1992. -58 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 01.10.92, N 1502-Ук92.

5. Смирнова С.И. Колебания идеальной неоднородной несжимаемой жидкости, частично заполняющей сосуд, образованный соосными круговыми цилиндрами / Симфероп. ун-т. - Симферополь, 1992. - 54 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 26.10.92, N 1748-Ук92.

6. Смирнова С.И. Малые колебания идеальной неоднородной жидкости в открытом вращающемся сосуде, образованном соосными круговыми цилиндрами / Симфероп. ун-т. - Симферополь, 1993. - 55 с. - Деп. в ГНТБ Украины 10.03.93", .\т 4 2 7-У к 93.

7. Копачевский Н.Д., Смирнова С.И., Темпов А.Н., Царьков М.Ю. Проблемы собственных колебаний неоднородной жидкости в водоеме / Проблемы комплексной автоматизации гидрофизических исследований: Тез. докл. Севастополь, 1989. - С. 98-99.

8. Копачевський М.Д., Смирнова СЛ., Темнов О.М. Про ма.'п рухи стратиф1ковачо1 риини, шо обертаеться / Спектр, и эволюц. задачи: Тез. докл. - Киев: УМК ВО, 1991. - С. 32-33.

9. Смирнова СЛ. Коливання щеально! неоднорщноТ риини, що цЬком заповнюе посудину, утворену стввкними круговими цил*ндрами / Спектр, та еволюц. задачи Тез. доп. - Зип. 2. - Ки1в; Омферополь: СДУ, 1993.

С. 92-93.

10. Kopachev,sky N.D., Smirnova S.I. Oscillations of a cylindrically inhomogeneous rotating fluid in a container of special form / Спектр, и эволюц. задачи: Тез. лекц. и докл. - Вып. 3. - Симферополь: СГУ, 1994. - С. 45-47.

11. Kopachevskv N.D., Smirnova S.I. Proper oscillations of a cylindrically inhomogeneous fluid between coaxial cylinders / Спектр, и эволюц. задач;:: Тез. лекц. и докл. - Вып. 3. - Симферополь: СГУ, 1994. - С. 44-45.