Исследование колебаний вязкой неоднородной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

р Г 5 ОД 1 1 № 1398

На правах рукописи

КРАВЦОВ АНДРЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЗЯЗКОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ

01.01.03—математическая физика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико—математических наук

Москва—1996

Работа выполнена на кафецре математики физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико—математических наук, профессор С.Я. Секерж-Зенькович доктор физико—математических наук, профессор А.Г. Свешников

Официальные оппоненты:

доктор физико—математических наук,

профессор В.А. Самсонов

доктор физико—математических наук,

профессор A.B. Нестеров

Ведущая организация:

Московский Государственный Строительный Университет

на заседании Специализированного совета N2 отделения экспериментальной и теоретической физики физического факультета МГУ (К 053.05.18) по адресу:

Защита состоится

»

IL..» 1996 г. в ...f.£.

часо]

117485, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, аудитория N .

Автореферат разослан n..frß..

Учёный секретарь Специализированного совета доктор физико—математических наук

Поляков Г.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Задачи динамики вязких стратифицированных жидкостей в ограниченных областях являются достаточно трудными и малоразрабо-танвыми задачами математической физики. Однако, различные проблемы геофизики и техники приводят к необходимости все более тщательного математического исследования волновых движений вязких стратифицированных жидкостей. Например, проблемы, связанные с сейсмоустойчивостью больших резервуаров с жидким топливом или водой, транспортировкой нефти в танкерах, создали ем антивибрационных устройств, требуют изучения задач колебаний стратифицированных жидкостей в под вижных сосудах, свободных колебаний подобных жидкостей и т.д. Поэтому тема диссертации является достаточно актуальной.

Целью работы является аналитическое исследование свободных колебаний вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости, а также параметрических и вынужденных колебаний вязких экспоненциально стратифицированной и двухслойной жидкостей.

Научная новизна работы состоит в том, что:

1. Впервые методы пограничных функций и усреднения применены к исследованию линеаризованных задач о неустановившихся колебаниях вязкой стратифицированной жидкости.

2. Построены формальные асимптотические разложения по малому параметру решений следующих сингулярно возмущенных задач:

(а) задачи о свободных колебаниях вязкой несжимаемой экспоненциально стратифицированной жидкости;

(б) задачи о параметрических колебаниях вязких несжимаемых экспоненциально стратифицированной и двухслойной жидкостей;

(в) задачи о вынужденных колебаниях вязких несжимаемых экспоненциально стратифицированной и двухслойной жидкостей.

Научная и практическая ценность. Научная ценность результатов состоит в расширении класса сингулярно возмущенных задач, к которым применимы асимптотические методы теории сингулярных возмущений. Практическая ценность результатов заключается в установлении явных приближенных решений, удобных для практического применения в ряде гидродинамических приложений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по теории нелинейных колебаний и волн ИПМ РАН и на семинарах по асимптотическим методам кафедры математики физического факультета МГУ.

По материалам диссертации опубликовано две работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы из 44 наименований. Объем диссертации 82 страницы, включая оглавление и список литературы.

Содержание работы

Во введении дается общая характеристика рассматриваемой проблемы, обосновывается актуальность ее исследования, формулируется цель работы, приводится обзор литературы и краткое изложение содержания глав диссертации.

В первой главе рассматривается линеаризованная задача о свободных двумерных колебаниях вязкой экспоненциально стратифицированной несжимаемой тяжелой жидкости в замкнутом сосуде.

С помощью функции тока и, исходная векторная задача приводится к скалярной, которая в безразмерном виде имеет малый параметр (пропорциональный корню из кинематической вязкости) при старшей производной и поэтому является сингулярно возмущенной. Функция тока II представляется в виде

11(х,г,г) = И^(а;,2)ехр(Ш)

где Л—частота колебаний, надлежащая определению.

При построении асимптотического решения задачи для функции IV используется метод пограничных функций теории сингулярных возмущений. Собственная функция и соответствующее собственное значение ищутся в виде

и' = « + ЕПсч

/=1

и = Щ + £щ + с2и2 -I-...

Л = А0 +- £А1 + е2А2 + -

где и—регулярная часть асимптотического разложения, а П^ (/ = 1,2,3,4)—погранслойные части.

Построено в явном виде нулевое и первое приближение, т.е. функции щ, и числа А* (к = 0,1). При этом установлено, что Яе(\1) < 0 (т.е. колебания являются затухающими) в то время как

1т({\ 1) (поправка к частоте колебаний соответствующей идеальной жидкости)—знакопеременная величина, что является достаточно необычным для механических систем.

Во второй главе решается линеаризованная задача о параметрическом возбуждении внутренних волн в вязкой стратифицированной несжимаемой тяжелой жидкости в замкнутом сосуде, который совершает вертикальные колебания по закону: — «совШ, где л амплитуда, П — частота колебаний. В предположении, что кинематическая вязкость жидкости и перегрузка &0?/д (д—ускорение силы тяжести) являются малыми величинами, строится асимптотическое разложение решения задачи с использованием методов пограничных функций и усреднения Крылова—Боголюбова.

В §2.1 исследуются двумерные параметрические колебания вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости.

Векторная задача с помощью функции II, определяемой соотношениями

= &и_ = &Ц

дхЫ ' ~ дхЫ

сводится к скалярной, асимптотическое решение которой строится в

виде

1=1

и = По + £Щ + £2и2 + ...

где и—регулярная часть асимптотики, П^ (I = 1,2,3,4)— погранслойные части, е— малый параметр, пропорциональный корню из кинематической вязкости V.

6

Функция «о имеет вид

и0 = Сехр^—^0(:с,.г)со51/>

а все остальные функции П^' (к = 1,2,...;/ = 1,2,3,4), считаются зависящими явно от амплитуды С и фазы ф основной гармоники «о-Согласно идеям метода усреднения Крылова—Боголюбова, сами амплитуда С и фаза ф изменяются во времени согласно уравнениям

^ = еА,(С,в) + е2Л2(С,в)+ ... (5)

^ = Д + еВ1{С, в) + ггВ2(С, 9) + ... ал

где функции Ак(С,в)у (к = 1,2,...) подлежат определению,

Д = и —П/2—"расстройка" частот, т.е. рассматриваются колебания вблизи главного параметрического резонанса.

Найдены функции щ, получены условия параметрического усиления внутренних волн—границы резонансных зон и значение пороговой амплитуды колебаний сосуда.

В §2.2 исследуются трехмерные параметрические колебания вязкой двухслойной жидкости.

Исходная система уравнений сводится к эквивалентной путем представления векторов скоростей (т = 1,2) частиц жидкостей в виде суммы потенциальной и вихревой составляющих

ит = -Ъ<Рт +

Решение сингулярно возмущенной задачи для vm и возвы-

шения 7 границы £ раздела жидких слоев строится в виде

7

<рт= Фт= Фт0 +■ £Фт1 + е2Фт2 + -

V™ = Svm + = 50тга + евг^т + ... + ЕоУт + + ...

7 = »7о + £»?1 + ...

Здесь Фт—регулярная часть асимптотического разложения, а и —погранслойные, существенные лишь вблизи стенок сосуда Зт и границы раздела Е соответственно; е— малый параметр, пропорциональный корню из кинематической вязкости г/2 < ¿'г)- Функции щ определяются через функции Фта* и причем Фтао имеют вид

Фтоо = С[то(М)созф а функции Ф^+ь щ (А; = 0,1,...) считаются зависящими

от С и явно.

Построено формальное нулевое приближение и найдены условия главного параметрического резонанса.

В третьей главе рассматриваются вынужденные колебания вязкой стратифицированной жидкости в замкнутом сосуде формы прямоугольного параллелепипеда £>, у которого на одной из вертикальных стенок (х = а), частицам жидкостей сообщаются нормальные скорости по заданному закону /собШ, где П=сопб1.

В § 3.1 исследуются вынужденные двумерные колебания вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости. Функции тока V вводится так же, как в первой главе. Для функции тока 17 получается задача с граничными условиями

и |г,= £7/(г)со8Ш , V |Га=

= 0

г

где Г1—часть границы Г области В при х — а, Г2— остальная часть границы Г, а £ <С 1, т.е. считается, что амплитуда внешнего воздействия и кинематическая вязкость являются величинами одного порядка малости.

Асимптотическое решение строится по схеме, разработанной во второй главе, но теперь в(1.) = ф — Ш, А = ш - П. Получено стационарное нулевое приближение, имеющее резонансный характер.

В § 3.2 исследуются вынужденные колебания вязкой двухслойной жидкости. Задачи для (т = 1,2) имеют неоднородные гра-

ничные условия на вертикальных стенках при х = а

V<Рт = V™ + £Цех/т(у, г)соэШ , т = 1,2

где 7 = 0(1), £ € 1, т.е. предполагается, что амплитуда внешнего воздействия и кинематические вязкости являются величинами одного порядка малости.

Асимптотическое решение строится по схеме, разработанной во второй главе при 9{1) = ф — Ш, Д = и> — П. Получено стационарное нулевое приближение, имеющее резонансный характер.

В заключении сформулированы основные результаты работы, которые заключаются в следующем

1. Использованием теории сингулярных возмущений и метоца усреднения построены приближенные решения задач о свободных колебаниях вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости, о параметрических колебаниях вязких экспоненциально стратифицированной и двухслойной жидкостей, о вынужденных колебаниях вязких экспоненциально стратифицированной и двухслойной жидкостей.

2. Для задачи о свободных колебаниях вязкой экспоненциально

стратифицированной жидкости выведены формулы для декремента затухания и поправки к собственной частоте колебаний соответствующей идеальной жидкости.

3. Для задачи о параметрических колебаниях вязких экспоненциально стратифицированной и двухслойной жидкостей получены условия главного параметрического резонанса.

4. Для задачи о вынужденных колебаниях вязких экспоненциально стратифицированной и двухслойной жидкостей получена амшгатудно—частотная характеристика установившихся колебаний.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Кравцов A.B., Секерж-Зенъкович С.Я. Параметрическое возбуждение колебаний вязкой двухслойной жидкости в замкнутом сосуде// Журн. вычисл. мат. и матем. физики. 1993. т. 33. N4. с. 611—619.

2. Кравцов A.B., Секерж-Зенъкович С.Я. Собственные колебания вязкой непрерывно стратифицированной жидкости в замкнутом сосуде// Журн. вычисл. мат. и матем. физики. 1996. т. 36. N2. с. 119—125.

$ем гг/р 60

ю