О волновых движениях стратифицированной вращающейся жидкости, возбуждаемых движущимися источниками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Постановка и исследование внешней начально-краевой задачи о внутренних волнах во вращающейся жидкости, возбуждаемых бегущей по дну периодической волной.

§1.1 Двумерное уравнение внутренних гироскопических волн и постановка задачи А.

§ 1.2 Явное решение задачи А. Доказательство теорем существования и единственности.

§1.3 Асимптотические свойства решения задачи А при больших временах.

§ 1.4 Обсуждение результатов.

§ 1.5 Некоторое обобщение задачи А.

Глава 2. О колебаниях вращающейся жидкости при наличии стратификации, возбуждаемых плоской бегущей по дну волной.

§ 2.1 Двумерное уравнение гравитационно-гироскопических волн и постановка задачи.

§ 2.2 Явное решение и разрешимость задачи В.

§ 2.3 Асимптотика решения задачи В при больших временах.

§ 2.4 Обсуждение результатов.

Глава 3. О процессах в стратифицированной вращающейся жидкости, возбуждаемых волной, бегущей по наклонному дну.

§3.1 Постановка задачи для двумерного уравнения гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска и единственность решения.

Настоящая работа посвящена исследованию начально-краевых задач для уравнений составного типа, описывающих нестационарные внутренние волны во вращающихся и стратифицированных жидкостях. В настоящее время в связи с увеличивающимися потребностями таких прикладных наук, как геофизика, океанология, физика атмосферы, плазмодинамика и рядом других проблем возрос интерес к изучению динамических характеристик различных неоднородных и, в том числе, стратифицированных и вращающихся жидкостей. В экспериментальных наблюдениях, а также при рассмотрении некоторых частных теоретических задач накоплен большой фактический материал, нуждающийся в теоретическом осмыслении. Поэтому вопрос о развитии математического моделирования в этой области стоит как никогда остро.

Конечно, для детального описания волновых процессов в жидкостях, обладающих специфическими свойствами, требуются достаточно развитые математические модели, зачастую нелинейные, многопараметрические, которые доступны эффективному исследованию лишь с привлечением численных методов. Однако часто первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить на основе более простых линейных моделей и аналитических методов исследований. Это оказалось характерным для задач динамики вращающихся стратифицированных жидкостей. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам, что определяет 5 наряду с нетривиальными физическими следствиями и самостоятельный математический интерес к этим проблемам.

Значительная роль, отводимая в современных научных исследованиях простым модельным задачам, обусловлена не только разрешимостью их в явном виде, но и тем, что они выступают в качестве своеобразных «эталонов» для проверки различных приближенных и численных методов. С другой стороны, при получении явного представления решений нередко удается выявить весьма тонкие эффекты в модели, которые ускользают при общем рассмотрении, что, в свою очередь, стимулирует и ориентирует направление ведения последних.

В изучении динамики внутренних волн существует в настоящее время два принципиально различных подхода. Первый из них связан с непосредственным рассмотрением векторной системы уравнений гидродинамики [1]-[2], второй подход основан на ее редукции на основе потенциальной функции к одному скалярному уравнению и последующему изучению для него начально-краевых задач, что, несомненно, удобно для построения явных решений в конкретных случаях. Наиболее ярко связанные с ним выгоды проявляются при использовании численных методов, где сокращение большого числа искомых величин компонент векторов до одной скалярной приводит к значительной экономии машинного времени. Один из способов, близкий ко второму методу из отмеченных выше подходов, был предложен в работе С. А. Габова [3], он заключается в рассмотрении специфической системы двух скалярных уравнений. В рамках первого подхода следует отметить работы В. Н. Масленниковой [4]-[5], Н. Д. Копачевского и его учеников [6]-[7]. В настоящем исследовании используется вторая возможность сведения системы к уравнению составного типа четвертого порядка, аналогичному известному уравнению Соболева [8]: 6 д2

1) —vA,u + a urr = 0, di2 где a - удвоенная частота вращения вокруг оси Ох3.

Начало изучения неклассических уравнений математической физики в применении к вопросам гидродинамики восходит к классическим трудам Love, Lamb, Gortler. Однако историю строгих математических исследований следует, по-видимому, отнести к основополагающей работе С. JI. Соболева «Об одной новой задаче математической физики», где был представлен вывод уравнения малых колебаний однородной вращающейся жидкости. Исследования в этом направлении были продолжены Р. А. Александряном [9], Т. И. Зеленяком [10], В. Н. Масленниковой [7] и другими [11]-[13].

Позднее было замечено, что между внутренними волнами, распространяющимися во вращающихся и в стратифицированных жидкостях, существует аналогия, проявляющаяся в математическом плане в общности уравнений, описывающих эти процессы. Систематические исследования этого вопроса можно найти в монографиях С. А. Габова и А. Г. Свешникова [1], [2] а также в [14]-[18].

Наиболее часто встречающейся является плотностная стратификация, причиной которой служит сила тяжести, создающая в среде распределение частиц, при котором возникает ее неоднородность вдоль направления гравитационного поля. В случае экспоненциальной стратификации: р() (х3) = р() (0)ехр{- 2 fix-,}, где /? - параметр стратификации, соответствующей, например, больцмановскому закону, хорошо описывающему распределение плотности в атмосфере, а также выступающему в роли неплохой аппроксимации для распределения плотности в различных жидкостях, основное скалярное уравнение, 7 описывающее динамику малых колебаний несжимаемой стратифицированной жидкости, выглядит следующим образом: оказавшейся постоянной в данном случае (g - ускорение свободного падения). Это один из важнейших параметров, характеризующих динамические свойства системы.

Если жидкость находится кроме того в состоянии равномерного вращения вокруг оси Ох3, то необходимо учесть действие силы Кориолиса, что приводит к появлению дополнительного члена в уравнении внутренних гравитационно-гироскопических волн:

Следует однако отметить, что несмотря на тесную связь с задачами теории вращающейся жидкости, динамика внутренних волн в среде со стратификацией изучена значительно слабее.

Одним из важных частных случаев уравнений (2), (3) является приближение Буссинеска [19]-[22], отражающее с физической точки зрения предположение о слабой стратификации жидкости, что формально сводится к замене величины /?, характеризующей масштаб стратификации, нулем. Эта математическая модель, в определенном смысле, может считаться полностью изученной [23]-[27]. Целый ряд авторов как у нас в стране, так и за рубежом [28]-[35] посвятили себя рассмотрению ее частных случаев и связанных с ней начально-краевых задач. Среди последних публикаций в этой области следует отметить работы В. А. Боровикова [36], С. Т. Симакова [37], П. А. Крутицкого [54]. С другой стороны, существенно большее поле для исследований где квадрат частоты Вейсяля - Брента, 8 оставляет за собой полное уравнение внутренних волн, возникающее при обсуждении длинных волн или волн в сильно стратифицированных жидкостях. При этом оказывается, что учет «небуссинесковских» членов приводит в конечном счете не только к внесению некоторых уточнений в волновую картину, но и к выявлению важных качественно новых эффектов, таких, например, как явление квазифронта [38], [2], [25], в связи с чем рассмотрение полных уравнений динамики стратифицированной жидкости также представляется интересным.

Сравнительно недавно А. С. Габов [39] обратил внимание на тот факт, что нестационарные ионно-звуковые волны в незамагниченной плазме тоже описываются уравнениями, родственными уравнению Соболева [40], [41]. Неклассические дифференциальные уравнения возникают и при рассмотрении задач, связанных с электромагнитными волнами в длинных линиях передач с распределенными параметрами [42]. Значительное расширение области приложения уравнений составного типа в качестве математических моделей нестационарных волновых процессов в широком классе физических проблем получено в недавней работе М. О. Корпусова, Ю. Д. Плетнера и А. Г. Свешникова [93]. Таким образом, математический аппарат, разработанный для изучения уравнений составного типа, оказался достаточно универсальным и применимым для изучения начально-краевых задач в научных областях, отличных от гидродинамики стратифицированных и вращающихся жидкостей.

Одним из наиболее плодотворных методов исследования граничных задач является метод потенциалов, позволяющий свести изучение дифференциальной задачи к исследованию соответствующего интегрального уравнения. История развития метода восходит к И. Фредгольму, Ж. Жиро и другим. Замечательно, что он применим не только к стационарным задачам, но и к задачам эволюционного типа, то 9 есть к начально-краевым задачам. В частности, для изучения уравнений типа Соболева потребовалось построение так называемых динамических потенциалов, которые являются аналогами классических объемного потенциала и потенциалов простого и двойного слоя [43], что было проделано Б. В. Капитоновым [44] и В. В. Сказкой [45]. Теория динамических потенциалов для уравнений гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска была разработана С. А. Габовым и А. Г. Свешниковым [1], [2]. Отметим, что С. А. Габовым в работе [46] были построены динамические логарифмический и угловой потенциалы - аналоги соответствующих гармонических потенциалов для двумерного уравнения Лапласа [47]-[49]. Полученные в [1]-[2] результаты были эффективно использованы для доказательства классической разрешимости начально-краевых задач для уравнений (2), (3) в приближении Буссинеска. Дальнейшее развитие теория динамических потенциалов получила в исследованиях А. С. Габова и Ю. Д. Плетнера [50]-[53]. Приложениям теории динамических потенциалов к краевым задачам в многосвязных областях для классических уравнений и уравнений составного типа посвящены работы П. А. Крутицкого [54]-[55]. Изучение начально-краевых задач для полных уравнений составного типа содержится в статьях Ю. Д. Плетнера [56], [57],[25] где было построено фундаментальное решение для общего уравнения составного типа. Исследования в этом направлении можно обнаружить в трудах [58]-[61] А. Г. Свешникова, Ю. Д. Плетнера, X. Б.Аллахвердиева, А. В. Красножон. Среди зарубежных исследований отметим работу Appleby J. С., Grighton D. G. [62].

В настоящей работе продолжаются исследования нестационарных задач динамики колебаний стратифицированной и вращающейся жидкости, возбуждаемых краевым режимом, заданным на плоском дне, причем новым является то, что в граничном условии в постановке задач

10 берется модельное распределение нормальной составляющей скорости в виде бегущей по дну периодической волны. Таким образом, рассматриваемые задачи являются простейшим случаем задач о движущихся источниках во вращающихся и стратифицированных жидкостях. Заметим, что существенным аспектом исследования является возможность рассматривать общий случай произвольной ориентации дна. Нестационарность задач позволяет проследить за временной эволюцией модели.

В предыдущих исследованиях С. А. Габова и А. Г. Свешникова [2], [63] большое внимание уделялось вопросу существования режима установившихся колебаний в случае, когда неподвижный объект, вызывающий возмущение в жидкости, после истечения переходного периода начинал совершать гармонические колебания заданной частоты. В данной работе по-прежнему весьма интересным остается изучение стабилизации волновой картины, устанавливающейся при больших временах.

Целью данной работы является:

1. Исследование модельных начально-краевых задач для уравнений типа Соболева, допускающих получение явного аналитического решения, в случае задания граничного условия в виде бегущей по горизонтальному дну плоской волны.

2. Использование динамических потенциалов для уравнения двумерных внутренних волн в приближении Буссинеска для построения и изучения с их помощью решения начально-краевой задачи о возбуждении гравитационно-гироскопических волн краевым режимом в виде плоской периодической волны, бегущей по дну произвольной ориентации по отношению к оси вращения и направлению стратификации.

11

3. Исследование асимптотического поведения полученных решений выше перечисленных задач при больших временах и попытка дать их физическую интерпретацию.

Обратимся теперь к систематическому изложению результатов, полученных в настоящей работе.

Первая глава посвящена исследованию процесса распространения двумерных гироскопических волн в невязкой однородной вращающейся жидкости.

В § 1.1 проведена редукция векторной системы уравнений Эйлера к одному скалярному уравнению в безразмерных переменных для потенциальной функции - функции тока, описывающему динамику рассматриваемого процесса: д2

-^А2и(х,1)+иХзХз = 0, где и = и(х,(), х = (хг,х и поставлена для него начально-краевая задача, в которой в качестве граничных условий предлагается распределение поля нормальных скоростей на дне жидкости в виде плоской бегущей волны:

2) и{х,1\х^=ф)/{хх-а) + С,{1), где ф) е С2 ([О, оо)), 77(0) = т]{ (0) = 0, и 3 Т > 0, что при1>Т ф) = 1 а функция /(у)е = /{у + 2лк\к- целое, С0 (/) подлежит определению. Для дальнейшего существенным оказывается тот факт, что граничная функция разложима в ряд Фурье.

Ищется 2тг- периодическое по переменной х, в полупространстве я2+ = {(х1,х3)е я2, х3 >0} решение из класса С2[[0,оо),с2(л2)], где оно должно удовлетворять предположению об отсутствии источников на бесконечности:

12

3) 0"эрх и(х, ^ < С(/)ехр{- Зх3}, х3 > О при х3 —> оо, к = 0,2, р = 0,1, у = 1,3, 0 < 8 < 1 и нулевым начальным условиям:

4) и(х,0) = г/Дх,0) = 0.

В § 1.2 строится с использованием преобразования Лапласа явное решение задачи в виде ряда, члены которого имеют очень удобную для дальнейших рассуждений интегральную форму:

00

5) и(х, 0 = X {ехР {гш:1 0ехР г \п\хз}"

СО я#0 л ехрк )Л]7ЙИЬ Ц-гМ -т) где vn(0,t) = ай^(/)ехр{- inet} п е Z, п ^ О,

1 1п а -— [/(z)exp{- inz}dz, - коэффициенты Фурье граничной In J функции, определяется функция CQ (t) = -a0rj(t). Доказываются теоремы о существовании и единственности решения, в первой из которых исследуется сходимость рядов, а во второй вводится понятие энергетического класса Д, содержащего в себе функции, обладающие непрерывными по (х,t) производными Dfu(x,t), D*DXju(x,t) в каждой замкнутой области Q = {(х1?х3) е R2 : R > х3 > е > 0, |xj| < r}x [0,Г], где Т > 0, s е R > R0, к = 0^2, j = 1,3.

Затем используется широко применимый для задач данного класса метод энергетического тождества, имеющего непосредственно для этой задачи вид:

13

6) lV2Ml2(n) + и I i l2{ q) J ^uTNV(ud{dQ)dT,

0 8Q где под Nlx понимается следующий граничный оператор: л, 52 5

AL =—г-ч д^ дпх х л/дх3 пх - нормаль в точке х е 50, еъ- орт оси Ох3.

§1.3 посвящен изучению процессов, устанавливающихся в жидкости при больших временах, и выводу основной формулы главы, содержащей в себе асимптотику по X решения задачи: пс

7) u(x,t)= anQxpUnxl-i\n\x3 - .

0<|ис|<1 [ л1\-П2С2 inet 2Х ехр

1лс|>1 п2\с\

IfiX^ X ^ inet и(х, t), л/Л^Т где lim\и{х,П = 0 Vx = (х,,х3) е R2+ .

При этом потребовалось по отдельности рассмотреть два случая: \пс\ > 1 и \пс\ < 1, связанных с сингулярностью интегралов во втором из них и обосновать право менять местами интегрирование и суммирование, а также осуществлять предельный переход под знаком интеграла. Из (7) следует возможность существования при больших временах в жидкости двух видов волновых движений - распространяющихся волн и колебаний, затухающих экспоненциально в пространстве по направлению перпендикулярному дну.

§ 1.4 содержит физическую интерпретацию полученных результатов, отмечая наличие весьма интересных с этой точки зрения эффектов, таких, как резкое увеличение амплитуды параллельных дну компонент скорости определенных гармоник и связь наличия существования в жидкости распространяющихся плоских волн с параметрами,

14 характеризующими вращение и источник возмущения, поскольку согласно формуле (7) при достаточно больших временах нормальные нестационарные волны ип (х, имеют различную структуру в зависимости от соотношения величин \пс\ и «1». При этом учитывается связь функции тока с компонентами скорости частиц жидкости: {у1?уз }=\иХъ-иХх}.

Заключительный § 1.5 посвящен обобщению задачи А на более широкий в физическом понимании класс задач о движущихся осциллирующих источниках, что формально отражается в изменении граничного условия (2) на выражение (2.а) и\г = /(х, - с/)ехр{- т{\ + С0 (?), в котором со > 0 - частота колебаний объекта. Рассматриваются отличия этой модификации от исходной задачи А, отмечается, в частности, сдвиг центра симметрии номеров вырезаемых средой незатухающих гармоник из нуля. Приводится сопоставление с задачами о неподвижном осциллирующем возбудителе возмущений при с = 0.

Во второй главе обсуждается характер распространения и типы волн в экспоненциально стратифицированной вращающейся жидкости.

В § 2.1 отмечены отличия, возникающие при выводе из векторной системы уравнений гидродинамики скалярного уравнения для функции тока, связанные с наличием в жидкости стратификации. Далее для этого уравнения гравитационно-гироскопических волн:

В) д(2 а' дхх д (

Ро з) д<р дх{ дх,

Ро(хз) д(р дх зу соп дх,

Л>(*з) д(р дх

1 У дх.

Ро(хз) д(р дх 0. зу

15 стратификация экспоненциальная с параметром /? > 0: Ро(*з)= Лехр{-2/? х3}, формулируется начально-краевая задача для ф(х, е С2 [[0,со),С2 (/?2)] с граничной функцией в виде бегущей по дну плоской периодической волны:

9) где г]{() е С02[[0,оо)], ЗГ > 0, что при г > Т ф) = 1, а функция ^(г) е С2 ЦО, оо)], ф(г) = ф(г + 2лк), к - целое, и другими условиями, идентичными задаче А из первой главы за исключением формы неравенства в требовании регулярности решения на бесконечности:

9а) (ехрЬАзКДХ^^ЖОехрЬ&з}, х, >0 при х3 -> оо, к = 0,2, р = 0,1, у = 1,3,0 < д < 1.

В § 2.2 наряду с обсуждением явного решения задачи, построенного в виде ряда выражений, содержащих интегралы

10) (р(х,= ехр{/&3 -шс/}ехр{-^п2 +/З2х3 коип--00 и*0 р +п где (10а) з»0 = — [ехР №2

2 п2 2 2 л /4 я + п с л

2 , „2 X

2 л2 . 2 2

2 2 ар +п о)0 а ¡илv

Г +п'

16 г

Jsii х jsin о 1

2 fy 2 , 2 i

22 а p +o)0n ju a +

3l +n' ц +1 t-r) exp{- ¿пст}г/(т)с1тс1р,

1 2к

Yn - — Г/(z)exp{- inz]dz, - коэффициенты Фурье, 2 n i г) - первообразной функции ф{хх -с{) по переменной х,, возникающая при этом интегрировании произвольная функция времени С0 (?) = -у^), исследуется ее разрешимость, то есть приводится доказательство теорем о существовании и единственности. Энергетическое тождество для задачи В выглядит следующим образом:

П)

СОп р

L2(p0(x3),n) ■ а

Р. х3

2II ' ' ni2(pote),íi) 2 t

О 5П лг2 д2 3 2 - \ & 2 - \ & в нем Nrt=—^-+ &>n cos(nr,e,)— + а coslw.e,)-.

XI л .2 л-» и \ Л 1 / >"4 V Д J J / ot дпх ох, ох3

§ 2.3 содержит в себе вывод асимптотики решения, где, как и в первой главе, активно используются методы теории функции комплексного переменного, хорошо развитая теория сходимости функциональных рядов, теорема Леви и асимптотические методы оценки интегралов. Решение при больших временах пред ставимо в виде ряда:

I о т ■■>

12) (p{x,t)~ ехр{/?х3 ехр исе/ пфО

2 2 2

2соп -п С „2 шл+л\п —т—;-~~Р x3-nct ч V п с -а

17 где 1ш1 \<р{х, п = 0 для х = (х1, х3) £ а2р2 +о)1п2 ^ в котором первое слагаемое можно условно назвать «волновым», поскольку аргументом экспоненты является чисто мнимое выражение, а второе - «затухающим».

§ 2.4 посвящен обсуждению физического смысла результатов предыдущих параграфов. Акцентируется внимание на явлении резонанса амплитуды скорости некоторых гармоник из числа незатухающих, распространяющихся в пространстве плоских волн. Производится сравнение характеристик процесса распространения возмущения в стратифицированной и вращающейся жидкости с аналогичными величинами для однородной вращающейся жидкости, рассмотренного в первой главе,и обсуждается возможность расширения постановки задачи на случай, когда движущийся источник совершает колебания заданной частоты.

В третьей главе продолжается изучение вынужденных колебаний экспоненциально стратифицированной вращающейся жидкости, возбуждаемых движущимися источниками, но существенным отличием является произвольная ориентация плоского дна по отношению к оси вращения и направлению стратификации.

§ 3.1 содержит постановку задачи в общем виде, где в качестве основного уравнения выступает уравнение гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска (модель со слабой стратификацией):

18

13) —+ +a2u 0. ъе л 0

На граничную функцию

14) и\г=к(з^), где дно Г = {(х,,х3)е Я2 : х1 = 5 • соз^,х3 = 5 • ътф, 5 е (- оо,+ао)}, ф - угол его наклона, накладываются условия общего порядка, заключающиеся в принадлежности определенному классу гладкости С2[[0,оо),С2(я+2)], и 2л- периодичности по переменной .V - параметру длины на дне. Построение 2тг- периодического по я - х, соъф + х3 зт^ решения из класса С2 [[0,со), С2 (£>)], удовлетворяющего условиям

15) м(х,0) = и1 (х,0) = 0,

16) D4D'u(x,t)

Hit) k = 0,2, р = 0,1, j -1,3 х, sin^-X3 COS^I^1 при j, |лг31 —> +00 , предполагается провести в полупространстве Q = {х3 cos^ - х, sin ф > 0}.

Далее с использованием метода энергетических тождеств приводится доказательство теоремы единственности решения, которое существенно опирается на свойство периодичности функции h(s,t).

В § 3.2 формулируется математическая постановка начально-краевой задачи для конкретной граничной функции в виде одной гармоники плоской бегущей волны, которая является одной из представительниц введенного в § 3.1 класса граничных функций:

17) и\ г = — exp{ik(s - ct)}rj(t) + C(t) = f(s, t) + C(t), ik где rj(t) - функция переходного режима, обладающая свойствам: rj(t) е Cj2) [0,+оо) и ЗТ > 0, что ф) = 1 при t>T, С(0) = С, (0) = 0.

19

Затем производится построение явного решения задачи. С этой целью вводятся в рассмотрение два динамических потенциала для уравнения (10):

18) ¿ИМ= ли / тг дпу 2л 1

1.

Л,, I в\у\х, 0=1 \у{у, т)р2уТ у,г- т )йГу <1 т, о г где у(х,г1)е С^([О,оо), С^(Г)), оператор (32х1 определяется равенством: п7 д2 ди ? / \ди 2 / \ ди дпх ох, дх3 пх -нормаль к границе Г в точке хеГ. Функция м>2 (х, имеет вид: 1 ' —1п|х| — |а

2л * Отг J

1 V

2ж |х| ^

Мг

V J йц + у- 11п(///)а?//, где / = ехр{С0}, С0-константа Эйлера, интегральный косинус: через 1x1 и 1x1 обозначены величины: 2

3 > таких, что м(х, ?) = #{у](х, г1) - Л[у](х, .

С их помощью решение задачи сводится к исследованию интегрального уравнения для неизвестной плотности !/(,?, /)

19) = *)7М

Очень удобным оказывается переход к Лаплас-образам функций, что позволяет найти явный вид преобразования Лапласа решения задачи:

20

L[u\p) = exp< - ко т]р2 + 0)1 VP +a2

20) p2 + a2 cos2 ф + й)2 sin2 x x exp ikrT cos^in^'-^) j p + a cos ф + со0 sin ф J и показать, в частности, что С(г) = 0.

В § 3.3, прибегая к помощи интегрального представления (20) осуществляется возвращение к оригиналам преобразования Лапласа:

21) ехр{-£ег}ехр{/Л;(б'-с* )М*) + -?

2т 3 х l - р2 )sin2^ + 2//cos ф 2 у I 2 2 , 2 • 2 / («2 -(о2Лсо$2ф-¿1$т2ф) о (// +1) Ja cos2 ф + (о0 sin2 ф - v " л 2 ^ -----г' I ехр{- ¿кст}х х r)sin а2 со82 2 • 2 , (« - <у0 Vcos 2^ - // sin 2^), ч

Ф + й>2 sin2 ф - Л- 2 -—(* л +1 did. ¡л.

С активным использованием аппарата теории функции комплексного переменного исследуется асимптотика при больших временах решения задачи, что находит свое завершение в основной формуле параграфа:

22) м(х, t)=и(х, t) + ехтэ! ik s-o d -<^)sin^cos^ ^ ot co^ ф+с$ sirf ф-к*с2 ^4-k2c2U-k2c2 n . exd-ko jk2c2-о%4к2с2-c?

V -d со£ф-с$ sitf ф а exp f ik s-o с? со£ф+о% siif ф-к2^

-et где lim Iи(jc, ti = 0 Vx e Q . f-»CО

Обсуждается случай \kc\ = -yja2 cos2 ф + col sin~2 ^ .

§ 3.4 посвящен традиционно обзору результатов с целью осветить физическое содержание вопроса. Предлагаются к рассмотрению графики, отражающие основные характеристики процесса, устанавливающегося в жидкости при больших временах. Сопоставление результатов с их аналогами из предыдущих глав, которые, несмотря на некоторое различие в моделях, можно считать частными случаями ф = О, показывает их хорошее согласование друг с другом. В частности, наличие «затухающей» частично по направлению перпендикулярному дну части решения и распространяющихся волн, а также резонансные явления, которые оказываются специфическим эффектом, обусловленным строго горизонтальной или вертикальной ориентацией границы.

Объектом рассмотрения § 3.5 является опять общий случай задачи С с граничным условием

23) и\ г =h(s - ct)rj(t)+C(t), в котором свойства функции h(s,t) и rj{t) описаны выше, a C(t) подлежит определению. Требования периодичности и разложимость граничной функции в ряд Фурье позволяют провести построение решения в виде ряда, члены которого имеют структуру, сходную с явным видом решения частного случая задачи для одной гармоники, но содержат в качестве множителя коэффициент Фурье hn:

24) сс2 со2 )+0° и(х,t)= y\hnexp{ins}{exp{-Wer}exp{-inct)r]{t) + --|ехр{///Ыег}х

9 777 J

22 x 8111

I 2 2 ■ 2 , (а2 - ю2Лсо$2ф - /л$т2ф), Л , ч а сое2 ф + со; вт2 ф - ±-0 л 2 —--- т) ц^ртйц) +1

1 2к кп - — |/г(г)ехр{- тг}с1г .

2 ж 0

Далее определяется функция С(г). Исследование сходимости рядов дает возможность доказать теорему существования решения задачи С .

Последующие рассуждения проводятся с целью изучить асимптотику функции (24) при больших временах при помощи методов, разработанных в предыдущих главах. Окончательное выражение, описывающее поведение решения при / оо имеет вид:

25) и(х,{)=и(х,{) + ¿„ехр лс|е[в*о,«] и#0 т

Б-су а2 - со2 ^тфсоъф- 4аг -п2с2 д/«2с2 - ¿у2 а2 со82 ф + со1 вш2 ф - п1с

2 2

С? + £ кп ехр ис|<®о

1П

5-СГа2 - ¿»о ^т^соз^ а2 сое2 ф + со2 8т2 ф - пгс с1 п* о хехр

4а-2 п2с2 ^со^ -п2с2 — \У1\(7аГ соб ф + щ эт ф-п с а2 -¿о^БтфсоБф £ К ехР1 « г лс|>а л*0

5-СГ а2 С082 ф + СОц 8Ш2 ф - п1с

2 „:„2

2 т. а х хехр< — \n\CF

I 2 2 2 у]а -п с л/^о ~п

2с2

1 1 п1с1 -а1 соз2ф-сОц 8т2ф^ где 1ш1 \й{х, = О V* е б •

Х» 1 1

Сказанное завершает изложение содержания диссертационной работы. Кратко резюмируем полученные в ней результаты.

23

1. Исследованы начально-краевые задачи для уравнений двумерных внутренних гироскопических и гравитационно-гироскопических волн в жидкости, возбуждаемых граничным режимом, заданным в виде плоской бегущей по горизонтальному дну периодической волны, что позволяет отнести их к простейшим случаям задач о движущемся источнике во вращающейся и стратифицированной жидкости. Построено явное аналитическое решение в виде ряда с членами в интегральной форме. Обсуждены вопросы существования и единственности решения.

2. Изучена подобная задача для плоского дна произвольной ориентации по отношению к оси вращения и направлению стратификации для слабо стратифицированной жидкости. Подробно исследован случай задания краевого режима в виде одной из гармоник поля скоростей, для чего использованы динамические потенциалы уравнения гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска.

3. Рассмотрена асимптотика при больших временах полученных в явном виде решений всех исследованных задач, дана ее физическая интерпретация, и показана возможность существования в жидкости при этом волновых процессов двух типов - распространяющихся волн и затухающей экспоненциально по перпендикулярной дну пространственной переменной части асимптотики. Выявлен ряд нетривиальных резонансных эффектов. Проведено численное исследование результатов, отраженное в форме графиков.

4. Обсуждена возможность обобщения задач на случай, когда движущийся источник излучает в определенном диапазоне частот.

5. Кроме того, исследованные задачи могут выступать в роли своего рода «эталонов» для проверки различных приближенных, в том числе численных методов решения.

24

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математики физического факультета МГУ и были опубликованы в следующих работах [64]-[66].

Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям д.ф.-м.н. профессору А. Г. Свешникову и к.ф.-м.н. доценту Ю. Д. Плетнеру за постоянное внимание, помощь в написание работы и поддержку, а также к.ф.-м.н. А. Б. Алыпину за плодотворные обсуждения.

25

1. Габов С. А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986. 288с.

2. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990. 344с.

3. Габов С. А. Об одном способе редукции и исследования уравнений динамики стратифицированной жидкости // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 3, с. 525-529.

4. Масленникова В. Н. Решение в явном виде задачи Коши для одной системы уравнений с частными производными // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958. Т. 22, № 1, сЛ35-160.

5. Масленникова В.Н. Явные представления и априорные оценки решений граничных задач для системы Соболева // Сиб. мат. журн. 1968. Т.9, №5, с. 1182-1198.

6. Копачевский Н. Д., Темнов А. Н. Свободные колебания идеальной стратифицированной жидкости в сосуде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24, № 1, с. 109-123.

7. Копачевский Н. Д., Темнов А. Н. Колебания стратифицированной жидкости в бассейне произвольной формы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26, № 5, с. 734-755.

8. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат.1954. Т. 18, № 1, с. 3-50.

9. Александрян Р. А. Спектральные свойства операторов, порожденных системой дифференциальных уравнений типа С. Л. Соболева // Тр. Моск. мат. об-ва. 1960. № 9, с. 455-505.

10. Зеленяк Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ, 1970, 121с.126

11. Гальперн С. А. Задача Коши для уравнения С. JI. Соболева // Сиб. мат. журн. 1963. Т. 4, № 4. С. 758-773.

12. Копачевский Н. Д. Малые движения и собственные колебания идеальной вращающейся жидкости. Препринт // ФТИНГ АН УССР. Харьков, 1978. № 38-71., 54 с.

13. Успенский С. В., Димиденко Г. В. О дифференциальных свойствах решений общих краевых задач для уравнений типа Соболева. В кн. Математический анализ и смежные вопросы. Новосибирск, Наука, 1978. С. 276-296.

14. Габов С. А., Свешников А. Г. О некоторых задачах, связанных с колебаниями стратифицированных жидкостей // Диф. уравн. 1982. Т. 18, №7, с. 1150-1156.

15. Габов С. А., Мамедов К. С. Потенциальная функция и задачи о колебаниях экспоненциально стратифицированной жидкости // ДАН СССР. 1983. Т. 269, №2, с. 270-273.

16. Габов С. А., Малышева Г. Ю., Свешников А. Г. Об одном уравнении составного типа, связанном с колебаниями сжимаемой стратифицированной жидкости // Дифф. уравн. 1983, т 19, № 7, с. 11711180.

17. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 303 с.

18. Holm D. D. Gyroscopic analogy for collective motion of a stratified fluid. Arch. Rat. Mech. Anal, and Appl. 1986. V. 117, № 1. p.57-80.

19. Бреховских JI. M., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982. 336 с.

20. Краусс В. К. Внутренние волны. JL: Гидрометеоиздат. 1968. 270 с.

21. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкости. М.: Мир. 1977. 431с.127

22. Миропольский Ю. 3. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 384 с.

23. Габов С. А. Явное решение и существование предельной амплитуды для одной задачи динамики стратифицированной жидкости // Докл. АН СССР, 1984. Т. 277, № 5, с. 1039-1043.

24. Габов С. А., Оразов Б. Б., Свешников А. Г. К нестационарной теории внутренних волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26, №8, с. 1223-1233.

25. Плетнер Ю. Д. Асимптотика фундаментального решения при Моо I явление квазифронта // Докл. АН СССР. 1991. Т. 319, № 3, с. 604-607.

26. Габов С. А., Плетнер Ю. Д. Об одной начально-краевой задаче для уравнения гравитационно-гироскопических волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25, № 11, с. 1689-1696.

27. Габов С. А., Плетнер Ю. Д. К задаче о колебаниях плоского диска в стратифицированной жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1988. Т. 28, № 1, с. 63-71.

28. Габов С. А., Симаков С. Т. К теории внутренних и поверхностных волн в стратифицированной жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1989. Т.29, № 2, с. 225-239.

29. Симаков С. Т. О гравитационно-гироскопических волнах в полуограниченном канале //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27, № Юс. 1589-1593.

30. Секерж-Зенькович С. Я. Построение фундаментального решения оператора внутренних волн // Докл. АН СССР 1979. Т. 246, № 2, с. 286289.

31. Секерж-Зенькович С. Я. Неустановившиеся волновые движения стратифицированной несжимаемой жидкости. Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. М., 1986. 26 с.128

32. Bretherton F. P. The time-dependent motion due to cylinder moving in an unbounded rotating or stratified fluid // J. Fluid Mech. 1967. V. 28, p. 545570.

33. Hendershott M. C. Impulsively started oscillations in a rotating stratified fluid // J. Fluid Mech. 1969. V. 36, p. 513-527.

34. Larsen H. Internal waves incident upon a knife edge barrier // Deep Sea Res. 1969. V. 16. P 411-419.

35. Mowbray D. E., Rarity B. S. A theoretical and experimental investigation of the phase configuration of internal waves of small amplitude in a density stratified liquid // J. Fluid Mech. 1967. V. 28, p. 1-16.

36. Боровиков В. А. Асимптотика при t да функции Грина уравнения внутренних волн // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313, № 2, с. 313316.

37. Simakov S. Т. Initial and boundary value problems of internal gravity waves // J. Fluid Mech. 1993.V 248, p. 55-65.д2

38. Габов С. А., Оразов Б. Б. Об уравнении —2\ихх-и\+ихх=Ъ иdtнекоторых связанных с ним задачах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26, № 1, с. 92-102.

39. Габов С. А. Математические основы линейной теории ионно-звуковых волн в незамагниченной плазме // Матем. моделирование. 1989. Т. 1, № 12, с. 133-148.

40. Артыков Г. Оразов М. Б. Ионно-звуковые волны в незамагниченной плазме //Дифф. уравн. 1991, т. 27, № 10, с. 1814-1817.

41. Икези X. Экспериментальное исследование солитонов в плазме // Солитоны в действии. М.: Мир, 1981, с. 163-184.

42. Лонгрен К. Экспериментальные исследования солитонов в нелинейных линиях передачи с дисперсией // Солитоны в действии. М.: Мир, 1981, с. 138-162.129

43. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехиздат. 1953. 416 с.

44. Капитонов Б. В. Теория потенциала для уравнения малых колебаний вращающейся жидкости // Мат. сб. 1979. Т. 109, № 4, с.607-628.

45. Сказка В. В. Асимптотика при t->oo решений одной задачи математической физики //Мат. сб. 1985. Т. 126, № 1 с.3-40.

46. Габов С. А. Угловой потенциал для уравнения С. Л. Соболева и его приложения // Докл. АН СССР. 1984. Т. 278, с. 527-530.

47. Габов С. А. Угловой потенциал и его некоторые приложения // Мат. сб. 1977. Т. 103, № 4, с. 490-504.

48. Габов С. А. Задачи, связанные с колебаниями вращающихся и стратифицированных жидкостей и некоторые математические методы их исследования. Дис. д-ра физ.-мат. наук. М., 1982. 312 с.

49. Габов С. А., Вабищевич П. Н. Угловой потенциал для дивиргентного эллиптического оператора // Докл. АН СССР. 1978. Т. 242, №4, с. 835-838.

50. Габов С. А., Плетнер Ю. Д. Уравнение гравитационно-гироскопических волн: угловой потенциал и его приложения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27, № 1, с. 102-113.

51. Габов С. А., Плетнер Ю. Д. Разрешимость одной внешней начально-краевой задачи для уравнения гравитационно-гироскопических волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27, № 5, с. 710-719.

52. Габов С. А., Плетнер Ю. Д. К задаче Дирихле для уравнения гравитационно-гироскопических волн // Докл. АН СССР. 1987. Т. 295, № 2, с. 272-275.130

53. Плетнер Ю. Д. К задаче о гравитационно-гироскопических волнах, вызванных осцилляциями прямолинейного отрезка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28, № 4, с. 524-533.

54. Крутицкий П. А. Явное решение задачи Дирихле для уравнения составного типа в многосвязной области // Докл. АН СССР. 1992. Т. 325, № 3, с. 428-433.

55. Крутицкий П. А. Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т.34, № 8-9, с. 1236-1258.

56. Плетнер Ю. Д. Фундаментальное решение уравнения внутренних волн и некоторые начально-краевые задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, № 4, с. 592-604.

57. Плетнер Ю. Д. Фундаментальные решения операторов типа Соболева и некоторые начально-краевые задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 31, № 12, с. 1885-1889.

58. Аллахвердиев X. Б., Плетнер Ю. Д. Фундаментальное решение двумерного оператора гравитационно-гироскопических волн и некоторые начально-краевые задачи // Докл. АН СССР. 1993. Т. 330, № 5, с.562-564.

59. Красножон А. В., Плетнер Ю. Д. О поведении при I -> оо решения задачи Коши для уравнения гравитационно-гироскопических волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34, № 1, с. 78-87.

60. Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Неклассические начально-краевые задачи теории нестационарных внутренних волн // Вестник Московского Университета. Серия 1. 1996.

61. Красножон А. В., Плетнер Ю. Д., Соловьев М. А. О распространении квазифронта в стратифицированной вращающейся жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34, № 2, с. 310-314.131

62. Appleby J. С., Grighton D. G. Internai gravity waves generated by oscillations of a sphere // J. Fluid Mech. 1987. V.183, p. 439-450.

63. Габов С.A. Новые задачи математической теории волн. М.: Наука, 1998. 448 с.

64. Перова JI.B., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г., Корпусов М.О. Асимптотика при больших временах начально-краевой задачи для двумерного уравнения Соболева // Дифф. уравн.1999. Т. 35, № 10, с. 1421-1425.

65. Перова JI.B., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. О колебаниях в стратифицированной и вращающейся жидкости, возбуждаемых плоской, бегущей по дну волной // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, №1, с. 136-143.

66. Алыпин А. Б., Перова JI. В. О колебаниях в стратифицированной вращающейся жидкости, возбуждаемых волной, бегущей по наклонному дну // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40, № 3, с. 472-482.

67. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1970. 288 с.

68. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир. 1981, с. 379.

69. Трев Ж. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. М.: Мир. 1965, 296 с.

70. Ламб Г. Гидродинамика. М. Л.: Гостехиздат. 1947. 928 с.

71. Стокер Дж. Волны на воде. М. ИЛ. 1959. 617 с.

72. Габов С. А. О решении одной задачи динамики стратифицированной жидкости при / œ II Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25, № 5, с. 718-730.

73. Крутицкий П. А. Малые нестационарные колебания вертикальных пластин в канале со стратифицированной жидкостью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28, № 12, с. 1843-1857.132

74. Габов С. А., Крутицкий П. А. О нестационарной задаче Ларсена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27, № 8 с. 1184-1194.

75. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука. 1967. 304 с.

76. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624с.

77. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 2. М.: Наука, 1980. 448с.

78. Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука 1967, 608 с.

79. Рисс Ф., Секефальви Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: ИЛ. 1954. 500 с.

80. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука. 1978. 375 с.

81. Федорюк М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Наука. 1987. 544 с.

82. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

83. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 622 с.

84. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512с.

85. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966. 274 с.

86. Габов С. А., Шевцов П. В. Об одном дифференциальном уравнении типа уравнения С. Л. Соболева // Докл. АН СССР. 1984. Т. 276, № 1, с. 14-17.

87. Шевцов П. В. Основные начально-краевые задачи для одного уравнения составного типа. М.: 1984. Деп. в ВИНИТИ 1983, № 3882-83.133

88. Габов С. А., Шевцов П. В. Основные краевые задачи для уравнения колебаний стратифицированной жидкости // Докл. АН СССР. 1983. Т. 268, № 6, с. 1293-1296.

89. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М,: Наука, 1973. 736 с

90. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1970. 327 с.

91. Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Лекции по математической физике. М.: Издательство МГУ, 1993. 352 с.

92. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1.М.: Наука, 1982.616 с.

93. Корпусов О. М., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О нестационарных волнах в средах с анизотропной дисперсией // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39, № 6, с. 1006-1022.