О волновых движениях стратифицированнойвращающейся жидкости, возбуждаемых движущимися источниками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

жт х

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНВЕРСИГЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ О А

4 ьон

На правах рукописи УДК 517.958:532.5

Перова Лада Викторовна

О волновых движениях стратифицированной вращающейся жидкости, возбуждаемых движущимися источниками

Специальность 01. 01. 03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание научной степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-2000

Работа выполнена на кафедре математики физическоп факультета Московского Государственного Университета имен! М. В. Ломоносова.

Научный руководитель : доктор физико-математических

наук, профессор А. Г. Свешников

Официальные оппоненты : доктор физико-математических

наук A.A. Куликовский, кандидат физико-математических наук В.В. Лоттушенко

Ведущая организация : Институт прикладной математики

РАН им. Келдыша

Защита диссертации состоится « И » ¿.¡я(ХЛ_2000г.

в !Ь часов на заседании Диссертационного Совета К 053.05.18 при Московском Государственном Университете имени М. В. Ломоносова по адресу:

г. Москва, Ленинские горы, физический факультет? СШд в '-Рт!'

I/ о

- С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан « 6 » 2000г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета К 053.05.18 доктор физико-математических наук

_ п — п. А. Поляков

Общая характеристика работы.

Настоящая работа посвящена исследованию начально-краевых задач для уравнений составного типа, описывающих нестационарные внутренние волны во вращающихся и стратифицированных жидкостях. В настоящее время в связи с ежедневно увеличивающимися потребностями таких прикладных наук, как геофизика, океанология, физика атмосферы, плазмодинамика и рядом других проблем возрос интерес к изучению динамических характеристик различных неоднородных и, в том числе, стратифицированных и вращающихся жидкостей.

Конечно, для детального описания волновых процессов в жидкостях, обладающих специфическими свойствами, требуются достаточно развитые математические модели, зачастую нелинейные, многопараметрические, которые доступны эффективному исследованию лишь с привлечением численных методов. Однако часто первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить на основе более простых линейных моделей и аналитических методов исследований. Это оказалось характерным для задач динамики вращающихся стратифицированных жидкостей. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам, что определяет наряду с нетривиальными физическими следствиями и самостоятельный математический интерес к этим проблемам.

В изучении динамики внутренних волн существует в настоящее время два принципиально различных подхода. Первый из них связан с непосредственным рассмотрением векторной' системы уравнений гидродинамики, второй подход основан на ее редукции на основе потенциальной функции к одному скалярному уравнению и последующему изучению для него начально-краевых задач. В настоящем исследовании используется вторая возможность сведения системы к уравнению составного типа четвертого порядка, аналогичному известному уравнению Соболева. Отметим, что еще один из способов, близкий ко второму методу из отмеченных выше подходов был предложен С. А. Габовым и

заключается в рассмотрении специфической системы двух скалярных уравнений.

Начало'иЗУчёНия цеклассических уравнений математической физики в применении к вопросам гидродинамики восходит к классическим трудам Love,: Lamb, Gortler. Однако историю строгих исследований следует, по-видимому, отнести к основополагающей работе С. JI. Соболева «Об одной новой задаче математической физики», где был представлен вывод уравнения малых колебаний однородной вращающейся жидкости. Исследования в этом направлении были продолжены Р. А. Александряном, В. Н. Масленниковой, С. А. Гальперном и другими. -

Позднее было замечено, что между внутренними волнами, распространяющимися во4 вращающихся и в стратифицированных жидкостях, существует аналогия, проявляющаяся в математическом плане в общности уравнений, описывающих эти процессы. Систематические исследования этого вопроса можно найти в монографиях С. А. Габона и А. Г. Свешникова'. Следует однако отметить, что, несмотря на тесную связь с задачами теории вращающейся жидкости, динамика внутренних волн в среде со стратификацией изучена значительно слабее.

Одним из важных частных случаев уравнения . внутренних гравитационно-гироскопических волн является приближение Буссинеска, отражающее с физической точки зрения предположение о слабой стратификации жидкости. Эта математическая модель, в определенном смысле, может считаться полностью изученной. С другой стороны, существенно большее поле для исследований оставляет за: собой полное уравнение внутренних волн, возникающее при обсуждении длинных волн или волн в сильно стратифицированных жидкостях. При этом оказывается, что учет «небуссинесковских» членов приводит, в конечном счете, не только к внесению некоторых уточнений в волновую картину, но и к выявлению важных качественно новых эффектов, таких, например, как явление квазифронта, в связи с чем рассмотрение .полных уравнений

1 1. С. А. Габов , А.. Г. Свешников «Задачи динамики стратифицированных жидкостей» М : Наука, 1986. 2. С. А. Габов , А-1". Свешников «Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн» М.: Наука, 1990.

динамики стратифицированной жидкости также представляется интересным.

Одним из наиболее плодотворных методов исследования граничных задач является метод потенциалов, позволяющий свести изучение дифференциальной : задачи к ..исследованию. , соответствующего интегрального уравнения. .Замечательно, что он применим не только к стационарным задачам, но и к задачам эволюционного типа, то есть к начально-краевым задачам, В частности, для изучения уравнений типа Соболева потребовалось построение так называемых динамических потенциалов, которые являются :: аналогами классических объемного потенциала и потенциалов простого и двойного слоя. Теория динамических потенциалов для уравнений гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска была разработана С. А. Габовым и А. Г. Свешниковым. Отметим, что С. А. Габовым были построены динамические логарифмический и угловой потенциалы - аналоги соответствующих двумерных потенциалов для уравнения Лапласа.

Практическая ценность. Практическая ценность получение' результатов, связанная со значительным интересом в современных научных исследованиях к простым модельным задачам, обусловлена возможностью получения решения в явном виде, что важно при составлении первоначальных качественных представлений об изучаемом круге явлений и попытке дать теоретическое описание ряда нетривиальных физических эффектов. Они нередко выявляются при получении явного представления решений и ускользают при общем рассмотрении, что, в свою очередь, стимулирует и ориентирует направление ведения последних С другой стороны, эти задачи выступают в роли своего рода «эталонов», позволяющих проводить сравнения и оценку эффективности различных асимптотических и приближенных методов,, в частности, численных.

Помимо этого, математический аппарат, разработанный для изучения уравнений составного типа, оказался достаточно универсальным и применимым для изучения начально-краевых задач в научных областях, отличных от гидродинамики: стратифицированных и вращающихся

жидкостей; в частности ионно-звуковые волны в незамагниченной плазме и электромагнитные волны в длинных линиях передач с распределенными параметрами описываются неклассическими дифференциальными уравнениями, родственными уравнению Соболева.

Научная новизна В настоящей работе продолжаются исследования нестационарных задач динамики колебаний стратифицированной и вращающейся жидкости, возбуждаемых краевым режимом, задаваемым на плоском дне, причем новым является то, что в граничном условии в постановке задач берется модельное распределение нормальной составляющей скорости в виде бегущей по дну периодической волны. Таким образом, изучаемые задачи являются простейшим случаем задач о движущихся источниках во вращающихся и стратифицированных жидкостях. Заметим, что существенным аспектом исследования является возможность рассматривать общий случай произвольной ориентации дна. Нестационарность задач позволяет проследить за временной эволюцией модели.

В предыдущих исследованиях С. А. Габова и А. Г. Свешникова большое внимание уделялось вопросу существования режима установившихся колебаний в случае, когда неподвижный объект, вызывающий возмущение в жидкости, после истечения переходного периода начинал совершать гармонические колебания заданной частоты. В данной работе о движущемся источнике также рассматривается стабилизация решения, и по-прежнему весьма интересным остается изучение волновой картины, складывающейся при больших временах. Цель работы

1. Исследование модельных начально-краевых задач для уравнений типа Соболева, допускающих получение явного аналитического решения, в случае задания граничного условия в виде бегущей по горизонтальному дну плоской волны.

2. Использование динамических потенциалов для уравнения двумерных внутренних волн в приближении Буссинеска для построения и изучения с их помощью решения начально-краевой задачи о возбуждении

гравитационно-гироскопических волн краевым режимом в виде плоской периодической волны, бегущей по' дну произвольной ориентации по отношению к оси вращения и направлению стратификации.

3. Исследование асимптотического поведения полученных решений выше перечиоленных задач при больших временах и попытка дать их физическую интерпретацию.

Адробация работы. Основные результаты опубликованы в работах 1-3 и доложены на научных семинарах кафедры математики физического ф-та МГУ и научном семинаре НИВЦ МГУ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, включающего 93 наименования. Объем текста - 133 страницы.

Основное содержание работы.

Во введении очерчен общий круг проблем математического исследования начально-краевых задач, которые возникают при изучении динамики несжимаемых стратифицированных и вращающихся жидкостей. Формулируются цели, и излагается структура диссертационной работы. Приводится обзор литературы по данному вопросу. -

Первая глава посвящена исследованию процесса распространения двумерных гироскопических волн в невязкой однородной вращающейся жидкости.

В § 1.1 проведена редукция векторной системы уравнений Эйлера к одному - скалярному уравнению в безразмерных переменных для потенциальной функции - функции тока, описывающему динамику рассматриваемого процесса:

дг : ' (1) Л/.и(х,/)~ к!;<! ••(), .

где и = и(х,{), х = (х1;х3)е II7, г е Я\, й поставлена для него начально-краевая задача, в которой в качестве граничных условий предлагается распределение поля нормальных

скоростей на дне жидкости в виде плоской бегущей волны: . ... ., .

(2) и(х,1)х> г--7(/)/(х, -с/)-1 С0(г)

где е Сг ([О, со)), 7(0)=¡7, (0) = 0, и 3 Г > 0, что при I > Т ф) - 1 а функция/(у) е С2 (й1^/(у) =/(у+ 2^), А: - целое, С0(/) подлежит определению. Для дальнейшего существенным оказывается тот факт, что граничная функция разложима в ряд Фурье.

Ищется 2/Г- периодическое по переменной х, в полупространстве 7?+2 = {(х; ,х3)и И2, > о} решение из класса С02[[0,оо),С2(/^)], где оно должно удовлетворять предположению об отсутствии источников на бесконечности:'""' ' ' '

(3) ¡0*1Уы(х,/)| < С(/)ехр{- <&3}, при —> оо

А: = 0,2, р = 0,1, у = 1,3,0 < <5 < 1, и нулевым начальным условиям:

(4) а(х,0)=и,(х,0)=0

"В § 1.2 строится с использованием преобразования Лапласа явное

решение задачи в виде ряда, члены которого имеют очень удобную для

дальнейших рассуждений интегральную форму: +00

(5) и(х,()= £{гхр{(их,}у,,(0,*)ехр{-|п|хз}+

(/-г)

, 1 ?ехр{г и /дг3} <• . ■ехр^их,)—7 I— : -^-¡БПд -

где (0, /) = ап7?(()ехр{- тс{\ п е и * О

•>„ (0, г^тйуц

.л

2ж

ая=-— |/(г)ехр{- ¡та^к - коэффициенты Фурье граничной функции,

о

определяется функция С0(/) = -а0г/(/). Доказываются ; теоремы о существовании и единственности решения, в ' первой из которых исследуется сходимость рядов, а во второй вводится понятие энергетического класса Д, содержащего в себе функции, обладающие непрерывными по (х,/) производными /), в каждой

замкнутой области П ={(х,,х3) е Л'2 : К > х, > с > 0, |х,| < #}.х [о, 7'],

где Г > 0, £е(0,гДЛ> £ = 0,2,7 = 1,3. ..■

•Затем используется широко применимый для задач данного класса метод энергетического тождества, имеющего . непосредственно для этой задачи вид:

пг - нормаль в точке х е дО., еъ - орт оси Охъ. . :§ 1.3 посвящен изучению процессов, устанавливающихся в жидкости при больших временах, и. выводу основной формулы главы, содержащей в себе асимптотику по I решения задачи:

\пс\ < 1, связанных с сингулярностью интегралов во втором из них й обосновать право менять местами интегрирование и суммирование, а также осуществлять предельный переход под знаком интеграла. Из (7) следует возможность существования при больших временах в жидкости двух видов волновых движений - распространяющихся волн и колебаний, затухающих экспоненциально в пространстве по направлению перпендикулярному дну.

§ 1.4 содержит физическую интерпретацию полученных результатов, отмечая наличие весьма интересных с 'этой точки зрения эффектов, таких, как резкое увеличение амплитуды параллельных дну компонент скорости определенных гармоник и связь наличия . - существования , в жидкости распространяющихся плоских волн с параметрами, характеризующими вращение и источник возмущения, поскольку, согласно формуле (7), при

где под Ыа. понимается следующий граничный оператор:

При этом потребовалось по отдельности рассмотреть два случая \пс\ > !■ и

достаточно больших временах нормальные нестационарные волны м„ (х,() имеют различную структуру, в зависимости от соотношения величин |ис[ и «1». При этом учитывается связь функции тока с компонентами скорости частиц жидкости:

Заключительный § 1.5 посвящен обобщению задачи А на более широкий в физическом понимании класс задач о движущихся осциллирующих источниках, что формально отражается в изменении граничного условия (2) на выражение

<2.а) а}г = ?(/)/(*, -с/)ехр{-/<г*}+С0(0,

в котором > 0 - частота колебаний объекта. Рассматриваются отличия этой модификации от исходной задачи А, отмечается, в частности, сдвиг центра симметрии номеров вырезаемых средой незатухающих гармоник из нуля. Приводится сопоставление с задачами о неподвижном осциллирующем возбудителе возмущений при с = О.

Во второй главе обсуждается характер распространения и типы волн в экспоненциально стратифицированной вращающейся жидкости.

В § 2.1 отмечены отличия, возникающие при выводе из векторной системы уравнений гидродинамики скалярного уравнения для функции тока, связанные с наличием в жидкости стратификации. Далее для этого уравнения гравитационно-гироскопических волн:

(8)

д;2

Ро

(*з)

д?Л+_д

ах, ) ах,

Л)(*з)

д<р дх

г/

дх,

РаШ

д(р дхк

где р = р(хДх = (х,,Хз)еД2,*е.К| , стратификация экспоненциальная с параметром р > 0: >0(х3)=Лехр{~2/?*3}, формулируется начально-краевая задача для £>(х, г) е С2 [[0, да), Сг )] с граничной функцией в виде бегущей по дну плоской периодической волны:

где ф) е С02[[0,оо)], ЗГ > 0, что при < > Т т]0)= 1, афункция го)], ф(г) = (¿(г + 2я&), к- целое,

и другикй' условиями идентичными задаче А из первой главы за исключением формы неравенства в требовании регулярности решения на бесконечности:

(9а) <Я(0оф{-&з},х3 >0

при х} -» та, к = 0,2, р-0,1, / = 1,3,0<<? <1.

В § 2.2, наряду с обсуждением явного решения задачи, построенного в виде ряда выражений, содержащих интегралы

(10) ^(х><) = ехр{/Ьс3}^ул^хр{7пх1 -та}ехр[-^п2 + ргхъ

Па-сО Я*0

где

р +71

(10а) <?„(х3,/) = 1 ^ехр^д/^+^з^)-

22 а2р2+п2а>1^2

(м'-п)*

ар. +-

х Jsm о

2 2 а Вг+со1п2

(I +1

-(/-г)

ехр{- тс г(т^гй?« ,

1 2ж

=— [/(г)ехр{- - коэффициенты Фурье

/ ТГ *

2тт 0

/(г) - первообразной функции по переменной х,,

возникающая при этом интегрировании произвольная функция времени Со(0=-Го>7(0>

исследуется ее разрешимость, то есть приводится доказательство теорем о существовании и единственности. Энергетическое тождество для задачи В выглядит следующим образом:

(п) ^¡м

в>о || |й а_ц ц2

Г

О 8П

в нем N1

д¡2 дп.

+ а>\ соз(пх,е1)— + соь(>7.,/■.)■

дх

дх,

§ 2.3 содержит в себе вывод асимптотики решения, где, как и в первой главе, активно используются методы теории функции комплексного переменного, хорошо развитая теория сходимости функциональных рядов, теорема Леви и асимптотические методы оценки интегралов. Решение при больших временах представимо.в виде ряда:

(12) <р(х,г) = ехр{Дг3}£Гпехр|

■асе!

+ехр{/&3}^у"11 ехр^т^ - «сг)}ехр

г 22 ш -п с

пх, -хг ~пс(

3 „г п с

а

ПС£1

и* О

п с

1 11 (У. -П С

- а

хъ\ + (р(х>1)>

где БтЫх, п = 0 для х = (хих3)е Л1

1 =

а2 р2 + со2йп2 р2 +п2

-,-а

и

а,

V

а2р2

Р'+п* у

в котором первое слагаемое можно условно назвать «волновым», поскольку аргументом экспоненты является чисто мнимое выражение, а второе -«затухающим». ..

§ 2.4 посвящен обсуждению физического смысла результатов предыдущих параграфов. Акцентируется внимание на явлении резонанса амплитуды скорости некоторых гармоник из числа незатухающих, распространяющихся в пространстве плоских волн. Производится сравнение характеристик процесса. распространения возмущения в стратифицированной и вращающейся жидкости с аналогичными величинами однородной вращающейся жидкости, рассмотренного в первой главе, и, обсуждается возможность расширения постановки задачи

N

на случай, когда движущийся источник совершает колебания заданной частоты.

В третьей главе продолжается изучение вынужденных колебаний экспоненциально стратифицированной , вращающейся жидкости, возбуждаемых движущимися источниками, но существенным отличием является произвольная ориентация плоского дна по отношению к оси вращения и направлению стратификации. ■

§ 3.1 содержит постановку задачи в общем виде, где в качестве основного уравнения выступает уравнение гравитационно-гироскопических вода в приближении Буссинеска (модель со слабой стратификацией): д2

(13) —-А2м + й>ам, +а2и, „ =0

V / I 0 >1*1 13*3

На граничную функцию

(14) и|г=ЛМ,

где дно Г= {(х,,х3)е Л2 : х, = ?-со = 5 - бш^, ^ е (-оо,+со)}, ф - угол его наклона, накладываются условия общего порядка, заключающиеся в принадлежности определенному классу гладкости Со2|[0,с«),С2(д2)], и 2л- периодичности по переменной 5 - параметру длины на дне. Построение 2л- периодического по 5 = х, созф + х3зтф решения из класса С7 [[0, да),С2 (£>)], удовлетворяющего условиям

(15) и(х,0)= м((х,0)= 0

(16) ¡О^Ых, Л<-----—- , к = 0,2, р = 0,1, з = 1,3

1 1 х, зт^-х3со8^|

при |х,|,|х3| -> +оо,

предполагается провести в полупространстве () = {х3 соъф - х, бш^ > 0}.

Далее с использованием метода энергетических тождеств, приводится

доказательство теоремы единственности решения, которое существенно

опирается на свойство периодичности функции /¡(^г).

В § 3.2 формулируется математическая постановка начально-краевой

задачи для конкретной граничной функции в виде одной гармоники

плоской бегущей волны, которая является одной из представительниц введенного в § 3.1 класса граничных функций:

(17) чЛ г =— exp{zl(í - ct)]r¡{i) + C{t) = f{s, i) + C{t),

ik '

где rj(t) - функция переходного режима, обладающая свойствам:

r¡(() е С}2) [0,+оо) и 17'> 0, что rj(t) т 1 при t > Т, С(0) = С, (0) = 0.

Затем производится построение явного решения задачи. С этой целью

вводятся в рассмотрение два динамических потенциала для уравнения (10):

(18) ЛИЫ= JvM-^ln

дп Т-к

wy

1

B\v\x,t)= J\v{y,r)j3lTw7{x - у,i-r]dTydz,

о г

где v(x,/)eC,P(¡0,co); С'°^(г)), оператор р\ определяется равенством пг д1 ди 2 , ч ди , / хди

Р«* = + ф0 cosí", >)г- + а ««(л,, х3)—-

oí да^ да, ас.

их -нормаль к границе Г в точке х & Г. Функция ч>2(х, г) имеет вид: г 1 ' ( |х( ^ 1 '

2л ^ • ~ ~2я /С\^ 4 ^

где ^ - ехр{С0}, Са -константа Эйлера, Сг(^)- интегральный косинус:

через |х| и обозначены величины:

И = + ХЪ ' И. = д/с«2*!2 + &охз '

таких, что и(х,

С их помощью, решение задачи сводится к исследованию интегрального уравнения для неизвестной плотности

(19) и(5,0 - - 2(/ - .V,,, -«/,. ♦)/'(•*.') "

Очень удобным оказывается переход к, Лаплас-образам функций, что

позволяет найти явный, вид преобразования Лапласа решения задачи:

L[u\p) = exp< - ka

Jp2 +Ú)J4p2

p + a cos ф + co0 sin ф

x exp<~ik(T—r

p +a¿ cos' ф + а>о sin^

и показать, в частности, что С(г) = 0.

В § 3.3, прибегая к помощи интегрального представления (20), осуществляется возвращение к оригиналам преобразования Лапласа:

(21) ехр{- *а}е>- сф^ + ^^^^^иф^^х

(l - р.2 )sin 2ф + 2/i cos ф

(u2 +1)2 a2 cos2 ф + a>l sin2 ф -

с ?/(r)sin

a2 cos2 ф + а>1 sin2 ф-

Ja2~- aójeos 2ф - ц sin 2ф)

JTi г

(аг ~-со1\соъ2ф-// sin 2^)

J*exp{- ikcr}>

■м2+1

О")

drdfj

С активным использованием аппарата теории функции комплексного переменного, исследуется асимптотика при больших временах решения задачи, что паходит свое завершение в основной формуле параграфа:

(22) и{х, ¿)= +

^чгг^ёг

№ -úífiwócotó expiЩ s-ег-г^-г-^17, , --г-7-cf arcosф+с4&ш ф-irc

ехп-ка

exn-far-

a2 co¿^+ü^sirf

с2 -d

k|fc}«4,

■J~,\>M>1

-O^CO^-ú^silf ф

[■/ 111,, г 1

expt'\№—^ы^нг?--cí¡rеМ

где lim \и(х, = 0 Vx е Q .

f-»a>

Обсуждается случай = -Ja2 cos2 ф + аз\ sin2 ф .

§ 3.4 посвящен традиционно обзору результатов, с целью осветить физическое содержание вопроса. Предлагаются к рассмотрению графики,

отражающие основные характеристики процесса, устанавливающегося в жидкости при больших временах. Сопоставление результатов, с их аналогами из предыдущих глав, которые, несмотря на некоторое различие в моделях, можно считать частными случаями ф = О, показывает их хорошее согласование друг с другом. В частности наличие «затухающей» частично по направлению перпендикулярному .дну части решения и распространяющихся волн, а также резонанспые явления, которые оказываются.: специфическим эффектом, обусловленным строго горизонтальной или вертикальной ориентацией границы.

Объектом рассмотрения § 3.5 является опять общий случай задачи С с граничным условием

(23) и

в котором свойства функции г) и г/(/)описаны выше, а С(г) подлежит определению. Требования периодичности и разложимость граничной функции в ряд Фурье позволяют провести построение решения в виде ряда, члены которого имеют структуру, сходную с явным видом решения частного случая задачи для одной гармоники, но содержат в качестве множителя коэффициент Фурье к/.

(24)

(а2 — ©2)

и(х,г)= V Н„ехр{ш}{ехр{~ |п|<х}ехр{-- тс{\г]{{)+ ----— [ехр{(/Лгс|сг}х

„Г! 2да 1

(1 - и2 )s\n2S +2исо?,ф 'г ( ■ 1 ~—.4=-^---\\ ~-==jexp{~- mcrfx

(2 ,V 2 2 , 2 ■ 2 , \аг ~ агЛсоъ2ф - ^5ш2ф) [t.I + lj Ja cos ф + cc>; sm ф -----------

■ Г I 2 2 , 2 ■ 2 , - iDgYcos2^ ~ /"Sin2^), Л f 4 , x sm a cos ф + &>0 sm ф - ----°Л ——----(/-г)

V М +1

V' . J

I 2s

hn =— |/2(z)exp{- z'wz}<iz 2л" 0

Далее определяется функция- G(f). Исследование сходимости рядов дает возможность доказать теорему существования решения задачи.С .

Последующие рассуждения проводятся с;,целыо изучить'1 Асимптотику функции (24) при больших временах при помощи методов^азработанных в-предыдущих главах. Окончательное выражение, описывающее поведение решения при ?-> га имеет вид: '

(25) и(х,1) • •-?<(*,/) ■ ,,

Г (а2 -- й)д)&Ьхфсо5ф - у[а7 - п2с2 ^¡п^с2 - а>1 ,

hn ехр< Ь

¡пф[о>о,а]

S - (у---• —:-----_!_---et

a cos ф ^ со, sm ф — п с

v TUT J

п* О

Z, [.( (а2-а>2 jsin^cos^ П

hn ехр< щ s су - г-Ц-—-U

w<eo ■■ [ V « cosV + ®o sinс

л* о

4а-2 п2с2 -Jwf-n

2 2 С

+

+ Zh" expjin

\пс\>а [

n*0

a cos ф + а>0 sm2 ф-n с

(а2 -со] )sin^cos(zi

О 1

■si

X

»S CT 7 2 2 7 ^^

v a cos ^ + ß>0 sin ф-n с

x exp< — n er -

и с - о: cos ф - ü>0 sm 0

где lim = 0 Yx e Q . ■ .• ■

Сказанное завершает изложение содержания диссертационной работы. Кратко резюмируем полученные в ней результаты. ......"

Основные результаты.

1. Исследованы начально-краевые задачи для уравнений двумерных внутренних гироскопических и гравитационно-гироскопических волн в жидкости, возбуждаемых граничным режимом, заданным в ввде плоской, бегущей но горизонтальному дну периодической волны, что позволяет отнести задачи к простейшим случаям задач о движущемся источнике во вращающейся и стратифицированной жидкости. Построено явное аналитическое решение в виде ряда с членами в интегральной форме. Обсуждены вопросы существования и единственности решения.

2. Изучена подобная задача для плоского дна произвольной ориентации по отношению к оси вращения и направлению стратификации для случая слабо стратифицированной жидкости. Подробно исследована ситуация задания краевого режима в виде одной из гармоник поля скоростей, для чего использованы динамические потенциалы уравнения гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска.

3. Рассмотрена асимптотика при больших временах полученных в явном виде решений всех исследованных задач, дана ее физическая интерпретация, и показана возможность существования в жидкости при этом волновых процессов, двух типов - распространяющихся волн и затухающей экспоненциально по перпендикулярной дну пространственной переменной части асимптотики. Выявлен ряд нетривиальных резонансных эффектов. Проведено численное исследование результатов, отраженное в форме графиков.

4. Обсуждена возможность обобщения задач на случай, когда движущийся источник излучает в определенном диапазоне частот.

5. Кроме того, исследованные задачи могут выступать в роли своего рода «эталонов» для проверки различных приближенных, в том числе численных методов решения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Корпусов М.О., Перова Л.В., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. Асимптотика при больших временах начально-краевой задачи для двумерного уравнения Соболева // Дифф. уравн. 1999. Т. 35, №10, с 1421 -1425.

2. Перова Л.В., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г'. О колебаниях в стратифицированной и вращающейся жидкости, возбуждаемых плоской, бегущей по дну волной II Ж. вьгчисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, №1, с. 136-143.

3.Алышш А.Б., Перова Л.В. О колебаниях стратифицированной вращающейся жидкости возбуждаемых волной, бегущей по наклонному дну // Ж. вьгчисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40, № 3, с. 472-482.