Интегродифференциальные уравнения в динамике тяжелой слоистой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

МИНДЛИН Илья Михайлович

ЖТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ДИНАМИКЕ ТЯЖЕЛОЙ СЛОИСТОЙ ЖИДКОСТИ

/

У

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - ¡998

Работа выполнена в Нижегородском государственном техническом университете

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

профессор В.Н.ЗАБАВИН,

)

- доктор физико-математических наук, ' ' профессор А.М.ТЕР-КРИКОРОВ,

- доктор фюико-мздеиатическнх наук. ' профессор Г.А.ТИРСКИЙ. ■ ■

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН.

•• Ш ■ ОЛЩ .998 ,

Защита состоится " —1 " VЛЛф} к' 1998 г. в ^^ час, на заседании Диссертационного совета-Д 053.05.02 при МРУ им. М.В.Лоыоносова по адресу; 11929?, г.Москва, Воробьевы горы, Главное здание МГУ, ауд. 16-24.

С диссертацией • можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета. МГУ.

К _1398г.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор . " В.П.Карликов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации аналитически исследуются нестационарные течения идеальной несжимаемой тяжелой жидкости с кусбчно^постоянной плотностью. Предполагается, что однородные жидкие фракций разделены, эволюционирующей грапихгей раздела - вихревой пеленой. Форма границы раздела неизвестна и должка определяться в результате решения уравнений динамики жидкости. Во ьсей диссертации исследуются течения, для которых поля скоростей внутри каждой однородной фракции удовлетворяют уравнениям Эйлера для идеальной жидкости, точным условиям на границах раздела и твердых поверхностях, начальным условиям.

При -реатсягЛ! начально-краевых задач, описывающих охзрактеризоватгнй& Ъ;ьпае течения, в диссертации преодолеваются три общие постоянно актуальные проблемы:

1. Обеспечить выполнение граничных условий на вихревой пелене.

2. Обеспечить выполнение граничного условия на поверхности твердого тела.

3. Разработать аналитическую технику построения решений соответствующих уравнений.

Кроме этих трех общих проблем динамики жидкости, в диссертации изучаются более специальные проблемы.

ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ ВИХРЕЙ

4. Формирование вихря в первоначально покоящейся жидкости.

5. Влияние плавучести па эволюцию вихря.

6. Взаимодействие движущегося вихря. и границы раздела между жидкими фракциями различной плотности.

ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ ВОЛН В ТЯЖЕЛОЙ СЛОИСТОЙ ЖИДКОСТИ

?. Полны, возбуждаемые движущимися твердыми телами.

8. Волны, порождаемые возмущением равновесных границ раздела.

9. Волны, возбуждаемые переменным давлением на свободной поверхности тяжелой жидкости.

10. Установление волн в первоначально покоящейся жидкости, возбуждаемых почти-периоднческнм источником возмущения.

Аналитические результаты в области нестационарных течений неоднородной тяжелой жидкости (и' даже однородной), описываемых уравнениями Эйлера, настолько редки, что автор известной книги [1] счел возможным поместить в ней решение частной задачи, пригодное для единственного (!) момента времени [1, с. 468, п. 16.20]. Имеющиеся в литературе аналитические результаты получены для течений, описываемых упрошенными уравнениями (линеаризованными по Коши уравнениями, уравнениями Буссинеска, мелкой воды и т.п.).

Демонстрируемое в диссертации расширение крута задач, поддающихся аналитическому анализу, • обеспечивается дзумя обстоятельствами:

а) строятся новые математические модели для весьма сложных схем течений идеальной тяжелой жидкости, состоящей из нескольких однородных фракций различной плотности; эти модели позволяют сформулировать задачи в виде системы нелинейных интегродифференциальных уравнений относительно неизвестных (искомых) функций, определенных на границах раздела жидких фракций и на поверхности твердых тел;

б) выяснены фильтрующие свойства ряда интегральных операторов, связанных с ньютоновскими и логарифмическими потенциалами, чем обеспечивается техническая возможность эффективно «роить решения соответствующих интегродифференциальиых уравнений. Решения строятся в виде рядов, пригодных на меньшем'или большем (для некоторых задач - на бесконечном) интервале времени. Эффективно найдены первые члены рядов, описывающих эволюцию во времени функции тока или потенциала скорости,

формы границ раздела между жидкими .фракциями, ряда других характеристик. В некоторых задачах анатитическое решение продолжено численно на больший временной интервал. В диссертации описана техника построения решений класса нелинейных интегродифференциальных уравнений, связанных с потенциалами, приводится метод решения счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, метод анализа резонансных и асимптотических свойств этих решений, метод построения решений линейных систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

НИЖЕ ДАЕТСЯ -ХАРАКТЕРИСТИКА КАЖДОЙ ГЛАВЫ,. АНАЛИЗИРУЕТСЯ РАССМАТРИВАЕМАЯ В ГЛАВЕ ПРОБЛЕМА, СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ПРОБЛЕМЕ, ОТМЕЧАЕТСЯ ОТЛИЧИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ОТ ИМЕЮЩИХСЯ В ЛИТЕРАТУРЕ. В главе 1 ¡платаются общетеоретические основы построения математических моделей течений тяжелой жидкости с кусочно-постоянной плотностью. Исследование течений такой жидкости представляет собой весьма сложную проблему, поскольку необходимо обеспечить выполнение граничных условий на заранее неизвестных границах раздела между однородными фракциями идеальной несжимаемой жидкости. Когда граница является свободной {понятие "свободная граница" или "свободная поверхность" употребляется в том случае, когда одна из двух фракций, разделяемых границей, представляет собой фиктивную жидкость нулевой плотности), давление на ней постоянно. Это обстоятельство вместе с интегралом Кошн-Лагранжа позволяет в нестационарных задачах со свободной границей применить метод граничных интегральных уравнении [2-4], благодаря чему уменьшается размерность пространства независимых переменных со всеми вытекающими отсюда преимуществами для численного решения. Если граница разделяет тяжелые однородные фракции различной плотности, давление на границе не является постоянным, не существует

интеграла Коши- Лагранжа и метод граничных интегральных уравнений не избавляет от тяжелой процедуры "стыковки" рещеш}й на эволюционирующих границах, которая должна обеспечить непрерывность давления... Метод, предложенный в [5, 6] для тяжелых слоистых жидкостей, пригоден талый для. стационарных течений, ибо он основан на том, что в стационарном случае границы раздела являются линиями тока.

В диссертации используются отличные от упомянутых методы редукции нестационарных и стационарных нелинейных задач динамшси тяжелой слоистой жидкости к равносильным задачам меньшей размерности. Эти .методы позволяют сформулировать интегродифференциальные уравнения, которые полностью освобождают от необходимости заниматься проблемой условий на границах раздела жидких фракции. Это существенное преимущество достигается тем, что интегродифференциальные уравнения составляются не относительно потенциала скоростей (как, например, в [2]), не относительно вариаций лилий тока (как в [5]), а относительно скачка касательной к границе раздела составляющей скорости. Эволюционное уравнение для этого скачка автоматически обеспечивает, непрерывность давления в окрестности границы раздела (в частности, ■ постоянство давления на свободной поверхности). Математические основы двух новых методов- введения интегродифференцкальлых уравнений и построения решений этих уравнений излагаются в §§2-6; §1 является вводным.

В главе 2 описываются и исследуются новые модели кольцевых вихрен. В литературе основными моделями для теоретического анализа кольцевых вихрей являются сферический вихрь Хилла {!] и тороидальный вихрь Максвелла [7]. В литературе отмечается, что характер течений, отвечающих этим моделям, далек от экспериментально наблюдаемых [8] и, что также существенно, эти модели не описывают стадии формирования вихря. В главе 2 формулируется и изучается математическая модель кольцевых вихрей, которая приводит к течениям, обладающим большим сходством с наблюдаемыми в

экспериментах. Эта модель описывает эволюцию ограниченной однородной тяжелой жидкой массы в неограниченной однородной тяжелей жидкой среде (жидкое "пятно" в жидкой среде). Плотность пятна может отличаться от плотности среды. В §§] и 3' формулируются уравнения двух моделей кольцевых вихрей. В §2 рассматривается эволюция первоначально сферического пятна одной плотности в среде другой плотности. Показано, что течение, начавшееся из состояния покоя, представляет собой эволюционирующий кольцевой вихрь типа грибовидного облака, образующегося после мощного взрыва в атмосфере. В этой задаче аналитическое решение продолжено численно на больший временной интервал и выявлено сходство теоретически рассчитанных картин мгновенных линий Тока и формы Пятна с фотографиями соответствующего эксперимента [9].

В §§ 4 и 5 рассматривается проблема, которая имеет свою литературу. Уравнения Эйлера для однородной несжимаемой жидкости допускают частные решения, описывающие обтекание сохраняющего форму жидкого тела, ограниченного поверхностью уровня функции тока, потенциальным потоком. Здесь имеются ввиду, например, пара точечных вихрей, переносящих овал захваченной жидкости, (плоское течение) и сферический вихрь Хилла (осесимметричкое течение) [1]. Имеются работы (см. обзор [10]), в которых ставится вопрос: как будет эволюционировать жидкое тело, если в начальный момент поле скоростей задается, упомянутыми решениями, но плотность однородного жидкого тела отличается от плотности однородной окружающей жидкости? Это отличие, очевидно, делает невозможным сохранение начальной формы и скорости тела. Сформулированный вопрос возникает, например, в связи с задачей об эволюции спутных самолетных вихрен [10], об эволюции "терминов" и вихревых образований в атмосфере или океане [И]. Авторы упомянутых в [10] работ, не отказываясь от модели невязкой жидкости, шдуг ответ на поставленный вопрос не на основе уравнений Эйлера (возможно, по указанным выше причинам). Как отмечается в [10]. "имеются существенные

различия в предположениях, сделанных различными исследователями, поэтому получены совершенно различные выводы... Имеются существенные различия в предположениях, сделанных различными исследователями в вычислениях импульса, в составлении уравнений количества движения жидкости...". В работе [11] ответ ищется в предположении, что скачек плотности "заморожен" на сфере (начальная форма вихря), а не на эволюционирующей границе раздела. Решение рассматриваемой проблемы на основе уравнений Эйлера представляет собой весьма сложную задачу именно потому, что необходимо обеспечить выполнение граничных условий на заранее неизвестной границе раздела между однородными фракциями идеальной несжимаемой жидкости. Речь идет о границе Г между переносимой вихрем жидкостью плотности у > н окружающей жидкостью плотности у^ > * у^ i). В главе 2 выполнение граничных условий обеспечивается применением обоснованного в главе 1 метода редукции нелинейной задачи к равносильной задаче меньшей размерности. Формулируемые на основе метода уравнения не разрешены относительно производных по времени и содержат предельные значения разрывных интегральных операторов. Такого рода уравнения типичны для нелинейных задач динамики тяжелой жидкости с кусочно-постоянной плотностью. И если такого рода уравнения не изучались в литературе ло гидродинамике, то, очевидно, потому, что практически во всех публикациях (а это, в основном, работы по динамике тяжелой слоистой жидкости) рассматриваются задачи, в которых градиенты плотности и давления почти параллельны. Это обстоятельство позволяет в том или ином виде провести редукцию уравнений Эйлера к другим (типа "приближения Буссннеска"), так или иначе "снимающим" проблему условий на границе раздела между фракциями. В рассматриваемой задаче угол между двумя градиентами изменяется в диапазоне от 0 до 180 градусов. Это обстоятельство побуждает провести независимо аналитическое и численное исследование задачи, поскольку сопоставление результатов даст определенное представление о

качествах того и другого. Получивший распространение метод контурной

динамики [12-14] здесь не пригоден, так как имеет дело с уравнениями,-

описывающими движение однородной жидкости и потому не содержащими

упомянутых неприятностей. В §4 аналитически и в §5 численно исследуется

эволюция жидкого тела (в начальный момент шара) плотности у I,

окруженного неограниченной жидкостью плотности у^ >, отличной от V ,.

Начальное поле скоростей - сферический вихрь Хилла. Если бы жидкость была

однородной ('у 1-у.«)» то вихрь сохранял бы форму и скорость. Отличие А

плотностей делает невозможным сохранение того и другого. Теоретические основы главы 1 позволили исследовать эту задачу на строгой основе. В §§ 4 и 5 изложены результаты изучения зависимости эволюции вихря от двух параметров, один из которых определяет плавучесть вихря, а другой - его начальную скорость. Впервые в литературе найдено, что в зависимости от выбора параметров возможны два типа эволюции вихря. Высокая степень согласия между аналитическими и численными результатами на большом интервале времени позволяет положительно оценить как предложенный в §5 алгоритм численного решения, ' так и аналитическое решение сформулированных уравнений. .

Содержание главы 3 ясно раскрыто оглавлением (см. ниже). Термин "термин" (в заголовках §§1 и 2) заимствован из океанологии и означает ограниченный объем жидкости, плотность которой отличается от плотности окружающей жидкости. Термики, движущиеся вертикально под действием плавучести, вызывают волны на границах раздела (например, на границе вода-воздух). Эти задачи, несомненно, интересны. Автору диссертации неизвестны какие-либо работы, содержащие аналитические результаты по таким задачам.

В §3 рассматриваются две однородные жидкие фракции плотности у 1

("верхняя" фракция) и у > ("нижняя" фракция; у I <у ), разделенные % * 2

жидкой границей Г. Двухслойная жидкость заполняет неограниченное пространство. Если в начальный момент жидкость покоится, но граница раздела отличается от равновесной горизонтальной плоскости, то со временем жидкость приходит в движение. Первые результаты аналитического изучения такого рода движения жидкости (в случае свободной поверхности) получены Коши. Обзор этих и ряда последующих результатов содержится, в частности, в книге [16]. Следуя Коши, в [16] рассматриваются малые по амплитуде начальные возмущения, что позволяет задачу линеаризовать (с отбрасыванием нелинейных членов в уравнениях). Решение линеаризованной задачи представляется интегралом Фурье. Уизем (ШЫ&аш) в книге [17, п.п.11.3, 11.7] отмечает, что поведение решений, представленных интегралом Фурье, "трудно определить непосредственно", что наглядные результаты удается получить с помощью асимптотических методов, пригодных при больших значениях временного ,и пространственного аргументов. Но, отмечает Уизем, со временем влияние нелинейных эффектов становится сравнимым с влиянием дисперсии, так что асимптотическая линейная теория применима в некоторой промежуточной области изменения аргументов. Поэтому желательно "...избежать интегралов Фурье и найти путь к обобщению на задачи с неоднородной средой и на нелинейные системы" [17, п:11.8].

В. диссертации: развит новый подход к исследованию нелинейной волны и получены результаты, которые по своему характеру и области применимости ■ отличаются от известных в лгггературе результатов. Этот новый подход основа!! на двух ключевых-моментах: вводится обобщенный потенциал скорости для некоторых видов течений с отличной от нуля циркуляцией скорости (вдоль, замкнутого контура) и дня изучения решений сформулированщлх шгтегродифферснциачышх уравнений вводится параметр, который является функцией отношения амплитуды начального возмущения (вертикальный размер) к характерному горизонтальному

размеру этого возмущения (при малых значениях - параметр и отношение пропорциональны). Связь с геометрией начального возмущения отличает введенный параметр от используемого в теории "мелкой воды" "отношения характерной амплитуды к характерной длине волны". Эти отношения (отношение размеров начального возмущения и отношение размеров волны) вводятся для достижения совершенно разных целей. Первое используется для представления решения задачи в виде рядов по целым степеням параметра. Второе отношение используется для редукции уравнений Эйлера к другим нелинейным уравнениям (мелкой воды, Буссинеска, Кортевега-де Вриза [18]). Применительно к поверхностным волнам в жидкости такая редукция осуществляется более аккуратно в случае стационарной волны, поскольку ее линейные размеры не меняются во времени [19, 20]. В связи со сказанным уместна подчеркнуть, что в рассматриваемой задаче нет "мелкой воды" (жидкость не ограничена по вертикали) и возникающие волны не являются стационарными. В §3 строится приближенное решение осесимметричной задачи для случая, когда мало отношение амплитуды начального возмущения к характерному горизонтальному размеру этого возмущения. Здесь указывается точное решение уравнений первого приближения, пригодное во всем трехмерном пространстве на полуоси 1>0 (I - время).

В §4 изучается течение, . начальное поле скоростей которого индуцируется вихрем Хилла; движущийся вихрь возбуждает волны на первоначально горизонтальной границе раздела, которые, в -свою очередь, возбуждают волны на границе вихря. В книге [15] приводятся некоторые экспериментальные данные по такого типа течениям, отмечается теоретическая значимость задачи и отсутствие аналитических результатов.

В главах 4 и 5 изучаются задачи, когда волны возбуждаются естественно всплывающим шаром, колеблющимся шаром, цилиндром, движущимся с постоянным ускорением, колеблющимся цилиндром. Изучаются частотные свойства системы жидкость-твердое тело н

испытываемое телом волновое сопротивление. Во всех этих задачах речь идет о нестационарных волнах, поскольку тела движутся под углом к горизонту.

Основная проблема при решении такого рода задач - обеспечить выполнение граничных условий на поверхности тела и на эволюционирующих границах раздела. В [21] содержится обзор результатов, которые относятся к случаям, когда тело, погруженное в однородную жидкость со свободной поверхностью, движется по заданному закону и, следовательно, движение жидкости не влгает на движение тела. Относительно аналитических результатов в [21] отмечается, что "даже в линейной постановке решение сопряжено с большими трудностями учета точных граничных условий на теле, которые иногда обходятся введением дополнительных предположений. Так, например, получила большое распространение замена реального конечного тела системой точечных источников и стоков, заимствованная из теории безграничной свободной жидкости". Имеются работы, в которых "используется линейное условие на свободной поверхности (т.е. граничные условия переносятся ' на неподвижную горизонтальную плоскость - равновесную границу раздела. -И.М.) и точное условие на контуре тела". Задача о плавном горизонтальном разгоне цилиндра в работах [22-24] исследуется численно либо в дипсшьном приближении. Применение дшюльного приближения к исследованию волн, возбуждаемых погруженным цилиндром, колеблющимся в горизонтальной плоскости, приводит к отмечаемому в обзоре [21] противоречию с численно исследуемой задачей: в те моменты времени, когда скорость цилиндра обращается в нуль, момент диполя также равен нулю, что соответствует отсутствию в потоке каких-либо особенностей, тогда как при численном решении цилиндр остается в жидкости. Наличие аналитических результатов (вне рамок динольного приближения) в обзоре [21] не отмечается. Обзор [26] не называет каких-либо других аналитических результатов (относящихся к

обсуждаемому вопросу). Обратим также внимание на относительно недавние статьи [27, 28]. В [27] задача решается численно. При этом граничные условия на твердой поверхности удовлетворяются только в дискретные моменты времени, когда цилиндр оказывается в крайних положениях. В [27] требуется, чтобы отношение амплитуды колебаний цилиндра к расстоянию от цилиндра до свободной поверхности было мало; при этом имеется ввиду, что амплитуда может быть большой по сравнению с радиусом цилиндра. В [28] приводятся аналитические результаты, относящиеся к начальному этапу движения (найдены три члена степенных относительно времени рядов), но цилиндр моделируется диполем.

Задачи о взаимодействии вертикально движущегося тела и тяжелой идеальной несжимаемой жидкости (исключая случай неограниченной однородной жидкости) в известных автору диссертации работах [16, 25] также исследуются на основе замены тела точечными источниками, что позволяет (при весьма жестких ограничеших на форму тела) линеаризованные уравнения гидродинамики и уравнения движения тела решать независимо. В этой связи уместно подчеркнуть, что указанные в главе 4 аналитические результаты для естественно всплывающего шара получены в ходе совместного решения уравнений гидродинамики и уравнений движения тела.

Предлагаемые з литературе методы более строгого учета граничных условий на твердом теле при аналитическом исследовании задач рассматриваемого типа описываются в книге [16]. В ней указываются две задачи, когда удается получить более или менее продвинутые аналитические результаты. Речь идет о волнах на свободной поверхности, возбуждаемых погруженным колеблющимся цилиндром и погруженным колеблющимся шаром. Совпадение предмета исследования (только в случае колеблющихся тел) требует провести сопоставление методов, описанных в [16] и в диссертации, и результатов. И дело не только в том, что в диссертации

рассматривается жидкость из двух тяжелых фракций, а в [16] - тяжелая однородная жидкость, ограниченная свободной поверхностью (различия в методах введения шггегродифференциальных уравнений в этих случаях обсуждаются выше; уместно отметить, что полученные в диссертации результаты описывают волны на свободной поверхности, если положить равной нулю плотность "верхней" фракции).

Остановимся на характерных моментах метода, применяемого в [16, гл.1, §34] при исследовании волн, возбуждаемых цилиндром, колеблющимся под свободной поверхностью (указываются номера формул в упомянутом §34):

1. Уравнения вводятся в случае, когда амплитуда колебаний достаточно мала по сравнению с радиусом цилиндра. Эти ограничения позволяют задачу линеаризовать и перенести граничные условия с эволюционирующей границы раздела на неподвижную горизонтальную плоскость и с колеблющейся поверхности тела на неподвижный контур С - среднее положение поперечного сечения цилиндра. Введенными интегральными уравнениями описываются установившиеся гармонические колебания. Тем самым исключается возможность изучения переходного процесса.

2. Вводятся два интеграла типа потенциала простого слоя источников, распределенных вдоль контуров С и С.( с плотностями с^ и соответственно (формулы (б),(15)); С и С^ - симметричны относительно неподвижной горизонтальной плоскости, упомянутой ВП.1.

3. Плотности и ц^ являются1 решением пары интегральных уравнений (1'), которые обеспечивают выполнение условий кепрогекания через контур С. Эти уравнения содержат кратные (двойные и тройные) интегралы от неизвестных плотностей.

4. Потенциал скорости течения представляется линейной комбинацией четырех гштегралоз, два нз которых - упомянутые потенциалы, два других ((14), (15)) 'представляют собой интегральное преобразование от преобразования Фурье от . упомянутых потенциалов (т.е. тройные интегралы от и ). Эти тройные интегралы появляются в результате операций, призванных обеспечить выполнение условий на горизонтальной плоскости, представляющей приближенно свободную поверхность. Все аналитические результаты упомянутого §34 выражены в терминах функций Г)'(к) (14) и (к) (16), представляющих собой преобразование Фурье от линейных комбинаций упомянутых интегралов, т.е. в 1гргдполо"{гнни, что решены уравнения пункта 3 и найдены соответствующие преобразования Фурье. Не имеется вн одного примера, когда бы по удалось сделать аналитически. Чтобы обойти трудности с решением интегральных уравнений, в [16] обращается внимание на предложение Лэма [16, етр.5И], содержащееся, по-Еидимому, з [29]: а случае, когда тело находится достаточно далеко от свободной поверхности, считать, что плотности ц^ и с^ таковы, как если бы тело двигалось в неограниченной жидкости, т.е. предлагается пренебречь влиянием границы раздела на поле скоростей в окрестности тела. В случае кругового цилиндра эта плотности вычисляются по дипольному приближению потенциала скоростей. Аналогичный подход принят при исследовании задачи о волнах, возбуждаемых колеблющимся шаром [16, гл.З, §§15 я 20]; размерность интегралов при этом увеличивается.

Применяемый в диссертации метод отличается от описанного следующим:

1. Сформулированные иктегродпфференииальиые уравнения определяют поля скоростей, которые (поля) внутри каждой однородной фракции удовлетворяют уравнениям Эйлера для

однородной жидкости. В этом смысле они являются точными. Они обеспечивают выполнение . точных граничных условий на эволюционирующей границе раздела и на поверхности тела и не требуют малости амплитуды (по сравнению с размерами тела). Уравнениями описывается задача с начальными условиями и произвольным законом движения тела.

2. Обобщенный потенциал скорости представляется суммой двух интегралов типа потенциала двойного слоя источников, распределенных вдоль эволюционирующей жидкой границы раздела и поверхности тела. Соответствующие две плотности источников являются решением системы двух, интегродифференциальных уравнений, содержащих однократные интегралы в случае цилиндра и приводящиеся к однократным в случае шара или другого осееимметричного тела.

3. Аналитические результаты получены для случаев, когда расстояние от тела до границы раздела значительно презосходит размеры тела; это предположение не требует, чтобы амплитуда колебаний была мала по сравнению с размерами тела.

Сопоставим результаты исследований, содержащихся в [16], и в диссертации. Что касается формы свободной поверхности, то описанным путем в [16] получены асимптотические формулы, пригодные вдали от вертикальной оси колеблющегося тела, где поле скоростей мало отличается от поля, создаваемого точечным источником периодического дебета. В диссертации для границы раздела получены формулы, пригодные во всем пространстве на положительной полуоси I (1 - время). Предельным переходом при неограниченно растущем времени найдены формулы для установившейся волны. Подобный предельный переход осуществлен едва ли не впервые в литературе по динамике неоднородной тяжелой жидкости, особенно жидкости идеальной (второй такой случай указан в главе 6). Из

решения начально-краевой задачи следует ряд формул, касающихся характеристик переходного процесса, которые в принципе не могут быть получены описанными в [16] методами. Не останавливаясь более на сопоставлении результатов, отметим только следующее обстоятельство. Согласно приведенной в [16, стр.508] асимптотической формуле, вызванное колеблющимся шаром отклонение возмущенной поверхности от равновесной горизонтальной плоскости убывает как i/-Jy (v - горизонтальная декартова координата, расстояние до вертикальной оси симметрии, проходящей через центр шара. В диссертации найдено, что это отклонение убывает как 1/у . Согласно указанным в [16, стр.160] формулам, высота гребней волн на границе раздела не убывает при их удалении от колеблющегося погруженного цилиндра. Согласно результатам диссертации, при удалении от колеблющегося цилиндра высота гребней убывает. Различия в асимптотическом поведении объясняются тем, что в [16] для "выделения" установившегося режима используются "условия излучения", а в диссертации асимптотика границы раздела на бесконечности диктуется требованием: объем жидкости, перемещаемой колеблющимся телом через равновесную плоскую границу раздела, остается конечным (в [16] этот объем бесконечен). Различия в асимптотиках принципиально важно, поскольку вновь поднимает вопрос о роли и виде условий излучения. Уместно отметить, что в [16] неоднократно обсуждается роль ■ условий излучения, отмечается, что бесспорные результаты следовало бы получить, осуществив предельный переход при t ->+от в решении задачи с начальными и граничными условиями. Именно это и делается в §3 главы 4 и в §4 главы 5.

В §5 главы 4 дается точное аналитическое решение нестационарной задачи, в которой удовлетворяются граничные условия на двух твердых поверхностях, разделенных жидкостью.

В главе 6 речь идет о волнах, возбуздаемых переменным давлением в первоначально покоящейся жидкости, ограниченной горизонтальной свободной поверхностью. Термин "переменное давление" означает, что давление на свободной поверхности изменяется во времени и в пространстве {в отличие от "неравномерного давления", не изменяющегося во времени, ¡¡.та от "перемещающейся области давлений", когда не меняется во времени давление в некоторой поступательно движущейся ограниченной облаете). Судя по книгам [16, 31, 32], относящиеся к рассматриваемой проблеме аналитические результаты немногочисленны: называются только работы [3335], в которых исследуются волны в случае, когда давление Р изменяется по закон)' частного вида. В [35], например,

г>0 Р(уЛ)=рвсоз(©1) при | у |<а, Р=0 при ] у ¡>а (рй~соп51, С - время, ось у -горизонтальна). Найдена форма бегущих волн в области | у |»а. В [33, 34] давление задается столь же специфическими фор!;\ламк.

Методами, разработанными в диссертации, проводится аналитическое исследование волн, возбуждаемых переменным давлением достаточно общего вида. В §1 изучается задача с начальными ;; граничными условиями для системы нелинейных интегредиффергццнапьных уравнений, описывающих формирование и эволюцию оссеимметрнчных волн, возбуждаемых на неограниченной свободной жидкой поверхности давление?.!, изменяющимся во времени и в пространстве ■ по законам достаточно общего вида. В случае, когда сила давления ограниченной мощности распределена по 'достаточно большой площади, получены формулы, описывающие' эволюцию свободной поверхности во всем пространство и на полуоси Г>0 (с - время). Предельным переходом при неограниченно растущем Бремени выяснено, «по при почти-периодически и ¡меняющемся давлении с достаточно богатым частотным спектром

установившаяся форма свободной поверхности представляет собой суперпозицию нелинейных (относительно амплитуды) стоячих и бегущих волн. Найдена зависимость между мощностью, уносимой бегущими волнами (из области переменного давления в бесконечность) и характеристиками давления.

В §2 получены аналогичные результаты для плоского течения.

В дополнении 1 речь идет о строгом исследовании бифуркации вихря в однородной жидкости: доказано существование ответвляющегося решения, сходимость последовательных приближений к ответвляющемуся решению. В теоретической гидродинамике имеется весьма ограниченное количество такого рода результатов. Они относятся, в основном, к фигурам равновесия вращающейся гразитирующей жидкости и к установившимся волнам на свободной поверхности.

Ламб предположил [7], что уравнения Эйлера допускают решения, описывающие цилиндрические вихри, поперечное сечение которых представляет собой правильный многоугольник со сглаженными углами ("вортоны" - по терминологии [14]). Ламб указал линеаризованное дисперсионное уравнение для частоты вращения вортона.

Эвристически не очевидно существование "многоугольной" цилиндрической жидкой поверхности, вращающейся как поверхность' твердая. Deem и Zabusky [14] провели численный эксперимент, результаты которого, по их мнению, указывают на существование вортонов; при этом обнаружено, что частота их вращения ниже указанного Ламбом значения. Аналитические результаты в [14] отсутствуют.

В дополнении 1 доказана теорема существования вортона, указано нелинейное дисперсионное соотношение, указаны формулы, списывающие форму вортона и индуцированное им поле скоростей.

Представляет интерес метод доказательства существования ответвляющегося решения соответствующего нелинейного интегрального

уравнения. Обычно доказательство проводится в два этапа [30]: а) в уравнение вводится свободный параметр и итерационным методом с применением теоремы о неподвижной точке сжимающего отображения доказывается существование семейства решений, зависящих от параметра; б) доказывается существование решения уравнения разветвления, содержащего параметр в качестве неизвестного; чтобы Построить уравнение разветвления, нужно предварительно эффективно получить семейство решений интегрального уравнения. В дополнении 1 предлагается итерационный метод, при котором на каждом шаге получается и приближение ответвляющегося решения, и приближение бифуркационного значения параметра. Преимущества такого подхода при численном решении задачи очевидны. Отметим, что в окрестности точки бифуркации используемый в [14] метод контурной динамики численного решения соответствующего интегродифференциального уравнения так и не привел к решению (и не мог привести; по очевидным причинам: процесс переключается с одного близкого решения па другое).

ТЕКСТ ДИССЕРТАЦИИ ПОЛНОСТЬЮ ОПУБЛИКОВАН В ВИДЕ МОНОГРАФИИ [47], которой предшествовала серия статей по проблемам, освещаемым в диссертации [36 - 46].

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ДОКЛАДЫВАЛИСЬ на школе-семинаре "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Звенигород-1990), Пятой всесоюзной школе-семинаре "Современные проблемы механики жидкости и газа" (Иркутск-1990), Всесоюзном совещании по численным методам в гидродинамике (Ростов-на-Дону -1990),. Седьмом всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва - 3991), Второй международной научной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" (Нижний Новгород-Москва - 1994), на семинарах в институте механики МГУ (1979, 1984 -

руководитель Г.й. Петров; 1996 - руководители А.А.Бармин и АГ.Куликовскяй), в отделении гидрофизики ИПФ АН (Н.Новгород, 1978, 1994, 1995), на семинаре "Динамика распределенных систем" в НГУ им. Н.И. Лобачевского (Н.Новгород, 1987-1989; руководители А.И.Весницклй и А.И.Потапов).

В ДИССЕРТАЦИИ ПРЕДСТАВЛЕНЫ И ВЫНОСЯТСЯ НА ЗАЩИТУ новые аналитические результаты по каждой из названных выше проблем.

A) Для решения проблем 1-3 в диссертации предложены отличные от известных в литературе методы редукции нестационарных н стационарных нелинейных задач динамики тяжелой жидкости с кусочно-постоянно ¡1 плотностью к эквивалентным задачам меньшей размерности. Эти методы позволяют сформулировать интегродифференциальные уравнения, которые полностью освобождают от необходимости заниматься проблемой условий на границах раздела жидких фракций. Это существенное преимущество достигается тем, что уравнения составляются относительно скачка касательной к границе раздела составляющей скорости. Эволюционное уравнение для этого скачка автоматически обеспечивает непрерывность давления в окрестности границы раздела. Такого рода уравнения ¡¡е изучались в литературе по гидродинамике.

Б) В диссертации изучены фильтрующие свойства ряда ингаралышх операторов, связанных с ньютоновскими и логарифмическими потенциалами, разработан метод решения класса однородных н неоднородных счетных систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, метод построения асимптотических решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами.

B) Упомянутые результаты позволили существенно расширить кру задач нелинейной гидродинамики, поддающихся . аналитическому

исследованию. В классе задач, относящихся к проблемам 4 - 10, эффективно | построены первые члены рядов, описывающих обобщенный потенциал скорости или обобщенную функцию тока, форму эволюционирующих границ раздела, ряда интегральных характеристик в конкретных проблемах. Ряды строятся с учетом точных граничных условий, в частности, на поверхности твердых тел. В некоторых задачах исследована сходимость некоторых из построенных рядов. Часть полученных аналитических результатов пригодна на ограниченном интервале времени, часть - на полуоси t>0 (t - время). Последние не имеют аналогов в литературе по динамике нестационарных течений идеальной жидкости. Упомянутые первые члены рядов дают первое приближение решений изучаемых задач.

Г) Вклад диссертации в решение проблем 4-10 состоит в следующем (номера соответствуют номерам перечисленных выше проблем):

4. Предложена новая математическая модель кольцевого вихря и на ее основе показано, что течение начавшееся из состояния покоя под влиянием плавучести, представляет собой эволюционирующий вихрь типа 1рибоввдного облака, формирующегося после мощного взрыва в атмосфере (§§ 1 и 2 главы 2).

5. Впервые в литературе на основе уравнений Эйлера аналитически исследуется течение, в котором угол между градиентами давления и плотности изменяется в диапазоне от 0 до 180 градусов. Существенная нелинейность задачи и нестабильность течения потребовали дополнить аналитическое решение независимо проведенным численным. Высокая степень согласия этих решений на большом интервале времени говорит о качествах как аналитического решения, так и алгоритма численного решения. Изучена зависимость эволюции кольцевого вихря от его начальной скорости и плавучести. Найдено, что возможно два типа эволюции вихря (§§ 4 к 5 главы 3).

6. Впервые в литературе на основе уравнений Эйлера аналитически исследуются волны на границе двухслойной жидкости, возмущаемой естественно всплывающим жидким телом и вертикально движущимся кольцевым вихрем (§§ 1,2,4 главы 3).

7. Впервые получены аналитические результаты решения ряда задач о волнах в двухслойной первоначально покоящейся жидкости, возбуждаемых приходящим в движение твердым телом. При этом на уходящей в ■ бесконечность границе раздела ставятся нетрадиционные краевые условия: объем жидкости, перемещаемой телом через равновесную границу раздела, должен быть конечным. В случае почти-периодически колеблющихся шара и цилиндра построено (в первом приближении) решение начально-краевой задачи, пригодное на полуоси 00.

8. Дана отличающаяся от предложенной Коши постановка задачи о волнах в тяжелой слоистой жидкости, порождаемых начальным возмущением равновесных границ раздела. Для протяженных возмущений в' двухслойной жидкости получено решение этой задачи, пригодное во всем пространстве я на полуоси 1>0 (§ 3 главы 3, §1 главы 5).

9. Впервые получены аналитические результаты ■ для волн, возбуждаемых "давлением,'. изменяющимся во _ времени н а пространстве по законам весьма общего вида. Для давления ограниченной мощности, распределенного по достаточно большой площади свободной . поверхности,' построено (в первом приближении) решение начально-краевой задачи, пригодное во всем пространстве л на полуоси р-0 (глава 6).

10. Впервые в литературе предельным переходом при неограниченно растущем времени из решения начально-краевых задач найдены установившиеся волны, возбуждаемые на границе раздела почти-

ч периодически колеблющимся твердым телом (§ 3 главы 4, § 4 главы 5) и почти-периодически изменяющимся давлением (глава 6)

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. -М.:Мир, 1964.-655 с.

2. Шоу Р.П. Применений метода граничны* интегральных уравнений к теории волн на поверхности воды// Метод граничных интегральных уравнений. Сб. ст. Серия "Новое в зарубежной науке". Механика. Вып. 15. -М.:Мир, 1978.-С. 18-29.

3. Афанасьев К.Е.,, Афанасьева М.М., Терентьев А.Г. Исследование эволюции свободных границ при нестационарном движении тел в идеальной несжимаемой жидкости методом конечных и граничных элементов//Изв. АН СССР. МЖГ. -1986. N 5л С. 8-13.

4. Морозенко С.Ю., Ясько H.H. Численное моделирование неустановившихся течений идеальной жидкости со свободными границами// Изв. АН СССР. МЖГ.« 1990. N 2,- С. 3-7.

5. Бежаков К.А., Тер-Крикоров A.M. Многослойные установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости над неровным дном// ПММ,-1984. Т.48, вып.5,-С. 750-760.

6. Бежанов К.А., Тер-Крикоров A.M. Обтекание тела многослойным потоком идеальной несжимаемой тяжелой жидкости// ПММ.- 1985. Т.49, вып.З - С. 392-400.

7. Ламб Г. Гидродинамика,- М; Л.: Гостехиздат, 1947.- 928 с,

8. Салливсн Ж., Уидиелл Ш., Эзекель С. Исследование вихревых колец с помощью лазерного доплеровского измерителя скорости//. Ракетная гехншса и космонавтика. 1973.- Т.11, N 10,- С. 31-36.

9. Заславский Б.И. О начальной стадии развития термика// ПМТФ.- 1982. N 6,- С. 65-69.

с* *

10. Уиднелл Ш. Структура и динамика вихревых нитей// Вихревые движения жидкости. Сб. ст. Серия "Новое в зарубежной науке". Механика. Вып.21. М.: Мир, 1979,- С. 126-159.

11. Simons G.A., Larson R.S. Formation of vortex rings in a stratified atmosphere//Phys. Fluids.- 1974. V.17,N l.-P. 8-12.

12. Zabusky N. J.,Hughes M.N., Roberts K.V. Contour dynamics for the Euler equations in two dimensions// J. Comput. Phys.- 1979. V.30, N 1.- P. 96-106.

13. Pozrikidis C. The nonlinear instability of Hill's vortex// J. Fluid Mech.- 1986. V:i68.-P. 337-367.

14. Deem G.S., Zabusky N.J. Stationary V-states: Interaction, Recurrence and Breaking. In Solitons in Actions: Acad.Press.Inc.-1978- P. 277-293 (Рус. пер: Солитоны в действии - М.: Мир, 1981.- 312 е., гл.11).

15. Лаврентьев М.А., Шабат В.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973.- 416 с.

16. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости,- М.: Наука, 1977,- 815 с.

17. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны,- М.: Мир, 1977,- 622 с.

18. Габов В.А. Введение в теорию нелинейных волн,- М.: Изд-во МГУ, 1988,176 с.

19. Jeffrey A., Kakutani Т. Weak nonlinear dispersive waves: a discussion around the Korteweg-de Vries equation// SIAM Review.- 1972.-V.14, N 4,- P. 582643.

20. Физика океана. T.2. Гидродинамика океана.- М.: Наука, 1978,- 455 с.

21.Стурова ИВ. Численные расчеты в задачах генерации плоских поверхностных воли/ ВЦ СО АН СССР,- Красноярск, 1990,- Препринт N 5. - 48 с. .

22. Haussling H.J., Coleman R.M. Finite-difference computations using boundary-fitted coordinates for free-surface potential flows generated by submerged

bodies// Proc. 2nd Intern. Conf. on Numerical Ship Hydrodynamics.- Berkley. 1977,- P. 221-233.

23. Häusling H.J., Coleman R.M. Nonlinear water waves generated by an accelerated circular cylinder// J. Fluid Mech.- 1979, V.92, N 4,- P. 767-781.

24. Liu P.L.-F., Liggett J.A. Boundary element formulation and solution for some nonlinear water wave problems// Develop. Boundary Elem> Meth.- L; N.Y., 1984,-V.3.-P. 171-189.

25. Акуленко Л.Д., Михайлов C.A., Нестеров С.В., Чайковский А.А Численно аналитическое исследование колебаний твердого тела на границе раздела двух жидкостей// Изв. АН СССР. МТТ,- 1988. N 4,- С. 5966.

26. Степанянц Ю.А., Стурова Й.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных й внутренних волн// Итоги науки и техники ВИНИТИ: Механика жидкости и газа.-1987. Т. 21С. 93-179.

27. Wu G.X. Hydrodynamic forces on a submerged circular cylinder undergoing large-amplitude motion// J. Fluid Mech -1993. V.254.- P. 41-58.

28. Tyvand Peder A., Miloh Touvia. Free-surface flow generated by a small submerged circular cylinder starting from rest// J. Fluid Mech.- 1995. V.286.-P. 103-116.

29. Lamb H. On wave resistance// Proc. Soc. Lond. (A). 1926. V.ИP. 14-25.

30. Вайнберг M.M., Треногин B.A. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.-527 с.

31. Черкесов Л.В. Неустановившиеся волны,- Киев: Наукова думка, 1970,196 с.

32. Черкесов Л.В. Гидродинамика волн,- Киев: Наукова думка, 1980,- 259 с.

33. Сретенский Л.Н. О направленном излучении волн из области, подверженной внешнему давлению// ПММ,- 1956. Т.20, N 3 - С. 349-361.

34. Войт С.С. Волны на поверхности жидкости, возникающие от периодической перемещающейся системы давлений// ПММ.- 1957. Т. 21, N1,-С. 21-26.

35. Стокер Д.Д. Волны на воде,- М.: ИЛ, 1959,- 617 с. ' .

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

36. Миндлин Й.М. К теории нестационарных вихрей в идеальной жидкости/7 Изв. АН СССР. МЖГ,- 1980. N 6,- С. 3-11.

37. Миндлин И.М. О волнах в однородной несжимаемой жидкости, индуцированных вихрем// ПММ.- 1984. Т. 48, вып.5.- С7 761-767.

38. Гильман O.A., Миндлин И.М. Кольцевые вихри в неограниченной тяжелой жидкости с кусочно-постоянной плотностью// Изв. АН СССР. МЖГ,- 1985. N6,-С. 38-44.

39. Миндлин И.М. Новый метод в нелинейных задачах о волнах в тяжелей слоистой жидкости, возбуждаемых вертикально движущимся твердым телом// Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. N 5,- С. 151-160.

40. Миндлин И.М. Метод обобщенного потенциала скорости в динамике слоистой жидкости, ■ возмущаемой естественно всплывающим "термиком"// Межвуз. сб.: Колебания и волны з сплошной среде,- Нижний Новгород: изд. Нижегород. политехи, ип-та, 1992.- С. 73-31.

41. Гильман O.A., Миндлин И.М. Влияние плавучести на эволюцию кольцевого вихря с распределенной завихренностью// Межвуз. сб. Колебания и волны в сплошной среде.- Нижний Нозгород: нзд. Нижегород. политехи, шт-та, 1992,- С. 81-95.

42. Миндлин И.М. Нелинейные волны в тяжелой двухслойной жидкости, порождаемые начальным возмущением горизонтальной границы раздела// Изв. АН СССР. МЖГ - 1994.-N 5,- С. 135-143.

43. Миндлин И.М. Нелинейные волны в тяжело:1} двухслойной жидкости, порождаемые протяженным начальным возмущением горизонтальной

границы раздела: точное решение// Изв..АН СССР. МЖГ,- 1995,- N 6- С. 165-168.

44. Гильман O.A., Миндлин И.М. Аналитическое исследование нелинейной задачи о влиянии плавучести на эволюцию кольцевого вихря// Изв. АН СССР. МЖГ,- 1996.N 1,- С. 56-66:

45. Миндлин И.М. Волны, возбуждаемые переменным давление.-,! на свободной поверхности тяжелой жидкости// Изв. АН СССР. МЖГ,- 1996,-N 3.- С. 97-108.____ ___

46. Гильман O.A., Миндлин И.М. Волны в тяжелой двухслойной жидкости, возбуждаемые колеблющимся твердым телом//Изв. РАН: МЖГ,- 1998.—

N 2.-С.120-133.

47.Миндлик И.М. Иягегродифференциальные уравнения в динамике тяжелой слоистой жидкости,- М.: Наука*Физматлит, 1996,- 304 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

Глава 1. Математическая теория вихревой поверхности в идеальной несжимаемой жидкости.

§1. Уравнение Эйлера. Векторный потенциал. Функция тока. Потенциал скорости.

§2. Условия на вихревой поверхности.

§3. Потенциалы простого слоя и математическое моделирование вихревой поверхности. Обобщенная функция тока.

§4. Потенциалы двойного слоя и математическое моделирование вихревой поверхности.

§5. Свойства некоторых интегральных операторов, связанных с ньютоновскими потенциалами. Полиномы Лежандра.

§6. Свойства некоторых интегральных операторов, связанных с логарифмическими потенциалами.

Глава 2. Кольцевые вихри в неограниченной тяжелой жидкости с кусочно-постоянной плотностью.

§1. Математическая модель кольцевых вихрей.

§2. Формирование (под влиянием плавучести) грибовидного кольцевого вихря.

§3. Эволюция объема завихренной жидкости.

§4. Влияние малой плавучести на эволюцию кольцевого вихря с распределенной завихренностью: аналитическое исследование.

§5. Влияние малой плавучести на эволюцию кольцевого вихря с распределенной завихренностью: алгоритм я результаты численного исследования.

ГлаваЗ. Взаимодействие вихрей и волн в тяжелой слоистой жидкости.

§1. Метод обобщенного потенциала скорости в динамике слоистой жидкости, возмущаемой естественно всплывающим термиком.

§2. Эволюция термика и формирование волны в первоначально покоящейся жидкости.

§3. Нелинейные волны в тяжелой двухслойной жидкости, порождаемые начальным возмущением горизонтальной границы раздела.

§4. Волны з тяжелой двухслойной жидкости, возбуждаемые вертикально движущимся кольцевым вихрем.

Глава ' 4. Волны в тяжелой слоистой жидкости, возбуждаемые вертикально движущимся твердым телом.

§ 1. Метод обобщенного потенциала скорости б задаче о волнах, I возбуждаемых движущимся твердым телом.

§2. Волны в двухслойной жидкости, возбуждаемые естественно всплывающим шаром.

§3. Волны в тяжелой двухслойной жидкости, возбуждаемые колеблющимся шаром.

§4. Волновое сопротивление, испытываемое колеблющимся шаром.

§5. Динамика жидкости и твердого шара, естественно всплывающего б жидком полупространстве с твердой границей.

Глава 5. Плоские волны в тяжелой слоистой жидкости.

§1. Плоские нелинейные волны в двухслойной жидкости, порождаемые начальным возмущением горизонтальной границы раздела.

§2. Метод обобщенного потенциала скорости в динамике двухслойной жидкости, возмущаемой цилиндром, движущимся под утлом к горизонту. /3.

§3. Волны в двухслойной жидкости, возбуждаемые медленно ускоряющимся цилиндром.

¡§4. Волны в двухслойной жидкости, возбуждаемые колеблющимся цилиндром.

§5. Волновое сопро¥йвл-еШс, 'испытываемое колеблющимся цилиндром.

Глава 6. Нелинейный волны, возбужйае'М'ые переменным давлением на свобо.к.'иой поверхности тяжелой жидкости.

§1. Осесимметричные волны, возбуждаемые переменным давлением ограниченной мощности.

§2. Плоские волны, возбуждаемые переменным давлением ограниченной мощности.

Дополнение 1. Бифуркация стационарного цилянхрнческого вихря.