Точные решения и характеристические свойства интегродифференциальных уравнений теории волн тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

41 Глава 1. Точные решения уравнений вихревой мелкой воды

§ 1.1 Математическая модель и допускаемые преобразования

§ 2. Подмодели

§ 3. Инвариантные решения

Охлопывание параболической полости

Вытеснение жидкости гибким поршнем.

Равноускоренное движение жидкого клина.

Нестационарные течения с поворотными зонами.

Сжатие жидкой полосы давлением.

§ 4. Основные результаты главы

Глава 2. Вихревые течения однородной жидкости в удлиненном канале

§ 1. Вывод уравнений движения

§ 2. Условия гиперболичности системы уравнений

§ 3. Единственность решения задачи Коши.

§ 4. Стационарные решения

§ 5. Изменение типа системы уравнений в процессе эволюции течения

§ 6. Решение линеаризованной задачи

§ 7. Основные результаты главы 2 .:.

Глава 3. Вихревые течения двухслойной стратифицированной жидкости под крышкой.

§ 1- Вывод математической модели.

§ 2. Характеристические свойства уравнений движения . V.

§ 3. Случай сильного скачка плотности. Существование простых волн

§ 4. Основные результаты главы

Глава 4. Точные решения кинетического уравнения пузырьковой жидкости

§ 1. Кинетическое уравнение и допускаемые преобразования

§ 2. Подмодели.

§ 3. Инвариантные решения

Свободное движение пузырьков

Проникновение порции пузырьков в невозмущенную область

§ 4. Решение линеаризованной задачи.

§ 5. Основные результаты главы 4.

В настоящей диссертации найдены и исследованы новые классы точных решений интегродифференциальных уравнений теории волн. Изучены вопросы распространения длинноволновых возмущений в слое идеальной завихренной жидкости.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Первая глава посвящена построению и физической интерпретации новых классов точных решений интегродифференциальных уравнений, описывающих распространение длинных волн на поверхности вихревого слоя идеальной однородной жидкости. Во второй главе изучены вопросы распространения длинноволновых возмущений в однородной завихренной жидкости в канале, а также дано решение линейной задачи и построены некоторые точные решения. В третьей главе рассмотрена математическая модель вихревого течения двухслойной стратифицированной жидкости в прямом удлиненном канале; исследованы характеристические свойства системы и установлено существование простых волн в случае сильной стратификации. В четвертой главе проведено построение точных и численных решений кинетического ин-тегродифференциального уравнения движения пузырьков постоянного радиуса в идеальной несжимаемой жидкости. В заключении приведены выводы и результаты диссертационной работы.

§5. Основные результаты главы 4.

В этой главе для одномерного кинетического уравнения движения пузырьков постоянного радиуса в идеальной несжимаемой жидкости с использованием группы допускаемых точечных преобразований выписаны подмодели, определяющие семейства инвариантных решений. Получены новые классы нестационарных решений рассматриваемой интегродифференциальной модели. Среди них, автомодельные решения, описывающие течения пузырьковой жидкости с критическим слоем; свободное движение пузырьков, возникающее благодаря специальному самосогласованному распредлению пузырьков в пространстве, и др. Приведено решение линейной задачи о распространении возмущений в разреженной пузырьковой жидкости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении еще раз сформулируем все основные результаты, полученные в диссертации.

1. Для квазилинейной интегродифференциальной системы уравнений, описывающей в приближении длинных волн плоскопараллельные завихренные течения идеальной однородной жидкости со свободной границей над ровным дном в поле силы тяжести, найдена группа допускаемых точечных преобразований, построены оптимальная система подалгебр и подмодели, определяющие инвариантные решения. Получены новые классы точных решений, описывающие вихревые течения жидкости со свободной границей. Среди них вихревые течения, возникающие при схлопывании или расширении параболической полости, равноускоренное движение жидкого клина, вытеснение жидкости гибким поршнем, неустановившиеся движения жидкости с зонами возвратного течения, сжатие жидкой полосы давлением и др.

2. Для одномерного кинетического уравнения движения невесомых пузырьков постоянного радиуса в идеальной несжимаемой жидкости с использованием группы точечных преобразований выписаны подмодели, определяющие семейства инвариантных решений. Получены классы точных нестационарных решений интегродифференциального уравнения движения. Найдены инвариантные решения, описывающие свободный разлет пузырьков в жидкости, при этом отсутствие сил поддерживается специальным самосогласованным распределением пузырьков в пространстве; построены автомодельные решения, описывающие процесс проникновения порции пузырьков в невозмущенную область при распространении простой волны по заданному стационарному однородному по пространству фону и др. Дано решение кинетического уравнения, линеаризованного на стационарной однородной по пространству функции распределения.

3. Изучено распространение длинноволновых возмущений в плоскопараллельных течениях завихренной однородной и двухслойной стратифицированной жидкости в канале. Найдены непрерывные и дискретные спектры характеристических скоростей, интегральные преобразования приводящие систему интегродифференциальных уравнений к характеристическому виду. Установлено существование простых волн в двухслойной сильно стратифицированной жидкости в узком прямом канале.

4. Для уравнений длинноволнового приближения, описывающих вихревые течения идеальной однородной жидкости в искривленном канале, найдены инварианты Римана сохраняющиеся вдоль характеристик непрерывного спектра. Доказана теорема единственности решения задачи Коши (установлена конечность скорости распространения возмущений). Получено решение линейной задачи о распространении длинноволновых возмущений.

5. Построены примеры точных решений, на которых происходит потеря свойства гиперболичности уравнений длинноволновой аппроксимации для течений завихренной жидкости со свободной границей (при сжатии жидкой полосы давлением) и в заданном сужающемся канале.

1. Дамб Г. Гидродинамика. М.-—Л.: Гостехиздат., 1947.

2. Кочин Н. Б., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. В двух частях, б-е изд. М.: Физматгиз, 1963.

3. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981.

4. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973.

5. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.:Мир, 1977.

6. Серрин Дж. Математические основы классической механики. М.: Издат. иностранной литературы, 1963.

7. Овсянников Л. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. идр. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985.

8. Некрасов А. Н. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1951.

9. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

10. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.

11. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1985.

12. Андреев В. К., Капцов О. В., Пухначев В. В., Родионов А. А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. / Новосибирск: ВО "Наука". Сибирская издательская фирма, 1994.

13. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 4. С. 30 55.

14. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1965.

15. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

16. Зейтунян P. X. Нелинейные длинные волны на поверхности воды и солитоны // УФН. 1995. Т. 165, № 12. С. 1403 1456.

17. Овсянников Л. В. К обоснованию теории мелкой воды // Динамика сплошной среды. 1973. Вып. 15. С. 104 125.

18. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

19. Burns J. С. Long waves in running water // Proc. Cambr. Philos. Soc. 1953. V. 49. P. 695 706.

20. Benney D. J. Some properties of long nonlinear waves. // Stud. Appl. Math. 1973. V. 52 P. 45 50.

21. Freeman N. C. Simple waves on shear flows: similarity solutions. // J. Fluid Mech. 1972. V. 56, P. 257 263.

22. Тешуков В. М. Простые волны на сдвиговом потоке идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 2. С. 48 57.

23. Елемесова Б. Н. Простые волны в слое баротропной завихренной жидкости // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 5. С. 56 64.

24. Sachdev P. L. Exact self-similar time-depent free surface flows under gravity. // J. Fluid Mech. 1980. V. 96, P. 797 802.

25. Sachdev P. L., Varugheze Ph. Invariance group properties and exact solutions of equations describing time-dependent free surface flows under gravity. // Quart. Appl. Math. 1986. P. 465- 482.

26. Sachdev P. L., Vaganan В. M. Exact free surface flows for shallow water equations. I. The compressible case //Stud. Appl. Math. 1994. V. 93, P. 251 274.

27. Varley E., Blythe P. A. Long eddies in sheared flows.// Stud. Appl. Math. 1983. V. 68 P. 103 187.

28. Miura R. M. Conservation laws for the fully nonlinear long wave equation // Stud. Appl. Math. 1974. V. 53. P. 45 56.

29. Купершмит Б. А., Манин Ю. И. Уравнения длинных волн со свободной поверхностью. I. Законы сохранения и решения // Функц. анализ и его прил. 1977. Т. 11, вып. 3. С. 31- 42.

30. Купершмит Б. А., Манин Ю. И. Уравнения длинных волн со свободной поверхностью. II. Гамильтонова структура и высшие уравнения // Функц. анализ и его прил. 1978. Т. 12, вып. 1. С. 25 37.

31. Павлов М. В., Царев С. П. О законах сохранения уравнений Бенни // УМН. 1991. Т. 46, вып. 4. С. 169-170.

32. Павлов М. В. Точная интегрируемость системы уравнений Бенни // Докл. акад. наук. 1994. Т. 339, № 3. С. 311 313.

33. Захаров В. Е. Уравнения Бенни и квазиклассическое приближение в методе обратной задачи. // Функ. анализ и его прил. 1980. Т. 14, вып. 2. С. 15 24.

34. Тешуков В. М. О гиперболичности уравнений длинных волн. // Докл. АН СССР. 1985. Т. 284, № 3. С. 555 562.

35. Тешуков В. М. Длинные волны в завихренной баротропной жидкости. // ПМТФ. 1994. Т. 35, № 6. С. 17 26.

36. Дикий Л. А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. М.: Госметеоиздат, 1976.

37. Андреев В. К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: ВО "Наука", 1992.

38. Годунов С. К., Роменский Е. И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Науч. книга, 1998.

39. Teshukov V. М. On Cauchy problem for long wave equation // Free boundary problems in continuum mechanics: Intern, conf., Novosibirsk, 1991. Basel u.a.: Birkhauser Verl., 1992. P. 331 -338.

40. Тешуков В. M., Стерхова М. М. Характеристические свойства системы уравнений сдвигового течения с немонотонным профилем скорости // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 3. С. 53 -59.

41. Рождественский Б. JL, Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1970.

42. Тешуков В. М. Гидравлический прыжок на сдвиговом течении идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 1. С. И 20.

43. Овсянников Л.-В. Модели двухслойной "мелкой воды" // -ПМТФ. 1979. № 2. С. 3 13.

44. Ляпидевский В. Ю. Приближение мелкой воды для вихревых течений идеальной жидкости // ПМТФ. 1980. № 6. С. 32 40.

45. Тешуков В. М. Модель длинноволновой аппроксимации для сдвигового течения газа в канале переменного сечения // ПМТФ. 1998. Т. 39, № 1. С. 15 27.

46. Елемесова Б. Н. Простые волны на сдвиговом потоке газа в канале постоянного сечения // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 1. С. 36 43.

47. Власов А. А. Теория многих частиц. М.—JL: Гостехиздат., 1950.

48. Liboff R. L. Introduction to the theory of kinetic equations. Wiley, New York, 1969.

49. L. van Wijngaarden, C. Kapteyn Concentration waves in dilute bubble/liquid mixtures // J. Fluid Mech. 1990. V. 212. P. Ill 137.

50. Biesheuvel A., Gorissen W. С. M. Void fraction disturbance in a uniform bubble liquid //J. Multuphase Flow. 1990. V. 16. P. 217-231.

51. Кок J.В. The Fokker — Plank equation for bublle flows and the motion of gas bublle pairs // Appl. Sci. Res. 1997. V. 58. P. 319 335.

52. Sangani A. S., Didwania A. K. Dynamic simulations of flows * of bubbly liquids at large Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 1993. V. 250. P. 307 337.

53. Smereka P. On the dynamics of bubbles in a periodic box // J. -Fluid Mech. 1993. V. 254. P. 79 112.

54. Russo G., Smereka P. Kinetic theory for bubbly flow *I: collisionless case // SIAM J. Appl. Math. 1996. V. 56. № 2, P. 327 357.

55. Тешуков В. M. Характеристики, законы сохранения и симметрии кинетических уравнений движения пузырьков в жидкости // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2. С. 86 100.

56. Чесноков А. А. Точные решения уравнений вихревой мелкой воды // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 5. С. 44 55.

57. Чесноков А. А. Вихревые движения жидкости в узком канале // ПМТФ. 1998. Т. 39, № 4. С. 38 47.

58. Чесноков А. А. Исследование характеристических свойств и постановок задачи Коши для уравнений вихревых длинных волн в узком канале // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1998. Вып. 113. С. 161 168.

59. Чесноков А. А. Длинные волны в двухслойной вихревой жидкости под крышкой // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 3. С. 68 -80.

60. Чесноков А. А. Автомодельные решения кинетических уравнений пузырьковой жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1999. Вып. 114. С. 141 146.

61. Овсянников Л. В. Об оптимальных системах подалгебр. // Докл. РАН. 1993. Т.ЗЗЗ, № 6. С. 702 704.

62. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.г Шука, 1968.

63. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

64. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом--пространстве. М.: Наука, 1970.

65. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1989.