Стационарные длинные волны в сжимаемых средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева

Хе Александр Канчерович

Стационарные длинные волны в сжимаемых средах

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

УДК 533.6.011 + 517.948.Й

Новосибирск, 2005

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Научный руководитель:

чл.-корр. РАН Тешуков Владимир Михайлович

Официальные оппоненты:

д-р физ.-мат. наук, проф. Шапеев Василий Павлович д-р физ.-мат. наук, с.н.с. Остапенко Владимир Викторович

Ведущая организация:

Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н. Е. Жуковского (г. Жуковский)

Защита состоится 24 мая 2005 года в ______ на заседании диссертационного совета Д 003.054.01 при Институте гидродинамики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск-90, просп. акад. М. А. Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан « * апреля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д-р физ.-мат. наук

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена анализу длинноволновых возмущений трёхмерных стационарных сдвиговых течений газа в тонком слое между твёрдыми стенками, пространственных сдвиговых течений баротроп-ной жидкости со свободной границей и одномерных движений квазинейтральной разреженной плазмы.

Работа состоит из введения, трёх глав и заключения. Первая глава посвящена исследованию трёхмерных стационарных течений газа. Во второй главе изучены простые волны на пространственных течениях баротропной жидкости. В третьей главе исследованы характеристические свойства математической модели квазинейтральной бесстолкнови-тельной плазмы. В заключении приведены результаты диссертационной работы.

Актуальность Изучение и моделирование движений сплошной среды связаны с важными практическими задачами, возникающими в области геофизики, метеорологии, при решении проблем, связанных с транспортировкой нефти и природного газа в трубопроводах, строительстве судов и плавающих платформ, и др.

Широкое применение длинноволнового приближения в теоретическом анализе волновых процессов связано с тем, что длинные волны в вязкой жидкости затухают медленнее коротких и именно они определяют асимптотику решения при больших временах. Кроме того, получение результатов в точной теории затруднительно, что связано со сложностью и нелинейностью рассматриваемых систем дифференциальных уравнений. В случае использования приближения длинных волн заметно упрощаются математические постановки задач, что позволяет продвинуться в изучении нелинейных волновых процессов аналитическими методами.

Для описания течения газа в канале (трубе) произвольного сечения часто используются уравнения каналового приближения. При выводе этих уравнений предполагается, что продольная компонента вектора скорости, плотность и энтропия зависят только от времени и продольной координаты. В приложениях проявляется интерес к течениям, образующимся при совместном течении в канале двух или нескольких потоков с разными физическими свойствами газа и различными параметрами торможения. Такие течения могут возникать, например, при истечении газов через сопла Л аваля, в эжекторах (струйных насосах), на выходе реактивных двигателей.

Классические бессдвиговые додели описывают средние по глубине

гда течение мало

отличаются от однородного потока. Реальные течения являются сдвиговыми, что обусловлено вязкими эффектами. Поэтому при моделировании возникает необходимость обращаться к моделям, учитывающим неоднородность потока по вертикали.

Исследования нелинейных нестационарных течений бесстолкнови-тельной плазмы играют важную роль при решении практических вопросов, связанных с динамикой плазмы (таких, например, как теория обтекания Земли, планет и других естественных или искусственных тел космической плазмой).

В отсутствие магнитного поля система из бесстолкновительного кинетического уравнения для ионов и уравнения Пуассона для электромагнитного поля содержит лишь один параметр размерности длины — дебаевский радиус Яр, который определяет с точностью до численного коэффициента максимальный масштаб разделения зарядов в плазме — при бблыпих смещениях электронов движение частиц под действием электрического поля быстро приводит к восстановлению нейтральности. При рассмотрении таких движений, характерные размеры которых много больше дебаевского радиуса, мы приходим к квазинейтральным моделям теории плазмы, которые играют роль длинноволновых приближений механики жидкости и газа.

Цели работы Целями настоящей работы являются:

• изучить характеристические свойства длинноволновой модели стационарных пространственных сдвиговых течений идеального газа между твёрдыми стенками; построить решение задачи о малых возмущениях однород ного сдвигового потока в слое постоянной глубины;

• исследовать простые волны на стационарных трёхмерных сдвиговых течениях баротропной жидкости со свободной поверхностью; построить примеры точных решений в классе простых волн;

• изучить характеристические свойства интегродифференциальной системы уравнений модели квазинейтральных течений бесстолк-новительной плазмы: вычислить характеристики и найти условие обобщённой гиперболичности уравнений движения; решить задачу о распространении малых возмущений по однородной среде.

Методы исследования Исследуемые модели длинноволнового приближения представимы в виде

Аих + Ви„ = в

ГЯ>

(1)

>

¡•г ¡1.; ' # ■ ..-г

где А,В — операторы, действующие на бесконечномерном банаховом пространстве вектор-функций переменной А (переменные х,у входят как параметры). К указанному виду приводятся интегродифференци-альные уравнения вихревой мелкой воды, плоско-параллельных сдвиговых течений газа в каналах и со свободной границей, течений в эластичных трубках и движений пузырьковых жидкостей.

Новый подход к изучению интегродифференциальных систем уравнений длинных волн был предложен В. М. Тешуковым (1985), где были обобщены понятия характеристик, гиперболичности и инвариантов Римана. Качественным Отличием систем (1) от классических квазилинейных систем дифференциальных уравнений является наличие непрерывного спектра характеристических скоростей. Характеристикам дискретного спектра в моделях движения жидкости со свободной границей отвечают поверхностные волны, а характеристикам непрерывного спектра — внутренние.

Научная новизна В диссертационной работе исследуются пространственные течения сжимаемых сред. Отличие рассматриваемых в работе математических моделей от классических связано с необходимостью изучения нестандартных систем интегродифференциальных уравнений, общие методы исследования которых развиты недостаточно полно.

Все результаты работы являются новыми. Их достоверность устанавливается доказательствами, иллюстрируются примерами точных решений, наглядным графическим материалом.

Теоретическая и практическая ценность работы Результаты выполненных в диссертации исследований вносят важный вклад в теорию длинноволновых возмущений в сжимаемых средах, в развитие новых элементов теории гиперболических систем интегродифференциальных уравнений. Они могут использоваться при анализе распространения поверхностных и внутренних волн в трёхмерном слое баротропной жидкости и идеального газа, одномерных течений квазинейтральной бесстолк-новительной плазмы.

Апробация работы Результаты диссертационной работы докладывалась на семинаре Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН «Механика неоднородных сред» под руководством В. Ю. Ляпидевского и В. М. Тешукова, на семинаре лаборатории дифференциальных уравнений ИГиЛ, а также на научных конференциях по механике:

1. IV Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механики сплошных сред». Новосибирск, 2000.

2. XXXIX Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2001.

3. Молодёжная школа-конференция «Лобачевские чтения». Казань, 2001.

4. III Международная конференция «Симметрия и дифференциальные уравнения». Красноярск, 2002.

5. IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информатике. Красноярск, 2003.

6. Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение». Новосибирск, 2004.

7. IV Международная конференция по математическому моделированию. Якутск, 2004.

8. XX Всероссийская школа-семинар САМГОП-2004. Абрау-Дюрсо, 2004. '

Публикации Основные положения диссертации опубликованы в 4 наг учных статьях (1-4).

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Работа изложена на 120 страницах машинописного текста (включая 14 рисунков). Перечень литературы содержит 45 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю чл.-корр. РАН В. М. Тешукову за постановку задач и внимание к работе.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор литературы, изложено краткое содержание диссертационной работы.

В главе 1 исследована длинноволновая модель пространственных стационарных течений газа между твёрдыми стенками. Предполагается, что газ — идеальный и нетеплопроводный с уравнением состояния р = Я(р, 5); верхняя и нижняя непротекаемые границы описываются уравнениями г - Н(х, у) и г = 0 соответственно.

Предполагая, что характерные горизонтальные масштабы течения намного больше вертикальных из уравнений газовой динамики получаем приближённую модель теории длинных волн

ahx

С Н* АХ О С HRS О

.о f1 Ну а Г1 HRs _ <r/i, uvx+vvv + -JQ -JLdX--Jo — SydX=-J

(2)

(uH)x + {vH)y = 0, uSx + vSy = 0.

Здесь и, v, H, S — искомые функции, зависящие от эйлеровых координат х, у и лагранжевой координаты Л. Функции и, v есть горизонтальные компоненты вектора скорости, 5 — удельная энтропия, Н = рФ\, Ф — функция, задающая связь z и A: z — Ф(х,у, А); а = Ц,1 т&з)1, с2 = l/Rp- Вертикальная компонента скорости определяется формулой w = иФх+уФу. Давление р является функцией только лишь переменных х, у и определяется неявно из соотношения

ЛЛГ.Л- f1 м

4X'y)-Jo R(p{x,y),S(x,y,A))dA-

Система уравнений (2) имеет вид (1), где U = (u,v,H,S)"e; G = (ahx/R, ahy/R, 0,0)т; А, В — линейные операторы, действующие на пробную функцию ip = (vi, V2, Уз,<Р4)Т по правилам

, ( /"Va .. <г Г1 HRs \Т

А<р = ^uy>i + д у0 ~R RJ0 U<P2' и<Рз U<P4J '

Btf= V<p2 + ~ÍídX~JÍif0 dX' V(P3 + Hlf2, v<p^J .

Зафиксируем некоторое число /х € (0,1). Обозначим через банахово пространство вектор-функций <р(Х) = {<р\, ч?2,фз,щ)Т таких, что Vii V2 £ С1+", уз, <р4 е С (С — пространство функций, удовлетворяющих условию Гёльдера с показателем д, С1+м — пространство дифференцируемых функций, производные которых удовлетворяют условию Гёльдера с показателем ц). Операторы А, В действуют из в ЯЗ*1.

Для исследования системы (2) применяется теория обобщённых характеристик (В. М. Тешуков, 1985).

Пусть и = q cos i?, v = q sin д.

Лемма 1.1. Система (2) имеет характеристики, отвечающие дискретной и непрерывной частям характеристического спектра. Значения 7Ш, определяющие характеристики дискретного спектра dy/dx = tg 7m, удовлетворяют характеристическому уравнению

xb) = l-c f р2 2 Д,-= VAG [0,1]. (3)

Jo R q sin (г? - 7)

Характеристики непрерывного спектра системы (2) определяются уравнением dy/dx = tgtf", где = i?|x=i/, v € (0,1).

Каждому дискретному собственному значению 7т, корню уравнения (3), соответствует регулярный собственный вектор-функционал. Каждому собственному значению т?" непрерывного спектра соответствуют четыре сингулярных собственных вектор-функционала, компоненты которых являются обобщёнными функциями.

Обозначим 0° = i?|a=o, tf1 = $|л=ь т?2 = + ж. При выполнении условий

дд/д\>0, t?1 - < 7Г, aH¡ (ñ2q2i?') ф 0 при А = 0иА = 1 (4)

функция х(т) оказывается выпуклой вверх на интервале (i?1, #2). Пусть 7« — точка максимума функции XÍ7)-

Утверждение 1.1. При выполнении (4) и условий

ХЫ > о,

Х+" ф 0, Д arg X+V/X~" = 0 при v е (0,1) (5)

уравнения (2) являются гиперболическими. Здесь

х±» = Х±(Г) = 1 - a jf ' ( д^)' ö' ctg(ö - Г) d\ +

a H ctg^-r)!1 TTig / Я Vi + R?q4' |А=0Т д> \R?q4') '

а Д arg/ — приращение аргумента комплексной функции f.

Действием собственными вектор-функционалами на систему (2) получены соотношения на характеристиках.

Введём функцию 1{р, S) формулой

^-'íwtsy 8

Из соотношений на характеристиках непрерывного спектра следует, что вдоль линии dy/dx = tgi?" справедлив интеграл Вернулли

q2 + I(p,S)=qm. . (6)

Здесь qm = qm(v) — произвольная функция переменного v. Из интеграг ла Бернулли следует, что в изэнтропических течениях модуль вектора-скорости q будет постоянным по глубине, если выбрать qm(v) = const.

В случае слоя постоянной толщины h = ho = const система уравнений (2) имеет решения, зависящие только от вертикальной координаты А:

u = 0b(A), « = Vo(A), Я = Я0(А), S = 5о(А). (7)

В эйлеровых координатах такие решения имеют вид

u = u(z) = t/0(A(z)), v = v(z) = V0(\(z)), w = 0, S = S{z) = S0(X(z)),

где функция А(г) является обратной к функции z = Ф(А). Давление Ро = const определяется из уравнения

f1 Я0(А)

Jo RfaW)

В работе рассмотрена задача о малых возмущениях сдвигового потока (7):

и = Uo + u(x,y,X), v = V0 + v(x,y,\), Н = Но + Н(х, у, A), S = So + S{x,y, А).

Для отыскания возмущений решается линеаризованная система инте-гродифференциальных уравнений

Л>и« + B0V у = 0. (8)

В силу независимости коэффициентов системы от переменных х, у характеристические значения ут, dv являются константами и соответствующие характеристики будут прямыми на плоскости (х,у). Уравнения малых возмущений (8) приводятся к характеристическому виду, что позволяет сформулировать следующие условия сохранения инвариантов Римана:

Jm — const вдоль dy/dx = tg7m, то = 1,2; Ф'" = const вдоль dy/dx = tg■в", I = 1,2,3,4, v € (0,1).

Здесь Jm, Ф'" — функционалы от искомых функций.

Утверждение 1.2. Пусть i/o (А) ф 0. Если функции й0, v0, #0, So непрерывны и принадлежат пространству кок функции переменной А, то, при выполнении условий гиперболичности, система уравнений (8) имеет единственное решение, непрерывно дифференцируемое по х,у, принадлежащее по переменной А и удовлетворяющее при х =■ 0 условию Коши

й = й0, v = v0, Н = Н0, S = So-

Решение задачи строится методом характеристик. Из соотношений на характеристиках следует, что в каждой точке (хо, у о) инварианты Ри-мана Jm, т = 1,2, ф'", / = 1,2,3,4, v € (0,1), можно найти по данным при х = 0. Решение задачи будет найдено, если мы обратим преобразование, задающее переход к инвариантам Римана. Задача об обращении сведена к решению сингулярного интегрального уравнения и решена в явном виде, что позволило найти решение задачи о возмущениях.

В главе 2 рассмотрены стационарные трёхмерные течения баро-тропной жидкости в поле силы тяжести. Предполагается, что среда занимает слой над ровным дном z = 0 со свободной границей z = h(x, у). Предполагая, что отношение характерного вертикального масштаба течения Но к горизонтальному Lq мало по сравнению с единицей, и совершая предельный переход Щ/Ьо —> 0, уравнения течения в эйлерово-лагранжевых координатах переходят в систему интегродифференциаль-ных уравнений

(и • V) и + г / VH d\ = 0, div(#u) = 0. (9)

J о

Здесь через и обозначена проекция вектора скорости на горизонтальную плоскость: и = (и,и)т; операторы V и div действуют по переменным (я, у); через т = т(х,у) обозначена величина удельного объёма на дне: т(х,у) = 1/р(х,у,0) = 1 /Я(р„ + HdX).

Решения системы (9) вида

u = и(а(х, у), А), Я = Я(а(х, у), А)

будем называть простыми волнами. Они соответствуют решениям и = u(a(x,y),z), р = p(a(x,y),z) исходной системы уравнений.

Пусть u = g(cos$,sini?). Обозначим через 7 — угол между линией уровня простой волны и осью Ох. Уравнения простых волн приводятся

к виду

т т Ят

Я« = --, ^ = --2^-7), На= -(10)

Я Я q■i в\п (А - ч)

1- У1

1_ТУо д28т2(,?-7)' ( }

Здесь в качестве параметра простой волны выбрана функция а — Н ¿X.

Замечание 2.1. Для системы уравнений простых волн (10)—(11) справедлив интеграл Бернулли

92(а,А) + /(р0 + а) = <&(А), (12)

где Ят{\) — произвольная положительная функция, а функция 1(р) имеет вид

ГР ¿Рх

Ар) = 2/ Jp.

R(PiY

Величина qm(А) имеет смысл максимального модуля вектора скорости при данном А = const. Отметим, что я qm при а —> 0. Из интеграла Бернулли следует, что при постоянном qm модуль вектора скорости q не зависит от А: q — <j(a).

Замечание 2.2. Если q не зависит от X, то справедлив интеграл

t?A = А{Х)Н, (13)

где А(А) — произвольная функция.

Однородным сдвиговым потоком будем называть частное решение системы (9) вида:

u = и(А), Я = Я(А).

т

В эйлеровых переменных это решения с вектором скорости (u(z),v(z), 0) в слое жидкости постоянной глубины.

Утверждение 2.1. Пусть функции qo{X), i?o(A), Я0(А) удовлетворяют условиям

qo{X)>2r1, Яо(А) > 2tj, 2r,<|t?0(A)-7o| < тг - 2т, (14)

для некоторого т/ > 0. Тогда найдётся 6 > 0 такое, что система уравнений (10)—(11) в интервале |а—ао| < 6 имеет и притом единственное решение, удовлетворяющее при а = ао условиям

q = q0{ А), 1? = #о(А), Я = Я0( А). (15)

Для доказательства утверждения используется теорема о существовании и единственности решения задачи Коши в банаховых пространствах. Для этого уравнение (11) заменяется дифференциальным

2У, Уо 9481п4(1?-7)// /о д281п3(1?-7)

с начальным условием

. 7|а=ов = 7о (17)

(находится из (11) по данным (15)).

Нелокальное существование простых волн доказано для специального класса решений, характеризуемого условиями: величина не зависит от Л, а функция А(\) в интеграле (13) является постоянной.

В специальном классе найдено точное решение, представляющее собой обобщение решения задачи об обтекании выпуклого угла в газовой динамике (течения Прандтля — Мейера) на случай сдвиговых течений.

В главе 3 исследованы характеристические свойства системы инте-гродифференцильных уравнений квазинейтрального приближения модели Власова — Пуассона:

Л + «/. - ¿*>х/„ = 0, <р = Ц 1п . (18)

Здесь: /(£, х, и) — функция распределения ионов; <р — потенциал электрического поля; и, М — скорость и масса ионов; е, Те — заряд и температура электронов; АГ0 — плотность невозмущённой плазмы. Функция распределения электронов считается равновесной максвелл-больц-мановской. Предполагается также, что искомая функция распределения ионов /(Ь,х,и) по переменной и является финитной и обращается в нуль на границе носителя. Величины М, е, Те, — заданные константы.

Система уравнений (18) с помощью введения лагранжевой переменной А приводится к виду

щ + + § (1п Я<*А) = 0. + (иН)* = <19)

Здесь и = и(х,Ь, А), Я = Я(х,<, А) = /(х,4,и(а;,4,А)) и>,(х,4,А) — новые неизвестные функции.

Система (19) записывается в виде

и4 + Лих = 0, (20)

где U = (и,Н)т, а оператор А действует на пробную вектор-функцию <Р = (Vi I Уг)Т по правилу

( Ь f+°° \Т

A<fi = Гхц>\ + - J <р2 d\, Hipi + utp-i J .

Здесь ö = = const, n(x, t) = f*™ H d\ — плотность числа частиц.

Пусть ц — фиксированное число го интервала (0,1). Обозначим через следующий класс вектор-функций у (А):

= Vi еС1^, V2 6C"}.

Далее будем предполагать, что (tt, Н)т е ©*•.

Лемма 3.1. Характеристические скорости x^i) = km(x,t) дискретного спектра системы (20) удовлетворяют характеристическому уравнению

Для каждого и € (—оо, +оо) значение к" = и|л=1/ является характеристической скоростью непрерывного спектра.

Для дискретных значений характеристического спектра к — кт собственные вектор-функционалы являются регулярными, а для каждого значения непрерывного характеристического спектра к = к" собственными являются два сингулярных вектор- функционала от искомых функций.

Характеристическое уравнение (21) имеет (и притом единственный) корень к1 < «ты, если fu(t, х, Umi„) Ф 0 или /„(i,х, urain) = 0 и x("min) < 0. Аналогично, (21) имеет (и при том единственный) корень к2 > umax, если fu(t,X,Umax) Ф 0 или /„(i,x,umiuc) = 0 и x(umax) < 0.

Будем предполагать, что функция распределения / такова, что уравнение x{l/) = 0 имеет два корня.

Утверждение 3.1. Система (20) является гиперболической, если выполняются условия

Х+{и)ф0, Д arg ^-7—г = 47Г, UG (umin,um«), (22)

X (")

где x±(u) — предельные значения функции при к —► и(А) из верхней/нижней полуплоскостей, А arg ф — приращение аргумента функции ф(и) при изменении и от umjn до итлх.

Интегродифференциальные уравнения движения квазинейтральной бесстолкновительной плазмы имеют решения вида и = Uo(X), Н = #о(А), описывающие однородное стационарное распределение частиц в пространстве, при этом f(t,x,u) = Fo(u) = Hq/Щ. Для возмущений этого основного движения

u = U0 + u(t, ж, А), Я = Н0 + H(t, х, А)

получена линеаризованная система интегродифференциальных уравнений

6 Г+со - -

щ + Щйх + — / Нх dX = 0, Ht + UqHx + Н0йх = 0 (23)

ПО J-оо

{по = Но d\ — плотность числа частиц в невозмущённом потоке).

Утверждение 3.2. Пусть Uo(X), Яо(А), йо(х,Х), Но(х,Х) удовлетворяют, условиям:

1) U0{X) — монотонно возрастающая функция,

2) inf (70(А) > -оо, sup [/о(А) < +оо,

3) Щ(Х), Яо(А) — гёлъдеровы,

4) система уравнений (23) является гиперболической с двумя вещественными характеристиками дискретного спектра,

5) функции йо(х,А), Яо(х,А) — непрерывно дифференцируемы по х, дйо/дХ, Щ — гёлъдеровы по А.

Тогда уравнения (23) с начальными данными

й|е=о = йо(х, А), Я|е=0 = Я0(ж, А).

имеют, и притом единственное, решение в классе функций й(х, t,X), H(x,t,X), таких что й, Н — непрерывно дифференцируемы по х,t; а й\, Н — гёлъдеровы по А.

Решение системы (23) находится методом характеристик. В силу независимости параметров основного потока от х, t характеристики будут прямыми на плоскости (x,t) и соотношения на характеристиках сводятся к условиям сохранения инвариантов Римана

Jm = const вдоль dx/dt — km, Ф1" = const, Ф2" = const вдоль dx/dt = Щ,

где Jm, Ф1", Ф2" — функционалы от искомых функций.

В результате нахождение решения сведено к обращению отображения, задающего переход к инвариантам Римана. Обращение отображения сведено к задаче сопряжения для кусочно-аналитической функции и решение задачи о распространении возмущений найдено в явном виде.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Для пространственных стационарных течений газа в слое между твёрдыми стенками

• найдены характеристики и получены условия обобщённой гиперболичности системы интегродифференциальных уравнений модели длинноволновых течений. Показано, что система обладает двумя типа характеристик: характеристиками дискретного и непрерывного спектров;

• решена задача Коши о малых возмущениях однородного сдвигового потока в слое постоянной толщины.

Для стационарных сдвиговых течений баротропной жидкости в трёхмерном слое над ровным дном со свободной поверхностью

• получены уравнения простых волн и доказаны локальное существование и единственность простых волн, примыкающих к однородному сдвиговому потоку;

• в специальном классе решений доказано нелокальное существование и единственность простых волн, примыкающих к однородному сдвиговому потоку;

• построено точное решение, обобщающее классическую волну Прадт-ля — Мейера на случай сдвиговых потоков.

Для одномерных квазинейтральных движений бесстолкновительной плазмы

• найдены характеристики и сформулированы условия гиперболичности интегродифференциальной системы уравнений движения;

• решена задача Коши о распространении малых возмущений по однородному состоянию плазмы.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Хе А. К. Разрешимость задачи Коши для интегродифференци-

алъного уравнения. Динамика сплошной среды. 2001. Вып. 118.

С. 135-139.

[2] Хе А. К. О распространении возмущений в квазинейтральной

бесстолкновительной плазме. Динамика сплошной среды. 2001.

Вып. 118. С. 140-145.

[3] Хе А. К. Стационарные простые волны на сдвиговом течении ба-ротропной жидкости. ПМТФ. 2003. Т. 44, №2. С-34-41.

[4] Хе А. К. Гиперболичность уравнений стационарных сдвиговых течений газа в тонком слое. ПМТФ. 2004. Т. 45. №2. С. 40-46.

»-7421

РНБ Русский фонд

2006-4 5237

Подписано в печать 14.04.2005. Печ.л. 1. Тираж 75 экз.

Формат 60 х 84 1/16 Заказ № 136.