Неустойчивости неравновесного пограничного слоя на плоской пластине тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Кнестяпин Владислав Николаевич

НЕУСТОЙЧИВОСТИ НЕРАВНОВЕСНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ

01 02 05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ШИШ IIIIII11111111

003158584

Самара - 2007

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет им академика С П Королева»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, доцент Завершинский Игорь Петрович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Ерохин Николай Сегреевич, заведующий отделом Института космических исследований РАН, доктор технических наук, профессор Клюев Николай Ильич, кафедра математического моделирования в механике механико-математического факультета

Ведущая организация Самарский филиал Физического института им ПН Лебедева РАН

Защита состоится 23 ¿¡¿яу^я ^на заседании диссертационного со-

вета Д 212 218 06 при Самарском государственном университете по адресу 443011, г Самара, ул Акад Павлова, 1

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Автореферат разослан «№ » 2007 г

СамГУ

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Исследования перехода сверхзвукового ламинарного пограничного слоя в турбулентный интенсивно ведутся на протяжении более сорока лет Они показали, что условия перехода зависят от множества факторов Влияние этих факторов на критическое число Рейнольдса перехода Rec зависит от ряда причин Одна их часть связана со свойствами стационарного течения в пограничном слое, которые определяются числом Маха, формой тела, углом атаки и т д Другая часть - с факторами, ведущими к нестационарному возмущению пограничного слоя К ним относятся, прежде всего, внешние возмущения

Однако в последнее время возникла потребность в изучении влияния степени неравновесности среды S и релаксационных процессов, возникающих в среде при локальном нарушении равновесия, характеризующихся числом Дам-келлера Dh, на условия ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое Необходимость проведения таких исследований обусловлена, прежде всего, тем, что в последние 15 -20 лет ведутся интенсивные экспериментальные и теоретические исследования, посвященные изучению движения тел в неравновесной газо-плазменной среде В неравновесных средах энергия внутренних степеней свободы отличается от энергии поступательной степени свободы Внутренние степени свободы в этом случае являются резервуаром энергии и при определенных фазовых соотношениях между источником энергии и возмущением, последнее может усиливаться Таким образом, необходимость изучения особенностей ламинарно-турбулентного перехода в данных средах имеет как фундаментальный, так и прикладной аспект С одной стороны, возникает потребность в построении теории устойчивости пограничного слоя в неравновесных средах С другой стороны, задача имеет ярко выраженное прикладное значение в связи с аэродинамическими приложениями

К настоящему времени в данной области достигнут определенный прогресс Экспериментально зарегистрировано увеличение критического числа Рейнольдса Rec в равновесных релаксирующих средах Получена энергетическая оценка границы гидродинамической устойчивости однородных потоков неравновесного газа Исследована проблема устойчивости неоднородных дозвуковых потоков неравновесного газа на примере плоского течения Пуазейля Результаты работ демонстрируют понижение порога устойчивости в неравновесной среде Эти работы касаются свойств неравновесных потоков в общем Исследованию устойчивости пограничного слоя неравновесного газа посвящено весьма ограниченное число работ Экспериментально и численно показана возможность уширения зоны неустойчивости для сверхзвуковых возмущений пограничного слоя при обтекании потоком колебательно возбужденного газа плоской пластины в аэродинамической трубе под нулевым углом атаки Теоретически найден сдвиг критического числа Рейнольдса Ree относительно его значения в равновесной среде Rece для плоских волн Толлмина-Шлихтинга

Однако, эти работы посвящены проблеме устойчивости одно- или двухмерных возмущений пограничного слоя малой амплитуды Однако уже при исследовании равновесных сжимаемых потоков показано, что при увеличении числа Маха набегающего потока наиболее неустойчивыми становятся трехмерные возмущения, распространяющиеся под углом к основному потоку Работы, посвященные изучению устойчивости потоков неравновесных релаксирующих газов на нелинейных стадиях развития возмущений, отсутствуют Последний фактор особенно актуален для неравновесных сред, где наблюдаемая степень начальной турбулентности заметно превышает аналогичные параметры равновесных потоков Таким образом, актуальность работы определяется необходимостью определения степени влияния неравновесности среды и параметра Дамкеллера на устойчивость пограничного слоя относительно возмущений малой и конечной амплитуды

Целью работы является исследование устойчивости пограничного слоя неравновесного релаксирующего газа на плоской пластине

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации

- определить зависимость критического числа Рейнольдса от степени неравновесности среды, параметра Дамкеллера, угла распространения волны Толлми-на-Шлихтинга относительно скорости невозмущенного потока, числа Маха невозмущенного потока и температуры поверхности,

- провести анализ эволюции возмущений неравновесного сжимаемого пограничного слоя на плоской пластине в области нелинейного критического слоя и исследовать устойчивость первичной нелинейной волны в неравновесном пограничном слое относительно мелкомасштабных возмущений,

- определить зависимость инкремента вторичной неустойчивости пограничного слоя в неравновесном газе от степени неравновесности среды,

- определить инкремент неустойчивости Гертлера для пограничного слоя неравновесного газа на пластине с большим радиусом кривизны

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем

1 Получено критическое число Рейнольдса для трехмерных возмущений пограничного слоя неравновесного релаксирующего газа

2 Найдена зависимость времени развития неустойчивости пограничного слоя неравновесного газа на стадии нелинейного критического слоя от степени неравновесности и числа Дамкеллера

3 Получена зависимость инкремента вторичной неустойчивости пограничного слоя неравновесного газа от степени неравновесности среды

4 Найден инкремент неустойчивости Гертлера для пограничного слоя неравновесного газа на пластине с большим радиусом кривизны

Основные положения, выносимые на защиту:

1 Зависимость критического числа Рейнольдса для трехмерных волн Толлми-на-Шлихтинга от степени неравновесности среды, параметра Дамкеллера и числа Маха невозмущенного потока

2 Зависимость характерного времени неустойчивости возмущений на стадии нелинейного критического слоя от степени неравновесности и числа Дамкелле-ра

3 Зависимость инкремента вторичной неустойчивости пограничного слоя неравновесного газа от степени неравновесности среды

4 Инкремент неустойчивости для пограничного слоя неравновесного газа на слабоискривленной пластине в зависимости от степени неравновесности и параметра Гертлера

Достоверность результатов, основана на обоснованности принятых в механике газа и плазмы физических и математических моделей и подтверждается сравнением с имеющимися экспериментальными данными и опубликованными теоретическими результатами, которые могут быть получены предельным переходом из результатов, полученных автором

Научно-практическое значение. Результаты проведенных автором исследований могут быть использованы в сверхзвуковой аэродинамике (задачи обтекания тел потоком неравновесного газа), а также в устройствах, где неравновесная среда является рабочим телом

Апробация результатов работы.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на 14 Всероссийской школе-конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь 2005), Шестнадцатой сессии Российского акустического общества (Москва, 2005), 15 Международной конференции по преобразованию МГД энергии и 6 Международной рабочей группе по магнитоплазменной аэродинамике (Москва, 2005), Международной междисциплинарной научной конференции «II Курдюмовские чтения Идеи синергетики в естественных науках» (Тверь, 2006), VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 2006), Шестой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006) (Санкт Петербург, 2006), 33rd International Acoustical Conference - EAA Symposium (Slovakia, High Tatras, 2006), Восемнадцатой сессии Российского акустического общества (Таганрог, 2006), Международной междисциплинарной научной конференции «III Курдюмовские чтения Идеи синергетики в естественных науках» (Тверь, 2007), 7 Международной конференции по магнитоплазменной аэродинамике (Москва, 2007), на Третьем международном симпозиуме по неравновесным процессам NEPCAP-2007 (Сочи, 2007), Девятнадцатой сессии Российского акустического общества (Нижний Новгород, 2007), на семинарах Самарского государственного аэрокосмического университета (2005 - 2007), Самарского государственного университета (2007)

Рис. 1 Пограничный слой на плоской пластине.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, п том числе 4 статьи, 9 трудов Международных конференций.

Авторский вклад. Все результаты, изложенные в диссертации, гтолучены автором лично, либо при его определяющем личном участии.

Структура I) объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 104 печатных страницы, содержит 33 рисунка, список литературы включает 103 наименования.

Содержание работы.

Во введении дан краткий исторический обзор проблемы ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое, дана современная экспериментально-теоретическая схема ламинарно-турбулентного перехода. Проведен краткий обзор новых диспер-сион и о- вязкост н ы х свойств неравновесной газовой среды. Выделена спектральная область, в которой производится анализ устойчивости течения неравновесного релаксирующсго газа.

Во введении также обоснована актуальность проблемы, сформулированы основные цели диссертации, показана научная новизна работы, приведено краткое содержание работы.

В первой главе диссертации проведен анализ устойчивости пространственных дозвуковых сжимаемых возмущений на линейной стадии их развития при обтекании плоской пластины плоскопараллельным потоком неравновесного релаксирующсго молекулярного газа (рис. 1).

Дан обзор результатов исследований линейной стадии неустойчивости потоков в неравновесном пограничном слое. Отмечено, что все существовавшие к настоящему времени работы посвящены проблеме устойчивости одно- или двухмерных возмущений пограничного слоя.

Рис. 2. Области дозвуковых (!) и сверхзвуковых (2) возмущений при фиксированном угле распространения волны 0.

[

В предельном случае больших числах Рейнольдса Яе »1, малых безразмерных продольных волновых числах а «1, где а = кх5, кх — продольное волновое число, 5 - толщина пограничного слоя, причем аЯе »1 для дозвуковых возмущений, рис 2, из уравнений релаксационной газодинамики получена система уравнений для трехмерных возмущений ламинарного пограничного слоя и = и(у) + иь V = V,, = V,, Т = Т0(у) + Т, р = р0(у) + рь Р = Р0 +РЬ Е = Е0 + Еь где и,уш - компоненты скорости, То, ро, Ео - стационарные значения температуры, плотности и колебательной энергии Если представить возмущения в виде

N

разложения в ряд Фурье и, = Ё и'1' (у) ехр(тах - тас 1) и другие параметры среды, то для амплитуд мод следуют уравнения

у„Ъ„

jn_

Re

JL

Re

Л

dy2

x(0-c)u«

dv

O)

dy2

-n2S2 Iv™ +

M„

Tn d

V Midy ma'

í(u-c)»® +Ü'tgGv™ = 0,

T„b„

mau

O),

' dy x(u-c)

D v(

= 0.

dy (U-c)

D„v,

0)

Re l^dy2

с граничными условиями неприлипания на стенке й (0) = v ^ (0) = w*0 (0) = 0 и затухания возмущений на бесконечности и"' (оо) = v® (со) = w® (со) = 0 Здесь 1 -мнимая единица, c = ccos0, с - фазовая скорость волн Толлмина-Шлихтинга, Й. =M00cos8t, м. - число Маха невозмущенного потока, Re = Re cos G,

[ COS0

sine

-sm9 cos 8

td)

Г,®

,(D

4w(1) 4 n /

= V(D

П n 5

cos0 -smf

SU10 COS0

0 - угол распространения волны Толлмина-Шлихтинга по отношению к основному потоку, рис 1, х = х/5, у = у/б, z = z/5, t = t5/ Um, k = k8, a = coU«/5, со - частота возмущения, г| = Ца1 - коэффициент сдвиговой вязкости в невозмущенном потоке, U - скорость потока, 0 = Ucose, а„ = Суо/Сую + mat(U - с), bn = Cpo/Cpw + mat(U - с), Dn = ((СР0 - СР„)Т'-Е')/СУ„Т', штрихом обозначена производная по переменной у, CVo = Су« + Ск + Stt, Сро = CPa> + Ск + S(tt - хр) - теплоемкости при постоянных объеме и давлении, Ск - теплоемкость колебательных степеней свободы, S = Qt/T0 - степень неравновесности среды, х - время колебательной релаксации, Q - мощность внешнего источника накачки в расчете на одну молекулу, необходимая для поддержания условия Е > Ее, Е - энергия колебательных степеней свободы, Ее - ее равновесное значение, п - номер моды, Су«, С?» - низкочастотные и высокочастотные теплоемкости при постоян-

ном давлении и объеме, у0 = СРО/Суо. У« = СРа/Сусо - низкочастотный и высокочастотный показатели адиабаты, тт =д1т/д!пТ, тр =д1пг/д1пр В двухмерном случае эта система сводится к уравнениям, полученным в работе [Молевич НЕ, 1999], а в случае равновесной несжимаемой среды - к полученным в работе [Линь ЦЦ, 1958]

В результате решения сформулированной задачи получено критическое числа Рейнольдса для трехмерных волн Толлммина-Шлихтинга в нераавновес-ном пограничном слое

-ЧлА-Ша-с)2

а)

Re~ «ReJ

1 + 4Дс| 1 +

d In Im К,

dlnc

Vl-Mj(l-c)2 '

Moo

Рис 3 Зависимость критического числа Рейнольдса Rec от числа Маха невозмущенного потока Но при различных степенях неравновесности S = 0 (сплошная линия), S = 0, 1 (сплошная жирная линия), S = 0, 2 (прерывистая линия) и различных углах распространения возмущений 9= 0, я/8, я/6 и я/4

16U'(0)T0(0)r|(0)(l — с)2

критическое число Рейнольдса в равно-

где Ree

*(1 + Х)2^1-М1(1-сУ весной среде, М0оо =M0„cos9, Re = Recos6, 1тК,(1)«-я

d SU'

(U')3H2 dy T0

д«=

(1-с)М0\

у

2 Re Н(1) ЬпК) (1)^1 -М£(1-с)

2 '

Ь соответствуют значению п = 1, %=£/т1, |=т(с¥Ь/€ГЧ0)с¥.С1-г0/|>) - коэффициент второй вязкости,

С использованием численных методов найдена зависимость критического числа Рсйнольдса для трехмерных возмущений от числа Маха набегающего потока при различных степенях я ^равновесности $ и различных углах таюо-странения возмущений 0 (рис. 3).

Показано, что критическое число Рейнольдса отличается от значения для равновесного случая и зависит от степени неравновесности среды и угла распространения возмущения по отношению к основному потоку. В неравновесной среде критическое число Рейнольдса может заметно уменьшаться с ростом степени неравновесности, что приводят к сокращению характерной длины линейного участка л амш tap но-турбулентно го перехода. Показано, что при заданно» степени н ера в новее нос tu S = const существует такое значение угла б*, когда критическое число Рсйнольдса Ret(M,0*) минимально, что соответствует наиболее опасному углу распространения возмущений.

На рис. 4 приведена зависимость величины Дс от степени неравновесности и параметра Дамкеллсра. При малых степенях неравновесности Ас > 0, то есть релаксационные процессы в равновесной среде приводят к увеличению Re, . Рост параметра Дамкеллера также приводит к росту Дс, что в равновесных средах увеличивает Re,,, а в неравновесных - уменьшает.

Исследовалась устойчивость трехмерных возмущений пограничного слоя сжимаемого неравновесного газа на слабоискривленной поверхности - неус-

Рнс. 4. Зависимость величины Ас от степ с Fi и неравновесности и параметра Дамкеллера

Рис. 5. Зависимость инкремента со <)т квадрата параметра Гертлера и Степени непавновесноета S.

тойчивость Гертлера

Получена система уравнений для описания неустойчивости Гертлера в неравновесном газе В неявной форме найден инкремент неустойчивости Гертлера ст0

(l + 0oUx)q2

&>=Чг

(l + 0olPr)q2

onU Cpft Ср,

u;zu т. т0

где g0 = Gz, G - число Гертлера, Ч2

qtU2

■In ^u«

(2)

oU

An

—+—, u. = ri/Re, Pr T„ Рг ^ 1

Äf

и

- число Прандтля

Показано, что величина ст0 увеличивается с ростом степени неравновесности среды, рис 5

Во второй главе проведен анализ эволюции возмущений неравновесного сжимаемого пограничного слоя на плоской пластине в области нестационарного нелинейного критического слоя

Анализ проводился при условии разделения критического слоя и вязкого подслоя ус > 5с, где 5с -толщина критического слоя Внутри пограничного слоя можно выделить

области, где анализ устойчивости можно проводить на основе линеаризованных уравнений Навье-Стокса область внешнего течения (V), невязкие области при у > ус (IV) и при у < Ус (II), а также вязкий пристеночный слой (I) и существенно нелинейную область - критический слой (III), рис 6 Критический слой считался сильно нелинейным, т е параметр %, характеризующий отношение нелинейных слагаемых к вязким, полагался большим параметром x = s3/2aRe »1 Полагалось, г

Рис 6 Структура течения в пограничном слое при разделяющихся критическом и пристеночном слоях

что число Струхаля для критического слоя велико

= тах »1, где та =-«1, Г - инкремент нарастания возмущений

S^aRe Sca

Из уравнений релаксационной газодинамики получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для описания эволюции вихревых возмущений на стадии нелинейного критического слоя Решение системы строилось методом сращиваемых асимптотических разложений

В пределе быстрой релаксации внутренних степеней свободы, acDh"' «1, где Dh - число Дамкеллера, дисперсионное соотношение для рассматриваемых возмущений и скачок фазы Ф в особом решении этой системы имеют вид

а(1 - с) с - сь° wc,Uc'

Ус ) ис'УсО-Ус)

(3)

Гл»т. / у,,

(4)

В противоположном пределе исШГ'»1, аналогичная процедура приводит к следующим выражениям для скачка фазы и дисперсионного соотношения:

фих-^у* -I ,

«(1-е)2 \ ус ) ис'ус{|-ус)

с (0ЬРгЬ„У2 ' ис^с'! и^с^ где индекс «Л\г» означает, что значения переменных вычисляются на стенке при у — 0. Анализ показал, что поведение дозвуковых возмущений неравновесно го пограничного слоя на стадии нелинейного критического слоя качественно повторяет их поведение в равновесной среде. В быстр орел актирующей среде безразмерная амплитуда возмущения на этой стадии описывается уравнением

(5)

А 1етс ием;

имеющим решение взрывного типа е(г) = ———где время неустойчивости 5

(1-1/3)"

равно

Зп у1Л'г'1/ис,!

41 ~ 64 ^аКес5 ие"

с т/Ьс

В пределе медленной релаксации, при больших числах Дамкеллсра, ситуация близка к равновесной. Значение 9 сильно зависит от характера распределения температуры и степени неравновесности вдоль оси у, т.е. от способа возбуждения разряда в окрестности обтекаемого тела.

Отношение времен взрывной неустойчивости в

неравновесной и равновесной

2 2

средах от 5 и параметра М, с для неравновесной среды показано на рис. 7.

Зависимость времени взрывной неустойчивости 3 от

М;с Рг"2

ср~ Г.,

СрД'" Уо)

(6)

Рис.7. Зависимость отношения !}/3(0) от Й и параметра Мщ2с2.

степени неравновесности Б в пределе асШ 1«1 определяется соотношением

М2с2 Рг"2 \ ^ ро Г(,- о Уо)

М2 с2 Рг"2 1 С Рад Сро

2(4

ро )з (/.Л

i , 1бТе ис

Тс' ис

<4

Го -1

у. --

Го

(7)

а в пределе асШ 1 »1 соотношением

(4 =

1 ы +Стт -Л 7(ис')с , (Т л ,

2 ;с 2 г | 1бТс Цс"

+ т • и '

тш

(8)

где для любых А,В введено обозначение (А)в = 31пА/<Э1пВ, значение (с)3 следует

из

связи

04=£

с

тт-т„ 2тт (, у0

29Т£7бТ№ /(1 - с)с5Мф, (уД = (СД -(СУ0)3, (с)3 = -

1-е 5-6с

04 >

О«! ^УО ч Уа

Тт-хР

Сро Суо

(сД — 5 " , (СУ0)д

^РО

=

г

Значение (а)с в низкочастотном пределе обозначено как (а)Со Значение (а)с в высокочастотном пределе обозначено как (а)с«,-

Расчеты показывают, что между ними существует следующая связь (а) -(а) .(Ч/ГуЛ'Ч.-Г,,^ 2с2-1

1 ^ J (шргЪ^-З^^МХО-с)2)"2

Видно, что разница между (а)Са> и (а)Со в рассматриваемом пределе БЬ »1 с учетом условия применимости асимптотического метода 11е » 1 невелика

В третьей главе определены условия возникновения вторичной неустойчивости неравновесного пограничного слоя

Найдены решения для первичной нелинейной волны, образующейся в результате стабилизации взрывной неустойчивости В частности, для возмущения температуры в нелинейном критическом слое в окрестности нулевого узла получено соотношение

т т х± | *±о ег£ / \ %

2 2 lл/4hRJ

т т егГ %

2 2

(9)

' у / ¿.

где V = = зт2К =Ьи =8^00<?2, ^ = ^О, £, = (хР^е^ -1),

рис. 8. Остальные параметры среды могут быть выражены через Т.

Неравновесность среды в области нелинейного критического слоя и области вторичной неустойчивости оказывает заметное влияние на амплитуду возмущений в ВяЗком подслое при больших степенях неравновесности.

В результате развития неустойчивости вихревого возмущения формируется Г нелинейная волна, в которой продольная и поперечная компоненты скорости имеют большие градиенты - |Т' ~ уш» 1.

Дан обзор существующих работ в области вторичной неустойчивости и основных методов анализа устойчивости трехмерной первичной нелинейной волны относительно мелкомасштабных флуктуации с масштабом

^ - е"У"2 => Е'1"V"2 Яеи2 ^--е"1

' %

1 I .з

5 х

Рис. 8. Зависимость функции "Г ог координаты х и степени не-оавновесности 5.

где 5Л - толщина вязкого подслоя.

Путем линеаризации уравнений релаксационной газодинамики относительно трехмерного течения, сформированного в результате распространения в основном потоке первичной нелинейной волны в системе отсчета, связанной с первичной нелинейной волной с использованием .метода Галеркида и георемы Флоке получена система уравнений для вихревых мод.

Методом медленно меняющихся амплитуд в пределе апеСЬ' »1 и малых степенях неравновесноСТЙ получено выражение для относительного инкремента вторичной неустойчивости в'" =вв'я/сЕ'£), где б<т<,2)«, «« - инкремент вторичной неустойчивости в равновесном случае

2 1 ^-рр _ Су0 | С V», )

Ми -с)-ри (аоГ^-^-б^п'-б^р2)

где р - кг - г-ая компонента волнового вектора. Особенно простой вид соотношение (10) принимает в пределе 8П«1, агпг52«|,

Тр [ Срр ^ Су, | " С^)'

График отношения инкремента вторичной неустойчивости в неравновесной среде к его значению в равновесной релаксирующей среде от степени неравновесности и величины х приведен на рис. 9. Показано, что в главном порядке теории возмущений но большому в критическом слое параметру нелинейности X » 1 зависимость инкремента от е и совпадает с полученной в работе [Жигулев ВМ и др., ¡976].

Величина инкремента вторичной неучтойчивости растет с увеличением степени неравновесности среды, однако вклад неравновесного заселения внутренних степеней свободы для мелкомасштабных возмущений невелик.

В диссертационной работе получены следующие Основные результаты: !. Найдена зависимость критического числа Рейнольдса от степени неравновесности, числа Дамке л л ера и числа Маха невозмущенного потока при различных углах распространения волн. Показано, что в неравновесной срсде критическое число Рейнольдса может заметно ладать с ростом степени неракновесноети, что приводит к сокращению характерной длины линейного участка перехода к турбулентности. В равновесной ре-лаксирующсй среде увеличение числа Дамкеллсра приводит к повышению стабильности пограничного слоя.

2. Получено дисперсионное соотношение для дозвуковых возмущений малой амплитуды нелинейного критического слоя. Получено уравнение, описывающее эволюцию возмущения на нелинейной стадии его развития. Показано, что, как и в равновесных средах, рост амплитуды возмущения на данной стадии развития турбулентности носит взрывной характер, а характерное время неустойчивости уменьшается с ростом степени неравновесности среды.

3. Получена зависимость инкремента вторичной неустойчивости пограничного слоя неравновесного газа при больших числах Дамкеллера от степени неравней весности среды и угла распространения волны относительно скорости невозмущенного потока.

4. Определена область нейтральной устойчивости и инкремент неустойчивости для пограничного слоя неравновесного газа на слабоискривленной пластине в зависимости от степени неравновесности и параметра Гертлера.

Рис. 9 Отношение инкремента вторичной неустойчивости в неравновесной среде к его значению в равновесной релаксирутощей среде

Публикации по теме диссертации

Работы, опубликованные в ведущих рецензируемых журналах, определенных ВАК

1 Заверишнский И П, Кнестяпин В H Устойчивость трехмерных возмущений малой амплитуды в неравновесном сжимаемом пограничном слое // Теплофизика высоких температур, 2007 -Т 45 №2 С 235-242

Работы, опубликованные в других журналах и изданиях

1 Knestyapm V N, Zavershmskii IР Nonlinear critical layer of nonequilibrmm gas Труды XV Международной конференции по МГД-преобразованию энергии и VI Международного совещания по магнитоплазменной аэродинамике в аэрокосмических приложениях, 2005, Москва С 651-655

2 Завершинский И П, Кнестяпин В H Устойчивость пограничного слоя неравновесного газа относительно трехмерных возмущений Труды 14-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых по Математическому моделированию в естественных науках, 2005, Пермь С 31-32

3 Завершинский И П, Кнестяпин В H Моделирование процесса взаимодействия волн в акустически активных средах VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике Кисловодск МГТУ, 2006 С 62-65

4 Завершинский И П, Кнестяпин В H, Рогачев H M Нелинейный критический слой в неравновесном молекулярном газе Материалы VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006) С-Петербург СПбГУ, 2006 С 174-176

5 Завершинский И П, Кнестяпин В H, Рогачев H M Устойчивость пространственных возмущений неравновесного пограничного слоя Материалы VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях(№Ш-2006) С-Петербург СПбГУ, 2006 С 176-178

6 Завершинский И П, Кнестяпин В H Исследование устойчивости трехмерных возмущений в неравновеной газовой среде Сборник трудов Всероссийской научно-практической конференции «Вычислительный эксперимент в аэроакустике» Светлогорск, 2006 С 25-28

7 Knestyapm V N, Zavershmskii IР The boundary lauer stability m the acoustically active gas Proc 33rd International Acoustical Conference - BAA Symposium Strbske Pleso, Slovakia, 2006 P 156-160

8 Завершинский И П, Кнестяпин В H Устойчивость пространственных возмущений неравновесного пограничного слоя Труды конференции «Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении» Самара СГАУ, 2006 С 149-154

9 Кнестяпин В H Устойчивость возмущений пограничного слоя неравновесного газа на вогнутой поверхности // Естествознание Экономика Управление Межвузовский сб научн работ Самара 2006 Т 7 С 25-31

10 Завершинский ИП, Кнестяпин ВН Вторичная неустойчивость неравновесного пограничного слоя на плоской пластине II Естествознание Экономика Управление Межвузовскийсб научн работ Самара 2006 Т7 С 17-24

11 Завершинский И П, Кнестяпин В Н Устойчивость трехмерного неравновесного сжимаемого пограничного слоя Труды международной междисциплинарной научной конференции «III Курдюмовские чтения Идеи синергетики в естественных науках», Тверь ТГУ, 2007 С 160-165

12 Knestyapin VN, Zavershmskix IP Compressible disturbances m the three-dimensional non-equilibrium boundary layer Nonequihbnum processes Vol 1 Moskow Torus Press 2007 P 134-139

13 Rnestyapm V N, Zavershinskn IP Secondary instability of three-dimensional non-equilibnum boundary layer Труды VII Международного совещания по маг-нитоплазменной аэродинамике в аэрокосмических приложениях, 2007 Москва С 124-127

14 Knestyapin V N, Zavershinskn IР Stability of nonequilidnum boundary layer Труды 15 Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2007), Алушта, 2007 С 38-42

15 Кнестяпин В Н Взаимодействие акустических волн со сжимаемым неравновесным пограничным слоем Сборник трудов 19 сессии Российского акустического общества Нижний Новгород ИПФ РАН, 2007 С 56-58

16 Завершинский И П, Кнестяпин В Н Вторичная неустойчивость трехмерного неравновесного сжимаемого пограничного слоя // Вестник СамГТУ Серия "Физико-математические науки" №47,2007 С 71-78

ЛР № 020316 от 4 12 96 Подписано в печать 12 09 07 г Формат 60x84 ^ Бумага офсетная Печать оперативная

Объем /,0 печ л Тираж 100 экз Заказ № /4М Издательство «Самарский университет» УОП СамГУ ПЛД № 67-34 от 19 02 98

Введение

1. Устойчивость трехмерных возмущений малой амплитуды в неравновесном сжимаемом пограничном слое

1.1 Обзор результатов исследований линейной стадии неустойчивости потоков в неравновесном пограничном слое

1.2 Уравнения устойчивости трехмерных возмущений плоскопараллельного пограничного слоя сжимаемого неравновесного газа. Решения уравнений устойчивости

1.3 Влияние степени неравновесности, числа Маха невозмущенного потока, угла распространения возмущений и температуры стенок на критическое число Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода плоскопараллельного пограничного слоя сжимаемого газа

1.4 Устойчивость трехмерных возмущений пограничного слоя сжимаемого неравновесного газа на слабоискривленной поверхности. Вихри Гертле-ра

2. Эволюция возмущений неравновесного сжимаемого пограничного слоя на плоской пластине в области нелинейного критического слоя

2.1 Постановка задачи о нелинейном критическом слое

2.2 Уравнения устойчивости возмущений критического слоя сжимаемого неравновесного газа. Структура возмущения вне критического слоя

2.3 Структура возмущения в критическом слое

3. Вторичная неустойчивость возмущений неравновесного сжимаемого пограничного слоя

3.1 Формирование первичной нелинейной волны

3.2 Вторичная неустойчивость

Теория пограничного слоя традиционно играет значительную роль в механике жидкостей, газов и плазмы, прежде всего, в силу практической значимости этой проблемы.

Впервые переход ламинарного движения в турбулентное был описан более 100 лет назад Хагеном. Результаты систематических наблюдений этого явления были опубликованы Рейнольдсом в 1883 г. [1]. При этом первая последовательная теория устойчивости движения однородной вязкой несжимаемой жидкости по отношению к бесконечно малым возмущениям была построена только в 1924 г. Гейзенбергом для течения Пуазейля [2].

Устойчивость пограничного слоя, образуемого течением вдоль плоской пластинки, важна для практики и имеет основное значение для теории. В несжимаемом случае его неустойчивость была впервые предсказана Толлми-ном , рассматривавшим эту задачу как задачу о параллельном течении [3]. Шлихтинг [4] провел подробное вычисление характеристик колебаний, возникающих из-за неустойчивости. Однако вычисления Шлихтинга находятся только в качественном согласии с экспериментами. Применив метод вычислений [2] к данному случаю, Линь заново получил нейтральную кривую Тол-лмина, лучше согласующуюся с экспериментами, рис. 1.

Теория устойчивости пограничного слоя была обобщена на случай сжимаемой среды для идеального газа сначала только для двумерных возмущений (Лиз и Линь), а затем и для трехмерных возмущений (Дан и Линь). Обзор этих работ можно найти в монографии [6]. В данных работах сделаны следующие выводы, имеющие важное значение для теории сжимаемого пограничного слоя.

Во-первых, для дозвуковых и небольших сверхзвуковых чисел Маха характеристики устойчивости нечувствительны к граничным условиям, налагаемым на изменение температуры. Изменение граничных условий на prv/Uoo -106 400

300

200

•loo о

0 WOO 2000

Рис. 1. Кривая нейтральной устойчивости первой моды для течения Блазиуса по данным [5], где prv/Uoo - безразмерная частота, Re - число Рейнольдса. стенке влияет на характеристики устойчивости только через изменение в основных распределениях скорости, температуры и плотности. Такое заключение применимо также и к несжимаемому случаю. Однако оно, вообще говоря, перестает быть верным для достаточно высоких чисел Маха [6,7].

Во-вторых, теорема Сквайра [8] не имеет места для трехмерных возмущений в сжимаемой жидкости - при увеличении числа Маха именно они становятся наиболее неустойчивыми, а не двумерные [10,11,17,21]. Однако при малых числах Маха выполняется с хорошей степенью точности, рис. 2. Главная причина этого отличия состоит в том, что в сжимаемом случае основное течение характеризуется не только распределением скоростей, но также и распределением температур и плотностей. Вывод Сквайра в несжимаемом случае легко можно получить поворотом осей.

Re)1/2-10"2

4,5

1,5 2 4 M

Рис. 2. Критические числа Рейнольдса потери устойчивости в зависимости от числа Маха. Кривая 1 -двумерные возмущения, кривая 2 - трехмерные по данным [7].

Но, векторная величина, такая, как скорость, и скалярная величина, как температура, неодинаково ведут себя при таком преобразовании.

В-третьих, в несжимаемом случае, если возмущение периодично в направлении потока, то в нормальном к потоку направлении оно ведет себя как функция, экспоненциально убывающая с расстоянием и имеющая дискретный спектр собственных значений. Такие возмущения называют дозвуковыми. С другой стороны, в сжимаемой жидкости возмущение вида бегущей волны может распространяться со сверхзвуковыми скоростями по отношению к набегающему потоку, так как скорость звука конечна. Таким образом, кроме дозвуковых возмущений, в сжимаемом пограничном слое могут существовать волновые возмущения, амплитуда которых в бесконечности не убывает, рис. 3. Такие возмущения называют сверхзвуковыми [12,13] и они не имеют дискретного спектра собственных значений, если только не наложить подходящего ограничения. Исследования сплошного спектра практическое приложение могут найти при рассмотрении взаимодействия внешних возмущений (как правило, звуковых) с ламинарным пограничным слоем [9,10].

Рис. 3. Области сверхзвуковых (1) и дозвуковых (2) возмущений по данным [9], где ас - безразмерная частота возмущения, с - фазовая скорость, а - безразмерное волновое число.

Возмущения внутри пограничного слоя могут в несколько десятков раз превышать свои значения во внешней части течения. На этом основании можно сделать предположение о том, что внешние возмущения такого типа могут оказывать сильное влияние на переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный [10,12].

В дальнейшем опубликован целый ряд работ, посвященных изучению влияния структуры основного течения, угла атаки, формы обтекаемого тела, начальной турбулентности в набегающем потоке, неоднородности среды, шероховатости обтекаемой поверхности, ее вибрации, вдува - отсоса пограничного слоя и т. п. на условия устойчивости пограничного слоя относительно бесконечно малых возмущений. Обзор части этих работ можно найти в [10,11,14-18] и др.

Однако первичная неустойчивость исходного течения в пограничном слое приводит к росту амплитуды возмущения и переходу последнего в нелинейный режим эволюции. Таким образом, если говорить о строгой теории ламинарно-турбулентного перехода, то адекватный формальный аппарат должен позволить описать в первую очередь эволюцию неустойчивости - ее возникновение, развитие, наблюдаемый распад и переход течения к развитому турбулентному режиму.

Первой теоретической концепцией возникновения турбулентности является концепция, выдвинутая Ландау [19], которая сводится к постадийному усложнению исходного движения путем развития соответствующих неус-тойчивостей, причем каждая стадия завершается насыщением наблюдаемого возмущения - механизм удвоения периода при переходе к хаосу.

Однако экспериментальная картина развития возмущений не соответствует насыщению моды, что лежит в основе схемы перехода Ландау.

Рис. 4. Схема ламинарно-турбулентного перехода. Область 1 - ламинарное течение, область 2 - зона волн Толлмина-Шлихтинга, область 3 -зона нелинейного критического слоя, область 4 - зона пространственной волны неустойчивости, область 5 - зона вторичной неустойчивости, 6 - пятна Эммонса по данным [20], 8 - безразмерная амплитуда возмущений, х - продольная координата.

Здесь имеет двухстадийный процесс нарождения и развития длинноволновой моды возмущения с последующим ее уничтожением за счет механизма вторичной неустойчивости с образованием коротковолновых мод и турбулентного спектра. Максимум амплитуды возмущения приходится на зону пятен Эммонса, и характер изменения величины амплитуды в этой зоне связан исключительно с образованием развитого турбулентного спектра возмущений [20,23], рис. 4.Эта схема согласуется с экспериментальными наблюдениями, см., например, [22].

Рис. 5. Ламинарно-турбулентный переход в несжимаемой жидкости по данным [22].

Возмущение развивается следующим образом.

1. 8 « 8* - зоны 1 и 2 , где е - безразмерная амплитуда возмущения. При достаточно малом фоне начальных возмущений в первоначально ламинарном пограничном слое после потери им устойчивости начинает расти волна возмущения, называемая обычно волной Толмина-Шлихтинга (зона 2), удовлетворяющая линеаризованным уравнениям Навье-Стокса, которая соответствует максимальному инкременту роста внутри петли неустойчивости в плоскости (a,Res), рис. 1, где а = кб, к - волновое число, 8 - толщина погра

U 5 ничного слоя, Re = —— число Рейнольдса, сосчитанное по скорости на бесЛ конечности Ц» и толщине пограничного слоя 5, г| - коэффициент сдвиговой вязкости. Внутри зоны 2 возмущение растет, достигая пороговой амплитуды б* ~ (uc'aRe)"2/3 и переходит в зону 3.

2. 8 ~ s* - зона 3 (область нелинейного критического слоя). Существование пороговой амплитуды связано со следующими факторами. Необходимым и достаточным условием существования нейтральных, затухающих в бесконечности возмущений является условие существования обобщенной точки перегиба у = ус, [6,11], в которой выполняется условие — dy

JdU Т dy

0.

Фазовая скорость распространения возмущений в ней равна скорости потока в этой точке с = U(yc). Но нейтральные дозвуковые возмущения обладают следующей особенностью. Когда невязкие уравнения рассматриваются как первое приближение к полным уравнениям устойчивости, а не удовлетворяет приведенному условию, ус - регулярная особая точка, а область течений вблизи нее называется критическим слоем, в котором существенную роль начинают играть нелинейные слагаемые. Оценку пороговой амплитуды е* для несжимаемых возмущений проведем, сравнив линейные и нелинейные слагаемые в уравнении Орра-Зоммерфельда [24,25]. Это уравнение описывает возмущения течения в пограничном слое на плоской пластине

16 АШ ,тт чА6^ d'UdV

--еДУ + (U - с)Д---:--+ с б dt дх dy дх дЧ А ач7 dV А &¥ ) 1 дди, — Д---Д— =—ДДУ (1) ду дх дх дх) Re

О (2) (3) <4>

Плоская пластина является основной моделью для исследования ламинарно-турбулентного перехода. Рассмотрим область в окрестности ус и разложим U уу V в ряд Тейлора U-c = Uc'(y-yc)+Uc"v +., где Uc = U(yc) и т.д. Будем разыскивать решение уравнения (1) для двумерных возмущений в виде плоской волны 4/ = \|/(y)exp{iax-iact). Тогда уравнение Орра-Зоммерфельда примет вид н/''-aV)- [lJc "+,.]>;; = ^-L [y,v - 2aV'+a\|/]. iaRe

Следуя исходному предположению о поведении функций вблизи ус, будем считать, что на толщине критического слоя величина у меняется на величину порядка Д\|/, то есть там у'——j- и т.д. Тогда главные слагаемые име

5С sc ют порядок ис'(у-усУ~ис'^-,-^---откуда 8С ~ (Uc'aRe)",/3. Воз

5С ia Re 5ca Re вращаясь к нестационарному уравнению, из сравнения слагаемых (2) и (3) имеем: (2)-—; (з)~ Ц- => в* ~ (Uc'aRe)"2/3.

5С 5С

3. s > е* - зона 4 (первичная нелинейная волна). Возмущение становится трехмерным. В работе [37] было высказано предположение, что причиной образования трехмерной структуры в области перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный является трехволновое резонансное взаимодействие, которое появляется во втором порядке по амплитуде возмущения. Эта гипотеза нашла подтверждение в численных расчетах [18,38-40]. Сравнение слагаемых (3) и (4) в уравнении (1) на масштабах критического слоя (с учетом того, что на этих масштабах 8С ~ s *,/2 ~ с|/2) дает:

S»x = -i^- = s5caRe~eJ/1aRe. (4) Re"15с4 с

Таким образом, в зоне 4, кроме нелинейных, существенны и вязкие слагаемые. Параметр % впервые введен в работе [26]. В этой зоне образуется область толщиной ~8сХ"1/2> гДе терпит разрыв завихренность. Такой же разрыв для трехмерной волны терпит трансверсальная скорость w, что приводит к высокочастотной (вторичной) неустойчивости волны и ее разрушению.

4. с » £*, х » 1 - зона 5 (зона вторичной неустойчивости). Появление вторичной неустойчивости обычно описывается экспериментаторами как некий взрывной процесс, в результате которого в потоке вследствие появления неустойчивости самой волны возмущения возникают дополнительные возмущения с длиной волны порядка 8х*,/2. Эта область хорошо заметна с помощью оптических методов визуализации потоков в силу внезапного появления мелкомасштабных неоднородностей. В работе [41] было впервые показано, что интенсивное нелинейное взаимодействие крупномасштабных возмущений с мелкомасштабными появляется там, где фазовая скорость первичной волны совпадает с групповой скоростью вторичной. Таким образом, механизм возникновения вторичной неустойчивости близок к механизму возникновения первичной, где роль основного течения играет первичная нелинейная волна, сформировавшаяся в области 4, а роль критического слоя -область разрыва завихренности. Подробное описание развития вторичной неустойчивости можно найти в работах [26,42].

После области вторичной неустойчивости следует область пятен Эм-монса, где появившиеся волновые пакеты перерастают в нелинейные образования, после чего и наступает зона развитой турбулентности. В зоне 6 идет неравновесный процесс формирования турбулентного спектра энергии.

Описанные выше результаты относятся к задаче устойчивости пограничного слоя в равновесной среде (несжимаемой или сжимаемой). Однако, в последнее время возникла проблема описания устойчивости пограничного слоя неравновесного газа.

Газ обычно представляет собой состояние с большим числом внутренних степеней свободы (вращательных, колебательных и т. д.) и разнообразием каналов, по которым идут процессы релаксации энергии, запасенной в этих степенях свободы [27-32]. Локальное нарушение равновесия в сжимаемой среде приводит к появлению релаксационных процессов, стремящихся восстановить равновесие. В равновесных средах это приводит к появлению обобщенной временной дисперсии, характеризующихся в потоках параметром Дамкеллера Dh = —, где L - некоторая характерная длина, т - время ре

Ut лаксации внутренних степеней свободы. В неравновесных средах энергия внутренних степеней свободы отличается от энергии поступательной степени свободы. Это отличие характеризуется степенью неравновесности S (напри

Е -Ее мер, в колебательно возбужденном газе S - —-—, где Е - энергия колебательных степеней свободы в расчёте на одну молекулу; Ее = Е|т =т ), [85-100].

В равновесной среде S = 0, а в неравновесной S > 0. Внутренние степени свободы в этом случае являются резервуаром энергии и при определенных фазовых соотношениях между источником энергии и возмущением, полученных еще Релеем [43], последнее может усиливаться. Это может приводить к потере устойчивости возмущений, изменению характера эволюции конечных возмущений и макроскопической перестройке самих систем [27,31].

Возвращаясь к проблеме исследования устойчивости пограничных слоев неравновесных газо-плазменных сред, заметим, что она стала актуальной, прежде всего, в связи с интенсивными экспериментальными и теоретическими исследованиями, связанными с воздействием плазмы на потоки, обтекающие тело [44-48, 88,89] и др. Среди теоретических работ, посвященных проблеме устойчивости пограничных слоев неравновесных газов, выделяются следующие. В работе [32] показано, что в неравновесной среде возможно нарастание потенциальных возмущений однородных дозвуковых потоков механизмом параметрической перекачки энергии от неустойчивых акустических мод. В [33] влияние положительной второй вязкости на критическое число Рейнольдса (его увеличение) было зарегистрировано экспериментально уже при числах Маха М = 0,1. В [34] исследована проблема устойчивости неоднородных дозвуковых потоков неравновесного газа на примере плоского течения Пуазейля. В работе [35] путем численного моделирования показана возможность уширения зоны неустойчивости для волн Толлмина-Шлихтинга при обтекании плоской пластины в аэродинамической трубе под нулевым углом атаки потоком колебательно возбужденного газа. В работе [36] найден сдвиг критического числа Рейнольдса при условиях свободного обтекания пластины потоком колебательно возбужденного газа. Показано, что наличие релаксационных процессов в равновесной среде приводит к увеличению Rec, а в неравновесных - к его понижению. Однако, эти теоретические работы посвящены исследованию устойчивости только двумерных возмущений, причем бесконечно малой амплитуды. Не исследована устойчивость трехмерных возмущений пограничного слоя неравновесного газа бесконечно малой амплитуды и нелинейные стадии ламинарно-турбулентного перехода (области 3-5). Не изучено влияние неравновесности среды на устойчивость пограничного слоя при слабом отклонении от параллельности течения.

Таким образом, актуальность настоящей работы определяется необходимостью определения степени влияния неравновесности среды и релаксационных свойств среды на устойчивость пограничного слоя относительно возмущений малой и конечной амплитуды. С целью исключения факторов формы тела (включая форму передней кромки), свойств его поверхности и угла атаки в качестве обтекаемого тела выбрана плоская пластина, обтекаемая потоком колебательно-неравновесного газа под нулевым углом атаки. В работе также не рассматривалось влияние внешних возмущений на устойчивость неравновесного пограничного слоя.

Целью работы является исследование устойчивости пограничного слоя неравновесного релаксирующего газа на плоской пластине.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

- определить зависимость критического числа Рейнольдса от степени неравновесности среды, параметра Дамкеллера, угла распространения волны Тол-лмина-Шлихтинга относительно скорости невозмущенного потока, числа Маха невозмущенного потока и температуры поверхности;

- провести анализ эволюции возмущений неравновесного сжимаемого пограничного слоя на плоской пластине в области нелинейного критического слоя и исследовать устойчивость первичной нелинейной волны в неравновесном пограничном слое относительно мелкомасштабных возмущений;

- определить инкремент вторичной неустойчивости пограничного слоя в неравновесном газе;

- определить область нейтральной устойчивости и инкремент неустойчивости Гертлера для пограничного слоя неравновесного газа на пластине с большим радиусом кривизны.

В соответствии с поставленными задачами

В первой главе диссертации проведен анализ устойчивости пространственных дозвуковых сжимаемых возмущений на линейной стадии их развития при обтекании плоской пластины плоскопараллельным потоком неравновесного релаксирующего молекулярного газа.

Дан обзор результатов исследований линейной стадии неустойчивости потоков в неравновесном пограничном слое. Отмечено, что все существовавшие к настоящему времени работы посвящены проблеме устойчивости одно- или двухмерных возмущений пограничного слоя.

В широко используемом предельном случае больших числах Рейнольд-са Re»l, малых продольных волновых числах а«1, где а = кхб, причем aRe »1 для дозвуковых возмущений, сформулирована граничная задача для определения критического числа Рейнольдса для трехмерных возмущений ламинарного пограничного слоя. Показано, что в двухмерном случае эта система сводится к уравнениям, полученным в работе [36], а в случае равновесной несжимаемой среды - к полученным в работе [6].

Таким образом, в главе 1 найдена зависимость критического числа Рейнольдса от степени неравновесности, числа Дамкеллера и числа Маха невозмущенного потока при различных углах распространения волн. Показано, что в неравновесной среде критическое число Рейнольдса может заметно падать с ростом степени неравновесности, что приводит к сокращению характерной длины линейного участка перехода к турбулентности. В равновесной релаксирующей среде увеличение числа Дамкеллера приводит к повышению стабильности пограничного слоя. Определена область нейтральной устойчивости и инкремент неустойчивости для пограничного слоя неравновесного газа на слабоискрнвленной пластине в зависимости от степени неравновесности и параметра Гертлера.

Во второй главе проведен анализ эволюции возмущений неравновесного сжимаемого пограничного слоя на плоской пластине в области нестационарного нелинейного критического слоя.

Показано, что в неравновесной среде, как и в равновесной, внутри пограничного слоя можно выделить области, где анализ устойчивости можно проводить на основе линеаризованных уравнений Навье-Стокса: область внешнего течения (V), невязкие области при у > Ус (IV) и при у < ус (II), а также вязкий пристеночный слой (I) и существенно нелинейную область -критический слой (III), рис. 6. Критический слой считался сильно нелинейным, т.е. параметр характеризующий отношение нелинейных слагаемых к вязким, полагался большим параметром % = eV2aRe »1. Полагалось, что число Струхаля для критического слоя велико Shc=~-r-^— = рх»1, где

6£a Re Г

Р = — «1, Г - инкремент нарастания возмущений.

8С a

Решение системы строилось методом сращиваемых асимптотических разложений. Таким образом, в главе 2 получено дисперсионное соотношение для дозвуковых возмущений малой амплитуды нелинейного критического слоя. Получено уравнение, описывающее эволюцию возмущения на нелинейной стадии его развития. Показано, что, как и в равновесных средах, рост амплитуды возмущения на данной стадии развития турбулентности носит взрывной характер, а характерное время неустойчивости уменьшается с ростом степени неравновесности среды.

В третьей главе определены условия возникновения вторичной неустойчивости неравновесного пограничного слоя. Найдены решения для первичной нелинейной волны, образующейся в результате стабилизации взрывной неустойчивости. Видно, что неравновесность среды в области нелинейного критического слоя и области вторичной неустойчивости оказывает заметное влияние на амплитуду возмущений в вязком подслое при больших степенях неравновесности.

Показано, что в результате развития неустойчивости вихревого возмущения формируется нелинейная волна, в которой продольная и поперечная компоненты скорости имеют большие градиенты ~ Р"1 ~ х'/2>> 1

Дан обзор существующих работ в области вторичной неустойчивости и основных методов анализа устойчивости трехмерной первичной нелинейной волны относительно мелкомасштабных флуктуации.

Для этого путем линеаризации уравнений релаксационной газодинамики относительно трехмерного течения, сформированного в результате распространения в основном потоке первичной нелинейной волны в системе отсчета, связанной с первичной нелинейной волной с использованием метода Га-леркина и теоремы Флоке получена система нелинейных уравнений для мод.

Показано, что область вторичной неустойчивости соответствует пределу маg лых чисел Дамкеллера ancDh"1 »1, где Dh = ——противоположном тому, который рассматривался при анализе линейной устойчивости волн Толлмина-Шлихтинга.

Методом медленно меняющихся амплитуд в пределе ancDh"1 »1 и малых степенях неравновесности получено выражение для инкремента вторичной неустойчивости. Показано, что в главном порядке теории возмущений по большому в критическом слое параметру нелинейности % » 1 зависимость инкремента от 8 и % совпадает с полученной в работе [42], а величина инкремента вторичной неучтойчивости растет с увеличением степени неравновесности среды, однако вклад неравновесного заселения внутренних степеней свободы для мелкомасштабных возмущений невелик.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Найдена зависимость критического числа Рейнольдса от степени неравновесности, числа Дамкеллера и числа Маха невозмущенного потока при различных углах распространения волн. Показано, что в неравновесной среде критическое число Рейнольдса может заметно падать с ростом степени неравновесности, что приводит к сокращению характерной длины линейного участка перехода к турбулентности. В равновесной релаксирующей среде увеличение числа Дамкеллера приводит к повышению стабильности пограничного слоя.

2. Получено дисперсионное соотношение для дозвуковых возмущений малой амплитуды нелинейного критического слоя. Получено уравнение, описывающее эволюцию возмущения на нелинейной стадии его развития. Показано, что, как и в равновесных средах, рост амплитуды возмущения на данной стадии развития турбулентности носит взрывной характер, а характерное время неустойчивости уменьшается с ростом степени неравновесности среды.

3. Получена зависимость инкремента вторичной неустойчивости пограничного слоя неравновесного газа при больших числах Дамкеллера от степени неравновесности среды и угла распространения волны относительно скорости невозмущенного потока.

4. Определена область нейтральной устойчивости и инкремент неустойчивости для пограничного слоя неравновесного газа на слабоискривленной пластине в зависимости от степени неравновесности и параметра Гертлера.

Достоверность результатов, основана на обоснованности принятых в механике газа и плазмы физических и математических моделей и подтверждается сравнением с имеющимися экспериментальными данными и опублинованными теоретическими результатами, которые могут быть получены предельным переходом из результатов, полученных автором.

Результаты проведенных автором исследований могут быть использованы в сверхзвуковой аэродинамике (задачи обтекания тел потоком неравновесного газа), теории реактивных двигателей, а также в других приложениях, где применяются неравновесные среды.

1. Reynolds О. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion // Scientific Papers. V.2. P.535-577. Cambridge University Press.

2. Heisenberg W. Ober Stabilitat und Turbulenz von Flussigkeitsstromen // Ann. Phys. Lpz. D. 1924. V.74. S.577-627.

3. Tollmien W. Ober die Entstehung der Turbulenz, Nachr. Oes. Wiss. Gottin-gen. Math.-phys. Klasse. 1929. S. 21-44.

4. Schlichting H. Zur Entstehung der Turbulenz bei der Plattenstromung // Nachr. Ges. Wiss. GOttingen, Math.-phys. Klasse. 1933. S. 181-208.

5. Shen S.F. Calculated amplified oscillations in plane Poiseuille and Blasius flows // Aero. ScL. 1954. V.21. P.62-64.

6. Линь Цзя Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИИЛ, 1958. С.234.

7. Lees L. The stability of the laminar boundary layer in a compressible fluid. NACATR. 1947. N876. P47.

8. Squire H.B. On the stability of the three-dimensional disturbances of viscous flow between parallel walls. Proc. Roy. Soc. A. 1933. V.142. P.621-628.

9. Mack L.M. Linear stability theory and the problem of supersonic boundary-layer transition // AIAA J. 1975. V. 13. N 3. P. 278-289.

10. Жигулев B.H., Тумин A.M. Возникновение турбулентности. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1987. С.282.

11. Гапонов С.А., Маслов А.А. Развитие возмущений в сжимаемых потоках. Новосибирск, Наука. Сиб. отделение, 1980. С. 144.

12. Гапонов С.А., Петров Г.В., Смородинский Б.В. Линейное и нелинейное взаимодействие акустических волн со сверхзвуковым пограничным слоем // Аэромеханика и газовая динамика. 2002. №3. С.21-30.

13. Гапонов С.А., Терехова Н.М. Стационарные возмущения в сверхзвуковом пограничном слое // Аэромеханика и газовая динамика. 2002. №4. С.35-42.

14. Кашко А.А. О трехмерном течении вязкой жидкости вблизи пластины с пространственными неровностями // Аэромеханика и газовая динамика. 2002. №3. С.73-76.

15. Arnal D. Boundary layer transition: Prediction, application to drag reduction. In AGARD Special Course on Skin Drag Reduction. AGARD-R-786. P.5.1-5.59.

16. Bertolotti F., Herbert Т., Spalart P. Linear and nonlinear stability of Blasius boundary layer//J. Fluid. Mech. 1992. V.242. P.441-474.

17. Malik M., Li F. Three-dimensional boundary layer stability and transition // SAE. P. 921-991.

18. Koch W., Bertolotti F.P., Stolte A., Hein S. Nonlinear equilibrium solutions in a three-dimensional boundary layer and their secondary instability. Journal of Fluid mechanics, 2000, № 406. P. 131-174.

19. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности. ДАН СССР, 1944, т.44, №8

20. Жигулев В.Н. Современное состояние проблемы устойчивости ламинарных течений / Механика турбулентных потоков: Сб. науч. тр. М.: Наука, 1980. С. 109-133.

21. Brown V.B. A stability criterion for three-dimensional laminar boundary layers // Boundary layer and flow control/Ed. G. V. Lenchmann.- Pergamon Press. 1961. V.2. P.1033-1048.

22. Wormann 1977. Альбом течений жидкости и газа. Составление и авторский вклад М. Ван-Дайка. Под редакцией Г.И. Баренблата и В.П. Шидловского- М.: Мир, 1986. С.56.

23. Жигулев В.Н., Сидоренко Н.В., Тумин A.M. К проблеме возникновения турбулентности / Числ. методы механики сплогдн. среды. Новосибирск: ВЦ АН СССР, 1975. Т. 6. № 1. С. 30-41.

24. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodynamischen Erklarung der turbulenten Fliissigkeitsbewegung, Proc. 4th. Int. Congr. Math. Rome. 1908. S. 116-124.

25. Orr W. McF. The stability or instability of the steady motions of a liquid, Proc. R. Irish. Acad. 1906. A. 27. P.9-27.

26. Benney D.J., Bergeron R.F. A new class of nonlinear waves in parallel flows // Stud. Appl. Math. 1969. V.48. N.2. P.181-195.

27. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1980. С.432.

28. Русанов В.Д., Фридман А.А. Физика химически активной плазмы. М.: Наука, 1984. С.417.

29. Райзер Ю.П. Основы современной физики газоразрядных процессов. М.:Наука, 1980. С.416.

30. Смирнов Б.М. Физика слабоионизованного газа. М.:Наука,1972. С.435.

31. Молевич Н.Е., Ораевский А.Н. Волны в среде с отрицательной второй вязкостью // Труды ФИАН. Т.222. 1992. С.45-95.

32. Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Звуковые волны в потоках с отрицательной второй вязкостью // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 4. С.613.

33. Nerushev О.А., Novopashin S.A. Rotational relaxation and transition to turbulence // Phys. Lett. A. 1997. V. 232. P. 243.

34. Завершинский И.П., Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Параметрическое взаимодействие акустических волн с возмущениями плоскопараллельных течений неравновесных газов // Акуст. журн. 1999. Т. 45. № 1. С. 69.

35. Bertolotti F.P. The influence of rotational and vibrational energy relaxation on boundary-layer stability // J. fluid mechanics. 1998. V. 372. P. 93.

36. Молевич Н.Е. Асимптотический анализ устойчивости плоскопараллельного пограничного слоя сжимаемого релаксирующего газа // Изв. РАН. МЖГ. 1999. №5. С. 82.

37. Graik A.D.D. Non-linear resonant instability in boundary layers // J. Fluid Mech. 1971. V.50,part2. P. 399-413.

38. Зельман М.Б., Масленникова И.И. Резонансное возбуждение пространственных возмущений в пограничном слое // Неустойчивость до- и сверхзвуковых течений: Сб. пауч. тр. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. 1982. С 515.

39. Herbert Т. Analysis of the subharmonic route to transition in boundary layers // AIAA Paper. 1984. N 84-0009. P9.

40. Fisher T.M., Dallmann U. Primary and secondary stability analysis of three-dimensional boundary-layer flow // Phys. Fluids A. 1991. V.3 (10). P. 2378-2391.

41. Landahl H. Wave mechanism of breakdown // J.Fluid.Mech. 1972. V.56. №4. P.346-359.

42. Жигулев B.H., Киркинский А.И., Сидоренко H.B., Тумин A.M. К вопросу о механизме вторичной неустойчивости и его роли в процессе возникновения турбулентности // Аэромеханика: Сб. науч. тр. М.: Наука, 1976. С. 118-140.

43. Стрегг Дж.В. Теория звука. М.:ГИТЛ, 1955. Т.2. С.346.

44. Бычков В.Л., Грачёв Л.П., Есаков И.И. и др. Расчётно-экспериментальное исследование сверхзвукового обтекания затупленного тела при наличии продольного электрического разряда. Препринт № 27 ИПМ РАН, М., 1997. С.50.

45. Beaulieu W., Klimov A., Bityurin V. et.al. Plasma Aerodynamic WT tests with 1/6 Scale Model of Nose Part of F-15. AIAA. P. 99-4825.

46. Macheret S.O., Ionikh Yu.Z., Martinelli L., Barker P.F., Miles R.B. External control of plasmas for high-speed aerodynamics. AIAA. P. 99-4853.

47. Miles R.B., Macheret S.O., Martinelli L., Shneider M.N., Murray R., McAndrew B. Plasma control of shock waves in aerodynamics and sonic boom mitigation. 3rd Workshop on magneto-plasma- aerodynamics in aerospace applications, April 2001. Moscow. P.25.

48. Завершинский И.П., Коган Е.Я. Влияние гетерогенных процессов на поверхности, обтекаемой потоками неравновесных газов на гидродинамическое сопротивление. Письма в ЖТФ, 2000. Т. 26 №. 5. С.76-79.

49. Dunn D.W., Lin С.С. The stability of the laminar boundary layer in a compressible fluid for he case of three dimensional disturbances. J. Aeronaut. Sci., 1952. V. 19, №7. P. 491 -498.

50. Reed H., Saric W., Arnal D. Linear stability theory applied to boundary layers. Ann. Rev. Fluid Mech, 1993. V.28. P. 389 1128.

51. Bertolotti F.P., Herbert Th. Analysis of the linear stability of compressible boundary layers using the PSE. Theor. Comput. Fluid. Dyn., 1991, № 3. P. 117124.

52. Miskad R.W. Experiments on the nonlinear stage of free-shear-layer transition. Journal of fluid mechanics, 1972. V.52, № 4. P. 125-131.

53. Молевич H.E., Ораевский A.M. Вторая вязкость в термодинамически неравновесных средах. ЖЭТФ, 1988. Т. 94, № 3. С.128-132.

54. Осипов А.И., Уваров А.В. Кинетические и газодинамические процессы в неравновесной молекулярной физике. УФН, 1992. Т. 162, № 11, С. 1-42.

55. Гридин АЛО., Климов А.И., Молевич Н.Е. Распространение ударных волн в плазме тлеющего разряда. ЖТФ, 1993. Т.63, № 3. С. 15 7-162.

56. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Новые стационарные структуры в акустически активной среде. // Письма в ЖТФ, 2003. Т. 68, № 3. С. 194.

57. Завершинский И.П., Коган Е.Я. Ослабление ударных волн в неравновесном газе. // ТВТ. 2000. Т.38, № 2. С.293-297.

58. Молевич Н.Е. Параметрическое усиление волн завихренности в акустически активной среде. // Письма ЖТФ. 2001. Т.27, № 14. С. 123-127.

59. Stuckert G.K. Linear stability of hypersonic, chemichally reacting viscous flows. PhD thesis. Arisona State University.

60. Stuckert G.K., Reed H.L. Linear disturbances in hypersonic, chemichally reacting shock layers // AIAA. P. 97-2012.

61. Chang C.L., Vinh H., Malik M.R. Hypersonic boundary layer stability with chemical reactions using PSE. // AIAA J. V. 32. P. 1384-1394.

62. Hudson M.L., Chokani N., Candler G.V. Linear stability of hypersonic flow in thermochemical non-equilibrium // AIAA J. 1997. V.35. P. 958-964.

63. Завершинский И.П., Коган Е.Я., Молевич H.E. Параметрическое взаимодействие акустических волн с возмущениями плоскопараллельных течений неравновесных газов //Акуст. журн. 1999. Т. 45. № 1. С. 69.

64. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. С.712.

65. Gortler Н. A Uber eine dreidimensionale Instabilitat laminarer Grenz- schich-ten an konkaven Wanden, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen N.F. 1. 1940. №1, P. 1-26.

66. Floryan G.M. On the Gortler instability of boundary layers // Prog. Aerosp. Sci. 1991. V.28. P.235-271.

67. Бойко A.B., Иванов A.B., Качанов Ю.С., Мищенко Д.А. Нестационарная неустойчивость Гертлера. // Труды VI Международной конференции по гидродинамической неустойчивости и турбулентности. 26 февраля 6 марта. Москва. 2006. С. 71-76.

68. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. С.512.

69. Завершинский И.П., Кнестяпин В.Н. Устойчивость трехмерных возмущений малой амплитуды в неравновесном сжимаемом пограничном слое // Теплофизика высоких температур, 2007.-Т.45. №2. С. 235-242.

70. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости / Пер. с англ. Г.Г. Цыпкина; Под ред. А.Т. Ильичева. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. С.288.

71. Завершинский И.П., Кнестяпин В.Н., Коган Е.Я. Вторичная неустойчивость трехмерного неравновесного сжимаемого пограничного слоя // Вестник СамГТУ. Серия "Физико-математические науки" №47 2007. С.71-78.

72. Завершинский И.П., Кнестяпин В.Н. Моделирование процесса взаимодействия волн в акустически активных средах // VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Кисловодск: МГТУ, 2006. С.62-65.

73. Завершинский И.П., Кнестяпин В.Н., Рогачев Н.М. Нелинейный критический слой в неравновесном молекулярном газе. // Материалы VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006). С-Петербург: СПбГУ, 2006. С.174-176.

74. Завершинский И.П., Кнестяпин В.Н. Исследование устойчивости трехмерных возмущений в неравновеной газовой среде. // Сборник трудов Всероссийской научно-практической конференции «Вычислительный эксперимент в аэроакустике». Светлогорск, 2006. С.25-28.

75. Knestyapin V.N., Zavershinskii I.P. The boundary lauer stability in the acoustically active gas // Proc. 33rd International Acoustical Conference EAA Symposium. Strbske Pleso, Slovakia, 2006. P. 156-160.

76. Knestyapin V.N., Zavershinskii LP. Compressible disturbances in the three-dimensional non-equilibrium boundary layer.// Nonequilibrium processes. Vol. 1. Moskow. Torus Press. 2007. P.45-48.

77. Knestyapin V.N., Zavershinskii LP. Secondary instability of three-dimensional non-equilibrium boundary layer. // Труды VII Международного совещания по магнитоплазменной аэродинамике в аэрокосмических приложениях, 2007, Москва. С. 124-128.

78. Knestyapin V.N., Zavershinskii LP. Stability of nonequilidrium boundary layer. //Труды 15 Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2007), Алушта, 2007. С. 38-42.

79. Кнестяпин В.Н. Взаимодействие акустических волн со сжимаемым неравновесным пограничным слоем. // Сборник трудов 19 сессии Российского акустического общества. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2007. С.56-60.

80. Кириллов И.А., Потапкин Б.В., Русаков В.Д. и др. Дисперсия и усиление звуковых волн в химически активной плазме колебательно-возбужденных молекул // ХВЭ. 1983. Т. 17. №6. С. 519.

81. Галечян Г.А. Акустические волны в плазме // УФН. 1995. Т. 165. № 12. С.1357.

82. Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Возбуждение волн в неравновесном газе с VRT-механизмом релаксации // ЖТФ. 1985. Т. 55. № 4. С. 754.

83. Van Driest, E.R. Calculations of the Stability of the Laminar Boundary Lauer in a Compressible Fluid on a Flad Plate with Heat Transfer // Journal of the Aeronautical Sciences. Vol.19, No. 13, 1952. P. 801-812.

84. Schneider, S.P. Effect of High-Speed Tunnel Noise on Laminar-Turbulent Transition. // Journal of Spacecraft and Rockets. Vol.38. No.3. 2001. P.323-333.

85. Zakharov V. E., L'vov V. S., Falkovich, G. E. Kolmogorov Spectra of Turbulence, Springer Verlag, 1992. P.329.

86. Молевич H.E. Усиление вихревых и тепловых волн в процессе вынужденного рассеяния звука в термодинамически неравновесных средах // ТВТ. 2001. Т. 39. №4. С. 243.

87. Гордиец Б.Ф., Осипов А.И., Ступоченко Е.В., Шелепин J1.A. Колебательная релаксация в газах и молекулярные лазеры // УФН. 1972. Т. 108. № 4. С.655.

88. Коган Е.Я., Моисеев С.С., Молевич Н.Е., Тур А.В. Возбуждение вихревых структур в неравновесном молекулярном газе // ЖТФ. 1985. Т. 55. № 10. С. 2036-2038.

89. Осипов А.И., Уваров А.В. Вторая вязкость в колебательно-неравновесном газе // Вестник МГУ. Физика. Астрономия. 1987. Т. 28. № 6. С. 52-56.

90. Дунаевский Н.А., Жданок С.А., Напартович А.П., Старостин А.Н. Дисперсия и поглощение ультразвука в колебательно-возбуждённом газе ангармонических молекул // ПМТФ. 1988. № 4. С. 33-39.

91. Молевич Н.Е. Отрицательная вторая вязкость в динамике неравновесных газовых сред. Диссертация на соиск. д.ф.-м.н. М: МИФИ. 2002.

92. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Сверхзвуковое обтекание пластины потоком колебательно-возбуждённого газа // Материалы III Всероссийского семинара Моделирование неравновесных систем-2000. Красноярск: КГТУ. Октябрь 2000. С. 151-152.

93. Молевич Н.Е. Нелинейные уравнения в теории сред с отрицательной второй вязкостью // Сибирский физико-технический журнал. 1991. №1. С. 133-136.

94. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Структура газодинамического возмущения в термодинамически неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации// Известия РАН. МЖГ. 2004. №5. С. 181 -191.

95. Кнестяпин В.Н. Устойчивость возмущений пограничного слоя неравновесного газа на вогнутой поверхности // Естествознание. Экономика. Управление. Межвузовский сб. научн. работ. Самара. 2006. Т.7. С. 25-31.

96. Johnson, Н. В., Seipp, Т., and Candler, G. V., "Numerical Study of Hypersonic Reacting BoundaryLayer Transition on Cones," Physics of Fluids,Vol. 10, No. 10,1998, pp. 2676-2685.