Пересечение тонкими телами границ раздела слоистой тяжелой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

1. Пересечение границы раздела тонким осесимметричным телом

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Определение потенциалов скоростей невесомой жидкости

§ 3. Определение потенциалов скоростей весомой жидкости

§ 4. Распределение давлений на поверхности тела

§ 5. Результирующая сил давлений.

§ 6. Уравнение поверхности раздела сред

§ 7. Равномерное движение тела

§ 8. Деформация границы раздела сред при равномерном движении тела.

§ 9. Гидродинамические характеристики тела, движущегося вниз.

§ 10. Примеры.

2. Пересечение тонким трехмерным телом границы раздела двух сред

§ 11. Постановка задачи.

§ 12. Математическая модель задачи.

§ 13. Потенциалы скоростей в невесомой жидкости.

§ 14. Определение продольной силы.

§ 15. Влияние силы тяжести на гидродинамические характеристики тела.

§ 16. Равномерное движение тела

§ 17. Анализ гидродинамических характеристик крыльев с различными профилями.

3. Вертикальное движение тонкого плоского симметричного тела в трехслойной невесомой жидкости

§ 18. Постановка задачи.

§ 19. Определение потенциалов скоростей.

§ 20. Определение вертикальной силы.

Теория движения тел в стратифицированных (расслоенных) по плотности жидкостях и газах в поле силы тяжести - быстро развивающийся в последнее время раздел современной гидродинамики. Интерес к ней вызван прежде всего ее важными практическими приложениями в гидротехнике (движение судов) и геофизике (океанология, метеорология, гидрология).

В "Трудах Норвежской полярной экспедиции" ("Scientific Results of the Norvegian North Polar Expedition") помещена замечательная работа Эк-мана под заглавием "On Dead Water" [60]. В этой работе Экмана на ряде чрезвычайно интересных экспериментов дается объяснение удивительному явлению, называемого "мертвой водой". Это явление, встречаемое по преимуществу в норвежских фиордах, состоит в том, что небольшие суда, главным образом парусные, иной раз встречают со стороны воды столь большое сопротивление, что фактически лишаются возможности продолжать свой путь. В более редких случаях не только резко падает скорость движения, но судно лишается управления - не слушается руля.

Впервые явление "мертвой воды" в поле научного исследования перенес Фритьоф Нансен, до него это явление было знакомо и известно только морякам, как весьма неприятное обстоятельство. Нансен во время своего известного дрейфа на "Фраме" к Северному полюсу в 1886 г. встретился у берегов полуострова Таймыр с "мертвой водой". Нансен делает наблюдение и замечает, что "Фрам" идет по слою пресной, талой воды, покрывающей сверху соленую морскую воду. Он высказывает затем предположение, составившее в дальнейшем основу теории этого явления, что "мертвая вода" обуславливается наличием слоя пресной воды, плавающей поверх соленой.

По возращению из экспедиции Ф.Нансен предложил Бъеркену дать объяснение "мертвой воды". В коротком предисловии к работе Экмана Бъеркен указывает, что Ф. Нансен справедливо приписывал "мертвую воду" наличию двух слоев жидкости разной плотности. По его предположению, потеря скорости у судна идет за счет образования волн на поверхности раздела пресной и соленой воды. То, что при "мертвой воде" образуются на поверхности раздела волны значительной амплитуды, всегда наблюдалось в норвежских фиордах визуально. Судно, продвигаясь по "мертвой воде", оставляет за собой волны обычной амплитуды, но тем не менее лодки, крепко привязанные к берегу, срываются, как при сильном волнении. Это и можно объяснить тем, что к ним подошла по поверхности раздела волна значительной амплитуды.

Работа Экмана чисто экспериментальная. Лэмб впервые дал гидродинамическую схему явления "мертвой воды", рассматривая в плоскости два слоя жидкости различных плотностей. Он занялся расчетом профиля волн, оставляемых импульсом давления, движущимся вдоль свободной поверхности, и нашел затем волновое сопротивление.

С тех пор теория гравитационных волн на поверхности раздела двух сред получила значительное развитие. Основные теоретические результаты, полученные к настоящему времени в этой области, подытожены в монографиях [9, 37, 59, 62, 74] и в обзорах [15, 61]. Строгому математическому обоснованию модели внутренних волн посвящены монографии [23, 24]. Экспериментальные исследования данной проблемы описаны в [12, 13, 14, 35, 56].

В одном из последних натурных наблюдений [17] показано, что внутренние волны, возбуждаемые движением айсберга, оказывают столь сильное влияние на его гидродинамические характеристики, что он может практически остановиться.

Объяснение такого сильного влияния внутренних волн на движение объектов дается, например, в [37]. Если пренебречь эффектами диффузии, то для речной воды, лежащей над морской водой, частота распространяющихся внутренних гравитационных волн на порядок меньше, чем для поверхностных гравитационных волн. Поэтому может оказаться так, что хотя тело движется настолько медленно, что не возбуждает никаких поверхностных волн, оно в то же время движется достаточно быстро по сравнению со скоростями волн на поверхности раздела двух жидкостей.

Сложность решения задач о возбуждении и развитии внутренних волн в слоистой среде движущимся телом проистекает из того обстоятельства, что необходимо выполнить граничные условия на поверхности тела и на границе раздела сред, которая (граница) сама входит в качестве искомого в изучаемую задачу. В случае, когда граница является свободной, давление на ней постоянно, что позволяет, применяя интеграл Коши-Лагранжа, в нестационарных задачах использовать метод граничных интегральных уравнений [8]. Когда свободной границы нет, давление на поверхности раздела тяжелых жидкостей различной плотности является функцией времени и (или) пространственных координат. Поэтому приходится "сшивать" решения на эволюционирующих границах с тем, чтобы обеспечить на них выполнение динамических (равенство давлений) и кинематических (равенство нормальных составляющих скоростей) условий [43]. Анализ задачи в точной постановке возможен только численно.

С другой стороны, нельзя недооценивать значение приближенных моделей в практических приложениях. Аналитическое исследование этих моделей позволяет проследить за динамикой развития течения и играет важную роль в понимании явлений, возникающих при движении тел в стратифицированной жидкости. К тому же при некоторых разумных ограничениях на параметры задачи, определяющих движение жидкости, они приводят к результатам, согласующимся как с экспериментом (см, например [56] и [4, 5]), так и с численными оценками ряда величин, представляющих интерес для многих разделов науки и техники. Одной из таких моделей является, например, задача движения тонкого тела через границу раздела сред с различными плотностями. Она основывается на предположении о малости возмущений, вносимых тонкими телами в жидкость. Поэтому граничные условия на поверхности раздела и твердого тела могут быть упрощены путем их линеаризации. Решение такой линеаризованной задачи представляет собой главный член асимптотического разложения искомой величины в ряд по малому параметру (например - отношение толщины тела к его длине). Исследование линеаризованной задачи проводится, как правило, при помощи преобразования

Лапласа или преобразования Фурье.

Первой работой, где была рассмотрена задача вертикального движения тел, по-видимому, является статья [88]. Хотя еще раньше, правда в связи с другими явлениями (движение терминов в атмосфере), появились работы [94, 95].

Основная сложность при решении задач этого типа возникает из-за нелинейных граничных условий на поверхности раздела.

Более простой является линейная модель, которую можно проанализировать до конца [3]-[7], [45, 46, 47]. Однако, если ограничиться движением тела только в одной из сред, то возможно численное решение задачи [31, 41, 42, 43].

Warren [94, 95] был одним из первых, обратившихся к задаче о вертикальном движении терминов. В постановке [94] симметричное плоское или осесимметричное тело движется вертикально и приближается издалека к границе раздела двух идеальных несжимаемых однородных жидкостей различной плотности, а после пересечения границы удаляется на большое расстояние, его скорость при этом остается постоянной. Тело заменяется системой источников и стоков, распределенных вдоль оси движения тела. Применена линейная аппроксимация для определения безвихревых волн, причем в начальный момент волновое движение на границе отсутствует, а при пересечении брызги не образуются. Уравнение Лапласа решается методом интегральных преобразований. В работе получены уравнения волн, возникающих при пересечении телом границы раздела, энергия, идущая на генерацию волн, найдена путем вычисления работы по преодолению волнового сопротивления. Он показал, что при малых или больших скоростях волновая энергия мала, что качественно согласуется с физическими соображениями. При больших скоростях времени на генерацию внутренних волн недостаточно, а при малых - мала или вовсе отсутствует деформация поверхности за пределами области пересечения. При средних скоростях передняя часть тела генерирует возвышение, которое через некоторе время переходит во впадину, когда задняя часть тела пересечет границу. Затем граница раздела успокаивается. Таким образом, существуют условия, наиболее благоприятные для генерации волн.

Во многих линеаризованных задачах реальное конечное тело заменяется на систему точечных источников и стоков [4, 68, 94], что позволяет, при весьма жестких ограничениях на форму тела, линеаризованные уравнения гидродинамики и уравнения движения решать независимо.

В серии работ [4, 5, 7] исследуется задача о вертикальных колебаниях симметричного поплавка на границе двух устойчиво стратифицированных тяжелых несжимаемых идеальных жидкостей. В [4] подробно изложена линеаризованная постановка гидродинамической задачи. Методами операционного исчисления в случае слабо возмущающего жидкость поплавка (тела достаточно малой толщины) получено полное решение задачи, описывающее затухающие колебания тела и жидкости. Исследован пример колебаний тела конкретной формы. По постановке и способу решения задача примыкает к рассмотренной в [59] задаче о колебании поплавка на свободной поверхности идеальной однородной жидкости в поле сил тяжести. Совместная постановка внешней задачи гидродинамики и задачи колебаний твердого тела, приведенная в [4], заключается в следующем: в начальный момент времени тело приподнято (или опущено) на некоторую малую величину, а поверхность раздела жидкостей горизонтальна. Затем тело отпускается с нулевой начальной скоростью и начинаются некоторые колебательные движения. Таким образом, начальная потенциальная энергия тела будет расходоваться на образование волн, неограниченно расходящихся от тела вдоль границы раздела жидкостей в обе стороны. Доказывается, что уменьшение амплитуды вертикальных колебаний поплавка на поверхности раздела двух тяжелых жидкостей, обусловленной излучением волн, для достаточно больших значений времени происходит по закону, отличному от экспоненциального. "Причина этого обусловлена широким (непрерывным и бесконечным) спектром внутренних волн и их дисперсией" [4].

На основе разработанного Л.Н. Сретенским подхода [59] и развитого в [5] численно-аналитического метода в [7] предложено исследование колебаний на основе математического аппарата интегродифференциаль-ных уравнений типа Вольтерра с разностными ядрами, которые медленно релаксируют. Так как задача решается в линеаризованном виде, то предполагались выполненными ряд упрощающих условий: малость колебаний тела, малая ширина по сравнению с высотой, пренебрежимость торцевыми эффектами, начальное состояние покоя.

Задача о свободных колебательных движениях цилиндра с упругой связью, находящегося вблизи границы раздела двух устойчиво стратифицированных жидкостей, изучается в [6]. В этой работе численно-аналитическими методами исследуется амплитудно-частотная характеристика осциллятора с учетом генерации внутренних гравитационных волн для самосогласованной гидродинамической модели.

В статье A.B. Марченко и Н.Р. Сибгатуллина [40] рассматривается линеаризованная задача о резонансном возбуждении длинных внутренних волн на границе раздела тяжелой двухслойной жидкости периодическим полем атмосферного давления, перемещающегося в пространстве с постоянной скоростью. С помощью асимптотических разложений получено также неоднородное уравнение Кордевега-де-Вриза, описывающее данный процесс.

На основе задачи о генерации поверхностных и внутренних волн твердым телом, движущимся в двухслойной жидкости с верхним слоем конечной толщины и бесконечно глубоким нижним слоем, в линейной постановке рассмотрены гидродинамические особенности дрейфа айсбергов [17]. Возмущения от движущегося тела в этой работе моделировались распределенными по его поверхности волнообразующими источниками переменной интенсивности. Рассмотрены различные положения тела относительно скачка плотности. Приведено сравнение теоретических оценок коэффициентов сопротивления с данными лабораторных экспериментов и натурных наблюдений в арктических морях.

В работе В.В. Васильевой [18] приводятся результаты решения задачи по определению коэффициентов волнового сопротивления с учетом вынужденных внутренних волн, возникающих в слое скачка плотности.

Даны формулы для определения коэффициентов волнового сопротивления как погруженных тел, движущихся вблизи скачка плотности или в слое, так и для судна, пересекающего свободную поверхность и границу раздела сред. Приведены результаты численных решений и сравнение их с экспериментальными данными.

Численное решение задачи о вертикальном движении тела приведено в [43, 25]. И.М. Миндлин [43] использует метод редукции задачи о вертикальном движении твердого тела в тяжелой слоистой жидкости к равносильной задаче меньшей размерности. Он формулирует интегродиффе-ренциальные уравнения, которые снимают проблему условий на границах раздела жидких фракций. Это существенное преимущество достигается тем, что интегродифференциальные уравнения составляются не относительно потенциала скоростей, как, например в [8], не относительно вариаций линий тока (как в [10]), а относительно скачка касательной к границе раздела составляющей скорости. Эволюционное уравнение этой функции автоматически обеспечивает непрерывность давления в окрестности границы раздела. Аналитические результаты для естественно всплывающего шара получены в ходе совместного решения уравнений гидродинамики и уравнений движения тела. Решения предложенных интегродифференциальных уравнений определяют поля скоростей. Эти поля внутри каждой жидкости являются решениями уравнений Эйлера для идеальной жидкости.

Большой вклад в развитие теории движения тел в слоистых жидкостях внесла И.В. Стурова. В работе [93] на основе приближения Буссине-ска исследуется развитие линейных поверхностных и внутренних гравитационных волн. После применения интегрального преобразования Фурье и Лапласа получена традиционная задача на собственные значения для уравнения с переменными коэффициентами, из решения которой могут быть найдены собственные значения (дисперсионные соотношения) и собственные функции. Представлены волновые решения для частицы жидкости и давления, в дальней зоне на основе метода стационарной фазы получены асимптотические решения. Эти решения могут применяться для определения волновых движений, индуцированных движущимся осесимметричным телом или кораблем типа Митчелла. Рассматривается движение сферы, моделируемое диполем в случае колебаний, наложенных на среднее горизонтальное движение, и в случае пульсирующей сферы. Приведены результаты численных расчетов и подробный анализ для трехслойной жидкости, когда верхний и нижний слои - однородные, средний - линейно изменяющийся по высоте (термоклин). Представлены дисперсионные кривые и волновое сопротивление в зависимости от числа Фруда. Исследуется вклад в волновое сопротивление поверхностных и внутренних волн.

И.В. Стурова в статье [70] рассмотрела вертикальное равномерное движение тонкого тела вращения в безграничной жидкости с распределением плотности в виде пикноклина. Резкий пикноклин моделируется двухслойной жидкостью, плавный - трехслойной жидкостью с экспоненциально стратифицированных средним слоем и однородными верхним и нижним слоями. Тело начинает движение с постоянной скоростью далеко от пикноклина и, пересекая его, удаляется вверх на большое расстояние. Задача решена как с учетом приближения Буссинеска, так и без него. В последнем случае определена также нагрузка, возникающая при движении тела в невесомой жидкости. Исследовано влияние на подъемную силу формы тела и скорости его движения, а также толщины пикноклина и перепада плотности в нем.

В основном авторы ограничивались случаем горизонтального движения тел (см. например [9, 37, 61] и т.д.). Это связано с требованием практики: расчет гидродинамических сил, действующих на надводные корабли, плавающие на поверхности двухслойной жидкости, расчет силовых характеристик несущих элементов судов на подводных крыльях. Однако в последние годы в связи с интенсивными исследованиями океана подводными аппаратами и с требованиями обеспечения их безопасного плавания, с возрастанием глубины плавания подводных лодок появилась необходимость рассмотрения случая движения тел в произвольном направлении. Поскольку горизонтальное движение судов и подводных аппаратов изучены достаточно хорошо, то полезно исследовать на первом этапе простой случай вертикального движения.

Практически во всех этих задачах анализируются двумерные течения. Исключения составляют работы [63]- [67], [69, 70, 32, 94, 95]. С другой стороны, с практической точки зрения интерес представляет пространственная задача. Отметим также, что в последние годы возник интерес к случаю движения тел в многослойных средах [28].

Экспериментальная информация по проблеме изучения волновых нагрузок, действующих на погруженное тело в стратифицированной жидкости довольно скудна.

Шишкиной О.Д. [83] были исследованы зависимости гидродинамических характеристик тел, движущихся в двухслойной и в непрерывно-стратифицированной жидкостях, от значения числа Фруда. Ей же были проведены сравнения буксировочных сопротивлений равномерному горизонтальному движению моделей в жидкостях с различными профилями стратификации. В работе показано, что максимальная амплитуда внутренних корабельных волн наблюдается при тех же значениях числа Фруда, что и максимум коэффициента сопротивления.

Серия качественных лабораторных опытов с моделями тел вращения, движущимися в расслоенной жидкости, были проведены в Институте океанологии АН СССР [84]. Были оценены характер изменения движения моделей, вызванных изменением сил плавучести при пересечении границы раздела слоев жидкости различной плотности, сопоставлены траектории свободно движущихся моделей в однородной и неоднородной по плотности средах. Рассмотрен метод расчета изменений параметров свободного возмущенного движения подводных аппаратов в неоднородной среде.

Интересна также серия работ [12, 13, 14]. В [13] экспериментально изучено движение погруженного горизонтального отрезка цилиндра на внутренних волнах при слабой стратификации с резко выраженным пик-ноклином. Продолжением предыдущей стала работа [14], в которой в состоянии покоя продольная ось цилиндра ориентировалась вертикально.

В этих работах наблюдалось среднее продольное смещение тела соответственно навстречу и в направлении распространения волны. Один из нелинейных эффектов (существование возмущений далеко впереди крыла), наблюдаемых в пикноклине при горизонтальном движении тела, продемонстрирован в [12].

Сопоставление результатов эксперимента по исследованию затухающих колебаний глубокопогруженного поплавка специальной формы [56] с результатами теоретических выкладок [4, 5] показало удовлетворительное соответствие. В эксперименте [56] даются оценки влияния вязкости, частоты, начальной амплитуды и стратификации на коэффициенты присоединенных масс и демпфирования.

В работе [2] хорошее совпадение с выводами линейной теории дали экспериментальные исследования модовой структуры стационарных внутренних волн в стратифицированном канале между двумя слоями однородной жидкости, вызываемых равномерно движущимся плоским телом.

В серии работ [28, 29, 30] С.И. Горловым решена линейная задача о движении вихреисточника в многослойной тяжелой жидкости, имеющей произвольное, конечное число слоев. Им получены общие выражения для комплексных скоростей в ближнем и дальнем поле за вихреисточником, формулы для волнового сопротивления, подъемной силы вихреисточника и формы границы раздела сред. Дальнейшим развитием данной темы стали статьи [27, 31] этого же автора, в которых предложен метод решения задачи о движении крылового профиля, основанный на сведении исходной краевой задачи к системе интегральных уравнений, ядром которых является решение соответствующей задачи для вихря.

Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию в линейной постановке вертикального движения тонких двумерных, осе-симметричных и пространственных тел через границы раздела несме-шивающихся жидкостей различной (но постоянной) плотности, находящихся в поле силы тяжести. Теория развивается в предположении, что жидкости являются идеальными и несжимаемыми, а вносимые в них возмущения малы. Последнее условие оправдано, например, для удлиненных тел, поперечные размеры которых намного меньше продольных.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы.

Первая глава посвящена исследованию пространственной задачи о вертикальном движении тонких осесимметричных тел в двухслойной тяжелой жидкости. В § 1 дана постановка линеаризованной задачи, сформулированы граничные и начальные условия для потенциала скоростей, описывающего течение жидкости при движении тела. Решение задачи найдено в виде суммы двух слагаемых (потенциалов скоростей). Одно из них соответствует течению невесомой жидкости и находится в виде суммы интеграла Фурье-Бесселя и интегрального представления фундаментального решения уравнения Лапласа для пространственной задачи. Второе слагаемое учитывает влияние весомости на динамические, кинематические характеристики течения и отыскивается при помощи преобразования Фурье-Бесселя по радиальной координате.

В § 2 и § 3 найдены выражения для потенциалов скоростей в невесомой и весомой жидкостях соответственно.

Анализу найденных решений посвящены следующие параграфы. Распределение давлений на движущемся теле найдено в § 4. Для этого потенциалы скоростей разлагаются в ряд при малых значениях радиальной координаты.

Результирующая сил давлений, приложенных со стороны жидкости на тонкое тело вращения, вычисляется в § 5.

На основе выражений для распределения давлений, полученных в § 4, в § 6 выводятся формулы для отклонения поверхности раздела сред от невозмущенного уровня.

В случае равномерного движения тела выражения несколько упрощаются, что позволяет некоторые интегралы вычислить аналитически. В § 7 рассмотрено равномерное движение тела, приведены выражения для коэффициента осевой силы и для деформации границы раздела.

В § 8 проведен асимптотический анализ поведения границы раздела на больших значениях расстояния от тела.

Формулы предыдущих параграфов были выведены в предположении, что тело движется вертикально вверх. Если тело движется вертикально вниз в направлении вектора ускорения силы тяжести, то в невесомой жидкости все полученные выражения остаются прежними, изменяются незначительно лишь те члены, которые отвечают за присутствие силы тяжести. В § 9 предлагается вывод этих выражений.

В качестве примера в § 10 рассмотрено тело, образованное вращением дуги параболы. Для него получены аналитические выражения коэффициента осевой силы и деформации границы раздела, приведены результаты численного эксперимента, позволившего определить влияние значений скорости, силы тяжести, отношения плотностей жидкостей и других параметров на гидродинамические характеристики рассматриваемой модели.

Вторая глава посвящена исследованию пространственной задачи о вертикальном движении тонкого трехмерного тела.

В § 11 и 12 дана постановка математической модели задачи и сформулированы начальные и граничные условия для потенциала скоростей.

В § 13 находятся потенциалы скоростей в невесомой жидкости.

Следующий параграф посвящен вычислению продольной силы, действующей на тело, движущееся в невесомой жидкости.

В § 15 при помощи преобразования Фурье по горизонтальным координатам найдено в виде несобственных интегралов распределение давлений на поверхности тела, вычислена гидродинамическая сила реакции со стороны жидкости на тело, определен закон деформации поверхности раздела сред и ее эволюция с течением времени.

На основе выкладок предыдущих параграфов в § 16 рассмотрено равномерное движение тела. Получены выражения для тонкого трехмерного тела, боковые грани которого симметричны относительно его средней диаметральной плоскости и для тела, профиль которого в сечении с плоскостью х — 0 представляет собой ромб, либо прямоугольник. В последнем случае показано, что при неограниченном возрастании размаха тела выражения для коэффициента сопротивления переходит в соответствующую формулу для плоского тела [46].

Для оценки динамических нагрузок, действующих на симметричные крылья конечного размаха различной формы, при пересечении ими границы раздела двух сред, проведен численный эксперимент. Приведены графики зависимости коэффициента осевой силы, границы раздела сред для различных гидродинамических параметров системы.

Глава 3 посвящена исследованию плоской задачи о вертикальном движении тонких симметричных тел в невесомой трехслойной жидкости.

В § 18 дана постановка задачи, сформулированы граничные и начальные условия для потенциала скоростей, описывающих течение жидкости при вертикальном движении тела. Тело приближается из бесконечности, пересекает по очереди две границы раздела (или обе сразу) жидкостей и уходит в бесконечность.

В § 19 выводятся выражения для потенциалов скоростей в невесомой жидкости. Рассматриваются шесть систем уравнений для различных положений тела. Первый случай соответствует приближению тела к границе, второй - ее пересечению, третий - движению в среднем слое, четвертый - пересечению второй границы, пятый - удалению от границ, шестой - одновременному пересечению обеих границ раздела жидкостей. Приводятся общие формулы для всех шести случаев.

Распределение давлений на поверхности и силы, приложенные к равномерно движущемуся телу, вычислены в § 20. В качестве примера рассмотрено тело, состоящее из дуг параболы, для которого путем численного анализа выявлены закономерности зависимости гидродинамических параметров системы от толщины среднего слоя, скорости тела. Показано, что при больших толщинах среднего слоя или при толщине среднего слоя, стремящейся к нулю, выражения для коэффициента осевой силы и отклонения границ раздела сред сводятся к соответствующим формулам двухслойной модели, предложенной в [46].

В заключении подведены итоги проведенных исследований, приведены основные результаты работы.

Решения всех поставленных задач получены в явном виде и описываются точными (в рамках линейной теории) аналитическими выражениями. Они представляют теоретический интерес и могут применятся в качестве начальных приближений при численных исследованиях, проводимых в точной нелинейной постановке. Полученные результаты могут быть использованы также при обработке экспериментальных данных для оценок влияния силы тяжести, отношений плотностей сред, расстояния до их границ, скорости тела и т.д. В частности, приведенные формулы можно использовать при расчете сил вертикально движущегося тела и при определении деформации поверхности раздела сред.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Метод решения линейных задач вертикального пересечения тонких плоских, осесимметричных и пространственных тел границы раздела тяжелой двухслойной жидкости.

2. Метод решения линейной задачи о пересечении тонким плоским телом границ раздела трехслойной жидкости.

3. Вывод асимптотических и предельных формул для коэффициента вертикальной силы, соответствующей большим числам Фруда.

4. Результаты численного эксперимента и сделанные на их основе выводы о влиянии весомости, отношения плотностей жидкостей, направления и скорости движения тела на гидродинамические и кинематические характеристики течения.

Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались на научных конференциях Чувашского государственного университета им И.Н. Ульянова (1997, 1999 гг.), Всесоюзной конференции "Динамика сплошных сред со свободными границами", г. Чебоксары (1996 г.), в Воронежской школе "Современные проблемы механики и математики", г. Воронеж (1998 г.), 9-й межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара (1999 г.), на II Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике, г. Гомель (1999 г.), Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения", г. Казань 18-24 октября 1999 г., семинаре "Взаимодействие сплошных сред", г.Чебокары (1999 г.).

Основное содержание диссертации изложено в работах [19]—[22], [49]-[55], [77]- [80], 11 из которых выполнены в соавторстве.

Автор выражает искреннюю благодарность проф. Березкину О.И. за активные консультации в выборе алгоритмов численного моделирования рассмотренных задач и при проверке достоверности полученных численных результатов, проф. Терентьеву А.Г. за предоставленную возможность обсуждения основных результатов исследования на руководимом им научном семинаре, а также доц. Порфирьеву Н.П. за постановки задач и постоянную помощь в работе.

Заключение

В настоящей работе изучены в линейной постановке задачи о вертикальном движении тонких тел через границу раздела тяжелой слоистой жидкости. При этом получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы решения осесимметричных и пространственных задач вертикального движения тонких тел через границу раздела двухслойной идеальной несжимаемой тяжелой жидкости. Для тонкого плоского тела разработан метод решения задачи о его вертикальном движении в трехслойной идеальной несжимаемой невесомой жидкости.

2. Получены точные в рамках линейной теории аналитические выражения для гидродинамических сил и смещений границы раздела двух жидкостей от невозмущенного уровня для следующих задач: а) равномерного вертикального движение тонкого осесимметричного тела через границу раздела двухслойной тяжелой жидкости, б) равномерного вертикального движения тонкого тела через границу раздела в двухслойной тяжелой жидкости,

3. Получены точные в рамках линейной теории аналитические выражения для гидродинамических сил, возникающих при равномерном вертикальном движении тонкого плоского тела через границы разделов в трехслойной невесомой жидкости.

4. Найдены ассимптотические формулы для коэффициента вертикальной силы при малых и больших числах Фруда.

5. Выведены асимптотические формулы для коэффициента вертикальной силы, действующей на крыло с большим размахом.

6. Исследованы свойства функций, описывающих зависимость вертикальной силы, действующей на вертикально движущееся тело от его положения относительно границы раздела сред.

7. Проведен анализ уравнений границы раздела сред. Показано, что на большом удалении от движущегося тела на границе раздела сред развиваются гравитационные волны и найдены законы их эволюции с течением времени.

8. В рассмотренных задачах проведен численный эксперимент по изучению влияния скорости тела, направления движения, формы тела, отношения плотностей жидкостей, влиянии весомости на динамические и кинематические характеристики течения.

Разработанные методы могут быть использованы при проектировочных расчетах гидродинамических нестационарных сил, действующих на подводные аппараты. Приведенные в работе формулы включают в себя ряд частных решений, представляющих самостоятельный интерес. При помощи различных предельных переходов можно найти решение таких задач, как вход тела в полуограниченную жидкость, движение тела перпендикулярно к твердой недеформированной плоскости, проникание в жидкость конечной глубины или выход из нее, пересечение телом слоя жидкости постоянной толщины.

1. Авраменко О.В., Селезов И.Т., Хук П. Распространение волн в слоисто- и непрерывно- неоднородной по глубине жидкости // МЖГ. 1997. № 4. С. 120-125.

2. Аксенов A.B., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов A.A. Структура внутренних волн в трехслойной жидкости со стратифицированным средним слоем // МЖГ. 1987. № 3. С. 128-132.

3. Акуленко Л.Д., Михайлов С.А., Нестеров C.B. и др. Внешняя задача гидродинамики двухслойной жидкости и колебания твердого тела: Препринт № 314. М.: ИПМ АН СССР, 1987. 74 с.

4. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Колебания твердого тела на поверхности раздела жидкостей // МТТ. 1987. № 5 С. 34-40.

5. Акуленко Л.Д., Михайлов С.А., Нестеров C.B., Чайковский A.A. Численно-аналитическое исследование колебаний твердого тела на границе раздела двух жидкостей // МТТ. 1988. № 4. С. 59-66.

6. Акуленко Л.Д., Михайлов С.А., Нестеров C.B. Колебания осциллятора вблизи границы раздела двух жидкостей // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 1. С. 40-50.

7. Акуленко Л.Д., Михайлов С.А., Нестеров C.B. Исследование зависимости колебаний поплавка в неоднородной жидкости от формы его поверхности // МТТ. 1990. № 5. С. 24-31.

8. Афанасьев К.Е., Афанасьева М.М., Терентьев А.Г. Исследование эволюции свободных границ при нестационарном движении тел в идеальной несжимаемой жидкости методами конечных и граничных элементов // МЖГ. 1986. № 5. С. 8-13.

9. Васин М.А., Шадрин В.П. Гидродинамика крыла вблизи границы раздела сред. Л.: Судостроение, 1980. 304 с.

10. Бежанов К.А., Тер-Крикоров А.М. Многослойные установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости над неровным дном // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 5. С. 750-760.

11. Борисов A.A., Хабахпашев Г.А. Распространение слаболинейных возмущений границы раздела двухслойной жидкости // МЖГ. 1994. № 1. С. 125-131.

12. Букреев В.И., Гаврилов Н.В., Гусев A.B. Внутренние волны в пик-ноклине при движении крыла над барьером // ПМТФ. 1991. № 4. С. 68-74.

13. Букреев В.И., Гусев A.B., Ерманюк Е.В. Экспериментальное исследование движения погруженного тела на внутренних волнах // МЖГ. 1995. № 2. С. 199-203.

14. Букреев В.И., Гусев A.B., Ерманюк Е.В. Дрейф и качка вертикального цилиндра на внутренних волнах // ПМТФ. 1997. Т. 38. № 1. С. 76-81.

15. Васильев О.Ф., Квон В.И., Лыткин Ю.М., Розовский И.Л. Стратифицированные течения // Итоги науки и техники. Гидромеханика. ВИНИТИ. С. 74-131.

16. Васильева В.В., Цишкова Е.И. Волновое сопротивление схематизированного подводного аппарата, пересекающего слой скачка плотности в жидкости / Средства и методы повышения мореходных качеств судов. Л.: 1989. С. 101-105.

17. Васильева В.В., Писаревская Л.Г., Шишкина О.Д. Генерация внутренних волн дрейфующим айсбергом // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1995. Т. 31. № 6. С. 842-851.

18. Васильева В.В. Внутренние волны и волновое сопротивление погруженных тел // Тр. Всесоюзн. НТО. 1990. № 1. С. 140-153.

19. Возяков В.И., Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. Компьютерный анализ предельной задачи пересечения тонкого тела вращения границы раздела двух сред. Чебоксары: Руссика, 1998. 14 с.

20. Возяков В.И., Филиппов В.П. Предельное решение задачи о пересечении тонким телом вращения границы разделы двух сред // Сб. науч. трудов. "Потребительская кооперация: от тактики выживания к стратегии роста", часть VII. Москва: ЦУМК, 1998. С. 23-24.

21. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986. 288 с.

22. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990. 344 с.

23. Гильман O.A., Миндлин И.М. Волны в тяжелой двухслойной жидкости, возбуждаемые колеблющимся шаром // МЖГ. 1998. № 2. С. 120133

24. Гильман O.A., Миндлин И.М. Плоские волны в тяжелой двухслойной жидкости, возбуждаемые цилиндром, движущимся под углом к горизонту // МЖГ. 1998. № 4. С. 137-152.

25. Горелов Д.Н., Горлов С.И. Линейная задача о движении профиля под границей раздела двух тяжелых жидкостей // ПМТФ. 1996. Т. 37. № 5. С. 43-47.

26. Горлов С.И. Решение линейных задач о равномерном движении вих-реисточника в многослойной жидкости // МЖГ. 1995. № 3. С. 127132.

27. Горлов С.И. Влияние внутренних линейных волн на гидродинамические характеристики вихреисточника // МЖГ. 1996. № 5. С. 146-153.

28. Горлов С.И. Линейная задача о движении вихреисточника вблизи границы раздела двух сред // ПМТФ. 1997. Т. 38. № 2. С. 68-72.

29. Горлов С.И. Влияние поверхностных и внутренних волн на гидродинамические характеристики в линейном приближении // МЖГ. 1998. № 3. С. 121-127.

30. Городцов В.А. Излучение внутренних волн при вертикальном движении тел через неоднородную жидкость // Инженерно-физический журнал, 1980. Т. 39. № 4. С. 619-623.

31. Городцов В.А. Излучение внутренних гравитационных волн при равномерном движении источников переменной амплитуды (плоская задача) // ПМТФ. 1993. № 5. С. 63-70.

32. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

33. Ерманюк Е.В. Экспериментальное изучение силового воздействия внутренних волн на неподвижную сферу // ПМТФ. 1993. № 4 С. 103107.

34. Кочин Н.Е. О влиянии рельефа земли на волны на поверхности раздела двух масс жидкости разной плотности (статья 2). Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1949. Т. 1. С. 467-477.

35. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981. 600 с.

36. Лотфуллин М.В., Филиппов С.И. Влияние внутренних волн на гидродинамические характеристики подводного крыла // Гидродинамика больших скоростей. Чебоксары: ЧГУ, 1990. С. 61-70

37. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.

38. Марченко A.B., Сибгатуллин Н.Р. О резонансном возбуждении длинных волн в двухслойной жидкости переменным давлением на свободной поверхности // МЖГ. 1990. № 2. С. 90-98.

39. Миндлин И.М. Волны, возбуждаемые переменным давлением на свободной поверхности тяжелой жидкости // МЖГ. 1996. № 3. С. 97-108.

40. Миндлин И.М. Новый метод в нелинейных задачах о волнах в тяжелой слоистой жидкости, возбуждаемых вертикально движущимся твердым телом // МЖГ. 1991. № 5. С. 151-160.

41. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Гидрометеоиздат, 1981. 302 с.

42. Никитин В.В., Порфирьев Н.П. Пересечение крылом конечного размаха границы раздела весомых жидкостей // Актуальные задачи гидродинамики . Чебоксары: ЧГУ, 1989. С. 90-98

43. Никитин В.В., Порфирьев Н.П. Пересечение тонким телом границы раздела весомых жидкостей // Гидродинамика больших скоростей . Чебоксары: ЧГУ, 1985. С. 101-108.

44. Никитин В.В., Терентьев А.Г. Пересечение клином с кирхгофовской каверной границы раздела двух жидкостей // Взаимодействие тел с границами раздела сплошной среды . Чебоксары: ЧГУ, 1985. С. 93-100.

45. Петров А.Г, Чувашов А.Н. О волнах конечной амплитуды на границе раздела двух потоков идеальной несжимаемой жидкости // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 235-241.

46. Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. Пересечение осесимметричного тела границы раздела двух жидкостей // Динамика сплошных сред со свободными границами. Чебоксары: ЧГУ, 1996. С. 178-196.

47. Порфирьев Н.ГГ, Филиппов В.П. Движение тонких тел в многослойных средах // Межвузовский сб. научных статей преподавателей и аспирантов. Вып. VIII. Ч. 1. Чебоксары: Салика, 1997. С. 118-125.

48. Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. К теории движения тонких тел в многослойных средах // Итоговая научная конференция ЧГУ. Чебоксары: ЧГУ, 1997. С. 129.

49. Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. Вертикальное движение тонкого тела в стратифицированной жидкости // Тезисы докладов Воронежскойшколы "Современные проблемы механики и прикладной математики. Воронеж: ВГУ, 1998. С. 223.

50. Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. Вертикальное движение крыла конечного размаха в двуслойной жидкости // Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике "Механика-99". Беларусь, Гомель: ИММС НАНБ, 1999. С. 161.

51. Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. Пространственная задача о пересечении тонкими телами границы раздела сред // Труды 9-й научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара: СГТУ, 1999. С. 143-146.

52. Пыльнев Ю.В., Разумеенко Ю.В. Исследование затухающих колебаний глубокопогруженного поплавка специальной формы в однородной и стратифицированной жидкости // МТТ. 1991. № 4. С. 71-79.

53. Романов H.H., Якушкин И.Г. Внутренние гравитационные волны в нижней атмосфере и источники их генерации // Изв РАН. Физика атмосферы и океана. 1995. Т. 31. № 2. С. 163-186.

54. Справочник по специальным функциям. Под ред. Абрамовича М. и Стиган И.М.: Наука, 1979. 832 с.

55. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с.

56. Сретенский JI.H. Динамическая теория приливов. М.: Наука, 1987. 472 с.

57. Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн. // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 21. С. 93-179.

58. Стокер Дж. Волны на воде. М.: ИЛ. 1959. 548 с.

59. Стурова И.В. О сравнении поведения внутренних волн в жидкости с непрерывной и ступенчатой стратификацией // Динамика неоднородной жидкости. Новосибирск, 1982. Вып. 56. С. 144-152.

60. Стурова И.В. Внутренние волны, возникающие в двухслойной жидкости при нестационарном движении тела // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1985. № 70. С. 142-162.

61. Стурова И.В. Генерация внутренних волн в статифицированной жидкости // Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985. С. 200-242.

62. Стурова И.В. Внутренние волны, возникающие при нестационарном движении источника в непрерывно стратифицированной жидкости // МЖГ. 1985. № 4. С. 122-130.

63. Стурова И.В., Бородина Н.Н., Гуляева Л.Г. Поверхностные и внутренние волны. Библиографический указатель (1077-1984 г.г.) Новосибирск.: Ин-т гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО АН СССР. Ч. 1. 1985. 210 е.; Ч. 2. 1986. 259 с.

64. Стурова И.В. Численные расчеты в задачах генерации плоских поверхностных волн. Препринт № 5. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1990. 48 с.

65. Стурова И.В. Влияние внутренних волн на гидродинамические характеристики погруженного тела // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1993. № 6. С. 732-738.

66. Стурова И.В. Вертикальное движение тела вращения в стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1997. Т. 38. С. 39-50.

67. Стурова И.В. О сравнении поведения внутренних волн в жидкости с непрерывной и ступенчатой стратификацией // Динамика неоднородной жидкости / Динамика сплошной среды. Вып. 56. Новосибирск.: Институт гидродинамики СО АН СССР. С. 144-151.

68. Теодорович Э.В. Переходное излучение внутренних волн движущимся массовым источником // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1984. Т. 20. № 18. С. 300-307.

69. Тер-Крикоров А. М. Фундаментальное решение уравнения внутренних волн для среды с разрывной частотой Брента-Вяйсяля // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 621-627.

70. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 622 с.

71. Федорюк М.В. Асимптотика, интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.

72. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 386 с.

73. Филиппов В.П. Пересечение тонкими телами границ раздела слоистой тяжелой жидкости // Тезисы докладов научно-практической конфер. "Потребительская кооперация социально-ориентированная система". Чебоксары: Салика, 2000. С. 83.

74. Филиппов С.И. Установившиеся колебания плоского контура вблизи границы раздела сред при наличии горизонтального дна // ПМТФ, 1995. Т. 36. № 2. С. 39-44.

75. Филиппов С.И. Движение круглого цилиндра в потоке многослойной весомой жидкости // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанский ун-т, 1990. № 24. С. 234-240.

76. Шишкина О.Д. Сравненине коэффициентов сопротивления тел, движущихся в жидкостях с различными профилями стратификации // МЖГ. 1996. № 4. С. 4-11.

77. Червяков М.С. Модельные исследования движения твердого тела в расслоенной жидкости // Подводные технические средства исследования океана. АН СССР. Инт-т океанологии. М. 1990. С. 52-56.

78. Не You-sheng, Lu Chuan-jing, Chen Xue-nong. Analytical solution of singular moving with an arbitrary path when two fluids are present // Appl. Math. And Mech. Engl. Ed. 1991. V. 12, № 2. P. 131-148.

79. Keller J.B., Munk W.H. Internal waves of a body moving in the stratified fluid // Phys. Fluids. 1970. V. 13. № 6. P. 1425-1431.

80. Lofqust K.E., Purtell L.P. Drag on a sphere moving horizontally through a stratified liquid //J. Fluid Mech. 1984. V. 148.

81. Moran J.P., Kerney K.P. On the small-perturbation theory of water exit and entry // Develop. Mech. 1965. V. 2 № l.P. 478-506.

82. Ramachandra A. RAO Greens function solution of a water wave problem in a stratified ocean of a finite depth // Int. J. Engng Sci. 1979. Vol. 17. P. 527-532.

83. Rhodes-Robinson P.F. On waves at an interface between two liquids // Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1980. V. 88. P. 183-191.

84. Selezov I.T., Hug P. Internal solitary waves in a three-fluid medium with a source // Book of abstract. 2nd Eirop Fluid Mech. Conf., Warsaw. 1994. P. 250.

85. Selezov I.T. Some nonlinear wave evolution equations deriving by asymptoticheristic approach // Book of Abstract. Internal Conf. "Nonlinear Differential Equations". Kiev, August 21-27. 1995. Ukraine, Kiev, 1995. P. 151.

86. Sturova I.V. Waves generation by unsteady body motion in stratified fluid // Pro. 15th Sci. and Methodol. Seminar on Ship Hydrodynamics. Warna: BSHS, 1986. V. 1. P. 27-1-27-7.

87. Warren F.W.G. The generation of wave energy at a fluid interface by the passage of a vertical moving slender body // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1961. V. 87, № 371. P. 43-54.

88. Warren F.W.G. Wave resistance to vertical motion in stratified Fluid // J. Fluid Mech., 1969. V. 7. № 2. P. 209-229.