Пересечение тонкими телами границ раздела слоистойтяжелой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Чувашский государственный университет именц,И,Н~ Ульянрва

П I) 1М

1 ~ г.;,;,' ¿:оз

УДК 532.5

На правах рукописи

ФИЛИППОВ Владимир Петрович

Пересечение тонкими телами границ раздела слоистой

тяжелой жидкости

01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары 2000

Работа выполнена на кафедре прикладной и дискретной математики и ш кафедре экономико-математического моделирования Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова

Научные руководители:

доктор техн. наук, профессор О.И. Березкин, кандидат физ.-мат. наук, доцент Н.П. Порфирьев.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор В.П. Житников, кандидат физ.-мат. наук, доцент В.А. Гусев.

Ведущая организация - Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 21 апреля 2000 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета К 064.15.02 в Чувашском государственном университете им. И.Н Ульянова по адресу: 428015,г. Чебоксары, Московский пр., 15.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Чувашского государственного университета.

Автореферат разослан 15 марта 2000 г.

Учрный ГРКПРТЯП1.

Никитин В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория движения тел в стратифицированных (рас-:лоенных) по плотности жидкостях и газах в поле силы тяжести - раздел современной гидродинамики, который быстро развивается в последнее время, з чем свидетельствует большое количество публикуемых по этой тематике забот (Стокер Дж., Сретенский J1.H., Басин М.А. и Шадрин В.П., Степанянц [O.A., Стурова И.В. и Теодорович Э.В., Габов С.А. и Свешников А.Г., Маклаков Д.В., Лотфуллин М.В. и Филиппов С.И., Миндлин И.М., Никитин В.В. и Порфирьев II.П., Горелов Д.Н. и Горлов С.И., Акуленко Л.Д., Васильева В.В., Городцов В.A., Warren F.W.G., Chen Xue-Nong, Не You-Sheng, Lu Chuan-Jing). Большинство из этих работ посвящено горизонтальному движению тел. Это :вязано с требованиями практики: расчет гидродинамических сил, действу-ощих на надводные корабли, плавающие по поверхности двухслойной жид-?ости, расчет силовых характеристик несущих элементов судов на подводных ?рыльях. Однако в последние годы в связи с интенсивными исследованиями жеана подводными аппаратами и с требованиями обеспечения их безопасного 1лавания, с возрастанием глубины плавания подводных лодок появилась необ-содимость рассмотрения случая движения тел в произвольном направлении. 1оскольку горизонтальное движение судов и подводных аппаратов изучены 1остаточно хорошо, то возникает необходимость исследовать на первом этапе :лучай вертикального движения.

Целью диссертационной работы является разработка методов реше-шя задач о пересечении тонкими телами границ раздела слоистой тяжелой кидкости; аналитическое и численное исследование в рамках линейной теории возникающих при этом гидродинамических реакций, а также деформаций •раниц раздела сред.

Научная новизна. Разработаны методы решения осесимметричных и фостранственпых задач о движении тонких тел через границу раздела двух-:лойной идеальной несжимаемой тяжелой жидкости.

Разработан метод решения плоской задачи движения тонкого тела через раницы раздела многослойной жидкости, имеющей произвольное, но конеч-юе число слоев.

Проведен численный и асимптотический анализ решения осесимметричной I пространственной задач о формировании и распространении внутренних юлн, возбуждаемых при пересечении телом границы раздела сред.

Создан пакет программ на языке Delphi 4.0 для расчета гидродинамичес-:их реакций тонких тел, пересекающих с постоянной скоростью границу разила сред. Проведен обширный численный эксперимент по оценке влияния ¡есомости, отношения плотностей жидкостей, величины скорости, направле-1ия движения и формы тела на его гидродинамические характеристики и на эорму границы раздела сред.

Достоверность полученных результатов достигнута строгим решением [оставленных краевых задач и подтверждена сравнением численных решений : аналитическими и предельными решениями.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть использова-[ы при проектировочных расчетах гидродинамических нестационарных сил, (ействующих на подводные аппараты при их движении в слоистых средах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их полу-

чения докладывались на научных конференциях в Чувашском государствен ном университете им И.Н. Ульянова (1997, 1999 гг.), Всесоюзной конференцир "Динамика сплошных сред со свободными границами", г. Чебоксары (1996 г.) в Воронежской школе "Современные проблемы механики и математики", г Воронеж (1998 г.), 9-й межвузовской конференции "Математическое модели рование и краевые задачи", г. Самара (1999 г.), II Белорусском конгрессе п< теоретической и прикладной механике, г. Гомель (1999г.), Всероссийской на учной конференции "Краевые задачи и их приложения", г. Казань (1999 г.) семинаре "Взаимодействие сплошных сред", г. Чебоксары (1999 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, тре> глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 16^ страницах, содержит 73 рисунка и одну таблицу. Список литературы содержит 95 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, содержится об ширный обзор литературы по затронутым вопросам, сформулирована цел! работы, кратко изложено содержание работы и приведены результаты, выно сящиеся на защиту.

В первой главе рассмотрена пространственная задача о вертикальнол. движении тонких осесимметричных тел1 в двухслойной тяжелой жидкости В §1 дана постановка линеаризованной задачи, сформулированы граничные I начальные условия для потенциалов скоростей жидкости.

Пусть тонкое тело вращения движется в среде, состоящей из двух идеаль ных несжимаемых жидкостей, разделенных поверхностью разрыва плотности В невозмущенном состоянии граница раздела сред горизонтальна. Скорост! тела направлена против (или вдоль) вектора ускорения свободного паденш д. Предполагается, что ось симметрии движущегося тела перпендикулярнг невозмущенной плоскости раздела сред. В этом случае поле скоростей течения каждой жидкости является осесимметричным. Используется неподвижная цилиндрическая система координат с началом в точке пересечения оа вращения тела с невозмущенной границей раздела (рис. 1).

В выбранной системе координат поверхность тела а определяется уравнением г = е/(г — с), где е - безразмерный параметр, равный отношению радиуса тела в миделевом сечении к его длине I = 2, с(<) - заданная функция времени * (закон движения тела). Предполагается, что тело тонкое (е < 1), а уравнение его образующей удовлетворяет следующим условиям: оно обращается в ноль на концах тела, а производная /'(г—с) ограничена всюду на отрезке г € [с — 1;с+ 1]. В силу осевой симметрии гидродинамическая задача сводится к нахождению двух функций ^{г, г, <) и (по тенциалов скоростей), удовлетворяющих в области, занятой соответственнс жидкостью плотности р1 и р2, уравнению Лапласа.

В линеаризованной постановке динамические и кинематические условия Н£

'В другой постановке она была решена Стуровой И.В. Вертикальное движение тела вра щения в стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1997. Т. 38. С. 39-50.

д Р2<Р1

0

¿> г

4 1 Р.

1 Рис. 1

г

границе раздела сред могут быть снесены на плоскость г = 0 и с точностью до членов высшего порядка малости принимают вид2

д<Р1 , д<р2 дС д<р! д<р2 , .

-р1ж+р19< = -р2-дг+р29с, Ы=-дГ=-д7' (1)

где С = £(г, <)-уравнения поверхности раздела сред, д =

Линеаризованные граничные условия на поверхности тела а и условие равенства нулю радиальной составляющей скорости течения на оси симметрии вне а имеют вид:

_ / с) + °(е). (г,г)е<т, г <Е (с + х, с + 1),

дг ~ \ 0, г = 0, (0,с + х:] и[с+ 1,00),

дг _ 1 0, »- = 0, ге (-оо,с- 1]и[с+х,0).

(2) (3)

Здесь с(£)-скорость тела,

{—1, если I < ¿1,

-с{1), если ¿1 < « < <2, (4)

1, если I > <2,

"де интервал времени (—оо, <1] отвечает движению тела к границе раздела, '¿1, ¿2] - собственно пересечению и (¿2, +оо) - дальнейшему прониканию в жидкость другой плотности. Значения и ¿2 определяются соответственно из /равнений с(< 1) = 1 и с(г2) = — 1.

В силу линейности рассматриваемой задачи потенциалы скоростей щ и ц>2 иожно представить в виде суммы

^1= VII +¥>12, = У21 + ^22, (5)

чде и ^21(2,г,<) описывают течения жидкостей в отсутствии си-

1ы тяжести (д = 0), а функции и ^22(2, г, ¿) учитывают влияние

гравитации на гидродинамические характеристики тонкого тела.

В §2 определены потенциалы скоростей невесомой жидкости в виде суммы интеграла Фурье-Бесселя и интегрального представления фундаментального эешения уравнения Лапласа для пространственной задачи.

Общий вид потенциалов скоростей невесомой жидкости при использовании '4) записывается в следующем виде:

<рп = ^ / 5'(Ы) ( , 1 - Р1~Р2 , 1 =—}

X

Р2 [ 5'(и) ¿IX ^ 0

/

2я- Р1 4- />2 У \/(и + С - г)2 + г2'

Здесь ¿"(и) - площадь поперечного сечения тела. Выражение для <р21 < 0) шеет аналогичный вид, достаточно в предыдущей формуле поменять местами >1 и р2, в первом интеграле верхний предел будет равен х, нижний —1, а во втором интеграле верхний предел будет равен 1, а нижний х-

В §3 вычислены функции <р12(г,г,г) и ^22(-г, г,<). Уравнению Лапласа и Условию равенства нулю на бесконечности можно удовлетворить, выбрав потенциалы <£>12 и <£>22 в виде:

2Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1987. 472 с.

со

<РК2 = {р} )д(2 / ХАк(Х,1)е^МХг)с1\, (6;

НР1 + Р2 Г J

о

где верхний знак соответствует значению к — 1, а нижний - значению к = 2 В этом выражении /о(Аг) - функция Бесселя нулевого порядка. Подстановкг (6) в граничные условия (1) дает обыкновенное дифференциальное уравненж относительно неизвестной функции Л^А,*), решение которого имеет вид:

Л1(А,*)=Д J ¿(т)3-{Х, с(т))8тш{1 -т)йт, А2{Х,с) = -Л^А.с), (7;

— оо

1 X I-

где (А,с) = Р1 Г5'(г/)е-А(и+с)Л- р2 Г 5'(и)вЛ(и+с)</и, и = ,дХР1~Р2.

х -1 V Р1+Р2

В §4 найдено распределение избыточных давлений на поверхности тела Оно представляет собой сумму двух слагаемых Р — Р\в(г) + Р2в(—г), где в (г)— единичная функция Хевисайда,

Рь[рк = — д* — — ^ ' ^ = 1>2-Радиальная составляющая скорос-

ти дфк/дг на поверхности движущегося тела известна из граничных услови? (2), (3). Поэтому для определения давления Р достаточно вычислить частньк производные д<рк/д1 и разложить полученные выражения в ряды при малых г В §5 вычислена результирующая сил давлений, приложенных со сторонь

жидкости на тонкое тело:

I З'^Р^у + С^^У+Е2 ! 3'(ь)Р2(ь + с,г,г)(1ь, (8]

х -1

она складывается из выталкивающей силы Архимеда, из силы испытываемой телом при движении в невесомой жидкости, и добавочной силь

оо

{Р1 - Р2)д^

F, =

■ J XS-(x,c)Ái(X,t)dX, учитывающей вклад гравитацион

Mpi + Р2)2

о

ных волн на границе раздела сред в осевую составляющую Fz. Окончательное

.... 1 da

выражение для F\ имеет вид: F\ = — /z(c)c— -—с , где ц - присоединенная масса тонкого осесимметричного тела.

В §6 исследована деформация границы раздела сред. Зная потенциалы скоростей жидкости, можно вычислить отклонение поверхности раздела сред от невозмущенного уровня:

í)-P2^((W)}. (э;

При подстановке сумм (5) в (9) потенциалы у>ц и <р2\ выпадают и уравнение границы раздела жидкостей принимает вид:

оо

^t) = M^)SXAÁKr)HXt)dX-

О

X

В §7 изучено равномерное движение тела. При движении тела с постоянной жоростью с(2) = —Ш и интегрирование по г в соотношении (7) можно выпол-шть в замкнутом виде. Коэффициент осевой силы Сг = 2(Р2 — ^д)/(л-р1С/2£г4) з этом случае имеет вид:

С, = (/5'» 1п^ + 4 А, -б^З'Чи) 1п

] / и + 1) + 2с ] ]

и + V + 2с

XX оо -1-1

V

+

7а5-(Д,с) [5+(л, с) + ^(л, с)]

7Г2(1 + <5) У Л + г^ ' 1 '

о

Здесь & = Р2/Р1, „ = 5±(А,с) = /5»е~А("+<^и±

х

1:5 / £(А,с) = (1 -¿)д1(А,с) + (1 + ¿)<Э2(А,с),

-1 х

<?1(А,с) = J ¿''(и) соя \/хй{и + с)(1и, (11)

-1

X

I V

<5г(А,с) = у'-у З'(и)&ту/\й(и + с)(1и. (12)

-1

Деформация границы раздела сред при равномерном движении описывает-:я функцией

оо

СМ = Л1 > [Х[5*{\с) + т'с)]МХг)(1х. (13)

м ' 2тг(Р1 +р2) ) Х + и 1 к '

о

В §8 проведен асимптотический анализ поведения границы раздела сред на ¡ольших расстояниях от тела. При движении тела под поверхностью раздела :ред (с > 1), выражение (13) после разложения подинтегральной функции в >яд при малых А принимает вид

, 1 ,_

де с^ = с2 + 2С2! + г2, = ^ / и"5(«)с?м, л = 1,2; Л = л/с2 + г2, I/ -

-1

|бъем тела. Из формулы (14) следует, что при г < л/2с1 более плотная среда 1ытесняет менее плотную и поднимается над невозмущенной поверхностью >аздела, а при г > у/2сх опускается вниз. Наибольшее смещение граница раз-[ела испытывает в начале координат, где С = — Кс2/7гг^(1 + ¿)с5, на расстоянии

= л/1(с5 + 5с2) она имеет кольцевую впадину и при дальнейшем возрастали г стремится к невозмущенному положению.

При анализе случая, когда тело пересекло границу раздела сред и пронижет в жидкость другой плотности, для оценки интеграла (13) использован

метод стационарной фазы. Показано, что на большом удалении от начала координат на границе раздела сред распространяются гравитационные волны амплитуда которых уменьшается обратно пропорционально расстоянию г.

В §9 выведены уравнения деформации границы раздела в предположении что скорость тела направлена вниз. В этом случае необходимо переменную X определить иначе, чем в (4), поменяв местами -1 и 1. Тогда изменяются только функции <5!(Л, с) и <5г(А,с). В формулах (11) и (12) нижние пределы интегрирования теперь будут равны единице.

В §10 на примере тела, поверхность которого описывается уравнением г = = 1 — г2, произведены числовые расчеты. Для этого тела 5(и) = — и2)2 Б'{и) = -4тта(1 - и2).

Форма границы раздела сред при числе Фруда и, равном 1, для движущегося вверх тела показана на рис. 2 и 3. Согласно асимптотическим выкладкам приведенным в первой главе, при приближении тела к границе раздела онг (граница) в области начала координат приподымается над своим невозмущенным уровнем, что видно на рис. 2. После пересечения (рис. 3) на границе раздела образуются гравитационные волны.

Характер колебаний границы раздела в точке, удаленной от начала координат на расстояние г, с течением времени, показан на рис. 4 и 5.

На рис. 6 и 7 показаны зависимости коэффициента Сг результирующей силы, действующей на тело при равномерном движении вверх, от глубины погружения с для различных значений числа Фруда. Графики коэффициента Сг как функции расстояния с, имеет немонотонный характер. Если при малых значениях числа Фруда Сг < 0, т.е. на тело действует сила, стремящаяся вытолкнуть его из более плотной среды в менее плотную, то с увеличением числе Фруда при некоторых значениях с коэффициент С2 принимает положительные значения, т.е. появляется сила сопротивления. =2

-0,03

\1

--

4

-0,5

0,5

-10

II1

4 Н2 л Мз Л

3 с 2 Рис. 4

На рис. 8, 9 приведены кривые зависимости коэффициента осевой силы действующей на тело, при движении из менее плотной среды в более плотную. В этом случае практически при всех расстояниях с коэффициент С2 < О

г.е. тело испытывает силу сопротивления. Лишь при достаточно больших тачениях и, после пересечения границы раздела сред, при с > 1, возникает :ила, направленная вертикально вниз. На рис.2-9 кривые, отмеченные циф-)ами 1,2,3,4, получены для отношений плотностей, равных соответственно ! = 0; 0.25; 0.5; 0.75.

--02

« У { 1 1

V/

у ~ 5

-2

0 1 с 2 Рис. 6

у= 0.2

/А

1ж\

- - ~

-2 -1 0 1 с 2 Рис. 7 у= 5

А

А •..........

-2

-1

1 С 2

Рис. 8

-2

-1

0

1 с 2 Рис. 9

Во второй главе рассмотрена пространственная задача о вертикальном

'1 „и

(вижении тонких трехмерных тел'3 через границу раздела двухслойной иде-[льной несжимаемой тяжелой жидкости.

Р1 |с(1)

г

Р2 1

. 2е

л:

Рис. 10

В §11 и 12 дана постановка математической модели задачи и сформулиро-аны граничные условия для потенциалов скоростей. Постановка задачи во шогом аналогична той, что была описана на стр. 4. В неподвижной системе оординат уравнение поверхности тела задается уравнением г = ±е}{х — с, у) рис.10, 11).

Граничные условия на поверхности тела линеаризуются и сносятся на плос-ость 2 = 0. Пусть а - множество точек (х,у), лежащих на плоскости г = 0 нутри контура, определяемого уравнением /(г — с, у) = 0. Тогда

д д

^ =т £б{1)!'х{х-с,у), (г, у) есть -р- = 0, {х,у)£аи

8г

3Никитин В.В., Порфирьев Н.П. Пересечение крылом конечного размаха границы раздела есомых жидкостей // Актуальные задачи гидродинамики / Чув.гос.ун-т. Чебоксары, 1989. . 90-98.

О

д(р2

= Т £c(t)f'x(x-c,y), (х,у)Е<т 2,

д<р2

= 0, {х,у) £ а2, (15;

dz ->»;> х-,»,-—, dz

Здесь z ■=■ 0, (|с| < 1), o-fc - часть поверхности тела, находящаяся в жидкости ( плотностью рк. На границе раздела сред (при х = 0) выполняются следующие линеаризованные условия:

dipi дч>2 d2<pi d<pi d2ip2 д<р2

После решения краевой задачи (15)—(16) распределение давлений в жидкостях определяется из линеаризованного уравнения Коши-Лагранжа

ôtp

Pk(x,y,z,t) = pkgx - pk-Qj-, (к= 1,2), (17;

уравнение поверхности раздела сред находится по формуле, аналогичной (9).

В §13 найдены потенциалы скоростей в невесомой жидкости в виде, удовле творяющем уравнению Лапласа и условию равенства нулю на бесконечности Итоговое выражение для потенциалов скоростей невесомой жидкости: eè(t) f ЦК-с, vWdT, £p2ç(t) Г — с; v)d£dt)

a i a2

<P 1

R-

ec(t) pi - p2 f f((t ~ c,rj)d£dT) 2?r pi + p2

!

R4

(is;

Здесь R¿ = у/(х ± £)2 + (у — г])2 + г"1. Выражение для у>2 получается из (18; заменой индексов при р и ст.

В §14 вычислена продольная сила, испытываемая вертикально движущимся телом, определяемая по формуле, аналогичной (8), с той лишь разницей что функции теперь вычисляются по формуле (17), а интегрирование производится, соответственно, по областям <т\ и <72.

•7 I

2е

!

У

! 2Ь

-—"""___ *___м'"-- У

1

2Ь

Рис. 12

Рис. 13

Проведен асимптотический анализ силы, действующей на крыло, изображенное на рис. 10-12 при больших значениях 6. Показано, что если результирующую сил давлений отнести к размаху тела 26 и устремить затем 6 г бесконечности, то она стремится к соответствующему значению плоской задачи. Если тело находится целиком в одной из сред, то разность между этими двумя величинами имеет порядок О (1 /б4), т.е. очень быстро убывает с увеличением размаха крыла. Но если же тело пересекает границу раздела, тс разность между ними имеет величину порядка О(1/6), т.е. убывает гораздо медленнее. Этот факт необходимо учитывать при проведении экспериментов моделирующих двумерные течения при пересечении телами границы разделг сред.

В §15 проведен учет влияния силы тяжести на гидродинамические ха-)актеристики тела. Результирующая сил давлений, приложенных со сто-юны жидкостей на движущееся в них тела, складывается из выталкиваю-цей силы Архимеда, из силы Хо в отсутствии тяжести и добавочной силы

ОО 7Г

/ \ 2 Г Г

^д ~ "Чт— ,, / I Р(Х,в} с)Б(Х, в,с)ХйХ6в. Здесь черта над буквой озна-л (Р1 + Р2) У 3

0

1ает переход к комплексно-сопряженным величинам. Отклонение границы >аздела сред от горизонтального положения определяется по формуле

ОО 7Г

( Р2^(Х, 9,с),° с>1,

}десь Р(Х, 9, с) — < р2^2(Л, В,с) - ^(М.с), |с| < 1,

1 -р^0(А,(?,с), с< -1,

Л(АДс)= /¿ = 0,1,2. (19)

1ри к = 0 интегрирование в правой части равенства (19) ведется по области г, 5(АДс) = £ / ¿(т)^(АДс(7-))8нш(*-т)Л-.

—со

В §16 рассмотрено равномерное движение тела (с = —Ш), при котором щтегрирование в Б(Х,6,с) можно выполнить в замкнутом виде.

В §17 приведены примеры расчета гидродинамических характеристик ел с различными профилями. Для цилиндрического тела с образующими, [араллельными плоскости х — 0 (см.рис.10-12) имеет место соотношение \х — с,у) = /(х — с). Для тела, изображенного на рис. 10, 11, 13 функция (х — с,у) = ¡{х — с) (1 — \у\/Ь), |у| < Ь. При уменьшении размаха крыла, [зображенного на рис. 10,11,13, зависимость вертикальной силы от положе-[ия тела качественно становится похожей на соответствующую зависимость сесимметричной задачи (см. рис. 14). В то же время для крыла, изображенного на рис. 12 такой картины не наблюдается (рис. 15). Рис. 14 и 15 оответствуют движению тела вверх, параметр V = 1.

Рис. 14 Рис. 15

При увеличении размаха крыла, изображенного на рис. 12, зависимость ертикальной силы от положения тела становится качественно похожей на оответствующую зависимость плоской задачи4 (рис. 16). Рис. 16 соответ-

4Никитин В.В., Порфирьев Н.П. Пересечение тонким телом границы раздела весомых ;идкостей // Гидродинамика больших скоростей / Чув.гос.ун-т. Чебоксары, 1985. С. 101-

08.

ствует движению тела вниз. На рисунках 14-16 цифры 1, 2, 3 соответствую отношениям плотностей р\/р2 — 0.5; 0.75; 0.9.

Характер колебаний границы раздела в точке, удаленной от начала коор динат на расстояние г = 1, при движении вниз тела, изображенного на рис 13, показан на рис. 17 (рг/рг =0.25).

Сс

¿=50

А V

А \ \

—,^

4

-0,3

0,3

-2

О

о 15 Рис. 17

Р2

Р1

с-1

еН

с 2

Рис. 16

В третьей главе рассмотрено вертикальное движение тонкого плоского симметричного тела в трехслойной идеальной несжимаемой невесомой жидкости. В §18 дана постановка линеаризованной задачи, сформулированы граничные и начальные условия. Пусть тонкое симметричное тело движется в среде, состоящей из трех идеальных несжимаемых невесомых жидкостей с плотностями Р1,Рг,Рз {рз < Р2 < Р\)- В невозмущенном состоянии они отделены друг от друга горизонтальными границами раздела сред. Рис. 18

В выбранной системе координат (рис. 18) контур С тела задается уравне нием у = ±е/(а; — с). В линеаризованной постановке

рт = р2<?2, (20

при х = 0 и

д<Р7 д<р3

№ = Рз<Рз, = (21

при х = —/г. Здесь (р^ - потенциалы скоростей жидкостей с соответствующи ми плотностями, /г - толщина среднего слоя.

Линеаризованные граничные условия на контуре С и условие равенств; нулю поперечной составляющей скорости жидкостей при у = 0 записаны виде (на примере случая, когда |с| < 1):

д<Р1^'°] = ТесПх - с) Щх -с-1)- в{х)},

= %есП* - с) И*) - в(х - с + 1)], = 0. (22

В §19 определены потенциалы скоростей жидкостей. Потенциалы скорос тей (рк(х,у^) (к = 1,2,3) выбираются в таком виде, чтобы они являлись ре шенипми двумерного уравнения Лапласа в соответствующем слое жидкости 1 удовлетворяли условию равенства нулю на бесконечности. Решения краевы. задач (20), (21), (22) найдены в виде:

<Р 1

1п - ¿И

ее

Р 2

Щ. + у2 т />1 + р2

У /'(и) 1п [111+у2}с1и-

gc P2 т Pl + P2

a oo

j f'{u) ln [Rl + y2]du+^- j Al (A, c)e~Xx cos XydX,

<P 2

ln

fl- + y2 R% + y2

du ■

ее P1

7Г pi + />2

1

//»ь^+у2]

¿Ы-

# ^ / /'(«) ln [Я2 + M J[Лз(A) c)shXx + в2{\, с)сЪХх] cos AyrfA,

<P 3

ln-

Ri + j/2

:du

oo

+ J B3(\,c)ex(-X+V cos Aj/dA,

i -1' l 1,

(2/i -+ R+)2 + y2 -1 о

npHÎ<Îi, Г —1, при<<<3,

де a = ^ -c(ij, при < t < <2, i = < —h—c(t), при <3 < < < <4,

при^><2, l 1, при t > i4.

= - P2)Isk(\,c) + P1/1(A, C)] + P3/2(A,c)}

Л2(А;С) = -Л1(А,С)1 B2(X,c) = ^-j4I(A, c), B3(A,c) = _ P2 [(Pi ~P2)hh{\c) + Pih{\ c)] exh + p2/2(A, c)(pichAfe + p2shXh)

АД(А)

= и + c± x, Д(А) = (pip3 +p|)shA^ +p2(pi + p3)chA/i,

Ла(А.с) = / /'(u)shA(u + c)e~xhdu, /г(А,с) = J

i> ь

J2(A,C) = / /'(и)еА(и+с+л^и. -1

В §20 найдена действующая на тело продольная сила. Как и прежде, она ычислена по формуле, аналогичной (8), но теперь состоит из трех слагаемых, давление, приложенное к телу, находится из линеаризованного интеграла [оши-Лагранжа Рк(х,у) = -pkd<fik(x,y)/dt.

Сила, действующая на движущееся в невесомой трехслойной жидкости те-о, вычислена по формуле, аналогичной выражению для (стр. 6).

й = о

ft=ll

с 2

Рис. 19

о 2 Рис. 20

Графики зависимостей коэффициента силы Сх = 2F/plE2c2 от положения ела для разных толщин среднего слоя приведены на рис. 19-21. Отношения

ь

а

плотностей Р2/Р1 = 0.9, рз/р1 = 0.8. При уменьшении толщины среднего ело (h —> 0) трехслойная задача переходит в двухслойную (рис. 19). Если толщин среднего слоя превышает удвоенную длину тела, то влияние второй границ! раздела сред нивелируется. Это показано на рис. 22 (на оси абсцисс отложен толщина среднего слоя).

-од -0,05

h = 5

-ОД Çc

-0,05

с — -1

-7 -4 -1 (? 2 2 к Л

Рис. 21 Рис. 22

В приложении I доказаны формулы §5.

В приложении II исследовано поведение функции С(г^)> определенной в §6 при малых значениях г.

В приложении III выведена предельная формула для коэффициента осе вой силы, соответствующей бесконечно большим числам Фруда. Сравнени результатов, полученных по ней с данными, полученными по формуле (10 при и = 100000, показало их совпадение с точностью до второго знака поел запятой.

Основные результаты работы

1. Разработаны методы решения осесимметричных и пространственны: задач вертикального движения тонких тел через границу раздела двухслой ной идеальной несжимаемой тяжелой жидкости. Для тонкого плоского тел; разработан метод решения задачи о его вертикальном движении в трехслойно! идеальной несжимаемой невесомой жидкости.

2. Получены точные в рамках линейной теории аналитические выраже ния для гидродинамических сил и смещений границ раздела жидкостей о' невозмущенного уровня для следующих задач:

а) вертикального движения тонкого осесимметричного тела через границ; раздела двухслойной тяжелой жидкости,

б) вертикального движения тонкого пространственного тела через границ; раздела двухслойной тяжелой жидкости.

3. Получены точные в рамках линейной теории аналитические выраженш для гидродинамических сил, возникающих при равномерном вертикально!\ движении тонкого плоского тела через границы разделов трехслойной невесо мой жидкости.

4. Найдены асимптотические формулы для коэффициента вертикально! силы при малых и больших числах Фруда.

5. Выведены асимптотические формулы для коэффициента вертикально] силы, действующей на крыло с большим размахом.

6. Проведен анализ уравнений границы раздела сред. Показано, что н; большом удалении от движущегося тела на границе раздела сред развиваюта гравитационные волны и найдены законы их эволюции с течением времени.

7. В рассмотренных задачах проведен численный эксперимент, по изуче нию влияния скорости тела, направления движения, формы тела, отношени:

лотностей жидкостей, гравитации на динамические и кинематические ха-актеристики течения.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. Пересечение осесимметричного тела раницы раздела двух жидкостей // Динамика сплошных сред со свободными раницами. Чебоксары: ЧГУ, 1996. С. 178-196.

2. Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. Движение тонких тел в многослойных редах // Межвузовский сб. научных статей преподавателей и аспирантов, ебоксары: Салика, 1997. Вып. VIII. Ч. 1. С. 118-125.

3. Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. К теории движения тонких тел в мно-ослойных средах // Итоговая научная конференция ЧГУ. Чебоксары: ЧГУ, 997. С. 129.

4. Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. Вертикальное движение тонкого тела стратифицированной жидкости // Тез. докл. Воронежской школы "Совр. робл. мех. и прикл. матем." Воронеж: ВГУ, 1998. С. 223.

5. Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. Пересечение тонким телом границ раз-ела трехслойной жидкости // Тезисы докладов научно-практич. конфер. Научно - техн. прогресс и социально-экономические, правовые аспекты по-ребительской кооперации". Чебоксары: Салика, 1998. С. 46.

6. Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. Вертикальное движение крыла конечно-э размаха в двухслойной жидкости // Материалы II Белорусского конгресса о теоретической и прикладной механике "Механнка-99". Беларусь, Гомель: IMMC НАНБ, 1999. С. 161.

7. Порфирьев Н.П., Филиппов В.П. Пространственная задача о пересечении онкими телами границы раздела сред // Труды 9-й научн. межвуз. конф. Матем. моделир. и краевые задачи". Самара: СГТУ, 1999. С. 143-146.

8. Филиппов В.П. Численный анализ движения тонкого плоского симмет-ичного тела в многослойной жидкости // Тезисы докладов межвузовск. на-чно - практич. конфер. "Социально-экономические, правовые проблемы и сновные направления развития потребительской кооперации". Чебоксары: алика, 1999. С. 187-188.

9. Филиппов В.П. Вертикальное движение тонкого тела в трехслойной весо-ой жидкости // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 3 Краевые задачи и их приложения" / Казанское матем. общ. Матер. Всерос. аучн. конф. Казань: Унипресс, 1999. С. 188-189.

10. Филиппов В.П. Пересечение тонкими телами границы раздела двух-юйной тяжелой жидкости // Труды международной научной конференции Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности -Э00". Уфа-центр: Башкорстройинформ, 2000. С. 181-185.

11. Филиппов В.П. Пересечение тонкими телами границ раздела слоистой чжелой жидкости // Тезисы докладов научно-практической конфер. "Потре-^тельская кооперация - социально-ориентированная система". Чебоксары: алика, 2000. С. 83.

ГО-Ф

8з=0; Суа=0.5

5з=20- СУа=СУадоп

ХгХг

Ш=

го-т

0.1 0.05

о

-0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.3

53=0; СУа=0.5

Хт-Хк

6з=20°; Суа=Суадоп

'. \ \ \ 1 1 1 1 1 1 1 1

: \ ! 1 1 ! ! 4—4—

! 012^)^*5(6 018 1 1 ■ ! 2 11.

:-1- 1 1 ——1—- ■ ■ ■ 1 |

-9-- !-рЭ-р-€>

: | 1 1 1 ■в—га 1

: 1 1 ! ! |

■ : 1 ; I : :

В оЬ-гк , ,

б »^02 0|4 0 6 08 112 1 4 1]б

-0.05 [

, Хт-Хр

I

1 !--в—- 1

I 1 1 I

1 1

Рис.9. Изменение запаса центровки от влияния струй и нормальной силы винтов