Переопределенные весовые неравенства Харди тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

р Г Б ОД ' 7 ОНТ 1998

На правах рукописи

Насырова Мария Георгиевна

^£/6Ц.

ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЕСОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск — 1998

Работа выполнена в Хабаровском государственном техническом университете.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Степанов Владимир Дмитриевич.

доктор физико-математических наук, профессор Гольдман Михаил Львович, кандидат физико-математических наук, доцент Поличка Анатолий Егорович.

Математический институт РАН им. В.А. Стеклова.

Защита состоится 1998 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 064.62.01 при Хабаровском государственном техническом университете по адресу:

680035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136, ХГТУ, ауд. 315-л.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского государственного технического университета.

Автореферат разослан ИСШИЛА " 1998

г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук А.Д.Ухлов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Весовые неравенства, исследуемые в диссертации, берут начало со статьи английского математика. Г. Харди, получившей дальнейшее обобщение в работах Г. Блисса, К. Кноппа и других его современников; эти результаты отражены в классической монографии Г. Харди, Дж. Литтльвуда и Г. Полна "Неравенства", гл. IX.

Интенсивное развитие теории вложения пространств дифференцируемых функций, основанной С.Л. Соболевым, особенно в части, касающейся весовых пространств (см., например, монографию Л.Д. Кудрявцева1), привело к необходимости изучения неравенств Харди с весовыми функциями без априорных ограничений типа степенного поведения. Эта задача для оператора интегрирования была решена в 70-х годах в работах Б. Макенха-упта, Дж. Брэдли, В.Г. Маэьи и А.Л. Розина (см. монографию В.Г. Мазьи2, гл. I), а для операторов Римана-Лиувилля дробного интегрирования в конце 80-х годов в работах Ж. Мартина-Рейеса, Э. Сойера и В.Д. Степанова. Являясь поначалу лишь инструментом в оценках различных интегралов, к настоящему времени весовые неравенства типа Харди становятся самостоятельным объектом исследования. В 90-х годах различным вопросам этой бурно развивающейся области были посвящены работы В.И. Бурен-кова, М.Л. Гольдмана, Р. Ойнарова, Е.И. Бережного, А. Куфнера, Г. Хай-нига, Г. Синнамона и многих других отечественных и зарубежных авторов. Первые публикации, посвященные переопределенным неравенствам Харди, вышли в 1997 г., поэтому тематика является актуальной.

Кудрявцев Л.Д., Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений, Труды МИАН СССР, 55 (1959), 1-182.

2Малья В.Г., Пространства С.Л. Соболева, Л.: Издательство ЛГУ, 1985.

Цель работы. Работа посвящена характеризации неравенств Харди порядка к на действительной полуоси в весовых лебеговских нормах для функций, исчезающих на границе области.

Методика исследования. В данной работе использованы методы математического анализа, теории линейных интегральных операторов и теории функций.

Теоретическая значимость и научная новизна. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в различных разделах анализа, где появляется необходимость оценки нормы функции через норму ее некоторой производной, например, в теории вложения весовых пространств, в теории интегральных и дифференциальных операторов, в исследовании вариационных задач. Все основные результаты диссертации имеют законченный характер в форме критериев и являются новыми.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 1-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию, Владивосток, 1997; на Международной школе International Spring School "Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications 6", Прага, 1998; на заседании секции "Геометрия и Анализ" III Сибирского Конгресса по индустриальной и прикладной математике, Новосибирск, 1998; а также на семинаре "Функциональный анализ" (руководитель д.ф.-м.н. Степанов В.Д.) и семинаре "Дифференциальные уравнения" (руководитель д.ф.-м.н. Зарубин А.Г.) Хабаровского Государственного Технического Университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[4], работа [5] принята в печать. Список публикаций приведен в

конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 100 страниц машинописного текста, подготовленных автором в систаме Ш^К, библиография включает 63 наименования.

Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю Владимиру Дмитриевичу Степанову за постановку задачи, полезные замечания и внимание к работе; а также Российскому Фонду Фундаментальных Исследований (грант 97-01-00604), Минстерству образования РФ (грант 10.98ГР) и Хабаровскому Государственному Техническому Университету (стипендия им. М.П. Даниловского) за финансовую поддержку.

Содержание работы

Пусть к > 1 - целое число, 1 < р, < оо. В диссертации рассматривается задача о необходимых и достаточных условиях на весовые функции и(х) и у(х), при которых неравенство

(1)

в лебеговских нормах выполняется для всех функций F, заданных на полуоси (или промежутке) и удовлетворяющих вместе с производными 0 < г < к — 1 некоторому набору Е нулевых граничных условий. При этом константа С > 0 не зависит от Р.

Очевидно, что неравенство (1) теряет смысл, если найдется функция Е, удовлетворяющая условиям Е(Е £ Е) такая, что Е ^ 0, Е^ = 0. Последнее на конечном промежутке в силу известного алгебраического факта

всегда имеет место при card Е < к, поэтому неравенство (1) рассматривается лишь тогда, когда card Е > к, т.е. когда количество граничных условий card Е превышает либо равно порядку производной. Другой естественной границей на card Е является 2к, т.е. случай, когда F и все ее производные до порядка к — 1 включительно обращаются в нуль на концах промежутка. В этом случае, а также при card Е > 2к, функция F является пределом по норме бесконечно дифференцируемых финитных функций. Если card Л? — к и все граничные условия заданы на одном из концов промежутка, то в силу известной двойственности критерий выполнения неравенства (1) следует из результатов В.Д. Степанова для операторов Римана- Лиувилля целого порядка. Этот результат был дополнен в работе А. Куфнера и Г. Хайнига случаем, когда нулевые условия на концах промежутка продолжают друг друга, не перемешиваясь. Далее, в общем случае при cardi? = к граничная задача F^ = О, F £ Е на конечном промежутке имеет лишь тривиальное решение тогда и только тогда, когда набор Е удовлетворяет условию Полиа. Для этого случая критерий выполнения неравенства (1) получен недавно Г. Синнамоном.

В диссертации неравенство (1) рассматривается, в основном, на бесконечном промежутке R+ = (0,оо). Этот случай отличается от случая конечного промежутка уже тем, что неравенство (1) здесь имеет смысл при card Е < к. Так, например, граничная задача F^ = О, F(оо) = 0 при любом к > 1 имеет лишь тривиальное решение. Это замечание еще не дает ключ к решению задачи, однако алгебраические соображения подсказывают "эвристический принцип", что для двух наборов граничных условий с одинаковыми минимальным условием на бесконечности и набором в нуле, решение задачи должно быть одним и тем же. Таким образом, например,

две задачи

F(oo)=0

и

IIFull, < С jF<*>v| , -F(oo) = F'(оо) = ... = F^-^oo) = О

должны быть эквивалентными. Аналогичная ситуация возникает, когда граничному условию (оо) = 0 предшествует условие F(0) ~ F'(0) = ... = F(m~r)(0) = 0, 0 < гп < к - 1. Приведенные примеры исчерпывают случай card Е < к для полуоси, сводя их, фактически, к специальным случаям card Е = к, охарактеризованным в работах А. Куфнера, Г. Хайнига и В.Д. Степанова.

По этой причине основное внимание в диссертации уделено задачам, когда card Е > к, которым по терминологии А. Куфнера, соответствуют переопределенные неравенства Харди, а неравенство с полным набором нулевых граничных условий, т.е. когда card Е = 2к, мы называем максимально переопределенным.

В первой главе обсуждается постановка задач и даются предварительные сведения по весовым неравенствам типа Харди в интегральной постановке.

Пусть 0 < р < оо и (а,6) С R := (—оо,оо), а < Ь. Пусть v(x) - заданная на интервале (о, Ь) измеримая вещественнозначная функция, локально суммируемая с р-ой степенью модуля, т.е. J^\v(x)\pdx < оо для любого интервала I С (а, Ь). Будем считать, что |v(:c)| > 0 для почти всех (п.в.) se (а,6) и называть v(x) весовой функцией (весом).

Для фиксированных 0 < р < оо и веса v(x) на (а, 6) весовое лебегово пространство Lp¡v(a, Ь) определяется как совокупность всех измеримых по

Лебегу на (а, Ь) функций f(x) таких, что ||/||р,и < оо, где

I ess sup \f(x)v(x)), p = oo.

a<x<b

Пусть a = (ац, <*i,..., - мультииндекс, каждый элемент которого

atj равен либо нулю либо единице. Обозначим |а| = Е а,- - порядок

о<у<*-х

мультииндекса. Нулевые граничные условия, заданные на концах отрезка [а, 6] на функцию F(x) можно охарактеризовать двумя мультииндексами. Если на функцию имеется условие

F^(a) = О,

то элемент aу мультииндекса а равен 1. Если на j-ую производную в точке а условие отсутствует, то соответствующий элемент aj — 0. Таким образом, для заданного мультииндекса а указанного вида определим

a) = 0 <=$> F^(a) = 0 для всех j, таких что ay = 1.

Аналогично

Fi0](b) = 0 <=S> Fw(b) = О для всех i, таких что ft = 1.

Р

Определение. Пусть к > 1, 1 < р < оо, р == --, v(x) - весовая

функция такая, что |и|~р' локально суммируема на отрезке [а,Ь]. Обозначим АСр „(а,/3) множество всех (к — 1) раз дифференцируемых функций F : [a, b] R таких, что

1. F(k~l)(x) абсолютно непрерывна;

2- ИЛ^ол-еИН«»;

3. FW(a) = FW(b) = 0.

Рассмотрим краевую задачу на конечном отрезке [а, 6]

х) = О, F(a)( а) = F^(b) -= 0. (2)

Известно, что при |а| + \Р\ < к — 1 эта задача всегда имеет нетривиальное решение. Следовательно, если количество нулевых граничных условий на функцию F(x) меньше порядка неравенства к, то выражение ||-Цдс* ^ не является нормой п этом пространстве и неравенство (1) не может быть выполнено для всех функций из класса ACjjv(a, /3).

Если количество нулевых условий на границе больше либо равно 2к — 1, т.е. |а| + |/?| > — 1, то задача (2) всегда имеет только тривиальное решение. В этом случае прир > 1 функционал ¡¡-||лс.1 ^ является нормой в ACp V(a,0). Кроме того, отметим, что любую функцию из AC^t/(a,0) при |а| 4-1/3| = 2к можно приблизить по этой норме функциями из С™ (а, Ь) и, таким образом превратить АС* в полное нормированное пространство.

Для того, чтобы при к < |а| |/3| <2к у задачи (2) было только тривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы мультииндексы а и ¡3 удовлетворяли условию Полиа

п п

S aj + S Pi > ni Для всех n = 0,1,... ,k — 1 (3)

j=0 i=o

Предположим, что |a| ■+ \p\ = к и пара а, ¡3 удовлетворяет условию Полна (3). Пусть f(x) - произвольная локально суммируемая функция, тогда краевая задача

г) = /(ж), F<o)(a) = = 0.

имеет единственное решение, которое можно представить в виде *■(*) = f*G(x,t)f(t)dt=: G(f)(x).

Следовательно, неравенству Харди порядка к на классе ACp V(a,ß) можно взаимно однозначно поставить в соответствие интегральное неравенство вида

\\nG(f)\\q<C\\fv\\p (4)

в лебеговских пространствах.

Если к < |с*| + \ß\ < 2к и выполнено (3), то для эквивалентности неравенства (1) на всем массе AC£v(a,ß) неравенству (4), к последнему необходимо добавить ряд интегральных условий на функцию /, т.е. неравенство (4) в этом случае сужается со всего лебеговского пространства на некоторое его подпространство.

К настоящему времени случаи к = 1 и fc > 2, |or| + \ß\ = к на конечном промежутке исследованы полностью. Обзор этих, а также других известных результатов дан в параграфах 1.2-1.4.

Смысл констант, которые используются в работе поясняет следующая

Теорема (Степанов). Необходимыми и достаточными условиями для выполнения неравенства (1) на интервале (а, в) являются:

1. А/с < оо, если F(a) = F'(a) - ...= = 0, причем С » Ак,

М = Ajt;(a,b),«,« = max(Afc,o, АкЛ)

при 1 < р < q <оо

Akß = 0sup - ty^\u(x)\<> |«ГР')1/Р ,

Лм = дир К)-(/a'(i - dxyP ,

1 1 1

при 1 < q < p <öo и - =---

r q p

-«^N»)!'^)^^ HVP ИОГ'л)1 .

= (/ab(il|«li)r/P(/at(<-^'(i-1)NWrp,^)r/P KOI'di)17 ,

2. Вк < оо, если F(b) = F'{b) =-- ...= F<k-V(b) = 0, причем С ^ Вк.

Вк = Bki(a,biu,v = max(Bfc)o, Bk,i)

при 1 < р < q <00

Вк,о = asup (j*(t - хУ^П*)? dx)ik ЦЬ |«ГР')1Л> ,

Bh = Ж (/a' l"|i)l/' [ft{X ~ ,

1 1 1

при 1 < q < p <00 и - —---

r g p

Во второй главе сначала дается обобщение критериев В.Д. Степанова, А. Куфнера и Г. Хайнига, когда количество граничных условий на бесконечности сокращается до одного.

Теорема 1. Пусть —00 < а < со. Необходимым и достаточным условием того, что неравенство (1) с граничным условием F(00) = 0 выполнено на интервале («, оо) , является 5£;(а,оо),и,и < оо, причем С « Д^а.оо),«,«-

Теорема 2. Пусть 1 <т < к — 1, т - целое число, —00 < а < оо. Для того, чтобы неравенство (1) выполнялось на интервале (а,оо) с граничными условиями

F(a) = F'(a) = ... = F^^a) = F(m)( 00) = О, 11

необходимо и достаточно, чтобы Anfi-mMa.oo),«,» < оо, причем с W Ат(к—т);(а,оо),и,и• Величину Am(/b_m);(aiOÜ) „,„ находим, по формулам

An(i-m);(a,oo),u,v ~ П1ах( А'т 0, А'т1)

при 1 < р < q < 00

1 1 1

при 1<д<Р<со, - =---

г q р

X У*(х - a^-^lvix)^dxj/q (t - a^-^lvit)]-"' dtj ' ,

Остальная часть второй главы посвящена систематическому исследованию всех вариантов нулевых граничных условий для случая к = 2. Приведем формулировки ключевых теорем, которые доказаны в параграфе 2.2.

Теорема 3. Пусть 1 < p,q < 00. Оценки наилучшей константы С > О в неравенстве

||F«||, < С ||F"i;||p, F(0) = F'(0) = F'(oo) = О

имеет вид

С Ю 0<т^ (А2;(0,7-),«,г + Dt + ^l;(r,oo),u,(i-r;->v(i) + -Bl,(T,co),(x-r]u(xj,v) 1 (5)

где величина DT а правой части (5) определена следующим образом

Теорема 4. Пусть для произвольного Л > 0 величина т G (О, Л) определяется из равенства

/>г'=/>г*-

В неравенстве

'HFull, < С ||F"»||p, F(0) = F'(0) = F(oo) = О при 1 < р, q < оо оценка наилучшей константы С имеет вид

С « л2;(0,oo),«,D + sup (^1;(тЛ),и,(«-г)-,»(х) + £l;(r,A),(x-r)u(:r),«) . (6)

Далее показано, что аналогичный критерий имеет место и для максимально переопределенного неравенства на полуоси.

Теорема 5. Наилучшая константа С в неравенстве

И^^ < С \\F"v\\P, *'(0) = F'(0) = F{сх>) = F'(oo) = 0. (7) оценивается по формуле (6).

В третьем параграфе главы 2 рассматривается максимально переопределенное неравенство на конечном промежутке. Первая теорема дает достаточное условие.

Теорема 6. Если при 1 < p,q < оо величина

■^1,1,0,(7,4) + 0,1,(а,А) + + ^l;(A,<r),(i7-x)u(x),v+

Bl;[\a),u,{a-x)-h(x) + Au,0,(«,r) + ££,0,1, (A, Ь)) (8)

ограничена, то неравенство

\\Fu\\q<C\\F"v\\p выполнено для всех функций F 6 удовлетворяющих условиям

F(a) = F'(а) = F(b) = F'(b) = 0, причем С < £. Величины D в (8) определены следующим образом: Dr,о,1,(а,А) - (/ТА М')1/? (/> - xr'\v(X)r' dx)w ;

DXX0,M = (/> - А)Ч«(*)|' dx)Xk ЦА ; = (/Дл - ¿r)1/? (/А6 ;

^;од,(л,Ь) = (I/ I«!*)1'' (/> - dx)W ;

Теорема 7. Пусть р = g = 2. Обозначим

dfi(x) - \v(x)\-2dx-, fi(a,b) = [hdfi(y); u>(a:) = Ля - y)d/i{y);

Ja Ja

du t(x) = |w(x)|2<i/x(a:) ^(a, 6) = £ dfx^y).

Предположим, что

1. Л 6 (a,è) находится из условия w(A) = 0.

2. т, а выбраны так, что

а<г<Л<а<Ь, ц(а,т) = р(г,Л) и /х(А,с) = /í(a,í>).

S. существеут 5 6 (0,1) такое, что

¡i(a, А) >6ц(а,Ь), ^i(r,A) >6fn(a,b), fii{X,(r) >6fii(a,b),

Тогда если неравенство

||F,)|2<cm|F"4I2 .

выполнено для всех функций F <= AC\V, удовлетворяющих условиям

F(a) = F'(а) = F{b) = F\b) = О,

то имеет место оценка С >i, где £ определено по формуле (8).

Случаю неравенства Харди порядка к > 2 на полуоси посвящена третья глава диссертации. В ней обобщены результаты главы 2, приведенные в Теоремах 3, 4, 5, что позволило дать критерий для максимально переопределенного неравенства произвольного порядка.

Теорема 8. Оценка наилучшей константы С > 0 в неравенстве

\\Fu\\q<C\\F^v\\p,

F(0) = F'( 0) = ... = Flb-Vfl) = F(k-V(aо) = 0

при произвольном k > 2 и при 1 < р, q < оо имеет вид

С ~ 0<1п|ю (Ak.MiUtV + DTik-2,i + DTfilk-i+

где

Drj-2,1 = - dx)l'q (JQT(r - dx)W ;

Ъм-i = (f K)V? (//(г - dx)W ;

Теорема 9. Пусть 1 < р, q < оо и т б (О, Л) определяется из равенства

¿гМ-' = />Г'.

Тогда оценка наилучшей константы С в неравенстве

WFu\\t<C\\Fi%\\p

с условием

F( 0) = F'(0) = ... = F^-^O) = F(oo) = 0 при произвольном к > 2 на (0, оо) имеет вид

+ sup (Л1;(7.1Л)1(1_г)»-2и(1) (а._г)-1,,(1) н- Si;(r,A),(i:-r)*->u(i),«) • (9)

Заключительная теорема дает критерий для максимально переопределенного неравенства высокого порядка на полуоси.

Теорема 10. Пусть 1 < р, q < оо. Тогда, оценка наилучшей константы С > Об неравенстве

IIFull^ClFW^ с полным набором нулевых граничных условий

F(0) = F'(0) = ... = F{k~l)(0) = F(oo) = ... = F[k~l)(oо) - 0 при произвольном k > 2 на (0,оэ) имеет вид (9).

Работы автора по теме диссертации

[1] Nasyrova М., Stepanov V., On weighted Hardy inequalities on semiaxis for functions vanishing at the endpoints, J. of Inequal.& Appl., 1 (1997), 223-238 .

[2] Насырова М.Г., Весовые неравенства типа Харди на полуоси для функций, исчезающих на границах, Тезисы докладов 1-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию, Владивосток, 1997, с.43.

[3] Насырова М.Г., Весовые неравенства типа Харди на полуоси для функций, исчезающих на границах, Препринт N 16 ВЦ ДВО РАН, Хабаровск, 1997, с. 1-40.

[4] Насырова. М.Г., Весовые неравенства типа Харди на полуоси для переопределенных функций, Тезисы докладов, часть I. IH-й Сибирский конгресс ИНПРИМ-98, Новосибирск, 1998, с.86.

[5] Nasyrova M.G., Overdetermined weighted Hardy inequalities on scmiaxis, Proceedings of Dehli Conference (принято в печать).