Наилучшие постоянные в весовых неравенствах Харди и оценка числа отрицательных собственных значений оператора Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ГОСКОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕШШИ ГОСУДАРСТВЕННШ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

1!аиакоз Виктор Михайлович

1ШМУЧЖЕ ПОСТОЯННЫЕ В ВЕСОВЫХ НЕРАВЕНСТВАХ ХАРДИ И ОШШ ЧПОЛА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ ОПЕРАТОРА ШРЕДШ1ГЕРЛ

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени' кандидата физико-математических наук

Воронеж 1992

Работа выполнена на кафедрз высшей цатеиатики Хабаровского политехнического института

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В. Д. Степанов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор М. Л. Гольшан - доктор физико-математических наук, доцент М. 3. Борколайко

'Ведущая организация - Математический институт ии. Б.А.Стеклова

Российской Академии наук

Защита состоится " 23 " ирня "1992 года в 13 часов на заседа-. пни специализированного совета К 063.48.09 при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан - /4 - .Мал " 1992 года

Ученый секретарь специализированного совета •

В. Г. Задорожный

-з-

ОБИАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Задача о нахождении наилучших постоянных в весовых неравенствах Хзрди хсрсао известна и является вамой ка:< с точки зречия теории операторов, так и в силу различных приложения к вопросам спектральной теории. Для степенных весовых функций она решена в классических работах Г. Г.Харди, Э.Ландау, Г.Блисса, а для произвольных весов и равных показателей - 5. Макенхоуптом. Приложения к вопросам, спектральной теории, основанные на применении неравенств Харда, рассматривались в работах 0. А. Олейник, Ю.В.Егорова и В.А.Кондратьева л их учеников.

Цель работы состоит з нахождении наилучцих постоянных з весовых неравенствах Харди для произвольных весовых функций и различных показателей и применении полученных результатов к оценке числа отрицательных собственных значений оператора Шредингера.

Методика исследования. Основными методами ".-¡следования является теоретические методы теории функций, математического анализа и классического аппарата вариационного исчисления.

Научная новизна и практическая ценность. 1) Доказано, что константа Г. Блисса в весовом неравенстве Харди остается наилучшей я в случае произвольных весовых функций. 2) Вариационными методами найдены наилучшие константы в весовых неравенства:.' типа Харди для оператс; ов Римана-Лиувилля со степенными весовыми функция;« при различных показателях суммирования. 3) Получены ковыэ оценки числа отрицательных собственных значений оператора Ёредингера, в том числе в одномерном-случае для опера! ров высокого порядка,

Аппробация работы. Все результаты работы докладывались на семинарах Хабаровского политехнического института и Института

приклгдной математики iBO РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [18-20].

Стуктура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, каждая из которых разбита на четыре параграфа, и спис ка литературы, содержащего 40 наименования. Обьем диссертации -. 111 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе изучается задача о наименьшей постоянной в в совых неравенствах Харди с произвольными весовыми функциями в разными показателями суммирования, а также аналогичная задача дл. более обоих операторов Римана-Лиувилля в случае степенных весов. Классическим неравенством Харди обычно называет неравенство Г ®| Х |Р Ч^Р С °>| |Р 11/Р

№С1Жг* Ч НРо1Г(х)М •

или более общее неравенство

в

где 1<р<я<а), г'= -3- - 1, постоянные Ср и Срд'не зависят о' ГСх). В 1920 г. Г.Харди в работе [1] доказал неравенство (1), а I 1926 г. Э. Ланда) С13], Теор.327)

1926 г. Э.Ландау нашел наименьшее значение постоянной Ср С21,

' СР " Й- •

В 1930 г. Г. Блисс [43 установил справедливость неравенства (2)

при 1 < р ( ч < и и кашел наименьшее значение Ср^ в виде

Спп = гг/ЧСс1-г-1)-С1+г)/ЧГ_-ГСд/г)-1Г/Ч 0

рч • Ь ГСШ/гЭГССд-П/г-!)-1

Двухвесовым неравенством Харди часто называют следующее обобщение неравенства (2)

(fbjuCx)TfCx)|4dx]1/4 < Cpq[jbjvCx)fCx3 jPdx]1/P, С5)

х

где Tf(x) = J fCLJdt, - ra£a<b¿oo, l<p,q<M и постоянная C^ не зависит от fCx).

При l<p=q<m Г. Таленти С51, Г. Томазелли [6], Б.Макенхоупт С73,

а при l<p<q<co Дя. Брэдли 18], В.Г.Мазья и А. Л.Роэин [93, ШО],

Теор. 1.3.1/2), В.М.Кокилашвили [11] показали, что неравенство (5)

имеет место для таких и только таких весовых функций uCx), vCx),

для которых выполнено условие

, Ь, ,q ,1/q-x, .-р' -Л/р'

А1 =afx?bíJxlUC° I ^ &аМ d*l <<П' (B)

где 1/p'+l/p=l, т.е. p'=p/(p-l), причем для наименьшего значения Cpq доказана двухсторонняя оценка

' Aj <'Cpq < a^p.qUy (7)

где cijCp.q) зависит лишь от р и q.

Условие (6) обычно называют условием Макенхоупта, а для верхней оценки в С7) на протяжении последних лет разными авторами прелагались все более совершенные варианты. Так, например, в С10] показано, что

Cpq " 4U4Wlyp\. С83

В [12],Г13], модифицируя рассуждения Макенхоупта [71, удалось получить неравенство

Cpq < Cl+p'/qJ^'d+q/p')1^. (9)

Ниге мы устанавливаем неулучшаемуп (наименьшую) верхнюю оценку в (7).

Теоррма 1. Пусть a^Cp.q) определяется формулами

c^(p,q) = q^^Cq'j^P'npH l<p=q<co,

Г ГГО 11/s • С1С

ajCp.q) = —--— при l<p<q<oo,

1 L PCl+s/qjrCs/q ) J

где l/s=l/p-l/q. Тогда верхняя оценка в (7) с a^Cp.q) вида СЮ) является точной на всем классе весовых функций uCx), v(x), удовлетворяющих критерию Макенхоупта С6). Более того, для каждого вес vCx) и постоянной 0 < Aj < со найдется такой вес и(х), что наимень пая постоянная в С5) определяется равенством

Cpq =а1Ср'Ч)А1' Ш

>в частности, таким является вес uCx), заданный уравнением

г н г X -г,' ■»~Ч/Р'-11/Ч |и(х) | = А, - -Mj |v(t) | Р dU I . (12

L dx а J ■>

Аналогично, для каждого веса и(х) и постоянной О < А^ < со найдете такой вес v' ), что наименьшая постоянная Ср^ в (5) определяется равенством (11), в частности, таким является вес v(x), заданный уравнением

|v(x)| = А^1 [-^-[jbluCLD l^dt] P /qj"1/p. (13

Замечание 1. Многими авторам в связи с неравенство; (S) рассматривалась следующая задача. Задан один из весов и(х) ил: v(x). Требуется подобрать второй вес так, чтобы выполнялось нера

венство (5). При дополнительных предположениях

b

f |v(t)| Р dt = со (14:

а Ь

J |u(t.) |qdl = со, (15:

а

решение, совпадающее, с точностью до переобозначений, с (12)-(13) было найдено в [14],[15]. Отметим, что общее решение достаточно ,:росто получается из критерия Макенхоупта (6). Обозначив

-7, Ь _ -.l/q, х -Л/р' р(х) = [j ¡u(t) l^dtj [J |v(t) I P dtj (16)

X el

и выражая u(x) через vCx), v(x) через uCx), получаем

|UCX)|= {_ä_ [pqcx)[jX|vCO|-P'dt]"q/P']}1/q .

dx L L a

Ь

. J |v(t)I P dt < ш => p(b-O) = O,

flvcx), - {-^[^'cx)(jVct)|^]'PV4]}-1/P' b

С17)

C18)

f |u(t) l^dt < ra => (c<a+0) = 0. a

Если интеграл (14) равен бесконечности, то уравнение (12) является

частным случаем уравнения (17) при р(х) = const = Aj, а если интеграл (14) конечен, то при

Г , х b iC/p'-il/q

р(х) = Aj [l-[j |v(t)| P dt/f |v(t)| P dt J J .

Аналогично, если интеграл (IS) равен бесконечности, то уравнение (13) является частным случаем уравнения (18) при р(х) = const= А,,

а если интеграл (15) конечен, то при

г ,-Ь _ b _ ..p'/q-il/p' р(х) = Ajjl-fj |u(t)|4dt /f |u(t)|qdtj J .

Замечание 2. Утверждение аналогичное теореме 1, имеет место для двойственного оператора Tf(x) = J f(t)dt, а также для

х х

общего оператора интегрирования Tf(x) = J f(t)dt, где xn б [а,Ы.

хо

Неравенства вида (5), где Tf(x)- интегральный оператор более общего вида, чем операторы интегрирования, часто называют неравенствами типа Харди. Пусть Tf(x)- оператор свертки

Tf(x) = Д(х-Jf(t)dt (19)

а

с неотрицательным ядром К(х).

В случае неубывающих К(х), удовлетворяющих Ag - условии, кри-

герий выполнения неравенства (5) для оператора (19) получен В. Д. Степановым С16] и имеет вид

(20)

• Ак(2= &иоь[/(КС1-х))ч|иС1)|С1с11]1/Ч[/Х|у(1)ГР'с11]1/Р< 00,

причем для наименьшей постоянной установлено существование двухстороннего неравенства

Ак " СрЧ " акСР'Ч)Ак' С21)

где Ак = иах<А)С, 1 '• Ак,

В работе дается ряд оценок, уточнявших значение а^Ср.я) в

С21).

Для интегралов Римана-Лиувилля на (0,ш)

1^Сх) = -А— /(хЧ^ГСОсП. к ГС к) о

и степенных весовых функций точное значение наименьшей постоянной

Срс} в С5) известно при 1<р = я<оо (13), Теор. 329).

Следующее утверждение дает точное значение Ср^ при 1<р<я<ю.

Теорема 2. Пусть Са,Ь) = СО,со), 1<р<д<ю, г = <\/р-1, 1<к<со,

иСх)= ха, уСх)= х^, а= -Ск-1 + к/г)/ч\ (3= С1-к/г)/р'. Тогда

наименьшее значение С„ в С5) при ТГСх) = 1|,Г(х) определяется РЧ К

формулой

С = Г ГСкд/г) ' 1дГ ГСк/г) ]аЯг^[ГТкСд-1)/г-к1'|Н1"

Замечание 3. Результат, аналогичный теореме 2; имеет место для интегралов Вейля на СО,го)

•М~сх) = /о.-хз^гаж, к ГС к) х

а также для более общих операторов дробного интегрирования

ТКх) = -5—/(х-^^ГШсЛ, ГШ Хд

где х0 6 [0,со].

Неравенства вида

[ЛиСх)уСх) |^х]1/Ч< Срд[ЛуСх) (£2)

где к>0 - целое число, рассматриваемые на пространствах дифференцируемых функций таких, что у(а)=у'Са)=... =у'1с"1 'Са)=0, также называет весовыми неравенствами Харди с производными высших порядков.

Полные аналоги теорем 1 и 2 справедливы для неравенств С22). Во второй главе рассмотрены приложения неравенства С22) к получение оценок числа отрицательных собственных значений оператора Шредингера.

Пусть Н - самосопряженный оператор в {5п, порожденнный дифференциальным выражением

Н = Щ^Шг) -К*). 1=1 1 1

- область определения оператора Н, НСН> - число отрицательных собственных значений.

Ю.В.Егоровым и В.А.Кондратьевым в работе С17] был предложен способ получения оценок Ю), основанный на том, что при 11Сх) = 1, УСх) > О

СНу,у) >0 V У б => ЯСН) < N.. (23)

"о

где - множество всех у е С®(КП), равных нули при |х| = г^,

|х| = г2..... |х| = гм .

Далее будем считать, что УСх) £ 0, УСх) ^ О и область опреде-

ления оператора Н такова, что (23) выполнено, если - ыножество

"о

всех у е С^([?п) л 0Н , равных нули при |х| = г^, |х| = г2, . |х | -

Обозначим г = |х|, ? = х/|х|, 8 - единичная сфера в и",

где

Ai,(P.q.fi(r,?),fp(r,?)) = min sup max<A|; A7>, i 1 c o5ro<00 feS 1 1

A| = sup Г/ЮГ?(1,?)ы1 Ч(/ r;P'(t,?)dLl 1 r0<j-<ral- г ro '

Теорема 3. Если

A£[2,2,(V(r,¡;)rn~1)1/2, (UCr,f)rn_1)1/2j * 1/2. то N(H) <1.

Теорема 4. .Пусть найдутся uCx)£0H2<q<to такие, что

A5f(2,q,u(r,;),(UCr,í)rn~1)1/2) <

, ю s«/2 (n-l)s,/2 "Si -»2/s*

I„ = supfr V (r,?)r 1 u (r ,*)dr| 1 < ю, q ?e§Lo J

где 1/Sj = 1/2 - 1/q. Пусть Bq = Iq(a1(2,q)A*)2. Тогда

1) Bq < 1 => NCH) < 1.

Если VCx) = VC|x|) и uCx) = u(|x|), то

2) Bq > 1 => N(H) < 1 + B^1 .

Теорема 5. Пусть найдутся v(x) i 0 и 1 < p < 2 такие, что

A^[p.2,(V(r,?)rn_1)1/2. v(r,?)} < oo,

, со -So/2 -(n-l)s->/2 So >2/So In = supÍJ* U ¿ (r,?)r ¿ v (r,?)dr| ¿ < oo, (25)

v feS1- o J

(24)

где l/s2 = 1/р - 1 /2. Пусть Вр = IpCc^Cp^A*)2. Тогда

1) Вр < 1 => NCH) 5 1.

Если UCx) = UC|x|) и vCx) = vC|x|), то

So/2

2) Вр > 1 => NCH) < 1 + Bpd .

Теорема 6. Пусть н Лдутся иСх) > 0, vCx) Z О, 1< р< 2< q<co такие, что выполнены условия С24), С25) и

A*(p.q,u(r,f),VCr,?)) < со.

Пусть Bpq = IpIq(o1(p,q)A^2. Тогда

1) Bpq < 1 => NCH) < 1.

Если UCx) = UC |x|) и vCx) = vC|x|), то

2) Bpq > 1 => NCH) < 1 + ВНЕСЛИ VCx) = VC |x|) и uCx) = uC |x|), то

3) Bpq > 1 => NCH) < 1 ♦ Bp^.

Если UCx) = UC |x|), VCx) = VC |x|), uCx) = uC|x|), vCx) = vC|x|),

TO

minis,,s?)/2

4) Bpq > 1 => NCH) < 1 ♦ Bpq . 1 2 .

Замечание 4. Утверждения, аналогичные теоремам 3-S справедливы для самосопряженного оператора Штурма-Лиувилля, порок-

денного дифференциальным выражением

к к Н = (-1}к ЦгГиСх) £Ц1 - VCx) dx dxkJ

ЛИТЕРАТУРА

1. Hardy G.H. Note on a theorem of Hilbert//Math.Z. 1920. V.6. P. 314-317.

-122. Landau E. A note on a theorem concerning series of positive terms//J. London Math. Soc.1926. V. 1. P. 38-39.

3. Харди Г., Литтлвуд Д. , Полна Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

4. Bliss G.A. An integral inequality//J/London Math.Soc. 1930.V.5. P. 40-46.

5. Talenti 6. Osservazione sopra una Classe di Diseguaglianze// Rend. Sem. Kit. Fis. Milano. 1939. V. 39. P. 171-183.

6. Tomaselli 6. A class of inequalities//Boll. Un. Mat. Ital. 1969. V.2C4), il 6. P. 622-631.

7. Muckenhoupt B. Hardy's inequalities with veights//Studia Math. 1972. V. 44. N 1. P. 31-38.

8. Bradley J.S. Hardy inequalities with mixed norms//Canad. Math. Bull. 1978.V.21, N 1. ..405-408.

9. Mizja W.G. Einbettungssätze für Sobolewsche Räume. I.Leipzig: Teubner, 1979.

10. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. - JI.: ЛГУ, 1985.

И. Кокилашвили В.М. О неравенствах Харди в весовых пространствах// Сообщ. АН Груз. ССР. 1979. Т. 96, N1. С. 37-40.

12. Батуев Э.Н., Степанов В. Д. О весовых неравенствах Харди//Сиб. мат. журн. 1989.Т.30, N 1. С. 13-22.

13. Opic В., Kufner A. Hardy-type inequalities. Longman-Pitman, Harlow, 1990.

14. Kufner A., Triebel H. Generalizations of Hardy's inequality// Conf. Sem. Math. Univ. Bari. 1978. V. 156. P. 1-21.

15. Gurka P. Generalizations of Hardy's inequallty//Ci!s. PSst. Mat. 1984. V: 109, N2. P. 194-203.

-1316. Степанов В.Д. Об ограниченности и компактности одного класса • интегральных операторов//Докл. АН СССР. 1990. Т. 312, N 3. С. 468-470.

17. Егоров D. В., Кондратьев В.А. Об оценке числа точек отрицательного спектра оператора Иредингера//Мат. сб. 1987. T. 134С176),

N 4С12). С. 556-570.

. Работы автора по теме диссертации

18. Манаков В. М. Об оценках числа точек отрицательной части спектра оператора Шредингера. Препринт. 41 с. Владивосток: ИПМ ДВО АН СССР, 1989.

19. Манаков В.М. Об оценке числа отрицательных собственных значений оператора Иредингера при помоэд весовых неравенств Харди// Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, НИ. С. 1978-1982.

20. Manakov V.M. On tho best constant in weighted inequalities for Riemann-Liouville integrals//Bull.London Math.Soc. 1992.V.24.

Подписано к печати 6.05 -92 Формат 60x84/16 Печать офсетная.Усл.п.л.О,81.Уч.-изд.л.О,68. Тираж 100 зкз. Закиз ?2

Сотофсетнал лаборатория Хабаровского политехнического института. 680035, Хабаровск, ул.Тихоокеанская, 136