Квазиэллиптические уравнения. Асимптотика решений. Спектральные свойства. Разрешимость краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ч ' -

с л

*Г;1\10СК0ВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ^ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.956.22, 517.956.4

ГУСЕЙНОВ Рауф Вели оглы

КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА. РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.

(01.01.02- дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1997

Работа выполнена в Институте математики и механики АН Азербайджана.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Л.Р. Волевич, доктор физико-математических наук, профессор В.А. Кондратьев, доктор физико-математических наук, профессор C.B. Успенский.

Ведущая организация: Московский физико-технический

институт

Защита диссертации состоится " ^ " 1997 г. в

16 ч. 15 минут на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14-й этаж)

Автореферат разослан " ^ " М&р^С. 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ,

профессор Т.П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена качественному исследованию решений краевых задач для квазиэллиптических уравнений. Класс квазиэллиптических уравнений содержит как параболические так и эллиптические уравнения. Исследования последних лет (например, работы С. Агмона, А. Дуглиса, Л. Ниренберга, М. Шехтера, Я. Б. Лопатинского и другие) привели теорию эллиптических систем и уравнений к законченному виду. В этих работах установлены теоремы о нормальной разрешимости краевых задач общего вида, теоремы о гладкости решений в гладкой области при гладких коэффициентах и правых частях уравнения и граничных операторов. Решена полностью проблема индекса. То же относится к теории параболических уравнений и систем таких уравнений. Разные вопросы теории квазиэллиптических уравнений разрабатывались в работах С. Агмона и Л. Ниренберга, Л. Р. Волевича, С. В. Успенского и других. Хотя в теории квазиэллиптических уравнений методы эллиптической теории очень полезны и приводят к ряду результатов, теория квазиэллиптических уравнений имеет свою специфику. По видимому нельзя считать, что теория таких уравнений в настоящее время изучена исчерпывающим образом. Так даже постановка общей краевой задачи должна учитывать наличие характеристических точек на границе области. В теории квазиэллиптических уравнений большую роль играют теоремы вложения типа Соболева для анизотропных пространств. Теория таких пространств в настоящее время глубоко исследо-

вана (см. например монографию О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [1]). Однако она не имела пока широких применений.

В настоящей работе рассматриваются общие краевые задачи для квазиэллиптических уравнений на гладких многообразиях, как конечных так и бесконечных. Изучаются вопросы гладкости решения внутри области и вплоть до её границы. Рассматриваются асимптотические свойства решений в неограниченных областях. Исследуется спектр операторов, порожденных квазиэллиптическими дифференциальными выражениями. Большое внимание уделяется неравенствам типа Харди в анизотропных пространствах, которые играют важную роль в теории квазиэллиптических уравнений.

Квазиэллиптическим в области fi Cln называется уравнение

Lu = aa(x)Vau = f,

если £(а,Л)=1аа(х)(г£)а ф 0 для V£ е М" \ {0}, х G П, f = (6,-Ха = (®;v..,a:°n), а = («1,..., а„), Л = (Ль ..., Л„) фиксированный вектор, а,- ^ 0, Л^1 > 0 (г = 1,..., п.) — целые числа, (а,Л) = Е5Ч-А,-, V" =2?«» V«• = Щг (» = 1.....п),

аа(ж) и f(x) определенные в области Q функции. Уравнение

Lu= Y, Vaaa0{x)Vl3u+ aa(x)Vau = /

(а,А)=1,(/?,Л)=1 (а,Л)<1

называется сильно квазиэллиптическим, если

> С ^ (с = const > 0)

(а,А)=1,(/3,А)=1 (а,А)=1

при всех вещественных /} = (/?i,..., /?п), ft ^ 0 — целые.

[1] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука. 1975.

В монографии Л. Хёрмандера [2] также рассматриваются квазиэллиптические уравнения.

Первыми работами, в которых введено понятие квазиэллиптического уравнения являются работы Л. Р. Волевича [3], [4]. В работах Л. Р. Волевича выводятся априорные оценки для решений квазиэллиптических систем внутри области. Из этих оценок получаются теоремы о бесконечной дифференцируемости решений квазиэллиптических систем и о принадлежности решений к классам Жевре.

В монографии Ж.-Л. Лионса и Э. Мадженеса [5] отмечена целесообразность систематического изучения граничных задач для квазиэллиптических уравнений.

В 1960-х и в начале 1970-х годов в работах Г. Джусти, Л. Арке-рида, А. Кавалуччи, Г. Бароцци, Ч. Паренти, В. Пини, М. 'Груази и Т. Мацузава получены результаты о существовании, априорных оценках, гладкости решений, поведении решений на бесконечности.

Ряд результатов в этом направлении принадлежит В. П. Михайлову, С. В. Успенскому и другим.

В работе В. П. Михайлова [6] доказывается нормальная разрешимость первой краевой задачи. В кн. С. В. Успенского, Г. В. Де-

[2] Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир. 1965.

[3] Волевич Л. Р. Об одном классе гипоэллиптических систем. — ДАН ССР. 1960. Т. 134. № 6. С. 1275-1285.

[4] Волевич Л. Р. Локальные свойства решений квазиэллиптических систем. — Матем. сб. 1962. Т. 59 (дополн.). С. 3-52.

[5] Лионе Ж.-Л. и Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир. 1971.

[6] Михайлов В. II. Первая краевая задача для квазиэллиптических и квазипараболических уравнений. — Труды МИАН. 1967. Т. 91. С. 81-99.

миденко и В. Г. Перепелкина [7] приведены теоремы о корректной разрешимости краевых задач для квазиэллиптических уравнений с постоянными коэффициентами. Именно доказано, что краевая задача

при выполнении условия Лопатинского корректно разрешима в классах И^ (К+) Соболева, если правая часть ортогональна к некоторым полиномам.

Существенную роль в исследовании квазиэллиптических уравнений имеют неравенства типа Харди.

Классическое неравенство Харди

имеет место для абсолютно непрерывных на [0, сю) функций таких, что у(О) = 0.

Много обобщений этого неравенства имеются в [1], в работах В. А. Кондратьева и О. А. Олейник, М. III. Бирмана и М. 3. Со-ломяка, В. Опица и А. Куфнера, Г. Трибеля, В. Д. Степанова и

Неравенство Харди обобщено для случая функций многих переменных [8].

В работе Ю. С. Никольсокого [9] изучались теоремы вложения для весовых анизотропных пространств Соболева.

[7] Успенский С. В., Демиденко Г. В. и Перепелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука. 1984

[8] Бирман М. Ш., Соломяк М. 3. Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения в спектральной теории. — Десятая мат. школа. Инст. математики АН УССР. Киев. 1974.

[9] Никольский Ю. С. Интегральные оценки дифференцируемых функций из весовых анизотропных пространств на неограниченных областях. — Труды МИАН. 1988. Т. 181. С. 222-240.

1{Тх)и = ¡{х) а; ЕЖ"

В№х)и — 0, ; =

ДР-

Такие теоремы, хотя они не являются обобщениями неравенства Харди, могут быть рассмотрены как некоторые оценки типа неравенства Харди.

В диссертации обобщениям неравенства Харди для функций из анизотропных пространств Соболева в К" и в некоторых неограниченных областях посвящена целая глава (глава I). Они используются при исследовании различных задач для квазиэллиптических уравнений.

Во многих работах изучался вопрос о спектре эллиптических операторов (напр. В. А. Кондратьев и Ю. В. Егоров [10], М. Ш. Бирман и М. 3. Соломяк [8], М. Рид и Б. Саймон [11]). В диссертации с помощью анизотропных неравенств Харди доказываются теоремы об отрицательном спектре квазиэллиптических операторов (глава II).

В комплексном анализе и в теории уравнений с частными производными большую роль играет теорема Фрагмена — Лин-делёфа и её обобщения. Первое обобщение принципа Фрагмена — Линделёфа для решения эллиптической задачи Дирихле в цилиндре установил П. Д. Лаке [12]. Работа П. Д. Лакса вызвала большое число продолжений. Так в работе [13] С. Агмон и Л. Ниренберг рассматривали общие эллиптические (и квазиэллиптические) краевые задачи с постоянными коэффициентами. Случай переменных коэффициентов, стабилизирующихся на бес-

[10] Кондратьев В. А., Егоров Ю. В. Об отрицательном спектре эллиптических операторов. — Матем. сб. 1990. Т. 181. № 2. С.147-166.

[11] Рид М. и Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. М.: Мир. 1982.

[12] Лаке П. Д. Теорема Фрагмена — Линделёфа в гармоническом анализе и её применения к некоторым вопросам эллиптических уравнений. — «Математика» сб. пер. 1959. Т. 3. № 4. С. 107132.

[13] Agmon S. and Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space. — Communications on pure and applied mathematics. 1963. V. XVI. P.P. 121-239.

конечности к постоянным, изучался в работе [14] В. Г. Мазьи и Б. А. Пламеневского. Теоремы Фрагмена — Линделёфа для эллиптических уравнений изучались в работах О. А. Олейник и её учеников, Е. М. Ландиса и его учеников.

В настоящей работе доказываются теоремы типа Фрагмена — Линделёфа для решений различных квазиэллиптических задач (в цилиндрах и других неограниченных областях).

В теории эллиптических уравнений важное место занимает теорема о нормальной разрешимости. В диссертации такая теорема доказана для квазиэллиптических уравнений на компактном многообразии и в Мп, хотя принципиальных трудностей в этом случае не возникает (глава IV).

Выше уже было отмечено, что в теории квазиэллиптических задач многими математиками получены результаты о гладкости решений. Например, Г. Джусти [15] получил для решения уравнения

£ T>aactß{x)T>^v, — Y, Va (а, AK 1,(/3,А) <1 (а,АК1

оценки в классах Гельдера.

Л. Аркерид [16] установил оценки решений квазиэллиптических уравнений в Lp-нормах.

Утверждение о принадлежности классу Гельдера решений эллиптического уравнения второго порядка есть классическая теорема де Джорджи [17].

[14] Мазья В. Г. и Пламеневский Б. А. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. — Изв. АН СССР. 1972. Т. 36. С. 1080-1133.

[15] Джусти Г. Equazioni quasi-ellitiche е spazi I е II. — Ann. Mat. pura appl. 1967. Ser. 4. 75. P.P. 313-354. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. 1967. 21. P.P. 353-372.

[16] Arkeryd L. On Lp estimates for quasi-elliptic boundary problems. — Math. Scand. 1969. 24. № 1. P.P. 141-144.

[17] де Джорджи Э. О дифференцируемости и аналитичности экстремалей кратных регулярных интегралов. — «Математика» сб, пер. 1960. Т. 4. № б. С. 23-38.

Для эллиптических уравнений порядка 2m И. Нечас [18] доказал теорему о принадлежности решений классу Гельдера при 2m > n (п — размерность пространства).

В настоящей работе доказывается теорема о принадлежности решения квазиэллиптического уравнения классу Гельдера внутри области и при нулевых краевых условиях Дирихле вплоть до границы. Это есть обобщение теоремы И. Нечаса. Кроме того, доказывается гладкость решений для общей краевой задачи при соответствующей гладкости правых частей уравнения и граничных операторов (глава IV).

Цель работы. Исследование асимптотических свойств решений в неограниченных областях, свойств гладкости и нормальной разрешимости квазиэллиптических краевых задач. Изучение спектральных свойств квазиэллиптических операторов.

Методы исследования. В работе используются теоремы вложения в анизотропных пространствах Соболева, вариационный метод, методы классического функционального анализа. Доказываются и применяются для качественного исследования квазиэллиптических уравнений анизотропные обобщения неравенств Харди и Пуанкаре.

Научная новизна. 1. Доказаны неравенства типа Харди в анизотропных пространствах для областей типа параболоида, жёлоба, слоя и в М". Также доказана теорема, о неравенстве Харди для случая анизотропных пространств с производными нецелого порядка. 2. Получены теоремы о конечности отрицательного спектра квазиэллиптических операторов. 3. Установлены теоремы типа Фрагмена — Линделёфа для решений различных квазиэллиптических краевых задач (в цилиндрах и других неограниченных областях). 4. Доказана нормальная разрешимость

[18] Ñecas J. Sur la régularité des solution variationelles des equations elliptiques non-linéaires d'ordre 2к en deux dimensions. — Ann. Scuola Normale superiore di Pisa. 1967. V. 21. № 3. P.P. 427-452.

общей краевой задачи с граничными операторами, подчиняющимися условиям типа условий Лопатинского. Показана гладкость решений таких задач при соответствующей гладкости правых частей уравнения и граничных операторов. 5. Доказана теорема о принадлежности решения классу Гельдера внутри области и при нулевых краевых условиях Дирихле вплоть до границы.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Она может представить интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений с частными производными. Результаты диссертации могут быть использованы в функциональном анализе при исследовании спектра дифференциальных операторов и в теории функций действительного переменного при получении теорем вложений в различных областях, как ограниченных так и неограниченных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Четвертой конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям (Болгария, Руссе, 1989), на весенней математической школе, посвященной 85-летию Л. С. Понтря-гина (Воронеж, 1993), на конференции, посвященной 50-летию АН Азербайджана, на семинарах О. А. Олейник и А. С. Калашникова, В. А. Кондратьева и Е. М. Ландиса, В. А. Кондратьева и Ю. В. Егорова, В. А. Ильина, А. В. Бицадзе и Е. И. Моисеева (МГУ), С. М. Никольского и Л. Д. Кудрявцева, В .ЛЗ. Михайлова и А. К. Гущина (МИАН), на общеинститутском семинаре ИММ АН Азербайджана.

Публикации. Изложенные в диссертации результаты опубликованы в 13 работах без соавторов. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 88 наименований. Объем диссертации 287 машинописных страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан обзор работ многих авторов по теории квазиэллиптических уравнений, упомянуты некоторые работы по теории эллиптических уравнений, связанные с рассматриваемыми в диссертации вопросами. Изложено содержание диссертации по главам и параграфам.

Первая глава начинается с введения следующих обозначений и определений.

Пусть (pi,---,pn) набор целых чисел такой, что 0 < рп ^ Рп-i ^ "'' ^ Pi- Совокупность векторов (0,..., 0, pi, 0,..., 0) (г = 1,. .., п) будем обозначать Ш. Через Л обозначим вектор А =

(prV-.Pn1)-

Пусть ОТ— некоторое множество целочисленных векторов а = (аь ..., оп) таких, что (а, Л) = ^ г^ 1, а,- 0, <П D М.

Через 91' обозначим множество всех векторов ¡3 таких, что = 0 при всех a£9t.

Рогом типа (ст,1) называется всякая область Q С такая, что

1) П С = {х = (хи .. ., хп) е М", хп > 0}

2) если х £Q, то (ц^^ху,..., [i(Тпхп) 6 при всяком ц > 0.

3) Пересечение Г2 и каждой гиперплоскости х\ = const >0 — ограниченная в Mn_1 область, удовлетворяющая слабому условию I-рога [1].

Примеры.

Г f П~^ \ 1

1) il7ia. = < х : хп > а( ) >, а = const > 0 является

Рогом типа (ст, /) при о — (^..., щ), I - {h,...,ln-i)

2) О. = {х : |ж;| < Хп" , г = 1,..., п - 1 j, ст; > 0 тоже является Рогом типа (<т, I) при а = (crj,..., <тп) и при любых I.

В § 1 главы I доказывается неравенство Пуанкаре для функций из анизотропных пространств С. JI. Соболева.

В § 2 оно используется для получения анизотропных неравенств Харди, а также в последующих главах при исследовании решений краевых задач для квазиэллиптических уравнений.

§ 2 посвящен неравенствам типа Харди. Здесь основной является следующая теорема, с помощью которой доказываются неравенства Харди для различных неограниченных областей. (Нумерация теорем в автореферате показывает главу, параграф и номер теоремы в параграфе.)

Теорема 1.2.1. Пусть U есть Рог типа (а, 1), I = (pi,... ,pn-i) Y, $ xl^\Vau\p dx = J{u) < оо, p> 1, u[x) € !LpOC(f2),

а£!Л ft

числа 7(a) таковы, что

n

у(а)ап - = 7(0,..., Q,pn)on - ppnCfn

¿=1

при всех a €

Предполагается также, что

n . 1 \ О"

(«.■ + -) —+7(0,..., 01Рп)--и>п 5*0

f^i \ PJ°n

пи при каких a 6 91'. Тогда существует многочлен

V{x) = Y

/3691'

такой, что

E Va(u-V(x))fdx^cJ(u),

(o,A)^l ft где с = const от и не зависит.

Следующая теорема относится к функциям, определенным в области П7,а, области типа параболоида.

Теорема 1.2.2. Пусть и(х) € Ll°c(Q^>a), р> I и

J xl^\Vau\pdx < ос,

aGin

где

71-1

. . г—V (HiP^f

"Д°0 - --= т(0' • • • I 0, i>n) - РпР,

¿=1 р»

Р Р Р Рг fr{ Pi

ни при каких /3 € ЭТ'. Тогда существует многочлен

Р(х) = сахР (Sew

такой, что

£ J xl{a)\Va(u - V(x))\p dx cj(u),

где с = const от и не зависит.

Отметим, что нет возможности использовать методы теории изотропных пространств в доказательстве этих теорем. Доказательство этих теорем опирается на теоремы вложения анизотропных пространств.

Следующая теорема относится к функциям, определенным во всем пространстве.

Теорема 1.2.3. Пусть и(х) € Ц,0С(ЖП), р>1и

J (и) = £ J \Vau\pdx < оо, аеэт Ж"

n

*Л состоит только из таких а, что V* ^ = 1,

' А-'. В." '

ми при каких ¡3 G 91'. Существует полином

V{x) = ^

и(х) = "Р(х) + t»(x),

где г;(:т) такова, что

п

Е j(i>?K)

. \ ^ 1 ТО п ^ .'—1 '

Г^ 5т,.Л р.

Pi

(а,А)<1 К" г=1 ' с = const от и не зависит.

Теорема 1.2.2 содержала ограничения на значения 7(a), р, описанные неравенством (1). Такого же типа условия имелись и в теореме 1.2.3. В случае, когда эти неравенства нарушаются, оказываются справедливыми следующие утверждения.

Теорема 1.2.4. Пусть р > 1, Q. — такая же как и в теореме 1.2.2, и выполнены все условия теоремы 1.2.2 кроме (1). Тогда существует полипом

п*) = J2 cPx!i

ре<п'

такой, что справедливо неравенство

п—1

7(0,...,0,р„)-рпр+7

¡=1

X

(аЛК 1 «

X (1 + In2 xn)-2\V(u - V{x))\p dx < cj(u)+c J ] u\pdx.

~<xn<2, xeO.

Теорема 1.2.5. Пусть и{х) е ]Ц,ос(Мп), р > 1, и

а {и) = I \Т>аи\рНх < 00, абЭТ 8"

п

91 состоит только из таких а, что г* = 1. Тогда суще-

1=1 р'

ствует полином

Т{х) = £ с,®' /зет'

такой, что

Е / Е-," 0+1-3(Е«Н)

< <\7(и) + с | ]м|рйЬ. 1<гп<2,хеП1Д

В предыдущих теоремах 1Ьр-нормы функций оценивались через И,р-нормы её производных. Следующая теорема показывает возможность получения оценок Ц-нормы функций через Ьр-нормы её производных при ^ р.

Теорема 1.2.6. Пусть 7)аи 6 В-ДК") при всех а таких, что (о,А) = 1, «€01, иеь^с{ип),

Тогда

и(х) = ^ С0хР +" /0€>П'

где v(x) такова, что

2 р{ц) = £(|А| — р) — |А|, ас от и не зависит.

п

В теореме 1.2.6 было ограничение р < J2 7Г- При его нару-

¿=1 '

шение неравенство Харди тоже возможно в следующей формулировке.

Теорема 1.2.7. Пусть

1) J(u) Y, J \Vau\V d® < °о, р > 1, u € Lp С(®П);

(а,Л)=1,о63г IS"

1 n 1

2) - ^ — - 1 -f (/?, А) ф 0 пи при каких ¡3 G 01'.

1

¿=1Pl

Тогда

«= £ CaXa + a eat'

где v(x) такова, что

/г Ni г I -

(J К*)И !>?*) ^M'

VEn ' J

при любом q ^ р, где с — const от и, v, q не зависит.

Приведенные теоремы устанавливают неравенство Харди в областях типа параболоида (теоремы 1.2.2, 1.2.4) и в К" (теоремы 1.2.3, 1.2.5, 1.2.6, 1.2.7). Следующие теоремы показывают, что оно имеет место и еще в некоторых случаях (в областях типа "жёлоба" и "слоя").

Теорема 1.2.8. Пусть к

= : 4 > aXX2P'> *<»-!> (sfc+ii • • ■ ,®n-i) еГ

i-k~ 2

х{- , K^n-1, .. . ,xn_v; t IK

a = const >

I X] \Т>аи\рйх = Ли) < +оо,

Я ает,(а,А)=1

J \и\р ¿X < ОО,

РТ^Р'

пи при каких а € 91'. Тогда

и = Сая" + {/(ж),

а£<П'

где и (ж) такова, что

2

П 4 1 — 1 Теорема 1.2.9. Пусть

11= {х : 0 < хп <Т, (х1,..., хп-\) Е ®п-1|, 2 J¡Vau^pdx = J(u) < оо, р> 1,

(ал) = 1, п аеч

п~ 1 -I п— 1

Ь Ы Р'

если («1,..., а„_х) 6 то

и = саха + и(а;), оет'

71 — 1

, 71 — 1 Ч _Е.+ £

Е I 1 + Е) 2 ,=1 ^ ^

П ^ г=1 '

В предыдущей теореме существенны соотношения между р, п и Л. При их нарушении имеет место следующая теорема.

Теорема 1.2.10. Если

y(u) = J Y, \Vau\pdx < oo,

П аеЯ,(а,А)=1

то

и

(ж) = YLСаХа + v(x}'

а6<П

где i?(a;) такова, что

£ Л^К1+!>?")

(а,А)<1 П 4 ¿=1 '

1 = 1

dx <

<5 cj(u) + c J \u\pdx. sen, M<i

Приведем формулировку теоремы о неравенстве Харди для случал анизотропных пространств с производными нецелого порядка. Пусть s = (si,..., sn) — набор положительных чисел и к — наименьшее целое число такое, что st- < к, г — 1,..., п. Рассмотрим <р(х) £ Lj^IR71) такую, что

J = J(Ч>)<

К" ^1=1 '

где <р{т) — преобразование Фурье функции <р{х). Теорема 1.3.11. Если

1 i—i s' ¿=1 s'

ни при каких а, /3 таких, что 0 ^ oti < к, 0 ^ fa < к, i — 1,..., п

целые, то

v(x) - ^2сах0 + Ух (ж>,

где сулшировапие ведется по таким а, что

п " 1

a <fi(x) такова, что

Ж" '

Преобразование Фурье в этой теореме понимается по определению в теории обобщенных функций.

В § 4 первой главы показывается, что хотя в теореме 1.2.1 рассмотрены степенные веса, класс весов можно обобщить. Например, если выполнены все условия теоремы 1.2.1, то при 5(0) < 0, где

S(0) =p£,U + -)- + 7(0, • • -, о, Рп) - РРп,

г=1 ^ Р' <Тп

п-1 п-1

О? У Zi- 7(0)+ У Я-

-1 С /JA "п Г. ^ "п

z 1 I a(t) t'=i dt < ex

X

i=i

j a{xn)\u-V{x)\pdx <cj{u), (2)

п

а при 5(0) > 0

! ? "¿'^ -W^Ek

х-1 J cr(i) dt <сх 1 о

выполнено также неравенство (2).

Вторая глава посвящена применениям анизотропных неравенств Харди и Пуанкаре в теории квазиэллиптических уравнений. В § 1 они применяются для исследования квазиэллиптических краевых задач.

Рассматривается в области П = {х : 0 < хп < Т, х' ~ (xi,..., гЛ_1) € Жп-1} уравнение

£ = (3)

(а,А)=1,03,А)=1

где аар(х) = ара(х) — ограниченные измеримые функции, такие, что

71 J2 l^l2 < 1С <*«/?(*)£«& < 72 J2 i^i2,

чеэт (o,A)=i,(/3,A)=i чбог (4)

7i > 72 = const > О

(9Т — множество мультииндексов г) = (гц,..., г]п) таких, что (ij,A) = 1, 91ЭШ1).

Обобщенным решением задачи Неймана для уравнения (3) в П назовем функцию и € ^ос(П) такую, что Vau € ^(П) при {а, Л) = 1 и

J2 J aap{x)VawVpu dx = О

(a,A)=l,(/3,A)=l II

при любой w(x) с компактным носителем, такой, что T>aw £ L2(n) при (а, А) = 1.

Теорема 2.1.1. Всякое обобщенное решение задачи Неймана для уравнения (3) является полиномом вида и = J2 саха.

а£<Л'

Теорема 2.1.1 доказывается применением неравенства Харди из теоремы 1.2.10.

Теорем такого рода много было в эллиптической теории для случая цилиндра. Приведенная теорема является новой и в обычной эллиптической теории.

Ещё рассматриваются решения уравнения (3) в К \Пх,

К = {ж : х е Кп, 0 < хп < 1 j,

Щ = |х : х G 0 < Xi < h^ 1, 0 < хп < 1, i = 1,..., п, h ^ lj

с условием

Hi J2 ^ J2 < (¿2 l^l2-

(а,А)=1 (а,А)=1,(/3,Х)=1 («,А)=1

Определяется обобщенное решение, удовлетворяющее однородному краевому условию Неймана на дК \ Пх и доказывается теорема

Теорема 2.1.2. Существует 7 = const > 0, зависящее только от и ¡12 такое, что всякое обобщенное решение уравнения (3), удовлетворяющее однородному условию Неймана на dK\Hi, удовлетворяет условию

j \VQu\2dx^cT~i. (5)

{а,А)=1 8К\П1

Заметим, что в случае цилиндрической области в правой части неравенства (5) можно поставить экспоненциально убывающую функцию Т. В случае слоя решения: фактически убывают степенным образом.

Доказательство теоремы 2.1.2 основывается на неравенстве Пуанкаре в следующем виде (которое доказывается в § 1 первой главы).

Теорема 1.1.2. Пусть Vau G ЬДЩ/ДЩ), а е т, (а, А) = 1, р> 1, h > 1. Тогда существует полином Т{х) = J2 саха такой,

что

£ J \Da{u-?{x))\p dx ^

где

J(u)=J2 J \Vau\pdx.

В § 2 главы II исследуется отрицательный спектр квазиэллиптических операторов.

Рассматривается в Ж™ дифференциальный оператор

V(u) = Lu + Q(x)u= aaVau + Q{x)u,

(<*,A) = 1

где aa постоянные такие, что

£ М*0в> о при i ежя\{о}, (6)

(о,,Л)=1

а определенная в К" функция, такая, что оператор V опре-

0

делен наС°°(Мп), а его замыкание — самосопряженный оператор L2(Rn) -+L2(Kn).

Вопрос о спектре такого оператора в эллиптическом случае изучался во многих работах [8], [10], [11]. Доказывается следующая теорема.

п 1

Теорема 2.2.1. Если Е ~ > 1, пго существует /3 = const > О такая, что при

• 1 Pi

QWz-pfit*?') 2> я ем"

спектр оператора V положительный.

С помощью неравенства Харди из теоремы 1.2.3 доказывается следующее утверждение.

71 П

Теорема 2.2.2. Пусть £ pj1 > 1, qi > 0, г = 1,..., п, £ q~L —

{=1 i=1

J2 Pi > Я — (<7ii • • ■ > Чп)• Существует щ = const > 0 такая, что

г=1

если

то отрицательный спектр оператора V состоит не более чем из конечного числа собственных чисел, имеющих конечную кратность.

Здесь отрицательная часть функции Q(x).

Такая теорема известна в случае оператора Шредингера [19].

п —1

Следующая теорема относится к случаю, когда J2 Pi $ !•

¿=i

п .

Теорема 2.2.3. Если J2 Р7 < ^ Qix) ^ °> Qix) Ф 0 ~~ непре-

:=1

рыв ноя функция, то оператор V имеет по крайней мере одну точку отрицательного спектра.

п

Будем обозначать р(ж) = YL TV • (Отметим, что из условия (6)

¿=1

Pi> ■ ■ -,Рп —четные числа.)

Приведем следующий частный случай неравенства Харди из теоремы 1.2.3.

Если и(х) Е C°°(Kn), Е Pi1 > 1. то «=1

J р~1 (х)и2 dx < с J |х>аи|2 dx, (7)

Жп Ж" а£<п

где с от и не зависит.

В дальнейшем в правой части неравенства (7) через ут будем обозначать минимальную константу, при которой это неравенство верно.

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 2.2.4. Если р{ > 1, такое, что

i~ 1

р{х)

то спектр оператора V неотрицательный. Здесь 71 из условия (4).

[19] Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз. 1963.

Теорема 2.2.5. Если Е Pi > 1,

i=l

9-Е -

/i= J |Q_(x)|V(^) «'"dK+oo

при какой-либо q ^ Ё Pi > mo отрицательный спектр onepa-t'=l

тора V конечен и N-(V), число его отрицательных точек спектра удовлетворяет неравенству

2(?е сп,р постоянная зависящая от пир.

Указанные выше теоремы о конечности отрицательного спектра кназизллиптических операторов использовали весовую функцию р(х). Отметим, что в качестве весовой функции возможно использовать и радиальносимметрические функции, например |a;|s при соответствующем s.

71 -1

Теорема 2.2.6. Если Е Pi > существует у = const > О

i=l

такая, что в случае

' 5 ^р{

спектр оператора V неотрицательный.

Следующие теоремы о конечности отрицательного спектра. Теорема 2.2.7. Если (а, А) + |А| ф 1 ни при каких & 6

р(х)>

то отрицательный спектр оператора V конечен.

Теорема 2.2.8. Если

Q-(x) ^ Тэт1 2, w, \ 2 / »» P (х) (1 + 'п р(х))

то отрицательный спектр оператора V конечен.

Мы отметили, что в неравенстве (7) считается минимальной константой. Эта константа является и оптимальной п теореме 2.2.4, что следует из следующей теоремы.

Теорема 2.2.9. Пусть <П = Ш, £ р> 2,

i= 1

lim p(x)Q-{x) > ■уда1

|r|-*oo

то отрицательный спектр оператора V содержит бесконечное число точек.

Третья глава посвящена изучению асимптотических свойств решений краевых задач для квазиэллиптических уравнений.

В § 1 главы III рассматривается квазиэллиптическое уравнение

L(u)=a J2 Vaaaß{x)Vßu = О

(а,Л) = 1 (ДА) = 1

в неограниченной области Цт имеющей вид (области типа "слоя"):

п

(xk+1,.. .,хп) € G,

3 = 1

G —ограниченная область M"^, aaß = ара, aaß вещественнознач-ные ограниченные измеримые функции. Через Jy{u) обозначается выражение

Ми)= J EI^I2^.

Цт

Через WX{U,t) обозначается пополнение С°°{Цт) по норме

IMP = Е J" |Х»-«|2Лг, (8)

(о,А)<1 Цт

через Wx(U,t, St) — пополнение пространства С°° (Цт) функций, обращающихся в нуль при |i| достаточно больших и в некоторой окрестности множества St — dGxGT, где(?г = {х : Т ^ < оо} по норме (8), ai = (ii,...,

Функция и(х) называется обобщенным решением уравнения Ьи = О, удовлетворяющим нулевым условиям Дирихле на Si, если

о

и G W (¿Ti,5i) и имеет место тождество:

J 52 {-1)№аар(х)Т)13и&хфйх = 0

Ш КМ = 1 (М=1

О ,

при любой ф 6 W (Ц\)-

Доказывается следующая теорема, которая является теоремой типа Фрагмена — Линделёфа.

Теорема 3.1.1. Еслии(х) обобщенное решение уравнения Lu = О с нулевыми условиями Дирихле на Si, mo существует т] — const > О, такая, что

Jt(u) ^ ce~vTJi(u), где Tf и с = const от и не зависят.

Отметим, что при к = 1 область Цт есть цилиндр. Далее рассматривается неоднородное уравнение

Lu = f

в цилиндрах

Цт = {х:хп >Т, (xi,...txn-i) EG}, G CM"-1,

G — ограниченная область, aap = apa, aap — ограниченные измеримые вещественнозначные функции в Цт-

Через ,7у(?/.) обозначается

Ми)= I ]Г \Ъаи\2(1х.

Функция и(х) называется обобщенным решением уравнения Ьи = /, удовлетворяющим нулевым условиям Дирихле на Эт — дО X

о .

[Т, оо), если и € IV (Цт}3т) и имеет место тождество

J Y1 (~i)la]aaß(x)VßuVai>dx = J /^di

ЦТ = 1 Zfr

(/s,a) = 1

О .

при любой xfj € W (Цу).

Предполагается, что ]цо |/|2е'1Гп dx < oo, h — const > 0, доказывается следующая теорема.

Теорема 3.1.2. Если и(х) обобщенное решение уравнения Lu = j, удовлетворяющее пулевым условиям Дирихле па Sq, то

оо

JT{v) < enjoin) 4- ^е"^ J /2еЛг" dx

о

Элл любого Т ^ 0, г<?е с1; сг, 7 = const отп и и f не зависят. Ещё рассматривается уравнение

Lu+ ]Г aa(x)Vau = 0 (9)

(а,А)<1

в цилиндрах Цх, аа(х) —Г ограниченные измеримые функции, lim аа(х) = 0. Доказывается теорема типа Фрагмена — Лин-

делефа для решений уравнения (9) удовлетворяющих нулевым условиям Дирихле на некомпактной части границы Цт-

Следующие две теоремы относятся к случаю, когда области отличаются от цилиндра и слоя.

В неограниченной области G, которая заключена в области Go вида:

71—1

2 ki

Gq = Iг : хп >1, хрп ^ Y1 J }> а = const > 0

Р Ф 0, < 1, ki = X'1, р = const

рассматривается уравнение Ьи = 0, где аар{х) — ограниченные измеримые функции, аар{х) = й/?а(®)| и доказывается следующая теорема.

Теорема 3.1.4. Если и(х) удовлетворяет однородным условиям Дирихле на некомпактной части границы области G, G С Gq, то

J 5D ^ J ]Г \V°u\2'dx,

[xn\>t,xeG (a,\)~l G (cc,A)=l

2 kn

S =

2kn - p'

Далее в неограниченной области G, которая целиком лежит

п-1 ,

в области G" вида: £ i(- ' ^ ^(^п)! ./(^п) монотонно убывает, ¿=1

lim J(xn) = 0, ki = Л"1 рассматривается уравнение Lu + aa{x)Vau= Vaf<*

(a,A)s;l

и доказывается теорема типа Фрагмена — Линделёфа для решений, удовлетворяющих однородным условиям Дирихле на некомпактной части границы.

В § 2 главы III рассматривается квазиэллиптическое уравнение Ьи — 0 в области Цо = G X [0, оо), G С И"-1, х = (х\,..., хп), О < хп < оо. Предполагается, что G — ограниченная область, удовлетворяющая слабому условию А-1-рога [3]. Коэффициенты

аар(х) предполагаются вещественнозначными ограниченными измеримыми функциями в G и аар(х) = а@а{х). Функция и[х) предполагается такой, что и £ 1,2°с(До), Т)аи € ЗЬ2(До) при (а, А) = 1. В качестве обобщенного решения рассматриваемого уравнения, удовлетворяющего однородным условиям Неймана на dG х [0, оо) понимается и(х) такая, что Vau S IL2(w) при (tv, А) = 1, имеет место тождество

Ц0 (о.,А) = 1,

(/3,Х) = 1 о о

при любой ф(х) из W (Цо)- Через W (Ц) обозначается пополнение С°°(До) функций, обращающихся в нуль при хп > 0 достаточно малых, по норме

MAxfIM=J Е \ЪаФ\2<1х.

WlUo) Цо(а%1

Доказывается следующая теорема.

Теорема 3.2.1. Если и(х) обобщенное решение уравнения Ьи = О, удовлетворяющее однородным условиям Неймана на dG X [0, сю) такое, что и € L^ZJo), Т>аи Е Ъ2(Цо), (о, А) = 1, то существует h — const > 0, не зависящая от и такая, что

J YL \Vau\2dx ^ ce~hT J £ aaf}{x)VauVpudx.

ЦТ (a,A)=l До (а,Л) = 1

(/3,A) = 1

Легко видеть, что если выполнены условия теоремы 3.2.1, то существует 7 = const > 0 не зависящая от и, что

J е1Хп ^ J2 \Vau\2^dx <

В случае однородных условий Дирихле из последнего неравенства и из неравенства Фридрихса следует, что

/ е1Хп{ £ \Т>аи\Ас1х < оо. (10)

В случае краевых условий Неймана оценка (10) не имеет места. В этом случае справедлива следующая теорема.

Теорема 3.2.2. Если выполнены условия теоремы 3.2.1, то существует полином V(x) = Е о,аха такой, что

(с*Л)<1

Je7r"( ]£ Va(u-V(x)fdx < +оо, 7 = const > 0,

7 от и не зависит.

Четвертая глава посвящена вопросам о нормальной разрешимости и свойств гладкости решений квазиэллиптических уравнений.

В § 1 главы IV рассматривается вопрос о нормальной разрешимости уравнения

Lu= Y1 aa(x)Vau = f(x). (11)

(а,А)<1

Предполагается, что коэффициенты уравнения (11) аа(а;) ограниченные измеримые функции в Ж", кроме того аа(х) непрерывны при (а, Л) = 1 и существует lim аа(х) у всех аа(х). При этом

Y, Мoo)(iOQ^0,

и

аа(х)((Оа >с>0 при (а,Л)=1 ¿=1

i

' = 1.

Пространство VTA(Mn) определяется как пополнение С°°(МП) по норме

IMlW") = J Е \Vau\2dx.

Оператор L осуществляет непрерывное отображение И/Л(ЖП) в L2(M"). Доказывается, что это отображение является нормальным, т.е. dimKerL < -foo, dimcoKerL < -foo, 1т£И/Л(Мп) — замкнутое множество.

Кроме этого в § 1 главы IV доказана справедливость утверждения о локальном повышении гладкости решения. Именно, доказана следующая теорема.

Теорема 4.1.2. Если е IL2(G'), G С G', и(х) е WX(G'), аа(х) имеют непрерывные ограниченные в G' производные, и(х) является решением уравнения (II), то -Ц^ Е WX(G).

В § 2 главы IV рассматриваются краевые задами для квазиэллиптических уравнений на компактных многообразиях, которые имеют край.

Показывается нормальная разрешимость общей краевой задачи с граничными операторами, подчиняющимися условиям типа условий Лопатинского. Показывается гладкость решений таких задач при соответствующей гладкости правых частей уравнения и граничных операторов.

В § 3 главы IV рассматривается задача о гладкости решений уравнения

£ VaaaP{x)Vpu= £ Vafa. (12)

(Р, А)<1

Предполагается, что коэффициенты аар(х) — ограниченные измеримые функции в области G С Мп. Никакой гладкости аар(х) не требуется. Доказывается теорема о принадлежности решения классу Гельдера внутри области и при нулевых краевых условиях Дирихле вплоть до границы. В частности доказывается следующая теорема.

п

Теорема 4.3.1. Если \ ^ 2, то всякое обобщенное решение

i~ 1

уравнения (12) непрерывно в G и удовлетворяет условию Гельдера в любой подобласти, компактно вложенной в G.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1) Доказано неравенство Пуанкаре в анизотропных пространствах. Доказаны неравенства типа Харди в анизотропных пространствах для областей типа параболоида, жёлоба, слоя и R".

Для каждой области неравенства типа Харди доказаны при выполнении различных условий. Получено также неравенство Харди, в котором Ьд нормы функций оцениваются через их 1Ц нормы при д ^ р. Доказана теорема о неравенстве Харди для случая анизотропных пространств с производными нецелого порядка.

2) Анизотропные неравенства типа Харди и Пуанкаре применены для изучения свойств решений краевой задачи Неймана для квазиэллиптических уравнений. Также применением неравенств типа Харди получены теоремы о спектральных свойствах оператора Ь + <2(х) в Нп, где Ь — квазиэллиптический дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, а <5(х) — измеримая функция.

3) Установлены теоремы типа Фрагмена — Линделёфа для решений краевых задач Дирихле и Неймана для квазиэллиптичс-ских уравнений в цилиндрах и других неограниченных областях.

4) Доказана нормальная разрешимость общей краевой задачи с граничными операторами подчиняющимися условиям типа Ло-патинского. Доказана гладкость решений таких задач при соответствующей гладкости правых частей уравнений и граничных операторов.

5) Доказаны теоремы о принадлежности решения классу Гель-дера внутри области и при нулевых краевых условиях Дирихле вплоть до границы.

При получении указанных результатов широко применены теоремы вложения в анизотропных пространствах.

Статьи автора по теме диссертации

1. Гусейнов Р. В. О теоремах типа Фрагмена — Линделёфа для решений квазиэллиптических уравнений. — Изв. АН Азерб. ССР. 1987. № 5. С. 30-33.

2. Гусейнов Р. В. Теоремы типа Фрагмена — Линделёфа для решений квазиэллиптических уравнений. — Изв. АН Азерб. ССР. 1988.№ 1. С. 26-28.

3. Гусейнов Р. В. Об асимптотическом поведении решений квазиэллиптических уравнений. — Деп. ВИНИТИ. 1988. № 4404388.

4. Гусейнов Р. В. Об асимптотическом поведении решений квазиэллиптических уравнений в неограниченных областях. — Деп. ВИНИТИ. 1988. № 8802-388.

5. Гусейнов Р. В. Об асимптотическом поведении решений квазиэллиптических уравнений в неограниченных областях типа слоя. — Докл. АН Азерб. ССР. 1989. Т. 45. № 8. С. 1-3.

6. Гусейнов Р. В. Об одном обобщении неравенства Пуанкаре. — Изв. АН Азерб. ССР. 1990. № 1-2. С.

7. Гусейнов Р. В. О решениях квазиэллиптических уравнений в цилиндре, удовлетворяющих условию Неймана на некомпактной части границы. — Диф. уравнения. 1990. № 11. С. 2004-2006.

8. Гусейнов Р. В. О гладкости решений одного класса квазиэллиптических уравнений. — Вест. Моск. Ун-та. 1992. № 6. С.10-14.

9. Гусейнов Р. В. О неравенствах типа Харди и их применениях в теории квазиэллиптических уравнений. — Докл. РАН. 1993. Т. 330. № 5. С. 542-545.

10. Гусейнов Р. В. Об анизотропных неравенствах Харди и их применениях. — Матем. сб. 1993. Т. 184. № 6. С. 33-66.

11. Гусейнов Р. В. О спектре квазиэллиптических дифференциальных операторов. — Мат. заметки. 1993. Т. 53. № 6. С. 145149.

12. Гусейнов Р. В. Об одном классе квазиэллиптических уравнений в Мп. — Деп. ВИНИТИ. 13.01.94. № 111-В-94.

13. Гусейнов Р. В. Об оценках решений задач Неймана для квазиэллиптических уравнений в неограниченных областях. — Усп. мат. наук. 1994. Т. 49. № 1. С. 209-210.