Краевые задачи для квазиэллиптических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Бондарь, Лина Николаевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Новосибирск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им С Л СОБОЛЕВА
На правах рукописи
Бондарь Лина Николаевна
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
01 01 02 — дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
НОВОСИБИРСК - 2008
003169975
Работа выполнена в Новосибирском государственном университете
Научный руководитель
доктор физико-математических наук, профессор Г В Демиденко
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,
доцент М Ю Васильчик, доктор физико-математических паук, профессор С Г Пятков
Ведущая организация
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
Защита состоится " 19 " июня 2008 г в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003 015 04 при Институте математики им С JI Соболева СО РАН по адресу 630090, Новосибирск-90, проспект Академика Коптюга, 4
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С JI Соболева СО РАН
Автореферат разослан " Í& " мая 2008 г
Ученый секретарь диссертационного совета к ф -м н {О
В JI Мирошниченко
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных изучению квазиэллиптических уравнений во всем пространстве Rn, в частности, доказаны теоремы о разрешимости уравнений, о регулярных свойствах решений, об асимптотическом поведении решений на бесконечности, об изоморфных свойствах квазиэллиптических операторов
Теория краевых задач для квазиэллиптических уравнений начала развиваться с 60-х годов прошлого столетия (Л Р Волевич, В П Михайлов, Г Г Казарян, С М Никольский, С В Успенский и др ) Наиболее изученными являются краевые задачи для квазиэллиптических уравнений в полупространстве R* В частности, доказаны теоремы о локальной регулярности и о нетеровости некоторых краевых задач (L Аг-keryd, A Cavallucci, Т Matsuzawa, F Ornella, С Parent), Е Pehkonen, М Troisi) Первые теоремы существования для общих краевых задач в R+ для однородных квазиэллиптических уравнений в соболевских пространствах Wl были получены в работах С В Успенского Теоремы существования для краевых задач для неоднородных уравнений во всей шкале соболевских пространств Wj,, 1 < р < оо, доказаны в работах Г В Демиденко, где, в частности, установлено, что индекс краевых задач в R+ зависит от порядков дифференциальных операторов, размерности п и степени суммируемости р Формулы решения краевых задач с помощью ядер Пуассона получены в работах Г А Карапетяна Оценки решений краевых задач в пространствах Гельдера содержатся в работах В С Белоносова, Г А Шмырева В отличие от квазиэллиптических уравнений число работ по краевым задачам для квазиэллиптических систем пока весьма ограничено
Диссертация посвящена изучению краевых задач в полупространстве для одного класса квазиэллиптических систем Этот класс был введен в работах Jl Р Волевича [1] и содержит, в частности, однородные эллиптические системы, эллиптические и параболические системы по Петровскому, параболические системы по Эйдельману, однородные квазиэллиптические системы и др
Цель работы. Основной целью диссертации является изучение разрешимости общих краевых задач для квазиэллиптических систем в полупространстве во всей шкале соболевских пространств Wj,, 1 < р < оо, и в соболевских пространствах Wp ff со специальными степенными веса-
ми, получение Ьр-оценок решений, исследование регулярности решений
Основные результаты. Проведены исследования корректности общих краевых задач в для квазиэллиптических систем в соболевских пространствах \¥1р и соболевских пространствах со специальными степенными весами Установлены следующие результаты
1 Для систем с постоянными коэффициентами доказаны теоремы о безусловной разрешимости и единственности в пространствах \¥1р при ограничениях на показатель суммируемости р > р* > 1
2 Установлены достаточные условия разрешимости в пространствах
при р < р* Такими условиями являются условия ортогональности
правых частей некоторым полиномам
3 Показано, что достаточные условия разрешимости близки к необходимым, при этом выделен класс краевых задач, для которых эти условия являются необходимыми
4 Установлены точные Ьр-оценки решений краевых задач
5 Доказаны теоремы о безусловной разрешимости в весовых соболевских пространствах И^^ при специальном выборе степенного веса
6 Доказаны теоремы о регулярности решений
7 Основные результаты перенесены на случай переменных коэффициентов
Методика исследований. Доказательство теорем существования проводится с использованием конструкции приближенных решений краевых задач, предложенной в работах Г В Демиденко Эта конструкция основана на использовании операторов усреднения С В Успенского по "касательным" переменным При получении ¿^-оценок и исследовании регулярности решений краевых задач устанавливаются точные оценки некоторых сингулярных интегралов При этом применяются теоремы вложения и продолжения для соболевских пространств, используется теорема о мультипликаторах П И Лизоркина
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.
В диссертации доказаны новые теоремы о разрешимости общих краевых задач в Д+ для квазиэллиптических систем в соболевских пространствах IVр и \¥р а Впервые получены условия разрешимости краевых задач для систем во всей шкале пространств IV 1р, 1 < р < оо Теоремы о безусловной разрешимости обобщают известные результаты по краевым задачам для квазиэллиптических уравнений Теоремы о достаточных условиях разрешимости усиливают соответствующие результаты
по краевым задачам для квазиэллиптических уравнений
Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на конференциях ХЫ-ХЫН и ХЬУ1 Международные научные студенческие конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2003-2005 гг, 2008 г), IV Международная конференция по математическому моделированию (Якутск, 2004 г), Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (Новосибирск, 2007 г), Российская конференция "Математика в современном мире" (Новосибирск, 2007 г) Основные результаты докладывались на семинарах семинар "Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики" (руководитель профессор А М Блохин), семинар "Избранные вопросы математического анализа" (руководитель профессор Г В Демиденко), семинар "Прикладная гидродинамика" (руководитель- член-корр РАН В В Пухначев)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7]
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы Объем работы 173 страницы Список литературы состоит из 88 наименований
Во введении дается краткий обзор литературы и излагаются основные результаты диссертации
В первой главе в полупространстве = {х = (х',хп) х' 6 Яп_ь хп > 0} рассматриваются краевые задачи следующего вида
где С(Ох), В(БХ) — матричные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами Укажем условия на эти операторы Обозначим через г(г£), элементы матриц £(г£), В(г£), являющихся символами соответствующих дифференциальных операторов
Условие 1. Пусть матрица С(г£) имеет размер т х т Предположим, что существуют векторы а — (ах, ,ап), I = (¿1, , ¿га), ¿г > 0,
Содержание диссертации
(1)
В{Бх)и\Хп= о = 0,
tr/aj Ç N, an < tr, такие, что для любого с > О
Условие 2. Равенство
det£(i£) = 0, Ç Е Rn,
имеет место тогда и только тогда, когда £ = О
Определение Матричный дифференциальный оператор C(DX), удовлетворяющий условиям 1, 2, называется квазиэллиптическим Из условия 2 следует, что уравнение
det £(is, г\) =0, se £n_i\{0}, (2)
не имеет вещественных корней по Л Обозначим через ц число корней, лежащих в верхней полуплоскости
Условие 3. Пусть матрица £>(г£) имеет размер /лхт Предположим, что существует вектор (mi, , mtr — tmm < tr — тп3 < tr — an, tmm = min(ii, , tm), такой, что
bj ,r(^'*0 = ct'"m,bj,r(tf)» c>°. J = l» >/*> r = 1> >m
Условие 4. Краевая задача (1) удовлетворяет условию Лопатинско-го, т е краевая задача на полуоси
C(ts, DXn)v = 0, хп > 0, < B(is,DXn)v\Xn=o = <Р, sup ]и| < 00,
. Х„>0
при s 6 i?n_i\{0} однозначно разрешима для любых <р
Символом W[,(Rn) будем обозначать соболевское пространство
m
K(Rn) = ]lWp(Rt), lr = (tr/aь ,tr/an), 1 <р < оо
r=l
Основная цель главы — доказательство разрешимости краевых задач вида (1) в Wp(R+), получение -оценок решений и изучение регулярности решений
Первая глава состоит из шести параграфов В первом параграфе вводятся необходимые обозначения, определяется класс рассматриваемых краевых задач, формулируются основные результаты первой главы
Во втором параграфе мы даем описание конструкции приближенных решений краевых задач вида (1), предложенной Г В Демиденко [2] С использованием этих приближенных решений мы проводим доказательство основных результатов диссертации
В третьем параграфе доказывается ряд вспомогательных утверждений, которые используются в последующих параграфах для получения Lp-оценок решений
В четвертом параграфе доказывается ряд утверждений о разрешимости краевых задач вида (1) Для их формулировки введем следующие обозначения
¿max=max{ii, . ,im}, imm = min{ii, ,tm},
n
|«| = 5>, amm = min{ab ,a„}, amax = max{ai, «=i
= w3 = X>.2/a' и >=1
Теорема 1.1. Пусть |a|/p' > ¿max, тогда для любой вектор-функции F(х) £ Lp(R^) П Li(R+) краевая задача (1) имеет единственное решение U(x) € Wp(R+), при этом справедлива оценка
над, Wj,(R+)\\ < с (над, LP(R+)II + ||F(x), Li(i?+)||) с константой с > 0, не зависящей от F(x)
Замечание 1. Теорема 1 1 обобщает теоремы о безусловной разрешимости краевых задач для квазиэллиптических уравнений [3] и однородных квазиэллиптических систем (ii = = tm — 1) [2]
Отметим, что в теореме 1 1 нам удалось установить безусловную разрешимость общих краевых задач вида (1) не при всех показателях суммируемости р > 1, а только для р > Естественно возникает
вопрос что можно сказать о разрешимости при р < , . ¡"J—7 Ответ на
|С*| tmax
этот вопрос дается в следующей теореме
Теорема 1.2. Пусть |а|/р' < tmax, тогда для любой вектор-функции F(x) G LP(R+), удовлетворяющей условиям
(1 + (x))d+a—F(x) € L^R*), d = imax - \а\/р',
J xuF{x) dx = 0 Лгл всех мулътииндексов v таких, что аи < d, (3)
Rt
краевая задача (1) имеет единственное решение U(x) G Wp(R+), и справедлива оценка
над, w'(R+)\\ < с (над, Lp{Rt)II + 11(1 + (x))d+a—F(x), ^(Д+)||) с константой с > 0, не зависящей от F(x)
Замечание 2. Теорема 1 2 является аналогом соответствующей теоремы для квазиэллиптических уравнений [3], но в случае, когда аг ф а3, число условий разрешимости (3), полученных нами, будет меньше
Однако теорема 1 2 не дает ответа на вопрос о том, насколько по существу возникающие условия ортогональности на правую часть системы На этот вопрос отвечает следующая теорема
Теорема 1.3. Предположим, что F(x) = (Fl(x),0, , 0)т, F1(x) G Пусть \a\/p' < tmm, \a\/p' + amin > imax, 1 < p < 2, и при некотором j = 1, для j-го элемента первого столбца матрицы
B(is,i\)£~1(is,i\) выполнено неравенство
j (B(2s,zA)£_1(zs,iA))j1 с/А ^ О, s € i2n_i\{0}, г(8)
где T(s) — контур в комплексной плоскости, охватывающий все корни уравнения (2) Тогда для разрешимости краевой задачи (1) в Wlp(R+) необходимо, чтобы
J F1(x) dx = 0
Rt
Замечание 3. Из теоремы 1 3 следует, что условия разрешимости, установленные в теореме 1 2, близки к необходимым Как показывают
примеры, рассмотренные в главе 3, в ряде случаев эти условия являются необходимыми
Исследование вопроса о необходимости условий ортогональности привело к выделению некоторого класса краевых задач, для которых удается установить разрешимость при меньших ограничениях на показатель суммируемости р, при этом, не требуя дополнительных условий на правую часть типа условий ортогональности Этот результат формулируется в следующей теореме
Теорема 1.4. Пусть \а\/р' < fmax, Ы/р' +an > imax Предположим, что
J B(is, iX)C~l{is, гХ) d\ = 0, s£ \{0}, (4)
где T(s) — контур в комплексной плоскости, охватывающий все корни уравнения (2) Тогда для любой вектор-функции F(x) 6 LP(R„), (1 + xn)F(x) £ Li(R+), краевая задача (1) имеет единственное решение U(x) £ Wp(i?+), при этом справедлива оценка
||U(x), W'(R+)\\ < с LP(R+)|| + ||(1 + xn)F(x),
с константой с > 0, не зависящей от F(x)
Замечание 4. Из теорем 1 1-1 4 следует, что индекс краевых задач вида (1), исследуемых в соболевских пространствах Wp(R£), зависит не только от порядков операторов, размерности п и степени суммируемости р, но и от свойств дифференциальных операторов C(DX), B(DX), описываемых в терминах (4) Этот результат является новым и для эллиптических систем
В диссертации была исследована также регулярность решений краевых задач вида (1)
Теорема 1.5. Пусть |а|/р' > £max> F(x) £ L\(R+), при этом F(х) € Wg(Rn), q — (r/ai, ,т/а„), т/а^ € N Тогда для каждой компоненты решения UT(x) G Wp (R+), г — 1, ,т, краевой задачи (1) имеет место следующее свойство
Ur(x) е Г+ в= ((и + T)/ai, ,(tr + т)/а„)
Замечание 5. Теорема 1 5 является некоторым аналогом известных теорем для эллиптических и параболических краевых задач
В пятом параграфе первой главы рассматриваются краевые задачи для квазиэллиптических систем с переменными коэффициентами
С(х, DX)U = F(x)t х е Д+,
(5)
B(BX)U\X„ = о = 0
Будем предполагать, что коэффициенты оператора £{х, Dx) непрерывны и постоянны вне некоторого компакта К С и для матриц £(х, г£), В(гС) в каждой точке х € Rt выполнены условия 1-4
В следующих теоремах доказывается, что свойство безусловной разрешимости краевых задач вида (1) сохраняется при малых возмущениях коэффициентов
Теорема 1.6. Пусть \а\/р' > tmах и F(x) € LP(R+) П Li(R+) Если коэффициенты оператора £(х, Dx) достаточно мало отличаются от постоянных, то краевая задача (5) однозначно разрешима в Wp(R^), и для решения U(ж) справедлива оценка
\\U{x),Wlp{Rt)\\ <с(|Ия;)|£р(Л+)|Ц-||ад|1,1(Д+)||) с константой с > 0, не зависящей от F(x)
Теорема 1.7. Пусть |а|/р' < imax, |а|/р' + ап > imax и F{х) 6 LP{R+), (1 + xn)F(x) G Li(R^) Предположим, что
j B(is,i\)£'1(x°, is,i\)d\ = 0, seRn-1\{0}, x° # K,
T(s)
где T(s) — контур в комплексной плоскости, охватывающий все корни уравнения det £(х°, ts,i\) = 0 Если коэффициенты оператора £(х, Dx) достаточно мало отличаются от постоянных, то краевая задача (5) однозначно разрешима в Wp(R+), и для решения справедлива оценка
\\U(x), W'(R+)II < с (ЦОД, Lp«)|| + ||(1 4- xn)F(x), ¿1(Д+)||) с константой с > 0, не зависящей от F(х)
В последнем параграфе первой главы приводятся результаты о разрешимости краевых задач вида (1) в Wp(R^), когда оператор C(DX) является однородным квазиэллиптическим (¿i = = tm = 1)
Во второй главе диссертации исследуется разрешимость в Wp(R^) краевых задач для однородных квазиэллиптических систем с ненулевыми граничными функциями
C{DX)U = 0, xeR+,
(6)
B{DX)U k=o = </>(*') Введем следующие обозначения
а' = (аь ,a„-i), а'тлх = max{ab ,an-i},
TI — 1
arnin=mm{al. >Qn-l}, la'N^Q«,
t=l
n— 1
mmin = min{mi, mmax = max{mi, ,m(x')2 =
t=i
Определим пространство функций W£(Rn-1), г = (ri, ,r„_i), rt > 0 — нецелые, как замыкание бесконечно дифференцируемых финитных функций по норме
«-i
U,W;(Rn^)\\ = IIF-MU + (s)),<F[^](s)],Lp(JR„_i)||, (s)2 = J^s2,/a\
i=i
где х = ггаг, г — 1, ,п — 1, F — оператор Фурье, F-1 — обратный оператор Фурье
В первом параграфе второй главы вводятся необходимые обозначения, даются определения, формулируются основные результаты Во втором параграфе доказываются основные утверждения о разрешимости краевых задач вида (6)
Теорема 2.1. Пусть |а'|/р' ^тах — ^min "Ь otn/Pt тогда краевая задача (6) имеет единственное решение U(x) £ Wp(R^) для любых
функций ф>(х') G W;\Rn^) П Li(Rn-i), r> = (r¡, .rj^), r¡a, = rrij — an/p, j = 1, при этом справедлива оценка
Над, W^(R+)\\ < c¿ (||W), <(ñn-i)ll + \\ФЧх'),
3=1
с константой с > 0, не зависящей от ф(х') = (ф1(х1), ,ф^(х'))Т
Теорема 2 1 является аналогом теоремы lio безусловной разрешимости краевых задач для неоднородных систем Отметим, что для общих краевых задач вида (6) безусловная разрешимость в Wp(R^) имеет место при меньших ограничениях на показатель суммируемости р, чем для задач вида (1) Однако в теореме 2 1 речь не идет о безусловной разрешимости во всей шкале соболевских пространств Wp(R„), 1 < р < оо В частности, разрешимость краевой задачи (6) в ), для которой
|а'|/2 < ímax — mram + a„/2, удается доказать лишь при дополнительных требованиях на граничные функции Этот результат формулируется в следующей теореме
Обозначим через Q множество индексов q, 1 < q < таких, что
|а'|/2 < ¿max -mq + ап/2
Теорема 2.2. Пусть |а'|/2 < tmllx-mmm+an/2, и ф3 (х') eW^XRn-i) CiLi(Rn_i), rJ = (r[, .r^), г3гаг = rrij - a„/2, j = 1, . Предположим, что при q € Q функции фч(х') удовлетворяют дополнительно условиям
е Ь!(Я+), dq = imax - mq + q„/2 - Iq'I/2, J x'^<>(x')dx'= 0 (7)
Я.-1
для всех мулътииндексов v таких, что а'и < dq
Тогда краевая задача (6) имеет единственное решение U{x) £ W^R^), при этом справедлива оценка
\\U(x), W¡(Rt)\\ < J ¿ W? (Лп-ОЦ + \\ф>(х'), £i(*„-i)||)
\з=1
geQ )
с константой с > 0, не зависящей от ф(х') = (ф1(х1), ,ф^{х'))Т
Следующая теорема показывает, что в ряде случаев условия ортогональности (7) являются необходимыми условиями разрешимости
Теорема 2.3. Пусть ф3(х') £ Со°(./?п_1), ] = 1, , ц, т3 = т1 = Ш1 Если |а'|/2 < <тт-тп1+ап/2, |а'|/2+а'тт > ^ах-пг! +ап/2, тогда для разрешимости краевой задачи (6) в необходимо, чтобы
Теоремы 2 2 и 2 3 показывают, что индекс краевых задач вида (6), исследуемых в пространстве И^Я^), зависит от порядков операторов и размерности п
В последнем параграфе второй главы устанавливаются утверждения о разрешимости краевых задач вида (6) в когда оператор С(Ох) является однородным квазиэллиптическим (¿1 = = £т = 1)
Как показали исследования, проведенные в первых двух главах диссертации, безусловная разрешимость краевых задач для квазиэллиптических систем в \¥р(Н.п) имеет место, как правило, при ограничениях на показатель суммируемости р > р* > 1 Для разрешимости при р < р* необходимо накладывать дополнительные требования на данные Отметим, что в случае постоянных коэффициентов эти требования имеют вид условий ортогональности данных некоторым полиномам В случае переменных коэффициентов условия разрешимости принимают гораздо более сложный вид [4], а именно
где А — интегродифференциальный оператор Это обстоятельство делает проверку условий разрешимости крайне затруднительной Естественно возникает вопрос можно ли указать функциональные пространства, в которых можно установить разрешимость, не накладывая на данные дополнительных требований такого рода7 Как показали исследования (см , например, [5]) такими удобными пространствами являются соболевские пространства Wlp a со специальными степенными весами, введенные Г В Демиденко [3]
Определение Будем говорить, что локально суммируемая функция и(х) принадлежит весовому соболевскому пространству (./?+), I = {k jai, ,к/ап), kjal £N,l<p<oo,0<a<l, если функция
fi— 1
J xvAF{x) dx = 0, аи < d,
Rt
и(х) имеет обобщенные производные х) в Д+, иа < к, и ||(1 + Ьр(В+)\\ < оо, (х)2 =
г=1
Норма в пространстве \Ур а(И£) определяется следующим образом
0<ка<1
При а = 0 введенное пространство совпадает с соболевским пространством И'р При с = 1, р > п, в изотропном случае {а.\ = = ап) пространства такого типа совпадают с пространствами Кудрявцева И^' а при р < п — с пространствами Ниренберга - Уолкера - Кантора
4-1
Будем говорить, что вектор-функция II (х) = (и1(х), ,ит(х))т принадлежит (Л+), если каждая ее компонента 11т(х) принадлежит пространству \¥£а(Я,+), где Г = (¿г/аь ,гг/а„)
Третья глава диссертации посвящена исследованию разрешимости краевых задач для квазиэллиптических систем в Глава состо-
ит из пяти параграфов. В первом параграфе даются необходимые определения, формулируются полученные результаты В следующих двух параграфах устанавливаются результаты о разрешимости краевых задач вида (1)
Теорема 3.1. Пусть |а| > ¿шах и |а|/р > о^тах > ¿тах —Н/р' Тогда для любой вектор-функции Г(х) 6 ЬР(В,+), (1 + (ж))<7Ím,",F(a:) 6 ¿1 (/?+), краевая задача (1) имеет единственное решение 11(х) € И^^. (/?+), при этом справедлива оценка
ЦВД, < с (№),£р(Я+)|| + ||(1 + <*»<"—
с константой с > 0, не зависящей от Р(х)
В силу теоремы 3 1, выбирая показатель и степенного веса из интервала а € (1 — Н/(р'£шах), |а|/(р{тах)), мы имеем безусловную разрешимость краевой задачи (1) в весовом соболевском пространстве И при любом 1 < р < оо Отметим, что ограничения на а являются существенными В частности, при |а|/(р£тах) < о однородная задача может иметь нетривиальные решения Если о < 1 — |а|/(р'£тах), то
можно привести примеры краевых задач, которые не имеют решений в Wp}(7{Rn) даже для финитных бесконечно дифференцируемых F(x) В следующей теореме мы указываем условия на F(x), при которых краевая задача (1) однозначно разрешима в пространстве WprT(R^) при cr < 1 - |a|/(p'irnax)
Теорема 3.2. Пусть |а| > ¿max W ^¿max ^ ¿max Тозда для
любой вектор-функции F(x) Е LP(R+), удовлетворяющей условиям
(1 + (x))d+a™F(x) £ ЫЯ+), d = imax - \а\/р',
JxvF{x) dx = 0 для всех мультииндексов и таких, что av < d—atms.K, Rt
краевая задача (1) имеет единственное решение U(x) £ Wpa{R^), при этом справедлива оценка
11ВД, Wl„{Rt)\\ < с (I\F{x), Lp{Ri)II + 11(1 + (x))d+a™F(x), Li(ii+)||)
с константой с > 0, не зависящей от F(x)
В четвертом параграфе третьей главы рассматриваются краевые задачи вида (5) для квазиэллиптических систем в полупространстве с переменными коэффициентами В этом случае устанавливается аналог теоремы 3 1
Теорема 3.3. Пусть |а| > £max и Н/р О^т&х ¿max N /Р'> F(x) € LP(R+), (1 + {x))atm**F(x) € L\(R£) Если коэффициенты оператора L{x, Dx) достаточно мало отличаются от постоянных, то краевая задача (5) однозначно разрешима в WpiT(R'^), и для решения U(x) справедлива оценка
\\U(x), И£ЛЯ+)|| < с (ЦП*), LP{R+)W + 11(1 + (x)r—F(x), L, (Д+)||)
с константой с > О, не зависящей от F(x)
В этой главе мы доказываем также аналог теоремы 1 5 о регулярности решений краевых задач вида (1)
Теорема 3.4. Пусть |а| > ¿max, |а|/р > otmax > ¿max - |а|/р', (1 + е LX{R+), при этом F{x) € W*(R+), q = (т/аь ,т/а„), т/аj € N Тогда для каждой компоненты решения Ur(x) £ Wp a(R+ ), г — 1, ,т, краевой задачи (1) имеет место следующее свойство
DvxUr{x) £ Wj>(H+) при va = tr
В последнем параграфе третьей главы приводятся примеры краевых задач, на которых иллюстрируются результаты диссертации В частности, рассматриваются система уравнений Навье, возникающая в теории упругости, и система типа Бицадзе
Литература
1 Волевич Л Р Локальные свойства решений квазиэллиптических систем // Мат сб 1962 Т 59, № 3 С 3-52
2 Demidenko G. V On solvability of boundary value problems for quasi-elliptic systems in R" // Journal of Analysis and Applications 2006 Vol 4, № 1 P 1-11
3 Демиденко Г В Интегральные операторы, определяемые квазиэллиптическими уравнениями II // Сиб мат журн 1994 Т 35, № 1 С 41-65
4 Успенский С В , Демиденко Г В , Перепелкин В Г Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям Новосибирск Наука, 1984
5 Демиденко Г В , Успенский С В Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной Новосибирск Научная книга, 1998
Работы автора по теме диссертации
1 Buldygerova (Bondar) L N On solvability of one elliptic system in weighted Sobolev spaces // Selfuk J Appl Math 2003 V 4, No 1 P 3-24
2 Булдыгерова (Бондарь) JI H Lp-оценки решений одной эллиптической системы // Материалы XLI Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" Новосибирск Новосиб гос ун-т, 2003 С 18
3 Булдыгерова (Бондарь) Л Н Разрешимость краевых задач в для квазиэллиптических систем // Междунароная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" Новосибирск, 2007 С 104
4 Бондарь Л H Условия разрешимости краевых задач для квазиэллиптических систем // Вестник НГУ Серия Математика, механика, информатика 2007 Т 7, вып 4 С 9-26
5 Бондарь Л H, Демиденко Г В Краевые задачи для квазнэллип-тических систем // Сиб мат журн 2008 Т 49, № 2 С 256-273
6 Бондарь Л H Разрешимость краевых задач в для квазиэллиптических систем Новосибирск, 2008 15 с (Препринт / РАН Сиб отд-ние Ин-т математики, № 205)
7 Бондарь Л H Необходимые условия разрешимости краевых задач для квазиэллиптических систем // Материалы XLVI Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" Новосибирск Новосиб гос ун-т, 2008 С 59
Бондарь Лина Николаевна
Краевые задачи для квазиэллиптических систем
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Подписано в печать 08 05 08
Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул Пирогова, 2
Уел печ л 1,0 Заказ № 207
Формат 60x84 1/16 Уч.-изд л 1,0 Тираж 100 экз
Введение
Глава 1. Краевые задачи для неоднородных систем
§1.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов
§1.2. Построение приближенных решений краевых задач
§1.3. Вспомогательные результаты
§1.4. Доказательство теорем 1.1-1.
§1.5. Доказательство теорем 1.6 и 1.
§1.6. Следствия
Глава 2. Краевые задачи для однородных систем
§2.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов
§2.2. Доказательство теорем 2.1-2.
§ 2.3. Следствия
Глава 3. Разрешимость краевых задач в весовых соболевских пространствах
§ 3.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов
§3.2. Доказательство теорем 3.1и3.
§ 3.3. Доказательство теоремы 3.
§ 3.4. Доказательство теоремы 3.
§ 3.5. Следствия и примеры
Теория краевых задач для линейных эллиптических и параболических уравнений и систем сформировалась в 50-70е годы прошлого столетия. Обширная библиография по теоремам существования, единственности и регулярности решений краевых задач для них содержится, например, в монографиях [1,9,29,37,49,51,63,64,68,69].
Эллиптические и параболические операторы входят в класс гипоэл-липтических операторов. Понятие гипоэллиптического оператора было введено в работах Л. Хермандера, им же получены первые результаты о свойствах решений гипоэллиптических уравнений. Эти результаты отражены в известных монографиях JI. Хермандера [63,64].
Исследования Л. Хермандера были продолжены в работах С. М. Никольского [40,41], Л. Р. Волевича [17,18], В. П. Михайлова [38,39], Г. Г. Ка-заряна [30], С. В. Успенского [53,54] и др. Наиболее изученными являются свойства решений квазиэллиптических уравнений, входящих в класс гипоэллиптических уравнений и содержащих, в частности, эллиптические и параболические уравнения. В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных изучению свойств решений квазиэллиптических уравнений во всем пространстве Rn; в частности, доказаны теоремы о разрешимости уравнений, о регулярных свойствах решений, об асимптотическом поведении решений на бесконечности, об изоморфных свойствах квазиэллиптических операторов (см., например, [4,5,19,20,27,53, 54,56,57,59-61, 65, 66, 77]). Следует отметить, что для изучения свойств квазиэллиптических операторов понадобились новые "анизотропные" соболевские и гельдеровские пространства. Свойства таких пространств достаточно полно изложены в монографиях [8,58].
Теория краевых задач для квазиэллиптических уравнений начала развиваться с 60-х годов прошлого столетия (см., например, работы [17,18, 40,41,44-48]). Наиболее изученными являются краевые задачи для квазиэллиптических уравнений в полупространстве. В частности, доказаны теоремы о локальной регулярности [70,72,80,84,88], о нетеровости некоторых краевых задач [85-87]. Первые теоремы существования для общих задач в R+ для однородных квазиэллиптических уравнений в соболевских пространствах W^ были получены в работе С. В. Успенского [55], теоремы существования для краевых задач для неоднородных уравнений во всей шкале Wp, 1 < р < оо, доказаны в работах Г. В. Демиден-ко [22-25]. В частности, в работах [22,23] было впервые установлено, что индекс краевых задач в в соболевских пространствах Wlp зависит от порядка дифференциальных операторов, размерности п и степени суммируемости р. Оценки решений краевых задач в пространствах Гельдера получены в работах Г. А. Карапетяна [31,32], некоторые аналоги таких оценок содержатся в работах [7,21,67]. В отличие от квазиэллиптических уравнений число работ по краевым задачам для квазиэллиптических систем пока весьма ограничено [17,76].
Настоящая диссертация посвящена изучению краевых задач в полупространстве для одного класса квазиэллиптических систем. Этот класс был введен в работах JI. Р. Волевича [17] и содержит, в частности, однородные эллиптические системы, эллиптические и параболические системы по Петровскому [43], параболические системы по Эйдельману [68], однородные квазиэллиптические системы [27,78]. Основной целью диссертации является изучение условий разрешимости общих краевых задач во всей шкале соболевских пространств Wp, 1 < р < оо, а также в соболевских пространствах W^pa со специальными степенными весами, получение Lp-оценок решений, исследование регулярности решений.
Остановимся более подробно на содержании диссертации. Диссертация состоит из трех глав.
В первой главе в полупространстве R+ ~ {х = (х',хп) : х' € Rn-1, хп > 0} рассматриваются краевые задачи следующего вида C(DX)U = F{x), x€R+, (1) { B(DX)UL=0 = 0, где £(DX), B(DX) — матричные дифференциальные операторы. Укажем условия на эти операторы. Обозначим через lj>r{i^), bj,r{iti) элементы матриц В(г£), являющихся символами соответствующих дифференциальных операторов.
Условие 1. Пусть матрица C(i£) имеет размер т X т. Предположим, что существуют векторы а = (cui,., ап), t — (ti,. ,tm), tr > 0, trj(Xj E N, an < tr, такие, что для любого с > О lj,r(caiO = ctr lj>r(г£), j, г = 1,., га.
Условие 2. Равенство det £(г£) = 0, £ € имеет место тогда и только тогда, когда £ = 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матричный дифференциальный оператор C(DX), удовлетворяющий условиям 1,2, называется квазиэллиптическим. Из условия 2 следует, что уравнение detC(is,гА) =0, se ЯпД{0}, (2) не имеет вещественных корней по А. Обозначим через fi число корней, лежащих в верхней полуплоскости.
Условие 3. Пусть матрица В{г$) имеет размер цхт. Предположим, что существует вектор (mi,., гам), tr — tmjn <tr — rrij <tr — an, tmjn — min(ii,. ,tm), такой, что c'r"ffli^R)» c > 0) j = l,.,fJt} r = l,.,m.
Условие 4. Краевая задача (1) удовлетворяет условию Лопатинского, т. е. краевая задача на полуоси is,DXn)v = 0, хп > 0,
Ar„M®n=0 = <Р, sup < оо, ж„>0 при s Е i?ni\{0} однозначно разрешима для любых <р.
Символом Wp(R£) будем обозначать соболевское пространство т
K(Rn) = HWp(Rn)i lr = (tr/au.,tr/an), 1 <р < оо. г=1
Основная цель главы — доказательство разрешимости краевых задач вида (1) в Wp(R„), получение £р-оценок решений и изучение регулярности решений.
Первая глава состоит из шести параграфов. В первом параграфе вводятся необходимые обозначения, определяется класс рассматриваемых краевых задач, формулируются основные результаты первой главы.
Во втором параграфе мы даем описание конструкции приближенных решений краевых задач вида (1), предложенной в работе [76]. С использованием этих приближенных решений мы проводим доказательство основных результатов диссертации.
В третьем параграфе доказывается ряд вспомогательных утверждений, которые используются в последующих параграфах для получения Lp-оценок решений.
В четвертом параграфе доказывается ряд утверждений о разрешимости краевых задач вида (1). Для формулировки введем следующие обозначения: tmax — max{£i,., tmjn = min{^i,., n
H = ai, amin = min{ai,., an}, amax = max{ai,., an}, i=1 <*>2 = £*.2/a' y i=1 Теорема 1.1. Пусть \а\/р' > tmax, тогда для любой вектор-функции F(x) Е Lp(Rn)r\Li(Rn) краевая задача (1) имеет единственное решение U(x) Е Wp(Rn), при этом справедлива оценка с константой с > 0, не зависящей от F{x).
Замечание 1. Теорема 1.1 обобщает теорему о безусловной разрешимости краевых задач для квазиэллиптических уравнений [22, 23] и однородных квазиэллиптических систем = tj = 1) [76].
Отметим, что в теореме 1.1 нам удалось установить безусловную разрешимость общих краевых задач вида (1) не при всех показателях суммируемости р > 1, а только для р > 7-737—. Естественно возникает | f max вопрос: что можно сказать о разрешимости при р < т-г^—? Ответ на
0!| fmax этот вопрос дается в следующей теореме.
Теорема 1.2. Пусть \ot\/p' < tmax, тогда для любой вектор-функции F(x) E LP(R%), удовлетворяющей условиям
1 + (x))d+a™F(x) е d = w - Н/р',
J xuF{x) dx = 0 (3)
Rn для всех мулътииндексов v таких, что аи < d, краевая задача (1) имеет единственное решение U(x) £ и справедлива оценка
U(x),Wl(R:)\\<c(\\F(x),Lp(Ri)\\ с константой с> О, не зависящей от F{x).
Замечание 2. Теорема 1.2 является аналогом соответствующей теоремы для квазиэллиптических уравнений [25], но в случае, когда аг- ф aj число условий разрешимости (3), полученных нами, будет существенно меньше.
Однако теорема 1.2 не дает ответа на вопрос о том, насколько по существу возникающие условия ортогональности на правую часть системы. На этот вопрос отвечает следующая теорема.
Теорема 1.3. Предположим, что F(x) = (Fl(x), 0,., 0)т, F1(x) € соПусть \а\/р' < tmin, \а\/р' + amin > tmax, 1 < р < 2, и при некотором j = 1,., /л, для j-го элемента первого столбца матрицы B(is,i\)C~l(is,i\) выполнено неравенство
J (B(is, i\)£-\is, а))я se лпД{о}, г(«) где T(s) — контур в комплексной плоскости, охватывающий все корни уравнения (2). Тогда для разрешимости краевой задачи (1) в Wlp(R необходимо, чтобы
J F1(x)dx = 0.
Rt
Замечание 3. Из теоремы 1.3 следует, что условия разрешимости, установленные в теореме 1.2, близки к необходимым. Как показывают примеры, рассмотренные в главе 3, в ряде случаев эти условия являются необходимыми.
Исследование вопроса о необходимости условий ортогональности привело к выделению некоторого класса краевых задач, для которых удается установить разрешимость при меньших ограничениях на показатель суммируемости р, при этом не требуя дополнительных условий на правую часть типа условий ортогональности. Этот результат формулируется в следующей теореме.
Теорема 1.4. Пусть \а\/р' < tmax, \a>\/j/ + an > tmax- Предположим, что
J В (is, i\)C~l(is, гЛ) d\ = 0, s G ЯпД{0}, (4) г(5) где r(s) — контур в комплексной плоскости, охватывающий все корни уравнения (2). Тогда для любой вектор-функции F(x) G Lp(R (14-xn)F(x) G L\(Rкраевая задача (1) имеет единственное решение U(x) G Wp(R^), при этом справедлива оценка c(\\F(x),Lp(R+)\\ + ||(l + a;„)F(ar),Li(il+)||) с константой с > 0, не зависящей от F(x).
Замечание 4. Из теорем 1.1-1.4 следует, что индекс краевых задач вида (1), исследуемых в соболевских пространствах Wp, зависит не только от порядков операторов, размерности п и степени суммируемости р, но и от свойств дифференциальных операторов C(DX), B(DX), описываемых в терминах (4). Этот результат является новым и для эллиптических систем.
В диссертации была исследована также регулярность решений краевых задач вида (1).
Теорема 1.5. Пусть \а\/р' > £max, F(x) G Li(JR+), при этом F(x) G W£(R„), 6 = (t/cxi, ., т/ап), тJctj G N. Тогда для каждой компоненты решения Ur(x) G Wp(R^), г = 1,. ,т, краевой задачи (1) имеет место следующее свойство: иг(х) е wJr+<?№), Г + е = ((и + т)/аь ., (*г + т)/ап).
Замечание 5. Теорема 1.5 является некоторым аналогом известных теорем для эллиптических и параболических краевых задач.
В пятом параграфе первой главы рассматриваются краевые задачи для квазиэллиптических систем с переменными коэффициентами
С{х- Dx)U = F{x), xeRZ,
5)
B(Dx)U\Xn=v = 0.
Будем предполагать, что коэффициенты оператора С{х; Dx) непрерывны и постоянны вне некоторого компакта К С и для матриц С[х\ г£), B(i£) в каждой точке х G R* выполнены условия 1-4.
В следующих теоремах доказывается, что свойство безусловной разрешимости краевых задач вида (1) сохраняется при малых возмущениях коэффициентов.
Теорема 1.6. Пусть \а\/р' > tmax и F(x) Е LP(R+) П Li(R+). Если коэффициенты оператора С{х\ Dx) достаточно мало отличаются от постоянных, то краевая задача (5) однозначно разрешима в Wlp{R^), и для решения U(x) справедлива оценка
U{x),WlM)\\ < c(V W-W)ll + ||F(®),i,(iJ+)||) с константой с> 0; не зависящей от F{x).
Теорема 1.7. Пусть \а\/р' < tmax, \а\/р'+ап > tmax и F(x) G LP(R+), (1 + xn)F{x) е Li(R+). Предположим, что
J B{is,iX)C-1(x°]is1iX)dX = 01 s е Rn-Д{0}, x° g К, m где r(s) — контур в комплексной плоскости, охватывающий все корни уравнения det/2(x°; is,i\) = 0. Если коэффициенты оператора С[х\ Dx) достаточно мало отличаются от постоянных, то краевая задача (5) однозначно разрешима в Wlp(Rи для решения справедлива оценка
U(x),W'(R+)\\ < c(W),bp№t)ll + на + ^т®),^^)^ с константой с > 0, не зависящей от F(x).
В последнем параграфе первой главы приводятся результаты о разрешимости краевых задач вида (1) в Wp(R^), когда оператор C(DX) является однородным квазиэллиптическим (t{ = tj = 1).
В первой главе мы рассматривали краевые задачи для неоднородных квазиэллиптических систем с нулевыми граничными функциями, во второй главе диссертации исследуется разрешимость в Wlp{Rкраевых задач для однородных квазиэллиптических систем с ненулевыми граничными функциями:
C{DX)U = О, х е Д+
6)
B(Dx)U\Xn=0 = ip(x')
Введем следующие обозначения: а' = (ai,., ani), «max = max{ai,., ani}, n-1
4in = min{o;i,., ani}, \a'\ = ^ a^ i=1 rrim-m = min{mb ., тД mmax = max{mb ., mj, n-1 x — (a?, жп) = • ■ • j i) ) = ^ ^ i=1
Определим пространство функций г = (ri,., rni), rz- >
0 — нецелые, как замыкание бесконечно дифференцируемых финитных функций по норме
71 — 1 i=1 где х = ГгЩ, г ~ 1,., n — 1, F~l — обратный оператор Фурье, — преобразование Фурье функции ф{х').
В первом параграфе второй главы вводятся необходимые обозначения, определения, формулируются основные результаты. Во втором параграфе доказываются основные утверждения о разрешимости краевых задач вида (6).
Теорема 2.1. Пусть \а'\/р' > tmax — тт-f- ап/р, тогда краевая задача (6) имеет единственное решение U(x) £ Wlp(Rдля любых функций ф3(х') Е (i?ni) nLi{Rn-i), г3 = (r[,. r\ai = т,-ап/р, j = 1,., [i, при этом справедлива оценка
U(x),Wlv{R+)\\ < cjr + j=1 с константой с > 0; не зависящей от ф(х') — (ф1(х1),., ф^{х'))Т.
Теорема 2.1 является аналогом теоремы 1.1 о безусловной разрешимости краевых задач для неоднородных систем. Отметим, что для общих краевых задач вида (6) безусловная разрешимость в Wlp{R^) имеет место при меньших ограничениях на показатель суммируемости р, чем для задач вида (1). Однако в теореме 2.1 речь не идет о безусловной разрешимости во всей шкале соболевских пространств Wp(R^), 1 < р < оо. Так разрешимость краевой задачи (6) в W^Rn), Для которой \а'\/2 < tmax — ramin + otn/2, удается доказать лишь при дополнительных требованиях на граничные функции. Этот результат формулируется в следующей теореме.
Обозначим через Q множество индексов g, 1 < q < /х, таких, что
М/2 < *max - rnq + ап/2.
Теорема 2.2. Пусть |о;'|/2 < tmax—тт\п+С£п/2, иф3(х') G {Rn-1) r\Li(Rn-i), rJ = (r{,., r^), rfai = Tiij - an/2, j = 1,., Предположим, что при q £ Q функции фя(х') удовлетворяют дополнительно условиям ху,+<~фЯ(х>) G Li(R+), dq = tmax -mq + ап/2 - \а'\/2,
J х,1,фч{х') dx' = 0 (7)
Rn-i для всех мулътииндексов v таких, что a'v < dq.
Тогда краевая задача (6) имеет единственное решение U(x) £ W^iR*), при этом справедлива оценка u(x)M(K) II < с(£ +
V j=i qeQ J с константой с > 0, не зависящей от ф(х') = (ф1(х1),., ф^(х'))Т.
Следующая теорема показывает, что в ряде случаев условия ортогональности (7) являются необходимыми условиями разрешимости.
Теорема 2.3. Пусть фз(х') £ C™{Rn-i), j = 1,., ц, rrij = rrii — гп\. Если \а'\/2 < tm[n - mi + ап/2, \а'\/2 + a'min > tmax - mi + ап/2, тогда для разрешимости краевой задачи (6) в W^R^) необходимо, чтобы
J P(x')dx' = 0, 3 = 1,.,^.
Rn-1
Теоремы 2.2 и 2.3 показывают, что индекс краевой задачи (6) зависит от порядков операторов и размерности п.
В последнем параграфе второй главы устанавливаются утверждения о разрешимости краевых задач вида (6) в Wp(R^), когда оператор C(DX) является однородным квазиэллиптическим.
Как показали исследования, проведенные в первых двух главах диссертации, безусловная разрешимость краевых задач для квазиэллиптических систем в Wp(R„) имеет место, как правило, при ограничениях на показатель суммируемости р > р* > 1. Для разрешимости при р < р* необходимо накладывать дополнительные требования на данные. Отметим, что в случае постоянных коэффициентов эти требования имеют вид условий ортогональности данных некоторым полиномам. В случае переменных коэффициентов условия разрешимости принимают гораздо более сложный вид [58], а именно
J xvQF(x) dx = 0, av < d,
Rt где Q — интегродифференциальный оператор. Это обстоятельство делает проверку условий разрешимости крайне затруднительной. Естественно возникает вопрос: можно ли указать функциональные пространства, в которых можно установить разрешимость, не накладывая на данные дополнительных требований такого рода? Как показали исследования (см., например, [28]) такими удобными пространствами являются соболевские пространства со степенными весами, введенные Г. В. Демиденко в [24,26].
Пусть G = Rn или G = R+, I = (к/а\,., к/ап), к/оц € N, 1 < р < оо, а > 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что локально суммируемая функция и(х) принадлежит весовому соболевскому пространству Wpa(G), если функция и[х) имеет обобщенные производные D^.u{x) в G, vol < к, и
Ц(1 + Ьр(<?)|| < оо, <*)" = Х)*?"4. г=1
Норма в пространстве Wlp^(G) определяется следующим образом
K®),W^(G)||= X) IK1 + (x))'°{k""')Dlu{x)<Lp(G)\\.
О<иа<к
Отметим, что в изотропном случае (щ = aj = 1) эта норма эквивалентна следующей o<M<fc
При (j = 0 введенное пространство совпадает с соболевским пространством Wp(G). Когда а = 1, в изотропном случае (скг- = ctj) при р > п пространства такого типа совпадают с пространствами J1. Д. Кудрявцева [34,35] (см. также [50,51]).
При G = Rn, а = 1, ai — o>j и произвольных р > 1 такие пространства называются пространствами Ниренберга - Уолкера - Кантора М?~1 [73,83]. В этих пространствах в 70-80е годы были установлены свойства изоморфизма эллиптических операторов в Rn [3,73-75,79,81,82].
Отметим, что в анизотропном случае (а; Ф ау) в пространствах Wpti(Rn) впервые были установлены свойства изоморфизма квазиэллиптических операторов в Rn [27]. В работе [78] результаты [27] перенесены на случай анизотропных пространств Кудрявцева - Ниренберга - Уолкера - Кантора.
Будем говорить, что вектор-функция U(ж) = (t/1 (ж),., Um{x))T принадлежит Wpa(Rn), если каждая ее компонента Ur(x) принадлежит пространству где Г = (tr/aь ., tr/an).
Третья глава диссертации посвящена исследованию разрешимости краевых задач для квазиэллиптических систем в Wpa(R^). Мы будем рассматривать случай, когда показатель а степенного веса принадлежит отрезку [0,1]. Заметим, что множество функций из C°°(R+), равных нулю при больших |сс|, всюду плотно в пространстве Wp>a(R^) при а < 1 (см. [26]). Этот факт существенно нами используется при доказательстве единственности решений краевых задач вида (1) в Wpa{R^).
Третья глава состоит из пяти параграфов. В первом параграфе даются необходимые определения, формулируются полученные результаты. В следующих двух параграфах устанавливаются результаты о разрешимости краевых задач вида (1).
Теорема 3.1. Пусть \а\ > tmax и \а\/р > crtma.x > tmax — \ot\/p'. Тогда для любой вектор-функции F(x) Е LP(R^)> (1 -f- (x))atm**F(x) G Li(R^), краевая задача (1) имеет единственное решение U(x) 6 пРи этом справедлива оценка
U(x),W^)\\<c{\\F{x),Lp(R+)\\ с константой с > 0, не зависящей от F{x).
В силу теоремы 3.1, выбирая показатель а степенного веса из интервала а Е (1 — \cn\/{p'tmax), \a\/(ptmax)), мы имеем безусловную разрешимость краевой задачи (1) в весовом соболевском пространстве Wpj(X(R^) при любом 1 < р < оо. Отметим, что ограничения на показатель а степенного веса являются существенными. В частности, при |ск|/(ptmax) < а однородная задача может иметь нетривиальные решения. Если а < 1 — \a\/(p'tmax), то можно привести примеры краевых задач, которые не имеют решений в Wp(7(R^) даже для финитных бесконечно дифференцируемых F(x) (см. § 3.5). В следующей теореме мы указываем условия на F(x), при которых краевая задача (1) однозначно разрешима в пространстве WlPt<T(B+) при сг < 1 — \a\/{p'tmax).
Теорема 3.2. Пусть |а?| > tmax и crtmax < tmax — |а|/р'. Тогда для любой вектор-функции F(x) Е Lp(R^), удовлетворяющей условиям
1 + (x))d+a™F{х) Е d = tmax - \а\/р',
J xuF{x) dx = 0
Rt для всех мультииндексов v таких, что av < d — cr£max, краевая задача (1) имеет единственное решение U(x) Е при этом справедлива оценка mx),w^(Rm<c(\\n^LP(Rm \\(l + (x))d+'-™F(x),L1(R:)\\) с константой с > 0, не зависящей от F(x).
Замечание 6. Теоремы 3.1 и 3.2 являются аналогами соответствующих результатов для квазиэллиптических уравнений [25].
В четвертом параграфе третьей главы рассматриваются краевые задачи вида (5) для квазиэллиптических систем в полупространстве с переменными коэффициентами. В этом случае устанавливается аналог теоремы 3.1.
Теорема 3.3. Пусть |а| > tmax и |а|/р > сг^тах > tmax ~ М/У, F(x) € LP(B+), (1 + {x))atmaxF(x) е Li(R+). Если коэффициенты оператора С{х; Dx) достаточно мало отличаются от постоянных, то краевая задача (5) однозначно разрешима в WPi(7(R^), и для решения U(x) справедлива оценка
U(x),W^(R^\\<c{\\F(x),Lp(R^\\ ||(1 + (x))«-~F(x)1L1{R+)\\) с константой с > 0, не зависящей от F{x).
В этой главе мы доказываем также аналог теоремы 1.5 о регулярности решений краевых задач вида (1).
Теорема 3.4. Пусть |а| > £max, \а\/р > <Jtmax > tmax - \а\/р', (1 + (x})at™*F{x) е Li(R+), при этом F(x) е Wg(R+), g = (r/ai,., r/an), т/aj G N. Тогда для каждой компоненты решения Ur(x) 6 Wpa(R^), г = 1,. ,171, краевой задачи (1) имеет место следующее свойство:
DvxUr(x) Е W£(R+) при vol = tr.
В последнем параграфе третьей главы приводятся примеры краевых задач, на которых иллюстрируются результаты диссертации. В частности, рассматриваются система уравнений Навье, возникающая в теории упругости, и система Бицадзе.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10-15,71].
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Г. В. Демиденко за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.
1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг А. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
2. Антохин Ю. Т. О некоторых некорректных задачах теории потенциала // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, № 4. С. 525-532.
3. Багиров Л. А., Кондратьев В. А. Об эллиптических уравнениях в Rn // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, № 3. С. 498-504.
4. Багиров Л. А., Кондратьев В. А. Об одном классе эллиптических уравнений в Rn // Дифференциальные уравнения с частными производными: Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР. 1978. № 2. С. 5-16.
5. Багиров Л. А. Априорные оценки, теоремы существования и поведение на бесконечности решений квазиэллиптических уравнений в Rn // Мат. сб. 1979. Т. 110, № 4. С. 475-492.
6. Балабаев В. Е. О задаче Дирихле для многомерного аналога системы Бицадзе // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 2. С. 276-277.
7. Белоносов В. С. Краевые задачи для квазиэллиптических уравнений // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, № 5. С. 985-999.
8. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.
9. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.
10. Бондарь Л. Н. Условия разрешимости краевых задач для квазиэллиптических систем // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7, вып. 4. С. 9-26.
11. Бондарь Л. Н., Демиденко Г. В. Краевые задачи для квазиэллиптических систем // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 2. С. 256-273.
12. Бондарь JI. Н. Разрешимость краевых задач в R+ для квазиэллиптических систем. Новосибирск, 2008. 15 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 205).
13. Бондарь Л. Н. Необходимые условия разрешимости краевых задач для квазиэллиптических систем // Материалы XLVI Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2008. С. 59.
14. Булдыгерова (Бондарь) Л. Н. Lp-оценки решений одной эллиптической системы // Материалы XLI Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2003. С. 18.
15. Булдыгерова (Бондарь) Л. Н. Разрешимость краевых задач в для квазиэллиптических систем / / Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения". Новосибирск, 2007. С. 104.
16. Веку а И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982.
17. Волевич Л. Р. Локальные свойства решений квазиэллиптических систем // Мат. сб. 1962. Т. 59, № 3. С. 3-52.
18. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем // Мат. сб. 1965. Т. 68, № 3. С. 373-416.
19. Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Об одном классе гипоэллиптических полиномов // Мат. сб. 1968. Т. 75, № 3. С. 400-416.
20. Грушин В. В. Связь между локальными и глобальными свойствами решений гипоэллиптических уравнений с постоянными коэффициентами // Мат. сб. 1965. Т. 66, № 4. С. 525-550.
21. Давтян А. А. Анизотропные потенциалы, их обращение и некоторые приложения // ДАН СССР. 1985. Т. 285, № 3. С. 537-541.
22. Демиденко Г. В. О корректной разрешимости краевых задач в полупространстве для квазиэллиптических уравнений // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29, № 4. С. 54-67.
23. Демиденко Г. В. Интегральные операторы, определяемые краевыми задачами для квазиэллиптических уравнений // Докл. РАН. 1992. Т. 326, № 5. С. 765-769.
24. Демиденко Г. В. Интегральные операторы, определяемые квазиэллиптическими уравнениями. II // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 1. С. 41-65.
25. Демиденко Г. В. О весовых соболевских пространствах и интегральных операторах, определяемых квазиэллиптическими уравнениями // Докл. РАН. 1994. Т. 334, №. 4. С. 420-423.
26. Демиденко Г. В. О квазиэллиптических операторах в Rn // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 5. С. 1028-1037.
27. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998.
28. Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. М.: Наука, 1984.
29. Казарян Г. Г. Оценки дифференциальных операторов и гипоэллип-тические операторы // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1976. Т. 140. С. 130-161.
30. Карапетян Г. А. Решение полуэллиптических уравнений в полупространстве // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1984. Т. 170. С. 119-138.
31. Карапетян Г. А. Свойства решений регулярных гипоэллиптических уравнений // Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Ереван, 2007.
32. Кузьмин Е. Н. О задаче Дирихле для эллиптических систем в пространстве // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3, № 1. С. 155-157.
33. Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1959. Т. 55. 182 с.
34. Кудрявцев Л. Д. Теоремы вложения для классов функций, определенных на всем пространстве или полупространстве //I: Мат. сб. 1966. Т. 69, № 4. С. 616-639; II: Мат. сб. 1966. Т. 70, № 1. С. 3-35.
35. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1969. Т. 105. С. 89-167.
36. Лионе Ж-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
37. Михайлов В. П. О поведении на бесконечности одного класса многочленов // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1967. Т. 91. С. 59-80.
38. Михайлов В. П. Первая краевая задача для квазиэллиптических и квазипараболических уравнений // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1967. Т. 91. С. 81-99.
39. Никольский С. М. Первая краевая задача для одного линейного уравнения // ДАН СССР. 1962. Т. 146, № 4. С. 767-769.
40. Никольский С. М. Единственность решения одной краевой задачи для выпуклой области // ДАН СССР. 1963. Т. 148, № 5. С. 10221025.
41. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
42. Петровский И. Г. Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. М.: Наука, 1986.
43. Пламеневский Б. А. Об асимптотике решений общих краевых задач для квазиэллиптических уравнений в цилиндре // Успехи матем. наук. 1972. Т. 27, № 6. С. 247-248.
44. Плетнева Т. Г., Эйделъман С. Д. Теоремы о трех цилиндрах для решений линейных эволюционных квазиэллиптических уравнений // ДАН СССР. 1970. Т. 192, № 3. С. 507-510.
45. Рабинович В. С. Квазиэллиптические и параболические граничные задачи для неограниченных цилиндрических областей // В сб.: Теория функций. Функциональный анализ и их приложения. Респ. меж-вед. тем. науч. сб. 1975. Вып. 24. С. 138-150.
46. Стернин Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре // ДАН СССР. 1970. Т. 194, № 5. С. 1025-1028.
47. Стернин Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения // Тр. Моск. ин-та электрон, машиностр. 1972. Вып. 25. С. 100-134.
48. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
49. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989.
50. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.
51. Тренева Т. В. Многомерный аналог системы А. В. Бицадзе. В кн.: Аналитические методы в теории эллиптических уравнений. Новосибирск: Наука, 1982.
52. Успенский С. В. О представлении функций, определяемых одним классом гипоэллиптических операторов // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1972. Т. 117. С. 292-299.
53. Успенский С. В. О дифференциальных свойствах решений одного класса псевдодифференциальных уравнений на бесконечности // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13, № 3. С. 665-678; № 4. С. 903-909.
54. Успенский С. В. О корректных задачах для одного класса частично-гипоэллиптических уравнений в полупространстве // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1975. Т. 134. С. 353-365.
55. Успенский С. В., Чистяков Б. Н. О выходе на полином при стремлении —> оо решений одного класса псевдодифференциальных уравнений // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 5. С. 1053-1070.
56. Успенский С. В., Демиденко Г. В., Перепелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука, 1984.
57. Филатов П. С. О нетеровости квазиэллиптических уравнений в Лп // Дифференциальные уравнения с частными производными: Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. Новосибирск. 1976. № 1. С. 129-138.
58. Филатов П. С. Дифференциальные свойства решений уравнений квазиэллиптического типа в неограниченных областях // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Новосибирск, 1979.
59. Халилов Ш. Б. О задаче Дирихле для одной многомерной системы эллиптического типа // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 9. С. 1608-1612.
60. Хермандер JI. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965.
61. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1-4. М.: Мир, 1986-1988.
62. Шмырев Г. А. Краевые задачи для квазиэллиптических уравнений // Кубатурные формулы и их приложения. V Международный семинар-совещание. Красноярск, 1999. С. 40-42.
63. Эйдельман С. Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.
64. Янушаускас А. И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск: Наука, 1985.
65. Arkeryd L. On Lp estimates for quasi-elliptic boundary problems // Math. Scand. 1969. V. 24. P. 141-144.
66. Buldygerova (Bondar) L. N. On solvability of one elliptic system in weighted Sobolev spaces // Selcuk J. Appl. Math. 2003. V. 4, No. 1. P. 3-24.
67. Cavallucci A. Sulle proprieta differenziali delle soluzioni delle equazioni quasi-ellittiche // Ann. Mat. Рига Appl. 1965. V. 67. P. 143-167.
68. Cantor M. Spaces of functions with asymptotic conditions on Rn // Indiana Univ. Math. J. 1975. V. 24, No. 9. P. 897-902.
69. Cantor M. Elliptic operators and decomposition of tensor fields 11 Bulletin AMS. 1981. V. 5, No. 3. P. 235-262.
70. Choquet-Bruhat Y., Christodoulou D. Elliptic systems in Hs>a spaces on manifolds which are Euclidean at infinity // Acta Math. 1981. V. 146, No. 1-2. P. 129-150.
71. Demidenko G. V. On solvability of boundary value problems for quasi-elliptic systems in R\ j j Journal of Analysis and Applications. 2006. Vol. 4, № 1. P. 1-11.
72. Hormander L. Lower bounds at infinity for solutions of differential equations with constant coefficients // Israel J. Math. 1973. V. 16, No. 1. P. 103-116.
73. Hile G. N. Fundamental solutions and mapping properties of semiellptic operators // Math. Nachr. 2006. V. 279, No. 13-14. C. 1538-1564.
74. Lockhart R. В., McOwen R. C. Elliptic differential operators on noncom-pact manifolds // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 1985. V. 12, No. 3. P. 409-447.
75. Matsuzawa T. On quasi-elliptic boundary problems // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V. 133, No. 1. P. 241-265.
76. McOwen R. C. The behavior of the Laplacian on weighted Sobolev spaces // Comm. Pure Appl. Math. 1979. V. 32, No. 6. P. 783-795.
77. McOwen R. C. On elliptic operators in Rn // Comm. Partial Differential Equations. 1980. V. 5, No. 9. P. 913-933.
78. Nirenberg L., Walker, H.F. The null spaces of elliptic partial differential operators in Rn // J. Math. Anal. Appl. 1973. V. 42, No. 2. P. 271-301.
79. Ornella F. Problem quazi-ellitici nel semispazio dipendenti da un parametro // Rend Accad naz. sci fis a mat Soc naz. sci cett e art. Napoli 50. 1983. No. 2.
80. Parenti С. Problema di Dirichlet in un semispazio relativo ad una classe di operatori quasi ellittici // Boll. Unione mat. Ital. 1970. V. 3, No. 1. P. 104-121.
81. Parenti C. Valutazioni a priori e regolarita per soluzioni di equazioni quasi-ellittiche // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1971. V. 45. P. 1-70.
82. Pehkonen E. Ein hypoelliptisches Diriclet Problem // Soc. Sci. Fenn. Comment. Phys.-Math. 1978. V. 48, No. 3. P. 131-143.
83. Troisi M. Problemi al contorno con condizioni omogenee per le equazioni quasi-ellittiche // Ann. Mat. Рига Appl. 1971. V. 90. P. 331-412.
