Интегральные операторы, определяемые квазиэллиптическими уравнениями и уравнениями составного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГб од

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК'

I О "V" 'ПОП

* '•' •''ЫАТЕ?АА.ТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи

ДЕЩЦЕНКО Геннадий Владимирович

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ КВАЗИЭЛЛШТГИЧЕСКИЩ УРАВНЕНИЯМИ И УРАВНЕНИЯМИ СОСТАВНОГО ТИПА

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук"

МОСКВА - 1993

/

Работа выполнена в Институте математики 00 РАН. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

член-корр. РАН 0.В.Бесов,

доктор физико-математических наук, профессор Ю.А.Дубинский,

академик РАН Ю.Г.Решетняк.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Московский государственный

университет им. М.В.Ломоносова.

Защита диссертации состоится ^_"_ 1993 г. в

_ час. на заседании специализированного совета Д.002.38.03

при Математическом институте им., В. А. Ста клана РАН по адресу: 117333, Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан 1_"_' 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н.

С.А.Теляковский

Диссертация посвящена изучению семейств интегральных итераторов, порождаемых краевыми задачами для квазиэллипти-мских уравнений и некоторых классов уравнений • составного сипа.

В проведенных исследованиях проявилась характерная для таследних десятилетий ситуация, когда, с одной стороны, за-цачи теории уравнений с частными производными стимулируют появление новых направлений в анализе, с другой стороны -развитие теории дифференциальных уравнений связано с использованием идей и методов функционального анализа. Особенно тесная связь дифференциальных уравнений и функционального анализа возникла после выхода в свет монографий О„Л.Соболе-

it ♦ M

ва и Л.Шварца .. Идеи и метода, изложенные в этих трудах получили дальнейшее развитие и приложения. В настоящее время теория функциональных пространств, интегральные представления функций, различные интегральные операторы представляют самостоятельный интерес, являются объектом специальных исследований и имеют многочисленные применения в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Фундамен-

*С.Л.Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. ЛГУ. - 1950. - 255 с.

**L.Schwarz. Theorie dea díatributions I, II. - Hermann, Paria, I950 - 51.

тальное изложение результатов и достаточно полный обзор пс этим вопросам содержится в монографиях О.В.Бесова, В.П.Ильина и О.Ы.Никольского, О.Л. Соболева, И.Отейна, М.Тейлора, Ф Трева, X.Трибаля, Л.Хермандера и др.

Интегральные операторы, рассматриваемые в диссертации появились в связи с развитием метода исследования решени квазиэллиптических уравнений во всем пространстве

L(Dx) и = f(x), х с Hn, (I

предложенного в работах С.В.Успенского* . Этот метод осно вш на применении специального усреднения функций f(x) и

VV!

х - у

f(x) = Um (2%rn f .itH"7' J- f exp (Í-—— £) «■ h H л ü

U Tl

"« GfU T(V) äl äy äv , (i

где

Gfg; = m <?>m exp (~<£>m), m = 2k > О, <£>2 = E I, 4

í=Í 1

и а = (a;,...,anJ - является вектором однородности для сш Еола L(IU оператора L(DX), т.е.

L(cal£) = с LfíU, с > О.

* С.В.Успенский. О представлении функций, определяемых одн: классом гипоэллиптических операторов // Тр. Мат. ин-та А СССР. - 1972. - Т. 117. - С. 292-299.

С.В.Успенский. О дифференциальных свойствах решений одно класса псевдодифференциальных уравнений на бесконечное // I ~ Сиб. мат. куря. - 1972. - Т. 13, J6 3; - С. Б65-67

II - Сиб. мат. журн. - 1972. - Т. 13, J5 4. - С. 903-909.

0.В.Успенский предложил строить последовательность приближенных решений для уравнения (I) в следующем виде

X - у

^(х) = (2к)-п [ «Н*! ]• X ехр («—5—0 -к я л и

п п

« -ЛШ- ;(у) ву аи , Гг > О, (3)

ти

и изучая свойства функций и^(х), переносить их на решение предельнш переходом при 7\ О.

Дальнейшее развитие такого подхода в работах С.В.Успенского и его учеников позволило получить ряд новых результа-татов о поведении на бесконечности решений некоторых классов псевдодифференциальных уравнений и квазиэллиптических уравнений в Я .

п

Приближение (3) является аналогом хорошо известной интегральной формулы О.Л.Соболева, дащей представление функции через интегралы от самой функции и ее производных. Отметим также, что в идейном плане представление (2) связано с усреднением функций по Соболеву, а также близко к сглаживающим функциям Фридрихса.

Наши исследования начались* с изучения /<><,.- теории смешанных краевых задач в четверти пространства для одного класса уравнений составного типа, которые имеют вид

*Г.В.Демиденко. О смешанных краевых задачах для уравнений типа Соболева с переменными коэффициентами // Дифференциальные уравненния с частными производными / Тр. семинара акад. С.Л.Соболева. - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1979, № 2. - С. 52-91.

- б -

Ц1)±,Пх) и = Ъ0(Ва) D\ и + Vi/V DJ " = W

о

где X0fJ5 J - квазиэллиптический оператор. Эти уравнения являются неразрешенными относительно старшей производной по t ив литературе называются уравнениями соболевского типа.

В указанной работе интегральное представление (2) впервые было использовано при регуляризации правого обратного для дифференциального оператора

W^t'V.....W

{Sn - оператор следа на гиперплоскости 1хп =0}), определяющего смешанную задачу в четверти пространства для уравнения (4). (Подробное изложение этой работы содержится в главе III монографии [I]). Как позже выяснилось, этот прием оказался очень эффективным при построении L - теории краевых задач для уравнений вида'(4), квазиэллиптических уравнений и некоторых классов систем не типа Каши-Ковалевской. Построение соответствующей теории при этом сводится к изучению семейств специальных интегральных операторов Р , О < h < 1 в некоторых линейных нормированных пространствах V, U. ' Основные моментом является доказательство того, что линейные операторы ■ В : 7 -*■ Ü - ограничены, при этом

аир ЦР J s о < со, " (5 0<К<1

и имеет место сходимость

- Ph l О, hrh2-+0. (6

В дальнейшем семейство линейных операторов Р , h е £ (0,1), удовлетворяющих условиям (5), (6), будем назывэт

- т -

' фунЗаленлшъним в паре пространств {7, П) при Н -* О.

В диссертации изучаются несколько семейств интегральных операторов Р^, О < П < 1, определяемых различными задачами для квазиэллиптических уравнений (I) и уравнений составного типа (4), и устанавливается их фундаментальность в некоторых парах функциональных пространств при Ь 0. Эти операторы возникают при построении приближенных решений соответствующих задач. Первые две главы диссертации посвящены изучению свойств этих операторов. Доказанные теоремы используются в третьей главе в приложениях к краевым задачам для уравнений (I), (4) и позволяют получить для них ряд новых результатов.

Все результаты диссертации получены автором и неоднократно докладывались на всесоюзных и меядународных конференциях, в центре Ст.Банаха (Варшава, 1990), на совместных заседаниях семинара им. И.Г.ПетроЕСКого и Московского математического общества (1983, 1984), семинарах в Математическом институте юл. В.А.Стеклова (руков. - академик С.М.Никольский, руков. - чл.-корр. РАН Л.Д.Кудрявцев, руков. - проф. А.А.Дезин), Институте математики СО РАН (руков.- академик С.Л.Соболев, руков.- чл.-корр. РАН О.К.Годунов), Математическом институте ЧСАН (Прага, 1983), Московском энергетическом институте (руков. - проф. Ю.А.Дубинский), Университете Дружбы народов (руков. - проф. В.Н.Маслвяникова).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 12].

Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем диссертации 259 стр.

ГЛАВА I. Интегральные операторы, определяемые квазиэллшггачесними уравнениями

Первую главу мы начинаем с рассмотрения операторов Ph, определяемых формулой (3)

uh(x) = f(x), О < h < 1.

Изучение этого класса операторов преследовало две цели. Во-первых, получаемые теоремы служат нам в качестве ориентира при решении Солее сложных задач в дальнейшем. Во-вторых, эти теоремы позволяют получать ноше результаты по Lp- теории для квазиэллиптических уравнений в Rn (см. главу III). Результаты такого типа известны лишь для эллиптических уравнений в Rn и получены в 70 - 80 -е годы в работах L.NIren-barg, H.F.Walker, М.Cantor, R.O.McOwen, H.B.Lockhart, Y.Choquet-Bruhat, D.Ohriatodoulou. ¿2- теория в весовых соболевских классах, для квазиэллиптичэских уравнений в Rn изучалась в работах Л.А.Вагирова и В.А.Кондратьева.

При изучении атих интегральных операторов оказалось удобным ввести специальную шкалу весовых соболевских пространств

Яр,0(Яп). г = (1/а1Г...,1/ап), 1 < р < ю," О «г о S 1. По определенив мы полагаем, что ffr (R ) - пополнение мно-

р, о п

жества <%(Rn) по норме

Г JRд - S 1(1 + <x>;-°f'-PaJ ifu(x), Ъ (R л

да

„ п г/а , <хУ£ = s ■

1=1 1

1ри о = О указанное пространство является пространством Со-¡олева Vp(Rn>-

Обозначим через ^(Rn) пространство суммируемых фун-сций f(x), имеющих конечную норму

I!f(x), b,i7fHnJ|| = И(1 + <x»~7f(x), 1,ГЯпЛ|.

Основные результаты для семейства операторов, определя-)мых формулой (3), содержатся в следующих теоремах.

Теорела I. Пусть |а| > 1 и |а|/р > о > 1 - |а|/р". погда селейство операторов Ph является фундаментальным в юре пространств (LCR) П L. (R ), 1ТГ (R„)l при h -*■ О.

р Тъ 7 » ~"СГ Т1 Ру ff Tl

Teopejta 2. Предположим, что 1 > |а| > 1 - где

inln = mtn ia(,... ,ап), N - натуральное число и

! - |а|/р* - (Я-1)атЫ z а > 1 - \а\/р< - Namln, |а|/р > о.

Юа&юнил через Ср а N(Rn) подпространство функций. f(x) е

; Lp(Rn) Л Lf (Rn), 7 = -(а + ютиг, та

s a?f(x) dx = О, IPI = O.....N - 1. (7)

л

n

"огда авявйспВо операторов Ph является фундаяэьапплъшл в

юре пространств (£р о N(Rn), ^ ^

Доказательства этих, теорем проводятся в параграфа 2. В следующих параграфах мы рассматриваем семейства интег-¡альных операторов, определяемых краевыми задачами в полуп-

- 10 -

ространстве Д* для уравнения (I)

Ъ(ВЖ) и = Г(х), X е

В (0) и! = О, J=1,...,y..

1 I =0

1 п

Считаем, что граничные операторы имеют вид

т.. &

V. & <7(4^ П

при этом символы однородны относительно того же век-

тора а с показателем однородности 0 ¡$ < 7. Предположим, что для оператора

выполняется условие Лопатинског'о.

Прежде, чем дать явную конструкцию рассматриваемых интегральных операторов, укажем один способ построения приближенных решений задачи (8), основанный на усреднениях виде (2). . .

Поясним идею построения приближенных решений, проводе параллель с 1г - теорией. В этом случае вначале рассматривается краевая задача для обыкновенного дифференциальное уравнения с вещественным параметром а е Ип_1\{0)1

ЬС£а,0 ; V = в(хпх > О,

п п

В.Ца.О ) VI = О, / = 1.....(1, (9

3 хп \х =0

' п

\V(3,Xn)[ < с .

Напомним, что условие Лопатинского означает однозначную раз

г, -

решимость этой задачи при любой ограниченной правой части.

Выпишем явный вид решения этой задачи, используя некоторые контурные интегралы.

Обозначим через Г+(э,) - контур в комплексной плоскости, охватывающий все корни ^ уравнения 1(1а,1Х) = О, лежащие в верхней полуплоскости, а через Г~(а) - контур, охватывающий все корни, лежащие в нижней полуплоскости. При а е Я\(0} определим следующие интегралы

1 ехр (1х X)

, Ъ (1а,1Х) Г +(а)

1 ехр (1х X) ¿_(а,хп) ---/ -2— «Л,

г% I (1а,IX)

Т~(а)

I (а,хп) = - В (1а,Оя ) ^(а,гп - „0.

п ' п

1 ехр (1х X)

7 ! ——— ',"■>■) в..

"г*,.,*™

где

3 =

И+(а,Х) = П (к ~ киа))

Ь=1 й

и (а,Х) - полиномы по А, такие, что выполняются равенства 1 В (1з,IX) ff.fe.XJ .

I -1- ы = 0Ь

и (а,Х)

V (а)

'Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что решение задачи (9) имеет вид

X

п со

и(а,хп; = J <Т+(а,хп-уп)в(уп) Оуп + £ ¿_(а, хп-уп)в(Уп) ^

О х

п

со

+ £ ув.хп) т 1/а,Уп)8(Уп) ауп. 1 о

л

Теперь, взяв вместо В(х ) функцию /(а,хп) и применив к функции о(а,хп) обратный оператор Фурье, можно Сылс бы выписать решение краевой задачи (8). Однако в силу того, что символ Ъ(1Ц вырождается при £ = О, функция v(a,xn, Судет иметь, вообще говоря, неинтегрируемую особенность I окрестности а = О. Эта особенность растет с ростом порядкг дифференциального оператора и уменьшением размерности п. Поэтому для получения формального решения задачи (8) нужнс применять некоторую регуляризацию обратного оператора Фурье, При определении регуляризации мы будем использовать усреднение вида (2) по касательным переменным х'. ' Введем семейства линейных интегральных операторов я£. .....Ц, 71 €(0,1) (ю:

следующим образом. Для любой функции ?(х) е П

по определению полагаем

.-1 X

п п

Г(х) = (2%)'-п / V-1 / / / е^р (1(х'- У)а) « » СГаиа'; ¿+(а,хп - уп) ?(•<) Оа йу' йуп йо.

х = (х',хп), у = (у',уп), а = (а',ап),

СО

Нх) = I !)"' и ]■ едп {Цх<- у')а) «

» ОСаг/1') г_(а,хп - уп) Цу) <2а <3у' Оуп йи,

^ л . л .

п-7 п-1

со

к вези"') ¿}(а,хп) | 1/а,уп) Ну',Уп) Чуп & ¿Го, о

/ =

гдэ

й(а) = и <а> ехр (-<га>щ;, т = 2к > О, <а>г = £ э, -

1=1 '

Пусть и рассмотрим функцию

ин(х> = \ /С^-Нетрудно проверить, что

1Г0в; и^х; = ; «,-!«'И ; ; ехр (1—^-а) «

и н , я , и

тг-7 Т1-?

" СГа^ Т(У',хп) йа йу' йу, х = (х',хп.). Следовательно, в силу интегрального представления вида (2)

функцию можно рассматривать в качества приближенного

решения краевой задачи (8).

Описанная конструкция построения приближенных решений задачи (8) вытекает из нашей работы 1979 г., отмеченной на стр. Б, однако конкретно для задачи (8) она опубликована в [6].

Проводя аналогию с квазиэлпшшгаесними уравнениями (I) во всем пространстве Яп, маша попытаться использовать функцию и-ь(х) для изучения свойств решения краевой задачи (8). При этом естественным образом возникает проблема предельного перехода при П -> О, для решения которой нукно изучать семейство интегральных операторов из (II). А поскольку дифференциальные свойства, свойства Суммируемости и поведение не бесконечности функций очень удобно описывать в терминах тег или иных функциональных пространств, то задачу предельногс перехода можно свести к изучению фундаментальности семействг операторов Д^ в некоторых парах функциональных пространен С7, и} при П -» 'О.

Для изучения интегральных операторов (II) мы вводим весовые соболевские пространства, аналогичные рассмотревши выше.

Пусть г = (1/а1,...,1/а ), 1 < р < со, -о ¡5 о « 1.

Определим весовое соболзвское пространство как пополнение мнокества функций из (¿"(И^), равных нулю прз больших \х\, по норме

»и(х), г <т£л - 2 К1 + ъаС)

П П<Вг.<» * Р П

В дальнейшем через L1 будем обозначать простран-

ство суммируемых функций f(x), имеющих конечную норму

\\f(x), Ь,.7Г<Л = НИ + <х»~УГ(х), Lf(R+П. .Основные результаты для семейства операторов, определяемых. формулой (II), содержатся в следующих теоремах.

Георада 8. Пусть |а| > 1 и |а|/р > а > 1 - |а|/р'. Тогда сел&йатво операторов й^ являвшая фунЗаявниальтих в

паре пространств {L (R+) П Ь, JRt), К JRt>} nP" h

Р f^ J ^ Р у U 7»

Теорела 9. Предположи.®, что 1 > |а| > J - ^ата{п» ата{п = nía fcij,... ,anJ, ff - натуральное число и

1 - |а|/р' - > о > í - |а|/р' - ífamiu, |а|/р > о.

Обозначая через Ср а ¡t(R^) подпространство функций f(x) е

е Ър(R*_) П Ъ1 (R+), 7 = -fo + H]ct¡; таких, что

s x?f(x) üx = О, IPI = О,...,К - 1. (12)

гс

ГогЭа селейство операторов Rf¡ является фундаментальным в паре пространств {Ср а nPu h О-

Доказательство этих теорем вытекает из соответствующих теорем для операторов (10), доказываемых в параграфах 4 - Б. Отметим, что при проведении оценок норм операторов (10) существенно используются некоторые функции, построенные а параграфе 4 и удовлетворяющие теореме П.И.Лизоркина* о муль-

"П.И.Лизоркин. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультиплиноторов и его приложения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1969. - Т. 105. - С. 89-167.

типликаторах.

Основные результаты этой главы опубликованы в II], [2], [6], С83, СЮЗ, [И].

ГЛАВА II. Интегральные операторы, определяемые уравнениями составного типа

Вторую главу мы начинаем с рассмотрения семейства интегральных операторов Р^, О < Н < 1, определяемого задачей в полупространстве для двух классов уравнений вида (4)

ъ^,!) ) и = }(г,х), г > о, 1ейп,

(13)

и = О при • { < О. Считаем, что символ Ц 1т),1£) однороден относительно вектора а = (а0,агч..,ап) = (а0,а), где а0 »'О, 1/а1 -натуральные числа. В случае, когда а0 > О прэдполоким дополнительно, что

И О при Де 1 2 0, Ее ЯпМ0}, |г| + |£| * О.

Назовем операторы Ъ(Ог, йх), для которых а0 = О, операторами первого типа, а операторы с а0 > О - операторами второго типа.

В дальнейшем операторы второго типа мы будем рассматривать также с младшими членами следующего вида

2 ар ^ .

В втом случае оператор

т В1 % + ^ ар

будем обозначать тем же символом ЦВ±,П=)

Введем семейство интегральных операторов Рн, Н е (0,1) следующим образом. Для любой суммируемой функции ?(Ъ,х),

равной нулю при t < О, по определению полагаем и-' *

Рн ?(Х,х) = (2%Гп / V-1 £ [ / ехр (1(х - уХ) вахР) «

(14)

П -со Л Я

п тъ

* J(t - 1Л) !(х,у) сге ну йт а»,

где ядро й(^) определено в формула (2),

1 ехр (ИХ) •га,и = - / -сЯ.

^ ъ акп) та)

и Г(£) - контур в комплексной плоскости, охватывающий все корни уравнения 1(1г],1£) = О по т}. Нетрудно проверить, что

Л-'

рк м*х> - (в*)~п I и"' / X е1Р - ■

ь н д

П Т1

» Г а,у) с?у йи.

И поскольку Т^,х) = О при t < О, то в силу представления (2) функцию

можно рассматривать в качестве приближенного решения задачи (13). Возникающая при этом задача о предельном переходе при Л О, как и выше, может быть сведена к изучению фундамен-

- ia -

талыюсти семейства операторов ?h в некоторых парах функциональных пространств П, V) при Л -» 0.

При изучении этих интегральных операторов оказалось очень удобным ввести специальную шкалу соболевских пространств WZ СЙ ,J с экспоненциальным весом по i и сте-Pi7«а П+1

пенным по х. Дадим определение этих пространств, например, для случая, когда операторы Ph соответствуют второму классу уравнений (aQ > О). , Пусть г - (1/а0,1/а1г...г1/ап),

1<р< со, 0 < 7 < со, О S a S f.

Определим весовое соболевское пространство (Я ,.J,

Р•Y•О П+»

как пополнение множества функций из (f(Rn+1), равных нули при t < О и при больших • f|t|' + |х|;, по норме

. Mt,x),FTjtJRn+1 )l = - (1 + <x»~a ВГ±° u(t,х), Lp(Rn+in +

+ 2 ls"7t (1 + <х»~а(1-Ра)1р u(t,x), L (R J|-.

OSpaSf * . p n+1 . .

Обозначим через a = (1/àQ - 1,0,...,0} ■

пополнение множества функций из (f°(Rn+1), равных нулю пр t < О и при больших (|t| + |х|Л по норме

lu(t,x), iÇ^fЯп+,Д = И"7* "ft.xj, bpffln+JJB +

+ Je"7' V уЯп+,Л1, а0 = f/a0 - l-

а

В дальнейшем через 1° будем обозначать прост

Р « 7 « О Т1+ 7

ранство суммируемых функций f(t,x), равных нулю при t <

и имеющих конечную норму

U(t.x), (Rn+In -

= Je"7* |ff f <x>Fs f(t,x), L^RJb lp(Д,Л +

' + g f f + <х>Га D¡.°f(t,x}, L^RJI, Л-

Введем обозначения

lai = a, a , a . = min fa,,...,a }.

' 1 7 П. ïïltfl 7 П

Основшэ результаты для семейства операторов, определяемых формулой (14), в случае aQ > О содеркатся в следующих теоремах.

Теорема 12. Пусть |а| + laQ > 1 и |а|/р > о > 1 -- |а|/р* - laQ. Тогда существует Т0 > 0 такое,, что при 1 > 70 селейсяйо операторов Ph является ф^алвшгалъкыл в

паре пространств mBp¡J(Rn+1) П lp°^_a(Rn+1>, ^J¡a(Rn+1)) при h О.

Теорела 13. Предположим, что 1 } |а| + laQ > 1 - Nam{n, где N - натуральное число и

1 - |а|/р' - la0 - (N - l)a^in >а >1 - |а|/р' -laQ - ïïaxln, |а|/р > о. Обозначил через g n(Rn+1) подпространство

функций f(t,x) е />TfRn+1) Л Lp°jt0(Rn+1), 0 « - (a+N\a\) таких, что

f хР f(t,x) dr = О, ¡PI = О.....N-1. (15)

H

п.

ГогЗа существует 70 > О такое, что при 7 ^ 70 селейство операторов Ph является фупдсияеиталышл в паре пространств

- га -

{/0е „(К V (Я при 71-* О.

р,7,ст,1Г п+1" р,7,о1 п+1' г

Доказательства этих, теорем содержатся в параграфе 2. Семейство операторов (14) было введено в работе С41. В следующих параграфах мы рассматриваем семейства интегральных операторов, определяемые смешанными краевыми задачами в четверти пространства для первого класса (а0 = О) уравнений составного типа

и = Т(г,х), t > о, I е

В(В йх) и| .о-О. 3 - *.....Ц. (16)

* 1 и

и = О при t < О. Будем считать, что число граничных операторов В^В^В^ равно II, и кавдый из них имеет'вид

* . П *t<VlJ п

при этом символы В^Г 1т), однородны относительно вектора Ё1

с показателем однородности О £ р^ < 1, + о.) О, о г

*

Предположим, что при Ее т г у} для оператора

выполняется условие Лопатинского.

, Прежде, чем дать явную конструкцию рассматриваемых интегральных операторов, укажем способ построения приближенных решений задачи (16), основанный на усреднениях вида (2).

Поясним идею построения приближенных решений, проводя параллель с Ъг - теорией смешанны., краевых задач для гиперболических и параболических уравнений. Вначале рассмотрим

краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения о параметрами т, Лет >7,» 3 € Д |\СО>:

Ъ (ч,1а,1>а ) ш = 8(хп),

хп > О,

В. Г1,1а,Б ) ш|

* хп х =о

1 п.

|ш(Ч,а,х Л < со.

= о, з = 1.....

(17)

Эта задача получается из исходной формальным применением операторов Лапласа по t и Фурье по х'.

В силу условия Лопатинского задача (17) однозначно разрешима при любых 8(хп) € С^(Я^).

. Выпишем явную формулу решения этой задачи, используя, как при рассмотрении (9), некоторые контурные интегралы.

Обозначим через Г+(т,а.) - контур в комплексной плоскости, охватывающий все корни Х*(т;,а) уравнения

Ь(т,1а,1?0 = О при Ев т 5 7}1 а € Я ?\£0),

леяащие в верхней полуплоскости, а через Г-(Ч,а; - контур, охватывающий все корни, лежащие в ншшей полуплоскости. Определим следующие контурные интегралы

Г+(Ч,а;

J_(^,a,x ) =--/

п 2%

ехр (1х X) -2—

Ъ (ч,1а,IX)

Г~(ч,а)

ехр (1хX) —--2— <ЗХ,

Ъ (1,1а,IX)

1,(ч,в,х ) - В (т,(а,Ог ; - а: Л ж0,

■ . П Пг

1 ехр (1х \) JJ(%fn,xn) ---£ -г-2—

Т (%,а)

J - 1.....Ц,

где

и

М+(ч,а,К) ш П (к - \?(т,а)} ь=г *

и - полиномы по \ такие, что выполняются равенства

В.(х,1а,а) И.(ъ,а,\)

X —2-и.-СД. = О*

2x1 . М+(т,а,л;

Нетрудно проверить, что решение задачи (17) имеет вид

X

п

и(1,а,хп) - / - е(Уп) <%п +

о

со

+ Л JJ1ta,xn - уп) 8(Уп) <2уп +

■ ц 03

+ 2 ¿¿(1,а,хп) / Г, Га.а,уп) 8(Уп) 1 о

Теперь, взяв вместо В(хп) Функцию

со,

—I е-™ }(г,а,х ) « Л о

и применив к функции ш(1,а,хп) обратные операторы Лапласа и Фурье, можно было бы по аналогии с Ъ - теорией смешанных

х

тг

задач для гиперболических и параболических уравнений выписать решение краевой задачи (16). Однако, как и в случае задачи (8), здесь вновь возникает необходимость в регуляризации обратного оператора Фурье, так как решение w(t,a,xn) имеет, вообще говоря, неинтегрируемую особенность в окрестности а = О. Поэтому по аналогии о построением решения краевой задачи (8) ш будем использовать усреднение вида (2) по переменным х'.

Введем некоторые обозначения.

Для суммируемой функции f(t,x) в = f(t,x) е Rn+1:

xn > О }, равной нулю при t < О, при йе т > ,7f полагаем

.-1 а h п

- w" f V-1 f f f exp (- тУ0 + l(x'- у ja) «

h, ORR

IX n— I

'« Gfaua'; J+ex,a,xn - yn) f(y0,y',yn) da dz dyn dv, x = (x\xn), z ш (y0,y')r а - (а',ап),

h~1 га

IIIx,x) = (2x)~n J и"' J J J exp (- xy0 + i(x'~ y')a) «

к Gfau0') jji,a,xn - yn) f(y0,y',yj da dz dyn dv, fJh(%,x) = (S%)~n J it' J J exp (- ty0 + l(x'~ y)a) *

h R Я ,

n n— 1

CO

Gfava ) Jj(x,a,xJ J Ij(%,a,yn) f(y0,y',yn) dyn da dz dv, о

J

где .

вСв) - т <а>т ехр (~<а>), т = 2к > О, <а>г = £ а. .

.1=1 1

Введем теперь семейства интегральных операторов

К' рь' 3 = 1.....^^(0.1), (18)

определяя их действие на функциях }№,х) из рав-

ных нулю при { < О и при больших (1*1 + \х\)* по следующим формулам

ю

= X ехр ((1-ц + тЮ Н) + т,х) вц,

-со со

Р~ /а,х) = X ехр Г(£т] + уП) /¿(17} + У,х) ЙГ),

-со со

- I ехР ((1г1 +•^('£т> + т.*; -00

Т > 7,.

Отметим, что хотя подынтегральные функции в этих формулах зависят от параметра 7, но, как доказывается в четвертом параграфе- (см. теорему 15), сами интегралы не зависят от него.

Определим оператор и рассмотрим функцию

х) = Р^ х).

Можно показать (см. параграфы 6, 7 из главы II и параграф 4

из главы III), что

1-п г ,,- |а' I -?

1(Ог,Вх) ^а.х) = (2%у-п X и

п

х9~у9

» X X ехр (I—^т-а) С(а) Та,у',хп) йз йу' йи,

V, V, . у

^и =о = в 7.....^

71

uh(t,x) - О, t < 0.

Следовательно, в силу интегрального представления вида (2) функции llh(t,x) можно рассматривать в качестве приближенного решения краевой задачи (16), когда /fí,I^ е С00;) и равна нули при t < О и при больших + Iх! ЦРИ этом,

конечно, возникнет проблемы предельного перехода при Ь -*• О и распространения формул на более широкий класс функций

Для решения этих задач нужно изучать семейство интегральных операторов из (19).

В связи с этим мы вводил специальные шкалы весовых соболевских пространств. Пусть

г = (21,2/а1Г...,2/ап), 1 < р < со, О « о « ), 7, < 7 < 00 • Введем весовое соболевское пространство

как пополнение множества функций из 1), равных нулю

при £ < О и при больших П1! + 1^1 )> по норме

1 чих), =

. - 26 -

- - s+ <x»~a lftl u(t,x), Lp(t?+1n + • r-

+ S Не-?1 (1 + <x>raf,-paJ u(t,x), Ъ-XSL.)I + + S ' И"74 flP

ts?paS2 * . P n+1

Обозначим через 2 = (1,,..., i/a.^.) -

пополнение множества функций из (ffR^j), равных нулю при t < о и при больших f|t| + по норме

Mt,x), 1= |е-т* uft.x;, +

. , , п '/a. ,

f |e_T Dltu(t,x), L I f 2 Se~T u(t,x)r

В дальнейшем через Lp ^ e(Rn+/) будем обозначать пространство суммируемых функций f(t,x), равных нулю при f < О и имеющих конечную норму

= |в-г* 1(1 * <х»-в f(t,x), уя,Л| +

+ Se--Tt ЦП + <^>Ге f(t,x), Ь/R^IU yVS-Взэдем обозначения

lal = a, + a , a , = win (a,,...,a }. 1 1 7 n niln 1 n

Основные результаты для семейства операторов, определяемых формулой (19), содержатся в следующих, теоремах.

Теорэла 20. Пусть |а| > 1 и \а\/р > о > 1 - |а|/р". Тогда при. 7 > 7Т семейство операторов Ph допускает единственное расшрение по непрерывности на все пространство П Lp,7.-JRn+iJ' Т > 7,. при этол семейство рас-

миренных операторов является фучЗаявнтальшя в тюре пространств, ПГа (й*,) П I1 (Я* ,), 1ГГ ГЯ* при П -* О.

р.у п+1' р.у.-ак п+7" р,7«оч п-И , г

Теорет 21. Предположил, что 1 % \а\ > 1 - ^ата{п» гдэ N - ишуралъное число и

1 - |а|/р' - (Я-1)ат1п 2 о > 1 - |а|/р' - йхп|п, |а|/р > о. Обозначил через С3 „(Я+,,) подпаостранство функций

ТИ+1 и

/(г,х) е П т > т,. 3 - - (о * №\) каких, что

/ х3 вх = О, 1Р1 = 0.....1М. (20)

Я* п

Тогда селейсябо операторов Р^ допуасаеп единственное расширение по непрерывности на вез пространства а при э?гад семейство расширенных оперопоров является фундшявн-гахсьныя в пат>э пространств 1С3 „(Я*.,), (К*,.)} при Л О.

Доказательство втих теорем и исследование свойств операторов (18) и (19) проводятся в параграфах 4-7. Отметим, что при проведении оценок норм операторов (18) существенно используются некоторые функции, построенные в параграфе Б и удовлетворяющие теореме П.И.Лизоркина о мультипликаторах.

Интегральные операторы Р*, Р~, Р^ ^ были введены в работе [2] (в работе 1979 г. отмеченной на стр. 5, приведена более громоздкая конструкция построения приближенных решений задачи (16)).

Основные результаты этой главы опубликозанк в [II, [2], [43, [53, [73, [93, [123.

ГЛАВА.III. Приложения к краевым задачам для квазиэллиптических уравнений и уравнений составного типа

Третья глава посвящена приложениям результатов, полученных в первых двух главах, к задачам (I), (8), (13) и (16). Сформулированы и доказаны также некоторые утверждения для этих задач в случае переменных коэффициентов.

В первом параграфе рассматривается уравнение (I). Для него доказываются теоремы об однозначной разрешимости в весовых соболевских пространствах Wp • Основные результаты этого параграфа опубликованы в [10] и содержатся в следующих теоремах.

Теорема 24. Пусть |а| > 1 и |а|/р > а > 1 - |а|/р'. Тогда для любой функции f(x) е 1 _a(Rn) уравнение

(I) имеет единственное решение и(х) е a(Rn)> при этом справедлива оценка

|и(х), s с [lf(x), Ip(RnH + ВÍW, Llt_a(Rnn)

с константой- с > О, не завиагщэй от f(x).

Теорела 25. Предположим, что 1 Ъ |а| > 1 - к amin, где N - натуральное числа и

1 - |а|/р' - (N-1)CLnin > о > 1 - |а|/р' - Namln, |а|/р > о. Тогда для любой функции f(x) € L (R ) П L. (R й =

Р И |(О и

= - (а + jVJа¡ ), удовлетворят/ей условиям ортогональности (7), существует единственное решение и(х) е wr (R ) урав-

кекия (I), и для него Заполняется неравенство

8и< 0 W^ f .bf.efVl)

с константой с > О, не зависящей от f(x).

Как уже отмечалось, аналогичные исследования для эллиптических уравнений проводились в работах L.Nirenberg, H.F. Walker, M.Oantor, R.O.McQwen, R.B.Lockhart, Y.Choquet-Bruhat, D.Ohristofloulou. Однако в этих работах использовалась несколько иная шкала весовых соболевских пространств с нормой

Е Iff + |x|2/T+IP|V2 J^u(x)r Lp(Rn)l,

IP

т. е. используемые функциональные пространства в этих работах и у нас в изотропном случае совпадают только при а = 1, 7 = - т. Поэтому представляется интересным тот факт, что условие в теореме 24 на параметр о:

|а|/р > о > 1 - |а|/р' совпадает с аналогичным условием из работ M.Oantor* , И.О. McOwen**, в которых рассматриваются полигармонические уравнения. Из анализа доказательства теоремы 24 видно, что это условие появляется при оценке Еесовой нормы

Iff f <х»~а и(х), Lp(Rn)¡.

Отметим, что условия ортогональности (7) близки к необ-

*М.Cantor. Spaces of functions with asymptotic conditions of Rn // Indiana. Univ. Math. J. - 1975. - т.24, .4 9. -P.897-902.

**Mc0wen R.O. The behavior of the Laplacian on weighted So-bolev spaces // Comm. Pure Appl. Math. - 1979.- v.32, № 6. P. 783-795.

ходимым. Это вытекает из следующего утверждения.

Теорема 27. Пусть а; = ... = ап, |а|/р* ¡S 1, f(x) б е Ö^ffi^J. ГогЗа Оля разреишюсти уравнения (I) ß классе

rr(RJ при р £ 2 неабходило, чтобы выполнялись условия (7).

Во втором параграфе рассматривается краевая задача (8), и для нее доказываются теоремы об однозначной разрешимости в весовых соболевских пространствах

Изучению проблемы корректных постановок краевых задач для квазиэллиптических уравнений посвящено большое число работ. Однако в отличие от эллиптических достаточно полной теории для этих уравнений в настоящее время не существует.

Основные результаты етого параграфа опубликованы в [2], [63, 18], III] и содержатся в следующих теоремах.

Теорела 30. Пусть |а] > 1 и |а|/р > о > 1 - |а]/р'. Тогда для любой функции f(x) е L (R*) Л L, JR*) краевая

Р Т1 I a ~<J Т»

аавача (8) шхеет единственное рвменив и(х) е if^ при

этом справедлива оценка

\и(х), < с [lf(x), Lp(fy\ + U(x),

с коксшшой с > О, ке зависящей от f(x).

Теареяа 31. Предположил, «о |а| >1-U amtn, 29. N - натуральное число и

1 - |а|/р' - (N-Dат1п г а > 1 - |а!/р' - №ain, \а\/р > о Tozda для любой функции f(x) е LJR*) П L. JR+), 0 = - (а

р 7* I (О fl

+ №|а|,), удовлетворяющей условиял ориогональност (12), су

щестбуеп единственное решение и(х) е ^ краевой за-

дачи (В), и для него Выполняется неравенство

\и(х), и£р(та£л * с {\\ГМ. у<Л + им, Ь(>аГ<Л|) о константой с > 0, не зависящей от /(х).

Пр1 доказательстве теорем устанавливается, что решение крвевой задачи (8) можно ггрэдставить в виде и(х) = Ит Р /(х) ,

Ь^О

где оператор Рн определен в (II).

Условия ортогональности (12) близки к необходимым условиям разрешимости краевых задач в пространствах !УГ (К*).

р,о п

Можно привести примеры, когда они являются необходимыми.

Из теорем 24 и 30 Еытекает, что при решении уравнения (I) или краевой задачи (8) шкала весовых пространств !7Г

р, о

является более удобной, чем обычные соболввские пространства В связи с этим интересно отметить, что при решении вариационным методом краевых задач для эллиптических уравнений в неограниченных областях также используются специальные весо-совыо соболевские пространства. Впервые такие пространства были введены Л.Д.Кудрявцевым* .

В третьем параграфе рассматривается задача (13), и для нее доказываются теоремы об однозначной разрешимости в весо-совых соболевских пространствах.

Отметим, что теория задачи Коши для уравнений вида (4)

*Л.Д.Кудрявцев. Теореш вложения для функций, определенных на неограниченных областях // Докл. АН СССР.- 1963.- Т.153, .'5 3.- С. 530-532.

существенно отличается от соответствующей теории для параболических и гиперболических уравнений. Характерной особенное^ тью здесь является.тот факт, что разрешимость определяется на только гладкостью данных задачи, но И' дополнительными требованиями на них типа условий ортогональности (15>. По-видимому, впервые это было замечено О.А.Гельперном* при построении Ъг - теории.

Основные результаты этого параграфа опубликованы в [I], Е4], (5], [7], [9], С12]. Приведем'некоторые из них для второго класса уравнений (4) (а > О), при этом будем использовать следующие обозначения.

Символом ^ = П > О, I « йп ) будем

обозначать пространство функций иа,х), допускающих продолжение нулем на все Яп+) с сохранением класса. По определении пологапл

и^,х) при t > О

\,х) = |

U(tг .

I 0 при t < О

Аналогичным образом определяем пространства И^ и 1Гр ^ и по определению

"с.А.Гальшрн. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными // Тр. Моск. мат. об-ва. -1960.- Т. 9.- С. 401-423.

wих), - в-

Обозначим г = (i/a0,f/aj.....1/ап), а = (ао,0,...,0),

ао • 1/ао ' 1■

Имеют место утверждения.

Теорема 35. Пусть |а| + laQ > 1 и |а|/р > о > 1 -- \а\/р' - ~laQ. Тогда существует Т0 > О такое, что для лх>-

бой функции f(t,x) е П 7 * Т0

задача (13) имеет единственное решение u(t,x) е и Зля него выполняется оценка

lu(t,x), fTiX„) I « с (|/ft,u, Л +

с константой с > О, не зависящей am f(t,x).

Теорема 36. Предположим, то 1 2 |а| + laQ > 1 - Ялт1п, где N - натуральное число и 1 - |а|/р' - IaQ - (ff - 1)&т1п > 2 а > 1 - |а|/р' -1а0 - |а|/р > о- Обозначил через

подпространство функций f(t,x) е П

а ,

П Ъ ° JRl^), в = - (а + ff|a|удовлетворяющих условиям

р i^iO Ть т 7

ортогональности (15). Тогда существует 70 > О такое, что Зля xuöoü /(i,x; е 7 > Т0 эаЗача (13) однозначно разрешима в и 0ля решения выполняется оценка

Mt,x), sc [||/(t,xj, +

+ mt,x), ьд.Х^в)

с константой с > О, не ааВисящвй ст f(t,x).

В четвертом параграфе рассматривается смешанная 1фаевая задача (16) для первого класса (а0 = О)" уравнений вида (4), и для нее доказываются теоремы о корректной разрешимости в весовых сойолевских пространствах.

Построению общей теории краевых задач для уравнений вида (4) посвящены работы М.И.Випшка, С.А.Гальперна, А.А.Дези-на, Ю.А.Дубинского, А.Г.Костюченко, А.Л.Павлова, В.К. Роман-ко, Г.й.Эскина, J.E.Lagnese, R.E.Showalter, T.W.Tlng и др. (см., например, библиографию в Ш). Однако большая часть этих работ касается того случая, когда символ L0(lí) оператора L0(Ds) не вырождается при 5 е йп- И в этом случае для определенных классов уравнений (4) можно построить теорию, аналогичную теории краевых задач для гиперболических и параболических уравнений. Но когда символ LQ(1£) обращается в нуль при £ е Яп, аналога такой теории нет. Здесь, как и для задачи Кош (13), характерной особенностью является то что разрешимость определяется не только гладкостью данных задачи, но и дополнительными требованиями на них типа условий ортогональности (20). Первые результаты по Ъ2 - теории смешанных задач (16) были получены в работе 1979 г., отмеченной на стр. 5.

Основные результаты четвертого параграфа опубликованы е [I] - [3], [7], [91, [12]. Приведем некоторые из них, npi этом будем использовать следущкэ обозначения.

- 35 -

Символом 1Г (R+tj, R+* ~ f t > О, x e R+ ) будем

Р i i Q ut 7 ГЬ+ 7 71

обозначать пространство функций u(t,x), допускавдих продолжение нулем на все = fi е й(, х € с сохранением класса. По определению положим

u(t,x) при t > О

i,x) = |

uft.

О при i <г О

Аналогичным образом определяем пространства 17г (Rt*.)

р » т '

и Lm JRtt,)f и по определению

Pi ^ iO Т1т I

|uft,x;, = llûft.x;, «г^/я^Л,

luft.x;. = i^rt,*;, I™ 7>Х+тЛ-

Обозначим г = (2T.,2/af,...,2/an), а » (l,1/ajt...,1/an). Имеют место утверждения.

Геореда 40. Яустпь |а| > i и |а|/р > a > 1 - |а|/р'. ТогЭа Эля мобой функции f(t,x) е п Lp.7.-JRntiJ'

7 >7, краевая ваЗача (16) илеет единственное решение u(t,x ) е ff£ и Зля него выполняете я оценка

Buft.x;, rt7iXt^H (ll/Ct,x;F +

с константой с > О, не зависящей cm f(t,x).

Теорела 41. Предположи.?., что 1 2 |а| > 1 - » где № - натуральное число и 1 - |а|/р' - (II - & о >

> 1 - |а|/р' - |а|/р > о. Тогда Оля любой функции

f(t.x) € п i.7.ef<t»>' 0 - -f° + Т > Т,.

удовлетворяющих условиям ортогональности (20), существует

единственное решение аадаии (16) u(t,x) ef ^ и для него выполняется оценка

lu(t.T), l£iT.orOl < с (l/f*.^. Кл(1С1*Ъ + f if(t,x), i;.TiefCt;i]

с константой с > 0, не зависящей от f(t,x).

Условия ортогональности (20) близки к необходимым условиям разрешимости смешанных краевых задач (16) в пространствах Wp ^ а(й^*^). Можно привести примеры, когда они являются необходимыми.

Отметим, что описанный выше метод применим к изучению краевых задач для определенных классов систем не типа Ноши-Ковалевской. В частности, для линеаризованной системы Навье-Отокса, систем Соболева, Россби, внутренних и гравитационно-гироскопических волн.

Основные публикации автора по тема диссертации

1. Успенский О.В., Демиденко Г.В., Перепелкш В.Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. -Новосибирск: Наука, 1984. - 223 с.

2. Демиденко Г.В. Об условиях разрешимости смешанных задач для одного класса уравнений соболевского типа // Краевые задачи для уравнений с частными производными / Тр. семинара акад. О.Л.Соболева. - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1984. - С. 23-54.

3. Демиденко Г.В. Ър- оценки решений краевых задач для

уравнений соболевского типа // Успехи мат. наук. - 1984.

- Т. 39, в. 4. - С. 125.

4. Демиденко Г.В. Задача Коши для обобщенных уравнений С.Л.Соболева // Функциональный анализ и математическая физика. - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1985.

- 0. 88-105.

5. Демиденко Г.В. Задача Коши для уравнений и систем соболевского типа // Краевые задачи для уравнений с частными производными. - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1986. - С. 69-84.

6. Демиденко Г.В. О корректной разрешимости краевых задач в полупространстве для квазиэллиптических уравнений // Сиб. мат. журн. - 1988. - Т. 29, Л 4. - С. 54-67.

7. Демиденко Г.В. 00 условиях корректной разрешимости краевых задач для уравнений и систем соболевского типа // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики. - Новосибирск: Ин-т математики СО

. - за -

АН COOP, 1988. - 0. 64-71.

8. Демиденко Г.В. Краевые задачи для одного класса псевдо- . дифференциальных уравнений // Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. - Новосибирск: Ин-т математики 00 АН СССР, 1989. - С. 60-69.

9. Демиденко Г.В. Lp - теория краевых задач для уравнений соболевского типа. - Новосибирск, 1991. - 38 с. - (Препринт / АН ССОР, Сиб. отд-е. Ин-т математики; £ 16).

10. Демиденко Г.В. Lp - оценки решений квазиэллшпических уравнений в Я^. - Новосибирск, 1992. - 30 е.- (Препринт/ РАН, Сиб. отд-е. Ин-т математики; №4).

11. Демиденко Г.В. Интегральные операторы, определяемые краевыми задачами для квазиэллиптических уравнений // Докл. РАН. - 1992. - Т. 326, * Б. - С. 765-769.

12. Demideriko G.V. bp-thaory oí boundary value problema for Sobolev type equations // Partial Differential Equations, Banach Center Publications, Polish Academy of Sciences, Warazawa. - 1992. - V. 27. - P. 101-109.

Подписано к печати 16.04.1993

Формат бумаги 60»84 1/16 Объем 2.35 п.л. 2,15 уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Заказ 36

Отпечатано на ротапринте Института математики СО РАН 630090, Новосибирск, Университетский проспект, 4