О следах функций анизотропных пространств с дифференциально-разностными характеристиками на гладких многообразиях и в бесконечности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. О следах функции анизотропных пространств

Никольского-Бесова на гладких многообразиях

§ I. Классы рассматриваемых функций.

Вспомогательные утверждения

§ 2. Классы рассматриваемых областей

§ 3. Граничные свойства функций на поверхностях класса Гельдера

§ 4. Некоторые свойства функции, суммируемых с весом

§ 5. Формулировка и доказательство теорем о следах и продолжении с поверхностей

ГЛАВА II. О поведении на бесконечности функций, определяемых одним классом квазиэллиптических операторов

В диссертации рассматриваются функции, принадлежащие анизотропным классам с дифференциально-разностными характеристиками, и исследуются вопросы, связанные со следами таких функций на гладких поверхностях и в бесконечности.

Обзор современного состояния теории вложения различных функциональных пространств, в частности, теории вложений разных измерений и обширную библиографию по данному вопросу можно наити в [I - э!.

Вопрос о граничных свойствах функций с локально-суммируемыми обобщенными производными до некоторого порядка впервые был рассмотрен С.Л.Соболевым в связи с исследованием полигармонического уравнения (см.£ю! ). В дальнейшем эта проблематика интенсивно развивалась в исследованиях по различным задачам математической физики и теории функций. Например, при постановке краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений возникает вопрос о следах функций из соответствующих весовых классов [II - 25*} . Граничным свойствам различных весовых классов посвящены работы [26 - 35*1 •

В настоящее время наибольшей завершенности достигла теория следов изотропных (т.е. имеющих одинаковые свойства гладкости по всем переменным) классов функций. Это во многом объясняется тем, что такие классы, как классы С.Л.Соболева, С.М.Никольского, 0.В.Бесова, инвариантны относительно гладкой замены переменных, что позволяет свести изучение следа функции на достаточно гладкой поверхности к плоскому случаю. Результаты теории вложений разных измерений, связанные с ослаблением гладкости границы, приведены в [36 - 421 , [юо] . йсследованию граничных свойств более общих классов функции посвящены работы [43 - 59\ и др.

В анизотропном случае, т.е. когда свойства гладкости функций различны по разным координатам, до конца исследованными в настоящее время являются лишь следы на подпространствах Г 2] , [з] , [31] , [60 - 65] . Различие изотропных и анизотропных пространств проявляется хотя бы в том, что в анизотропном случае даже линейное преобразование может не сохранять класс, и свойства функции в области зависят не столько от гладкости границы, сколько от геометрии области. Характер такой зависимости исследовался в [з! , [41*] , [бб - 6в] . В работах [з] , [69 - 7l] приведены условия на область (условия

-рога, где показатель гладкости класса), при которых теоремы вложения в области имеют тот же вид, что и во всем пространстве. Отметим также работы [42] , [70] , [94] ,[100].

Анизотропные пространства могут быть инвариантны относительно специальных преобразований координат. Как было показано в [72*] для весовых анизотропных соболевских пространств, достаточно гладкая замена переменных относительно "регулярной" координаты, не затрагивающая остальные переменные, сохраняет класс. Тем самым вопрос о следах в областях, граница которых имеет достаточно высокую гладкость и выражается через "регулярную" координату, сводится гладкой заменой переменных к известному случаю следов на подаространствах. Таким образом, в анизотропных пространствах для решения вопроса о следах достаточно изучить свойства функций на нерегулярных кусках границы. Для анизотропных пространств Соболева такое исследование было проведено в [73] , [741 , где были доказаны прямые и обратные теоремы о следах. В дальнейшем эти результаты были перенесены на весовые классы Соболева [7бЗ и классы Бесова . Близкие исследования в плоском случае были проведены в [68] для классов функций, равных нулю в начале координат вместе с производными до определенного порядка. При этом, если кривая, на которой изучается след, имеет в начале координат меньший, чем в [7б], порядок касания с координатной осью, то теорема о ретракции формулируется в терминах весовых пространств. Настоящая диссертация продолжает эти исследования.

В гл. I диссертации результаты работ [73] , J75] , £76] переносятся на случай шкалы по параметру q » l s © s ^

О.В.Бесова B^IT' ^(Q) . анизотропных пространств ^

Наряду с изучением следов функций на многообразиях большой интерес представляет исследование их поведения на бесконечности, что непосредственно связано с возможностью аппроксимации финитными функциями. Для функций из пространств

Lp(En)" ь lA , , С.В.Успенский [34] устанор L вил существование для любой функции Jcx) постоянной c(f) такой, что «Jtoc) стремится к С(^) почти по всем лучам, и получил оценку скорости стабилизации. Эти результаты были обобщены С.Л.Соболевым на случай изотропных пространств Lp (En)

Г77~1 , а затем на случай весовых пространств L,^ II] , и сформулированы в виде "Теоремы о выходе на многочлен". Под выходом функции Сх) на полином (эе) понимается либо стремление разности £ Сх) - Cx) к нулю по некоторым направлениям (лучам; прямым, параллельным координатным осям; по любым кривым, уходящим в бесконечность), либо ограниченность разности »f Сое) - {Р^ Cx) в некоторой весовой Ly норме. В дальнейшем такие исследования были проведены для анизотропных пространств Соболева , лиувиллевских классов весовых классов, как изотропных, так и анизотропных, при различных условиях на вес [80 - 89"] , а также пространств функций, определяемых с помощью дифференциальных [31 , \70] , [78\, [90 - 95] ,или псевдодифференциальных операторов [79] , [96 -99*] . Отметим, что задание пространств с помощью операторов иногда удобнее, чем задание с помощью полунорм, так как дает возможность для функций из таких пространств написать интегральное представление через фундаментальное решение. Такой подход позволяет свести исследуемые вопросы к оценкам входящих в представление интегралов (как правило, сингулярных). Так в [92] , [93] при дополнительном условии, что средние стремятся к нулю при стремлении к бесконечности параметра усреднения, получены точные оценки убывания функций на бесконечности. В работах [78] , [79] , [97] для операторов с однородным символом доказаны теоремы о выходе на полином в смысле ограниченности некоторых L^ -норм от функции или ее производных (в зависимости от порядка оператора). Для операторов высокого порядка с однородным символом при дополнительном требовании равенства нулю моментов до определенного порядка в [Д, гл. 12] , [97] доказаны теоремы о равномерном выходе на полином при стремлении 13М—* 00 .

В гл. 2 диссертации результаты работы 197] переносятся на случай квазиэллиптических операторов высокого порядка с неоднородным символом (т.е. при наличии младших членов).

Рассмотрим подробнее содержание диссертации. В частности, приведем точные формулировки результатов, которые выносятся на защиту.

В § I описываются классы рассматриваемых функций, вводятся понятия, необходимые для формулировки теорем,и приводятся вспомогательные утверждения. Следуя [з] , через CQ) будем обозначать пространство функций с конечной нормой р,э Щ) ^ о к где £ - некоторое достаточно малое число (как показано в [3, теорема 18.2] , при различных £ нормы эквивалентны), ,

Kj - целые неотрицательные числа, такие что * & ,

L i и. с а, ., , m о и при [bc,x+m.; с G, при Сэс,х+ с G, г р,' при ©гоо пространство Вр0о(6-) будем обозначать через Hp «*) с нормой

А ii^rfsil, SSLe * 2 *Ч> , —ТТ^Г" '

HpCG) v>,G о<кЛ£ К

Будем предполагать, что область Q удовлетворяет слабому условию -рога Гз] , т.е. существует покрытие Q - U QK такое, что и

G-- U (С^+УДМ), k-i. где о К

- (0.1) -рог радиуса kK . Здесь £с , l-i, параметры, входящие в определение класса, , ^^ , , кк некоторые числа, которые выбираются таким образом, чтобы ^ -рог с вершиной в точке 0С£ целиком содержался в области

Q . Относительно границы f области Q. предполагаем, что она является гладким многообразием класса L , m>rn«.oc, , р т.е. окрестность любой точки ЭС0£1 допускает представление вида

Xj-- Ui,зе^ t,х„:> , ^ £ См (о-2 '

Заметим, что такое представление может быть неоднозначно. Далее предполагается, что из допустимых представлений вида (0.2) выбирается параметризация по той координате, по которой класс имеет лучшие свойства гладкости. След функции будем понимать в среднем, а именно, будем говорить, что функция

З'СяЧ,.^ О О имеет на куске 6' ^.-^-^ос^*,. .ду поверхности Г след , описываемый функцией £ , если $ и*) ■$ • ••, ^'-i,,. ,«„1 с- L р CE„.J и

Везде в дальнейшем полагаем, что в направлении координаты 0СА класс Bp Q имеет наилучшую гладкость, уплос I- (регулярная координата). Куски границы, выражаемые через регулярную координату будем называть регулярными. Будем считать, что множество точек на Р , в окрестности которых невозможно представление через регулярную координату, является гладким многообразием размерности (И- £) и после гладкой замены переменных

- У вида переходит в многообразие, лежащее в гиперплоскости оо±-0 (будем называть его критическим).Как показывает приведенная в § I лемма I, именно в окрестности критического многообразия следует изучать граничные свойства, поскольку изучение следов на регулярных кусках сводится к известному случаю следов на гиперплоскостях.

Лемма I. Пусть 4 Сое") е D^l ; * (G-) , где область Г Р' о vr удовлетворяет слабому условию £ -рога и такова, что существует линейный ограниченный оператор продолжения с Q на все . Пусть - таос . Тогда преобразование

1 *L<n где фб CfE^J ,К>4 , ЩУФ1* А/<оо, инвариантно относительно класса.

Для доказательства данной леммы, а также последующих утверждений используется интегральное представление Ильина-Бесова через разности L 3, формула

7(97)] : z

E ^ ° u irv

E1 tru (0.3) где JL^s. , . п. » m > mocx » ~ i* Сл rt m единичный вектор i -ой координаты, Д.Н) - Voa -я разность с шагом -t в направлении е- , о- достаточно v малое число, i , jM.fc- - финитные функции такие, что носителем представления (0.3) является Z -рог вида (0.1).

В § 2 описываются классы областей Q- , на границе которых исследуются следы функций пространства '' "(б) . Как было отмечено выше, достаточно изучать их лишь в окрестности критического многообразия. Пусть Х0 - некоторая точка критического многообразия. Тогда в ее окрестности кусок поверхности Г допускает представление только через нерегулярную координату (обозначим ее через хи )'

0СП~- ЧЧа') ; x^Cx±,.)xn.i.-)l VC-cIe^) ,т>42.

Будем предполагать, что функция (Ос') удовлетворяет следующим условиям cL'

L\ ^ Г ^il ' при ^кЖ^.

11 L 1 при «и*"., (0*4) где К - о. i ., C^il , L-» J-r-^L 1 Л^Угик x£c.

Обозначим ( act^ ОС . Везде далее считается, что область Q- содержится в цилиндре Q с * R1 «В силу того, гл ф , что г О вне плоскости х<- О (по определению критическое^ кого многообразия), кусок границы Г по теореме о неявных функциях может быть представлен в виде x4) при Cfc^O, x1) при эско, где X^CXjl,.^ QO е Z)

Считая, что область 2) удовлетворяет слабому условию ^-Cti ) -рога, где входят в определение класса, л -j. # • ^ / С наложим следующие ограничения на поведение функций Ч 1 и в окрестности критического многообразия: с-2.

V*9 М-К не зависят от х"1 , ^ ; где /D(k) - подобласть области 2) , выметаемая ^ -рогами длины h с вершиной ъа^Ъ , т.е. ^ I где хЧ ^ 2) , о * $ |г ,^=11.

Геометрический смысл условий (0.4) - (0.6) таков, что в точках критического многообразия порядок касания касательной плоскости с поверхностью Г определяется отношением ti/ ^ .

В § 3, § 4 показано, что любая функция У-Сх)£ fc ' XQ)

Pj6 представима в виде суммы х} = ?^(dc) + ^Сх). Здесь а ф Сос1о х1") щеет вид

ФаЛ^О"" Достаточно гладкая функция. При этом функция на каждом куске границы Г - Г П lxi > , f - Г П {эс±< о^ t рассматриваемая как функция точки х^-Сос, . эс„) , обладает граничными свойствами такими же, как и в случае следов на гиперплоскостях. Граничные свойства функции Ф^л,—на Г в окрестности критического многообразия ГГЦэс^ о} , рассматриваемой, как функция точки X1- . t t описываются в

-эе. соответствующих весовых пространствах со степенным весом loc^v . При этом имеют место в некотором смысле обратные утверждения о продолжении. 0 ^ ^

Лемма 3. Пусть (fCx)G BpjQ (G1*) , , rn&oc tL » ^-t^l > Ь • Пусть область Q удовлетn воряет слабому условию £ -рога, а область Vj - слабому условию V -рога. Тогда след ? j ~^~(X1) существует и имеёт место оценка где Y^i" » п * С не зависит от?.

Лемма 4. Пусть поверхность р имеет вид -^fW, , где функция удовлетворяет условиям (0.5), (0.6), а область CD удовлетворяет слабому условию -рога. Тогда, если

Вр% Ш)) где г=(т2,. , т) ■

С' 2 . п » иааос 2С , то существует функция S&c^*'), определенная на Q. , такая что 3-| - •f Сое') и где &" (А . 7 ") , С не зависит от £ и У . В § 4 приведены следующие утверждения: Лемма 7. Пусть область Q- имеет вид где функция 4Чос') удовлетворяет условиям (0.4) По функции 5"(0О G (Q) построим некоторую функцию <J>(Xi,0СП) см. формулу (43)), для которой, как будет доказано, имеет место ф| * km ФС^сдасО+П-^С^б^рСЕ^) и для любого выполняется оценка где J jKp*,. , jVi 3 С не зависит от Зсх}

Здесь

И* V» - ^ V. 21W1

D?>6 о

Лемма 8. Пусть функция -{te') , х'-Сэ:^. О» удовлетворяет условиям

- 14k a-i Г Г . e f0 им *^Uii^w^Jfcb

KL(O) P)CVi^lJ J p,© где

Е^П\xL>o), * E^ntoh<o),K?<oo)

Пусть область Q- удовлетворяет условиям предыдущей леммы. с £

Тогда существует функция УЧоОе Bp^fG) такая, что

- Ln ус*; wx'y+tf)* {<*')* lce^

IdG и имеет место оценка где С не зависит от? и { .

В § 5 приводятся основные результаты гл. I: формулируются и доказываются теоремы о следах и продолжении функций анизотропных классов Bp^e(G) , ±<^><-оо, 6>$ъо.

Теорема I. Пусть области Q и S-Qfl^i-O^ удовлетворяют слабому условию £ -рога и -рога соответственно. Пусть Г-^О- является гладким многообразием класса С* . гДе > t<- wtaoc L * Пусть функ~ iiciri с ции ЦЧу/) и (ос0), ^гСХ7) , задающие поверхность Г в виде и соответственно р (^)при ОС,>0?

С ^СхОпри 9Cj.<0, удовлетворяют условиям (0.4) - (0.6). Пусть функция £

Тогда существуют функции и такие, что: и как функции точки ry от удовлетворяют оценкам где эе- 0,i,. , (c^l + + 2) , р£(4.- £) ,

С- l-,.^-* ; функции + . где , Г"- Г Л , как функции точки ссп ) удовлетворяют оценкам

Здесь ^c ^ ^ Wi ~ p ) » , С не зависит от GPCocO .

Теорема 2. Пусть области Q- , Э и поверхность Р удовлетворяют условиям теоремы I. Пусть на Г заданы две функции и такие, что как функции точки XСсс3eKl4") они удовлетворяют условиям где эе-- о,!,- (г^ l) (Г^] + ' а Функции ^ , как функции точки осч") удовлетворяют условиям i

Тогда существует функция такая, что на 1 выполняется ^ и имеет место оценка

Bp^CE^)

К» tii^wii не зависит от

Б гл. II диссертации исследуется поведение на бесконечности функций, определяемых одним классом квазиэллиптических операторов.

Пусть оператор имеет вид

MW1U--Z О, D*u

Здесь » -мультивекторы такие, что , в; " ^4 t с-1, —, И. t где mc , i-c - целые числа. Предполагается, что характеристические многочлены оператора

НЕЙ и его главной части

М0СЭД - Z алЪ* , (Us?)* . * , удовлетворяют условиям: Q не зависящие от % б R положительные постоянные.

По определению, It (ос) 6 L^ ^ ^

1) \ Ьа(х)\(Ш Х\УЛ/С{Х<0°, если т Е W

К н

Теорема. Пусть 4Л(х)& Lv.^a/ On) » где f> и ^ тако~ вы, что , юн e^wC^+o^-i ( ©r^vr, ^ $ , Ga

I in О u входят в определение оператора Тогда существует единственный полином Qrv\ Сх) такой, что

I U(X) - OltCx) W с (i + 1*0 Ни, ЦII; (0.7)

М&таос- ^ где т. - целое число такое, что m.+ l> —--- >/№ , ~ f»®*** + ©т^кЫ+О

Как показывает пример полигармонического оператора, условие

3), т.е. равенство нулю моментов до определенного порядка, необходимо для выполнения оценки (0.7), т.е. равномерного выхода на полином. При этом порядок ^ скорости стабилизации точен.

Доказательство теоремы проводится с помощью интегрального представления Ильина-Успенского через дифференциальные операторы [92*1 .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах £l05 - 108^]и докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениям с частными производными (Новосибирск, 1983), на Всесоюзной школе по теории функций, посвященной 100-летию со дня рождения академика Н.Н.Лузина (Кемерово, 1983), на семинаре отдела функционального анализа ИММ АН КазССР (Длма-Ата, 1983) и на объединенном семинаре отделов геометрии и топологии, теории функций и функционального анализа ИМ СО АН СССР (1984г.).

1. Соболев Л. Введение в теорию кубатурных формул.- М., Наука, 1974.- 808с.

2. Никольский СМ. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- М., Наука, 1977.- 455с.

3. Бесов СВ., Ильин В.П., Никольский СМ. Интезтральные представления функций и теоремы вложения.- М., Наука, 1975.-480с. 4« Adams R.A* Sobolev spaces* - New York a.o*» Acad* Press, 1975, 268 p.

4. Стейн E.M. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.- М., Мир, 1973.- 342с.

5. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.- М., Мир, 1980.- 664с.

6. Буренков В. И. Теореглы вложения и продолжения для классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных во всем пространстве. Итоги науки. Математический анализ, 1965.- М., Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1966, с. 71-155.

7. Бесов СВ., Ильин В.П., Кудрявцев Л. Д., Лизоркин П.И., Никольский СМ. Те ощя. вложения классов дифференцируемых функций многих переменных.-М., Наука, 1970, с. 38-63.

8. Теоремы вложения и их приложения. Труды симпозиума по теоремам вложения. Баку 1966.- М., Наука, 1970.- 248с.

9. Соболев С Л. Об одной задаче дяя полигармонических уравнений.- Матем. сб., 1937, т. 2, J^ 3, с. 465-499.

10. Вашарин А.А. Граничные свойства функций класса W^ T^e^ ) - 100 и их приложение к решению одной краевой задачи математической физики.- Изв. АН СССР, сер.мат., 1959, т.23, № 2, с. 421-454.

11. Вишик М.И. Краевые задачи дяя эллиптических згравнений, вырождающихся на границе области.- Штем.об., 1954, т.35, № 3, с. 513-568.

12. Вишик М.И. Пространства Соболева-Слободецкого переменного порядка с .весовыми нормами и их приложения к эллиптическим смешанныгл краевым задачам,- В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными.- М., Наука, 1979, с. 71-76.

13. Глушко В.П. Пространства Соболева-Слободецкого с весом и вырождающиеся эллиптические операторы.- Успехи матем. наук, 1980, т. 35, вып. 4, с. 165.

14. Дубинский Ю.А. Следы функций из пространств Соболева бесконечного порядка и неоднородные задачи для нелинейных уравнений.- Матем.сб., 1978, т. 106, В I, с. 66-84.

15. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений,- Труды матем. ин-та АН СССР, 1959, т.55, с. I-I82.

16. Кудрявцев Л.Д. Решение краевых задач в неограниченных областях при конечности интеграла энергии.-В^-кн.: Теоремы вложения и их приложения (Труды симпозиума по теоремам вложения. Баку, 1966).- М., Наука, 1970, с. I3I-I37.

17. Вашарин А.А., Лизоркин П.И. Некоторые краевые задачи для эллиптических уравнений с сильным вырождением на границе.-Докл. АН СССР, I96I, T.I37, В 5, с. I0I5-I0I8.

18. Никольский СМ., Лизоркин П.И. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением.- Докл. АН СССР, 1964, т. 159, J^ 3, с. 512-515.

19. Лизоркин П.И., Никольский СМ. Эллиптические уравне- lOI -ния с вырождением. Дифференхщалъные свойства решений.- Докл. АН СССР, I98I, т. 257, А^ 2, с. 278-282.

20. Лизоркин П.И., Никольский СМ. Коэрцитивные свойства эллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод.-Труда матем. ин-та АН СССР, I98I, т.157, с.90-118.

21. Лизоркин П.И., Никольский С М . Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью.- Труда матем. ин-та АН СССР, 1983, т.161, с.157-183.

22. Никольский С М . Некоторые граничные проблемы для уравнений с сильным вырождением.- В кн.: Теоремы вложения и их приложения (Труда симпозиума по теоремам вложения. Баку, 1966).- М., Наука, 1970, с.179-185.

23. Яковлев Г.Н. О первой краевой задаче для одаого эллиптического уравнения, вырождающегося на границе области.-Дифференц. уравнения, 1968, т.4, № I, с.140-146.

24. Яковлев Г.Н, Первая краевая задача для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка.- Труда матем. ин-та АН СССР, 1972, т.117, с.321-340.

25. Вагаршакян А.А. Граничные свойства некоторых весовых классов.- Докл. АН АрмССР, 1980, т.71, № 4, с.204-208.

26. Калябин Г.А. Задача о следах для весовых анизотропных пространств лиувиллевского типа.- Изв. АН СССР, 1977, T.4I, № 5, C.II38-II60.

27. Киприянов И.А. Преобразования Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов.- Труда матем. ин-та АН СССР, 1967, т.89, с.130-213.

28. Лизоркин П.И. Граничные свойства функций из "весовых" классов.- Докл. АН СССР, I960, т. 132, )^ 3, с.514-517.

29. Никольский Ю.С к теоремам вложения весовых классов.- Труда матем. ин-та АН СССР, 1969, т. 105, с.178-189. 102 -

30. Никольский Ю.С. Теоремы вложения неизотропных весовых пространств дифференцируемых функций,- Труды матем. ин-та АН СССР, 1976, т.140, с. 212-251.

31. Пиголкина Т.С. К теории весовых классов,- Труды матем. ин-та АН СССР, 1969, т.105, с.201-212.

32. Тандит Б.В. Граничные свойства функций из весовых пространств.- Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 3, с.492-506.

33. Галъярдо Э. Свойства некоторых классов функций многих переменных.- № тема тика, I96I, т. 5, 1^ 4, с. 87-116.

34. Бесов О.В. Поведение дифференцируемых функций на негладкой поверхности.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1972, т.117, с. 3-10.

35. Бесов О.В. О следах на негладкой поверхности классов дифференцируемых функций.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1972, т.117, C.II-2I.

36. Никольский СМ. Граничные свойства функций, определенных на области с угловывяи точками.- Матем. сб., 1956, т.40, № 3, C.303-3I8; 1957, т.43, М , с.127-144; 1958, т.45, № 2, C.I8I-I94.

37. Яковлев Г.Н. О следах функций из пространств W ^ на кусочно-гладких поверхностях- Матем. сб., 1967, т.74, № 4, с.526-543.

38. Мазья В. Г. О функциях с конечным интегралом Дирихле в области с вершиной пика на границе.- Зап. научн. семинаров - 103 -ломи, 1983, T.I26, C.II7-I37.

39. Буренков В.И., Фаин Б.Л, О продолжении функций из анизотропных пространств с сохранением класса.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1979, т.150, с.52-66.

40. Берколайко М.З. Теоремы вложения разных метрик и измерений обобщенных пространств Бесова.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1983, т.16№, с.18-28.

41. Бугров Я. С, Теоремы вложения дяя классов функций со смешанной нормой.- Сиб, матем. журн., 1982, т.23, № 6, с.28-35,

42. Голъдман М,Л. Описание пространства следов дяя функций обобщенного гельдерова класса.- Докл. АН СССР, 1976, т.231, № 3, с.525-528.

43. Гольдман М.Л. О следах функций из обобщенного класса Лиувилля.- Сиб, матем. журн., 1976, т.17, № 6, с.1236-1255.

44. Гольдман М.Л. Описание следов дяя некоторых функциональных пространств.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1979, т.150, с.99-127.

45. Калябин Г.А. Теоремы вложения дяя обобщенных пространств Бесова и Лиувилля.- Докл. АН СССР, 1977, т.232, J^ 6, C.I245-I248.

46. Калябин Г.А. Обобщенный метод следов в теории интерполяции банаховых пространств- Штем. сб., 1978, т. 106, № I, с.85-93.

47. Adams R«, Aronszajn Ы., Smith К.Т, Theory of Bessel potentials. Part II, - Aim»Inst,Fourier, Grenoble, t,17» f. 2, p.1-135.

48. Aronszajn N,, Mulla F,, Szeptycki P. On spaces of potentials connected with L^ classes. - Ann,Inst.Fourier, Grenoble, 1963i t.13, f,2, p.211-306. - 104 -

49. Avantaggiati A» Spazi di Sobolev con peso ed alctme applicazioni. - Boll.Unione inat#ital,, 1976, v,13A, No 1, p. 1-52.

50. GTIBVBLTU. P. Espaces de traces a plusietirs Trariables, - C.R.Acad.sci., 1963, 257, No 2, p.349-352.

51. Jonsson A., Wallin H. A wMtney extension theorem in Ь and Besov spaces, - Ann,Inst»Fourier, Grenoble, 1978, t,28, f. 1, p.139-192.

52. Jonsson A, A trace theorem for Sobolev functions based on EMO. - Dep,Math,Univ.irmea, 1982, No 4, 8 pp.

53. Muramatu T. On Besov spaces and Sobolev spaces of generalized functions defined on a general region. - Puhl.RBflS, Kyoto Univ., 1974, V.9, No 2, p.325-396.

54. Miserendino D. Trace delle derivate di ordine frazio- nario delle funzioni di classe W"*^ in un rettangolo. - Boll. Unione mat.ital.,-1982, v.1. No 1, p.357-376.

55. Peetre P. On the trace of potentials. - Ann.Scuola Norm.Super. Pisa, 1975, v.II, 1, p.33-43#

56. Бесов O.B. 0 плотности финитных функций в весовом пространстве Л.Соболева.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1983, т.161, с.29-47.

57. Ильин В.П., Солонников В.А. О некоторых свойствах дифференцируемых фувкций многих переменных- Труды матем. ин-та АН СССР, 1962, т.66, с.205-226.

58. Калябин Г.А. Пространства следов для обобщенно-лиу- виллевских анизотропных классов,- Изв. АН СССР, сер,мат., 1978, т,42, В 2, с,305-314.

59. Калябин Г.А. Описание следов для анизотропных пространств типа Трибеля-Лизоркина.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1979, т.150, с.160-173. - 105 -

60. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложения классов дифференцируемых функции,- Труды матем. ин-та АН СССР, 1969, T.I05, с.89-167.

61. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства Л.Соболева дробного порядка и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных,- Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та им. А.Н.Герцена, 1958, т.197, с.54-112,

62. Успенский С В . О теоремах вложения для обобщенных классов \Л/р Соболева.- Сиб. матем. журн., 1962, т.З, В 3, с.418-445.

63. Ильин Б.П., Успенский С В . Некоторые вопросы теории вложения классов дифференцируемых функций,- В кн,: Теория кубатурных формул и вычислительная математика,- Новосибирск, Наука, 1980, с.207-220.

64. Бесов O.B,, Ильин В,П. Естественное расширение класса областей в теорешх вложения,- Матем, сб., 1968, т.75, }Ь 4, с.483-495.

65. Бесов С В . Интегральные представления функций в области с условием гибкого рога и теоремы вложения.- Докл. АН СССР, 1983, т.273, № 6, с.1294-1297.

66. Буренков В, И, О теоремах вложения для области R -cL-\i ^ Ос1" <о,^к) о <k<i\ .- Матем. сб., 1968, т, 75, - 106 -Ш 4, C.496-50I.

67. Успенский С В . О теоремах вложения функций в областях.!.- Сиб. матем. журн., 1966, т.7, № 3, с.650-663.

68. Успенский С В . О следах функций класса Wp^'""^ "^ Соболева на гладких поверхностях.- Сиб. матем. журн., 1972, T.I3, № 2, C.429-45I.

69. Рамазанов М.Д. Теоремы о следах и продолжениях функций с поверхностей.- Докл. Ш СССР, 1970, т.190, В 4, с.784-787.

70. Перепелкин В.Г. О граничнык свойствах функций, принадлежащих весовым классам W„ i ' /- С Л. Соболева в области,- Труды семинара Л.Соболева, 1977, 1^ I, с.108-148.

71. Садыкова С Б . О следах функций класса 5 '•"' "^ Бесова на гладких поверхностях,- В кн.: Теоремы вложения и их приложения, Алма-Ата, Наука, 1976, c,I3I-I35.

72. Соболев С Л . Плотность финитных функций в пространстве Lp .^п) ' ^^ *^ матем. журн., 1963, т.4, № 3, с. 673-682.

73. Бесов О.В. Поведение дифференцируемых функций в бесконечности и плотность финитных функций.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1969, т,105, с.3-14.

74. Лизоркин П. И, Поведение функций из лиувиллевских классов на бесконечности. О риссовых потенциалах произвольного порядка.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1979, т. 150, 0,174-197.

75. Кудрявцев Л. Д. О полиномиальных следах и о модулях гладкости функций многих переменных.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1972, т.117, C.I80-2II.

76. Кудрявцев Л.Д. О стабилизации функций в бесконечно- - 107 -сти и у гиперплоскостей,- Труды матем. ин-та АН СССР, 1975, T.I34, 0,124-141.

77. Кудрявцев Л.Д. О плотности финитных функций в весовых пространствах,- Докл. АН СССР, 1978, т.239, № I, с.46-49.

78. Кудрявцев 1.Д. К вопросу о полиномиальных следах.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1983, т.161, с.149-157,

79. Лизоркин П.И. О замыкании множества финитных функ- ций в весовом пространстве Wo ф •- Докл. АН СССР, 1978, Т.239, }Ь 4, с.789-792.

80. Никольский Ю.С, Поведение дифференцируемых функций из весовых классов на бесконечности.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1972, т.117, 0,244-255.

81. Никольский Ю.С. Поведение на бесконечности функции с заданными в Ьр дифференциально-разностными свойствавж.-Труды матем. ин-та АН СССР, 1974, т.131, с.182-198.

82. Пиголкина Т.С. Об одном весовом классе дифференцируемых функций многих переменных, заданных в неограниченных областях.-. В кн.: Теоремы вложения и их приложения (Труды сгм-позиума по теоремам вложения. Баку, 1966).- М., Наука, 1970, с.192-194.

83. Седов В.Н. О функциях, обращающихся на бесконечности в полином.- В кн.: Теоремы вложения и их приложения (Труды симпозиума по теоремам вложения. Баку, 1966).- М., Наука, 1970, с.204-212.

84. Яковлев Г.Н. О следах функций, производные которых суммируемы с некоторым весом,- В кн.: Теоремы вложения и их приложения (Труды симпозиума по теоремам вложения. Баку, 1966, - М., Наука, 1970, с.225-233.

85. Багиров Л.А., Кондратьев В.А. Об одном классе эллиптических уравнений в Я .- В кн.: Дифференциальные уравне-ния с частными производными (Труды семинара Л.Соболева), Новосибирск, 1978, № 2, с.5-16.

86. Голъдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения.- М., Наука, 1983,- 284с.

87. Успенский С В . О представлении функций, определяемых одним классом гипоэллиптических операторов.- Труды матем. ин-та АН СССР, 1972, т.117, с.292-299.

88. Филатов П.С. Равномерные оценки решений одного класса квазиэллиптических уравнений на бесконечности.- В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производнытли (Труды семинара Л.Соболева), Новосибирск, 1979, J^ 2, с.124-136,

89. Решетняк Ю.Г. Интегральные представления дифференцируемых функций с, негладкой границей,- Сиб. матем. журн., 1980, т.21, JI 6, C.I08-II6.

90. Решетняк Ю,Г. О линейных дифференциальных операторах конечного порядка.- Сиб. матем. журн., 1983, т.24, № 5, с.183-198.

91. Успенский В, О дифференциальных свойствах решений одного класса псевдодифференциалъных уравнений на бесконечности,- Сиб, матем, журн,, 1972, т.13, В 3, с.665-678.

92. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными.- М., Мир, 1965.

93. Волевич Л.Р., Панеях Б,П. Некоторые пространства - 109 -обобщенных функций и теоремы вложения.- Успехи глатем. наук, 1965, Т.20, }Ь I, с.3-74.

94. Шварщан П. А. Локальные приближения функций и теоремы продолжения.- Яроел. ун-т. Ярославль, 1983, 30с. Библ. 42. Рукопись деп. в ВИНИТИ 18.04.83, № 2025-83 Деп.

95. Кузнецов Ю.В. О склейке функций из пространств "W" \ .- Труды матем. ин-та АН СССР, 1976, т.140, с.191-200.

96. Никольский С М . Об одном свойстве классов И ^ Aimales Univ.Sc«Budapest de Rolando Eotvosnominatae, seotio math., 1960/61, t. Ill, IV, p.205-2l6.

97. Колмогоров A.H., Фомин В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1972,- 49бс.

98. Пкырев Г.А. О следах функций класса п ^ СМ. Никольского на гладких поверхностях,- В кн.: Теория кубатурных формул и вычислительная математика,- Новосибирск, Наука, 1980, с.239-248.

99. Пкырев Г.А, О выходе на полином решений одного класса уравнений квазиэллиптического типа.- В кн.: Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики (Труды но семинара Л.Соболева), Новосибирск, 1983, В I, с.134-147.