Развитие метода разностных потенциалов и применение его к решению стационарных задач дифракции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Глава I О НЕВЫРОВДЕНЮСТИ УРАВНЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С МЕТОДОМ

РАЗНОСТНЫХ ГОТЕНЦИАЮВ . ;.II

Введение . i . . i' . II

§ I. Числа невьцэоззденности

§ 2. Примеры использования и вычисления чисел невырожденности • •

§ 3. Невырозвденность регулярных эллиптических задач . i' . i i i'

Глава П ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАЗЮСТНЫХ ГОТЕНЦИАЮВ К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ПЮСЮСТИ да ДИШРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ГОРЯДКА i i ; i i i i i ♦ ; ♦ . ; i

Введение i' • i

§ I. Описание алгоритма • •••;.iili*.

§ 2. Условное обоснование схемы расчета . . . i

§ 3. Классы рассматриваемых функций, вспомогательные предложения . ; > т.

§ 4. Невырожденность семейства аппроксимирующих задач • . . . . . i!

§ 5. Сходимость решений аппроксимирующих задач к точному решению, эффективность процесса нахождения решения

§ 6. Примеры расчетов

Глава Ш РАЗНОСТНЫЕ ЖРИЧЕСКИЕ ШЩИИ: . . i . . . ; i ; 73 Введение

§ I. PC3> и конечные ряды Фурье по ним ♦

§ 2. Вычисление разностных сферических функций

§ 3. Результаты счета .••••

§ 4. Сходимость РСФ к сферическим функциям, в осе-симметричном случае •

Глава 1У АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕНЮГО. РЕШЕНИЯ ВНЕШНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ

УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И 1ЕЛШ10ЛЩА /ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ/ . 97 Введение . . * . . ; .;.•.*.

§ I. Конструкция разностного потенциала для внешних задач

§ 2. Аппроксимационные свойства оператора Pcjb случае внешней осесимметричной задачи: для ; уравнения Лапласа

§ 3. Алгоритмы решения внешних задач для тел вращения . ;. НО

§ 4. Стационарная задача дифракции! для тел вращения

§ 5. Вытянутые тела •

§ б. Примеры расчетов

Глава У АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ СТАЦИОНАРЕ)Й ЭЯЕКТГОМГНИТЮЙ ДЙШРАКЦИИ: НА "ОВБЕМШМ" ТЕЛЕ . . ; . ;

Введение?.

§ I. Алгоритм, в котором использованы разностные потенциалы в сферических координатах

§ 2. Алгоритм, использующий разностные потенциалы в декартовых координатах

Предметом настоящей работы является дальнейшее теоретическое и алгоритмическое развитие метода разностных потенциалов, в частности, применение метода к задачам стационарной дифракции.

Метод разностных потенциалов (ранее называвшийся как метод внутренних граничных условий или метод разностных проекторов) - МРП - был предложен В.С,Рябеньким [26 j в 1969 году и затем активно развивался в работах [l-5, 20-24, 27-43, 49]. Основное предназначение метода, определяющее в настоящее время и его развитие, это численное решение краевых задач математической физики.

МРП можно отнести к числу конечно-разностных методов, однако, в нем осуществляется редукция "задачи в области" к "задаче на границе". Эта редукция проводится при помощи разностных потенциалов, введенных в [27-30, 32, 33] и получивших развитие в [l-4, б, 38 , 40].

Использование для редукции именно разностных потенциалов привлекательно тем, что позволяет: во-первых, проводить редукцию равносильно, т.е. без потери свойств разрешимости исходной задачи ; во-вторых, проводить редукцию универсально, т.е. независимо от типа граничных условий в краевой задаче ; в-третьих, снять проблему разностной аппроксимации граничных условий, свойственную конечно-разностным методам ; в-четвертых, эффективно вычислять значение разностного потенциала по заданной плотности для рдда операторов с переменными коэффициентами.

Одновременное наличие этих свойств у МРП существенно отличает его от других методов, также использующих идею редукции, например, таких, как: метод потенциала, метод граничных интегральных уравнений [l8j, метод емкостных матриц [54]. Ясно, однако, что достоинства МРП станут тем более очевидными, если, с одной стороны, алгоритмы, построенные на основе МРП, будут не менее эффективны, чем алгоритмы упомянутых методов (на классах задач, "хорошо" решаемых этими методами), с другой стороны, и это главное, появится возможность "хорошо" решать задачи, которые до этого "плохо" решались.

Построению эффективных алгоритмов на основе МРП, т.е. алгоритмов, в которых количество требуемых операций и ячеек памяти укладывается в "общепринятые" нормы для определенных классов задач, были посвящены работы (из числа опубликованных) [б, 21, 23, 24, 43], В этом отношении; настоящая работа к ним примыкает.

В первой главе диссертации; затрагиваются общие вопросы, связанные с получением хорошо обусловленных систем алгебраических уравнений в методе разностных потенциалов. Для этого рассматриваются с единой точки зрения на предмет корректности как граничные уравнения, возникающие в МРП, так и их континуальный аналог - граничные уравнения, возникающие в результате редукции типа Кальдерона-Сили (редукция Кальдерона--Сили [55] состоит в замене эллиптического уравнения на систему граничных интегродифференциальных уравнений относительно функции и набора ее нормальных производных). Мы вводим здесь две константы - так называемые числа невыровденности» характеризующие устойчивость граничных уравнений. В качестве примеров рассматриваем некоторые краевые задачи и как более общий пример - регулярные эллиптические задачи [к], В этих примерах конкретизируются пространства функций, в которых соответствующие граничные уравнения оказываются устойчивыми.

В главе П рассматривается применение МРП к численноцу решению краевой задачи вида ^

Ч + тк I ъ л - Ч где , 0 * fy ~ достаточно гладкие функции, <?С л является ограниченной областью с достаточно гладкой границей.

Путем совместных усилий авторам работ [б, 24] удалось построить алгоритм, позволяющий в случае I, П, Ш краевых задач в II/ численно находить с погрешностью

О (Г) величины ttldJl, YK 1дЛ 0 затратами ячеек памяти: иг

0(l'LIMI) действий. Такими же характеристиками по требуемым ресурсам для решения I, П краевых задач обладает и метод емкостных матриц [54]. Однако, алгоритм МРП допускает в принципе произвольные граничные условия в задаче (l) (даже нелокальные].

В настоящей работе мы приводим описание алгоритма МРП для приближенного решения задачи (ij и при некоторых дополнительных условиях к формулировке задачи даем обоснование его эффективности. При обосновании:мы используем, в частности, некоторые свойства разностных потенциалов, установленные в [23]. (отметим, что в упомянутой работе тоже рассматривается возможная схема обоснования эффективности алгоритмов МРП. Мы используем другую схему.)

В конце главы приводятся результаты методических расчетов, выполненных по описываемому алгоритму для I-Ш краевых задач.

Начиная с главы Ш, в работе рассматриваются подходы, связанные с применением МРП к решению внешних задач математической физики, в частности, задач дифракции.

Разработка численных методов решения задач дифракции является интенсивно разрабатываемым направлением вычислительной математики. Из большого количества работ по теории дифракции: перечислим лишь работы [8, 9, 12, 13, 17, 19, 47J, так кал затрагиваемые нами вопросы имеют более или менее близкое к ним отношение.

Одним из основных методов, применяемых при численном решении дифракционных задач, когда длина падающей волны сравнима с размером тела, является, судя по обзорам [il, 52], метод граничных интегральных уравнений. При всех достоинствах этого метода он обладает существенным недостатком: уравнения^ метода ГНУ не всегда эквивалентны исходной задаче. Вседствие этого возникает проблема "внутренних резонансов", т.е. паразитных явлений, связанных с наличием собственных функций внутренней задачи. Отмеченное ^начале введения свойство равносильности редукции при использовании: разностных потенциалов снимает проблему внутренних резонансов и, поэтому делает привлекательным применение МРП для решения этого класса задач.

При построении разностных потенциалов для внешних задач мы сталкиваемся с вопросом учета поведения функции: на бесконечности. В зависимости от того, какая система координат используется - сферическая или декартовая - эти вопросы решаются по-разному. В качестве примера рассмотрим уравнение

Гельмгольца A U + U — О . Для сферических координат мы включаем условия излучения непосредственно в конструкцию потенциала. Это достигается тем, что используется разностный аналог хорошо известных так называемых парциальных условий. В основе получения парциальных условий лежит представление функции ^ вне некоторой, охватывающей тело, сферы в виде Ym pW где I i - сферические функции, % - сферические функции: Ганкеля. Чтобы сформулировать необходимые нам "разностные парциальные условия" в конструкции:разностного потенциала, а затем эффективно его вычислять Спутем разделения переменных) мы вводим аппарат разностных сферических функций - анауп логов классических сферических функций i £ .

В итоге мы получаем алгоритмы, требующие для нахоздения решения с погрешностью 8 следующие ресурсы (все рассматриваемые тела имеют достаточно гладкую поверхность): для "несильно вытянутого" тела вращения -операций,

О (е-*) ячеек памяти, где tn - число рассматриваемых азимутальных мод ; для решения задач электромагнитной дифракции на трехмерном "объемном" теле -операций,

О (Еч) ячеек памяти (параметр &CL - произведение волнового числа к на диаметр тела (X - употребляемый в теории: дифракции при сравнении; различных алгоритмов, связан с S как • Отсюда видно, что эти алгоритмы вполне конкурентно способны по ресурсам с алгоритмами метода граничных интегральных уравнений.

В декартовых координатах (или цилиндрических, удобных для тел вращения) мы используем иной подход в построении. разностных потенциалов для внешних задач. Вначале мы заменяем при помощи парциальных условий внешнюю задачу в неограниченном пространстве на задачу в ограниченной области, т.е. получаем краевую задачу в двухсвязной области с нелокальными граничными условиями на внешней поверхности. Для этой задачи строим уже стандартным образом разностный потенциал и всю специфику граничных условий на внешней поверхности переносим в формулировку аппроксимирующей задачи в методе разнот стных потенциалов. В результате для приближенного решения задачи электромагнитной дифракции- на "объемном" теле мы получаем алгоритм с требуемыми ресурсами

Настоящая работа состоит из пяти глав и приложения.

Основное содержание первых двух глав описано выше. В третьей главе мы вводим разностные сферические функции, указываем способ их вычисления и экономного хранения в памяти ЭВМ. Для осесимметричного случая доказывается сходимость разностных сферических функций к классическим.

В четвертой главе мы рассматриваем алгоритмы решения внешних задач для тел вращения . Для уравнения Лапласа доказывается аппроксимация поверхностного потенциала разностным. Приводятся результаты методических расчетов.

В пятой главе мы строим алгоритмы численного решения задач электромагнитной дифракции для "объемных" трехмерных тел.

В приложение вынесен ряд построений, необходимых для описания рассматриваемых в пятой главе алгоритмов.

Материал расположен в работе следующим образом: нумерация формул и утверждений в каждой отдельной главе сплошная ; операций и ячеек памяти ссылки на формулы из .другой главы приводятся с указанием этой главы ; обозначения в каждой главе носят, как правило, локальный характер.

Автор искренне признателен В,С,Рябенькому за предоставление темы и руководство работой. Автор также благодарен А.А.Резнику и В.И.Турчанинову за ряд ценных указаний. ШВА I.

О невырожденности .уравнений, связанных с методом разностных потенциалов

Введение

Для эллиптических уравнений известен способ сведения краевой задачи, поставленной в области, к равносильным уравнениям на границе области относительно неизвестной функции и ее нормальных производных (редукция Кальдерона, см. например С Возникающие уравнения, которые мы здесь будем называть граничными уравнениями, несмотря на всю заманчивость, слишком сложны для непосредственной дискретизации с целью их приближенного решения, так как содержат не только сингулярные интегралы, но и производные от них.

С появлением метода разностных потенциалов стало возможным получение ,дискретных уравнений, аппроксимирующих в определенном смысле эти граничные уравнения. Дело в том, что используемая в методе эквивалентная замена разностного эллиптического уравнения в сеточной области на уравнения на сеточной, границе области может быть интерпретирована как адекватное применение идеи упомянутой выше редукции для дискретного случая.

Из ряда проблем, встающих на пути реализации метода разностных потенциалов выделим здесь две проблемы. Во-первых, возникающие в методе уравнения оказываются, как правило, несовместными, что приводит к необходимости ставить некоторую вариационную задачу (в смысле способа наименьших квадратов). Во-вторых, процесс нахождения решения получаемой вариационной задачи должен быть по возможности эффективным. Эти две проблемы очевидным образом приводят к вопросу подходящего выбора норм в пространствах функций, входящих в уравнения МРП. Для решения этого вопроса используется следующее естественное соображение: дискретные нормы должны моделировать непрерывные нормы, в которых задача для исходных граничных уравнений (получаемых в результате редукции Кальдерона^ корректно поставлена. Приведенное соображение получило подтверждение в вычислительных экспериментах, выполненных на модельных задачах А.А.Резником (впервые^ , М.Ю.Лохановым и автором. Кроме того видны пути теоретического обоснования некоторых алгоритмов из числа реализованных с учетом этого соображения, см. [ДЗ] и гл.П настоящей работы.

В этой главе рассматриваются с единой точки зрения на предмет корректности граничные уравнения и уравнения МРП. Одинаковая форма записи этих уравнений позволяет, учитывая их специфику, ввести количественные характеристики, определяющие так называемую взаимную невырожденность входящих в уравнение операторов. Такой подход обобщает традиционное определение корректности,- так как не требует существования решения. В то же время информация о невырожденности дает возможность формулировать корректные вариационные задачи.

В § I излагается схема получения граничных уравнений (переносимая в МРП на дискретный случай") ; вводятся числа, характеризующие взаимную невырожденность операторов в полученных уравнениях ; для случая несовместности уравнений формулируется одна из возможных вариационная задача, для которой доказывается через числа невырожденности корректность в традиционном смысле. В § 2 приводятся примеры использования и вычисления чисел невырожденности. В § 3 рассматриваются регулярные эллиптические задачи, и на основе известных результатов об их разрешимости показывается невырожденность соответствующих им граничных задач.

§ I. Числа невырожденности

Пусть Л - ограниченная в ft. область с границей Г , и пусть, некоторый эллиптический оператор L определен на пространстве, функций U(Jl) Предполагаем, что для оператора Lr и функций U £ U(SL) имеет место формула Грина LC= + top • Здесь символами G и К. обозначены объемный и поверхностный интегралы, зависящие соответственно от функции 4ци данных Коши Up - набора функций, включающего в себя сужение U на Г1 и необходимое число ее нормальных производных. Введем оператор (')р, переводящий функцию^ в данные Коши ^г т.е. , и обозначим через исг) пространство вектор-функций (и.) г , и (Л) .

Рассмотрим следующую краевую задачу для функции (Л :

Lu = J Un =(и)п (l)

Здесь £ - некоторый линейный (граничный^ оператор, $-6 € от L , £ tna-^ . Известно, что эту задачу можно равносильно свести к уравнениям на границе Г , см., например,Г^J, Точнее, в введенных терминах справедливо утверждение Теорема I. Оператор является проектором. Задача (I/ равносильна задаче отыскания вектор-функции и г из условий если подразумевать связи между решениями:

Рассмотрим вопрос о выборе констант, характеризующих устойчивость по входным данным решениязадачи вида (zj. Поставим себе цель выбрать эти константы так, чтобы они могли характеризовать устойчивость решения не только совместной задачи вида : (2) , но также устойчивость определяемых различными способами обобщенных решений несовместной задачи вида (2J. Такому требованию удовлетворяют вводимые ниже числа невырожденности пары операторов •

Для удобства дальнейших рассуждений абстрагируемся от происхождения задачи (2). Именно, пусть в некотором нормированном пространстве U определен оператор Р: V f причем Р - цроектор, не являющийся нулевым или тождественным (обозначаемым далее через I) операторами. Пусть также определен линейный оператор £ • С^"* V , причем у ф {о} • Рассматриваем следующую задачу: для заданных элементов ,96V" требуется найти U€ U из. условий

U=Pu+(I-P)f @

Пространства С/ , V" положим гильбертовыми (или в конечномерном случае, евклидовыми) с соответствующими нормамиII'lit;, ll-llv Обозначим через ' псевдообратный оператор к / , где t* - сопряженный оператор, определяемый условием равенства для любых veV . и, в U.

Определение I. Числами невырожденности .пары операторов ) Р, ь Г назовем величины llM-yllv .„-',. ь-Чр -фу-' хе СУП г а $е У.1

Дальнейшему изложению предпошлем две леммы.

Лемма I. Пусть

V, V"

- подпространства гильбертова ч пространства {]■ , причем U , , С/ .

Тогда Ы

6СГ' Ми- лег/' 4l,v ueu" cosoL =su/> .

Доказательство. Имеем:

Цзс1£ ~ /IX lib *

Ilxtv llxlltrl/^lh

Неравенство переходит в равенство при t~CoS . Следовательно fX-tf* e (4- со&я,»)= //*//£ xetT'

V" yev"

Аналогично доказывается равенство bf J*dtibi-.=slAt. 0 же V' llfri'v

Iе V

Лемма 2. Пусть p-pp

- проектор в гильбертовом пространстве V , причем РФ О ,1 . Тогда /// ~РЦ - К Pll ~ ~SCK (L , где d - угол мелщу См Р и Я , определяемый через U

UKHv lyUcr

Доказательство. Докажем, что IPIhsu- oL . Имеем:

PbL^V Цги-Че Puio UPu-llv v «. p II& +чНcs cnf -—2-^ CCnoL .

Ьс-кФО II alter

P^o

Последнее равенство следует из леммы I. С другой стороны, считая, что Рх- ~ Ж О , Ру "=■ О г имеем II~ IIP(«+0/lcr^llPIIIlK+S/llv то есть ПРИ"* 6 llx + ytly / Ц sell у. . Поэтому

Px^OC-JkO U^a сг h

Следовательно получаем равенство II P/l ~ Son оС . Утверждение

III-PH^SCn" cL очевидно, если заметить, что от (I-Ph ^ЬяР и Jb*n,Ll-P)=6m Р . т

Замечание. Из леммы I получаем геометрическую интерпретацию константы (Х^ : она равна синусу угла между подпространствами im Р и £ (если Cm иначе - О)

Дадим традиционное определение корректности задачи ^з). Определение 2. Задача (з) называется корректно поставленной на паре .пространств { V j , если а) для любых J £ U » $ € V* она имеет решение U в U : ; б) Ц Usllv — ^C<ll£llv » где С* и Cf, - некоторые константы.

Установим связь между числами невырожденности Ctj , d-^ и величинами С< , Cz .

Теорема 2. I. Если Л/^-0 . 9 Qt сх=> 9 и задача разрешима ,при любых $ € V , ^ 6 V , то .эта задача корректна в смысле определения 2, причем, можно принять Ct^&i f c^al&i

2. Если задача (з] корректна в смысле определения 2, то CL? £ С, , CLg, < С£ : .

Доказательство. Докажем I. Для этого рассмотрим две вспомогательные задачи: a'-Pu' + tf-PJjf ;; tu.' = 0 , №) и," ■= Р сс" , 5 \ /И Очевидно,^ что решение задачи (3J равно

Для U/ имеем //(Лег « й? li(- Htr = Mv . Для и'' имеем //бс77//^^ (U«- tfy Ц„ =

- OKi $ II хгHjfllv • Следовательно

IIиib * iiu'iiv + iioi'iiv ± a;"miixr^^J^v

Докажем 2. Пусть - решение задачи (з^ для некоторого J в U . Очевидно, что является также решением задачи (з') с правой частью вида $ + РЦ , где "А 6 (J - любое. Имеем: llu'litr 4 с, llf+PMu( =с, II (L-P)f+ РШЛИсг = rC<llu'+P(t>+f-U>')lltr , причем u'ehut , fi, G. V - любое. Поэтому (Я^ ^ ^ .

Пусть теперь (л*7 - решение задачи (з^с правой частью ^ = .где 2 € . Имеем 2 + Поэтому

IIЪ Цо- £IIU%£CMvIIy • Следовательно ал £ Cg. . Ш Используя установленную связь, модифицируем определение 2 в терминах чисел невырожденности пары операторов { Р, . Определение 3. Пару операторов ^ будем называть » -невырожденной, если ее числа невырожденности и удовлетворяют условиям &{У0 , .

О самой задаче (з) будем говорить в этом случае, что она невырожцена.

Сразу же распространим это определение и на случай семейства пар операторов дискретных задач вида (з) , для чего потребуем равномерной по параметрам, порождающим семейство, ((Ял/ » -невырожденности каждой отдельной пары операторов.

Определение 3, как следует из теоремы 2, равносильно определению 2, когда задача (з) совместна, но, кроме того, оно "работает" и в случае несовместности последней.

Рассмотрим более общую, вариационную постановку задачи (з): найти элементы Р , W из условий V-n/lly.-* Сп£ ; V=Pvr+(L-P)f ; (4)

По поводу этой постановки заметим, что решение задачи - пара {tyltfj - всегда существует и не зависит от направлений проектирования оператора Р , а лишь от См Р . Далее, отчетливо проявляется смысл чисел невырожденности: характеризует угол между многообразиями СМ величина характеризует устойчивость сдвига ^ подпространства ttfnt ■ как целого к изменению ^ .

Теорема 3. Пусть пара операторов / является

Xi , (2i) -невырожденной. Тогда для решения задачи (а) справедлива оценка

IMI^alllfllv+afallUHv ■ .

Доказательство. Введем операторы Q и Р - ортогональные проекторы на подпространства ^^ и СтР соответственно. Введем также обозначения ес=€ , r-a-POj.

Тогда условия (4) можно заменить на эквивалентные условия

ЦЪ-urilv-PCnJ3 iW^&w + a . ; tx^P'v+f , (д) и, воспользовавшись ортогональностью проектора (2 , перейти от (б) к задаче IIP'tr+f-ЛНу -f Cbf со Л следующим уравнением Эйлера для неизвестного элемента V : в)

Здесь учтено, что , LPY^P . Выпишем неравенство (р'сс, fiyjcr M-t-d\)°-slloellv ЦЧи , являющееся следствием леммы I и определения числа (Z/ . Используя это неравенство имеем: , . . . , ,

Р'(b-dfly- -(Р PIT + Р'аРЬ-РЪР(гЩг (p'cv--a))v (P'v +?), p ^ (-t-aV^ll-e'v+J'Htr HP'(v-ccjiitr.

Следовательно Ц P'iV-Otlllv ± +J"//lr . .

Аналогично доказывается неравенство

В силу линейности задачи (б) , что видно из уравнения (б) , представим ее решение в виде суммы решений частных задач: задачи llV-io'lltf Сп/ , ; v'-^P'v' ; w'-Qm'+gC и задачи IIV*- inf ; ^ P/V^J>/ . то есть V^V'+V" , иУ^^'+ЬУУ . Из- полученных выше оценок следует, что Цр1 V/fll ^

Так как JL Cm Р и (/С J-ChnQ , то

-<) If'Ир , Шьо'11^(^4)11 atxr и, следовательно, И VII*: =IIP'v" +/'/£ 6 а?и/% IIv'U* ± a? Iletuz . Используя соотношение (для решения) Р'<ш' , получаем /M/v ^ // ^У/у- + //<гг'7/у ^ й II ю-'п с * к Viler * аЦШхг+UflM 4 a/fltfllv i Аналогично доказывается вторая оценка теоремы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой главе рассмотрены граничные уравнения вида Pit - U ~(I~~ P)f t , возникающие как в методе разностных потенциалов [дискретный случай], так и в результате редукции типа Кальдерона-Сили (непрерывный случай]. Для изучения вопроса устойчивости граничных уравнений введены (§ i] две константы - числа невырожденности пары операторов [ Р,{ ] . Использование для характеристики устойчивости именно этих констант позволило, во-первых, отделить вопрос устойчивости граничных уравнений от вопроса их разрешимости (теорема 2) ; во-вторых, рассмотреть вопрос устойчивости одного из возможных квазирешений граничных уравнений (теорема з]. Необходимость такого подхода к проблеме устойчивости вызвана тем, что при получении: дискретных граничных уравнений из непрерывных вследствие погрешностей аппроксимации теряется свойство разрешимости, однако, свойство невыроэденности пары континуальных операторов [ Р, t^ может наследоваться соответствующими парами дискретных операторов (что позволяет определять устойчивые квазирешения]. В §§ 2-3 приведены примеры краевых задач, и для этих задач конкретизированы пространства функций, в которых соответствующие пары операторов оказываются невырожденными. В целом рассмотрения главы I направлены на получение хорошо обусловленных систем алгебраических уравнений в МРП.

В главе П рассмотрено применение МРП к численному решению краевых задач на плоскости для дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами по одному направлению. Приведено описание алгоритма, требующего для отыскания приближенного решения ячеек памяти и шу О (К ) действий, где A/u,rrup ~ необходимое число итераций для решения аппроксимирующей задачи. В §§ 2-5 дано обоснование предлагаемой схемы расчета и для случая I, П, Ш краевых задач показано, что нахождение решения с точностью не хуже, чем

ЧШ (в интегральных нормах) достигается за число итераций Mimtp не большее по порядку, чем Описанный алгоритм реализован в виде программы на языке ФОРТРАН и по этой программе проведены расчеты для I, П, Ш краевых задач, подтвердившие эффективность метода (§ б).

В главе Ш введены и частично изучены разностные сферические функции. Необходимость в них возникла в связи с построением разностных потенциалов в сферической системе координат. Построен аппарат РСФ, позволяющий использовать эти функции! почти столь же эффективно, как синусы и косинусы. Именно,хранение РСФ сведено по существу к хранению соответствующих им собственных чисел, восстановление (по заранее вычисленному собственному числу) одной какой-либо РСФ во всех точках требует

О (А/) операций (§§ 1-2). Численно показана (§ з) сходимость нескольких первых РСФ к классическим функциям. Для осесимметричного случая сходимость установлена теоретически (§ 4) .

В главе 1У метод разностных потенциалов применен для / численного решения внешних задач математической физики, связанных с уравнениями Лапласа и Гельмгольца. Вначале (§ ij построены соответствующие разностные потенциалы в сферической системе координат для области внешней по отношению к произвольному "объемному" телу. Затем (§§ 3-4) приведено описание алгоритмов решения внешних задач для случая тел вращения '. Эффективность некоторых из построенных алгоритмов подтверждена методическими расчетами (§ б).

В конструкции потенциалов были использованы разностные парциальные условия, которые являются аналогами парциальных условий, заменяющих условия поведения искомой функции! на бесконечности. Применение таких нетривиальных (парциальных) условий привело к необходимости исследования аппроксимационных свойств разностных потенциалов. В § 2 рассмотрен осесиммет-ричный случай для уравнения Лапласа, и для этого случая доказано, что оператор разностного потенциала (являющийся проекционным оператором) проецирует произвольную функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа и убывающую на бесконечности, почти в себя с погрешностью оампу .

В главе У построены алгоритмы решения пространственных задач электромагнитной дифракции для "объемных" тел. В первом из описываемых алгоритмов (§ i] применены разностные потенциалы, построенные в сферической системе координат. Требуемые для нахождения приближенного решения ресурсы (количество ячеек памяти и операций) у этого алгоритма такие же по порядку, как и в методе граничных интегральных уравнений. Заметим, однако, что в алгоритме метода разностных потенциалов не возникает проблемы внутренних резонансов. Кроме того, не усложняя алгоритма можно ввести зависимость параметров среды от переменной Z в сферической системе ко ординат (t, 6) Ц) . Во втором алгоритме (§ 2) использованы разностные потенциалы, построенные в декартовой системе координат. Это позволило уменьшить за счет применения быстрого преобразования

Фурье оценку порядка требуемого количества действий для приближенного решения задачи. Заметим, что в этом алгоритме также можно ввести зависимость параметров среды по одной из координат (по .

ПРШЮЖЕНЙЕ

Для удобства мы используем в приложении: сплошную нумерацию формул, начатую в главе У.

1. Белянков А.Я. Две конструкции независимых и устойчивых внутренних граничных условий.- В кн.: Задачи механики и математической физики. М., Наука, 1976.

2. Белянков А.Я. К развитию метода внутренних граничных условий в теории разностных схем. Кацд.дисс., Ин-т прикл. матем. АН СССР, 1977.

3. Белянков А.Я., Рябенький B.C. Разностные проекторы для внутренних и внешних краевых задач. УМН, 36, № 4, 1981.

4. Белянков А.Я., Рябенький B.C. Проекторы для разностных схем на нерегулярных сетках. Препр. ЙГМ им. М.В.Келдыша., № 70, 1981.

5. Белянков А.Я., Резник А.А., Рябенький B.C. Численное решение уравнений метода разностных проекторов для разностных краевых задач. Препр, ИПМ им. М.В.Келдыша., Р 105, 1981.

6. Белянков А.Я., Рябенький B.C. Разностный аналог аппарата сингулярных интегральных уравнений в теории разностных краевых задач. Тр.Моск.матем.об-ва., т.46, 1983.

7. Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1-3, СМБ, Наука, 1965-1967.

8. Ваганов Р.Б., Кацеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М., Наука, 1982.

9. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции! и метод факторизации. М., Советское радио, 1966.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., Наука, 1976.

11. Вычислительные методы в электродинамике. Под ред. Р.Миттры. М., Мир, 1977.

12. Завадский В.Ю. Метод конечных разностей в волновых задачах акустики. М., Наука, 1982.

13. Ильинский А.С., Свешников А.Г. Методы численного решения задач теории дифракции. В кн.: Тр.Всесоюз.конф./январь-1976/ по уравнениям с частными производными. М., Изд-во МГУ, 1978.

14. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., Наука, 1964.

15. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., Мир, 1971.

16. Марков А.А. Избранные труды. М.-Л., 1948.

17. Марков Г.Т., Васильев Е.Н. Математические методы в задачах прикладной электродинамики. М., Советское радио, 1970.

18. Метод граничных интегральных уравнений. Сер. Механика. Новое в зарубежной науке. М., Мир, 1978.

19. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М., Наука, 1967.

20. Резник А.А., Рябенький B.C. Быстрый метод внутренних граничных условий. УМН, т.34, № 4, 1979.

21. Резник А.А., Рябенький B.C. Ускоренный метод внутренних граничных условий и связанный с ним подход к вычислению сингулярных интегралов. Препр. ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, № 54, 1979.

22. Резник А.А. Аппроксимация поверхностных потенциалов эллиптических операторов разностными потенциалами. ДАН СССР,т.263, Я9 6, 1982.

23. Резник А.А. Аппроксимация поверхностных потенциалов эллиптических операторов разностными потенциалами и применение разностных потенциалов для решения краевых задач математической физики. Кацд.дисс., МШИ, 1983.

24. Резник А.А., Рябенький B.C., Софронов H.JI., Турчанинов В.И. Об алгоритме метода разностных потенциалов для численного решения редуцированных на границу краевых задач. Препр, ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, Р 39, 1984.

25. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М., ГЪстехиздат, 1956.

26. Рябенький B.C. Некоторые вопросы теории разностных краевых задач. Докт.дисс., Ин-т прикл. матем. АН СССР, 1969.

27. Рябенький B.C. Оператор граничного проектирования. ДАЛ, т.185, Р 3, 1969.

28. Рябенький B.C. Формула Грина для систем разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Матем.заметки., т.5, Р 5, 1969.

29. Рябенький B.C. О системах разностных уравнений с локализованным влиянием правой части. Матем.заметки., т.6, Р 2,1969.

30. Рябенький B.C. Суммы для решений разностных уравнений, аналогичные интегралу Коши. Депо рукописей ВИНИТИ, деп.Р Р 635-69, 1969.

31. Рябенький B.C. О разностных уравнениях на полиэдрах. Матем.сб., 79, Р I, 1969.

32. Рябенький B.C. Некоторые вопросы теории разностных краевых задач./Автореф.докт.дисс./Матем.заметки., т.7, Р 5,1970.

33. Рябенький B.C. Метод внутренних граничных условий в теории разностных краевых задач. УМН, т.26, Р 3, 1971.

34. Рябенький B.C. Определение деления с остатком для многочленов многих аргументов. ДАН СССР, т.202, Р 4, 1972.

35. Рябенький B.C. Об использовании' метода внутренних граничных условий для вычислений. В кн.: Тр.Всесоюз.конф./январь-7б/ по уравнениям с частными производными. М., Изд-во МГУ, 1978.

36. Рябенький B.C. Деление с остатком многочленов многих переменных и разностные краевые задачи.- В кн.: Задачи механики и матем.физики. М., Наука, 1976.

37. Рябенький B.C. Новый метод решения интегральных уравнений, /тезисы доклада, октябрь-78/. В кн.: Теория кубатурных формул и вычислительная математика. М., Наука, 1980.

38. Рябенький B.C., Белянков А.Я. Разностные потенциалы и проекторы. ДАН СССР, т.254, Р 5, I960.

39. Рябенький B.C. Обобщение проекторов и граничных уравнений Кальдерона на основе понятия четкого следа. ДАН СССР, т.273, Р 2, 1983.

40. Рябенький B.C., Софронов И.Л. Разностные сферические функции. Препр. ЙШ им. М.В.Келдыша, Р 30, 1983.

41. Рябенький B.C. Проекторы Кальдерона для системы Стокса. УМН, т.42, в.1, 1983.

42. Рябенький B.C., Софронов И.Л. Численное решение внешних пространственных задач для уравнения Гельмгольца методом разностных проекторов. Препр. ИПМ им. М.В.Келдыша, Р II, 1984.

43. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука, 1977.

44. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М., Наука, 1976.

45. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М., Наука, 1978.

46. Свешников А.Г., Еремин Ю.А. Методы решения задач электромагнитной дифракции на осесимметричном теле с учетом геометрии рассеивателя. ДАН, т.228, Р 6, 1976.

47. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л., Изд-во ЛГУ, 1950.

48. Софронов И.Л. 0 невыроэвденности уравнений, свойственных методу разностных проекторов. Препр. ИПМ им. М.В.Келдыша, № 35, 1983.

49. Тихонов А.Н., Самарский А.А. -Уравнения математической физики. М., Наука, 1966.

50. Хермаццер Л. Псевдодифференциальные операторы и неэллиптические краевые задачи. В кн.: Псевдо дифференциальные операторы. М., Мир, 1967.

51. Численные методы теории дифракции. Сер. Математика. Новое в зарубежной науке. М., Мир, 1982.

52. ЭВМ БЭСМ-6. Математическое обеспечение.54.Яксиии R 6»Лолу, Gpaafau*mcUbCx nudioou fs* Ые AM/yJLo&fy едшгЛс'о*. on, $енлл>оЛ Ыш- оЛ ырссш. е^йг^.

53. CoMft., (X 33, IP 147, 1979.55. ИТ. Cn^fcaM MCtAonototyрьоШтгйтИМоМ-, Я88, Ш 4, 1966.