Исследование и численное решение интегральных уравнений трехмерных стационарных задач дифракции акустических волн тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

КАШИРИН Алексей Алексеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЁХМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН

01.01.07 - Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск - 2006

Работа выполнена в Вычислительном центре ДВО РАН

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

профессор Смагин Сергей Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Алексеев Геннадий Валентинович

Ведущая организация: Институт вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 21 декабря 2006 года в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.294.02 в Тихоокеанском государственном университете по адресу: 680035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136, ауд. 315л.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тихоокеанского государственного университета

кандидат физико-математических наук Сачков Сергей Александрович

Учёный секретарь диссертационного совета

Вихтенко Э.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование процессов распространения стационарных акустических волн в средах с трёхмерными включениями играет важную роль в различных областях науки и техники и приводит к постановке достаточно сложных задач математической физики, которые принято называть задачами дифракции (трансмиссии) или задачами рассеяния.

С математической точки зрения такие задачи представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа, которые описывают процессы распространения акустических колебаний в трёхмерном пространстве и содержащемся в нём локальном включении. При этом их решения должны удовлетворять контактным условиям, заданным на границе включения, и условиям излучения на бесконечности.

Построение точных аналитических решений задач дифракции, осуществляемое методами разделения переменных или интегральных преобразований, возможно только в исключительных случаях, когда граница включения имеет достаточно простую геометрическую форму. Ещё один подход к решению задач дифракции основан на асимптотических методах, применяемых для моделирования рассеяния низкочастотных и высокочастотных волновых полей. Однако класс задач, охватываемый указанными методами, остаётся весьма узким, поэтому основным направлением исследования дифракционных процессов является прямое компьютерное моделирование.

Алгоритмы численного решения задач дифракции, основанные на конечно-разностных или проекционно-сеточных методах, предполагают замену исходной неограниченной трёхмерной области расчётной областью с ограниченными размерами. Для отыскания решения с приемлемой точностью расчётную область приходится выбирать достаточно большой и использовать в ней сетки с очень большим числом узловых точек, поскольку искомое решение в большинстве случаев медленно убывает на бесконечности и осциллирует. Как следствие, такие алгоритмы предъявляют слишком высокие требования к ресурсам компьютера и поэтому являются малоэффективными для решения данного класса задач.

Указанные проблемы стимулируют развитие интегральных методов решения задач дифракции, позволяющих понижать размерность исходных трёхмерных дифференциальных задач путём сведения их к эквивалентным двумерным задачам, сформулированным в форме интегральных уравнений на замкнутых поверхностях включений. Поскольку, как правило, исходные задачи допускают различные интегральные постановки, возникает необходимость выбора и

исследования таких формулировок, которые наиболее удобны для численного решения.

В данной работе, в отличие от общепринятого подхода, когда задачи дифракции формулируются в виде систем двух интегральных уравнений с двумя неизвестными функциями, получены и используются интегральные уравнения с одной неизвестной функцией, каждое из которых равносильно исходной задаче. Такой подход приводит к граничным интегральным уравнениям с более сложной для теоретического анализа структурой, что компенсируется возможностью построения на их основе эффективных численных алгоритмов.

Целью работы является разработка и реализация нового эффективного подхода к моделированию процессов дифракции стационарных акустических волн в однородных средах с трёхмерными включениями. Исходя из поставленной цели, в работе рассматриваются следующие задачи:

- вывод и теоретическое исследование слабо сингулярных интегральных уравнений I рода с одной неизвестной функцией, эквивалентных задачам дифракции в обобщённых постановках;

- разработка устойчивых численных алгоритмов с "саморегуляризацией" для решения полученных интегральных уравнений и их реализация в виде комплекса компьютерных программ;

- математическое моделирование процессов дифракции стационарных акустических волн в однородных средах с трёхмерными включениями с использованием разработанного комплекса программ.

Методика исследований. Представленные в диссертации результаты теоретических исследований и вычислительных экспериментов получены с привлечением методов теории потенциала, дифференциальных и интегральных уравнений, теории обобщённых функций, функционального анализа и вычислительной математики.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- получены и исследованы новые обобщённые интегральные постановки стационарных задач дифракции акустических волн на трёхмерных включениях;

- разработаны и реализованы в виде комплекса программ алгоритмы численного решения слабо сингулярных интегральных уравнений I рода с одной неизвестной функцией, эквивалентных задачам дифракции в обобщённых постановках;

— разработан и численно реализован алгоритм решения интегральных уравнений в ситуациях, когда нарушается условие эквивалентности дифференциальной и интегральной постановок исходных задач;

— исследованы возможности применения итерационных методов вариационного типа для численного решения задач дифракции в интегральных постановках.

Теоретическая и практическая ценность. В диссертации получены и исследованы интегральные уравнения, на основе которых построены

эффективные численные алгоритмы решения задач дифракции в неограниченных областях с трёхмерными включениями. Применяемые в данной работе методы могут быть использованы для исследования других граничных и гранично-контактных задач, путём их сведения к эквивалентным интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям.

Разработаны и реализованы в виде комплекса программ алгоритмы численного решения интегральных уравнений задач дифракции, которые могут быть применены для численного исследования других граничных интегральных уравнений.

Проведены численные эксперименты, по результатам которых сделан вывод о высокой эффективности итерационных методов вариационного типа для численного решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с плотно заполненными матрицами, аппроксимирующими интегральные уравнения трёхмерных задач дифракции.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2002-2004, 2006; Хабаровск, 2005), Краевых конкурсах работ молодых ученых (Хабаровск, 2002, 2005), Четвёртом Всероссийском симпозиуме «Сейсмоакустика переходных зон» (Владивосток, 2005), научных семинарах ВЦ ДВО РАН и Тихоокеанского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Работа написана на 118 страницах и содержит 8 таблиц, 48 рисунков и список литературы из 106 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, приведён обзор методов решения стационарных задач дифракции акустических волн и кратко описана структура диссертационной работы.

Глава 1 написана по материалам работ [1, 3, 5] и содержит 4 параграфа.

В § 1.1 приведена классическая постановка трёхмерной стационарной задачи дифракции акустических волн и сформулирована теорема единственности для этой задачи.

Задача 1.1. Найти в ограниченной области Q,- трёхмерного евклидова пространства R3 и в неограниченной области Cle = R2 \ Q , разделённых замкнутой поверхностью Г класса Гельдера сг<\ комплекснозначные функции ср/(г) е С

удовлетворяющие уравнениям

ДФ/(е) + к\г)<?Це) = °> * е > (!)

условиям сопряжения

ф/-фв=ф0> Ф1» *еГ>

и условиям излучения на бесконечности для сре

9Ф./ЗН-Л.Ф. = И"»00' (2)

если на границе включения Г заданы функции фоеС^Г) м ф1еС~1+а(Г), 1<г+а<Н-р.

Здесь А — оператор Лапласа, фо, Ф1 — известные комплексная амплитуда давлений исходного волнового поля и её нормальная производная, ф1=Мр0, N=31 дп, п(х) - вектор единичной внешней нормали к поверхности Г в точке х,

со — круговая частота колебаний, с,(е), р,(е), у,(е) — скорости звука, плотности и коэффициенты поглощения сред, заполняющих области Д(<ф С1(е)>0, р1(е)>0, у,(е)>0.

Теорема 1.1. Задача 1.1 имеет единственное решение. Доказательство теоремы 1.1 имеется в монографиях В.Д. Купрадзе1, Д. Колтона и Р. Кресса .

В § 1.2 рассмотрены интегральные постановки исходной задачи, полученные методами теории потенциала в работах С.И. Смагина, и сформулированы теоремы об условной эквивалентности этих задач исходной дифференциальной задаче и об их корректной разрешимости в классе функций, непрерывно дифференцируемых по Гёльдеру.

В § 1.3 сформулирована задача дифракции в обобщённой постановке и приведены результаты исследования данной задачи. Задача 1.2. В областях О, и

наити комгглекснозначные функции е//'удовлетворяющие интегральным тождествам

о

/ Уфце^Уы^-кЦе) I = 0 ^¡(е) е (Я(«))> (3)

условиям сопряжения на границе раздела сред из О, и С1е

(ф,. - фе,ц)г = (Фо,ц)г Уц е Я-,/2(Г), (4)

1 Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.-Л.: ГТГИ, 1950. 280 с.

2 Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.:

Мир, 1987. 311 с.

(л, - peNq>e)r = (л,ЛФ1>г Vt1 6 #V2(r),

а также условию излучения на бесконечности вида (2) для фе, если на Г заданы функции ф0е//ш(Г) м ф1е/Г1/2(Г).

Здесь и далее <-,-)г - отношение двойственности на Нш(Г)хН~т(Т), обобщающее скалярное произведение в Н°(Г),

(f,g)r = jfgd Г У/,*еЛ°(Г),

г

g - комплексно-сопряжённая к g функция.

Замечание 1.1. Если 1т(А:г)=0, то фе е Hj^Qg).

Пусть решение задачи 1.2 ищется в виде потенциалов простого слоя

где ^,(e)eiT1/2(Г) — неизвестные плотности вспомогательных источников колебаний, Giiej(xy)=Qxp(iki{e)r)f(4Tir) - фундаментальные решения уравнений Гельмгольца (1), г=\х-у\.

Тогда потенциалы (5) удовлетворяют тождествам (3) и условию излучения на бесконечности вида (2) для фе, поэтому для них остаётся обеспечить выполнение условий сопряжения (4). Подставим потенциалы (5) в эти условия и получим систему интегральных уравнений для определения неизвестных плотностей qt и qe:

{Ai4i - Aeqe>[i)v = (<p0f ц)г V|J. e H~x!\Г), (6)

0.5{л, ft?, + qe)r + ~Beqe)v = (Wr Vл e Я,/2(Г).

Здесь (Bi{e)qi{e)) (x) = (NxGi(e) (x, •), qi{e) )p, pie=pjpe.

Теорема 1.5. Пусть je>0 или со не является собственной частотой задачи

Аф + ф = 0, xefij, Ф = 0, хеГ. (7)

Тогда система уравнений (6) корректно разрешима при любой правой части ф0е//1/2(Г), ф( е//~1/2(Г) в пространстве пар плотностей qh и формулы (5) дают решение задачи 1.2. Более сложные представления искомых решений позволяют сводить задачу 1.2 к интегральным уравнениям с одной неизвестной плотностью, на основе которых в дальнейшем разрабатываются численные алгоритмы решения этой задачи. Рассмотрим потенциалы

Ф.(*) = (4*)(*)> хеПе, (8)

Ф,(*) = Pel (4 (^Фе + 9l)+)(*> - (#(фе + Ф0)+)(*Х * € Я»

где деН~ш(Г) - неизвестная плотность, ф0е#ш(Г), ф1е/Г1/2(Г), А1{е) -операторы, определяемые формулами (5), ( 5/ср) (х) = ^ф, (х, .

Здесь и далее знаками "-" и "+" отмечаются предельные значения соответствующих выражений на Г, когда .х—>Г из П, и из Пе.

Потенциалы (8) удовлетворяют тождествам (3), условию излучения на бесконечности вида (2) для (ре и второму из условий сопряжения (4). Подставив их в первое из условий сопряжения, получим интегральное уравнение Фредгольма I рода со слабой особенностью в ядре для определения неизвестной плотности:

0.5((4 + ре1 А,)д,11)г + {{В'Ае - ре1А1Ве)Я,\х)г = (у|/0,ц)г У^ б Я',/2(Г),(9) где

УоО) = -0.5ф0О) + ре, (4ф, ){х) - (Д'ф0)(х).

Теорема 1.6. Пусть фоеЯ1/2(Г), ф1б/Г1/2(Г), уг>0 или со не является собственной частотой задачи (7). Тогда уравнение (9) корректно разрешимо в классе плотностей и формулы (8) дают

решение задачи 1.2.

Задача 1.2 допускает ещё одну эквивалентную формулировку в виде интегрального уравнения Фредгольма I рода со слабой особенностью в ядре. Будем искать её решение в виде

(р1.(х) = (А1д)(х), хеО, (10)

Фе(х) = (Л(ф1 -Де^ф1.)")(х)-(^(ф0 -Ф,-)")(*), х<=Пе,

где (В'е(р)(х) н= ^ф,Аг(.)Сг(х,-))г, р,е-р^ре. В этом случае задача 1.2 сводится к интегральному уравнению

0.5((Л,. + р1еАе)я^)Г +{{РыАА =<Ф0>Р)Г УцеЯ-'/2(Г).(11)

Теорема 1.7. Пусть ф0бЯш(Г), ф,е/Гш(Г), уй>0

или со не является

собственной частотой задачи (7). Тогда уравнение (11) корректно разрешимо в классе плотностей

?е/Г1/2( Г) и формулы (10) дают

решение задачи 1.2.

Замечание 1.2. В случаях, когда нас больше интересует волновое поле в области Ое, предпочтительно сводить задачу 1.2 к уравнению (9), которое допускает расчёт отражённого поля по более простой формуле. По аналогичной причине, в случаях, когда нас интересует проходящее волновое поле в области О.» предпочтительно использовать уравнение (11).

В § 1.4 приведены доказательства лемм, которые используются при доказательстве теорем § 1.3, и сформулирована и доказана теорема единственности для обобщённой постановки исходной задачи.

Глава 2 написана по материалам работ [2, 3] и содержит 4 параграфа.

В § 2.1 рассмотрен метод численного решения интегральных уравнений трёхмерной стационарной задачи дифракции акустических волн, который ранее использовался в работах С.И. Смагина и Н.Е. Ершова для решения других задач математической физики, сводящихся к граничным интегральным уравнениям. Идея метода заключается в том, что неизвестная плотность находится в виде линейной комбинации гладких финитных функций, образующих разбиение единицы на границе включения. Такой подход не требует предварительной триангуляции поверхности и потому одинаково просто реализуется как на регулярных, так и на нерегулярных сетках. При дискретизации интегрального уравнения поверхностные интегралы приближённо заменяются выражениями, содержащими интегралы по трёхмерному пространству, которые затем вычисляются аналитически, что позволяет достаточно просто находить коэффициенты СЛАУ, аппроксимирующей интегральное уравнение.

Рассмотрим особенности реализации метода численного решения, изложенного в § 2.1.1, на примере интегрального уравнения

ФМ*) + lK(x,y)q(y)dy = f(x), хеГ, (12)

где а, К, f— известные функции; ядро К может быть представлено в виде суммы K—S+T; S - выражение с особенностью, которое может иметь вид G(xy)=exp(ikr)/(4nr), dG/dnx, dG/dny; Т — гладкая на поверхности Г функция.

Построим покрытие поверхности Г системой окрестностей

узловых точек хтеГ, лежащих внутри сфер радиусов hm с центрами в хту и обозначим через {фот} подчинённое ему разбиение единицы. Тогда supp9mczr„;, 0<фда<1,

м

2>m(x) = 1 VxeT.

т=1

В качестве фт будем использовать функции

, ' Гт<к'

^ > |о, rm>hm,

где гт=\х-хт\, фтеС'(Г) при ГеСГр, r+ß> 1.

В дальнейшем будем предполагать, что для всех т= 1, 2, ..., М выполняются неравенства

0<h'<\хт-х„\, « = 1,2,..., А/,

И < (2тr),/2aOT <hm<h, h/h' <д0< сх»,

где — положительные числа, зависящие отМ, д0 не зависит отМ,

и*-*'-

Вместо неизвестной функции q, заданной на Г, будем искать обобщённую функцию <?6г, действующую по правилу

(?5г,ср)Лз = (?,ф}г-Обобщённую функцию будем приближать выражением

м

л=1

где цп — неизвестные коэффициенты.

Тогда при достаточно больших М уравнение (12) можно аппроксимировать системой линейных алгебраических уравнений

атдт+^^<?тУ„($тп+Ттп)дп=/т, т = 1,2,...,М. (13)

Здесь

от = Бтп = |д35(*»пООФ&, Ттп = Г(*т,х„),

¥«(*) = ехр(~(х ~ *т)7ст)> /«=

Интегралы вычисляются аналитически, а их значения для т=п находятся предельным переходом при хт—>х„.

Приближённое решение интегрального уравнения (12) получаем численным решением СЛАУ (13).

В § 2.1.2 приведены формулы для аппроксимации интегральных операторов, возникающих при решении 1 и 2 краевых задач для уравнений (1). Аппроксимация интегрального оператора 1 рода осуществляется по формулам

м

\\в1{е)(х,у)дШт{х)сКу<1Гх *фт = 1,2,...,М. г г л=1

Здесь

ЛШЩ _ пш

Рдо = Фл (4к)"1 (1 - (ц^)2 + 0.5 (ц^ )4 ,

Гтп=\Хт-ХП У тп = Гтп/°тп >

= ехр(-г2)|1 + 2тГ1/2/ £ехр(г2) л).

Интегральный оператор 2 рода аппроксимируется так, как предложено в работах Смагина С.И. и Ершова Н.Е.:

±0.5 ¡дц>тс!Г+ | (х, у)д(у)<рт (х)с!Гус1Гх

г гг

м

Здесь

Бк") = ' Птп еХР(*кЦе)Гтп){*кЦе)Гтп ~ Птп = ЛП1т {Х1т ~

/=1

ВТ = лг = -1 - 05(хт),

п^п 4я - 2

В § 2.1.3 изложен алгоритм численного решения внутренних краевых задач для уравнения Гельмгольца на спектре, где соответствующие задачи и, как следствие, эквивалентные им интегральные уравнения, разрешимы неединственным образом. В таких случаях частные решения краевых задач, ортогональные ядру дифференциального оператора, находятся с использованием линейных комбинаций решений корректно поставленных задач для интегральных уравнений с «близкими» к точкам спектра волновыми числами.

§ 2.2 содержит обзор итерационных методов вариационного типа для численного решения СЛАУ. Приведены описания алгоритмов, теоремы сходимости, оценки скорости уменьшения норм невязок и погрешностей для систем с положительно определёнными матрицами.

В § 2.3 приведены результаты тестирования алгоритмов для численного решения интегральных уравнений внутренних и внешних краевых задач дифракции. В § 2.3.1 рассмотрены 1 и 2 краевые задачи для уравнения Гельмгольца в трёхмерных областях, ограниченных сферой и вытянутым трёхосным эллипсоидом. § 2.3.2 содержит описание результатов численного решения 1 краевой задачи для шара, сформулированной в виде слабо сингулярного интегрального уравнения 1 рода, в точках спектра, с использованием алгоритма § 2.1.3. В § 2.3.3 численно исследована скорость сходимости приближённых решений

интегральных уравнений, рассмотренных в § 2.3.1, к «эталонным» решениям этих уравнений в сеточных пространствах функций. В качестве «эталонных» решений выбираются приближённые решения соответствующих уравнений с максимальным количеством точек дискретизации.

В § 2.4 исследуются возможности итерационных методов вариационного типа для численного решения краевых задач дифракции в интегральных постановках. По результатам экспериментов выбран лучший итерационный метод. Установлено, что почти все рассмотренные итерационные процедуры являются быстро сходящимися и число итераций, необходимых для вычисления решений с приемлемой точностью, слабо зависит от размерности СЛАУ.

Глава 3 написана по материалам работ [3, 4] и состоит из 3 параграфов.

В § 3.1 изложены результаты тестирования алгоритмов для численного решения стационарных задач дифракции акустических волн.

В § 3.1.1 рассмотрены и численно исследованы имеющие аналитические решения задачи рассеяния плоских акустических волн на единичном шаре, эквивалентные уравнениям (9) и (11). При этом соответствующие интегральные операторы, которые являются композицией интегральных операторов 1 и 2 рода, аппроксимируются по формулам

£0.5(4, + РеА)ч + (В\Ае - реЛВе)я~\цтс1Т » г

м / \ ^(агвг-ре1АГВГ)дп, т = 1,2

Л=1

Л>5(4 + р1еАе)Ч + (р1еАеВ1 «

г

м /

п=1

а правая часть уравнения (9) - по формулам

][-о.5ф0+ре1 (4ф, ) - (б;фо)]фот£/г « г

м г л

«Сз(хт)Фо(хт) + 2ф«[^Гф.(^)-Фо(^)^Г} т = 1,2,..., А/.

Л=1

Для рассматриваемых задач проведено сравнение приближённых решений с их известными точными решениями в зависимости от параметров сред и количества точек дискретизации на поверхности включения. Скорость сходимости приближённых решений

интегральных уравнений к «эталонным» решениям исследована в § 3.1.2. В качестве последних выбираются приближённые решения соответствующих уравнений с максимальным числом точек дискретизации. В § 3.1.3 получены решения задач дифракции в точках спектра интегральных уравнений (9) и (11), где нарушается условие эквивалентности дифференциальной и интегральной постановок рассматриваемых задач. Для получения решений в этих случаях используется алгоритм § 2.1.3.

В § 3.2 проведено исследование итерационных методов вариационного типа для численного решения трёхмерных задач дифракции акустических волн в интегральных постановках. По результатам вычислительных экспериментов в качестве лучшего метода для решения получаемых СЛАУ выбран обобщённый метод минимальных невязок (GMRES).

В § 3.3 приведены численные результаты, демонстрирующие возможности применяемого подхода для компьютерного моделирования процессов рассеяния стационарных акустических волн на трёхмерных включениях.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Для обобщённых постановок задач дифракции акустических волн на трёхмерных включениях получены и исследованы условно эквивалентные им граничные интегральные уравнения с одной неизвестной функцией.

2. Разработаны и реализованы в виде комплекса программ алгоритмы численного решения задач дифракции в интегральных постановках.

3. Разработан метод численного решения задач дифракции в точках спектра интегральных уравнений, когда нарушается условие эквивалентности дифференциальной и интегральной формулировок исходных задач.

4. Исследована эффективность итерационных методов вариационного типа для численного решения интегральных уравнений задач дифракции и выбран наилучший из них для данного класса задач.

5. Выполнены численные эксперименты, характеризующие возможности предложенного метода для численного решения трёхмерных задач дифракции, по результатам которых сделан вывод о правильности и высокой точности разработанных алгоритмов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Каширин A.A. Исследование обобщённых решений интегральных уравнений скалярной задачи дифракции. Препринт № 57 / A.A. Каширин. - Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 2001. - 26 с.

2. Каширин A.A. Численное решение интегральных уравнений трёхмерной стационарной задачи дифракции акустических волн. Препринт № 74 / A.A. Каширин. - Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 2004. - 31

с.

3. Каширин A.A. Моделирование дифракции акустических волн на локальных трёхмерных включениях / С.И. Смагин, A.A. Каширин // Четвёртый всероссийский симпозиум. «Сейсмоакустика переходных зон». Материалы докладов. — Владивосток: Издательство Дальневосточного университета, 2005. - С. 243-244.

4. Каширин A.A. Итерационные методы для численного решения интегральных уравнений теории дифракции акустических волн. Препринт № 87 / A.A. Каширин. - Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 2005. - 35 с.

5. Каширин A.A. Обобщённые решения интегральных уравнений скалярной задачи дифракции / A.A. Каширин, С.И. Смагин // Дифференциальные уравнения. — 2006. — Т. 42. — № 1. — С. 79-90.

Каширин Алексей Алексеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЁХМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 10.11.2006 г. Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 0,81. Тираж 120 экз. Заказ 267.

Издательство Тихоокеанского государственного университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.

Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.

Введение

Глава 1. Интегральные уравнения трёхмерной стационарной задачи дифракции акустических волн

1.1. Классическая постановка трёхмерной стационарной задачи дифракции акустических волн

1.2. Интегральные формулировки исходной задачи

1.2.1. Система интегральных уравнений смешанного типа

1.2.2. Интегральные уравнения I рода с одной неизвестной плотностью

1.3. Обобщённые решения интегральных уравнений трёхмерной стационарной задачи дифракции акустических волн

1.3.1. Обобщённая постановка исходной задачи

1.3.2. Обобщённое решение смешанной системы интегральных уравнений

1.3.3. Обобщённые решения интегральных уравнений I рода с одной неизвестной плотностью

1.4. Вспомогательные утверждения

Глава 2. Интегральные уравнении краевых задач для уравнения Гелыигольца и их численное решение

2.1. Метод численного решения

2.1.1. Дискретизация интегральных уравнений

2.1.2. Аппроксимация интегральных операторов

2.1.3. О решении краевых задач на спектре интегральных операторов

2.2. Итерационные методы вариационного типа для решения СЛАУ с плотно заполненными матрицами

2.2.1. Основные понятия и обозначения

2.2.2. Критерии отбора итерационных методов

2.2.3. Алгоритмы итерационных методов и теоремы сходимости

2.2.4. Критерий остановки счёта

2.3. Численное решение краевых задач

2.3.1. Внутренние краевые задачи для уравнения Гельмгольца

2.3.2. Решение 1 краевой задачи на спектре

2.3.3. Численное исследование сходимости приближённых решений интегральных уравнений 1 и 2 краевых задач

2.4. Зависимость числа итераций от размерности СЛАУ

Глава 3. Численное моделирование дифракции акустических волн на трёхмерных включениях

3.1. Тестирование численного метода решения задач дифракции

3.1.1. Рассеяние плоской акустической волны на шаре

3.1.2. Проверка сходимости приближённых решений

3.1.3. Численное решение интегральных уравнений на спектре

3.2. Вычисление размерностей подпространств Крылова

3.3. Результаты компьютерного моделирования процессов дифракции 99 Заключение 109 Литература

Математическое моделирование процессов распространения стационарных воли в средах с трёхмерными включениями играет важную роль в различных областях науки и техники и приводит к постановке достаточно сложных задач математической физики. Такие задачи принято называть задачами дифракции (трансмиссии) или задачами рассеяния. Они встречаются, например, в радиофизике, дефектоскопии, оптике, акустике океана и атмосферы, геофизике.

В данной работе рассматриваются, в основном, вопросы численного решения трёхмерных стационарных задач дифракции акустических волн. С математической точки зрения они заключаются в решении скалярных уравнений Гельмгольца, которые описывают процессы распространения акустических колебаний в трёхмерном пространстве и содержащемся в нём локальном включении. При этом искомые решения должны удовлетворять контактным условиям, заданным на границе включения, и условиям излучения на бесконечности. Кроме того, их поведение существенным образом зависит от отношения длин падающих волн к характерным размерам включений.

Аналитические решения задач дифракции могут быть найдены только в исключительных случаях, когда граница включения имеет достаточно простую геометрическую форму (например, сфера или эллипсоид). Для построения решений таких задач используются методы Винера-Хопфа, интегральных преобразований, степенных рядов [49, 50, 59, 62]. Важность аналитических методов заключается в том, что полученные с их помощью решения позволяют описывать исследуемые процессы с высокой степенью точности. Поэтому аналитические решения могут быть использованы в качестве тестовых при изучении задач дифракции с рассеивателями более сложной формы.

Ещё один подход к решению данного класса задач связан с изучением асимптотического поведения искомых решений при малых и больших значениях частоты исходного волнового поля. В случае низкочастотного рассеяния акустических волн для построения решений обычно используют методы теории возмущений [40], а в случае высокочастотного рассеяния - лучевые методы, метод параболического уравнения или метод эталонных задач [1, 64]. Однако формальные преобразования, лежащие в основе этих методов, в большинстве случаев не имеют строгого математического обоснования.

Следует отметить, что класс задач, охватываемый упомянутыми выше методами, остаётся весьма узким, поэтому основным методом исследования дифракционных процессов является прямое компьютерное моделирование.

Применение компьютера требует предварительного построения дискретного аналога (дискретной модели) исходной задачи, которое может быть выполнено различными способами. При сравнении получаемых различными способами дискретизации моделей предпочтение, очевидно, следует отдавать сочетающей в себе простоту и приемлемую точность описания исходной задачи. Такая модель может быть достаточно просто реализована в виде программы, предъявляя при этом минимальные требования к оперативной памяти и процессорному времени компьютера.

Дискретизацию граничных и гранично-контактных задач дифракции можно осуществить с помощью конечно-разностных и проекционно-сеточных методов [12, 17, 20, 38, 39, 41, 42, 45-47, 63, 71, 83, 89]. Как правило, их применение оправдано при решении задач, сформулированных в ограниченной области. Применение этих методов для построения дискретных аналогов внешних трёхмерных гранично-контактных задач связано с существенными трудностями, обусловленными тем, что расчётная область является неограниченной и трёхмерной. В этом случае неограниченную область приходится заменять её конечной подобластью, а условие излучения на бесконечности - краевым условием на внешней границе подобласти. Такая замена вносит в дискретную модель неустранимую погрешность, величина которой медленно убывает с увеличением подобласти, поскольку искомые решения исходных задач, как правило, медленно убывают на бесконечности.

Трудности усугубляются при рассмотрении задач дифракции с высокой частотой колебания, т.е. таких задач, в которых длина падающих волн мала по сравнению с характерными размерами включения. В этом случае искомые решения сильно осциллируют, поэтому для достижения приемлемой точности при их аппроксимации необходимо уменьшать шаг сетки. Число узлов сетки в трёхмерных задачах изменяется как 0(И~3), где h - величина шага сетки, следовательно, уменьшение шага сетки приводит к быстрому росту размерностей дискретных моделей.

Перечисленные свойства трёхмерных задач дифракции приводят к тому, что алгоритмы их численного решения, полученные конечно-разностными и проекционно-сеточными методами, предъявляют слишком высокие требования к ресурсам компьютера и поэтому являются малоэффективными для решения данного класса задач.

Эффективным способом решения указанных проблем является переход от дифференциальной постановки исходной задачи к эквивалентной ей интегральной постановке, который может быть осуществлён методами теории потенциала. При этом трёхмерная задача в неограниченной области сводится к двумерной задаче, сформулированной на замкнутой поверхности включения. К недостаткам такого подхода следует отнести сложную для теоретического анализа структуру получаемых граничных интегральных уравнений, что компенсируется возможностью построения на их основе эффективных численных алгоритмов.

Переход к интегральным постановкам исходной задачи дифракции может быть осуществлён различными способами. Основная идея заключается в том, что отражённое и проходящее волновые поля ищутся в виде интегралов типа потенциала с неизвестными функциями, заданными на границе включения. Ядрами этих интегралов являются фундаментальные решения соответствующих дифференциальных уравнений или их производные, поэтому они автоматически удовлетворяют как самим дифференциальным уравнениям, так и условию излучения на бесконечности для отражённого волнового поля. При этом исходная задача сводится к задаче отыскания таких неизвестных функций (плотностей), которые обеспечат для искомых волновых полей выполнение контактных условий на границе включения.

В данной работе для сведения исходных дифференциальных задач к эквивалентным им интегральным уравнениям систематически применяется непрямой вариант метода интегральных уравнений [5-9, 11, 15, 16, 29, 32, 34, 37, 48, 51-56, 66, 69, 70, 99]. В этом варианте неизвестные плотности представляют собой вспомогательные источники волнового поля, распределенные по границе включения, тогда как в прямом варианте метода в качестве неизвестных функций выбираются граничные значения искомых волновых полей и их производные [32, 35, 98]. Оба метода позволяют сводить исходную задачу к различным эквивалентным ей системам двух интегральных уравнений с двумя неизвестными плотностями. Важным достоинством непрямого метода интегральных уравнений является то, что он позволяет уменьшить число неизвестных функций и сформулировать исходную задачу в виде одного интегрального уравнения с одной неизвестной плотностью. Такие уравнения удобны для численного исследования и полученные в результате их дискретизации задачи предъявляют меньше требований к ресурсам компьютера по сравнению с другими эквивалентными формулировками.

Впервые подобный подход был предложен в публикациях [95, 96]. Наиболее законченные результаты его применения к исследованию стационарных задач дифракции в классических постановках изложены в работах [55, 88,94].

В данной работе исходная задача рассматривается в обобщённой постановке. Для неё получена эквивалентная система двух интегральных уравнений с двумя неизвестными плотностями, а также пара различных слабо сингулярных интегральных уравнений I рода с одной неизвестной плотностью. Для этих уравнений проведено исследование условий эквивалентности исходной задаче и корректной разрешимости в классе обобщённых функций.

В отличие от интегральных уравнений II рода, методы численного решения которых хорошо разработаны [3, 12, 21, 42, 68, 81], численные методы решения интегральных уравнений I рода оставались в течение долгого времени изученными весьма слабо. В общем случае задачи отыскания их решений являются некорректно поставленными. Однако наличие слабой особенности в ядрах соответствующих интегральных операторов позволяет использовать для приближённого решения таких уравнений численные методы, которые не содержат в явном виде процедуру регуляризации [3, 18, 36, 58, 61]. Это явление получило название «саморегуляризации» и в одномерном случае было исследовано в работах [5, 8, 9,13, 14, 67, 76, 77, 90, 103].

В данной работе развиты идеи, изложенные в работах [52-55]. Для приближённого решения исследуемых интегральных уравнений I рода используются алгоритмы, в которых неизвестная плотность отыскивается в виде линейной комбинации гладких финитных функций, образующих разбиение единицы на поверхности включения. При дискретизации интегрального уравнения поверхностные интегралы приближаются выражениями, содержащими интегралы по пространству R3, которые затем вычисляются аналитически. Это позволяет рассчитывать коэффициенты систем линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих соответствующие интегральные уравнения, по весьма простым формулам. Такой подход, в отличие от наиболее популярного в настоящее время метода граничных элементов [2, 72, 84], не требует предварительной триангуляции поверхности, одинаково просто реализуется как на регулярных, так и на нерегулярных сетках, и позволяет обойтись без трудоёмкого приближённого вычисления кратных поверхностных интегралов. К его недостаткам следует отнести сложность теоретического обоснования. К моменту написания данной работы оно проведено только для одного вида эллиптических уравнений - уравнения Лапласа. Именно, в работе [55] показано существование и единственность приближённого решения интегрального уравнения I рода, которое эквивалентно внутренней и внешней задачам Дирихле для уравнения Лапласа, в классе обобщённых функций и получены оценки скорости убывания невязки и сходимости приближённого решения к точному.

Описание некоторых других подходов к численному решению интегральных уравнений, эквивалентных дифференциальным уравнениям эллиптического типа, имеется, например, в работах [6, 7, 51, 69, 70, 74, 76, 78, 87, 93].

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), полученных в результате дискретизации интегральных уравнений I рода, можно находить различными методами. Поскольку основные матрицы таких систем являются плотно заполненными, количество операций, требуемых для нахождения решения прямыми методами, оценивается как 0{п), где размерность матрицы с л п= 10 -г10 . Итерационные методы требуют 0{п ) операций на каждой итерации, поэтому, если число итераций невелико по сравнению с размерностью системы, использование итерационных методов позволяет существенно сократить время решения исследуемых задач.

Применяемые в данной работе методы отыскания приближённых решений СЛАУ являются итерационными методами вариационного типа, т.е. задача отыскания решения системы сводится к эквивалентной ей задаче минимизации некоторого функционала на каждом шаге итерационного процесса [73, 85, 102, 106]. Такой подход обладает следующим важным достоинством: он позволяет строить быстро сходящиеся итерационные процедуры и при этом не требует никакой априорной спектральной информации, за исключением сведений о невырожденности основной матрицы СЛАУ. С учётом того, что задача нахождения границ спектра квадратной матрицы общего вида является, вообще говоря, весьма сложной задачей, указанное достоинство оказывается очень существенным. Некоторые результаты применения одного из исследуемых методов (GMRES) для численного решения интегральных уравнений изложены в работах [75, 86].

После того, как приближённое решение интегрального уравнения найдено, искомое приближённое решение исходной задачи дифракции может быть одинаково просто и точно вычислено как в ближней, так и в дальней зоне.

Целыо работы является разработка и реализация нового эффективного подхода к моделированию процессов дифракции стационарных акустических волн в однородных средах с трёхмерными включениями. Исходя из поставленной цели, в работе рассматриваются следующие задачи:

- получение и теоретическое исследование слабо сингулярных интегральных уравнений I рода с одной неизвестной функцией, эквивалентных задачам дифракции в обобщённых постановках;

- разработка устойчивых численных алгоритмов с "саморегуляризацией" для решения полученных интегральных уравнений и их реализация в виде комплекса компьютерных программ;

- математическое моделирование процессов дифракции стационарных акустических волн на трёхмерных включениях с использованием разработанного комплекса программ.

Методика исследований. Представленные в диссертации результаты теоретических исследований и вычислительных экспериментов получены с привлечением методов теории потенциала, дифференциальных и интегральных уравнений, теории обобщённых функций, функционального анализа и вычислительной математики.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- получены и исследованы новые обобщённые интегральные постановки стационарных задач дифракции акустических волн на трёхмерных включениях;

- разработаны и реализованы в виде комплекса программ алгоритмы численного решения слабо сингулярных интегральных уравнений I рода с одной неизвестной функцией, эквивалентных задачам дифракции в обобщённых постановках;

- разработан и численно реализован метод решения интегральных уравнений на спектре, т.е. в ситуациях, когда нарушаются условия эквивалентности дифференциальной и интегральной постановок исходных задач;

- исследованы возможности применения итерационных методов вариационного типа для численного решения задач дифракции в интегральных постановках.

Теоретическая и практическая ценность. В диссертации получены и исследованы интегральные уравнения, позволяющие создавать эффективные численные алгоритмы решения трёхмерных задач дифракции.

Разработаны и реализованы в виде комплекса программ алгоритмы численного решения интегральных уравнений трёхмерных гранично-контактных задач акустики.

Проведены численные эксперименты, по результатам которых сделан вывод об эффективности итерационных методов вариационного типа для численного решения СЛАУ с плотно заполненными матрицами, аппроксимирующими интегральные уравнения трёхмерных задач дифракции.

Применяемые в данной работе методы могут быть использованы для численного исследования граничных и контактных задач электродинамики и упругости путём их сведения к эквивалентным интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Работа написана на 118 страницах и содержит 8 таблиц, 48 рисунков и список литературы из 106 наименований.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Дня обобщённых постановок стационарных задач дифракции акустических волн на трёхмерных включениях получены и исследованы условно эквивалентные им граничные интегральные уравнения с одной неизвестной функцией.

2. Разработаны и реализованы в виде комплекса программ алгоритмы численного решения трёхмерных задач дифракции в интегральных постановках.

3. Разработан метод численного решения задач дифракции в точках спектра интегральных уравнений, когда нарушается условие эквивалентности дифференциальной и интегральной формулировок исходной задачи.

4. Исследована эффективность итерационных методов вариационного типа для численного решения интегральных уравнений задач дифракции и выбран наилучший из них для данного класса задач.

5. Выполнены численные эксперименты, характеризующие возможности предложенного метода для численного решения трёхмерных задач дифракции, но результатам которых сделан вывод о правильности и высокой точности разработанных алгоритмов.

Заключение

1. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 456 с.

2. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.

3. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986. 544 с.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512с.

5. Воронин В.В., Цецохо В.А. Численное решение интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1973. Т. 4. С. 212228.

6. Воронин В.В. Решение двумерной задачи дифракции акустической волны на упругом теле методом потенциалов // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1978. Вып. 6. Ч. 2. С. 120-129.

7. Воронин В.В. Численное решение двумерной задачи дифракции упругой волны на упругом теле методом потенциалов // Условно-корректные задачи математической физики в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1978. С. 5-22.

8. Воронин В.В., Цецохо В.А. Численное решение интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и коллокации // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 1981. Т. 21. № 1. С. 40-53.

9. Воронин В.В. Оценка обусловленности матрицы при непосредственной дискретизации уравнения Симма на квазиравномерной сетке // Сиб. математический журнал. 2000. Т. 41. № 4. С. 777-791.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. M.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 1100 с.

11. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. 415 с.

12. Даугавет И.К. Приближённое решение линейных функциональных уравнений. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1985. 224 с.

13. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: МГУ, 1987. 167 с.

14. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых уравнений Фредгольма 1 рода // Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1968. Т. 10. С. 49-54.

15. Ершов Н.Е., Смагин С.И. Численное решение трёхмерной стационарной задачи дифракции акустических волн на упругом включении. Препринт. Владивосток: ДВО АН СССР, 1989. 46 с.

16. Ершов Н.Е., Смагин С.И. Приближённое решение пространственных задач акустики и упругости методом потенциалов // Математические модели, методы и приложения. Сборник научных трудов: Хабаровск: Издательство ХГПУ, 2002. С. 45-115.

17. Завадский В.Ю. Моделирование волновых процессов. М.: Наука, 1991. 248 с.

18. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, 1995. 176 с.

19. Икрамов Х.Д Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 240 с.

20. Ильин В.П., Полищук А.Д. О численном решении пространственных задач теории потенциала // Вариационно-разностные методы в задачах численного анализа. Новосибирск, 1987. С. 28-44.

21. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

22. Каширин А.А. Исследование обобщённых решений интегральных уравнений скалярной задачи дифракции. Препринт № 57. Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 2001.26 с.

23. Каширин А.А. Исследование обобщённых решений интегральных уравнений скалярной задачи дифракции // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Тезисы докладов. Владивосток, 2002. С. 22-23.

24. Каширин А.А. Численное решение интегрального уравнения для трёхмерной стационарной задачи дифракции акустических волн // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Тезисы докладов. Владивосток, 2003. С. 29.

25. Каширин А.А. Численное решение интегральных уравнений трёхмерной стационарной задачи дифракции акустических волн. Препринт № 74. Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 2004. 31 с.

26. Каширин А.А. Численное решение интегральных уравнений теории дифракции // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Тезисы докладов. Владивосток, 2004. С. 62-63.

27. Каширин А.А. Итерационные методы численного решения интегральных уравнений трёхмерных стационарных задач дифракции // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Тезисы докладов. Хабаровск, 2005. С. 79.

28. Каширин А.А. Итерационные методы для численного решения интегральных уравнений теории дифракции акустических волн. Препринт № 87. Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 2005. 35 с.

29. Каширин А.А., Смагин С.И. Обобщённые решения интегральных уравнений скалярной задачи дифракции // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42. № 1.С. 79-90.

30. Каширин А.А. Математическое моделирование рассеяния стационарных акустических волн на трёхмерных включениях // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Тезисыдокладов. Владивосток, 2006. С. 56-57.

31. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

32. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.311 с.

33. Красносельский М.А., Крейн С.Г. Итеративный процесс с минимальными невязками // Матем. сб. 31 (73). 1952. С. 315-334.

34. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М., Л.: ГТГИ, 1950. 280 с.

35. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трёхмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 664 с.

36. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991. 331 с.

37. Мазалов В.Н., Пересветов В.В., Смагин С.И. Моделирование электромагнитных полей в слоистых средах с включениями. Владивосток: Дальнаука, 2000. 292 с.

38. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 454 с.

39. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.416 с.

40. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.312 с.

41. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. 216 с.

42. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. 250 с.

43. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.431 с.

44. Никольский С.М. Курс математического анализа, т. 2. М.: Наука, 1991.544 с.

45. Обэн Ж.-П. Приближённое решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.384 с.

46. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. 421 с.

47. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

48. Свешников А.Г. Дифракция на ограниченном теле // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184. № 1.С. 63-65.

49. Селезов И.Т., Яковлев В.В. Дифракция волн на симметричных неодно-родностях. Киев: Наук, думка, 1978. 148 с.

50. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г., Яковлев В.В. Рассеяние волн локальными неоднородностями в сплошных средах. Киев: Наукова думка, 1985. 136 с.

51. Смагин С.И. Решение трёхмерной задачи дифракции электромагнитных волн методом потенциалов // Численные методы в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. С. 109123.

52. Смагин С.И. Численное решение интегрального уравнения I рода со слабой особенностью для плотности потенциала простого слоя // Ж. вычислит, математики и мат. физики. 1988. Т. 28. № 11. С. 1663-1673.

53. Смагин С.И. Численное решение интегрального уравнения I рода со слабой особенностью на замкнутой поверхности // ДАН СССР. 1988. Т. 303. №5. С. 1048-1051.

54. Смагин С.И. Численное решение трёхмерных задач дифракции методом потенциалов: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Хабаровск, 1990. 234 с.

55. Смагин С.И. Интегральные уравнения задач дифракции. Владивосток: Дальнаука, 1995.203 с.

56. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. М.: Наука, 1979. 832 с.

57. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 284 с.

58. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Издательство Московского университета, 1999. 799 с.

59. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002. 488 с.

60. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство Московского физико-технического института, 1994. 527 с.

61. Федорюк М.В. Дифракция звуковых волн на трёхосном эллипсоиде // Акустич. журнал. 1988. Т. 34. № 1. С. 160-164.

62. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М.: Мир, 1988.352 с.

63. Хенл X., Мауэ А., Вестифаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. 428 с.

64. Цецохо В.А., Белоносов А.С., Белоносова А.В. Об одном методе г-гладкого приближения функций многих переменных // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вып. 6. С. 298-309.

65. Цецохо В.А., Воронин В.В., Смагин С.И. О решении задач дифракции потенциалами простого слоя // ДАН СССР. 1988. Т. 302. № 2. С. 323327.

66. Atkinson К.Е. A discrete Galerkin method for first kind integral equation with a logarithmic kernel // J. Integral Equations Appl., 1 (1988), pp. 343363.

67. Atkinson K.E. The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind. Cambridge University Press, 1997. 570 p.

68. Beale J.T., Lai M.-C. A method for computing nearly singular integrals //

69. SIAM J. Numer. Anal., 38 (2001), pp. 1902-1925.

70. Beale J.T. A grid-based boundary integral method for elliptic problems in three dimensions // SIAM J. Numer. Anal., 42 (2004), pp. 599-620.

71. Braess D. Finite Elemente. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2003. 359 p.

72. Brebbia C.A., Dominguez I. Boundary elements. An introductory course. Southampton: WIT Press, 1998. 314 p.

73. Broyden C., Vespucci M. Krylov Solvers for Linear Algebraic Systems. Elsevier, 2004. 330 p.

74. Bruno O.P., Kunyansky L.A. A Fast, High-Order Algorithm for the Solution of Surface Scattering Problems: Basic Implementation, Tests, and Applications//Journal of Computational Physics, 169 (2001), pp. 80-110.

75. Campbell S.L., Ipsen I.C.F., Kelley C.T., Meyer C.D., Xue Z.Q. Convergence estimates for solution of integral equations with GMRES // J. Integral Equations Appl., 8 (1996), pp. 19-34.

76. Canino L.F., Ottusch J.J., Stalzer M.A., Visher J.L., Wandzura S.M. Numerical Solution of the Helmholtz Equation in 2D and 3D Using a High-Order Nystrom Discretization // J. of Computational Physics, 146 (1998), pp. 627-663.

77. Carstensen C. An a posteriori error estimate for a first-kind integral equation // Mathematics of Computation, 217 (1997), pp. 139-155.

78. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Spinger-Verlag, 1998. 334 p.

79. Craig E.J. The N-step iteration procedures // J. Math. Phys., 34 (1955), pp. 64-73.

80. Engeli M., Ginsburg M., Rutishauser H., Stiefel E. Refined iterative methods for the computation of the solution and eigenvalues of self-adjoint boundary value problems // Mitt. Inst. Angew. Math. ETN, Zurich, Nr. 8, Basel-Stuttgart, 1959.

81. Hackbusch W. Integral Equations, Theory and Numerical Treatment. Birk-hauser, Basel, 1995.

82. Hestenes M.R., Stiefel E.L. Methods of conjugate gradients for solving linear systems // J. of Res. Nat. Bureau Standards, 49 (1952), pp. 409-436.

83. Ihlenburg F. Finite Element Analysis of Acoustic Scattering. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1998. 239 p.

84. Juhl P.M. The boundary element method for sound field calculations. 1993. 203 p.

85. Kelley C.T. Iterative methods for linear and nonlinear equations. Philadelphia: SIAM, 1995. 171 p.

86. Kelley C.T., Xue Z.Q. GMRES and integral operators // SIAM J. Sci. Corn-put., 17 (1996), pp. 217-226.

87. Kirsch A., Monk P. An analysis of the coupling of finite-element and Nystrom methods in acoustic scattering // IMA J. of Num. Analysis, 14 (1994), pp. 523-544.

88. Kleinman R.E., Martin P.A. On single integral equations for the transmission problem of acoustics // SIAM J. Appl. Math., 48 (1988), pp. 307-325.

89. Knabner P., Angermann L. Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2003. 424 p.

90. Kress R., Sloan I.H. On the numerical solution of a logarithmic integral equation of the first kind for the Helmholtz equation // Numer. Math., 66 (1993), pp. 199-214.

91. Kress R. Linear integral equations. New York: Springer-Verlag, 1999. 388 p.

92. Lanczos C. Solution of systems of linear equations by minimized iterations // J. of Res. Nat. Bureau Standards, 49 (1952), pp. 33-53.

93. Langdon S., Chandler-Wilde S. N. A wavenumber independent boundary element method for an acoustic scattering problem // SIAM J. Numer. Anal., 43 (2006), pp. 2450-2477.

94. Martin P.A., Ola P. Boundary integral equations for the scattering of electromagnetic waves by a homogeneous dielectric obstacle // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 123. 1993, pp. 185-208.

95. Marx E. Single integral equation for wave scattering // J. Math. Phys., 231982), pp. 1057-1065.

96. Maystre D., Vincent P. Diffraction d'une onde electromagnetique plane par un objet cylindrique non infiniment conducteur de section arbitraire // Optics Commun., 5 (1972), pp. 327-330.

97. McLean W. Strongly elliptic systems and boundary integral equations. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 372 p.

98. Muller C. Grundprobleme der Mathematischen Theorie Electromagnetisher Schwingungen. Berlin: Springer-Verlag, 1957.

99. Nedelec J.C. Acoustic and Electromagnetic Equations. Spinger-Verlag, 2001.316 р.

100. Saad Y. Krylov subspace methods for solving large unsymmetric linear systems // Math. Comput., 37 (1981), pp. 105-126.

101. Saad Y., Schultz M. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Statist. Comput., 7 (1986), pp. 856-869.

102. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. Boston: PWS Publ. Co., 2000. 460 p.

103. Saranen J., Sloan I.H. Quadrature methods for logarithmic-kernel integral equations on closed curves// IMA J. Numer. Anal., 12 (1991), pp. 167-187.

104. Sonneveld P. CGS, a fast Lanczos-type solver for non-symmetric linear systems // SIAM J. Sci. Statist. Comput., 10 (1989), pp. 36-52.

105. Vorst van der H.A. Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of non-symmetric linear systems // SIAM J. Sci. Statist. Comput., 12 (1992), pp. 631-644.

106. Vorst van der H.A. Iterative Krylov methods for large linear systems. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. 221 p.