Численное решение трехмерных задач дифракции методом потенциалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

!" 1 О П П '

ТЯГ» х

АКАДЕМИЯ НАШ СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

СМАГИН Сергей Иванович

УДК 519.642

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ.ЗАДАЧ. ДИФРАКЦИИ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени 'доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1991

-> /

Работа выполнена в Вычислительном центре ДВО АН СССР

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук,

профессор С.М. Балоносов доктор физико-математических наук, профессор В.П. Ильин доктор физико-математических наук, профессор И.К. Лифанов

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Защцта состоится " d-f " (ХАЛ^/ЩшЯ 1991 г. в ¿д^ц. fia заседании специализированного совета Д 002.10.01 при Вычислительном центре СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск, Пр-т ак. Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отделения ГПНТБ (Новосибирск, 90, пр-т ак. Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан " d.í" bUJbjcyUML_ 1991 р,

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики

Ученый секретарь специализированного совета к.ф.-м.н.

З.й. Кузнецов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теоретические исследования процессов распространения стационарных акустических, упругих и электромагнитных волн в неоднородна средах лежат в основе решения широкого круга научно-технических проблем. Они часто приводят к постановкам весьма сложных задач математической физики, которые принято называть задачами дифракции или рассеяния. Такие задачи встречаются в геофизике, дефектоскопии, оптике, радиофизике, акустике и других областях науки и техники, где изучаются и применяются различные виды колебаний. Они заключаются в отыскании реиений дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих распространение волн во амещащих средах и включениях, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах раздела сред и условиям излучения на бесконечности. Существенное значение при их изучении имеют поведение решений на бесконечности и соотношения между характорньгли размерами рассочвателей и длинами волн колебаний.

Отмеченные свойства задач дифракции порождают серьезные трудности при использовании дифференциальных формулировок для их приближенного решения, особенно в трехмерных постановках. Они приводят к необходимости разработки специальных способов численного решения таких задач, основанных на интегральных соотношениях,-которые могут быть получены методами теории потенциала.

Методы потенциала в течении длительного периода времени рассматривались исключительно как средство доказательства теорем существования и единственности для исходных дифференциальных задач. Исследования по их применении для численного решения задач математической физики были начаты в начале шестидесятых годов и продолжают интенсивно развиваться как в нашей страле, так и за рубежом.

Сильной стороной методов потенциала является возможность сведения исходных задач в неограниченных областях к интегральным уравнениям на компактных множествах- Множества могут состоять из точек, лежащих внутри рассеивателей либо на их границах, имеющих меньшую размерность. При численном решении интегральных уравнений основная масса вычислений может выпол-

няться одновременно, что делает эффективным применение многопроцессорных ЭВМ. К недостаткам следует отнести сложность структуры получаемых интегральных уравнений.

Стационарные волновые процессы в акустике, упругости и электродинамике имеют много общих свойств, несмотря на различную физическую природу этих колебаний. Все они описываются дифференциальными уравнениями или системами эллиптического типа. Разработка способов сведения задач дифракции к удобным для применения численных методов интегральным уравнениям, а также создание и теоретическое изучение алгоритмов приближенного решения получаемых уравнений имеют важное значение для математического моделирования на ЭВМ дифракционных явлений. Полученные при этом результаты могут быть полезными и при решении других эллиптических краевых задач, не связанных с распространением колебаний.

Цель работы заключается в разработке и теоретическом обосновании эффективных методов решения трехмерных стационарных задач дифракции акустических, упругих и электромагнитных колебаний, составлении численных алгоритмов и программ для ЭВМ, позволяющих выполнять математическое моделирование стационарных волновых полей в средах с локальными трехмерными включениями .

Методика исследований. Для сведения исходных задач дифракции к интегральным уравнениям используется метод потенциалов. При теоретическом изучении полученных уравнений привлекается теория многомерных сингулярных интегро-дифференциаль-ных уравнений и результаты исследоеаний по корректности постановок трехмерных задач дифракции. Приближенные решения исходных задач находятся путем аппроксимации интегральных уравнений с помощью гладких разбиений единицы на граничных поверхностях системами линейных алгебраических уравнений, которые решаются численно. Обоснование прямого метода для численного решения интегральных уравнений I рода со слабыми особенностями в ядрах осуществляется на основе новых результатов по их корректности и общей теории приближенных методов. Для расчета фундаментальных решений в горизонтально-однородных слоистых средах используются методы решения систо;.; лкиеЛных алгебраических уравнений со слабо заполненными матрицами коэффициентов и теория функций комплексного переменного.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- предложен новый подход к понижению размерности задач дифракции, с помощью которого получены и исследованы удобные для численного решения граничные интегральные уравнения и системы таких уравнений, эквивалентные трехмерным стационарным задачам дифракции акустических, упругих и электромагнитных колебаний, с меньшим, чем у полученных ранее, числом неизвестных функций;

- разработаны и реализованы на ЭВМ методы численного решения трехмерных задач дифракции акустических волн на упругом теле и электромагнитных колебаний на однородном включении, расположенных в горизонтально-однородных слоистых средах;

- исследованы ноше корректные постановки задач решения граничных интегральных уравнений I рода со стзпэннши особенностями в ядрах и разработан прямой метод численного речения таких уравнений, возникающих в задачах дифракции; проведено исследование разрешимости дискретизованной задачи и получены оценки скоростей убывания невязки и сходимости приближенного решения к точному в зависимости от порядка дискретизации;

- созданы эффективные алгоритмы расчета фундаментальных' решений уравнения акустических колебаний и системы Максвелла для горизонтально-однородных слоистых сред, основанные на использовании рекуррентных соотношений и интегрирования в комплексной плоскости.

Теоретическая и практическая ценность. В диссертации получены и исследованы интегральные уравнения, которые могут служить основой для создания эффективных алгоритмов численного решения задач дифракции. Способы построения интегральных уравнений, методы доказательства их однозначной разрешимости и эквивалентности исходным задачам применимы при решении широкого круга граничных и гранично-контактных задач. Результаты теоретических исследований по разработке и обоснованию прямого метода численного решения граничных интегральных уравнений I рода со слабыми особенностями в ядрах распространяются на более общие классы уравнений и систем такого типа.

Практическую ценность имеют созданные вычислительные алгоритмы и программы для ЭВМ, которые позволяют осуществлять математическое моделирование в горизонтально-однородных слоистых средах процессов распространения я дифракции акустических волн

5

на упругом теле и электромагнитных колебаний на однородном включении в существенно трехмерных постановках. Они применялись для численного моделирования волновых полей в 1ГГиГ ДВО АН СССР, ВЦ ДВО АН СССР, ВЦ СО АН СССР, Каз ВИРГ Мингео СССР. Алгоритмы расчета электромагнитных колебаний в слоистых средах и решения трехмерной задачи дифракции этих колебаний на однородном включении реализованы в виде программных модулей пакета прикладных программ "Геофизик" и приняты в Гос ФАП.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзных школах-семинарах по электромагнитным зондированиям (Мукачево, 1978), "Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения" (Самарканд, 1983; Саратов, 1985}; Всесоюзных конференциях "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 1987, 1990), "Математическое моделирование в геофизике" (Новосибирск, 1988), "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Харьков, 1989)-, "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики" (Владивосток, 1990); советско-японских и японско-советских симпозиумах по вычислительной аэрогидродинамике (Хабаровск, 1988; Цукуба, 1990); Дальневосточных математических школах-семинарах (Находка, 1978-1988); семинарах ВЦ ДВО АН СССР, ИШ ДВО АН СССР, отдела математических задач геофизики и объединенного семинара по вычислительной и прикладной математики ВЦ СО АН СССР, лаборатории математической физики ВМК МГУ, института математики Пхеньсонского отдела-кия АН КНДР.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 20 работах.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 234 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 95 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение имеет обзорный характер. В нем дан краткий анализ известных методов решения задач дифракции, в сжатом виде изложено содержание других разделов диссертации и сущность полученных в них результатов.

Глава I. Метод потенциалов в трехмерных задачах дифракции акустических и упругих колебаний. В § I.I приведены основнш понятия и обозначения, используемые в диссертации.

В § 1.2 сформулирована задача дифракции акустических волн в слоистой среде с однородным включением.

Задача I.2.I. Найти в ограниченной замкнутой поверхностью F области Jj?i трехмерного евклидову пространства К ив неограниченной области решения уравнений

Л^се) + Q(e)\Fe, (I)

удовлетворяющие условиям сопряжения

[?-.%]-'О, = 4 xeFe (31

и условию излучения на бесконечности для <ре

Здесь F- поверхность класса Гельдера Z+p>>i,

- единичная внешняя нормаль к h в точке У. ~ ^- i),

- оператор Лапласа, [']- скачок функции при переходе через поверхность разрыва, kf(e) = и)(од + 1Хие))/С^

Im (¿W * 0, сО

- круговая частота колебаний, Cifejj

РШ), if¿(.е) - скорости звука, плотности и коэффици-

енты поглощения сред, заполняющих О/ и iTc?e , которые считаются постоянными в и кусочно-постоянными функциями переменной в

с конечным числом разрывов, Fe. - объединение плоскостей разрывов параметров среды из ,

— Ф, , Уе, % - комплексные амплитуды смещений проходящего, отраженного и известного исходного волновых полей, знаками - и + отмечены предельные значения функций при У F из

Qi и Qs.

Б § 1.3 методом потенциалов получены интегральные уравнения, эквивалентные задаче I.2.I.

Пусть решение задачи 1.2.1 ищется в виде потенциалов простого слоя

= (/¡¿ш ^

, ? Р где , Зе - неизвестные плотности вспомогательных источников, /е е ке^Тф, С£ . £е -фундаментальные решения уравнений (I) с условиями (3) для &е »

- гладкая внутри каждого слоя функция. Тогда выражения (5") удовлетворяют всем требованиям задачи 1.2.1, кроме условий сопряжения (2). Подотановка потенциалов (5) в эти условия приводит к системе интегральных уравнений для определения и

(Ь +и)/г 8,-1- - £*1е %/ъп., Г-,

где

р

Система (7} является смешанной. Ее первое уравнаниа содержит только интегральные операторы Фредгольма I рода со слабыми, порядка ¡у,-у., особенностями в ядрах, а второе представляет собой уравнение Фредгольыа II рода.

Применение более сложных, чем выражения (5), представлений решения задачи 1.2,1 позволяет сводить ее к интегральным уравнениям с одной неизвестной плотностью. На их основе могут быть построены более эффективные численные алгоритмы решения этой задачи, чем при использовании системы (7).

(?)

Рассмотрим потенциалы: где ^ - неизвестная плотность класса £Г)}

№ = / ХуЩ ■

Подстановка выражений (В) в первое из условий сопряжения (2) дает интегральное уравнение I рода со слабой особенностью в ядре

| к" * (р. в:/к -АИе)1- ">

Использование второго из условий (2) приводит к сингулярному интегральному уравнению II рода относительно §

( - £ ^ Ы I) -§(& + (1т

где

"Ъ/ЪХг, Ъ/дХз)

- оператор Гамильтона.

Представления (81 имеют более простой вид при 3 § 1.3 приведены аналогичные выражения и получены соответствующий интегральные! уравнения, которые предпочтительнее применять при отыскании решения в области

В 5 1.4 изложены результаты исследования разрешимости рассмотренных в § 1.3 интегральных уравнений и их эквивалентности исходной задаче^ которые аналогичны теореме.

Теорема 1.4.2. Пусть % eCl*4F), Ъ%/ЪПе

É С ^ lf<¿(7-*J , }fe>0 bQ¿ или и) не является собственной частотой задачи

+ i¿£f. (in

Тогда интегральное уравнение (9) корректно разрешимо в классе плотностей / g Q (FJ и формулы (8) дают решение задачи I.2.1.

В § 1.5 приведена точная формулировка задачи дифракции акустических колебаний на упругом теле, и получены соответствующие ей интегральные уравнения. Эта задача отличается от задачи I.2.I свойствами среды, заполняющей область , которые характеризуются константами Ламе и jví и плотностью f£ .

Задача I.5.I. По известным на F значениям комплексной амплитуды исходного волнового поля % и его нормальной производной Ъфо/ЪЯ найти в области

Qe функцию <Ре и вектор-функцию Ü¿ =(t-ki, UlZ, Uii) , удовлетворяющие соотношени-

ям (I), (3), (4) для ípe , а также уравнению

и-условиям контакта на границе раздела сред Яцг=(Ъ%/ъпУ+'ЪУс/'Ы1, (13>

{T¿tt%)-= 2/!¿(dZ'/Mj '4- biftivZr+JUiRxiVxAf-= -Яи?ре(Ч>е<Ч-<Ро), JtéF. Решение этой задачи ищется в виде:

л

где 7} - оператор напряжений, /~с - футщаментальный .тензор Купрадэе,

- символ Кронеквра, % ( б С

Подстановка выражений (14) в контактные условия (13) дает систему интегральных уравнений для определения неизвестных плотностей ^ и

ПР£ % + Ыг - 8е ?е = Ш/ЪП, (15)

-Л -а и)грв- -- 60г0е/гле Р,

где

В покомпонентной записи она представляет систему из одного интегрального уравнения Фредгольма II рода и трех сингулярных интегральных уравнений.

В этом же параграфе показана возможность понижения размерности получаемых интегральных уравнений. Приведены примеры уравнений, содержащих одну неизвестную вектор-функцию с тремя составляющими.

В 5 1.6 доказаны теоремы об однозначной разрешимости интегральных уравнений из § 1.5 и их эквивалентности задаче 1.6.1, которые аналогичны теореме 1.4.2.

В § 1.7 рассмотрена трехмерная стационарная задача дифракции упругих волн на упругом теле, выведены и изучены эквивалентные ей интегральные уравнения. Емещающая среда и вклют

чэнле представляют собой однородные упругие среды с параметрами сред , ¡ц6 , Ре и , , , соответственно. Предполагается, что в задано исходное волновое поле с комплексной амплитудой смещений Цо • Рассеиваясь на включении оно порождает проходящие и отраженные колебания с амплитудами Ц- и Це , которые удовлетворяют уравнениям

+ ^¿Ю = 4 Оце;, (16)

условиям жесткого контакта

и- 'Ш-Х, (Т/ЧГ-^ЧГ^^хсР (IV)

и условиям излучения на бесконечности для ¿4,

ъин/ъш-1 ке£ ше .= о(ыг'), (18)

где Т/е^йе^+Зег л , УХ~Ые1 = 0 , ЧШг = 0 . Здесь и далее выражения /7, Кг1 , Кег. и действующих в операторов получаются из соответствующих формул для

заменой

. № . р1 на , /ие, />е . Задача 1.7.1. В областях и найти вектор-функции и^ и ~$е I удовлетворяющие соотношениям (16) - (18), если на известны значения Цй и 'Т^^ и0.

Пусть решение задачи 1.7.1 ищется в виде: УКе) = Р[(е) , Се), (19)

Тогда плотности , 1е должны удовлетворять системе интегральных уравнений

~Ре7е=ио, (20)

которая получается подстановкой представлений (19) в условия

сопряжения (17\ В покомпонентной записи она состоит из трех интегральных уравнений Фрэдгольма I рода со слабыми особенностями в ядрах и трех сингулярных интегральных уравнений II рода относительно шести составляющих и Л"е . Доказана однозначная разрешимость и эквивалентность системы (20) исходной задаче.

Если воспользоваться потенциалами = ? , (21) ¿5 = д (СГ/ЧГ+ Г/%)- аЦй^Ъо),

или

'¿¡¿=■¿¿1, (22) це = ~ £ ((ПЧГ~ % ) + ¿Щ'"и0), * С- £>е,

то исходную задачу можно свести к интегральным уравнениям с одной неизвестной плотностью В частности,

подстановка выражений (21) в первое из условий сопряжения (17) дает интегральное уравнение

а применение представлений (22) - уравнение

¡Й (Я о£ -ти- 4 №%}- & й, ^(24>

которые представляют собой интегральные уравнения Фредгольма I рода со слабыми особенностями в ядрах. Теорема 1.7.2. Пусть задача

ц + и■= О, и ~01 р

имеет только тривиальное решение. Тогда уравнения (23) и (24) . корректно разрешимы при любых ¿/0 6 £ ^ (Р),

Т^'йо е с е-^(Р),

се плотностей и формулы (21), (22) дают

решение задачи 1.7.1.

Еще два эквивалентных исходной задаче интегральных уравнения, которые являются сингулярными интегральными уравнениями II рода, можно получить с помощью второго из условий (17).

В § 1.8 исследован случай собственных частот, когда однородные вспомогательные задачи имеют нетривиальные решения и нарушаются условия эквивалентности интегральных уравнений исходным задачам. На примере скалярной задачи дифракции описаны изменения в интегральных уравнениях и методике их исследований, необходимые в таких ситуациях.

Глава 2. Интегральные уравнения пространственной задачи дифракции электромагнитных волн. В & 2.1 сформирована исходная задача.

Задача 2.1.1. Найти в областях Лс^ и

вектор-функЦии , /у^. и £е , /-¡е , удовлетворяющие системам Максвелла

Ь Нце, = -^'тЕиъ, ЫцеГ ¿ЩъЯцу, 25)

условиям непрерывности касательных составляющих полных электромагнитных полай при переходе через А~, •

Йх(?Г-£+)=Я*£с, (26)

аналогичным условиям на плоскостях разрывов параметров среды из

и условиям излучения на бесконечности для Ее , Не. . если на р- известны комплексные амплитуды ¿Гс. , Нс исходных электрического и магнитного полей. Здесь /Уце), ¿7^ -проводимости, магнитные и диэлектрические проницаемости однородного включения и состоящей из конечного числа однородных слоев с плоско-параллельными границами раздела вмещающей

-> рг •

с роды, = ££(^+Си)/б2(е/, Н; и

- комплек-

сные амплитуды проходящего и отраженного электрического п магнитного полей, /3 - направляющий орт координаты у^ декартовой системы ОХ1$СгХ£) Ге С]. = ф.

В § 2.2 задача 2.1.1 сведена к системе граничных интегральных уравнений.

Г (Г{1) Г(2> Г&) - пПъЛ

Пусть Ы(е) ~ (Ьце)} Ь1(е), Ы(е) " (Ше), ЬЦо, ^¿(е)/

- электрический и магнитный тензоры Грина слоистых сред, заполняющих.^ и Тензоры удовлетворяют уравнениям

Л £е + к! Се = -лД^-.Й Х^С-РЛ Ре, т)

о,

,]ие ъп J

* л

и условиям излучения на бесконечности, "/Уй ТСI.

Л Л А

1С;

, где 1 - единичная матрица размерности 3x3, $ - трехмерная дельта-функция Дирака, ^-¿(е.) ~ '

= оОг//£бе; £'ие), 1т (КНе)) Ъ 0. Уравнение и условия сопряжения для получаются заменой у2/е на - ¿е . Будем искать « И/1(еу в вирэ

г -/. ? +ТГ*

- (е) Ч(е) + Ще! ^¿(е),

Н[(е/ = и^е^ие; + ¡-/¿«у У в ^Це.),

гРе $¿(6) 1 ¿£<е) ~ поверхностные плотности вспомогательных источников электрического и магнитного типов, £

+ (30)

У

операторы ■¿¿¿у и' Йуе,,1 получаются из выражений для Ш) заменой , ]И-1Ш на , ¿^.

Эффективность метода интегральных уравнений при численном решении задач дифракции в значительной степзни определяются эффективностью алгоритмов расчзта их ядер. Поэтому применение выражений (29) для численного решения предпочтительнее, чем использование формул Грина и их аналогов, так как фундамзнталь-ные тензоры систем Максвелла в слоистых средах вычислять проще, чем фундаментальные тензоры сопряженных систем.

Представления (29) удовлетворяют всем требованиям задачи 2.1.1, кроме условий (27). Их учет позволяет получить, в общем случае, систему иэ четырех скалярных сингулярных интегро-диф-ференциальных уравнений относительно 12 неизвестных компонент вектор-функций '¿¿(е) к §*Се) . Следовательно, можно наложить еще восемь условий связывающих их. Эти условия должны выбираться таким образом, чтобы полученная при этом система была эквивалентна исходной вадаче.

Требование эквивалентности монет быть обеспечено различными способами. Неоднозначность в их выборе приводит к появлению целого семейства интегральных уравнений, эквивалентных исходной задаче. В частности, положив =О , П ^Це) — О ^ £ р , получаем систему без ,

которая состоит из двух сингулярных интегро-диффзрэнциольных уравнений первого порядна и двух уравнений Фрздгольма II рода относительно четырех касательных к Р составляющих плотностей

Ъ и Те ■

В § 2.3 и § 2.4 изложены результаты исследований по корректной разрешимости системы (31) и ее эквивалентности задаче 2.1.1, а также приведены примеры других эквивалентных ей систем интегральных уравнений.

В § 2.5 рассмотрены интегральные уравнения с одной неизвестной плотностью, к которым сеодится задача 2.1.1. Одно такое уравнение можно получить, если воспользоваться представлениями

Ее = ¿6 I Не = £ X е ьРе (32)

г. -хе

где неизвестная плотность вспомогательных источников

ЬС^Ш е^-пЁ0(ер Ио%г^осе}.

Перейдем в выражениях (32) к предельным значениям ьа Р снаружи для £е , Не и изнутри для , и потребуем выполнения условия Р • Подстановка найденных пределов во второе из условий (26) дает интегральное уравнение для определения

- + «а

/г у р

р

-Их

г

л

В покомпонентной записи оно состоит из двух сингулярных инте] ральних уравнений с двумя неизвестными касательными составля; щими плотности $ . -* п О \ л

Теорема 2.5.1. Пусть Ео, СеЫ(Р), <.1+11,-1, &&Ф0 в или й) не равна собственной частоте задачи

= ЬЁ-ЩУеН, УС-

ЯхЕ^О, Г.

Тогда уравнение (33) имеет единственное решение

"У

И О и формулы (32) дают решение задачи. 2.1.1.

Еще одно интегральное уравнение с аналогичным свойствами можно получить, если решение задачи 2.1.1 в областное искат в виде суперпозиции полей от вспомогательных источников магнитного типа <

£е = Я. Г,

воспользоваться представлениями (32) для ¿1 , и первым из условий (26). Преимущество этих уравнений перед системой (31) при численном решении задачи 2.1.1 заключается в меньшем числе неизвестных функций и отсутствии интегро-дифференциаль-ных операторов.

Глава 3. Приближенное решение граничных интегральных уравнений задач дифракции. В § 3.1 и § 3.2 рассмотрены вопросы построения и расчета фундаментальных решений уравнения акустических колебаний и системы уравнений Максвелла в плоско-слоистьтх средах. Значение результатов этих параграфов обусловлено сильной зависимостью эффективности алгоритмов решения интегральных уравнений от алгоритмов расчета ядер. Кроме того, они имеют самостоятельный интерес, поскольку позволяют выполнять расчеты волновых полей в важном для приложений классе сред.

Построение фундаментального решения и компонент тензоров и С-* осуществлялось методом интегральных преобразований. Применением преобразования Бесселя исходные задачи сво-* дятся к вычислениям интегралов

оо

ш^) ¡¿/(уь & уъ т с!%, (34)

где // - фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения,

То - функция Бесселя Г рода нулевого порядка, $ - одномерная дельта-функция Дирака, +

К?' , р - кусочно-постоянные функции переменной с разрывами в точках

X, О, ¡Кгио, /р/г/ре/>с1

Интегралы (34) находились численным интегрированием, а при решении уравнения (35) применялись рекуррентные соотношения, основанные на формулах встречных прогонок и аналогичные предложенным в 1568 г. В.И. Дмитриевым. Наибольшие трудности при этом возникают в случае больших 1 , так как необходимо уметь с высокой точностью вычислять интегралы от быстроосциллирующих функций. Для улучшения сходимости таких интегралов используется переход к комплексным значениям параметра интегрирования. Исследованы аналитические свойства интегрируемых выражений, которые необходимы для правильного выбора контура интегрирования в комплексной плоскости А , на котором осцилляции отсутствуют.

Теорема 3.1.2. Пусть

X пъх = ^Р X, 9пцп = и?/Р, 9пт» -= & -

Уз^Я1 Тогда в области

а - {х: е< : Щ11} с: // >

решение задачи (35) является аналитической функцией 'X . Теорема 3.1.3. Пусть Ж>0, !Нг1>0,

ХфО, дФО.

Тогда в области

решение задачи (35) - аналитическая функция \ .

В § 3.3 рассмотрены корректные постановки задач отыскания обобщенных решений интегральных уравнений I рода

у6г, | (36)

и исследованы свойства оператора А , которые используются при построении алгоритмов численного решения этих уравнений. Здесь

Пусть / принадлежит пространству //"^ 1^'(р), которое совпадает с пространством С.Л. Соболева при целых

¿--¿/2, М&Х (¿,¿"3/2.) . Ъс ли -нецелое,

то пространство ¡-{^ ^^"(р) состоит из квадратично интегрируемых на

Р

функций, имеющих в локальных координатах квадратично интегрируемые дробные производные по Лиувиллю вплоть до порядка оС ~ -(Уй .

Под решением уравнения (36) понимается обобщенная функция I" , принадлежащая к сопряженному и (Р) простран-

ству , для которой выполняется равенство

при любых /-/г>/г(Р) . Здесь РхР= {(х, ф: У, #еР¡} К , У - отношение двойстьенности на обобщащее скалярное произведение в Н°(Р),

<ь = У^НЧР),

Ц У. $ - прямое произведение обобщенных функций и 1 . Показано, что Л - положительный оператор в И°(Р) , а

его энергетическое пространство совпадает с Н+^ (Р).

Кроме того, доказана

Теорема' 3.3.4. Интегральное уравнение (36) имзет единственное обобщенное решение ££ /у^Уг(Р) при любой

21

правой части Н^ ^(Е). При этом выполняется неравенств

где С - положительная константа, не зависящая от •/.

В § 3.4 описан и теоретически исследован прямой метод численного решения интегрального уравнения I рода со слабой особенностью в ядре

Его левая часть совпадает с главными частями рассмотренных выше интегральных уравнений I рода для задач дифракции. Поэтому все полученные для него результаты распространяются и на эти уравнения.

Применяемый подход к аппроксимации интегрального уравнения имеет ряд преимуществ перед традиционными. О?! не требует предварительной триангуляции.области задания искомого решения и поэтому одинаково просто реализуется как на регулярных, так и нерегулярных сетках. Это особенно важно при решении уравнений, заданных на многообразиях.

Построим покрытие поверхности Р системой окрестностей

узловых точек & р , лежащих внутри сфер радиусов Д, с центрами в , и - подчиненное ему разбиение единицы, 1

«и****

( с, \x-mki,

¿'«Йте^/г,

или

тУгл/ _

где константа Фо - нэ зависит от //, "У^'^^Г

л

//7- 1 ^^ при

р

Очевидно, что разбиение единицы можно строить различными способами. Выбор данного способа обусловлен простотой его реализации на ЭВМ.

Обозначим через У пространство N - мерных векторов

<?2, , где (Х[ - вещественные числа. Введем в

и*1 скалярное произведение

и норму /М^ =[<х\

Это можно сделать в силу положительной определенности матрицы

Теорема 3.4.1. Пусть выполняются условия (38) и 0.1 , , ...» йЫ - произвольные вещественные числа, такие что (XI + + (1ц ф 0 • Тогда при любом 6"> О

Л е м м а.3.4.1. Пусть узловые точки У^ и функции ^ обеспечивают выполнения неравенства

«V****» л» £ «и

при любых , где Ао - положительная константа, не зависящая от А/. Тогда справедливо неравенство

Ца% - (X СПи&Ца%,/Ау

I "У 2 ^

где постоянная С не зависит от и /V, ~

Пространство 1/!т предельно плотно в . Справед-

лива

Теорема 3.4.2. Для любой функции НЧР)

выполняются неравенства

/Ш]А-т <&]}* СМнщМШ

(г)Ъ = (1'¿-¿¡ЩЯ, ¡-<А-Л

/г < До» /¿0 _ достаточно малое положительное

число, С - положительная постоянная, не зависящая от / и /?. Выражения для А^ можно преобразовать к виду:

__ /У; 'М; ( ¿г/с-г _ ,

О - Ш- Г е ' %, а . - ,

где

. Приближенное решение /'7 уравнения (37) ищемся среди элементов пространства Неизвестные компоненты /у , /¿> , ..., определяются из системы линейных алгебраических уравнений

ГДу^ = </>• й, £ - ^Л - , N. (39)

Коэффициенты системы (39) записываются в виде простых математических выражений и легко вычисляются. Существование и единственность ее решения следует из положительной определенности матрицы коэффициентов этой системы. Сходимость приближенного решения к точному вытекает из теоремы

Теорема 3.4.3. Пусть выполнены условия леммы

3.4.1 и Г - решение уравнения (37), принадлежащее И°(П. Тогда справедливы неравенства

uh-mkiio^chihki(ii/!H4F)%

где постоянная С но зависит от h , 1 и / .

В § 3.5 изложен алгоритм численного решения задачи I.5.I. Приближенное решение' определялось с помощью эквивалентной ей системы (15). Эта система аппроксимировалась системой линейных алгебраических уравнений, которая решалась численно. При дискретизации интегральных операторов из системы (15) применялся метод вьщеления особенностей в ядрах и аппроксимации их главных частей по правилам, изложенным в § 3.4,

В § 3,6 приведено описание алгоритма решения системы интегральных уравнений (26), которая применялась для приближенного решения задачи 2.1.I. Аппроксимация этой системы системой алгебраических уравнений осуществлялась с помощью метода кол-локаций и, предложенного В.А. Цецохо, A.B. Белоносовой и A.C. Еелоносовым, нового метода приближения искомых плотностей, который основан на использовании гладких финитных функций, образующих разбиение единицы на границе включения. При расчете коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений интегралы с особенностями выделяются и вычисляются по кубатурным формулам, которые учитывают наличие особенностей у интегрируемых выражений и отличаются от используемых в § 3.4 и § 3.5., Суть применяемого подхода можно пояснить на примере уравнения

(L ф) = = f(4 ^ /> (40)

где F€ С , %tß>l , i , К , / - известные функции, f неизвестная плотность, подлежащая определению. Ядро К при совпадении аргументов может иметь особенности вида ,

p=i,ct . Предполагается, что при р = L интегралы из (40) существуют как несобственные, а при р- ¡2 - как сингулярные.

Пусть 1 {^¿¡¡=1 ~ множество узловых точек и

разбиение единицы на {- , удовлетворяющие условиям (38). Приближенное решение уравнения (40) будем искать в виде:

т ш=ш х о^-шь, (41)

а неизвестные коэффициенты определять из условий коллока-ции в узлах

(42)

где

- многочлены нулевой, первой и второй степени, коэффициенты которых обеспечивают минимум функционалов

У С ~ 2.) - внутренние координаты окрестности /V ,

= Ц-к () , К = 1,2,3, - множество номеров узловых точек, принадлежащих /у . Здесь и далее сохраняются обозначения для одних и тех же функций пространственных переменных, записанных в различных системах координат.

Очевидно, что, если функции ^ приближают Г в каждой окрестности /у , то аппроксимирует £ на Р , поскольку

Кроме того, ^¿С^СР) при tLЪ^Z . Если положить

- , </ С- М^ , I = 1,2, А/ , то выраже-

ние для упростится и примат вид

С"£ ,

Учитывая финитность и вид равенства (42) можно записать в виде: ^

+¡КОлI-M(lO&jiyMi)-Ш м

Fc г

Переход к параметрическому представлению ri в системах локальных координат, связанных с -V/, дает

(uw-i Efy

¿-¿¿¿Mi S3i

¿дось

§-i - дискриминант метрической формы поверхности h в системе (tj./) . В (43) использовано очевидное соотношение 9г С . ГД9 - прообраз Fi при отображении

Равенства (43) представляют систему из N линейных алгебраических уравнений относительно frj неизвестных коэффициентов

. Решив ее и подставив в (41) найдем приближенное решение уравнения (40).

В § 3.7 рассмотрены формулы численного интегрирования, которые применялись при вычислениях поверхностных интегралов. Необходимая точность достигалась при помощи кубатурных форлул для интегрирования выражений с весовыми множителями, которые учитывали наличие особенностей у интегрируемых выражений и их поведение вблизи границ окрестностей Fi .

Глава 4. ?Лптэматическоа моделирование дифракции акустических и электромагнитных колебаний. В этой главе изложены результаты тестирования алгоритмов и их применения для математического моделирования на ЭВМ дифракции акустических и электромагнитных волн. Они были получены автором совместно с сотрудниками ЕЦ ДВО АН СССР U.E. Ершовым и В.Н. Мазаловым.

В § 4.1 рассмотрены некоторые аспекты программной реализации алгоритмов из § 3.5 и § З.б для включений с границами, допускающими гладкое взаимно однозначное отображение на сферу.

В § 4.2 представлены результаты проверочных и иллюстративных расчетов дифракции акустических волн на упругом теле.

тестирование алгоритма осуществлялось краевыми задачами с известными решениями. Численно исследована сходимость приближенного решения к точному в зависимости от количества узловых точек на поверхности" упругого тела. Рассмотрены результаты решения некоторых характерных задач дифракции, отличающихся параметрами вмещающей среды, включения, исходных волновых полей и формой граничной поверхности.

Е § 4.2 описаны результаты проварки и демонстрируются возможности алгоритма решения задачи дифракции электромагнитных волн.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Для основных: трехмерных стационарных задач дифракции акустических, упругих и электромагнитных колебаний построены и исследованы новые граничные интегральные уравнения, позволяющие аффективно решать эти задачи на ЭВМ.

2. Исследованы корректные постановки задач решения граничных интегральных уравнений I рода со степенными особенностями в ядрах, разработан и теоретически обоснован прямой метод численного решения таких уравнений, возникающих в задачах дифракции.

3. Разработаны эффективные алгоритмы расчета волновых полей в слоистых средах, основанные на применении рекуррентных соотношений и интегрировании в комплексной плоскости.

4. На основе полученных теоретических результатов созданы алгоритмы и комплексы программ для численного решения трехмерных стационарных задач о распространении и дифракции акустических волн в горизонтально-однородных слоистых средах с упругими включениями и электромагнитных колебаний в слоистых средах с локальными неоднородностями.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: I. Смагин С.И. Решение трехмерной задачи дифракции электромагнитных волн методом потенциалов // Численные методы в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. С. 109-123.

2. Мазалов D.H., Смагин С.!!. Электромагнитное поле точечного диполя в горизонтально-слоистой среде // Сообщения по прикладной математике: Модели и уравнения. М.: ВЦ АН СССР, 1980. С. 25-30.

3. Смагин С.И., Цзцохо В.А. О численном решении интегральных уравнений с особенностями по замкнутым поверхностям: Препринт № 350. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.

4. Пакет прикладных программ для обработки геофизических и сейсмических, данных "Геофизик" // Алексеев A.C. и др. Отчет ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1985. № ГР 50860000224.

5. Смагин С.И. Об одном численном алгоритме расчета полей в слоистых средах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26. Г' 8. С. 1234-1242.

6. Смагин С.И. Численное решение интегрального уравнения I рода со слабой особенностью для плотности потенциала простого слоя //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. № II. С. 1663-1673.

7. Цэцохо В.Л., Воронин В.В., Смагин С.И. О решении задач дифракции потенциалами простого слоя // Докл. АН СССР. 1988. Т. 302. № 2. С. 323-327.

8. Смагин С.И. Численное решение интегрального уравнения I рода со слабой особенностью на замкнутой поверхности // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303. № 5. С. I048-I05I.

9. Смагин С.И. Летод потенциалов в трехмерной задаче дифракции электромагнитных волн // Ж. вычисл. матем.- и матем. физ. 1989. Т. 29. № I. С. 02-92.

10. Смагин С.И. 0.корректной разрешимости интегральных уравнений I рода с ядрами Бесселя и Рисса // Прикладной численный анализ и математического моделирование. Владивосток: ДВ0 АН СССР, 1989. С. 20-28.

И. Смагин С.И. Обобщенные решения интегральных уравнений I рода со слабыми особенностями на замкнутых поверхностях // Дифферзнц. уравнения. 1989. Т. 25. 2. С. 340-341.

12. Ершов U.E., Смагин С.И. Численное моделирование акустических колебаний в жидкости, содержащей упругое тело // Труды советско-японского симпозиума по 'вычислительной аэрогидродинамике. М.: ВЦ АН СССР, 1989. Т. 3. С. 20-25.

13. Ершов Н.Е., Смагин С.И. Численное решение трехмерной стационарной задачи дифракции акустических еолн на упругом включении: Препринт. Владивосток: ДВО АН СССР, 1990.

14. Ершов U.E., Смагин С.И. 0 решении трехмерных стационарных задач дифракции методом потенциалов // Докл. АН СССР. 1990. Т. 311. № 2. С. 339-342.

15. Ершов U.E., Смагин С.И. Акустическое поле в горизонтально однородной слоистой среде с трехмерным упругим включением Препринт. Владивосток: ДВО АН СССР, 1990.

16. Смагин С.И. Об одной системе интегральных уравнений теори дифракции // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. ДО 8.

С. I432-1437.

17. Смагин С.И. Об интегральных уравнениях контактных задач математической физики с минимальным числом неизвестных функций // Тез. докл. Всесоюэн. конф. "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики". Новосибирск, 1990. С. 133-134.

18. Смагин С.И. Решение трехмерной задачи дифракции акустичес ких колебаний методом граничного интегрального уравнения // Интегральные уравнения и краевые задачи - теория и прикладные системы. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1990.

С. 83-93.

19. Смагин С.И. О новом классе интегральных уравнений, понижающих размерность задач дифракции // Докл. АН СССР. I99L

. Т. 316. Р 3. С.

20. Erehov П.Е., Smsgin S,I. Application of the potential theory methods for numerical solution of three-dimantionaj stuns in aerohydrodynamics // Preprints of the Second Japan-Soviet Union joint symposium on computational fluid dynamics. Tsulcuba. Japan. 1990. P.542-543.