Численные методы решения задач дифракции волн на структурах с группой симметрии куба тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 0»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕШЕЬШ УНИВЕРСИТЕТ 9 3 им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи УДК 519.6:537.812

Загородное Игорь Анатольевич

Численные методы решения задач дифракции воли на структурах с группой симметрии куба

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

доктор физико-математических иаук профессор Е.В. Захаров.

доктор физико-математических наук профессор И.К. Лифанов,

доктор физико-математических наук профессор А.Б. Самохин.

Московский технический университет связи и информатики.

« Э » ШГЕ&Ы1998 г. в/3' чд&3£) мии. на заседании совета Д.05^.05.37 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова но адресу:

119899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-ой учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики.

Ведущая организация:

Защита состоится диссертационного

Автореферат разослан « »_ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор ^УХХ. Моисеев

Актуальность темы. Исследование процессов распространения стационарных акустических и электромагнитных волн приводит к постановкам задач математической физики, которые принято называть задачами дифракции или рассеяния . Такие задачи встречаются в геофизике, дефектоскопии, оптике, радиофизике, акустике и других областях науки и техники, где изучаются и применяются различные виды колебаний.

Известно , что строгое аналитическое решение задачи рассеяния удается получить лишь для ограниченного числа тел простейшей формы, когда переменные в волновом уравнении удается разделить за счет использования систем координат, одна из координатных плоскостей которой совпадает с поверхностью тела. Однако и в этом случае в резонансной области частот, когда размеры препятствия сравнимы с длиной облучающей волпы, ряды плохо сходятся и требуют численного решения.

Среди применяемых подходов к численному решению задач рассеяния метод интегральных уравнений является, по-видимому, одним из наиболее универсальных и удобных для реализации на ЭВМ. Следует однако подчеркнуть, что проблема эффективного численного решения задач дифракции на трехмерных рассеивателях в резонансном диапазоне частот, когда длина еолиы сравнима с размерами рассеивателя, в настоящее время пока не решена даже с использованием самых мощных современных ЭВМ.

При переходе к существенно трехмерным задачам резко повышается порядок системы линейных алгебраических уравнений, получающейся при дискретизации исходной задачи. С этим фактом, по-видимому, связана относительная малочисленность публикаций по численному решению задач дифракции на трехмерных рассеивателях по сравнению с числом работ посвященных двумерному случаю. Отметим также, что в большинстве работ рассматриваются задачи рассеяния на телах обладающих группой симметрии. Однако использование симметрии рассеивателя, за исключением поверхностей вращения, не проводится, и лишь в ряде случаев учитывается симметрия возбуждения.

Теория групп и, в частности, теория представлений групп активно используется в квантовой физике и химии. Теоретико-групповой подход к численному решению краевых задач математической физики для тел с

симметриями предложен в работах Тарасова Р.П., Демина С.К., Захарова Е.В., Сафронова С.И.

В диссертации рассматриваются алгоритмы численного решения скалярных и векторных задач дифракции на структурах с группой симметрии куба. Структура с группой симметрии куба задается конгруэнтной

составляющей в части пространства аналогично тому, как поверхность

вращения задается своей образующей. К классу структур с кубической симметрией принадлежат, например, куб, октаэдр, сфера, некоторые полуправильные многогранники (тела Архимеда). При численном моделировании в качестве тшшчпого представителя данного класса был взят куб, а также рассматривалась задача на незамкнутой поверхности - кубической клетке.

В диссертации даются нормальные сечения диаграмм рассеяния, полученные с высокой точностью для куба, размер ребра которого составляет 18 длин падающей волны.

Предложенный в диссертации алгоритм позволяет численно решать та современных ПЭВМ задачи произвольного возбуждения куба, размер ребра которого составляет 8 длин падающей волны и более. Использование данного алгоритма при обращении СЛАУ методом Гаусса приводит к сокращению объема вычислений в ~103 раз по сравнению со случаем, когда задача решается «в лоб», то есть без учета симметрии куба.

Рассмотрение в основном случая нормального падения связано лишь с более легкой интерпретацией получаемых результатов и с возможностью их сравнения с результатами других авторов.

Однако в случае нормального падения плоской волны общий алгоритм может быть изменен так, чтобы учитывать симметрию первичного поля. Так в акустике учет симметрии первичного поля при нормальном падении плоской волны на грань куба приводит к дополнительному сокращению объема вычислений в ~3.6 раз и общий коэффициент сокращения объема вычислений

равен -З-Ю3 по сравнению со случаем, когда симметрия куба и симметрия возбуждения никак не учитываются. В электродинамике такой же коэффициент возможен при возбуждении куба диполем, находящимся на одной из осей

симметрии куба и по ней ориентированном. В случае нормального падения плоской волны на 1рань куба с вектором II параллельным ребру куба учет симметрии первичного поля приводит к дополнительному сокращению объема вычислений в -1.2 раза.

В диссертации задачи рассеяния на кубе численно решаются с использованием граничных интегральных уравнений I и П рода. При моделировашш рассеяния на кубе проводился сравнительный анализ результатов решения уравнений I и П рода. Целью работы является:

1. Построение эффективных вычислительных алгоритмов численного анализа существенно трехмерных задач дифракции на основе учета симметрии рассеивателя и первичного поля.

2. Разработка программ численного решения задач дифракции на структурах с группой симметрии куба.

3. Сравнительный анализ результатов решения задач акустической и электромагнитной дифракции на кубе на основе граничных интегральных уравнений I и П рода.

4. Вычисление характеристик рассеяния на кубе и кубической клетке в резонансном диапазоне частот.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Разработаны и обоснованы алгоритмы, учитывающие симметрию первичного поля и структуру группы симметрий рассеивателя.

2. Построен и реализован численный алгоритм решения задач дифракции на структурах с группой симметрии куба при произвольном возбуждении.

3. Проведен сравнительный анализ результатов решения задач акустической и электромагнитной дифракции на кубе на основе граничных интегральных уравнений I и П рода.

4. Рассчитаны токи на поверхности и характеристики рассеяния для куба и кубических клеток в резонансном диапазоне частот.

Наущая новизна работы состоит в том, что предлагаемые методы и алгоритмы основаны на теоретико-групповом подходе и позволяют существенно снижать порядки решаемых при численной реализации систем линейных алгебраических уравнений при сохранении точности аппроксимации

граничной поверхности. Разработан комплекс программ численного анализа дифракции и возбуждения на структурах с группой симметрии куба. Проведены многочисленные численные эксперименты.

На-учная достоверность полученных результатов и выводов диссертации обеспечивается использованием математически обоснованного подхода к решению задачи. Численные алгоритмы тестировались на внутренних задачах с известным решением. Контроль точности получаемого решения внешних задач проводился на основе критерия нулевого поля внутри замкнутой поверхности, а также сравнением получающихся результатов с известными результатами других авторов и экспериментальными данными.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные методы и программы позволяют с высокой точностью эффективно решать класс задач акустической и электромагнитной дифракции на структурах с группой симметрии куба в резонансной области частот.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [15] и докладывались на VII Международном симпозиуме «Метод дискретных особенностей в задачах математической физики» (Феодосия, 1997), на семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ, на научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ (руководители: проф. Захаров Е.В., проф. Лифанов И.К.) и научно-исследовательском семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (руководители: проф. Свешников А.Г., проф. Ильинский A.C.).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 4 научные статьи.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, изложена на 115 листах, включая список из 82 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается литературный обзор по рассматриваемой проблеме, содержится общая характеристика направления, развиваемого в работе, и кратко излагаются основные полученные результаты.

В первой главе формулируется метод конечных групп для решения краевых задач математической физики, а также на основе теории представлений

конечных групп строятся и обосновываются алгоритмы, учитывающие симметрию правой части операторного уравнения и структуру конкретной конечной группы.

В параграфе 1.1 на основе представления граничных интегральных уравнений в виде уравнений операторной свертки на группе симметрии граничной поверхности выводятся основные соотношешм метода конечных групп при произвольной правой части интегрального уравнения.

Рассмотрим краевую задачу

Lu(x) = О, xeQ,

(1)

lu(x) = /(*), xeS, где L - дифференциальный оператор, / - оператор краевого условия, Q -ограниченная или неограниченная область в R3 с границей S . Обозначим через М оператор краевой задачи (1).

Если L(£2)- линейное пространство числовых функций на Q и {гЛ, }-группа преобразований Q, то {rv} порождает группу преобразований {T(tn)\ пространства L(Q)

T(rk):f(x)^f(rkx), rke{tN}. (2)

Будем говорить, что оператор М инвариантен к группе преобразований {гд,}, если

Т(тк)МТ~\тк) = М, VTks{rN}. Предположим, что краевая задача (1) эквивалентна интегральному уравнению

Acp(x) = f(x), xeS. (3)

Тогда из инвариантности оператора М к группе преобразований {tN } следует инвариантность оператора А относительно {rv }.

Будем рассматривать граничную поверхность S как левое {tn } -пространство. Поверхность S допускает разбиение на конгруэнтные составляющие 5,- = T,Siti = 1,2,..., N, причем имеет место соотношение

S=\jTtSx,Tte{TN}.

7—1

Пусть ¿(5) - пространство числовых функций на 5. Тогда представляет собой прямую сумму подпространств

Щ) = фД5,), (4)

/=1

где ■£(£,.)- подпространство числовых функций на Д1,-. Разбиение (4) определяет изоморфное каноническое отображение пространства ¿(5) на /,({гЛ-}), где ¿({гЛ>})- пространство функций на {гЛ,} со значениями в В соответствии с разбиением (4) каждому оператору А на ¿(5) сопоставляется операторная функция А(т), Г . В пространстве /,({тЛ,}) операторная функщм , Tj) переходит в операторную функцию на груше А(т,,ту) со значениями в пространстве операторов на Х^) . Таким образом, оператор А переходит в ¿({г,у }) в оператор А

лШ*,

Определим в пространстве ¿({Тд,}) операцию левого сдвига:

Пгк):Ят,)-+/(?&) (5)

При условии, что оператор А инвариантен относительно преобразований из группы {ты} в пространстве £(5), соответствующая операторная функция

Л(г(, V.) инвариантна относительно левых сдвигов (5) на группе {гЛ,}:

А(т(,т^ = А(тктпткт^, Утке{т„}. (6)

Будем говорить, что оператор А в пространстве ¿({гЛ-}) инвариантен относительно преобразований из группы {г^}, если выполнено соотношение (6).

Полагая в (6) тkTj — г1, где Г]-единичное преобразование, приходим к равенству А(г1-,Г^ = А(Ту1Г1-,т-1) . Поэтому уравнение (3) в пространстве

Ь({гд,}) может быть записано в виде правой операторной свертки на группе

Ы*р](г,.) = /(г,), (7)

где операция правой свертки определяется равенством

Следовательно, при сеточной аппроксимации операторной функции А(т,, Г^) достаточно вычислить элементы Лл(г,,г1),/ = 1,2,...,N, аппроксимирующие

А(т1гГ]). Это позволяет сократить объем вычислений при аппроксимации оператора А ъ N раз, а также в N раз сокращается объем необходимой памяти ЭВМ.

Пусть {&р}- множество всех классов эквивалентности неприводимых представлений группы {гЛ,}, р - число таких классов, и пусть также Па -представитель класса <7,-, сг е {ар}, действующий в -мерном

гильбертовом пространстве. Тогда функция /(г) на группе {г у} может быть представлена рядом Фурье:

/(*<)=-¿Е^/К/К-)^ (О) - (8)

где 1г означает след и коэффициенты Фурье/(сг) вычисляются согласно выражению

I 1

Следовательно, уравнение (7) преобразуется к виду

Мог/)ср(а/) = /(ст.), ст. е{ар}, при этом если (5(<Т;) - является решением данного уравнения, то решение уравнения (7) можно найти по формуле (8).

Поскольку А(а) при каждом фиксированном а е {сг} описываются операторными матрицами порядка , элементами которых являются операторы действующие в пространстве , а <р(ст) и /(<?) - матрицами

порядка <1а, элементы которых принадлежат этому пространству, то приходим к заключению, что для тела, обладающего группой симмегрий {гЛ,}, граничное операторное уравне!ше А(р — / приводится к матричному операторному уравнению на множестве всех классов {сг} в пространстве ¿(5'1), максимальный порядок которого равен максимальному порядку неприводимых представлений группы {гЛ:}.

Поэтому если вычислительный метод обращения матрицы А, получаемой при дискретизации уравнения (3) требует 0(пк ) операций, где п -число неизвестных, то использование формализма преобразования Фурье

понижается в t > Nраз, где d^ = max da.

В параграфе 1.2 рассматривается алгоритм, основанный на непосредственном построении матрицы перехода в базис, присоединенный к разложению правого регулярного представления на неприводимые.

Обозначим и£'(г(), s = l,...,p; t,q-l,...,d0i, координатные функции представления IJа (г, ). Имеет место

Теорема 1. Если в граничном интегральном уравнении Аф — f, рассматриваемом в пространстве L({tn}), оператор А инвариантен к преобразованиям симметрии из группы {tn }, то соответствующая операторная

матрица у4=||Лй|| с элементами Afj = А(т,,т•) приводится к блочно-

II Jlh,j=i J 1

диагональному виду при помощи унитарной матрицы В с элементами

сокращает объем

раз, а размерность задачи

5-1

где 7 = ^ + - 1)г/ет^ + q. При этом матрица В~ АВ содерлдат р

]Г с/^ блоков, причем имеется всего р различных, н 4

В параграфе 1.3 рассматривается случай, когда правая часть интегрального уравнения обладает симметрией, подчиненной симметрии граничной поверхности. На основе теории индуцированных представлений изучается структура интегрального оператора и предлагаются численные методы, позволяющие учесть симметрию всей задачи в этом случае.

Будем говорить, что правая часть /(г,) обладает левыми симметриями

подгруппы {тм} группы {г у} рода {Т(тк)},тк е {тм}, если

Ж г,) = ПткЖъ), ^ б {ти}, г,: е{Гдг}. (9)

Обозначим подпространство фушщшг определенных равенством (9) через Ь1({тм),{ти},{Т(тк)}).

Будем говорить, что правая часть /(г,) обладает правыми симметриями подгруппы {тм} группы (Гд,} рода {Т(тк)},тк если

/(г,гк) = П Уг,е{ги},г,е{глг}. (10)

Обозначим подпространство функций определенных равенством (10) через Ь\{Г,},{ГМ},{ПЧ)))-

Теорема 2. Пусть вычислительный метод обращения матрицы л требует

0(пк) операций. Пусть также оператор А в пространстве Ь({тА,})

инвариантен к левым сдвигам по группе [т},}. Тогда при использовании

симметрии правой части / е 1({гЛ,}) число операций по обращению матрицы

у! , аппроксимирующей оператор А, сокращается в М раз, а число неизвестных сокращается в ? раз, где

1)т = т0= ЕЮ" / 2Ю*. * =

ае{<т) / сг:/„>0

если / принадлежит £-£({гдг},{тл/},{Т(гЛ.)});

2)»я=1Ио. » =

/ <т:/„>0

если / принадлежит Теорема 3. Если в граничном интегральном уравнении Лр = _/", рассматриваемом в пространстве Х({тл,}), оператор Л инвариантен к преобразованиям симметрии го группы {%}, а функция /(т,), принадлежит подпространству ( }, } > )}) то соответствующая операторная матрица Л' = ||. с элементами ^ Л(г~')Г(Ь1Гтйу1) приводится к

блочно-диагональному виду при помощи матрицы В' с элементами ¡Ь-1

гДе } — + +Ч • При этом матрица В~ А'В содержит

у=]

р

блоков, причем имеется столько различных , сколько коэффициентов

М

, у = 1,2,..., р, отлично от нуля. Теорема 4. Пусть в граничном уравнении Аф = /, рассматриваемом в пространстве -Ц{Гу}) оператор А инвариантен относительно действий группы {г у} симметрии тела, а правая часть /(г,) принадлежит подпространству Ь!({ти},{гм},{Т(тк)}), где {ти}- нормальная подгруппа группы {Гд,}, а {Т(Ч)} - тривиальное представление подгруппы {тм}. Тогда уравнение Аф ~ / приводится к уравнению операторной свертки на факторгруппе {г^ } / {тм } группы {г^,} по подгруппе {тм }.

В параграфе 1.4 предлагается алгоритм, учитывающий структуру группы симметрии граничной поверхности.

Теорема5. Если группа {тм} порядка N может быть представлена как прямое произведение своих подгрупп {гП1}и {г„2} порядка п1 и п2, то

существует алгоритм вычисления коэффициентов Фурье функции /(т{) на группе {Гд,} с коэффициентом сокращения числа операций равньм NI{пх + п2)■ Алгоритм с таким же коэффициентом сокращения числа операций существует и дм выполнения обратного преобразования Фурье.

Излагаемые в дашюй главе теоретические положения, по возможности, иллюстрируются в параграфе 1.5 на примере краевой задачи на структуре с группой симметрий правильного треугольника. В последующих главах численная схема достаточно подробно описывается для задач дифракции волн на структурах с кубической симметрией.

Во второй главе рассматривается численное решение на основе метода конечных групп задачи рассеяния акустических волн на кубе.

В параграфе 2.1 описывается группа куба, рассматривается ее структура и приводятся неприводимые ушггарно неэквивалентные представления данной группы.

В параграфе 2.2 общие соотношения, рассмотренные в первой главе для общего случая, записываются для структуры, обладающей полной группой симметрии куба.

Теорема 6. Пусть в граничном уравнении А(р = / оператор А инвариантен относительно действий группы симметрий куба С. Тогда исходное уравнение на поверхности 5, обладающей группой симметрий куба С сводится к 20 несвязанным уравнениям. Из них 4 уравнения записываются по 1/48 часта поверхности 5; 4 уравнения записываются по 1/24 части поверхности $, причем они разбиваются на 2 пары уравнений с одинаковыми операторами; 12 уравнений записываются по 1/16 части поверхности 5, причем они разбиваются на 4 тройки уравнений с одинаковыми операторами.

Затем в параграфе 2.3 данная схема применяется для численного решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца (мягкое рассеяние) на

кубе. Приводятся тестовые расчеты, а также проводится сравнение решений граничных интегральных уравнений I и П рода.

В параграфе 2А аналогичным образом рассматривается задача Неймана (жесткое рассеяние).

В обоих случаях приводятся численные решения на сетке ~104 точек. Даны диаграммы рассеяния и распределения плотности вторичных источников при волновых размерах куба ка < 50, где а - длина ребра куба, к - волновое число.

Последний параграф 2.5 посвящен вопросу учета симметрии первичного поля в скалярном случае, а также здесь исследуются некоторые свойства метода конечных групп.

Теорема 7. Пусть АН - матрица, получаемая при дискретизации швариацтного относительно группы {тц} интегрального оператора, {(тр} -множество унитарно неэквивалентных неприводимых представлений группы {%}. Тогда

если А = (Ан) ;

2) = 1,2,...,р, если л1 = (л )' и все представления \]а &{ар} вещественны.

В третьей главе рассматривается векторный случай, а именно, рассеяние плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на идеально проводящем кубе

В параграфе 3.1 дана математическая постановка задачи и выписаны основные соотношения метода конечных групп для векторного случая.

В параграфе 3.2 описывается численная схема и приведены результаты моделирования рассеяния для куба на сетке ~104 точек. Показаны диаграммы рассеяния и плотности токов на поверхности куба при ка < 50, где ¿-волновое число, а а -размер ребра куба. Сравниваются результаты, полученные решением интегральных граничных уравнений I и П рода.

В параграфе 3.3 обсуждается симметрия первичного поля и возможность ее использования при численном моделировании.

В четвертой главе рассматриваются задачи дифракции на незамкнутых поверхностях, обладающих группой симметрии куба.

В параграфе 4.1 дана математическая постановка задачи, описана геометрия рассматриваемого рассеивателя, а также приводятся примеры различных структур с кубической симметрией.

В параграфе 4.2 приведены результаты численного моделирования рассеяния плоской акустической волны на идеально мягкой и идеально жесткой кубических клетках.

В параграфе 4.3 рассматривается численное решение задачи рассеяния плоской линейно поляризованной волны на идеально проводящей кубической клетке.

Во всех случаях расчеты проводились на сетке ~104 точек. Показаны диаграммы рассеяния и плотности первичных источников (токов) на поверхности рассеивателя при ка= 12, где к - волновое число, а - ребро куба, до которого дополняется кубическая клетка.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Загородное И.А., Тарасов Р.П. Задача дифракции па телах с некоммутативной конечной группой симметрий и численное ее решение. И Ж. выч. матем. и матем. физ., 1997,т.37,]М10, С. 1246-1262.

2. Загородное И.А., Тарасов Р.П. Численное решение задачи рассеяния акустической волны на кубе.// Труды VII Международного симпозиума «Метод дискретных особенностей в задачах математической физики», Феодосия, 1997, С. 1X8-191.

3. Захаров Е.В., Загородное И.А., Тарасов Р.П. Гиперсингулярные интегральные уравнения в задачах дифракции на кубе. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика. 1998, № 3, С. 38-42.

4. Загороднов И.А., Тарасов Р.П. Численное решение задач рассеяния на пчатоновых телах в классах функций с симметриями. // Ж. выч. матем. и матем. физ., 1998, т.38, N8, С. 1301-1313.

мосовскии государственный университет

им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи удк 519.6:537.812

Загороднов Игорь Анатольевич

Численные методы решения задач дифракции волн на структурах с группой симметрии куба

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук профессор Е.В. Захаров

Москва 1998

Содержание.

Введение.................................................................................................................1-9

Глава I. Метод конечных групп и симметрия правой части

операторного уравнения..........................................................................10-44

1.1. Основные соотношения метода конечных групп...........................11-15

1.2. Алгоритм метода конечных групп, основанный на переходе в базис, присоединенный к разложению регулярного представления на неприводимые.....................................................16-19

1.3. Алгоритмы, учитывающие симметрию правой части операторного уравнения...................................................................20-31

1.4. Использование структуры группы симметрий граничной поверхности.......................................................................................32-35

1.5. Схема решения задачи дифракции волн на структурах с

группой симметрии правильного треугольника C3v...............36-44

Глава П. Численное моделирование рассеяния акустических волн на

кубе...........................................................................................................45-81

2.1. Структура группы куба и ее неприводимые представления.........45-51

2.2. Основные соотношения метода конечных групп для

структур с группой симметрии куба.............................................52-54

2.3. Задача Дирихле. Сравнение решений интегральных

уравнений I и К рода..........................................................55-66

2.4. Задача Неймана. Сравнение решений интегральных

уравнений I и П рода..........................................................67-74

2.5. Свойства метода конечных групп и использование

симметрии первичного поля в скалярном случае..........................75-81

Глава Ш. Рассеяние электромагнитных волн на идеально проводящем

кубе...........................................................................................................82-102

3.1. Постановка задачи и основные соотношения метода

конечных групп в векторном случае................................................82-85

3.2. Рассеяние плоской линейно поляризованной волны на идеально проводящем кубе. Сравнение решений интегральных уравнений I и П рода........................................................................86-98

3.3.Использование симметрии падающей волны в векторном

случае................................................................................................99-102

Глава IV. Рассеяние акустических и электромагнитных волн на

кубических клетках...............................................................................103-110

4.1.Постановка задачи и геометрия рассеивателя.............................103-106

4.2.Рассеяние плоской акустической волны на кубической

клетке...............................................................................................107-108

4.3.Рассеяние плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на идеально проводящей

клетке..............................................................................................109-110

Публикации по теме диссертации........................................................111

Литература.........................................................................................................112-115

Введение

Исследование процессов распространения стационарных акустических и электромагнитных волн приводит к постановкам задач математической физики, которые принято называть задачами дифракции или рассеяния [39,63]. Такие задачи встречаются в геофизике, дефектоскопии, оптике, радиофизике, акустике и других областях науки и техники, где изучаются и применяются различные виды колебаний.

Известно [3,74], что строгое аналитическое решение задачи рассеяния удается получить лишь для ограниченного числа тел простейшей формы, когда переменные в волновом уравнении удается разделить за счет использования систем координат, одна из координатных плоскостей которой совпадает с поверхностью тела. Однако и в этом случае в резонансной области частот, когда размеры препятствия сравнимы с длиной облучающей волны, ряды плохо сходятся и требуют численного решения.

Среди применяемых подходов к численному решению задач рассеяния метод интегральных уравнений является, по-видимому, одним из наиболее универсальных и удобных для реализации на ЭВМ. Традиционно методы потенциала использовались в качестве аппарата для доказательства теорем существования и единственности исходных дифференциальных задач [39,63,73]. Применение интегральных уравнений к численному решению задач математической физики началось сравнительно недавно. Первые работы в этом направлении появились в начале 60-х годов, а после выхода в 1968 году монографии [70] численные методы (метод моментов, метод Галеркина) стали активно применяться для решения задач дифракции на рассеивателях различной формы. Отметим также работы [4,10,20,24,27] сыгравшие важную роль в развитии численных методов решения задач теории дифракции.

Современное состояние численных исследований подробно отражено в сборнике фундаментальных работ, опубликованных в период с 20-х по 90-е годы [67]. Следует однако подчеркнуть, что проблема эффективного численного решения задач дифракции на трехмерных рассеивателях в резонансном диапазоне частот, когда длина волны сравнима с размерами рассеивателя, в

настоящее время пока не решена даже с использованием самых мощных современных ЭВМ.

В диссертации рассматривается задача дифракции на трехмерных рассеивателях с ребрами и угловыми точками. Общей теории разрешимости для этого случая пока не построено. Теория акустических задач на замкнутых гладких поверхностях известна давно [40,41]. Общая теория разрешимости электромагнитных задач дифракции на гладких замкнутых поверхностях была построена уже к концу 60-х годов. С. Muller [73] смог довести до определенной завершенности эту теорию, доказав теоремы существования и единственности. Современное изложение теории разрешимости для акустических и электромагнитных задач теории потенциала на гладких замкнутых поверхностях имеется в монографии Д. Колтона и Р. Кресса [39].

Теория разрешимости для скалярных задач на гладких многообразиях с краем (экранах) построена недавно в работах [68,79]. Основным инструментом в данных работах стала техника исследования псевдодифференциальных операторов, действующих в пространствах Соболева. При помощи этой же техники в последнее время A.C. Ильинским и Ю.С. Смирновым [35,36,54] построена теория разрешимости трехмерных векторных задач на незамкнутых гладких поверхностях с гладким краем.

Отметим, что на негладких (топологических) многообразиях, по-видимому, невозможно применение техники псевдодифференциальных операторов. Современное состояние теории граничных интегральных уравнений на негладких многообразиях для скалярных задач частично отражено в работе В.Г. Мазьи [45].

В связи с описанным выше состоянием теории при численном решении задач на поверхностях с ребрами и угловыми точками использовались интегральные уравнения, справедливые для гладких многообразий, хотя явного сглаживания особенностей поверхности не проводилось, но точки коллокации при этом в особые точки поверхности не помещались, и элементы разбиения поверхности не содержали внутри особых точек.

Исследованию дифракции электромагнитных волн на двумерных электродинамических структурах посвящены работы [14], [15], [20], [21], [28]. Достаточно полный обзор таких работ дан в монографии [49]. Приведенная там

же библиография включает 500 наименований. Обоснованию и применению численного метода для решения сингулярных интегральных уравнений и уравнений с интегрируемой особенностью посвящены работы [9,11,19,33,34,43,71,77].

Численное решение задач дифракции волн на трехмерных электродинамических структурах рассматривается в работах [4,7,23,47,51,52,69,72,78,80-82]. При переходе к существенно трехмерным задачам резко повышается порядок системы линейных алгебраических уравнений, получающейся при дискретизации исходной задачи. С этим фактом, по-видимому, связана относительная малочисленность публикаций по численному решению задач дифракции на трехмерных рассеивателях по сравнению с числом работ посвященных двумерному случаю. Отметим также, что в большинстве работ рассматриваются задачи рассеяния на телах обладающих группой симметрий. Однако использование симметрии рассеивателя, за исключением поверхностей вращения, не проводится, и лишь в ряде случаев учитывается симметрия возбуждения.

Численному решению задач на поверхностях вращения посвящены работы [4,7,20]. Предлагаемый в монографии Е.В. Васильева [4] метод решения основан на разложении в ряд Фурье по азимутальной переменной ядра, решения и правой части интегрального уравнения. В результате подобной процедуры приходят к необходимости решения последовательности одномерных уравнений по образующей поверхности вращения. Иной метод предложен в работе В.В.Воеводина, А.Г.Свешникова, Е.Е.Тартышникова [7]. В этом методе на теле вращения вводится сетка, состоящая из колец, каждое из которых разделено на одинаковое количество конгруэнтных элементов N. При нумерации элементов вдоль образующей приходим к клеточно-циркулянтной матрице. Для СЛАУ с такой матрицей разработан эффективный метод решения [8]. При этом используется дискретное преобразование Фурье порядка N.

Качественно другой подход, основанный на гармоническом анализе Фурье и теории групп, использован в работах С.К. Демина, Р.П. Тарасова [17,18] и в цикле работ Е.В. Захарова, С.И. Сафронова, Р.П. Тарасова [29-32]. Предлагаемый метод может быть применен не только к телам вращения, а и к телам с произвольной абелевой группой симметрии. При решении задач на

телах вращения рассматривается конечная абелева подгруппа {"Ту } порядка N группы симметрий тела, что соответствует использованию дискретного ряда Фурье порядка N. Исходное уравнение редуцируется к N независимым уравнениям по одной конгруэнтной составляющей поверхности тела 5. При этом произвольная сетка вначале наносится на одной конгруэнтной составляющей, а затем переносится на всю поверхность тела посредством преобразований симметрии из группы } . Отметим, что при этом возможно использование равномерных сеток и сгущение сетки можно проводить двумя способами: либо увеличивать порядок N, используемой подгруппы {Гдг} , либо сгущать сетку на одной конгруэнтной составляющей при фиксированном порядке N используемой подгруппы. Также в данных работах рассмотрен вопрос о погружении задачи без симметрии в задачу с симметриями.

Теория групп и, в частности, теория представлений групп активно используется в квантовой физике и химии [44,50,59,60,62]. Появление работ Тарасова Р.П. [56,57] позволяет применить теоретико-групповой подход и к численному решению краевых задач математической физики для тел с произвольной (в том числе и некоммутативной) группой симметрий. В работе [57] подробно описан алгоритм решения уравнений типа свертки на конечных группах (метод конечных групп), основанный на соотношениях абстрактного гармонического анализа [65] с использованием теории представлений конечных групп [37, 48]. Заметим, что уравнения такого типа возникают, например, в задачах дифракции, упругости, теплопроводности в случае, если рассматриваемое тело обладает группой симметрий. Также в данной работе приведены численные результаты решения задач электростатики на плоских экранах с группой симметрий диэдра С3у,С4у. Таким образом, после

опубликования данных работ появилась возможность эффективного решения задач теории дифракции на трехмерных структурах, обладающих произвольной группой симметрий.

Рассмотрим теперь работы посвященные задачи дифракции волн на кубе. По рассеянию на кубе имеется довольно значительное число публикаций [47,51,69,72,78,80-82]. Как отмечено в [55] исследование объектов основных геометрических форм заслуживает большого внимания, так как «эти

исследования позволяют глубже понять процесс рассеяния от объектов более сложных конфигураций, а также потому, что многие основные геометрические формы являются довольно близкой аппроксимацией реальных целей». Кубу присущи все черты сложного трехмерного рассеивающего объекта с его многократными взаимодействиями и дифракцией на углах куба, играющей важную роль в формировании диаграмм рассеяния в различных плоскостях. В работе [78] представлены результаты для куба, размер ребра которого составляет 1.5-3 длины волны, падающей перпендикулярно одной из граней. Применен гибридный итерационный метод, в котором задается начальное приближение поверхностных токов. При этом, как сказано в данной работе, исходное уравнение разбивалось на двенадцать скалярных, которые за счет учета симметрии приводились к восьми. В работе [69] приведены численные результаты расчета диаграмм рассеяния для нормального падения плоской волны на грань куба, размер ребра которого составляет 1-5 длин волн. При этом полученные результаты сравниваются с экспериментальными данными и с аналитическим приближенным решением («high-frequency solution») .Для численного решения использовалось уравнение магнитного поля и метод моментов с выбором простейших функций. При помощи учета симметрии всей задачи число неизвестных сокращалось в 4 раза.

В диссертации рассматриваются алгоритмы численного решения скалярных и векторных задач дифракции на структурах с группой симметрий куба. Структура с группой симметрии куба задается конгруэнтной

составляющей в J/jg части пространства аналогично тому, как поверхность

вращения задается своей образующей. К классу структур с кубической симметрией принадлежат, например, куб, сфера, некоторые полуправильные многогранники (тела Архимеда). При численном моделировании в качестве типичного представителя данного класса был взят куб, а также рассматривалась задача на незамкнутой поверхности - кубической клетке.

Отметим, что ни в одной из известных автору работ по кубу не дается сечение диаграмм рассеяния в плоскости нормальной к направлению падения волны, хотя, как отмечено в [78], «было бы интересным рассчитать ЭПО в поперечном разрезе. В данном разрезе минимизируется влияние относительно

большого неоднородного тока передней грани и более выражено проявляются эффекты кросс-поляризованных токов. Эти кросс-поляризованные токи, по всей видимости, содержат информацию о тонкой структуре ЭПО рассеивающего куба».

В диссертации даются нормальные сечения диаграмм рассеяния, полученные с высокой точностью для куба, размер ребра которого составляет 18 длин падающей волны.

Во всех перечисленных выше работах по кубу рассматривается в основном случай нормального падения плоской волны, что позволяет некоторым авторам за счет учета симметрии всей задачи уменьшить размерность задачи в 4 раза. Произвольное падение рассмотрено, например, в докладе [72] для куба размер ребра которого равен длине падающей волны. Причем время решения составило ~6.5 часов со среднеквадратичной погрешностью решения по невязке 7.1%.

Предложенный в диссертации алгоритм позволяет численно решать на современных ПЭВМ задачи произвольного возбуждения куба, размер ребра которого составляет 8 длин падающей волны и более, причем время счета на сетке 10800 элементов в векторном случае не превышает 1 часа (точное время счета и тип ПЭВМ указаны в гл.2,3). Использование данного алгоритма при обращении СЛАУ методом Гаусса приводит к сокращению объема вычислений в ~103 раз по сравнению со случаем, когда задача решается «в лоб», то есть без учета симметрии куба.

Рассмотрение в основном случая нормального падения связано лишь с более легкой интерпретацией получаемых результатов и с возможностью их сравнения с результатами других авторов.

Однако в случае нормального падения плоской волны общий алгоритм может быть изменен так, чтобы учитывать симметрию первичного поля. Так в акустике учет симметрии первичного поля при нормальном падении плоской волны на грань куба приводит к дополнительному сокращению объема вычислений в ~3.6 раз и общий коэффициент сокращения объема вычислений

равен -З-Ю3 по сравнению со случаем, когда симметрия куба и симметрия возбуждения никак не учитываются. В электродинамике такой же коэффициент

возможен при возбуждении куба диполем, находящимся на одной из осей симметрии куба и по ней ориентированном. В случае нормального падения плоской волны на грань куба с вектором Н параллельным ребру куба учет симметрии первичного поля приводит к дополнительному сокращению объема вычислений в ~1.2 раза.

В диссертации задачи рассеяния на кубе численно решаются с использованием граничных интегральных уравнений I и П рода. При дискретизации данных уравнений используется метод кусочно-постоянной аппроксимации и коллокации (метод моментов) так же, как это предложено А.Г.Давыдовым, Е.В. Захаровым, Ю.В. Пименовым в рабо