Расчет поля дифракции электромагнитной волны на неоднородных цилиндрических диэлектрических объектах микрооптики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

на правах рукописи

Личманов Максим Александрович

РАСЧЕТ ПОЛЯ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТАХ МИКРООПТИКИ

Специальность 01.04.05 - Оптика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара 2004

Работа выполнена в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика СП. Королева и Институте систем обработки изображений РАН.

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

В.В. Котляр.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, вне

В.Г. Волостников;

кандидат физико-математических наук, доцент О.В. Осипов.

Ведущая организация: Самарский государственный университет.

Защита состоится "11" июня 2004 г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.01 в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика СП. Королева, по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, д. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С П. Королева.

Автореферат разослан " 6 " мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

В.Г. Шахов

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке методов расчета дифракции электромагнитной волны на двумерных (цилиндрических) неоднородных объектах микрооптики на основе решения интегрального уравнения второго рода и с помощью метода разделения переменных.

Актуальность исследования. Новейшие технологические достижения позволяют миниатюризировать оптические и дифракционные устройства до размеров порядка длины волны света. Такие элементы могут быть использованы в оптоэлектронике, оптических компьютерах и волоконной оптике, а также в голографии, спектроскопии и интерферометрии. Точное моделирование этих устройств требует решения электромагнитных уравнений, что придает особое значение развитию численных методов по решению уравнений Максвелла и Гельмгольца.

Основная часть численных методов решения задач дифракции может быть разделена на разностные (Сойфер В.А., Головашкин Д.Л., Prather D., 1999), вариационные (Lichtenberg В., Gallagher N., 1994, Котляр В.В., Нестереико Д.В., 1999) и интегральные (Колтон Д., Кресс Р., 1987, Ильинский А.С. и др., 1991).

Разностные методы основаны на приближенном решении исходного волнового уравнения с помощью разностных схем. Недостатком этих методов является то, что все структуры должны согласовываться с декартовой системой координат (все кривые поверхности должны быть ступенчато аппроксимированы), в связи с чем становится возможным появление ошибок в результатах. Так как здесь нельзя использовать условие излучения Зоммерфельда, то возникает проблема поиска оптимальных поглощающих граничных условий.

Вариационные методы основаны на решении уравнения Гельмгольца путем минимизации некоторого функционального соотношения. Как и разностные, вариационные методы не включают в себя условия излучения Зоммерфельда и требуют постановки граничных условий на световые поля, уходящие в бесконечность.

Несмотря на стремительное развитие численных методов решения задач дифракции, недостаточно внимания уделяется изучению полей дифракции, когда рассеиватель (или даже группа рассеивателей) имеет неоднородную структуру. Поэтому является актуальным исследование прохождения электромагнитной волны через неоднородные объекты. Для подобных объектов, представляющих собой в общем случае многосвязную область с произвольной неоднородной структурой, имеющей комплексный показатель преломления, подходит метод интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Для ТМ-поляризации задача сводится к нагруженному интегральному уравнению из-за появления интеграла по контуру двумерного (2D) объекта. Поэтому актуальной является разработка метода расчета поля дифракции на основе решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода для задач дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной ВОЛНЫ на ......, пипиттттршг p.rKHY

диэлектрических объектах, размер которых с вета.

БИБЛИОТЕКА I

CUtttpj OS

Большинство численных методов анализа дифракции электромагнитных полей являются трудоемкими в плане затрат на вычисления. Например, интегральные методы имеют заполненные матрицы большого порядка, что ограничивает их практическое применение. С другой стороны, есть класс объектов, обладающих некоторой симметрией, для которых получены аналитические решения задач дифракции в виде бесконечных рядов. К ним относятся однородные и многослойные круговые диэлектрические и киральные цилиндры, металлические сферы. При изучении дифракции электромагнитной волны на цилиндрических объектах, как правило, интересуются свойствами рассеянного поля в дальней зоне. Поэтому обычно рассматривают дифракцию плоской волны. Для задач микрооптики актуальным является анализ дифракции сходящихся электромагнитных волн (например, непараксиального гауссова пучка) на микронеоднородностях. Поэтому является актуальной разработка метода расчета поля дифракции произвольной электромагнитной волны на многослойных двумерных диэлектрических цилиндрах.

Примером цилиндрического градиентного оптического элемента является линза Лунеберга, которая, как правило, анализируется методом геометрической оптики. Актуальным является строгий анализ дифракции электромагнитной волны на многослойном круглом цилиндре Лунеберга, размер которого сравним с длиной волны.

Вследствие того, что технология позволяет изготовлять такие объекты, как круговые цилиндры (по технологии изготовления градиентных оптических волокон), актуальна разработка метода их синтеза. Известны методы оптимизации микрорельефа дифракционных решеток (Досколович Л.Л.), дифракционных микролинз (Prather D.W.), но, как правило, эти методы применяются для расчета рельефа однородных объектов. Актуальной является разработка метода оптимизации параметров неоднородных объектов, например, расчет распределения показателя преломления по слоям многослойного диэлектрического кругового цилиндра, формирующего заданное поле дифракции.

Целью диссертационной работы является расчет поля дифракции произвольной электромагнитной волны на неоднородных двумерных объектах микрооптики и синтез неоднородных объектов микрооптики, формирующих заданное распределение поля дифракции.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. разработка метода расчета поля дифракции на основе решения интегрального уравнения для 2D задачи дифракции произвольной электромагнитной волны на неоднородном микрообъекте с комплексным показателем преломления;

2. разработка метода расчета 2D поля дифракции произвольной четной электромагнитной волны на неоднородных круглых диэлектрических микрообъектах на основе аналитического представления поля в виде ряда по цилиндрическим функциям;

3. разработка, градиентного метода оптимизации для синтеза неоднородных . объектов микрооптики на основе разработанного метода решения прямой

задачи дифракции произвольной четной электромагнитной волны на неоднородном круглом диэлектрическом цилиндре.

Научная новизна работы.

1. На основе решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработан метод расчета поля дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных микрообъектах произвольной формы с комплексным показателем преломления и на группах таких объектов.

2. Разработан рекуррентный метод расчета поля дифракции произвольной четной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных круглых диэлектрических цилиндрах, показатель преломления которых зависит от радиальной координаты. Метод применен для анализа дифракции на градиентных микролинзах Лунеберга и линзе Итона-Липмана. На численных примерах показано, что линзы сохраняют свои свойства фокусировки (для линз Лунеберга) и отражения (для линзы Итона-Липмана) даже при размере радиуса линз сравнимом с длиной волны света, когда лучевое приближение теряет силу.

3. На основе полученного рекуррентного метода разработан градиентный метод оптимизации зависимости показателя преломления от радиальной координаты для синтеза неоднородных круглых диэлектрических цилиндров.

Практическая ценность работы.

Предложенные методы позволяют рассчитать дифракцию света на неоднородных микроструктурах и оптимизировать их параметры для формирования полей дифракции с заданными характеристиками.

На защиту выносятся.

1. Метод расчета поля дифракции на основе решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода с использованием метода конечных элементов для 2D задачи дифракции ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных микрообъектах с комплексным показателем преломления произвольной формы и группах таких объектов.

2. Рекуррентный метод расчета поля дифракции ТЕ-/ГМ-поляризованной волны для 2D задачи дифракции электромагнитной волны на многослойных круглых диэлектрических цилиндрах, показатель преломления которых зависит от радиальной координаты.

3. Градиентный метод оптимизации зависимости показателя преломления от радиальной координаты для синтеза неоднородных круглых диэлектрических цилиндров, размер которых сравним с длиной волны света.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: международная школа для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (г.

Саратов, 2001,2002), международная конференция "Математическое моделирование" (г. Самара, 2001), 2-ая международная научно-техническая конференция "Физика и технические приложения волновых процессов" (г. Самара, 2003 г.), совместные научные семинары Института систем обработки изображений РАН и кафедры технической кибернетики Самарского государственного аэрокосмического университета.

Личный вклад автора. Решение всех задач, сформулированных в диссертации, получение и обработка результатов компьютерного моделирования выполнены автором лично. Постановка задач, разработка методик моделирования и интерпретация численных результатов выполнены совместно с научным руководителем.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы (96 наименований). Работа изложена на 108 страницах и содержит 30 рисунков.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы ее цель и задачи, дан краткий обзор научных работ по рассматриваемым вопросам, показана научная новизна полученных результатов, приводятся положения, выносимые на защиту, и описана структура диссертации.

В первой главе рассматривается применение метода конечных элементов (МКЭ) к решению 2D векторной задачи дифракции, где основное внимание уделяется вопросу её сведения к линейному интегральному уравнению Фредгольма второго рода для ТЕ-поляризации и к нагруженному интегральному уравнению Фредгольма для ТМ-поляризации. К полученному уравнению применяется МКЭ, который выступает в качестве метода построения вычислительного алгоритма решения задачи.

В случае ТЕ-поляризации задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений Гельмгольца

{(а + *22)£Г =-¿2. (*>>)£

где - функция, описывающая источник во внешней области ,

К(Х'У) (х'-У)^1 - волновое число для области объекта П, с неоднородным

О,. Здесь

(1)

преломления,

к2 -

волновое число для

показателем

Внешнее поле (проекция вектора электрической напряженности на ось z) удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда:

Граничные условия для поля и его нормальной производной принимают вид

(3)

где п - единичный вектор внешней к области нормали по контуру 8.

Последовательно применяя для функций Е'", Е'* и С2 формулу Грина с использованием граничных условий (3) получаем ^систему уравнений:

первое из которых является интегральным уравнением Фредгольма второго рода

относительно Е*. Е01(х,у)= Ц^г^г^Ф' — известное падающее световое поле.

п

Функция Грина в области для 2Б световых полей, удовлетворяющая условию излучения (2), равна:

(5)

где Нд\г) - функция Ханкеля.

В случае ТМ-поляризации задача сводится к решению системы:

(д+А,2)я;" -—ЯГ = О, Уей,,

(д + ^2>/Г = (х,у)еп2,

где Нх - проекция на ось z вектора магнитной напряженности. Граничные условия принимают вид:

(6)

н':\ =я:

1 эн:

£[ дп

I зн:

дп

(7)

5 2

Аналогично случаю ТЕ-поляризации применение к функциям Н", Н'" и 02 формулы Грина с учетом граничных условий приводит к системе уравнений:

(8)

первое из которых является нагруженным интегральным уравнением Фредгольма второго рода относительно - известное падающее поле.

Для решения интегральных уравнений из систем (4) и (8) использовался (МКЭ), в котором при помощи разложения искомого поля по базису интерполирующих функций эти уравнения были сведены к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В качестве системы интерполирующих функций были выбраны кусочно-линейные функции внутри ячеек, полученных при дискретизации области £2,. Геометрически эти функции представимы в виде шестигранной пирамиды с вершиной в точке разложения.

Для случая ТЕ-поляризации падающей волны разложение по базису принимает вид

(9)

где Ст - неизвестные коэффициенты, М— число узлов в области П,.

Подставляя (9) в интегральное уравнение из (4), получаем СЛАУ относительно неизвестных

где

(10)

(И)

Решив систему уравнений (10), получаем комплексные коэффициенты Ст,т = \,М, которые подставляем затем во второе из уравнений (4) для определения поля во внешней области П2:

БГ(^Уп)=Е0г{^Уп)^С„ ■ Ц{к?(х,у)-(12)

п.

Для случая ТМ-поляризации падающей волны СЛАУ имеет вид

(13)

где

(14)

Решив систему уравнений (13) для случая ТМ-поляризации, получаем комплексные коэффициенты Ст,т = \,И, которые подставляются затем во второе из уравнений (8) для определения поля во внешней области П2. СЛАУ (10) и (13) решаются методом Гаусса.

Для демонстрации работоспособности полученного метода расчета 2D поля дифракции электромагнитной волны было проведено сравнение результатов численного моделирования дифракции ТЕ-поляризованной волны на круглом двухслойном диэлектрическом цилиндре с аналитическим решением. На рис.1 показана картина дифракции плоской ТЕ-поляризованной электромагнитной волны с длиной волны Л = 1 мкм на круглом двухслойном диэлектрическом цилиндре с радиусами г, = 0.25 мкм, г2 = 0.5 мкм и диэлектрическими проницаемостями слоев =2.25, 8г =4. Размеры картины составили 3.33x3.33 мкм (200x200 пикс).

На рис. 1.б кривая интенсивности, отображенная черным цветом, соответствует аналитическому решению, кривая серого цвета - разработанному методу. Среднее квадратичное отклонение поля, полученного из (4), от поля, рассчитанного аналитически, по интенсивности составило около 5%.

Рис.1. Дифракция плоской ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на двухслойном диэлектрическом цилиндре. Распределение интенсивности: а) в плоскости ХУ; б) вдоль линии, параллельной оси х и проходящей через точку максимума интенсивности.

Рассмотренный метод расчета дифракции света на объектах микрооптики можно применить не только для непроводящих, но и для проводящих сред. Наличие проводимости можно учесть, введя вместо вещественной диэлектрической проницаемости комплексную (или комплексный показатель преломления). В металлах преобладает мнимая ее часть. При этом волновое число равно

где п — вещественный коэффициент преломления, X - показатель затухания (коэффициент экстинкции).

На рис.2 показана картина дифракции плоской ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на двух пленках из монокристалла

галлия толщиной 0.04 мкм с характеристиками п=3.69; п %=5.43. На выходе по

* о п 2 жп 2л . 2л

к = — =-=—п + 1—п%,

с XX X

(15)

сечению АА была получена интенсивность переотраженной волны, которая также рассчитывалась по формуле

где Л = 0.71- отражательная способность монокристалла галлия.

Из формулы (16) для галлия I = 0,5041. На рис.2.б этой интенсивности соответствует максимум I«0,5. Таким образом, численный результат, полученный с помощью рассмотренного метода, соответствует табличным значениям. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что развитый метод конечных элементов для решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода применим не только к диэлектрическим, но и к проводящим 2D микрообъектам. На основании полученных результатов также сделан вывод о том, что предложенный метод позволяет рассчитывать дифракцию на совокупности объектов, причем для расчета дифракции на нескольких микрообъектах не требуется построения искусственной границы, охватывающей все объекты, а достаточно производить расчет лишь во внутренних областях объектов.

Рис. 2 .Дифракция ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на двух пленках из монокристалла галлия: а) распределение интенсивности в плоскости ХУ; б) интенсивность на выходе по сечению АА (вдоль оси У).

Во второй главе на основе метода разделения переменных развит рекуррентный аналитический метод расчета полей дифракции с ТЕ- и ТМ-поляризацией в случае падения электромагнитной волны на неоднородный круглый диэлектрический бесконечный цилиндр, образующая которого вытянута вдоль оси г, а плоскость (х,у) совпадает с плоскостью падения. Неоднородность цилиндра аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, а круговое сечение цилиндра при этом будет иметь N концентрических колец с постоянными значениями показателя преломления внутри каждого кольца (рис.3).

Для решения задачи требуется решить уравнение Гельмгольца для проекций Ег и Нг. Если поместить центр системы координат {х,у) в центр круглого сечения цилиндра, то задачу можно решать в цилиндрических координатах (г,ф):х = гсозф,>' = г51Пф. Известно, что частными решениями уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах являются цилиндрические функции, поэтому любое решение уравнения Гельмгольца в области переменных где

показатель преломления имеет постоянное значение, можно представить как линейную комбинацию независимых цилиндрических функций.

Рис.3. Многослойный диэлектрический цилиндр

В этом разделе введем обозначение для случая ТЕ-поляризации и

Нг—у/ для ТМ-поляризации.

Амплитуда поля во внутреннем круге (0£г <г,) представляется в виде ряда из функций Бесселя (ряд Рэлея):

(17)

Поле внутри у'-го кольца диэлектрика представляется в виде ряда из функций Бесселя и Неймана:

""" (18)

Амплитуда поля вне цилиндра представляется в виде ряда из функций Ханкеля второго рода, так как они удовлетворяют условию излучения Зоммерфельда:

*Сг = Уч + Т,С111тН{^(кг)со5пк?,

(19)

где г>Я. Здесь считаем, что в свободном пространстве диэлектрическая проницаемость равна единице Ег = 1, а - известная падающая волна. Для произвольной четной относительно оптической оси электромагнитной волны можно записать:

ПМ- ЕИГЯ.Л.^созтр,

(20)

где £)„ - известные коэффициенты.

Вследствие полноты и ортогональности системы функций (дотер в (17)-(20) с использованием граничных условий (3), (7) искомый вектор коэффициентов Ст = {С;Ь11}, к = 1,2Л^ для любого числа т выражается через систему линейных алгебраических уравнений:

Система уравнений размером Шх2И решается для всех т-ых коэффициентов разложения в ряды по цилиндрическим функциям.

По причине разреженности матриц Аи для расчета неизвестных коэффициентов с учетом структуры матриц получены рекуррентные формулы. Число затрачиваемых арифметических действий, требуемых для полученного рекуррентного алгоритма, составило 23М-1З.

Разработанный метод был применен для анализа дифракции на градиентных линзах Лунеберга и Итона-Липмана с радиусами Я =1 мкм. Рисункам 4.в - 6 в соответсвует зависимость показателя преломления от радиальной координаты

'1

4

Г 1 .

Рис4. Дифракция света на внутренней линзе Лунеберга: а) распределение

интенсивности в плоскости ХУ; б) распределение интенсивности вдоль линии,

параллельной оси х и проходящей через точку максимума интенсивности; в)

распределение показателя преломления в зависимости от радиуса. > — -»'■ -->- - .

{ ' ' - ' 1

11. 7»! л. и

Рис.5. Дифракция света на обобщенной линзе Лунеберга: а) распределение интенсивности в плоскости ХУ; б) распределение интенсивности вдоль линии, параллельной оси х и проходящей через точку максимума интенсивности; в) распределение показателя преломления в зависимости от радиуса.

т т-

НИШ

Чу

Рис.6. Дифракция света на линзе Итона-Липмана: а) распределение интенсивности в плоскости ХУ; б) распределение интенсивности вдоль линии, параллельной оси х и проходящей через точку максимума интенсивности; в) распределение показателя преломления в зависимости от радиуса.

Рисункам 4 и 6 соответствует длина падающей плоской волны Л = 1 мкм, рисунку 5 соответствует Л = 0.2 мкм. Фокусное расстояние, предписанное из геометрооптического приближения для внутренней линзы Лунеберга / = 0.4мкм, для обобщенной линзы Лунеберга / = 2 мкм. На основе результатов численного моделирования был сделан вывод, что линзы Лунеберга сохраняют свои свойства фокусировки, а линза Итона-Липмана - свойство отражения, даже при размере радиуса сравнимом с длиной волны света, когда лучевое приближение теряет силу.

В третьей главе рассматривается двумерная обратная задача дифракции в рамках электромагнитной теории: расчет многослойного диэлектрического цилиндра с круглым сечением, фокусирующего падающую плоскую волну в точки с заданным распределением интенсивности. Разработан градиентный алгоритм для поиска оптимального распределения значений показателя преломления по слоям цилиндра и поиска оптимальных радиусов однородных слоев цилиндра. При этом решение обратной задачи основано на решении прямой задачи с помощью метода, описанного во второй главе.

Для поиска оптимальных параметров цилиндра введем функцию ошибки характеризующую отличие рассчитанных значений интенсивности в заданных точках от требуемых значений:

ЗСрЬЕЫ-Л)2. (22)

где р= = ~ набор изменяемых параметров (М -

общее число параметров); - вектор рассчитанных значений

интенсивности; - вектор требуемых значений интенсивности. Пусть общее количество точек, в которых рассчитывается интенсивность -X.

Градиентная процедура минимизации функции ошибки б(р) состоит в итерационной коррекции набора параметров р. Набор параметров на k + 1-ом шаге итерации рассчитывается по методу сопряженного градиента:

где I - шаг градиентного алгоритма;

У5(р ) = .....дбЬ}д6(р)г

функции ошибки по набору параметров.

Производная функции ошибки 5(р) по г-му параметру принимает вид:

Э5(/(р),/,)Э/у(р)

(23)

градиент

др.

-Г

а/у(р) др,

д!,{р) ду/){р) ,д\р,{р)

Ф/

ор,

-Уг

др,

(24)

(25)

Здесь /у(р) И ^(р) - интенсивность и амплитуда поля >ой точке из набора ЛГ

соответственно.

Производная поля по параметру из (25) содержит производные по параметру от коэффициентов

др,

(дВ

Ф> Ф,

(26)

которые находятся из (21).

Для оценки работоспособности метода была исследована задача синтеза кругового цилиндра, фокусирующего в две точки на расстоянии 2 мкм от центра цилиндра. Были выбраны следующие параметры: X = 0.2 мкм - длина падающей плоской электромагнитной ТЕ-поляризованной волны; N = 10 — число слоев цилиндра (все слои равной толщины)^ = 1 мкм - внешний радиус цилиндра.

В качестве начального распределения показателя преломления в слоях цилиндра выбирались значения, следующие из аналитического решения, полученного в рамках геометрической оптики. Картина дифракции на исходном цилиндре и зависимость показателя преломления от радиуса цилиндра показаны на рис.7:

га)

Рис.7, a) 2D распределение интенсивности на области 4х4мкм (400x400 отсчетов); б) сечение по оси Y на расстоянии 2мкм от центра цилиндра (в фокальной плоскости); в) зависимость показателя преломления от радиуса цилиндра

Далее с помощью разработанного градиентного алгоритма происходила коррекция значений показателя преломления в однородных слоях цилиндра с целью повышения интенсивности в фокальных точках.

В результате, за 16 итераций метода удалось повысить значения интенсивности на 10% (рис.8).

___Г', д) * б) ' В)

Рйс.8, a) 2D распределение интенсивности на области 4х4мкм (400х400отсчетов); б) сечение по оси Y на расстоянии 2мкм от центра цилиндра (в фокальной плоскости); в) зависимость показателя преломления от радиуса цилиндра.

Незначительное увеличение интенсивности фокальных точек (на 10% по сравнению с начальным) связано с малым числом степеней свободы (всего 10 слоев) и хорошим начальным приближением, которое следует из геометрооптического решения аналогичной задачи.

Заключение

Основные результаты диссертационной работы.

1. На основе численного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработан метод расчет 2D поля дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных микрообъектах с комплексным показателем преломления произвольной формы и на группах таких объектов. Численно показано, что метод:

1.1. позволяет производить расчет на кусочно-неоднородных объектах (слоистые пленки, двухслойный цилиндр);

1.2. позволяет производить расчет на совокупности объектов без построения искусственного замыкания, охватывающего все объекты (система металлических пленок).

1.3. приводит к результатам, которые согласуются с результатами, полученными другими методами.

2. Разработан рекуррентный метод анализа 2D задачи дифракции произвольной четной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных круглых диэлектрических цилиндрах, показатель преломления которых зависит от радиальной координаты. Метод применен для анализа дифракции на градиентных микролинзах Лунеберга и линзе Итона Липмана. На численных примерах показано, что:

2.1. линзы сохраняют свои свойства фокусировки (для линз Лунеберга) и отражения (для линзы Итона-Липмана) даже при размере радиуса линз сравнимом с длиной волны света, когда лучевое приближение теряет силу;

2.2. разработанный метод позволяет производить расчет дифракции для произвольной падающей четной электромагнитной волны (дифракция гауссова пучка на линзе Итона-Липмана).

3. На основе полученного рекуррентного метода расчета поля дифракции электромагнитной волны на многослойном диэлектрическом цилиндре разработан градиентный метод оптимизации для синтеза неоднородных круглых диэлектрических цилиндров с зависимостью показателя преломления от радиальной координаты.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Kotlyar V.V., Lichmanov MA Analysis of light diffraction by micro-optics using finite elements method // Optical Memory and Neural Network. - 2001. -Vol. 10. - No.4. - P.257-265.

2. Kotlyar V.V., Lichmanov M.A. Analysis of the electromagnetic wave diffraction by 2D micro-optics objects using the decomposition in terms of cylindrical fonctions // Proceedings of SPIE. - 2003. - Vol.5067. - P. 14-21.

«-98 04

3. Kotlyar V.V., Lichmanov M.A. Diffraction of a plane electromagnetic wave by a gradient-index dielectric micro-cylinder // In Book "Perspectives in Engineering Optics", Ed. by K.Singh, V.K.Rastogi, Anita Publications, Delhi, 2003.-P.38-46.

4. Kotlyar V.V., Lichmanov M.A. Numerical simulation of plane wave diffraction by microobjects // Proceedings of SPIE. - 2002. - Vol.4705. - P.56-64.

5. Котляр В.В., Личманов М.А. Анализ дифракции света на микрообъектах с помощью решения интегрального уравнения методом конечных элементов // Компьютерная оптика. - 2001. - № 21. - С. 19-22.

6. Котляр В.В., Личманов М.А. Анализ дифракции электромагнитной волны на круглом бесконечном цилиндре с несколькими однородными слоями // Компьютерная оптика. - 2002. - № 24. - С.26-32.

7. Котляр В. В., Личманов М. А. Дифракция плоской электромагнитной волны на градиентном оптическом элементе с поперечной цилиндрической симметрией // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, Самара, ПТАХИ, т.5, №4,2002. - С.37-43.

8. Котляр В.В., Личманов М.А Численное моделирование дифракции электромагнитной волны на микрооптике // Труды конференции "Математическое моделирование ММ-2001", Самара. — 2001. С.63-64.

9. Котляр В.В., Личманов М.А Градиентный метод синтеза многослойного круглого диэлектрического цилиндра // Компьютерная оптика. - 2003. -№25.-С.16-20.

Подписано в печать 23.04.2004. Формат 60x84 1/16. Тираж 100 экз. Отпечатано с готовых оригинал-макетов

в типографии СГАУ 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА НЕОДНОРОДНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ОБЪЕКТЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ.

1.1. Получение интегральных уравнений.

1.1.1. ТЕ-поляризация.

1.1.2. ТМ-поляризация.

1.2. Метод конечных элементов решения интегрального уравнения.

1.3. Численная реализация метода и результаты анализа.

1.3.1. Сходимость приближенного решения.

1.3.2. Сравнение приближенного решения с решением, полученным гибридным методом.

1.3.3. Дифракция света на цилиндрических микролинзах.

1.3.4. Дифракция света на микрообъектах с кусочно-однородным показателем преломления.

1.3.5. Дифракция света на совокупности нескольких микрообъектов.

1.3.6. Дифракция света на металлических пленках.

1.4. Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА КРУГОВЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ГРАДИЕНТНЫХ ЦИЛИНДРАХ.

2.1. Решение задачи дифракции произвольной волны на круглом многослойном диэлектрическом цилиндре методом разделения переменных.

2.1.1. ТЕ-поляризация.

2.1.2. ТМ-поляризация.

2.1.3. Рекуррентные соотношения для неизвестных коэффициентов.

2.2. Аналитическое решение для двухслойного цилиндра.

2.2.1. ТЕ-поляризация.

2.2.2. ТМ-поляризация.

2.3. Анализ численных результатов.

2.3.1. Дифракция электромагнитной волны на внутренней линзе Лунеберга.

2.3.2. Дифракция электромагнитной волны на обобщенной линзе Лунеберга.

2.3.3. Дифракция электромагнитной волны на линзе Итона-Липмана.

2.4. Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА МНОГОСЛОЙНОГО КРУГЛОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА.

3.1. Метод оптимизации параметров многослойного цилиндра.

3.2. Численные результаты.

3.3. Выводы по главе 3.

Новейшие технологические достижения позволяют миниатюризировать оптические и дифракционные устройства до размеров порядка длины волны света. Такие элементы могут быть использованы в оптоэлектронике, оптических компьютерах и волоконной оптике, а также в голографии, спектроскопии и интерферометрии. Существует много практических приложений для этих устройств, например, дифракционные решетки для формирования волнового фронта и преобразования поляризации падающей волны [35, 50, 64, 67], зонные пластины Френеля [33], аэрозоли [43, 66], нанолитография [6], волноводы [10, 13, 59, 62], сканирующие микроскопы ближнего поля [26, 61], дифракционные микролинзы [35, 36, 37] и т.д. Точное моделирование этих устройств требует решения электромагнитных уравнений, что придает особое значение развитию численных методов по решению уравнений Максвелла. Эти численные методы могут быть полезны для более качественного изготовления данных устройств (например, микрополостных полупроводниковых лазеров [63]) или для оптимизации конструкции новых устройств (например, фотонных кристаллов [42, 56]).

Основная часть численных методов решения задач дифракции могут классифицироваться как лучевые [22], дискретных источников [6], разностные [45, 67, 96], дифференциальные [52], вариационные [33, 92], интегральные [25, 28]. Для дифракционных решеток некоторые из наиболее широко известных дифференциальных и интегральных методов описаны в [50], а метод связанных волн рассмотрен в [9, 46, 58]. Для решения задач дифракции света на телах простых форм применимы аналитические методы [29,34, 78].

Одним из методов, используемых для решения уравнений, описывающих распространение света, является метод граничных элементов (МГЭ) [4, 10]. Чаще всего он применяется для решения задач дифракции на таких периодических структурах, как дифракционные решетки [4] и субволновые дифракционные микролинзы [37, 38]. Это обусловлено тем, что для его реализации необходимо учитывать форму профиля рассеивателя, по которой ведется интегрирование. В [53] МГЭ использован при расчете дифракционных линз, интегрируемых с инфракрасными фотодетекторами. Заметим, что МГЭ не позволяет анализировать неоднородные объекты.

Для решения задач дифракции на непериодических структурах используют метод конечных элементов (МКЭ), основанный на разложения светового поля по базису заданных интерполирующих функций [11, 48]. В [51] при помощи МКЭ, записанного в вариационной постановке Галеркина, решается задача трехмерного (ЗБ) моделирования томографии гемоглобина в ближней инфракрасной части спектра. Проблемой для МКЭ является постановка граничных условий для световых полей, уходящих на бесконечность.

В [44] описана комбинация МКЭ и МГЭ - гибридный метод конечных элементов - граничных элементов (МКГЭ). Этот метод, сформулированный через вариационный метод Ритца, использует МКЭ для решения волнового уравнения во внутренней части объекта, в то время как на искусственной границе, охватывающей элемент, используется МГЭ. В результате произведенной комбинации двух методов результирующая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), к которой сводится задача, имеет блочную трехдиагональную матрицу, что значительно сокращает вычислительные затраты по сравнению с другими интегральными методами [76].

К распространенным методам анализа дифракции относятся также дифференциальные методы. В [52] описано применение классического метода к фотонным кристаллам. Метод позволяет провести искусственную границу, даже если она пересекает физические границы объекта. Однако при этом ухудшается сходимость метода для ТМ-поляризации для идеально проводящих объектов. К дифференциальным методам также можно отнести метод мульти-полей [6], с помощью которого исследуют дифракцию на субволновых решетках и интерференцию затухающего дифрагированного ближнего поля.

Разностные методы основаны на приближенном решении исходного волнового уравнения с помощью разностных схем. Одним из распространенных методов, используемых для решения временных задач, является конечно-разностный метод временной области [12, 15]. В [57] для того чтобы уменьшить вычислительные затраты, связанные с необходимостью расчета поля на границе дифракционного оптического элемента (ДОЭ) рассматривается модификация, использующая неоднородную сетку дискретизации. В [55] описана модификация метода для осесимметричных ДОЭ (в [54] рассматривается косое падение волны), которая позволяет проводить анализ дифракции на структурах, размеры которых порядка 10000 длин падающей волны. Метод нашел применение в решении задачи рассеяния на аэрозолях [66], несферических частицах в поглощающей диэлектрической среде [60]. В [65] решена ЗЭ задача моделирования изображения объекта при помощи сканирующего ближнее поле оптического микроскопа. В [45] ЗЭ метод был применен к субволновым ДОЭ. Недостатком метода является то, что все структуры должны согласовываться с декартовой сеткой (все кривые поверхности должны быть ступенчато аппроксимированы), в связи с чем становится возможным появление ошибок в результатах. Здесь также возникает проблема поиска оптимальных поглощающих граничных условий [16, 21, 23], которые, как правило, генерируют отраженные поля, что, в свою очередь, может являться причиной возможных ошибок в расчетах. В [5] данная проблема решается введением идеально согласованного слоя.

Большой интерес представляют методы интегральных уравнений [40, 79], которые позволяют решать неограниченные полевые задачи, так как условие Зоммерфельда безусловно удовлетворяется в формулировке задачи [14, 32]. В [61] при помощи интегральных уравнений решена специальная задача дифракции ТМ-поляризованной электромагнитной волны на металлопокрытых диэлектрических образцах. Такая задача возникает при компьютерном моделировании двухмерной оптики ближнего поля (сканирующий микроскоп ближнего поля). В [49] решается ЗЭ векторная задача дифракции электромагнитного поля на телах, включенных в слоистую среду. Использование здесь интегрального уравнения позволило ввести дискретизацию только для рассеивателей. Кроме того, за счет введения тензора Грина автоматически удовлетворились граничные условия.

Несмотря на стремительное развитие численных методов решения задач дифракции, недостаточно внимания уделяется изучению полей дифракции, когда рассеиватель (или даже группа рассеивателей) имеет неоднородную структуру. Поэтому является актуальным исследование прохождения электромагнитной волны через неоднородные объекты. Для подобных объектов, представляющих собой в общем случае многосвязную область с произвольной неоднородной структурой, имеющей комплексный показатель преломления, наиболее подходит метод интегрального уравнения Фредгольма второго рода [28]. Для ТМ-поляризации задача сводится к нагруженному интегральному уравнению из-за появления интеграла по контуру 2Т> объекта. Поэтому актуальной является разработка методов решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода для задач дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной волны на неоднородных многосвязных цилиндрических диэлектрических объектах, размер которых сравним с длиной волны света.

Большинство численных методов анализа дифракции электромагнитных полей являются энергоемкими в плане затрат на вычисления. Например, интегральные методы имеют заполненные матрицы большого порядка, что ограничивает их практическое применение. С другой стороны, есть класс объектов, обладающих некоторой симметрией, для которых получены аналитические решения задач дифракции в виде бесконечных рядов. К ним относятся однородные [8, 71] и многослойные круговые диэлектрические [24, 41] и киральные [27] цилиндры, слоистые пленки [64], металлические сферы [7], фотонные кристаллы [56], аэрозоли [77]. При изучении дифракции электромагнитной волны на цилиндрических объектах, как правило, интересуются свойствами рассеянного поля в дальней зоне. Поэтому обычно рассматривают дифракцию плоской волны. Для задач микрооптики актуальным является анализ дифракции сходящихся электромагнитных волн (например, непараксиального гауссова пучка) на микронеоднородностях, поэтому является актуальной разработка метода дифракции произвольной электромагнитной волны на двумерных многослойных цилиндрах.

Примером цилиндрического градиентного оптического элемента является линза Лунеберга [39, 73], которая, как правило анализируется методом геометрической оптики. Интересным является строгий анализ дифракции электромагнитной волны на многослойном круглом цилиндре Лунеберга, размер которого сравним с длиной волны.

Вследствие того, что технология позволяет изготовлять такие объекты, как круговые цилиндры (по технологии оптических градиентных волокон), актуальна разработка метода их синтеза. Известны методы оптимизации микрорельеф дифракционных решеток [89], бинарной микрооптики [47, 53]. Но, как правило, эти методы применяются для расчета рельефа однородных объектов. Актуальной является разработка метода оптимизации параметров неоднородных объектов, например, расчет распределения показателя преломления по слоям диэлектрического многослойного кругового цилиндра, формирующего заданное поле дифракции.

Таким образом, целью работы является расчет поля дифракции произвольной электромагнитной волны на двумерных неоднородных объектах микрооптики и синтез неоднородных объектов микрооптики, формирующих заданное распределение поля дифракции.

В соответствие с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

• разработка метода расчета поля дифракции на основе решения интегрального уравнения для 2Б задачи дифракции произвольной электромагнитной волны на неоднородном микрообъекте с комплексным показателем преломления;

• разработка метода расчета 20 поля дифракции произвольной четной электромагнитной волны на неоднородных круглых диэлектрических микрообъектах на основе аналитического представления поля в виде ряда по цилиндрическим функциям;

• разработка градиентного метода оптимизации для синтеза неоднородных объектов микрооптики на основе разработанного метода решения прямой задачи дифракции произвольной четной электромагнитной волны на неоднородном круглом диэлектрическом цилиндре.

Научная новизна работы состоит в следующем:

• На основе решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработан метод расчета поля дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных микрообъектах произвольной формы с комплексным показателем преломления и на группах таких объектов.

• Разработан рекуррентный метод расчета поля дифракции произвольной четной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных круглых диэлектрических цилиндрах, показатель преломления которых зависит от радиальной координаты. Метод применен для анализа дифракции на градиентных микролинзах Лунеберга и линзе Итона-Липмана. На численных примерах показано, что линзы сохраняют свои свойства фокусировки (для линз Лунеберга) и отражения (для линзы

Итона-Липмана) даже при размере радиуса линз сравнимом с длиной волны света, когда лучевое приближение теряет силу.

• На основе полученного рекуррентного метода разработан градиентный метод оптимизации зависимости показателя преломления от радиальной координаты для синтеза неоднородных круглых диэлектрических цилиндров.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

• Метод расчета поля дифракции на основе решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода с использованием метода конечных элементов для 2Б задачи дифракции ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных микрообъектах с комплексным показателем преломления произвольной формы и группах таких объектов.

• Рекуррентный метод расчета поля дифракции ТЕ-/ТМ-поляризованной волны для 2Т) задачи дифракции электромагнитной волны на многослойных диэлектрических круглых цилиндрах, показатель преломления которых зависит от радиальной координаты.

• Градиентный метод оптимизации зависимости показателя преломления от радиальной координаты для синтеза неоднородных диэлектрических круглых цилиндров, размер которых сравним с длиной волны света.

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

• международная конференция "Математическое моделирование ММ-2001", г. Самара (2001г.);

• международная школа молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике, г. Саратов (2001г.);

• международная школа молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике, г. Саратов (2002г.);

• 2-ая международная научно-техническая конференция "Физика и технические приложения волновых процессов", г. Самара (2003г.).

Публикации

По результатам диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ, в том числе 6 статей и 3 публикации в сборниках трудов международных конференций.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (96 наименований), изложенных на 108 страницах, содержит 30 рисунков.

3.1 Выводы по главе 3

В этой главе разработан градиентный метод расчета многослойного диэлектрического цилиндра с круглым сечением, фокусирующего произвольную электромагнитную волну в точки с заданным распределением интенсивности.

Метод применен для расчета 10-слойного цилиндра, формирующего две фокальные точки, и радиус цилиндра сравним с длиной волны света. Незначительное увеличение интенсивности фокальных точек (на 10% по сравнению с начальным) связано с малым числом степеней свободы (всего 10 слоев) и хорошим начальным приближением, которое следует из геометрооптического решения аналогичной задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные научные результаты.

1. На основе численного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработан метод расчета 20 поля дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородном микрообъекте с комплексным показателем преломления произвольной формы и на группе таких объектов. Численно показано, что метод:

1.1. позволяет производить расчет на кусочно-неоднородных объектах (слоистые пленки);

1.2. позволяет производить расчет на совокупности объектов без построения искусственного замыкания, охватывающего все объекты (система металлических пленок).

1.3. Показано, что результаты, полученные при помощи разработанного метода, согласуются с результатами, полученными другими методами (Котляр В.В, Нестеренко Д.В., Личманов М.А.).

2. Разработан рекуррентный метод расчета 2Т) поля дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородном круглом диэлектрическом цилиндре, показатель преломления которого зависит от радиальной координаты.

2.1. Метод применен для анализа дифракции на градиентных микролинзах Лунеберга и линзе Итона-Липмана.

2.2. На численных примерах показано, что: линзы сохраняют свои свойства фокусировки (для линз Лунеберга) и отражения (для линзы Итона-Липмана) даже при размере радиуса линз сравнимом с длиной волны света, когда лучевое приближение теряет силу;

2.3. разработанный метод позволяет производить расчет дифракции для произвольной падающей четной электромагнитной волны (дифракция гауссова пучка на линзе Итона-Липмана). 3. На основе полученного рекуррентного метода разработан градиентный метод оптимизации для синтеза неоднородных круглых диэлектрических цилиндров с зависимостью показателя преломления от радиальной координаты.

1. Arias-Gonzalez J.R., Nieto-Vesperinas М. Resonant near-field eigenmodes of nanocylinders on flat surfaces under both homogeneous and inhomogeneous lightwave excitation // Journal of Optical Society of America. 2001. — Vol.18,1. No.3. — P.657-665.

2. Barton J.P. Electromagnetic field calculations for an irregularly shaped, near-spheroidal particle with arbitrary illumination // Journal of the Optical Society of America. 2002. - Vol.19. - No. 12. - P.2429-2435.

3. Bayliss A., Turkel E. Radiation boundary conditions for wave like equations // Commun. Pure Appl. Math. 1980. - No.33. - P.707-725.

4. Bendickson J.M., Glytsis E.N., Gaylord Т.К., Peterson A.F. Modeling considerations for rigorous boundary element method analysis of diffractive optical elements // Journal of the Optical Society of America. — 2001. — Vol.18,1. No.7. — P.1495-1506.

5. Berenger J.-P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // Journal of Computational Physics. 1994. -No.l 14. - P. 185-200.

6. Blaikie R.J., McNab S.J. Evanescent interferometric lithography // Applied Optics. 2001. - Vol.40. - No. 10. - P. 1692-1698.

7. Bohren C.F. Light scattering by an optically active sphere // Chem. Phys. Letters. 1974. - Vol.29. - No.3. - P.458-462.

8. Bohren C.F. Scattering of electromagnetic waves by an optically active cylinder //Journal Colloid Interface Science. 1978. - Vol.66. - No.l. -P.105-109.

9. Chang N.Y., Kuo C.J. Algorithm based on rigorous coupled-wave analysis for diffractive optical element design // Journal of the Optical Society of America. — 2001. Vol. 18. - No. 10. - P.2491-2501.

10. Chien D.N., Tanaka M., Tanaka K. Numerical simulation of an arbitrarily ended asymmetrical slab waveguide by guided-mode extracted integral equations //

11. Journal of the Optical Society of America. 2002. - Vol.19, -No.8. - P.1649-1657.

12. Conese T., Barbarossa G., Armenise M.N. Vectoral finite element analysis of vertical coupling between D-fiber and buried optical channel waveguide // Optical Engineering. 1995. - Vol.34. - No.6. - P. 1689-1696.

13. De Flaviis F., Noro M.G., Diaz R.E., Franceschetti G., Alexopoulos N.G. A time-domain vector potantial formulation for the solution of electromagnetic problems // IEEE Microwave and Guided Wave Letters. 1998. - Vol.8. - No.9.1. P.310-312.

14. Dinesen P.G., Hesthaven J.S. Fast and accurate modeling of waveguide grating couplers. II. Three-dimensional vectoral case // Journal of the Optical Society of America. 2001. - Vol.18. - No. 11. - P.2876-2885.

15. Dong B.-Z., Liu J., Gu B.-Y., Yang G.-Z., Wang J. Rigorous electromagnetic analysis of a microcylindrical axilens with long focal depth and high transverse resolution // Journal of the Optical Society of America. 2001. - Vol.18. -No.7. — P. 1465-1470.

16. Dou W.B., Yung E.K.N. Diffraction of an electromagnetic beam by an aperture in a conducting screen // Journal of the Optical Society of America. — 2001. — Vol.l8.-No.4.-P.801-806.

17. Engquist B., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves // Math. Comput. 1994. - No.31. - P.629-651.

18. Farafonov V.G., II'in V.B., Henning T. A new solution of the light scattering problem for axisymmetric particles // Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. 1999. -No.63. - P.205-215.

19. Farafonov V.G., Il'in V.B., Prokopjeva M.S. Light scattering by multilayered nonspherical particles: a set of methods // Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. 2003. - Vol.79. - No.80. - P.599-626.

20. Flores J.R. Gradient-index with spherical symmetry // Journal of Modern Optics.- 1999. Vol.46. - No. 11. - P. 1513-1525.

21. Flores J.R. Spherically symmetric GRIN amplitude formers // Journal of Modern Optics. 2001. - Vol.48. - No.7. - P. 1225-1238.

22. Galdi V., Pinto I.M. SDRA approach for higher-order impedance boundary conditions for complex multy-layer coatings on curved conducting bodies // Progress In Electromagnetics Research. — 1999. — No.24. — P.311-335.

23. Gordon J.M. Spherical gradient-index lenses as perfect imaging and maximum power transfer devices // Applied Optics. 2000. - Vol.39. - No.22. - P.3825-3832.

24. Higdon R.L. Absorbing boundary conditions for difference approximations to the multidimentional wave equation // Math. Comput. — 1986. -No.47. P.437-459.

25. Jones D.S. The theory of electromagnetics. New York: Macmillan, 1964. -375P.

26. Kiguchi M., Kato M., Shimano T., Umeda M., Nakamura S., Nishi Y., Igai M.,Yamada S. Dependence on the sample width of signals from a near-field optical microscope // Applied Optics. 2001. - Vol.40. - No.22. - P.3684-3687.

27. Leone G., Brancaccio A., Pierri R. Quadratic distorted approximation for the inverse scattering of dielectric cylinders // Journal of the Optical Society of America. -2001. Vol.18, -No.3. - P.600-609.

28. Lichtenberg B., Gallagher N. Numerical modeling of diffractive devices using the finite element method // Optical Engineering. — 1994. Vol.33. — No.ll. — P.3518-3526.

29. Li L. Fourier modal method for crossed anisothopic gratings with arbitrary permittivity and permeability tensors // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. 2003. -No.5. - P.345-355.

30. Lin C.-H., Leung K.M., Tamir T. Modal transmission-line theory of three-dimensional periodic structures with arbitrary lattice configurations // Journal of the Optical Society of America. 2002. - Vol.19, - No. 10. - P.2005-2017.

31. Liu H., Yan Y., Yi D., Jin G. Theories for the design of a hybrid refractive-diffractive superresolution lens with high numerical aperture // Journal of the Optical Society of America. 2003. - Vol.20. - No.5. - P.913-924.

32. Liu J., Dong B.-Z., Gu B.-Y., Yang G.-Z. Entirely electromagnetic analysis of microlenses without a beam-shaping aperture // Applied Optics. — 2001. — Vol.40. No. 10. - P. 1686-1691.

33. Liu J., Gu B.-Y., Dong B.-Z., Yang G.-Z. Interference effect of dual diffractiveAcylindrical microlenses analysed by rigorous electromagnetic theory // Journal of Optical Society of America. 2001. - Vol.18, - No.3. - P.526-536.

34. Luneberg R.K. Mathematical theory of optics — Brown U. Press, Providence, R.I., 1944. -477P.

35. Manickavasagam S., Menguc M.P. Scattering matrix elements of coated infinite-length cylinders // Applied Optics. 1998. - Vol.37. -No.12. -P.2473-2482.

36. Maksimova I.L. Effects of spatial correlation of optical fields scattered by densely packed systems // Proceedings of SPIE. 2001. - Vol.4242. - P.91 -99.

37. Menguc M.P. Characterization of fine particles via elliptically-polarized light scattering // Purdue Heat Transfer Celebration. 2003. - West Lafayette, IN. — 7p.

38. Mirotznik M.S., Prather D.W., Mait J.N. A hybrid finite element-boundary element method for the analysis of diffractive elements // Journal of Modern Optics.- 1996.-Vol.43.-No.7.-P. 1309-1321.

39. Mirotznik M.S., Prather D.W., Mait J.N., Beck W.A., Shi S., Gao X. Three-dimentional analysis of subwavelength diffractive optical elements with the finite-difference time-domain method // Applied Optics. 2000. - Vol.39. — No. 17. — P.2871-2880.

40. Moharam M.G., Gaylord T.K. Rigorous coupled-wave analysis of planar-grating diffraction // Journal of Optical Society of America. — 1981. — No.71. — P.811-818.

41. Nesterenko D.V. , Kotlyar V.V. Design of subwavelength binary microoptics using a gradient optimization method // Proceedings of SPIE. — 2001. — Vol.4436. -P.171-178.

42. Nesterenko D.V., Kotlyar V.V., Wang Y. Modeling the light diffraction by micro-optics elements using the finite element method // Computer Optics. — 1999. — No.19.-P.40-43.

43. Paulus M. Light propagation and scattering in stratified media: a Green's tensor approach // Journal of Optical Society of America. 2001. - Vol.18, — No.4. — P.854-861.

44. Petit R. Electromagnetic theory of gratings. Berlin: Springer-Verlag, 1980.

45. Popov E., Bozhkov B. Differential method applied for photonic crystals // Applied Optics. 2000. - Vol.39. - No.27. - P.492o-4932.

46. Prather D.W. Design and application of subwavelength diffractive lenses for integration with infrared photodetectors // Optical Engineering. 1999. — Vol.38. - No.5. - P.870-878.

47. Prather D.W., Shi S. Electromagnetic analysis of axially symmetric diffractive optical elements illuminated by oblique incident plane waves // Journal of the Optical Society of America. 2001. - Vol.18. - No. 11. - P.2901-2907.

48. Prather D.W., Shi S. Formulation and application of the dinite-difference timedomain method for the analysis of axially symmetric diffractive optical elements // Journal of the Optical Society of America. 1999. - Vol.16. -No.5. - P.l 1311142.

49. Sharkawy A., Shi S., Prather D.W. Multichannel wavelength division multiplexing with photonic crystals // Applied Optics. — 2001. Vol.40. — No. 11. — P.2247-2252.

50. Shi S., Tao X., Yang L., Prather D.W. Analysis of diffractive optical elements using a nonuniform finite-difference time-domain method // Optical Engineering. 2001. - Vol.40. - No.4. - P.503-510.

51. Silberstein E., Lalanne P., Hugonin J.-P., Cao Q. Use of grating theories in integrated optics // Journal of the Optical Society of America. — 2001. Vol.18. — No. 11. — P.2865-2875.

52. Soller B.J., Hall D.G. Energy transfer at optical frequencies to silicon-based waveguiding structures // Journal of the Optical Society of America. 2001. — Vol.18. - No. 10. - P.2577-2584.

53. Sun W., Loeb N.G., Fu Q. Finite-difference time-domain solution of light scattering and absorption by particles in an absorbing medium // Applied Optics. 2002. - Vol.41. - No.27. - P.5728-5743.

54. Tanaka M., Tanaka K. Computer simulation for two-dimensional near-field optics with use of a metal-coated dielectric probe // Journal of Optical Society of America. 2001. - Vol. 18. - No.4. - P.919-925.

55. Tervonen A. Computer-aided design system for optical waveguide devices // Optical Engineering. 1995. - Vol.34. -No.9. - P.2543-2550.

56. Tureci H.E., Stone A.D. Deviation from Snell's law for beams transmitted near the critical angle: application to microcavity lasers // Optics Letters. — 2002. — Vol.27.-No. 1.-P.7-9.

57. Vallius T. Comparing the Fourier modal method with the C method: analysis of conducting multilevel gratings in TM polarization // Journal of the Optical Society of America. -2002. Vol.19. -No.8. - P. 1555-1562.

58. Vasilyeva E., Taflove A. Three-dimentional modeling of amplitude-object imaging in scanning near-field optical microscopy // Optics Letters. — 1998. — Vol.23. No. 15. - P.l 155-1157.

59. Yang P., Liou K.N., Mishchenko M.I., Gao B.-C. Efficient finite-difference time-domain scheme for light scattering by dielectric particles: application to aerosols // Applied Optics. 2000. - Vol.39. - No.21. - P.3727-3737.

60. Wu S.-D., Glytsis E.N. Finite-number-of-periods holographic gratings with finite-width incident beams: analysis using the finite-difference frequency-domain method // Journal of the Optical Society of America. — 2002. Vol.19. — No. 10.-P.2018-2029.

61. Zhang M., Yeo T.S., Li.L.W., Leong M.S. Electromagnetic scattering by a multilayer gyrotropic bianisotropic circular cylinder // Progress In Electromagnetics Research. 2003. - No.40. - P.91-111.

62. Борн M., Вольф Э. Основы оптики: пер. с англ. — М.: Наука, 1973. 720 с.

63. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВУЗов. — М.: Наука, 1981. 720 с.

64. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. — М.: Наука, 1982.-272 с.

65. Волков Е.А. Численные методы. — М.: Наука, 1987. 248 с.

66. Зелкин Е.Г., Петрова P.A. Линзовые антенны. — М.: Сов.радио, 1971.

67. Захаров Е.В. К дифракции плоского электромагнитного поля на однородном цилиндрическом теле, погруженном в слоистую среду // Изв. АН СССР, Физика земли. 1969. - №1. - С.57-62.

68. Захаров Е.В., Еремин Ю.А. О методе решения осесимметричных задач дифракции электромагнитных волн на телах вращения // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1979. — Т. 19, №5. — С.1344-1348.

69. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. — М.: Высшая школа, 1991. — 223 с.

70. Козлов И.П. Дифракция электромагнитных волн на двух шарах // Радиотехника и электроника. — 2001. Т.46, № 2. - С.180-185.

71. Козлов И.П. Дифракция электромагнитных волн на двух шарах в приложении к проектированию антенн космических аппаратов // Письма в ЖТФ. 2003. - Т.29, вып.7. - С. 18-26.

72. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния: пер. с англ. М.: Мир, 1987. — 311 с.

73. Котляр В.В., Мелехин A.C. Преобразование Абеля для расчета градиентных оптических элементов со сферически-симметричным распределением показателя преломления // Компьютерная оптика. — 2002. — №24. — С.48-52.

74. Котляр В.В., Мелехин A.C. Преобразование Абеля в задачах синтеза градиентных оптических элементов // Компьютерная оптика. — 2001. — №22. С.29-36.

75. Котляр В.В., Нестеренко Д.В. Анализ задачи дифракции света на микрооптике гибридным методом конечных элементов — граничных элементов // Компьютерная оптика. — 2000. — № 20. С. 10-14.

76. Методы компьютерной оптики // Под ред. В.А. Сойфера. — М.: Физматлит, 2000.-688 с.

77. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981. — 342с.

78. Неганов В.А., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Линейная макроскопическая электродинамика. — М.: Радио и связь, 2000. — Т. 1.- 509 с.

79. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. -М.: Мир, 1989.-192 с.

80. Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Портро П. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения. — М.: Мир, 1989. — 662 с.

81. Справочник по специальным функциям // Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

82. Anyutin А.Р., Stasevich V.I. Scattering by a multilayer cylindrical structure // http://at.yorku.ca/cgi-bin/amca/cacu-75.

83. Головашкин Д.Л., Казанский Н.Л., Сафина B.H. Применение метода конечных разностей для решения задачи дифракции Н-волны на двумерных диэлектрических решетках // Компьютерная оптика. — 2003. — № 25. С.36-40.