Расчет дифракции лазерного излучения на оптическом микрорельефе методом разностного решения уравнений Максвелла тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ГОЛОВАШКИН Димитрий Львович

РАСЧЕТ ДИФРАКЦИИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА ОПТИЧЕСКОМ МИКРОРЕЛЬЕФЕ МЕТОДОМ РАЗНОСТНОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Специальность 01.04.05 - Оптика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Самара 2007

003066548

Работа выполнена в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С П Королева и Институте систем обработки изображений Российской академии наук

Научный консультант доктор технических наук, член-корреспондент РАН

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, директор центра оптико-нейронных технологий научно-исследовательского ин-с плуга системных исследований РАН

докмр физико-математических наук, профессор,

декан физического факультета Самарского государственного университета

доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой автоматических систем управления на транспорте Пензенского государственного университета архитектуры и строительства

Ведущая организация Самарский филиал Физического Института имени ПН Лебедева РАН

Защита состоится "2" ноября 2007г в 10 часов на заседании диссертационного совета Д21221501 в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С П Королева по адресу 443086, Самара, Московское шоссе, 34

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Автореферат разослан "¡4" 2007 г

Ученый секретарь

Сойфер В А

Крыжановский Б В

Ивахник В В

Степанов С А

диссертационного совета, профессор

В Г Шахов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена решению задачи дифракции лазерного излучения на элементах микрооптики, основанному на разностных схемах для уравнений Максвелла, декомпозиции сеточной области, реализации параллельных вычислений и исследованию на этой основе алмазных поликристаллических дифракционных оптических элементов (ДОЭ) и дифракционных решеток на торце волновода

Актуальность темы.

Дифракционная компьютерная оптика развивается более 25 лет, начиная с основополагающих работ А М Прохорова, И Н Сисакяна и ВА. Сойфера. За прошедшие годы решены фундаментальные задачи фокусировки и селекции мод лазерного излучения, формирования бездифракционных пучков и т.п. Созданные ДОЭ нашли широкое применение в лазерных технологических установках, оптических приборах и устройствах хранения и поиска информации Количество публикаций по данной тематике отечественных и зарубежных авторов к настоящему времени весьма велико и продолжает бурно расти В силу этого тематика работы является актуальной в широком смысле.

Необходимо отметить тенденции к миниатюризации ДОЭ и их интеграции с другими оптическими или электронными компонентами различных устройств Кроме улучшения массогабаритных характеристик, миниатюризация позволяет использовать для изготовления ДОЭ материалы, применение которых при производстве элементов рефракционной оптики либо невозможно, либо связано со значительными техническими трудностями и финансовыми затратами Миниатюризация приводит к уменьшению линейных размеров зон Френеля на ДОЭ и выдвигает соответствующее требование субволнового разрешения технологических установок, применяемых для их создания При этом методы расчета, основанные на геометрическом и скалярном приближениях, становятся неадекватными, что приводит к постановке задачи решения уравнений Максвелла в векторной форме и обусловливает актуальность основного направления данной работы - расчета дифракции лазерного излучения в рамках строгой электромагнитной теории В частности, дифракции на алмазных поликристаллических пленках (впервые примененных в 1999 году Коновым В И, Кононенко В.В, Па-вельевым ВС н Сойфером В А. для формирования ДОЭ) с нанесенным субволновым микрорельефом.

Интеграция элементов микрооптики открывает широкие возможности для создания гибридных оптических структур, сочетающих достоинства ДОЭ и элементов традиционной оптики. Примером тому может служить формирование фо-кусатора в прямоугольник на торце кварцевого волновода (РгавсЫи М., Со]ос Э, СаЬпш Э и др, 2003 г ) С развитием исследований в данном направлении связано нанесение светоделительной дифракционной решетки на торец галогенидного ИК-волновода, произведенное в 2005 году Волковым А В, Павельевым В С и Моисеевым О Ю Совмещение ДОЭ и волновода позволяет снизить потери на френелевское отражение (показатель преломления материала волновода п=2,15) и избежать юстировки объединенной оптической системы Следовательно, акту-

ально изучение распространения света через дифракционную решетку, сформированную на торце галогенидного ИК-волновода - также требующее применения строгой теории дифракции в силу субволнового профиля решетки

Развитие микротехнологии позволяет создавать ДОЭ технологическими автоматами с субволновым разрешением Однако, несовершенства технологий приводят к отклонению получаемых характеристик дифракционного микрорельефа от расчетных Учетом влияния технологических погрешностей изготовления на работу дифракционных микролинз и бинарных решеток из оптического стекла (п=1,5) занимались Волков А В , Скиданов РВ , 2000, Скиданов РВ, Хонина С.Н, 2004, Досколович Л Л., Тявин Б В 2005 г, оставаясь, однако, в рамках геометрической и скалярной оптики

Метод абляции, применяемый для формирования микрорельефа на поликристаллических алмазных пленках, характеризуется наличием технологических погрешностей на стыке элементарных областей микроструктурирования, имеющих субволновые линейные размеры Изучение влияния таких погрешностей на формирование дифракционной картины за оптическим элементом ранее не проводилось, что делает эту задачу актуальной

Нанесение светоделительной дифракционной решетки на торец галогенидного ИК-волокна сопровождается изготовлением матрицы решетки посредством химического травления и штамповкой рельефа Каждому технологическому этапу присущи свои погрешности, влияющие на работу дифракционной решетки, которые ранее не исследовались

Обобщая сказанное и обращаясь к главной части разрабатываемого метода решения уравнений Максвелла, подчеркнем фундаментальность используемой модели, применение которой лежит в основе решения многих перспективных задач лазерной оптики.

Появившись в середине прошлого века (G Сгоп, 1944 год), разностный метод решения уравнений Максвелла прошел несколько стадий развития Ранее всего (S.K Yee 1966 год) были записаны разностные уравнения, обладающие высокими порядками аппроксимации исходной дифференциальной задачи по времени и пространству Однако, предложенные S К Yee явные схемы характеризуются условной устойчивостью, в силу чего актуальна задача разработки безусловно устойчивых разностных схем для уравнений Максвелла

Десять лет назад J.-P Berenger удовлетворительно решил проблему численного описания поглощения излучения, покидающего границы вычислительной области Однако расположение поглощающих слоев в вычислительной области и традиционные граничные условия препятствует успешной векторизации вычислений по методу Актуальна разработка новой компоновки поглощающих слоев в вычислительной области.

Задача моделирования работы источника падающей волны, поставленная еще Yee в 1966 г, решается с разной точностью вплоть до настоящего времени Первый способ задания падающей волны, позволяющий ограничить вычислительную область исследуемым объектом и его ближайшей окрестностью, был сформулирован в 1975 году (Taflove А, Brodwin М). Более точный метод опубликован в 1980 году (Taflove А.) в рамках TF/SF методики (Total-Field/Scattenng-Field technique). С повышением точности данного подхода в области, заключенной в оболочку из однородной среды, связана работа 1999 года (D W Prather, S

Shi), авторы которой предпочли задавать падающую волну численно, вместо аналитической формы, как это ранее предлагалось. Однако, при моделировании работы дифракционных оптических элементов конструирование такой оболочки приводит к многократному росту вычислительной сложности алгоритма, так как в расчетную область приходится помещать весь оптический элемент. В силу чего актуальна адаптация методики задания падающей волны для решения задач дифракционной оптики

Расплатой за универсальность метода разностного решения уравнений Максвелла является его высокая вычислительная сложность, обуславливающая актуальность декомпозиции сеточной области и составления параллельных алгоритмов решения разностных уравнений

Прием декомпозиции хорошо известен применительно к уравнению теплопроводности (Самарский А А., Вабищевич П Н, 2003), в силу чего актуальна его адаптация для уравнений Максвелла.

Параллельные алгоритмы решения явных разностных схем Yee (Perlik А.Т., 1989) широко используются, однако алгоритмы вычислений по неявным схемам разработаны лишь в самом общем виде (монографии Голуба Дж., Ван Лоуна Ч, 1999 и Оргеги Д.М, 1991), без учета специфики задачи дифракции на ДОЭ. Решение этой задачи представляется актуальным.

Целью работы является решение задачи дифракции лазерного излучения на элементах микрооптики с применением разностных схем для уравнений Максвелла, декомпозиции сеточной области, реализацией параллельных вычислений и исследование на этой основе алмазных поликристаллических ДОЭ и дифракционных решеток на торце волновода.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Создание математических методов и алгоритмов для проведения вычислительных экспериментов, обеспечивающих исследование дифракции лазерного излучения на элементах микрооптики; в том числе: внутри оптического элемента, на ДОЭ с высокой числовой апертурой; на ДОЭ, сформированных на диэлектрических и проводящих материалах.

2 Анализ погрешностей формирования дифракционных решеток на торце ИК-волновода и их влияния на оптические характеристики решетки.

3. Исследование прохождения света через микрорельеф ДОЭ на алмазных пленках с технологическими погрешностями изготовления и разработка методов уменьшения влияния таких погрешностей.

4 Сокращение вычислительных затрат при расчете дифракции электромагнитных полей по разностным схемам посредством декомпозиции сеточной области

5 Синтез параллельных алгоритмов для реализации вычислений по неявным разностным схемам при решении задачи дифракции на оптическом микрорельефе

Научная новизна работы

1 Для расчета дифракции на субволновом оптическом микрорельефе предложены неявные разностные схемы для уравнений Максвелла, отличающиеся от явных схем Yee способом выражения сеточных функций

2 Предложена универсальная сеточная область с циклическими граничными условиями и тремя объединенными поглощающими слоями, вместо трех стандартных сеточных областей с электрической и магнитной стенками на границе, циклическими условиями и восьмью поглощающими слоями Универсальная сеточная область позволяет моделировать распространение лазерного излучения через дифракционные решетки с неограниченной апертурой и оптические микроэлементы с ограниченной апертурой, и допускает применение эффективных векторных алгоритмов решения разностных уравнений

3 Разработаны методы задания падающего поля в рамках технологий TF/SF и TFF, отличающиеся от ранее известных расположением границы разделения полей и более точным учетом отраженной от ДОЭ волны, что позволяет от 3 до 5 раз снизить погрешность вычислительного эксперимента

4. Численно исследовано влияние технологических погрешностей формирования дифракционной решетки на торце галогенидного ИК-волновода (пере-трав/недотрав канавки профиля, образование клина травления, прогиб профиля при штамповке) на распределение энергии прошедшей волны по дифракционным порядкам Показано, что наибольшее искажение в дифракционную картину (в несколько раз превышающее влияние остальных технологических погрешностей) вносит клин травления, уводя из рабочих порядков до четверти энергии падающей волны Даны рекомендации о применении иной технологии для формирования матрицы штамповки, что позволяет снизить на 25% потери энергии в рабочих порядках

5 Проведено численное сравнительное исследование дифракционной картины внутри и вне профиля дифракционных цилиндрических микролинз с апертурой в несколько длин волн Подтвержден эффект падения интенсивности в области фокусировки, наблюдающийся при уменьшении числа уровней квантования, ранее известный для микролинз с апертурой в несколько сотен длин волн.

6. Изучено влияние погрешностей технологии абляции алмазной поликристаллической пластины на формирование заданного распределения интенсивно-стей за изготовленным оптическим элементом и его локальными фрагментами Обоснована целесообразность применения технологии, характеризующейся перекрытием областей абляции при формировании элементарных площадок структурирования.

7. Для решения задачи дифракции на элементах микрооптики посредством конечных разностей, развит метод декомпозиции сеточной области, позволяющий в сочетании с приемом разложения на плоские волны в подложке ДОЭ в несколько раз сократить затраты времени

8 Предложены параллельные алгоритмы решения неявных разностных уравнений, отличающиеся от классических методов декомпозиции ленточной матрицы и циклической редукции применением встречных прогонок, линейным (для ДОЭ с ограниченной апертурой) и циклическим (для ДОЭ с неограниченной апертурой) разбиением сеточной области, позволившие многократно сократить время моделирования процесса дифракции

На защиту выносятся.

- неявные разностные схемы для уравнений Максвелла, основанные на методах расщепления и переменных направлений,

- компоновка поглощающих слоев и постановка граничных условий, обеспечивающие построение универсальной сеточной области и эффективную векторизацию решения разностных уравнений при исследовании оптических элементов с бесконечной и ограниченной апертурами,

- два метода задания падающей на ДОЭ волны основанные на использовании вспомогательных одномерных задач и разделении полей;

- результаты исследований технологических погрешностей нанесения дифракционного микрорельефа на торец галогенидного ИК-волновода и анализ их влияния на распределение интенсивностей дифракционных порядков за торцом,

- результаты моделирования дифракции света на микролинзах с высокими числовыми апертурами в рамках строгой теории дифракции;

- результаты исследования влияния технологических погрешностей формирования микрорельефа методом абляции алмазной поликристаллической пластины на дифракционной картине за алмазным элементом,

- метод декомпозиции сеточной области при разностном решении уравнений Максвелла, основанный на учете локально устоявшегося поля и принципе суперпозиции,

- параллельные алгоритмы решения неявных разностных уравнений, основанные на методе встречных прогонок, линейном и циклическом разбиениях вычислительной области.

Практическая ценность работы.

Практическую значимость имеет разработанный разностный метод решения уравнений Максвелла, позволяющий моделировать распространение электромагнитного излучения через ДОЭ, в том числе через элементы с высокой числовой апертурой, внутри ДОЭ (изготовленных из различных материалов).

Применение предложенных параллельных алгоритмов решения неявных разностных уравнений позволяет повысить ускорение вычислительного процесса при решении задачи дифракции на ДОЭ

Практическая ценность проведенных в диссертационной работе исследований также заключается в рекомендациях по совершенствованию двух технологий формирования дифракционного микрорельефа. 1) штамповки ДОЭ на торце галогенидного ИК-волокна, 2) абляции алмазной поликристаллической пластины. Предложенные ре? омендации позволят повысить дифракционную эффективность элементов на торце галогенидного ИК-волокна и алмазных оптических элементов

Апробация работы Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах VIII Всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач математической физики (Абрау-Дюрсо, 1998г); IX Межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 1999 г ), Международная конференция "01ЙгасЦуе Ор^св" (г Йена, Германия, 1999 г), VI Междуна-

родная конференция "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ" (г Самара, 1999г), Международная школа для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (г Саратов, 1999 г), Байкальская молодежная научная школа по фундаментальной физике (г Иркутск ,1999 г), Всероссийская научная конференция "Высокопроизводительные вычисления и их приложения" (г Черноголовка, 2000 г ), Международная конференция "Математическое моделирование - 2001" (г Самара, 2001 г ), Международный симпозиум "Opücal Science and Technology" (США, г Сан-Диего, 2003), Международная конференция "Science and Computing" (г Москва, 2003г), Конференция «Photon Management» международного симпозиума "Photomcs Europe" (Франция, г Страсбург, 2004 г ), Четвертый международный научно-практического семинар и Всероссийская молодежная школа «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах» (г Самара, 2004 г ), II Международная научная конференция "Сетевые компьютерные технологии" (Беларусь, г Минск, 2005 года), Конференция «Photon Management П» международного симпозиума "Photomcs Europe" (Франция, г Страсбург, 2006 г); Международная конференция "Laser Beam Shaprng VII" (США, г. Сан-Диего, 2006), Международная конференция ICO "Topical Meeting on Optoinformatics/Information Photomcs" (г Санкт-Петербург,

2006 г ), Международный Российско-китайский семинар по дифракционной оптике (КНР, г Сиань, 2007 г ), Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (г Самара,

2007 г ).

Связь с государственными и международными программами

Работы по теме диссертаций проводились при поддержке грантов Президента Российской Федерации (МК-2568 2005.9) и РФФИ, Российской академии наук (программы Президиума РАН "Математическое моделирование и интеллектуальные системы", "Поддержка молодых ученых"), программы фундаментальных научных исследований Отделения информационных технологий и вычислительных систем РАН "Новые физические и структурные решения в инфотеле-коммуникациях", федеральной целевой научно-технической программы Федерального агентства по науке и инновациям "Исследования по приоритетным направлениям науки и техники на 2002-2006 годы", ведомственной научной программы Федерального агентства по образованию "Развитие научного потенциала высшей школы" и российско-американской программы "Фундаментальные исследования и высшее образование" ("BRHE").

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 3-х монографиях и 47 основных научных работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем работы Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения, Приложения, списка использованных источников из 214 наименований Содержит 276 страниц, 78 рисунков, 41 таблицу

Содержание работы

Во Введении обсуждается задача распространения света через оптический микрорельеф, для решения которой необходимо привлечение строгой теории дифракции Дан анализ методов строгой теории дифракции, прослежена эволюция развития разностного подхода к решению уравнений Максвелла Обоснована актуальность, показана научная новизна работы, сформулированы положения, выносимые на защиту, описана структура и приведено краткое содержание диссертации

В первой Главе приводится математический аппарат, используемый для решения задачи дифракции на оптическом микрорельефе

Для исследования ДОЭ с субволновыми размерами характеристических не-однородностей, при которых приближения геометрической и скалярной оптики теряют адекватность, предлагается применение строгой теории дифракции, основанной непосредственно на решении уравнений Максвелла. Эти уравнения и составляют основу представленной в первой Главе математической модели дифракции на ДОЭ. Для записи уравнений Максвелла выбирается декартова система координат, в которой наиболее естественно описывается квантованный ступенчатый микрорельеф ДОЭ.

Рассмотрению подлежат одномерные и двумерные задачи дифракции, соответствующие прохождению Т-волны (падающей по нормали к границам раздела) через слоистые среды и распространению через цилиндрические оптические элементы волны типа Н Моделирование процесса дифракции в одномерном случае производится либо для верификации численного решения, либо используется при задании падающей на цилиндрический оптический элемент волны (или волны, отраженной от него)

Материальные уравнения записываются в предположении, что оптический элемент освещается монохроматическим излучением, а процессы в среде считаются линейными, локальными и безынерционными Сама среда выбирается немагнитной

Разностное решение уравнений Максвелла связывается с постановкой граничных и начальных условий, наложением сеточной области, записью разностных уравнений и заданием падающей волны

Под граничными условиями предлагается понимать не соотношения на-пряженностей и индукций на границах оптического элемента (как это принято в электродинамике), а выражения, задаваемые на краях вычислительной области При этом оптический элемент задается функцией диэлектрической проницаемости Предлагается отказаться от традиционного использования электрической и магнитной стенок, всегда задавая на краях области циклические граничные условия

В случае исследования ограниченного оптического элемента указанный прием позволяет произвести объединение восьми слоев (рис 1а), поглощающих по направлениям У (слои 1,2,3), -У( слои 5,6,7) и Ъ (слои 3,4,5), -Ъ (слои 1,7,8) в три (рис 16) слои В и С поглощающие излучение, распространяющееся по направлению У и - У, слои А, В - по I и -Ъ Такие слои не позволяют рассеянному

полю вернуться в область вычислительного эксперимента и исказить дифракционную картину

Рис. 1 Переход от вычислительной области с восьмью поглощающими слоями и электрической стенкой на границе (случай а, электрическая стенка изображена толстой линией) к области с циклическими граничными условиями и тремя поглощающими слоями (случай б, циклические условия нанесены пунктиром)

Переход от традиционной вычислительной области, изображенной на рис 1а, к области на рис 16 производится смещением начала координат в центр слоя В Такое смещение возможно в силу цикличности граничных условий и сопровождается переносом электрических стенок в середину слоев А,В,С Располагаясь в толще поглощающих слоев стенки не будут оказывать влияние на формирование дифракционной картины и могут быть удалены (рис 16)

Достоинством предложенного перехода признается универсальность новой вычислительной области. С ее помощью (в отличие от области, представленной на рис 1 а) возможно моделирование не только ограниченных, но и бесконечных (пусть по направлению Y) периодических ДОЭ Для этого обнуляются соответствующие электрические проводимости в слоях С и В, после чего поглощение по Y и -Y становится невозможным, а циклические условия ограничивают один период изучаемого элемента При моделировании симметричного ограниченного оптического элемента ось симметрии располагается в середине слоев С и В (вдоль направления Z), проводимости в верхней части этих слоев обнуляются, а на ось накладывается магнитная стенка Аналогично для симметричного неограниченного оптического элемента Ось симметрии располагается в середине слоев С и В (вдоль направления Z), обнуляются проводимости в верхней и нижней части указанных слоев, а на ось накладывается магнитная стенка.

Подчеркивается возможность более удачной векторизации вычислений на новой области Так, если минимальный размер вектора, состоящего из значений сеточных функций, ранее задавался толщиной необъединенных поглощающих слоев, то после объединения эта величина возросла вдвое Как известно, эффективность векторизации возрастает с увеличением длины векторов Для области, размерами 4Хх4Х (А. - длина волны) при толщине необъединенных слоев в X, переход к области с объединенными слоями позволил на четверть снизить длительность вычислений, производившихся в среде Matlab 7 0 на процессоре AMD Opteron 244

За начальное условие предлагается принимать отсутствие поля в вычислительной области в начальный момент времени. Не рекомендуется задавать поле аналитически в тех случаях, когда его формирование в части вычислительной области до начала вычислений возможно (например, дифракцию падающей волны в свободном пространстве до оптического элемента можно рассчитать заранее) Это приведет с снижению точности вычислительного эксперимента в силу неполного согласования аналитического и численного решений

Для повышения устойчивости разностных схем разработаны неявные разностные уравнения, характеризующиеся выражением сеточных функций на следующем слое по времени не только через функции на предыдущем слое (как в традиционной явной схеме Уее), но и посредством функций, определенных в соседних узлах по пространству

Построение неявных схем производится методами покоординатного расщепления и переменных направлений Первый подход связан с представлением о раздельном распространении электромагнитной волны на каждом временном слое сначала по направлению У, затем по Ъ В результате три дифференциальных уравнения (случай распространения Н-волны) аппроксимируются четырьмя сеточными двумя неявными, выражающими электрическое поле, и двумя явными - для выражения магнитного через найденное электрическое

Метод переменных направлений также подразумевает двухэтапный переход к следующему временному слою, при этом распространение на каждом этапе моделируется по обоим направлениям - У и Ъ Первое разностное уравнение для выражения электрического поля является неявным по У и явным по Ъ Второе наоборот, явным по У и неявным по Ъ Уравнения для нахождения магнитного поля остаются явными Добавление явной части в уравнения, из которых выражается электрическое поле, приводит к увеличению порядка аппроксимации по времени.

Особое внимание уделяется методам задания падающей волны. Различаются два подхода к решению этой задачи Первый (ТТ/ЭР методика) связывается с разделением электромагнитного поля (рис 2а) на результирующее (в подобласти оптического элемента) и рассеянное (в расположении поглощающих слоев) Такой подход реализуется записью на границе раздела полей разностных уравнений, содержащих напряженности падающего электрического и магнитного попей. Аналитическое задание падающей волны приводит к увеличению погрешности вычислительного эксперимента. Для случая расположения оптического элемента в вычислительной области целиком, известна более совершенная методика численного задания (П¥ РгаШег, Э БЫ, 1999 г.) падающей волны, основанная на решении вспомогательной одномерной задачи распространения Т-волны в вакууме Напряженности полей, рассчитанные во вспомогательной задаче, используются при моделировании дифракции на ДОЭ в качестве напряжен-ностей падающей волны.

При исследовании дифракционных оптических элементов"признается удобным исследовать дифракцию на микрорельефе, исключая из рассмотрения подложку Тогда длительность моделирования снижается пропорционально отношению толщины элемента к высоте дифракционного микрорельефа

Таблица 1. Погрешности моделирования распространения электромагнитного поля при реализации различных методик формирования падающей волны в рамках подхода, предусматривающего разделение полей. Параметры дискретизации сеточной области (<3,0») соответствуют количеству отсчетов, приходящихся на одну длину волны (Я) по пространству и числу узлов во временной области, разбивающих интервал, за который плоская электромагнитная волна проходит в ва-

(РА) способы задания падающей волны

ТТ/вР, аналитический ТР/ЭР, численный ШЕИ?, численный

10/20 13,9267 12,3299 4,387

20/40 4,3193 3,8751 0,9745

50/100 1,4352 1,3202 0,1515

100/200 1,2614 1,1947 0,0383

Применение двух вспомогательных задач позволяет снизить погрешность вычислительного эксперимента (Табл 1, третий столбец) при моделировании распространения волны через границу раздела диэлектрик (п=1,5)/вакуум

Первая вспомогательная задача используется для задания падающего поля в диэлектрике, вплоть до границы раздела сред, вторая - в вакууме, начиная с этой границы Однако, фазы полей двух задач на границе раздела согласовываются аналитически, что делает методику не вполне численной и приводит к незначительному уменьшению погрешности по сравнению с полностью аналитическим решением (Табл 1, второй столбец)

Наложение сеточной области с циклическими краевыми условиями (рис 16) позволяет при задании падающей волны не заключать оптический элемент в оболочку, образованную границей разделения результирующего и рассеянного полей, а разделять поля на результирующее и отраженное (методика ТРЖР).

результирующее |

поле

рассеянное поле

б

Гу-

результирующее поле

отраженное

поле

Рис. 2 Разделение полей в методике 7У/5У (случай а) и ТР/Ю? (случай б) Граница раздела нанесена штртлх-пунюпирной линией

При этом граница такого раздела представляет собой отрезок, параллельный оси У и расположенный до оптического элемента (рис. 26).

Реализация методики ТР/ИР связана с решением одной вспомогательной задачи (моделирование распространения Т-волны в однородном диэлектрике) и характеризуется повышением точности задания падающей волны (Табл 1, четвертый столбец) Кроме того, снижается вычислительная сложность задания в

силу сокращения протяженности границы раздела полей При исследовании распространения излучения в волноводах, вытянутых вдоль оси Ъ, упомянутое снижение будет особенно заметным

Продемонстрирована невозможность строгого следования концепции ТТ/ЗР При аналитическом задании падающей волны неизбежно появление всплеска модуля комплексной амплитуды напряженности поля за правой границей разделения (рис. 3).

Наблюдаемый всплеск объясняется временной задержкой, необходимой излученной на левой границе разделения волне для достижения правой границы В течение этого времени волна, излученная на правой границе, распространяется в направлении Ъ

Численная постановка падающей волны в методике ТР/ВР позволяет исправить это несоответствие Однако, переход от исследования распространения излучения в свободном пространстве (случая, полезного для верификации разностного решения) к дифракции на ДОЭ, опять связан с нарушением принципа разделения полей В этом случае причиной нарушения служит временная задержка, вызванная уменьшением скорости распространения волны в материале ДОЭ по сравнению со свободным пространством

Рис. 3 Распределение модуля комплексной амплитуды электрического поля (|А|)

в области результирующего и рассеянного (г<0 и ¿>2Х) полей при рас-

пространении Т-волны в вакууме

Второй подход к заданию падающей волны не характеризуется разделением полей во всей вычислительной области присутствует только результирующее поле (ТО7 методика) При переходе к новому слою по времени предлагалось (Та-йоуе А., ВгосЫт М, 1975 г ) определять результирующее поле в области задания падающей волны как сумму напряженностей электрических компонент такой волны (задаваемую аналитически) и результирующего поля (определенного на предыдущем временном слое). Результаты моделирования распространения Т-волны в свободном пространстве по предложенному правилу представлены во втором столбце Табл 2

Для повышения точности развиваемого подхода представлен иной способ перехода к следующему временному слою в области задания падающей волны При этом используется решение вспомогательной задачи, отличающейся от основной отсутствием оптического элемента и, как следствие, отсутствием отраженной от него волны

1А1, В/м

1

о

О 2

18 20

Таблица 2 Погрешности моделирования распространения электромагнитного

(Q.Q0 способы задания падающей волны

TFF, первый вариант TFF, "прозрачный" источник

10/20 8,4609 1,3948

20/40 2,2177 0,1023

50/100 0,3741 0,0369

100/200 0,1019 0,0104

Тогда отраженную волну можно найти как разность результирующих полей основной и вспомогательной задач Результирующее поле на новом временном слое в основной задаче задается сложением известной (аналитически выраженной) падающей волны и найденной отраженной Предложенный метод получил название "прозрачного" источника, при котором, в отличие от "жесткого" источника (hard source, Taflove А, Hagness S , 1995 г ), отраженная от ДОЭ волна, возвращаясь к области задания падающего поля, не испытывает дополнительного переотражения

Показано, что применение "прозрачного" источника при задании падающей волны не сопряжено со снижением точности моделирования погрешности вычислительных экспериментов совпали с погрешностями, вызванными заменой производных разностными отношениями и наложением поглощающих слоев (Табл 2, третий столбец) Таким образом, в первоначальной формулировке методики TFF (Taflove A., Brodwin М, 1975 г) за отраженную волну фактически принималась результирующая, что приводило к появлению дополнительной погрешности (Табл 2, второй и третий столбцы)

Представлено сравнение изложенных подходов TF/RF и TFF (на примере лучших модификаций) к заданию падающей волны Показано, что оба не вносят дополнительной погрешности в результаты моделирования (за счет численного задания падающей либо отраженной волны), однако второй характеризуется меньшей вычислительной сложностью в силу того, что оперирует только электрическим полем, не нуждаясь в определении магнитного

Предложенный в первой Главе метод разностного решения уравнений Максвелла позволяет проводить моделирование дифракции электромагнитной волны на оптическом микрорельефе с учетом особенностей формирования ДОЭ и характеризуется большей точностью по сравнению с известными аналогами

Во второй Главе методом вычислительного эксперимента проведено исследование влияния технологических погрешностей формирования дифракционной решетки на торце галогенидного ИК-волновода на распределение энергии прошедшей волны по дифракционным порядкам

Основной материал главы предваряют результаты верификации разностного решения уравнений Максвелла для случая распространения электромагнитного излучения через периодические дифракционные решетки с неограниченной апертурой

Исследование дифракции на бинарной идеально проводящей решетке с периодом 2,51, шириной канавки 1,25л и глубиной профиля X при 1=1 мкм проводилось модовьм и разностным методами Результаты сравнения решений задачи

дифракции представлены в Табл. 3 и свидетельствуют о допустимости применения изложенного в первой Главе математического аппарата при исследовании идеально проводящих решеток

Таблица 3. Результаты расчета дифракции на бинарной идеально проводящей решетке модовым методом и методом разностного решения уравнений Максвелла

интенсивности дифракционных порядков отраженной волны метод моделирования

модовый разностный

0,6753 0,6824

0,1093 0,1064

0,053 0,05205

В отличие от модового метода, разностный подход к решению уравнений Максвелла позволяет проводить моделирование идеально проводящих решеток произвольного профиля Представлены результаты расчета дифракции на отражающих пилообразных решетках и пропускающих амплитудных треугольных решетках

Для верификации на примере диэлектрической решетки привлекался метод связанных волн. Тестовая решетка характеризовалась теми же геометрическими размерами, что и предыдущая, показатель преломления материала задавался как п=1,5 Приведенные в Табл 4 результаты моделирования подтверждают состоятельность разностного решения и в этом случае.

Таблица 4. Результаты расчета дифракции на бинарной диэлектрической решетке методом связанных вот и методом разностного решения уравнений Максвелла

интенсивности дифракционных порядков прошедшей волны метод моделирования

связанных волн разностный

Ь 0,0552 0,05577

11= Ь 0,3498 0,36845

1г=Ъ 0,0756 0,07484

Недостатком метода связанных волн признается неустойчивость процедуры обращения плохо обусловленной матрицы, возникающей при решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений Регуляризация алгоритма приводит к нахождению псевдорешения системы, сходимость которого с ростом количества коэффициентов разложения функции диэлектрической проницаемости в ряд Фурье не гарантируется Разностный метод решения уравнений Максвелла свободен от такого недостатка

12

8

4

О

0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

Рис. 4 Зависимость отношения интенсивности отраженной волны к падающей (р) от коэффициента заполнения q для теории эффективных сред нулевого (о), второго (О) порядка и разностного решения (*)

Третьим тестовым примером служила антиотражакяцая бинарная алмазная

X

решетка с периодом Я/4 и глубиной профиля h = —j=, где п=2,4, А,=10,6 мкм

4л/п

Отношение ширины ступеньки бинарной решетки к периоду (fill factor, коэффициент заполнения) варьировался от 0,1 до 0,9 Традиционно, для исследования антиотражающих свойств подобных структур применяется теория эффективных сред, известная в двух вариантах, как теория нулевого и первого порядков На рис. 4 представлены результаты моделирования дифракции света на предложенной решетке Хорошее соответствие данных позволяет говорить о разностном методе решения уравнений Максвелла, как об инструменте моделирования работы антиотражающих структур.

Разностный метод позволяет исследовать структуру поля в непосредственной окрестности субволновой алмазной решетки, что невозможно при использовании теории эффективных сред

Представлены результаты моделирования алмазных антиотражающих структур треугольного профиля, сформированных методом абляции поликристаллической пластины.

Рассмотрены технологические погрешности формирования дифракционной светоделительной решетки на торце галогенидного ИК-волновода Выделены два типа погрешностей, локальные, присущие каждому периоду решетки, и глобальная погрешность, характеризующая профиль в целом

К "локальным" отнесены ошибки формирования, заметные при исследовании одного периода решетки (рис. 5). в получении заданной высоты микрорельефа (недотрав или перетрав) и наличие клинов травления по обе стороны ступеньки формируемой бинарной решетки

Рис. 5 Профилограмма участка решетки, полученная с помощью интерферометра "2у%о Ыечппеу/ 5000" Ось абсцисс направлена поперек штрихов решетки, по оси ординат откладывается высота профиля Пунктирная линия соответствует нулевой отметке высоты микрорельефа

Отклонения высоты профиля решетки от расчетной связываются с ошибками в определении длительности травления матрицы, с которой штамповался микрорельеф При недостаточном времени травления высота оказывалась ниже расчетной (недотрав), при избыточном - выше (перетрав). Если расчетная высота Ь профиля составляет 4,6 мкм, то высота формируемого рельефа варьируется от 4,0 до 5,2 мкм

Образование клина травления при производстве матрицы объясняется изотропией химических процессов и аморфностью подложки Острый угол между плоскостью торца и подъемом клина (характеризующий клин травления) для представленной технологии варьировался в интервале 36-44°.

Глобальной технологической погрешностью, выявленной при изучении профилограммы всей решетки (рис 6) является прогиб профиля

44 п +2 -0 -2

.4 J

МКМ

мм

I—1—1—■—I—I—'—1—'—1—I—'— 0,0 0,5 1,0

Рнс. 6 Профилограмма решетки, полученная с помощью интерферометра "2у%о Ыеыщеу/ 5000" Ось абсцисс направлена поперек штрихов решетки, по оси ординат откладывается высота профиля.

Прогиб профиля решетки объясняется различием в структуре материалов сердечника и оболочки волновода и деформацией матрицы при штамповке Величина прогиба в экспериментах сильно зависела от температурного режима штамповки и оказываемого на торец давления, варьируясь от 0,3 до 2 мкм в центре волновода.

Методом вычислительного эксперимента исследовано влияние каждой технологической погрешности в отдельности и всех вместе на формирование дифракционных порядков прошедшей через решетку волны

При изучении влияния недотрава и перетрава ступеньки бинарной решетки, рассматривались результаты моделирования, представленные в Табл 5

Таблица 5 Распределение энергии прошедшей волны по дифракционным поряд-

Высота профиля Ь, мкм интенсивности дифракционных порядков

1о 11=1-1 12=1-2

4,0 0,0716 0,3244 0,0111

4,2 0,046 0,3349 0,0126

4,4 0,0275 0,3417 0,0143

4,6 0,0163 0,345 0,0163

4,8 0,0125 0,3448 0,0184

5,0 0,016 0,341 0,0208

5,2 0,0267 0,3339 0,0234

Для решетки, лишенной указанных недостатков (Ъо=4,6), в первый и минус первый прошедшие порядки направляется суммарно 69% энергии падающего пучка, в нулевой, второй и минус второй порядки - по 1,63% Отмечаются хорошие светоделительные показатели идеально изготовленной решетки Исследуя случаи недотрава (Ь<Ь0) и перетрава (Ъ>Ьо), делается вывод о меньших (по сравнению с недотравом) потерях, вызванных перетравом, характеризующимся не только меньшей суммарной энергией первого и минус первого порядков (65% для 11=4,0 по сравнению с 67% для Ь=5,2), но и существенно большим количеством энергии, направляющейся в нулевой порядок (7,16% по сравнению с 2,67%) Таким образом, хотя суммарная энергия рабочих порядков (первого и минус первого) снижается несущественно (на 4% от общей энергии падающей волны), при максимальном недотраве становится заметным влияние нулевого порядка (возрастает с 1,63% до 7,16%)

К рассмотренной технологической погрешности добавляется клин травления с характеризующим его углом, равным 40° Результаты моделирования, представленные в Табл 6, свидетельствуют о существенном влиянии клина травления на распределение интенсивностей

Так, в случае точно выдержанной высоты профиля (Ьо=4,6) добавление клина уводит из рабочих порядков четверть энергии падающей волны, а в нулевом порядке появляются лишние десять процентов такой энергии Максимальный недотрав не ухудшает распределение энергии по первому и минус первому порядкам, но доводит долю энергии в нулевом порядке до 17,28%, что уже не позволяет говорить о такой решетке как о светоделительной При предельном перетраве доля энергии, ушедшей в нулевой порядок, не увеличивается, однако, сокращается до 37% суммарная энергия рабочих порядков (при Ио она составляла 45%), что опять не позволяет считать светоделительное свойство решетки удовлетворительным

Таблица б Распределение энергии прошедшей волны по дифракционным порядкам в зависимости от высоты профиля прямоугольной решетки с клином травления

высота профиля Ь, мкм интенсивности д ифракционных порядков

1о 11=1-1 12=1-2

4,0 0,1728 0,2324 0,02796

4,2 0,1453 0,236 0,02827

4,4 0,13 0,2317 0,02896

4,6 0,1196 0,2241 0,02874

4,8 0,1141 0,2134 0,02778

5,0 0,1142 од 0,02601

5,2 0,1177 0,1858 0,02433

Таким образом, при необходимости сократить энергетические потери в первом и минус первом дифракционных порядках от клина травления, предпочтительнее допустить недотрав матрицы Перетрав же характеризуется меньшими потерями в нулевом порядке.

Основываясь на результатах численного моделирования работы решетки, изготовленной с идеальной матрицы (Табл 7), делается заключение о небольшом влиянии прогиба профиля на распределение интенсивностей прошедших порядков

Таблица 7 Распределение энергии прошедшей волны по дифракционным порядкам в зависимости от глубины прогиба профиля решетки, изготовленной с идеальной матрицы__

глубина прогиба й интенсивности дифракционных порядков

1о 11=1.1 12=1-2

0,2 0,0142 0,3487 0,0164

0,4 0,0142 0,347 0,0163

0,6 0,0141 0,3435 0,0162

0,8 0,014 0,34 0,016

1,0 0,0138 0,3328 0,0156

1,2 0,0136 0,326 0,0152

1,4 0,0134 0,3183 0,0147

1,6 0,0131 0,3082 0,0142

1,8 0,0127 0,2993 0,0136

2,0 0,0123 0,2859 0,0128

Даже в случае предельной величины прогиба (§=2,0) суммарные энергетические потери в первом и минус первом порядках составили всего 12%, что вдвое меньше потерь от появления клина травления при точно выдержанной вы-

соте профиля и отсутствии прогиба Решетка продолжает демонстрировать хорошие светоделительные характеристики интенсивности нулевого, второго и минус второго порядков не меняются (Табл 7) при выбранных значениях §

Добавление клина травления и варьирование высоты профиля при максимальном прогибе (Табл 8) существенно сказываются на распределении энергии по порядкам по сравнению с предыдущей серией экспериментов (Табл 7).

Таблица 8 Распределение энергии прошедшей волны по дифракционным порядкам в зависимости от высоты профиля прямоугольной решетки с клином травле-

высота профиля Н интенсивности дифракционных порядков

ь 11=1-1 12=1-2

4,0 0,1295 0,1921 0,0211

4,2 0,1116 0,1912 0,0206

4,4 0,1025 0,1844 0,0204

4,6 0,0974 0,175 0,0197

4,8 0,0969 0,1631 0,0186

5,0 0,0996 0,1506 0,0176

5,2 0,1048 0,1384 0,0169

Однако, оценивая влияние именно прогиба и сравнивая с результатами аналогичной серии вычислительных экспериментов с решеткой без прогиба (Табл 6), видим, что из рабочих порядков потеряно дополнительно не более десяти процентов энергии (независимо от высоты профиля) При этом поведение значений интенсивностей нулевого порядка (Табл 8) по сравнению с результатами из Табл. 6 не ухудшилось.

Решетка, сочетающая глобальную и локальные погрешности изготовления, обладает низкими светоделительными характеристиками Особенно это относится к случаю предельного перетрава, когда прошедшая энергия почти равномерно распределяется между нулевым, первым и минус первым порядками (10,48%, 13,84% и 13,84%). Более того, от такого профиля внутрь волновода отражается 58,46% падающей энергии

Решающий вклад в искажение распределения интенсивностей вносит клин травления Дальнейшие усилия по совершенствованию технологического процесса необходимо сосредоточить на недопущении появления указанного клина, или, по крайней мере, увеличении значения угла, характеризующего клин, что, возможно, например, при использовании технологии плазмохимического травления для изготовления матрицы

В третьей Главе методом вычислительного эксперимента проведены исследования влияния квантования фазовой функции ДОЭ на фокусировку излучения линзами с апертурой в несколько длин волн Также оценивалось влияние технологических погрешностей формирования микрорельефа на работу алмазных дифракционных структур.

логических погрешностей формирования микрорельефа на работу алмазных дифракционных структур

Основной материал главы предваряют результаты верификации разностного решения уравнений Максвелла для случая распространения электромагнитного излучения через оптические элементы с ограниченной апертурой

Задача дифракции Н-волны на бесконечном диэлектрическом цилиндре круглого сечения имеет аналитическое решение в виде разложения в рад по цилиндрическим функциям Бесселя внутри и Ханке ля вне цилиндра. Радиус тестового цилиндра задавался равным г=Х/2 (Х=1 мкм), показатель преломления материала выбирался как п=1,5 Отличие разностного решения от аналитического искалось на отрезке длиной 2Х (с серединой в центре кругового сечения цилиндра и расположенном параллельно направлению падения плоской однородной электромагнитной волны) и характеризовалось (Табл 9) равномерной погрешностью разностного решения

В

е = гаах

¿к

1, к'

В

'¿к

и величинои

8 =

1

Жк-АЛ

(1)

(2)

¿к

выражающей усредненное отклонение от аналитического решения В выражениях (1),(2) функция - комплексная амплитуда электрического поля при аналитическом решении задачи дифракции на цилиндре, А^к - при численном Индексы соответствуют узлам сеточной области, расположенным на заданном отрезке

Представленные в Табл 9 результаты подтверждают допустимость применения развиваемого метода к решению задачи дифракции на ограниченных структурах. Продемонстрирована сходимость метода и предпочтительность предложенного в первой Главе способа задания падающей волны над традиционным

Таблица 9 Зависимости погрешностей вычислительных экспериментов при исследовании дифракции на диэлектрическом цилиндре круглого сечения от дискретизации сеточной области (<ЗА) для "прозрачного" источника (колонки

«ЗА) А В

Е,% 8,% 8,% 5,%

(10,20) 16,0924 6,7265 19,056 7,0968

(20,40) 6,2121 1,3273 6,903 1,5286

(50,100) 2,1102 0,5124 2,7825 0,5593

(100,200) 0,8674 0,2598 1,4456 0,4243

Приведены результаты моделирования прохождения плоской однородной волны через две цилиндрические ре фракционные микролинзы с апертурами 8А. и 16Х, радиусами кривизны 5?* и 101 и показателем преломления п=2 при Х=1 мкм (рис. 7а для второй микролиты). Выделением на соответствующих рефракцион-нъгх микролинзах зон Френеля и квантованием непрерывных рельефов рассчита-кы бинарные и четырехуровневые дяфрак!дюнные линзы, проведено моделирование распространения света через такие структуры (рис. 76,в)

Рис. 7 Распределения модуля комплексной амплитуды (|А|) электрического поля з рефракционной микролинзе (случай а, непрерывная кривая на рис. 7г), соот-ветствующих ей бинарной (случай б. пунктирная кривая на рис. 7г) и четырехуровневой (случай в, штриховая кривая на рис. г) дифракционной микролинзах, на главной оптической оси представленных микролинз (случай 7г).

Заметно )"ведичение значения максимума модулей комплексных амплитуд напряженностей электрических полей на главной оптической оси за дифракционными линзами (рис,7г) с ростом числа уровней квантования ДОЭ, что согласуется с натурными наблюдениями.

Выявлены отличия положений максимумов модулей комплексных амплитуд от рассчитанных в рамках геометрической оптики, согласно которой фокусировка должна произойти на расстоянии 8Х от правого полюса микролинз (рис. 7г).

В результате сравнения распределения модуля комплексной амплитуды на главных оптических осях рефракционных микролинз с апертурами 8Х и 16Х выявлен рост изучаемой величины с увеличением апертуры Неудивительно, что мик]х>лииза, освещаемая большим участком фронта плоской однородной волны, собирает больше энергии. Однако, для разноапертурных дифракционных микро-

вод, что значительного рассеивания энергии не происходит, она концентрируется на главной оптической оси, как и в случае линз меньшей апертуры, С ростом апертуры дифракционных линз происходит удлинение зоны фокусировки по направлению Ъ, в этом случае вместо ярко выраженного максимума наблюдается фокусировка в продольные отрезки (рис. 7г).

При изготовлении дифракционного микрорельефа для фокусировки излучения мощных СОг лазеров (Х=10,6 мкм) используется прямое лазерное травление поверхности алмазной пленки (п=2,4) путем селективной абляции с помощью эк-симерного УФ-лазера Данный метод не позволяет формировать расчетный ступенчатый профиль в силу особенностей технологии, что влечет за собой отклонения в работе ДОЭ от ожидаемых характеристик

Рис. 8 Вид локального искажения микрорельефа на стыке двух элементарных областей структурирования а) с одинаковыми глубинами травления, б) с разными глубинами травления

Систематические локальные искажения микрорельефа ("бортики") возникают на границах элементарных областей структурирования - областей, каждая из которых соответствует одному отсчету фазовой функции ДОЭ (рис. 8).

Влияние субволновой погрешности изготовления характеризуется величиной 8=(1-10)/1, которая показывает долю энергии, ушедшей из нулевого порядка при прохождении рельефа с "бортиком" (1о - интенсивность нулевого прошедшего порядка при наличии "бортиков", I - без таковых).

Таблица 10 Оценка влияния технологических погрешностей (3,%), возникающих в виде "бортиков" (строки А.С) и "канавок" (строки В,О) на одном уровне квантования, с линейными размерами элементарной области травления 40 (стро-

уровни квантования фазовой функции

П Ш IV V VI УП VIII

А 3,39 9,54 15,21 31,12 38,64 50,45 55,37

В 2,59 8,37 10,43 22,22 28,57 40,69 42,05

С 2,55 6,93 10,94 22,1 27,75 36,35 39,78

О 1,97 5,98 7,54 15,65 19,96 28,9 29,66

Показано, что для линейного участка фазовой функции ДОЭ, наличие технологических погрешностей, начиная с Ш уровня квантования, заметно влияет (5>5%) на работу этого участка (Табл 10, строка А)

Технология травления позволяет заменить погрешности в виде выступов над рельефом на углубления ("канавки") в нем, при этом сохраняя треугольную форму погрешностей. Сравнивая результаты, представленные в строках А и В Табл 10 можно сделать вывод о некотором ослаблении влияния технологических погрешностей на работу фрагментов П и Ш уровней ДОЭ и существенном улучшении работы (уменьшении величины 5 в 1,46, 1,4, 1,35, 1,24 и 1,32 раза) фрагментов ниже расположенных уровней В силу этого, технология травления, оставляющая погрешности в виде углублений, полагается предпочтительнее существующей технологии.

Другой подход к ослаблению влияния технологических погрешностей связан с увеличением линейного размера элементарной области травления При изменении указанной величины от 40 мкм (Табл 10, строки А,В) до 60 мкм (Табл 10, строки С,Ц) технологические погрешности влияют на работу участков ДОЭ в среднем на 30% меньше Однако увеличение размера элементарной области травления ведет к снижению точности аппроксимации расчетной непрерывной фазовой функции линзы ее дискретным аналогом

В четвертой Главе представлены метод декомпозиции сеточной области и параллельные алгоритмы решения сеточных уравнений неявных разностных схем, позволяющие сократить длительность моделирования распространения электромагнитной волны

Возможность проведения декомпозиции обосновывается на примере области с двумя оптическими элементами (А и В), расположенными один за другим (В за А) по направлению распространения падающей волны Развиваясь во времени, процесс распространения падающей волны доходит сначала до элемента А, достигая затем В На определенном этапе этого процесса волна, отраженная от В, следует обратно кА и дифрагирует на нем Часть этой волны переотражается к В, но в течение рассматриваемого временного промежутка еще не достигает его Одновременно продолжается дифракция на В, до которого еще не дошла переотраженная от А волна Отмечается, что на данном этапе искомая комплексная амплитуда поля за В не меняется. Следовательно, расчет поля, дифрагирующего на В, от момента появления отраженной от В волны до ее переотражения от А обратно к В, излишен. Избежать его позволяет декомпозиция области

Основой метода декомпозиции в диссертации признается учет локально-устоявшегося поля (в таких подобластях вычисления не производятся) и принцип суперпозиции, позволяющий согласовывать решения на границах подобластей

При исследовании ДОЭ с двумя нанесенными рельефами уместно выделять в отдельные подобласти каждую дифракционную структуру, моделируя распространение света в однородном пространстве между ними разложением на плоские волны В случае слоистого дифракционного элемента разбиение на подобласти производится по слоям

Вычисления при декомпозици на две подобласти описываются следующим образом На первом шаге алгоритма (рис 9а) производится ввод излучения в первую подобласть, при этом источник располагается у левого края, регистрация прошедшего излучения производится у правого Второй шаг характеризуется работой со второй подобластью (рис. 496), у левого края которой излучается волна,

зарегистрированная на предыдущем шаге Регистрация производится не только у правого края подобласти (прошедшее излучение), но и с левого края (отраженная волна) - в том же узле подобласти, в котором задается падающее поле

подобласть 1 подобласть 2

л *

а

л

Рис. 9 Вычисления по алгоритму при декомпозиции на две подобласти в случае неоднородной среды, а, б,в,г - 1-ый, 2-ой, 3-ий и 4-ый шаги алгоритма соответственно Звездочкой обозначен узел задания падающей волны, "нижней" галочкой узел, в котором производится регистрация отраженного излучения, "верхней" - прошедшего, у границ вычислительных областей расположены поглощающие слои (пилообразная кривая)

Следующие два шага (рис 9в,г) выполняются в цикле О раз и предназначены для учета влияния переотраженных (О раз) волн на поле, формирующееся у правого края второй подобласти - на выходе из оптического элемента (искомое поле) Возвращение в первую подобласть волны, отраженной обратно из второй подобласти, производится на третьем шаге алгоритма (рис. 9в), когда с правого края первой подобласти вводится волна, зарегистрированная у левого края второй подобласти на предыдущем шаге Регистрации на третьем шаге подлежит отраженная в первой подобласти волна (у правого края), влияющая на искомое поле, а прошедшая через подобласть волна покинет область эксперимента в направлении -X и не регистрируется. На четвертом шаге (рис 9г) к ранее прошедшей через оптическую систему волне добавляется новая, переотраженная до этого из второй подобласти (шаг 2) в первую (шаг 3) и прошедшая на текущем шаге до правого края второй подобласти Такое добавление осуществляется сложением соответствующих комплексных амплитуд, согласно принципу суперпозиции Отраженная же вторично во второй подобласти часть падающей волны вернется в первую подобласть на следующей итерации цикла (шаг 3).

В качестве тестового примера исследовалось прохождение Т-волны (А,=1 мкм) через плоскопараллельную пластинку. При толщине пластинки в 1 мкм и показателе преломления материала п=2 модули комплексных амплитуд напря-женностей электрического поля падающей и прошедшей через пластинку волн должны быть равны Постановка вычислительного эксперимента предполагает разбиение сеточной области на две подобласти: первая характеризуется переходом вакуум/диэлектрик, вторая - диэлектрик/вакуум При значении модуля комплексной амплитуды падающей волны в 1 В/м демонстрируется результат моделирования, с высокой точностью соответствующий теоретически ожидаемому (Табл И)

Таблица 11. Зависимость значения модуля комплексной амплитуды прошедшего электрического поля (|А|) от числа переотражений в в случае декомпозиции на две подобласти при исследовании прохождения Т-волны через плоско-

в 0 1 2

|А|,В/м 0,8883 0,9853 0,9955

Отмечается, что значение |А|, полученное для 0=0, соответствует величине 0,(8), рассчитанной по формулам Френеля без учета переотражений

Декомпозиция на Б подобластей сопровождается ускорением вычислений по алгоритму, определяемым по формуле В2

я =-7-г- (3)

Отдельная задача связывается с выбором числа переотражений С одной стороны, чем больше это число, тем точнее определяется результирующее поле Однако, рост в вызывает падение ускорения (3) алгоритма при фиксированном О Предлагается из физических соображений выбирать в заранее, определяя затем величины Б, при которых ускорение теоретически может быть достигнуто. Пренебрегая зависимостью числа переотражений от конфигурации оптического элемента, принимается 0=0 при исследовании фоторефрактивных кристаллов и бездефектных волноводов (отраженная волна отсутствует), (}=1 для элементов из оптических стекол и <3=2 для более плотных оптических сред с п>2 (например, алмазные пленки).

Другим способом сокращения длительности моделирования процесса дифракции признается организация параллельных вычислений по неявным разностным схемам, представленным в первой Главе.

Предложено два параллельных алгоритма, основанных на методе встречных прогонок и одномерном (либо циклическом) разбиении сеточной области При исследовании ДОЭ с ограниченной апертурой, вытянутых в одном направлении, целесообразным признается одномерное разбиение, характеризующееся в этом случае меньшим объемом пересылаемых по сети данных. Моделирование дифракции на одном периоде неограниченной решетки желательно сопровождать циклическим распределением сеточной области между процессорами вычислительной системы

На рис. 10 представлен пример распределения сеточной области между восьмью процессорами при циклическом разбиении.

На первом шаге алгоритма производятся вычисления по прямому ходу метода встречных прогонок (рис 10а) над левой и правой четвертями области Второй шаг сопровождается пересылкой прогоночных коэффициентов (процессоры 1,2,3,4,5,6,7,8 отправляют данные процессорам 2,1,4,3,6,5,8,7) и продолжением прямого хода для внутренних четвертей С третьего шага (рис 10Ь) начинается обратный ход прогонок, предваряемый пересылкой прогоночных коэффициентов (процессоры 1,2,3,4,5,6,7,8 отправляют данные процессорам 5,6,7,8,1,2,3,4) На заключительном шаге завершается обратный ход метода встречных прогонок для выделенной строки сеточной области. После решения всех разностных уравне-

нается обратный ход прогонок, предваряемый пересылкой прогоночных коэффициентов (процессоры 1,2,3,4,5,6,7,8 отправляют данные процессорам 5,6,7,8,1,2,3,4) На заключительном шаге завершается обратный ход метода встречных прогонок для выделенной строки сеточной области После решения всех разностных уравнений, соответствующих распространению излучения в горизонтальном направлении (по Ъ, рис 2), аналогичные действия производятся для вертикального (по У рис 2)

1 ^ 2 5 1 5

1 5 2 IfcSD 5

4 8 3 1

3 7 Ь 4 7 ^ 8

Рис. 10 Этапы алгоритма, соответствующие началу прямого (случай а) и обратного (случай Ъ) ходов метода встречных прогонок при организации вычислений на восъмипроцессорном кластере

Представленные результаты вычислительных экспериментов (проводившихся на кластере СНЦ РАН, состоящем из двухпроцессорных ЭМВ Pentium Ш (600 МГц), связанных сетью Fast Ethernet), подтверждают работоспособность предложенных алгоритмов (рис 11 для алгоритма с циклическим разбиением)

Рис. 11 Зависимости ускорений 5 параллельных вычислительных процессов от размерности сеточной области N (в диапазоне 100-1000узлов), непрерывная кривая соответствует восьми процессорам, штрих пунктирная - четырем

Предложена блочная модификация обоих алгоритмов, позволяющая повысить (в среднем в 1,5 раза) ускорение вычислений за счет учета пакетной структуры сообщений, пересылаемых по сети

Показано, что представленные в четвертой Главе параллельные алгоритмы по сравнению с известными алгоритмами декомпозиции ленточной матрицы и циклической редукции характеризуются меньшим количеством арифметических операций (в случае одномерного разбиения в 2,3 и 1,5 раза, циклического - в 3,6 и 2 раза) В отличие от метода, основанного на правой прогонке, вычисления по предложенным алгоритмам сопровождаются менее длительными простоями

процессоров (в 2 раза для одномерного разбиения), либо коммуникациями меньшей длительности (в 2 раза для циклического разбиения)

Методы и алгоритмы, представленные в четвертой Главе, позволяют сократить длительность моделирования процесса дифракции, компенсируя главный недостаток разностного метода решения уравнений Максвелла - высокую вычислительную сложность

В Приложение вынесены варианты неявных разностных схем для различных сеточных областей и краевых условий

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решена задача дифракции лазерного излучения на оптическом микрорельефе с использованием разностных схем для уравнений Максвелла, декомпозиции сеточной области и параллельных вычислений, на этой основе исследованы алмазные поликристаллические ДОЭ и дифракционные решетки на торце волновода

Основными результатами работы являются следующие

1 Разработан комплекс методов и алгоритмов, позволяющих проводить вычислительные эксперименты для исследования широкого класса элементов мик-роотики

2 Исследованы технологические погрешности формирования дифракционной решетки на торце галогенидного ИК-волновода и их влияние на светодели-тельные свойства решетки Показано, что решающее значение на искажение дифракционной картины оказывает клин травления, уводя из рабочих порядков до четверти энергии падающей волны Прогиб профиля решетки до величины 1,4 мкм при радиусе сердечника волокна в 420 мкм оказывает меньшее влияние на дифракционную картину (из рабочих порядков уходит до 6% энергии падающей волны), так же как и перетрав (недотрав) профиля решетки, равный 10% глубины канавки (из рабочих порядков уходит до 4% энергии падающей волны)

3 Исследовано влияние технологических погрешностей изготовления на работу алмазных дифракционных микроструктур Показано, что погрешности в виде впадин на микрорельефе алмазных ДОЭ связаны с меньшими (в среднем на 25%) энергетическими потерями, чем погрешности в виде выступов Увеличение линейного размера элементарной области травления приводит к относительному снижению дифракционных потерь данного типа (в среднем на 30% при полуторном увеличении линейного размера)

4 Для расчета дифракции на ДОЭ посредством разностного решения уравнений Максвелла разработан метод декомпозиции сеточной области Метод позволяет сочетать разностное решение на микрорельефе ДОЭ и разложение по плоским волнам в подложке, что сокращает длительность моделирования (ускорение вычислений пропорционально отношению толщины ДОЭ к высоте рельефа)

5 Разработаны параллельные алгоритмы для реализации вычислений по неявным разностным схемам Представленные параллельные алгоритмы отличаются от известных аналогов применением метода встречных прогонок и цик-

операций, в отличие от алгоритмов, основанными на правой прогонке, длительность простоев и объем пересылаемых данных сокращены в 2 раза

Содержание диссертации отражено в следующих основных публикациях

Монографии:

1 Методы Компьютерной (Издание второе, исправленное)/ раздел 3 8 «Моделирование распространения электромагнитного излучения методом конечных разностей», с 224-232 — Д Л Головашкин; раздел 3 9 «Анализ прохождения электромагнитного импульса через антиотражающую структуру», с 232-236 , раздел 4 б «Формирование дифракционного рельефа с помощью лазерного микроструктурирования алмазных пленок», с 282-288, - Д JI Головашкин, В С. Павельев// М «Физматлит», 2003,688 с.

2 Methods for Computer Design of Diffractive Optical Elements! paragraph 3.8 «Modeling the electromagnetic radiation propagation using a method of finite differences», p 247-257 - D L Golovashkin, paragraph 3 9 «Analysis of electromagnetic impulse traveling through an antireflecting structure», p. 258-263, paragraph 4 6 «Generation of diffractive microrelief by laser-aided structuring of diamond films», p 310-323 -DL Golovashkin, V S Pavelyev//John Wiley & Sons Inc, New York, USA, 2002,766 p

3 Методы компьютерного расчета дифракционных оптических элементов / раздел 3 8 «Моделирование распространения электромагнитного излучения методом конечных разностей», с 192-201 - ДЛ. Головашкин; раздел 3 9 «Анализ прохождения электромагнитного импульса через антиотражающую структуру», с 201-204, раздел 4 6 «Формирование дифракционного рельефа с помощью лазерного микроструктурирования алмазных пленок», с 236244. - Д Л Головашкин, В.С Павельев// Tianjm Science & Techlonogy Press, Tianjin, 2007,570 p (на китайском)

Статьи и материалы конференций:

1 Головашкин Д Л, Дегтярев А.А, Сойфер В А Моделирование волноводно-го распространения оптического излучения в рамках электромагнитной теории//Компьютерная оптика, 1997 -№ 17.- С 5-9

2 Головашкин Д.Л, Дегтярев А.А Алгоритм второго порядка точности по времени для решения уравнений Максвелла// Компьютерная оптика, 1998. -№ 18 - С.39-41

3. Головашкин Д Л, Павельев B.C., Сойфер В А Моделирование прохождения электромагнитной волны через алмазную антиотражающую структуру// Известия СНЦ РАН, 1999 - Том 1, № 1 -С 95-98

4 Головашкин Д Л Разностная схема для уравнений Максвелла// Труды XI межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" - Самара, 1999.- С 43-45

5 Головашкин Д Л, Павельев В С , Сойфер В А Численный анализ прохождения света через антиотражающую алмазную структуру в рамках электромагнитной теории// Компьютерная оптика, 1999 - № 19.-С 44-46

6 Головашкин Д Л , Сойфер В А Анализ прохождения электромагнитного излучения через дифракционную линзу// Автометрия, 1999 - Том 35, № 6 -С 119-121

7 Pavelyev V, Golovashkir, D, Soifer V, Konov V, Kononenko V , Pimenov S , Prokhorov A CVD diam< id transmissive diffractive optics for C02 lasers// International conference "D fractive Optics", Jena 1999-P 32-35

8. Pavelyev V, Duparre M Luedge В, Soifer V, Kowarschik R, Golovashkin D Invariant laser beams - .undamental properties and their investigation by computer simulation and optical experiment// Proceedings SPIE, 1999 - Vol 3737 -P 509-519

9. Головашкин Д.Л, Павельев В С Анализ прохождения электромагнитного импульса через алмазную антиотражающую структуру// Материалы второй байкальской школы по фундаментальной физике - Иркутск, 1999, Том 1 - С. 280-286

10 Головашкин Д Л, Сойфер В А Моделирование распространения электромагнитной волны посредством разностного решения уравнений Максвелла// «Проблемы оптической физики» Материалы международной молодежной научной школы по оптике, лазерной физике и биофизике - Саратов, 2000 -С 52-53

11 Головашкин Д Л, Сойфер В А, Шустов В А Реализация параллельных вычислений при разностном решении уравнений математической физики// Известия СНЦ РАН, 2000.- Том 2, № 1 -С 108-112

12 Головашкин Д Л, Казанский Н Л, Сойфер В А Реализация параллельных вычислений при исследовании дифракционных микролинз с высокой числовой апертурой// Труды всероссийской научной конференции «Высокопроизводительные вычисления и их приложения» - Черноголовка, 2000 - С 104-106

13 Golovashkin D L, Pavelyev V.S , Soifer V A Numerical simulation of light transmission by an antireflecting diamond structure using the electromagnetic theory// Optical memoiy and neural networks, 2000 - Vol 9, № 1 -P 63-68

14 Pavelyev V, Duparre M, Luedge В , Soifer V, Kowarschik R, Golovashkin D Invariant laser beams - fundamental properties and their investigation by computer simulation and optical experiment// Optical memoiy and neural networks, 2000 - Vol 9, №> 1 -P 45-66

15 Головашкин Д.Л, Сойфер В А. Реализация параллельных вычислений при разностном решении задачи распространения излучения в трехмерном оптическом элементе// Компьютерная оптика, 2000 - № 20 - С 15-17.

16 Golovashkin D L, Soifer V A. Modeling the electromagnetic wave propagation by use of difference solution of Maxwell's equations// Saratov Fall Meeting'99 "Laser physics and Spectroscopy" - Saratov, 2000.- P.143-150

17 Головашкин Д Л, Дюпарре M, Павельев В С, Сойфер В.А Моделирование влияния субволновых погрешностей изготовления алмазной дифракционной линзы на фокусировку лазерного излучения// Труды конференции «Математическое моделирование» - Самара, 2001 - С 122-125

18 Головашкин Д Л, Дюпарре М, Павельев В С, Сойфер В А Моделирование прохождения ИК-излучения через алмазную дифракционную линзу с субволновыми технологическими погрешностями микрорельефа// Компьютерная оптика, 2001 -№ 21 - С 131-133

19 Котляр В В , Нестеренко Д В , Головашкин Д Л. Анализ дифракции света на микролинзах в свободном пространстве и в волноводе// Компьютерная оптика, 2001 -№ 21 - С 31-36

20 Головашкин Д J1, Павельев В С, Дюпарре М, Кононенко В В Анализ распространения излучения через одноуровневые фрагменты ДОЭ с технологическими погрешностями// Компьютерная оптика, 2001 - № 22 - С 62-64

21 Головашкин ДЛ Анализ распространения излучения через фрагменты ДОЭ с технологическими погрешностями микрорельефа// Известия СНЦ РАН, 2002-Том 4, № 1 -С 68-72

22 Golovashkin D.L, Pavelyev V.S., Duparre М., Kononenko V V Analysis of light propagation through one-level DOE-fragments with fabrication errors// Optical memory and neural networks, 2002.- Vol.ll, № 2 -P.131-134

23 Головашкин Д Л. Применение метода встречных прогонок для синтеза параллельного алгоритма решения сеточных уравнений трехдиагонального вида// Компьютерная оптика, 2002. - № 24 - С.33-39

24 Павельев В С, Головашкин Д Л, Кононенко В В., Пименов С М Выбор параметров микрорельефа алмазного ДОЭ на основе численного анализа локальных технологических погрешностей// Компьютерная оптика, 2002 - Ks 24 - С 81-83

25 Головашкин Д Л., Казанский Н.Л, Сафина В.Н. Применение метода конечных разностей для решения задачи дифракции Н-волны на двумерных т-электрических решетках// Компьютерная оптика, 2003. - № 25 - С 36-40

26 Pavelyev V.S., Soifer V.A., Golovashkm D.L., Kononenko VV., Konov VI., Pimenov S M., Duparre M., Luedge В Diamond DOE's for focusing of IR laser beams into pregiven focal domains// Optical memory and neural networks, 2003 -Vol 12, № 4-P 305-315

27 Pavelyev VS., Soifer VA, Golovashkm D.L, Kononenko VV., Konov VI, Pimenov S M, Duparre M, Luedge B. Diamond Diffractive Optical Elements for Infrared Laser Beam Control// Proceedings SPIE, 2004 -Vol 5182-P 222-232

28 Головашкин Д Л, Ярмушкин С В Сравнение параллельных алгоритмов решения трехдиагональных СЛАУ// Вестник СамГТУ, 2004 - № 26.-С 78-82

29 Головашкин Д Л. Горбунов О.Е Параллельные алгоритмы решения СЛАУ методом Зайделя//Вестник СамГТУ, 2004 - № 27 -С. 10-13

30 Golovashkm DL, Kazansky NL, Safina VN Use of the finite-difference method for solving the problem of H-wave diffraction by two-dimensional dielectric gratings//Optical memory and neural networks, 2004 - Vol.13, № 1 -P.55-62

31 Головашкин ДЛ. Дифракция Н-волны на двумерной диэлектрической решетке// Математическое моделирование, 2004 - Том 16, № 9.- С.83-91

32 Pavelyev V.S., Soifer V.A., Golovashkin D.L., Kononenko V.V., Konov V.I, Pimenov S.M Diamond Diffractive Optical Elements for Infrared Laser Beam Control// Proceedings SPIE, 2004 - Vol. 5456 -P. 209-219.

33 Головашкин Д.Л Параллельные алгоритмы метода встречных прогонок// Материалы четвертого международного научно-практического семинара и Всероссийской молодежной школы «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах» - Самара, 2004 - С 59-66

34 Головашкин Д Л. Дифракция Н-волны на двумерной идеально проводящей решетке// Математическое моделирование, 2005. - Том 17, № 4,- С.53-61.

35 Бородин С А, Волков А В, Казанский Н Л, Карпеев С В, Моисеев О Ю , Павельев В С, Якуненкова Д М, Рунков ЮЛ., Головашкин Д Л. Формирование и исследование дифракционного микрорельефа на торце галогенид-ного ИК волновода// Компьютерная оптика, 2005 - № 27 - С 45-49

36 Головашкин Д Л, Филатов М.В Параллельные алгоритмы метода циклической прогонки// Компьютерная оптика, 2005 - № 27 - С 123-130.

37 Головашкин Д.Л Параллельные алгоритмы решения сеточных уравнений трехдиагонального вида, основанные на методе встречных прогонок// Сборник трудов II Международной научной конференции "Сетевые компьютерные технологии" - Минск, 2005 - С 75-80

38 Головашкин Д.Л Параллельные алгоритмы решения сеточных уравнений трехдиагонального вида, основанные на методе встречных прогонок// Математическое моделирование, 2005 - Том 17, № 11 - С 118-128

39 Golovashkin D L. Simulation of light propagation through a DOE using the FDTD method//Proceedings SPIE, 2006 - Vol. 6187 -P. 61870G-1-61870G-11

40. Golovashkin D L Simulation of light propagation through a grids and lenses using the FDTD method// Proceedings of the ICO Topical Meeting on Optomfor-matics/Information Photonics' 2006 - St Peterburg, 2006 - P.457-4S9

41 Gavnlov A V., Karpeev S V, Pavelyev V S, Golovashkin D L Numerical investigation of mode content depending on step-like fiber's micro-bending with use of beam propagation method// Proceedings of the ICO Topical Meeting on Optoin-formatics/Information Photonics' 2006.- StPeterburg, 2006 - P 167-169

42 Головашкин Д Л., Казанский Н.Л Методика формирования падающей волны при разностном решении уравнений Максвелла// Автометрия, 2006-Том 42, № 6 -С 78-85

43. Волков АВ, Головашкин ДЛ, Брополов, НЛ. Казанский, С В Карпеев, О Ю. Моисеев, В С Павельев, В.Г Артюшенко, В.В Кашин Исследование погрешностей формирования дифракционной решетки на торце галогенид-ного ИК-волновода// Известия СНЦ РАН, 2006 - Том 8, № 4.-С 1211-1217.

44 Головашкин Д Л, Казанский НЛ Декомпозиция сеточной области при разностном решении уравнений Максвелла// Математическое моделирование, 2007. - Том 19, № 2 - С 48-58

45 Головашкин Д Л Постановка излучающего условия при моделировании работы циндрических дифракционных оптических элементов методом разностного решения уравнений Максвелла// Математическое моделирование, 2007 - Том 19, № 3.- С.3-14.

46. Golovashkin D L. Finite-difference methods for solving Maxwell's equations, invited paper// Proceedings of the International Sino-Russia Seminar on Diffractive Optics, Edited by Optoelectronic Topical Committee of China Aerospace Soci-

. ety-Xi'an(China)-2007-P.181-186.

47. Головашкин ДЛ., Логанова Л В. Векторный алгоритм метода встречных прогонок для потока задач// Труды четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" - Самара, 2007 - С. 25-28

Подписано к печати 10.08 2007 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Уел печ.л 2,0 Тираж 100 экз

ВВЕДЕНИЕ

1 Глава. РАЗНОСТНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В

ЗАДАЧАХ МИКРООПТИКИ

1.1 Уравнения Максвелла в дифракционной микрооптике

1.1.1 Уравнения Максвелла

1.1.2 Граничные условия

1.1.3 Начальные условия

1.2 Разностные схемы для уравнений Максвелла

1.2.1 Разностные схемы Yee

1.2.1.1 Одномерный случай

1.2.1.2 Двумерный случай

1.2.2 Неявные разностные схемы

1.3 Переход к комплексной амплитуде

1.4 Наложение поглощающих слоев

1.4.1. Постановка поглощающих граничных условий и наложение поглощающих слоев

1.4.2. Разностная аппроксимация уравнений Максвелла в поглощающих слоях

1.4.3. Объединение поглощающих слоев при векторизации вычислений

1.4.4. Универсальные сеточные области

1.5 Формирование падающей волны

1.5.1 Метод "жесткого" источника

1.5.2 Метод результирующего поля

1.5.3 Метод разделенного поля

1.5.3.1 Одномерный случай

1.5.3.2 Двумерный случай

1.5.4 Сравнение методов формирования падающей волны Выводы Главы

2 ГЛАВА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ СУБВОЛНОВЫЕ ДИФРАКЦИОННЫЕ РЕШЕТКИ НА ТОРЦЕ ОПТИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА

2.1 Тестирование модели, основанной на разностном решении уравнений Максвелла, на примере субволновых дифракционных решеток

2.1.1. Дифракция Н-волны на идеально проводящих решетках

2.1.2. Дифракция Н-волны на диэлектрической бинарной решетке

2.1.3. Дифракция Н-волны на алмазной антиотражающей периодической структуре

2.2 Исследование бинарной дифракционной решетки на торце галоге-нидного ИК-волновода

2.2.1. Влияние недотрава, перетрава и клина травления

2.2.2 Влияние прогиба решетки

Выводы Главы

3 ГЛАВА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ДИФРАКЦИОННЫЕ МИКРОЛИНЗЫ

3.1 Тестирование модели, основанной на разностном решении уравнений Максвелла, на примере диэлектрического цилиндра круглого сечения

3.2 Моделирование прохождения света через дифракционные микролинзы с высокой числовой апертурой

3.3 Распространение электромагнитного излучения через алмазную дифракционную микролинзу с технологическими искажениями расчетного микрорельефа

3.3.1. Распространение электромагнитного излучения через локальные фрагменты ДОЭ с технологическими погрешностями изготовления

3.3.2. Распространение электромагнитного излучения через алмазную четырехуровневую дифракционную микролинзу 171 Выводы Главы

4 ГЛАВА СОКРАЩЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЗАТРАТ ПРИ РАЗНОСТНОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МИКРООПТЖИ

4.1. Декомпозиция сеточной области при разностном решении уравнений Максвелла

4.1.1 Декомпозиция одномерной сеточной области

4.1.1.1 Декомпозиция на две подобласти в свободном пространстве

4.1.1.2 Декомпозиция на две подобласти в случае неоднородной диэлектрической среды

4.1.1.3 Декомпозиция на произвольное количество подобластей в случае неоднородной диэлектрической среды

4.1.2 Декомпозиция двумерной сеточной области

4.1.2.1 Одномерная декомпозиция для двумерной дифракционной решетки

4.1.2.2 Декомпозиция при однородных диэлектрических включениях

4.2. Параллельные алгоритмы решения трехдиагональных сеточных уравнений неявных разностных схем

4.2.1. Алгоритм для одномерной сеточной области

4.2.2. Алгоритм для двумерной сеточной области, линейное разбиение

4.2.3. Алгоритм для двумерной сеточной области, циклическое разбиение

Диссертация посвящена решению задачи дифракции лазерного излучения на элементах микрооптики, основанному на разностных схемах для уравнений Максвелла, декомпозиции сеточной области, реализации параллельных вычислений и исследованию на этой основе алмазных поликристаллических дифракционных оптических элементов (ДОЭ) и дифракционных решеток на торце волновода.

Актуальность темы.

Дифракционная компьютерная оптика развивается более 25 лет, начиная с основополагающих работ A.M. Прохорова, A.JI. Микаэляна, И.Н. Си-сакяна и В.А. Сойфера /61,62-64,66-68,71,72,93,128,129/. За прошедшие годы решены фундаментальные задачи фокусировки и селекции мод лазерного излучения /85/, формирования бездифракционных пучков /8/ и т.п. Созданные ДОЭ нашли широкое применение в лазерных технологических установках, оптических приборах и устройствах хранения и поиска информации. Количество публикаций по данной тематике отечественных и зарубежных авторов к настоящему времени весьма велико и продолжает бурно расти. В силу этого тематика работы является актуальной в широком смысле.

Необходимо отметить тенденции к миниатюризации ДОЭ /99*/ и их интеграции с другими оптическими /1*1 или электронными /156/ компонентами различных устройств. Кроме улучшения массогабаритных характеристик, миниатюризация позволяет использовать для изготовления ДОЭ материалы, применение которых при производстве элементов рефракционной оптики либо невозможно, либо связано со значительными техническими трудностями и финансовыми затратами. Миниатюризация приводит к уменьшению линейных размеров зон Френеля на ДОЭ й выдвигает соответствующее требование субволнового разрешения технологических установок, применяемых для их создания. При этом методы расчета, основанные на геометрическом и скалярном приближениях, становятся неадекватными, что приводит к постановке задачи решения уравнений Максвелла в векторной форме и обусловливает актуальность основного направления данной работы - расчета дифракции лазерного излучения в рамках строгой электромагнитной теории. В частности, дифракции на алмазных поликристаллических пленках с нанесенным субволновым микрорельефом /162*/.

Интеграция элементов микрооптики открывает широкие возможности для создания гибридных оптических структур, сочетающих достоинства ДОЭ и элементов традиционной оптики. Примером тому может служить формирование фокусатора в прямоугольник на торце кварцевого волновода /202/. С развитием исследований в данном направлении связано нанесение светоделительной дифракционной решетки на торец галогенидного ИК-волновода /7*/. Совмещение ДОЭ и волновода позволяет снизить потери на френелевское отражение (показатель преломления материала волновода п=2,15) и избежать юстировки объединенной оптической системы. Следовательно, актуально изучение распространения света через дифракционную решетку, сформированную на торце галогенидного ИК-волновода - также требующее применения строгой теории дифракции в силу субволнового профиля решетки.

Развитие микротехнологии позволяет создавать ДОЭ технологическими автоматами с субволновым разрешением. Однако, несовершенства технологий приводят к отклонению получаемых характеристик дифракционного микрорельефа от расчетных. Учетом влияния технологических погрешностей изготовления на работу дифракционных микролинз и бинарных решеток из оптического стекла (п=1,5) занимались Волков А.В., Ски-данов Р.В., 2000; Скиданов Р.В., Хонина С.Н., 2004; Досколович Л.Л., Тя-вин Е.В. 2005 г /22,73,99*, 130,215/, оставаясь, однако, в рамках геометрической и скалярной оптики.

Метод абляции /182/, применяемый для формирования микрорельефа на поликристаллических алмазных пленках, характеризуется наличием технологических погрешностей на стыке элементарных областей микроструктурирования, имеющих субволновые линейные размеры /35*,36*/. Изучение влияния таких погрешностей на формирование дифракционной картины за оптическим элементом ранее не проводилось, что делает эту задачу актуальной.

Нанесение светоделительной дифракционной решетки на торец гало-генидного ИК-волокна сопровождается изготовлением матрицы решетки посредством химического травления и штамповкой рельефа. Каждому технологическому этапу присущи свои погрешности, влияющие на работу дифракционной решетки, которые ранее не исследовались.

Краткий анализ методов расчета дифракции лазерного излучения на элементах микрооптики с субволновыми неоднородностями микрорельефа.

Методы расчета дифракционной картины на элементах микрооптики в рамках геометрической и скалярной теории света, разработанные Сойфе-ром В.А., Голубом М.А., Казанским Н.Л., Котляром В.В. и Досколовичем Л.Л., представленные в работе /99*/, теряют адекватность при переходе в субволновую область, в силу чего не подлежат дальнейшему рассмотрению.

Аналитическое решение задачи дифракции на оптическом элементе в рамках строгой теории света возможно лишь для весьма ограниченного набора случаев /11/: дифракция на бесконечном цилиндре (идеально проводящем либо диэлектрическом) круглого сечения, шаре и клине.

Численные методы исследования дифракции электромагнитных волн на оптических элементах в рамках строгой теории развиваются в течение последних 10 лет, начиная с работы /187/. При этом, численные методы решения основных уравнений электродинамики известны достаточно давно и успешно применялись в других областях. В частности, в теории антенн, в силу меньшей вычислительной сложности задач технической электродинамики. Примером может служить популярный сборник Р. Митры 1973 года выпуска /105/ по вычислительной электродинамике.

Касаясь задач, более близких к оптике, необходимо отметить фундаментальную работу 1980 года (R. Petit) /158/ по электромагнитной теории решеток, широко цитируемую в современной литературе, и работу Доско-ловича Л.Л. /99*/, взявшего на себя труд по численной реализации методов расчета электромагнитного поля за бесконечными периодическими структурами из /158/. Воспользуемся классификацией авторов /99*, 158/, разделив такие методы на модовый, интегральные и дифференциальные.

Первый метод применим для анализа дифракции на идеально проводящих решетках ступенчатого профиля и заключаются в поиске решения уравнения Гельмгольца в виде мод волновода с идеально проводящими стенками. Обобщенный вариант модового метода, представленный в работе Досколовича Л.Л. /99*/ численно устойчив, однако характеризуется узкой областью применения.

Интегральные методы, основанные на численном решении интегральных уравнений Фредгольма, описывающих дифракцию электромагнитной волны на идеально отражающей решетке произвольного профиля, связаны с решением систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), не всегда хорошо обусловленных, и характеризуются повышенной вычислительной сложностью /158/.

Дифференциальный /158/ метод решения задачи дифракции на диэлектрических и проводящих решетках основан на послойном разложении в ряд Фурье функции диэлектрической проницаемости профиля решетки и разложении Релея поля в профиле и вне его с последующей подстановкой таких разложений в уравнение Гельмгольца. Численная реализация метода, предложенная Досколовичем Л.Л. /99*/, не характеризуется сходимостью в силу неустойчивости процедуры обращения плохо обусловленной матрицы. Впрочем, в недавних работах /189,190/ (Moharam M.G., Grann Е.В., Pommet D.A., Gaylord) приведены устойчивые численные реализации метода (его современное название rigorous coupled- wave analysis), однако его вычислительная сложность для трехмерного случая ограничивает применение дифференциального подхода.

Методы исследования дифракции на непериодических оптических элементах можно классифицировать аналогичным образом. К интегральным следует отнести подходы, основанные на численном решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода, представленные как в работах по вычислительной электродинамике: Неганова В.А., Раевского С.Б., Ярового Г.П. /109/, В.В. Панасюка, М.П. Саврука, З.Т. Назарчука /115/, Е.Н. Васильева /15/; так и по оптике: Котляра В.В., Налимова А.Г., Скида-новаР.В. /82/.

Применение численных методов электродинамики не всегда возможно в оптических приложениях. Действительно, для расчета элементов с субволновыми неоднородностями необходима строгая теория дифракции. Однако размеры оптических элементов с субволновыми неоднородностями составляют сотни и тысячи длин волн (в отличие от технической электродинамики, где линейные размеры антенн сравнимы с длиной излучаемых ими волн). Для моделирования дифракции на их поверхности вычислительная сложность классических численных методов электродинамики чрезмерна. Метод, разработанный Котляром В.В., Налимовым А.Г. и Ски-дановым Р.В. /82/, является итерационным, в силу чего отличается малым числом арифметических операций, но неустойчив при исследовании элементов, размеры которых превышают несколько длин волн.

К дифференциальным методам решения задачи дифракции на ограниченных элементах отнесем подходы, основанные на решении уравнений Гельмгольца, Даламбера и Максвелла. В работе /187/ (М. Mirotznik, D. Prather, J. Mait) предложен гибридный метод конечных и граничных элементов решения уравнения Гельмгольца к исследованию дифракции на бинарной микролинзе. Данный метод совершенствовался в работах /84,111,184/ Котляром В.В., Нестеренко Д.В, Личмановым М.А. Однако, в силу высокой вычислительной сложности, область его применения распространяется на элементы с апертурой в несколько длин волн. К тому же, предложенный подход не позволяет перейти к трехмерному случаю. Аналогичным недостатком характеризуется метод разностного решения уравнения Даламбера, представленный A. Renaut в работе /209/. Решая волновое уравнение можно изучить поведение электромагнитной волны только одного типа (Н или Е). Если дифракция на трехмерном оптическом элементе приведет к появлению волны другого типа, то полученное решение окажется неверным. Приведенных недостатков лишен разностный метод решения уравнений Максвелла, наиболее полно представленный в монографии A. Taflove, S. Hagness /219/, выдержавшей к настоящему моменту три издания.

Появившись в середине прошлого века /155/ (G. Сгоп, 1944 год), численный метод решения уравнений Максвелла прошел несколько стадий развития. Ранее всего (S.K. Yee 1966 год) /236/ были записаны разностные уравнения, обладающие высокими порядками аппроксимации исходной дифференциальной задачи по времени и пространству. Неявные разностные схемы, характеризующиеся абсолютной устойчивостью, были представлены в 1997 году /31*/ Головашкиным Д.Л., Дегтяревым А.А. и Сой-фером В.И., в 1998 году /32*/ теми же авторами был повышен порядок аппроксимации по времени для неявных схем, а в 2000 году /219/ и по пространству (Zheng, Chen, Zhang).

В 1994 году J.-P. Berenger /151/ удовлетворительно решил проблему численного описания поглощения излучения, покидающего границы вычислительной области. Однако расположение поглощающих слоев в вычислительной области и традиционные граничные условия препятствует успешной векторизации вычислений по методу.

Задача моделирования работы источника падающей волны, поставленная еще Yee в работе /236/, решается с разной степенью точности во многих работах вплоть до настоящего времени. Первый способ задания падающей волны, позволяющий ограничить вычислительную область исследуемым объектом и его ближайшей окрестностью, был сформулирован в работе /222/ (Taflove A., Brodwin М., 1975 год). Более точный метод опубликован в 1980 году /223/ (Taflove А.) в рамках TF/SF методики (Total-Field/Scattering-Field technique). С повышением точности данного подхода в области, заключенной в оболочку из однородной среды, связана работа 1999 года /203/ (D.W. Prather and S. Shi), авторы которой предпочли задавать излучающие условия численно, вместо аналитической формы, как это ранее предлагалось в /223/. Однако, при моделировании работы дифракционных оптических элементов конструирование такой оболочки приводит к многократному росту вычислительной сложности алгоритма, так как в расчетную область приходится помещать весь оптический элемент.

Снижению вычислительной сложности способствует наложение подвижной сеточной области, предложенное в /159/ (В. Fidel, Е. Heyman, R. Kastner and R.W. Zioklowski). Указанный прием хорошо зарекомендовал себя при изучении распространения короткого импульса в однородной среде. Однако его применение затруднительно для оптического элемента с многочисленными границами раздела сред и невозможно в случае монохроматической волны.

Другой традиционный способ сокращения длительности вычислений по разностным схемам - реализация параллельных алгоритмов расчета. Применительно к явным разностным уравнениям Yee, такие алгоритмы были предложены А.Т. Perlik в работе /201/. При вычислениях по неявным схемам из /219,31*,32*/ задача сводится к решению СЛАУ с матрицей трехдиагонального вида. Параллельные алгоритмы решения такой СЛАУ классифицируются на алгоритмы с декомпозицией данных и функциональной декомпозицией.

К алгоритмам, основанным на декомпозиции данных, относятся известные из работ Ортеги Д. М., Голуба Дж, Ван Лоуна Ч. /60,114/ алгоритмы циклической редукции и декомпозиции ленточной матрицы, характеризующиеся двукратным и трехкратным увеличением вычислительной сложности по сравнению с последовательным алгоритмом метода прогонки.

На таком методе основаны алгоритмы, использующие функциональную декомпозицию. В работе /102/ Миренкова Н.Н. представлены два подобных алгоритма: с линейным и циклическим разбиением сеточной области. Первый отличается простоями процессоров, второй не нашел широкого применения в силу большого объема пересылаемых данных.

Целью работы является решение задачи дифракции лазерного излучения на элементах микрооптики с применением разностных схем для уравнений Максвелла, декомпозиции сеточной области, реализацией параллельных вычислений и исследование на этой основе алмазных поликристаллических ДОЭ и дифракционных решеток на торце волновода.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Создание математических методов и алгоритмов для проведения вычислительных экспериментов, обеспечивающих исследование дифракции лазерного излучения на элементах микрооптики; в том числе: внутри оптического элемента; на ДОЭ с высокой числовой апертурой; на ДОЭ, сформированных на диэлектрических и проводящих материалах.

2. Анализ погрешностей формирования дифракционных решеток на торце ИК-волновода и их влияния на оптические характеристики решетки.

3. Исследование прохождения света через микрорельеф ДОЭ на алмазных пленках с технологическими погрешностями изготовления и разработка методов уменьшения влияния таких погрешностей.

4. Сокращение вычислительных затрат при расчете дифракции электромагнитных полей по разностным схемам посредством декомпозиции сеточной области.

5. Синтез параллельных алгоритмов для реализации вычислений по неявным разностным схемам при решении задачи дифракции на оптическом микрорельефе.

Структура и краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Приложения и Заключения. В первой Главе представлены явные и неявные разностные схемы для уравнений Максвелла, записан способ перехода к комплексной амплитуде при изучении распространения монохроматической волны, предложена универсальная сеточная область и разработаны методики формирования падающего поля при исследовании дифракции на элементах микрооптики.

Выводы Главы 4

1. Разностное решение уравнений Максвелла при изучении дифракции света на оптическом микрорельефе характеризуется высокой вычислительной сложностью, что до последнего времени делало невозможным его использование для решения задач оптики. К настоящему моменту, с развитием вычислительных систем, появилась эффективная возможность решать новый класс оптических задач, в частности проводить расчет оптических элементов с апертурами до 1000А, в рамках строгой электромагнитной теории света на основе разностного метода. При этом необходима разработка специализированных вычислительных процедур, учитывающих особенности как оптических элементов, так и вычислительных систем.

2. Декомпозиция сеточной области при разностном решении уравнений Максвелла позволяет существенно сокращать длительность вычислений за счет учета локально-устоявшихся фрагментов поля. Например, при декомпозиции слоистого дифракционного оптического элемента на 128 подобластей, достигается выигрыш по длительности вычислений в 40 раз.

3. Синтезированные параллельные алгоритмы для реализации вычислений по неявным разностным схемам отличаются от известных аналогов применением метода встречных прогонок и циклической декомпозицией сеточной области. При этом они характеризуются большей вычислительной эффективностью: по сравнению с методами декомпозиции ленточной матрицы и циклической редукции от 3,6 до 1,5 раз снижено количество арифметических операций, по сравнению с алгоритмами, основанными на правой прогонке, длительность простоев и объем пересылаемых данных сокращены в 2 раза.

4. Реализация блочного варианта алгоритма метода встречных прогонок позволяет повысить ускорение вычислительного процесса за счет учета пакетной структуры пересылаемых по сети данных. Например, при дискретизации вычислительной области 1000x1000 узлов и циклическом разбиении, ускорение четырехзадачного вычислительного процесса возрастает с величины 2,99 (в не блочном варианте) до 3,791 (в блочном варианте).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решена задача дифракции лазерного излучения на оптическом микрорельефе с использованием разностных схем для уравнений Максвелла, декомпозиции сеточной области и параллельных вычислений; на этой основе исследованы алмазные поликристаллические ДОЭ и дифракционные решетки на торце волновода.

Основными результатами работы являются следующие:

1. Разработан комплекс методов и алгоритмов, позволяющих проводить вычислительные эксперименты для исследования широкого класса элементов микрооптики.

2. Исследованы технологические погрешности формирования дифракционной решетки на торце галогенидного ИК-волновода и их влияние на светоделительные свойства решетки. Показано, что решающее значение на искажение дифракционной картины оказывает клин травления, уводя из рабочих порядков до четверти энергии падающей волны. Прогиб профиля решетки до величины 1,4 мкм при радиусе сердечника волокна в 420 мкм оказывает меньшее влияние на дифракционную картину (из рабочих порядков уходит до 6% энергии падающей волны), так же как и перетрав (не-дотрав) профиля решетки, равный 10% глубины канавки (из рабочих порядков уходит до 4% энергии падающей волны).

3. Исследовано влияние технологических погрешностей изготовления на работу алмазных дифракционных микроструктур. Показано, что погрешности в виде впадин на микрорельефе алмазных ДОЭ связаны с меньшими (в среднем на 25%) энергетическими потерями, чем погрешности в виде выступов. Увеличение линейного размера элементарной области травления приводит к относительному снижению дифракционных потерь данного типа (в среднем на 30% при полуторном увеличении линейного размера).

221

4. Для расчета дифракции на ДОЭ посредством разностного решения уравнений Максвелла разработан метод декомпозиции сеточной области. Метод позволяет сочетать разностное решение на микрорельефе ДОЭ и разложение по плоским волнам в подложке, что сокращает длительность моделирования (ускорение вычислений пропорционально отношению толщины ДОЭ к высоте рельефа).

5. Разработаны параллельные алгоритмы для реализации вычислений по неявным разностным схемам. Представленные параллельные алгоритмы отличаются от известных аналогов применением метода встречных прогонок и циклической декомпозицией сеточной области. При этом они характеризуются большей эффективностью: по сравнению с методами декомпозиции ленточной матрицы и циклической редукции от 3,6 до 1,5 раз снижено количество арифметических операций, в отличие от алгоритмов, основанными на правой прогонке, длительность простоев и объем пересылаемых данных сокращены в 2 раза.

1. Барский А. Б. Параллельные процессы в вычислительных системах ,-М.: Радио и связь, 1990.-255 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений .- М.: Физматгиз, 1962,-т.2., 639 с.

3. Бирюкова Л.Ю., Четверушкин Б.Н. О возможности реализации квазигидродинамической модели полупроводниковой плазмы на многопроцессорных вычислительных системах// Математическое моделирование, 1991,- Том 3,№ 6,-с. 61-71.

4. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики .-М.:Наука, 1982.-146 с.

5. Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ.-М.:Наука, 1973,- 720 с.

6. Бутиков Е.И. Оптика: Учебное пособие для студентов физических специальностей вузов,- СПб.:Невский Диалект, 2003.-480 с.

7. Вабищев П.Н. Численное моделирование .- М.:МГУ, 1993.-152 с.

8. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. -М.:Наука, 1982.-272 с.

9. Вальковский В.А., Котов В.Е., Марчук А.Г., Миренков Н.Н. Элементы параллельного программирования.- М.:Радио и связь, 1983.- 239с.

10. Вальковский В.А., Малышкин В.И. Синтез параллельных программ и систем на вычислительных моделях .-Новосибирск: Наука, 1988.-126 с.

11. Валях Е. Последовательно-параллельные вычисления: Пер. с англ .-М.:Мир, 1985.-456 с

12. Васильев Е.Н. Алгоритмизация задач дифракции на основе интегральных уравнений// Сб. науч.-метод. ст. по прикл. электординамике, 1977.-вып. 1,-с. 94-128.

13. Велихов Е.П., Голубев B.C., Григорянец А.Г., Лебедев Ф.П., Николаев Г.А. Мощные газоразрядные СО2 лазеры и их применение в технологии .-М.:Наука, 1984.-105 с.

14. Взятышев В.Ф. Диэлектрические волноводы .- М.:Советское радио, 1970.-206 с.

15. Волков А.В., Скиданов Р.В. Численное исследование дифракции света на дифракционных линзах// Вестник СГТУ, 2000,- вып. 9.-е. 35-39.

16. Вычислительная оптика. Справочник под редакцией М.М. Русинова .-JL: Машиностроение, 1984,- 423с.

17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц .-М.:Наука, 1988.-552 с.

18. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы .-М.:Наука, 1973.-400 с.

19. Толовашкин Д.Л. Постановка излучающего условия при моделировании работы цилиндрических дифракционных оптических элементов методом разностного решения уравнений Максвелла// Математическое моделирование, 2007,- Том 19, № 3,- с. 3-14.

20. Толовашкин Д.Л. Дифракция Н-волны на двумерной диэлектрической решетке методом разностного решения уравнений Максвелла// Математическое моделирование, 2004.- Том 16, № 9,- с. 83-91.

21. Толовашкин Д.Л. Разностная схема для уравнений Максвелла// Труды XI межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 1999,- с.43-45.

22. Толовашкин Д.Л., Дегтярев А.А., Сойфер В.А. Моделирование волно-водного распространения оптического излучения в рамках электромагнитной теории// Компьютерная оптика, 1997. № 17 с. 5-9.

23. Толовашкин Д.Л., Дегтярев А.А. Алгоритм второго порядка точности по времени для решения уравнений Максвелла// Компьютерная оптика, 1998,-№ 18,- с. 39-41.

24. Толовашкин Д.Л., Сойфер В.А. Анализ прохождения электромагнитного излучения через дифракционную линзу// Автометрия, 1999.- Том 35, № 6.-с. 119-121.

25. Толовашкин Д.Л., Дюпарре М., Павельев B.C., Кононенко В.В. Анализ распространения излучения через одноуровневые фрагменты ДОЭ с технологическими погрешностями// Компьютерная оптика, 2001,- № 22,- с. 62-64.

26. Толовашкин Д.Л. Анализ распространения излучения через фрагменты ДОЭ с технологическими погрешностями микрорельефа// Известия СНЦ РАН, 2002,- Том 4, № 1.- с. 68-72.

27. Толовашкин Д.Л. Параллельные алгоритмы решения сеточных уравнений трехдиагонального вида, основанные на методе встречных прогонок// Математическое моделирование, 2005,- Том 17, № 11.-е. 118128.

28. Толовашкин Д.Л. Применение метода встречных прогонок для синтеза параллельного алгоритма решения сеточных уравнений трехдиагонального вида// Компьютерная оптика, 2002,- № 24,- с. 33-39.

29. Толовашкин Д.Л., Сойфер В.А., Шустов В.А. Реализация параллельных вычислений при разностном решении уравнений математической физики// Известия СНЦ РАН, 2000,- Том 2, № 1.-С.108-112.

30. Головин Б.А. Расчет характеристик и планирование параллельных вычислительных процессов ,-М.:Радио и связь, 1983,- 272 с.

31. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.:Мир, 1999,- 548 с.

32. Голуб М.А., Карпеев С.В., Прохоров A.M., Сисакян И.Н., Сойфер В.А. Фокусировка излучения в заданную область пространства с помощью синтезированных на ЭВМ голограмм// Письма в ЖТФ, 1981.- Т. 7, выпуск 10.-с. 618-623.

33. Голуб М.А., Казанский Н.Л., Сисакян И.Н., Сойфер В.А. Вычислительный эксперимент с элементами плоской оптики// Автометрия, 1988,- №1.-с.70-82

34. Голуб М.А., Казанский Н.Л., Сойфер В.А. Математическая модель фокусировки лазерного излучения элементами компьютерной оптики // Научное приборостроение, 1993.-т.З.,№1.-с.8-28.

35. Голуб М.А., Дегтярева В.П., Климов А.Н., Попов В.В., Прохоров A.M., Сисакян И.Н., Сойфер В.А. Машинный синтез фокусирующих элементов для С02-лазера// Письма в ЖТФ, 1982,- Том 8, выпуск 13,- с. 449-451.

36. Гончаренко A.M., Редько В.П. Введение в интегральную оптику,-Минск: Наука и техника, 1975.-152 с.

37. Гончарский А.В., Данилов В.А., Попов В.В., Прохоров A.M., Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Степанов В.В. Решение обратной задачи фокусировки лазерного излучения в произвольную кривую// Доклады АН СССР, 1983.-Том 273, № 3,- с. 605-608.

38. Гончарский А.В., Данилов В.А., Попов В.В., Прохоров A.M., Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Степанов В.В. Фокусаторы лазерного излучения, падающего под углом// Квантовая электроника, 1984.- Том 11, № 1- с. 166168.

39. Гончарский А.В., Данилов В.А., Попов В.В., Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Степанов В.В. Плоские фокусирующие элементы видимого диапазона// Квантовая электроника, 1986,- Том 13, № 3,- с. 660-662.

40. Горелик Г.С. Колебания и волны ,-М.: Гос.изд.физ-мат. лит, 1959.-572 с.

41. Грицык В.В. Распараллеливание алгоритмов обработки информации в системах реального времени.-Киев: Наук. Думка, 1981,- 215 с.

42. Данилов В.А., Попов В.В., Прохоров A.M., Сагателян Д.М., Сисакян И.Н., Сойфер В.А. Синтез оптических элементов, создающих фокальную линию произвольной формы// Письма в ЖТФ, 1982,- Том 8, выпуск 13.- с. 810-815.

43. Данилов В.А., Попов В.В., Прохоров A.M., Сисакян В.В., Сисакян И.Н., Сагателян Д.М., Сойфер В.А. Оптические элементы, фокусирующие когерентное излучение в произвольную фокальную линию// Препринт N 69.-М.:ФИАН СССР, 1983,- 41с.

44. Досколович JI.JL, Тявин Е.В. Расчет бинарных дифракционных решеток с клином травления// Компьютерная оптика, 2005.- №27.- с. 17-20.

45. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Применение многопроцессорных транспьютерных систем для решения задач математической физики// Математическое моделирование, 1992.- Том 4, № 11.- с. 75-100.

46. Зоммерфельд А. Оптика: Пер. с нем .-М.: Иностранная литература, 1953г.-486с.

47. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики :Пер. с нем. -М.: Иностранная литература, 1950,- 456 с.

48. Ильинский А.С. Кравцов В.В. Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. -М.: Высшая школа, 1991,.-224 с.

49. Каули Д. Физика дифракции.-М.: Мир, 1979.-432 с.

50. Ключников А.С. Теория волновых процессов .-Минск:БГУ, 1977.-176с

51. Кононенко В.В., Конов В.И., Пименов С.М., Прохоров A.M., Павельев B.C., Сойфер В.А. Алмазная дифракционная оптика для мощных СО2-лазеров // Квантовая электроника, 1999.- Том 26, № 1.- с.9-10.

52. Котляр В.В., Налимов А.Г., Скиданов Р.В. Быстрый метод расчета дифракции электромагнитной волны на цилиндрических диэлектрических объектах// Компьютерная оптика, 2003,- №25,- с. 24-28.

53. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров ,-М.:Наука, 1977.-832 с.

54. Котляр В.В., Личманов М.А. Анализ дифракции электромагнитной волны на бесконечном круглом цилиндре с несколькими однородными слоями// Компьютерная оптика, 2002.- №24.- с.26-32.

55. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Границы применимости метода геометрической оптики и смежные вопросы// Успехи физических наук, 1980.-Том 132, №3.-с.475-496.

56. Кэй Д., Лэби Т. Таблицы физических и химических констант: Пер с англ.-М.:Физматгиз, 1962.-780 с.

57. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теория поля,- М.:Наука, 2001,- 536с.

58. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред .-М.:Физматгиз, 1959.-532с.

59. Ландсберг Г.С. Оптика.-М.:Наука, 1976,- 926 с.

60. Микаэлян А.Л., Бобриков В.И., Богомолов К.С., Вахтанова Л.П., Козлова В.К., Малинин С.М. О возможности использования фазовых голограмм для создания оптических элементов// Квантовая электроника, 1971,-№6,-с. 116-118.

61. Марешаль А., Франсон М. Структура оптического изображеция.-М.: Мир, 1964.-295 с.

62. Марков Г.Т., Петров Б.М., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн.-М.:Сов. радио, 1973.-376 с.

63. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.:Наука, 1977,456 с.

64. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа.-М.:Гос. изд. Технико-теоретической литературы, 1953.-526 с.

65. Миренков Н.Н. Параллельные алгоритмы для решения задач на однородных вычислительных системах// Вычислительные системы ИМ СО АН СССР, Новосибирск, 1973, вып. 57.- с. 3-32.

66. Миренков Н.Н. Реализация продольно-поперечных прогонок на ВС "Минск -222"// Вычислительные системы ИМ СО АН СССР, Новосибирск, 1968.-вып.30.-с.26-33.

67. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений .- М.:Наука, 1965.-383 с.

68. Молчанов И.Н. Введение в алгоритмы параллельных вычислений.-Киев.: Наук. Думка, 1990.-127 с.

69. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики : Пер. с англ.-М.: Издательство иностранной литературы, 1958, 929 с.

70. Неганов В.А., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Линейная макроскопическая электродинамика: под ред. Неганова В.А.- М.: Радио и связь, 2000,- Том1.-509 с.

71. Нестеренко Б.Б., Марчук В.А. Основы асинхронных методов параллельных вычислений,- Киев: Наук. Думка, 1989,- 171 с.

72. Нестеренко Д.В., Котляр В.В. Объединенный метод конечных элементов Галеркина и граничных элементов для анализа дифракции ТМ-поляризованной плоской волны на цилиндрических оптических элементах// Компьютерная оптика, 2002,- №24,- с.17-25.

73. Никольский В.В., Никольская Т.Н. Электродинамика и распространение радиоволн.- М.: Наука, 1999.- 544с.

74. Никольский В.В. Математический аппарат электродинамики,-М.:МИРЭА, 1973.-270 с.

75. Ортега Джеймс М. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем: перевод с англ. Х.Д. Икрамова, И.Е. Капорина; под ред. Х.Д. Икрамова М.: Мир, 1991.-364.

76. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наук. Думка, 1984,- 344 с.

77. Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика: Пер. с англ.-М.:Физматгиз, 1963.-460 с.

78. Пярнпуу А.А., Хохлюк В.И. Реализация параллельных алгоритмов в прикладных задачах.-М.: ВЦ АН СССР, 1988.-43 с.

79. Русинов М.М. Техническая оптика,- М.: Матгиз, 1961.-328 с.

80. Савельев И.В. Основы теоретической физики.-М.:Наука, 1975.-Том 1,-493с.

81. Садовничий В.А. Теория операторов .-М.:Высшая школа, 1999.-367 с.

82. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М,:Наука, 1989.-614 с.

83. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. -М.:Наука, 1971.-320 с.

84. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. -М.:Наука, 1973.-430 с.

85. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача.-М.: Едиториал УРСС, 2003.-784 с.

86. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.-М. .Наука, 1978,- 561 с.

87. Сена JI.A. Единицы физических величин и их размерности,- М.:Наука, 1988.-430 с.

88. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика.- М.: Наука, 1980,- 752с.

89. Сисакян И.Н., Сойфер В.А. Компьютерная оптика. Достижения и проблемы// Компьютерная оптика, 1987.-№1,- с. 52-67.

90. Сисакян И.Н., Сойфер В.А. Тонкая оптика, синтезируемая на ЭВМ: Физические основы прикладной голографии.-JI.: Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе АН СССР, 1984.-C.142-164.

91. Скиданов Р.В., Хонина С.Н. Влияние технологических ошибок и уши-рения линии излучения лазера на качество работы дифракционных оптических элементов// Оптический журнал, 2004.- Том 71, № 7.- с.62-64.

92. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов,- М.:Радио и связь, 1987.-654 с.

93. Сойфер В.А. Введение в дифракционную микрооптику.- Самара, 1996.-94 с.

94. Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения,- М.:Мир, 1989,- 64 с.

95. Стреттон Д. Теория электромагнетизма :Пер. с англ.-М.:Гостехиздат, 1948.-780 с.

96. Тамм И.Е. Основы теории электричества .-М.: Наука, 1976.-614 с.

97. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.:Наука, 1966.-724с.

98. Туров Е.А. Материальные уравнения электродинамики .-М.:Наука, 1983.-158с.

99. Фелсен Д., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн.-М.:Мир, 1978.-548с.

100. Физические величины. Справочник под редакцией И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова.-М.: Энергоатомиздат, 1991.- 1232с.

101. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн.-М.:Советское радио, 1970.-316 с.

102. Хансперджер Р. Интегральная оптика.-М.:Мир, 1985.-384 с.

103. Хаусс X. Волны и поля в оптоэлектронике- М.:Мир, 1988.-430 с.

104. Хиппель А.Р. Диэлектрики и волны :пер. с англ ,-М.:Иностранная литература, 1960.-438с.

105. Хоар Ч.Р. Взаимодействующие последовательные процессы: пер. с англ.-М.: Мир, 1998.-264 с.

106. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции.-М.:Наука, 1968.-344 с.

107. Ярив А. Введение в оптическую электронику,- М.:Высшая школа, 1983.-320 с.

108. Anantha V., Taflove A. Calculation of diffraction coefficients of three-dimensional infinite conducting wedges using FDTD// IEEE Trans. Antennas Propagat., 1998.- vol. 46, №11.- p. 1755-1756.

109. Anantha V., Taflove A. Efficient modeling of infinite scatterers using a generalized total-field/scattered-field FDTD boundary partially embedded within PML// IEEE Trans. Antennas Propagat., 2002.- vol. 50, № Ю,- p. 13371349.

110. Arendt S., Umashankar K.R., Taflove A., Kriegsmann G.A. Extension of on-surface radiation condition theory to scattering by two-dimensional homogeneous dielectric objects// IEEE Trans. Antennas Propagat., 1990,- vol. 38, № 10.-p. 1551-1558.

111. Berenger Jean-Pierre A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // Journal of computational physics, 1994,- № 114,- p. 185200.

112. Chang J.-H., Taflove A. Three-dimensional diffraction by infinite conducting and dielectric wedges using a generalized total-field/scattered-field FDTD formulation// IEEE Trans. Antennas Propagat., 2005,- vol. 53, № 4.- p. 14441454.

113. Cron G. Equivalent circuit of the field equations of Maxwell I// Proc. IRE, 1944,- vol. 32,- p. 289-299.

114. Chu S.T., Huang W.P., Chaudhuri S.K. Simulation and analysis of waveguide based optical integrated circuits// Computer Physics Communications, 1991.- vol. 68.-p. 451-484.

115. Engquist В., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves// Mathematics of Computation, 1977.- vol. 31p. 629-651.

116. Electromagnetic Theory on Gratings: Ed. by R. Petit.- Berlin; Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1980.- 284p.

117. Fidel В., Heyman E., Kastner R. and Zioklowski R.W. Hybrid ray-FDTD moving window approach to pulse propagation// Journal of Computational Physics, 1997,- vol. 138, Issue 2,- p.480-500.

118. Goorjian P.M., Taflov A. Direct time integration of Maxwell's equations in nonlinear dispersive media for propagation and scattering of femtosecond electromagnetic solitons// Optical society of America, 1992.-vol. 17, №.3,- p. 180182.

119. Hagness S.C., Rafizadeh D. Ho S.T. Taflove A. FDTD microcavity simulations: Design and experimental realization of waveguide-coupled single-mode ring and whispering-gallery-mode disk resonators//J. Lightwave Tech., 1997,-vol. 15, № 11.- p. 2154-2165.

120. Hatakoshi G., Fujima H.,Goto K. Waveguide grating lenses for optical couplers//Applied Optics, 1984.-vol. 23, № 11.-p. 1749-1753.

121. Hiroyuki Ichikawa Electromagnetic analysis of diffraction gratings by the finite-difference time-domain method // J. Opt. Soc. Am, 1998,- vol. 15, № 1.-p. 152-157.

122. Joseph R. M., Taflove A. FDTD Maxwell's equations models for nonlinear electrodynamics and optics// IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997.- vol. 45, № 3,- p. 364-374.

123. Jurgens T.G., Taflove A., Umashankar K.R., Moore T.G. Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces// IEEE Trans. Antennas Propagat.,1992.- vol. 40, № 4.- p. 357-366.

124. Jurgens T. G., Taflove A. Three-dimensional contour FDTD modeling of scattering from single and multiple bodies// IEEE Trans. Antennas Propagat.,1993,- vol. 41, № 12,- p. 1703-1708.

125. Katz D.S., Taflove A., Piket-May M.J., Umashankar K.R. FDTD analysis of electromagnetic wave radiation from systems containing horn antennas// IEEE Trans. Antennas Propagat., 1991,- vol. 39, №8,- p. 1203-1212.

126. Katz D. S., Thiele E. Т., Taflove A. Validation and extension to three dimensions of the Berenger PML absorbing boundary condition for FDTD meshes// IEEE Microwave Guided Wave Lett., 199 A- vol. 4, № 8,- p. 268-270.

127. Kononenko V.V., Konov V.I., Pimenov S.M., Prokhorov A.M., Pavelyev V.S., Soifer V.A. CVD diamond transmissive diffractive optics for C02 lasers // New Diamond and Frontier Carbon Technology, 2000.- № 10.- p. 97-107.

128. Kosmidou E.P., Kriezis E.E., Tsiboukis T.D. FDTD analysis of photonic crystal defect layer felled with liquid crystals// Optical and quantum electronics, 2005,- vol. 37,-p. 149-160.

129. Kotlyar V.V., Lichmanov M.A. Numerical simulation of plane wave diffraction by microobjects// Proceedings of SPIE, 2002,- vol.4705.- p.55-64.

130. Kusuda Y., Saton A., Tanaka I. Application of high NA planar microlens (PML)// International Optical Design Conference. Rochester.-1994.- p. 280-284.

131. Li Y. Establishment of the maximum encircled energy in the geometrical focal plane//Opt. Acta, 1984.-vol. 31, № 10,-p. 1107-1118.

132. Mirotznik M., Prather D., Mait J. A hybrid finite element-boundary element method for the analysis of diffractive elements// J. Mod. Opt., 1996.- vol. 43, №7,-p. 1309-1321.

133. Moharam M.G. and Gaylord Т.К. Diffraction analysis of dielectric surface-relief grating//JOSA, 1982.-№ 72.- p. 1385-1392.

134. Moharam M.G., Grann E.B., Pommet D.A. Stable and efficient implementation of the coupled-wave analysis of binary gratings // J. Opt. Soc. Am. A, 1995. vol.12, №5. - p. 1068-1076.

135. Moharam M.G., Grann E.B., Pommet D.A., Gaylord Т.К. Stable implementation of the rigorous coupled-analysis for surface-relief gratings: enhanced transmit-tance matrix approach // J. Opt. Soc. Am. A., 1995. -vol.12, №5. p. 1077-1086.

136. Motamedi M.E., Southwell W.H., Gunning W.J. Antireflection surfaces in silicon using binary optics technology// Applied Optics, 1993.-vol. 31, №22,-p.4371-4373.

137. Mur G. Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations/ IEEE Trans. Electromagnetic Compability, 1981.- vol. 23.- p. 377-382.

138. Moore T.G., Blaschak J.G., Taflove A., Kriegsmann G. A. Theory and application of radiation boundary operators// IEEE Trans. Antennas Propagat., 1988,-vol. 36, № 12,-p. 1797-1812.

139. Perlik A.T. Taflove A., Opsahl T. Predicting scattering of electromagnetic fields using FD-TD on a connection machine// IEEE Transactions on magnetics, 1989.-vol.25, № 4,- p. 2910-2912.

140. Prather D.W. and Shi S. Formulation and application of the finite-difference time-domain method for the analysis of axially symmetric diffractive optical elements// J. Opt. Soc. Am. A., 1999.- vol. 16, № 5.- p. 1131-1142.

141. Raguin D.H., Morris G.M. Antireflection structured surfscesfor the infrared spectral region// Applied Optics, 1993.-vol.32, №7.-p.l 154-1167.

142. Raguin D.H., Morris G.M. Analysis of antireflection-structured surfaces with continuous one-dimensional surface profiles// Applied Optics, 1993.-vol.32, №14.-p.2582-2598.

143. Raguin D.H., Morris G.M. Design of 1-D anti-reflection structured surface using second-order effective medium theoty//OSA technical Digest, 1992.-№-p.44-46.

144. Raguin D.H., Morris G.M. Diffraction analysis of antireflection surface-relief gratings on losslees dielectric surfaces//JOSA technical Digest, 1990.-№ 15.-p. 122-123.

145. Raguin D.H., Morris G.M. Analysis of 1-D antireflection structured surfaces//JOSA technical Digest, 1991.-№ 17.-p.T53.

146. Renaut R. Absorbing boundary conditions, difference operators, and stability// Journal of computation physics, 1992.-№ 102.-p. 236-251.

147. Reuter C.E., Joseph R.M., Thiele E.T., Katz D.S., Taflove A. Ultrawide-band absorbing boundary condition for termination of waveguiding structures in FDTD simulations// IEEE Microwave Guided Wave Lett., 1994.- vol. 4, № 10,-p. 344-346.

148. Rytov S.M. The electromagnetic properties of finely layered medium// Soviet Phis, 1956.-№ 2.-p. 466-475.

149. Schweicher E. Introductory review to diffraction optics// Rev.X, 1985.-№1.-Р.1-16.

150. Shi S., Tao X., Yang L., Prather D.W. Analysis of diffractive optical elements using a nonuniform finite-difference time-domain method// Optical Engineering, 2001.-vol. 40, № 4.- p.503-510.

151. Skidanov R. V., Khonina S.N. How processing errors and broadening of the emission line of a laser affect the operating quality of diffractive optical elements//! Opt. Technol., 2004.- vol.71, № 7.- p.469-471.

152. Strickel M.A., Taflove A., Time-domain synthesis of broadband absorptive coatings for two-dimensional conducting targets// IEEE Trans. Antennas Propa-gat., 1990,- vol. 38, № 7,- p. 1084-1091.

153. Stratis G., Anantha V., Taflove A. Numerical calculation of diffraction coefficients of generic conducting and dielectric wedges using FDTD// IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997,- vol. 45, № 10.- p. 1525-1529.

154. Swanson G., Veldkamp W. Binary lenses for use at 10.6 micrometers//Opt. Eng, 1985.- vol. 24, № 5,- p. 791-795.

155. Taflove A., Hagness S. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method: 3nd. ed. Boston.Arthech House Publishers, 2005,- 852 p.

156. Taflove A., Brodwin M. Numerical solution of steady-state electromagnetic scattering problems using the time-dependent Maxwell's equations// IEEE Transactions of microwave theory and techniques, 1975,- vol. mtt-23, №.8, p. 623-630.

157. A. Taflove, K.R. Umashankar Review of FD-TD numerical modeling of electromagnetic wave scattering and radar cross section // Proc. IEEE, 1989.-vol. 77, № 5.- p. 682-699.

158. Taflove A., Brodwin M. Computation of the electromagnetic fields and induced temperatures with a model of the microwave irradiated human eye // IEEE Transactions of microwave theory and techniques, 1975,- vol. mtt-23, № 11,-p. 888-896.

159. Taflove A. Application of the finite-difference time-domain method to sinusoidal steady-state electromagnetic-penetration problems // IEEE Transactions of microwave theory and techniques, 1980.- vol. mtt-22, № 3.- p. 191-202.

160. Taflove A., Umashankar K.R. A hybrid moment method / finite-difference time-domain approach to electromagnetic coupling and aperture penetration into complex geometries// IEEE Trans. Antennas Propagat., 1982.- vol. 30, №4,- p. 617-627.

161. Taflove A., Umashankar K.R. Radar cross-section of general three-dimensional structures// IEEE Trans. Electromagn. Compat., 1983,- vol. 25, № 4. p. 433-440.

162. Taflove A., Umashankar K.R., Jurgens T.G. Validation of FDTD modeling of the radar cross-section of three-dimensional structures spanning up to 9 wavelengths// IEEE Trans. Antennas Propagat., 1985 vol. 33, № 6,- p. 662-666.

163. Taflove A., Umashankar K.R., Beker В., Harfoush F.A., Yee K.S. Detailed FDTD analysis of electromagnetic fields penetrating narrow slots and lapped joints in thick conducting screens// IEEE Trans. Antennas. Propagat., 1988,- vol. 36, №2,-p. 247-257.

164. Taflove A. Review of the formulation and applications of the finite-difference time-domain method for numerical modeling of electromagnetic wave interactions with arbitrary structures// Wave Motion, 1988,- vol. 10,- p. 547-582.

165. Taflove A. Re-inventing electromagnetics: Supercomputing solution of Maxwell's equations via direct time integration on space grids// Computing Systems in Engineering, 1992.- vol. 3, № 12.- p. 153-168.

166. Taflove A. A perspective on the 40-year history of FDTD computational electrodynamics// J. Applied Computational Electromagn. Soc., 2007,- vol. 22, №. 1.- p. 1-21.

167. Umashankar K., Taflove A. A novel method to analyze electromagnetic scattering of complex objects // IEEE Trans. Electromagn. Compat. EMC-24, 1982,-p. 397-405.