Разностные методы для задач распространения оптического излучения в нелинейных средах внутри резонатора и в облачной среде тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ЕВВДЕШЕ.

ГЛАВА I. МТШАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИССВДУЕМЬК ВНУТРИРЕЗОНАТОР

НЫХ ЗДЦАЧ.

§ I. Укороченные уравнения для взаимодействия оптического излучения с активной средой в плоскопараллельном резонаторе.

§ 2. Краткая постановка исследуемых внутрирезонаторных задач.

ГЛАВА П. РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РАСЧЕТА ПОЛЯ В РЕЗОНАТОРЕ

С АКТИВНОЙ СРЩМ.

§ I. Математическая Постановка задачи. Некоторые априорные оценки.

§ 2. Построение разностной схемы. Итерационный метод решения.

§ 3. Ограниченность решения разностной задачи

§ 4. Сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной.

§ 5. Численные расчеты.

ГЛАВА Ш. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВНУТРИРЕ30НАТ0РН0Й

ГЕНЕРАЦИИ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ.

§ I. Исходные уравнения. Ограниченность решения

§ 2. Разностная схема. Существование и единственность решения разностной задачи.

§ 3. Оценки разностного решения. Сходимость разностного решения к достаточно гладкому дифференциальному

§ 4. Численные расчеты задачи о ВРТБГ.

ГЛАВА 1У. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЗАДАЧ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ОБЛАЧНОЙ СРЕДЕ

§ I. Физическая постановка задачи

§ 2. Стационарное распространение пучка в неподвижной среде. Координаты (7,%).

§ 3. Распространение импульсного излучения в движущейся среде. Координаты

§ 4. Распространение импульсного излучения в неподвижной среде. Координаты (7fZ?t).

§ 5. Численные расчеты для задачи о распространении импульсного излучения в движущейся среде

Для успешного решения сложных задач, возникающих в различных областях науки и техники, необходимы глубокие и всесторонние теоретические исследования. Большинство процессов, изучаемых в физике, химии, биологии и т.п., описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений. К настоящему времени разработано немало аналитических методов решения дифференциальных уравнений. Однако эти методы применимы, как правило, лишь для линейных задач, в то время как прикладные задачи, в основном, нелинейны. С другой стороны, экспериментальные исследования в большинстве случаев требуют немалых материальных затрат.

Поэтому для изучения сложных процессов и явлений широко применяется в настоящее время "вычислительный эксперимент" ^. Сущность его заключается в следующем. На основе математической модели, с помощью численного решения соответствующих уравнений, количественно определяется поведение исследуемого объекта в различных условиях. Полученные результаты сравниваются с имеющиглися аналитическими решениями, данными оценок, наблюдений, экспериментов, что позволяет проверить исходную модель и, в случае необходимости, модифицировать ее. Используя проверенную модель, можно исследовать изучаемый процесс, вообще говоря, более подробно, чем при проведении натурного эксперимента.

Одной из важнейших составных частей "вычислительного эксперимента", нарвду с выбором математической модели процесса, является разработка и обоснование численных методов решения возникающей системы дифференциальных уравнений.

Настоящая диссертация посвящена построению, обоснованию и применению разностных методов для решения задач прохождения мощного оптического излучения через нелинейные среды внутри плоскопараллельного резонатора и через жидкокапельную среду.

Рассматриваемые задачи относятся к новой, быстро развивающейся области физики - нелинейной оптике. В ней исследуются процессы прохождения высокоинтенсивного лазерного излучения через различные среды, когерентные многочастотные взаимодействия световых волн, процессы преобразования частоты лазерного излучения и т.д.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Основные результаты диссертации могут быть сформулированы следующим образом.

1. Построена нелинейная симметричная консервативная разностная схема для решения системы уравнений, описывающих процесс нестационарного аксиальносимметричного взаимодействия оптического излучения с активной средой внутри резонатора с учетом дифракции. Схема реализована с помощью итераций, сходящихся к решению разностной задачи. Доказана теорема о сходимости разностного решения к достаточно гладкому точному.

2. Для задачи о внутрирезонаторной генерации второй оптической гармоники с учетом дифракции и различия групповых скоростей волн построена нелинейная симметричная консервативная разностная схема. Предложен и обоснован итерационный метод решения разностной задачи. Доказана сходимость разностного решения к дифференциальному.

3. Разработаны и обоснованы численные методы решения задач о распространении оптического излучения в облачной среде с учетом теплового самовоздействия в приближении водности. Рассмотрено стационарное распространение излучения в неподвижной среде и взаимодействие импульсов с неподвижной и движущейся средами.

4. Разработанные вычислительные алгоритмы реализованы в виде программ для ЭВМ. Проведены численные расчеты для конкретных задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. - Вестник АН СССР, 1979, № 5, с.38-49.

2. Качмарек Ф. Введение в физику лазеров. М.: Мир, 1981, - 540 с.

3. Fox A.G. , Li Т. Resonant Modes in a Maser Interferometer.-Bell Syst. Techn. Journ., 1961, vol. 4^, N 2, p. 453-488.

4. Boyd G.D. Gordon,J.P. Confocal Multimode Resonator for Millimeter Trough Optical Wavelength Masers.- Bell Syst. Techn. Journ., 1961, vol. 40, H 2, p. 489-508.

5. Kotik J., Newstein M.C. Theory of Laser Oscillations in Fabry-Perot Resonators.- J. Appl. Phys.,, 1961, vol. 32, Ж 2, p. 178-186.

6. Rensch D.B. Three-Dimensional aUnstable Resonator Calculations with Laser Medium,- Appl. Optics, 1974, vol. 13, N 11,p. 2546-2561.

7. Карамзин Ю.Н., Конев Ю.Б. Численное исследование неустойчивых телескопических резонаторов с учетом дифракции и эффекта насыщения в активной среде. Квантовая электроника, 1975, т.2, № 2, с.256-264.

8. Довгий Б.П. Решение некоторых классов краевых задач нелинейной оптики. Диссертация на соискание уч.степени канд. физ. плат ем. наук. - Киев, 1982. - 139 с.

9. Глущенко А.А., Довгий Б.П., Обуховский В.В., Стрижевский В.Л. Генерация второй оптической гармоники внутри лазерного резонатора с учетом поперечной неоднородности излучения. Квантовая электроника, 1982, J6 21, Киев: Наук, думка, с.33-39.

10. Хохлов Р.В. 0 распространении волн в нелинейных диспергирующих линиях. Радиотехника и электроника, 1961, т.6, № 7, с.1116-1127.

11. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. М.: ВИНИТИ, 1964, - 295 с.

12. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. -М.: Наука, 1979. 384 с.

13. Большов Л.А., Кириченко Т.К., Фаворский А.П. Численный анализ мелкомасштабной неустойчивости когерентного взаимодействия импульсов света с резонансно поглощающими средами. Москва, 1978. - 49 с. (Препринт / ИПМ им.Келдыша АН СССР: & 52).

14. Franken А.А., Hill А.Б. , Peters C.W. ,Weinreicli G. Generation of optical harmonics.- Pbys.Rev. Lett., 1961,vol. 7, N 4,p. 118-119.

15. Еломберген H. Нелинейная оптика. M.: Мир, 1966. - 424 с.

16. Ахманов С.А., Чиркин А.С. Статистические явления в нелинейной оптике. М.: Изд.МГУ, 1971. - 127 с.

17. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973. - 175 с.

18. Шуберт М., Вильгельми Б. Введение в нелинейную оптику. М.: Мир, 1973. - 244 с.

19. Цернике Ф., Мидвинтер Дж. Прикладная нелинейная оптика. М.: Мир, 1976. - 261 с.

20. Гринь Ю.Г., Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П. Об интегралах движения нелинейного четырехчастотного взаимодействия. Квантовая электроника, 1977, т.4, J& 3, с.700-703.

21. Ибрагимов Э.Ф., Редкоречев В.И., Сухоруков А.П., Усманов Т. Эффективное удвоение частоты излучения многокаскадного неодимо-вого лазера. Квантовая электроника, 1982, т.9, I 6, о.1131-1140.

22. Geusic J.E. , Levinstein II.J., Singh S. Smith R.G., Van Uitert L.G. Continuous 0.538-u solid-state sourse using Ba2UalTb^01 Appl. Phys. Lett., 1968, vol. 12,IT 9, p. 306-308.

23. Апанасевич П.А., Запорожченко Р.Г., Запорожченко В.А., Качин-ский А.В., Захарова И.О. Внутрирезонаторная генерация второй гармоники в лазерах с вынужденной синхронизацией мод. Квантовая электроника, 1981, т.8, № 8, с.1650-1655.

24. Гулин А.В., Самарский А.А. Об устойчивости разностных схем с несамосопряженными операторами. ДАН СССР, 1972, т.206, № 6, с. 1280-1283.

25. Гулин А.В. Трехслойные разностные схемы для нестационарных уравнений Шредингера. ЖВМ и МФ, 1974, т. 14, №6, с.1488-1498.

26. Боголюбов А.Н., Свешников А.Г. Обоснование конечно-разностного метода расчета оптических волноводов. ЖВМ и МФ, 1979, т.19, & 6, с.1496-1505.

27. Kreis Н.О. Uber implizite Differenzmethoden fur partielle Differentialgleichungen.- Numer. Math., 1963, vol. 5, N 1,p. 24-47.

28. Baviart P.A. Sur 1'approximation de certains equations devolution lineares et non lineares.- J. de Math, Pares et Appl., 1967, vol. 46, N 1, p. 11-107.

29. Дышко A.JI. Разностный метод решения уравнения распространения светового луча в нелинейной среде с учетом комбинационного рассеяния. -ЖВМ и МФ, 1969, т.9, № 6, с.1408-1410.

30. Дышко А.Л. Разностный метод решения уравнения распространения светового луча в нелинейной среде. ЖВМ и МФ, 1968, т.8, № I, с.238-242.

31. Fleck J.A. A cubic spline method for solving the wave equation of nonlinear optics.- J. Comput. Ehys., 1974, vol. 16, К 4, p. 324-341.

32. Ablowitz M.J., Ladih I.P. A nonlinear difference scheme and inverse scattering.- Stud. Appl. Math., 1976, vol.LV, IT 3, p. 229-234.

33. Дегтярев Л.М., Крылов В.В. Гидродинамическое описание самофокусировки пучков света в кубичной среде. В кн.: Сб.научных трудов "Изучение гидродинамической неустойчивости численными методами". - М.: Изд. И11М АН СССР, 1980, с.108-161.

34. Дегтярев Л.М., Крылов В.В. Метод численного решения задач динамики волновых полей с особенностями. ЖВМ и МФ, 1977. т.17, Ш 6, с.1523-1530.

35. Карамзин Ю.Н. О разностных схемах для расчетов трехчастотных взаимодействий электромагнитных волн в нелинейной среде с квадратичной поляризацией. ЖВМ и МФ, 1974, т.14, № 4, с.1058-1062.

36. Карамзин Ю.Н. Разностные схемы для расчета трехчастотных взаимодействий квазимонохроматических волн с учетом дифракции. -ЖВМ и МФ, 1975, т.15, В 2, с.439-445.

37. Абалиев М.А., Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Ляхов Г.А. Решение на ЭВМ задачи о встречном нелинейном взаимодействии трех оптических волн. Вычислительные методы и программирование. - М.: Изд.МГУ, 1979, XXXI, с.148-157.

38. Карамзин Ю.Н. Численные методы для некоторых задач нелинейной оптики. М., 1982. - 25 с. (Препринт / ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР: № 73).

39. Карамзин Ю.Н. Разностные методы в задачах нелинейной оптики. -М., 1982. 27 с. (Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР:№ 74).

40. Дриц В.В. Разностные схемы для решения нелинейных уравнений шредингеровского типа. В сб."Дифференциальные уравнения и их применение, 1983, Вильнюс, вып.33, с.67-76.

41. Mullaney G.J.,Christiansen V/.H., Russell D.A. Fog dissipation using C02-laser.- Appl. Ehys. Lett., 1968, vol. 13, N 4,p. 145-147.

42. Lamb G.L. , Kinney R.B. Evaporation of mist by an intense light beam.- J. Appl. Phys., 1969, vol. 40, N 1, p. 416-417.

43. Glicker S.L. Propagation of a 10.6 p. laser beam through a cloud including droplet vaporization.- Appl. Optics, 1971, vol. 10, Ж 3, P. 644-650.

44. Сухоруков А.П., Хохлов P.В., Шумилов Э.Н. Динамика просветления облаков лазерным пучком. Письма в ЖЭТФ, 1971, т.14, № 4, с. 245-250.

45. Сухоруков А.П., Шумилов Э.Н. Просветление полидисперсного тумана. ЖТФ, 1973, т.43, J* 5, с.1029-1040.

46. Gebhardt F.G. High-power laser propagation.- Appl. Optics, 1976, vol. 15, N 6, p. 1479-1493.

47. Smith D.C. High-power laser propagation: thermal blooming.-Proc. IEEE, 1977, vol. 65, N 12, p.1679-1714.

48. ГорцинМ.П., Соколов A.B., Стрелков Г.М. Распространение мощного лазерного излучения в атмосфере. Итоги науки и техники, Радиотехника. -М.: ВИНИТИ, 1980, т.20, с.206-289.

49. Зуев В.Е., Копытин Ю.Д., Куликовский А.В. Нелинейные оптические эффекты в аэрозолях. Н.: Наука, 1980. - 184 с.

50. Зуев В.Е. Распространение лазерного излучения в атмосфере. -М.: Радио и связь, 1981. 288 с.

51. Волковицкий О.А., Седунов Ю.С., Семенов Л.П. Распространение интенсивного лазерного излучения в облаках. Л.: Гидрометео-издат, 1982, - 311 с.

52. Егоров К.Д., Кандидов В.П., Прахов М.С. Распространение светового пучка через движущуюся среду, замутненную водным аэрозолем. Квантовая электроника, 1979, т.6, № 12, с.2562-2566.

53. Гордин М.П., Садовников В.П., Стрелков Г.М. 0 самовоздействии лазерного пучка в водном аэрозоле. Тезисы докладов на У Всесоюзном симпозиуме по распространению лазерного излучения в атмосфере. Ч.З. - Томск, 1979, о.115-119.

54. Арманд С.А., Попов А.П. Численное моделирование прохождения излучения Я =10.6 мкм через водно-капельный аэрозоль в условиях теплового самовоздействия. Радиотехника и электроника, 1980, т.25, Ht 9, с.1793-1800.

55. Гордин М.П., Садовников В.П., Стрелков Г.М. Тепловое самовоздействие лазерных пучков в атмосфере. М., 1981. - 55 с. (Препринт / ИРЭ АН СССР: В 16).

56. Карамзин Ю.Н., Цветкова И.Л. Об одном численном методе решения задачи о., генерации второй гармоники с учетом тепловых самовоздействий. М., 1982. - 28 с. (Препринт / ИГМ им.М.В.Келдыша АН СССР: 16 156).

57. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Просветление движущейся жидкокапельной среды мощным оптическим излучением с учетом теплового самовоздействия. В кн.: Тезисы докладов на

58. П Всесоюзном совещании по распространению лазерного излучения в дисперсной среде. 4.2. Обнинск, 1982, с.59-63.

59. Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Численное моделирование просветления жидкокапельной среды мощным оптическим излучением. В кн.: Труды ИЭМ, 31(105). -М.: Гидрометеоиздат, 1983, с.105-110.

60. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Нелинейные искажения гипергауссовых световых пучков. Известия ВУЗов, Радиофизика, 1984, т.27, № 10, с.IZ3Z-JZ98.

61. Захарова И.Г., Карамзин Ю.Н. Разностный метод решения задачи о внутрирезонаторной генерации второй оптической гармоники. М., 1983, - 28 с. (Препринт / ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР: J£ 136).

62. Захарова И.Г., Карамзин Ю.Н. Численное моделирование процесса внутрирезонаторного удвоения частоты оптического излучения. -Дифференциальные уравнения, 1984, т.20, }£ 7, с.1213-1221.

63. Захарова И.Г., Карамзин Ю.Н., Трофимов В.А. Численные методы для задач распространения оптического излучения в облачной среде. М., 1984. - 22 с. (Препринт / ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР: В 114).

64. Захарова И.Г., Карамзин Ю.Н., Трофимов В.А. Численное исследование процессов самовоздействия трубчатых волновых пучков. М., 1984. - 22 с. (Препринт / ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР, №140 ).

65. Звелто 0. Физика лазеров. М.: Мир, 1979, - 373 с.

66. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 198I. - 640 с.

67. Armstrong J.A., Bloembergen N., Ducuing J., Pershan P.S. Interactions between light waves in a nonlinear dielectric.-Phys. Rev.,1962, vol. 127, N 6, p. 1918-1939.

68. Филатов A.H., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. - 152 с.

69. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. -656 с.

70. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972. 736 с.

71. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. -271 с.

72. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978. - 320 с.