Моды и собственные частоты оптических резонаторов с потерями и усилением тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Плоские резонаторы.

1.1 Введение.

1.2 Комплексные лучи.

1.3 Представления ABCD преобразования.

1.4 Прямая и обратная волна.

1.5 Ограниченность и неограниченность операторов U.

1.6 Односторонняя и двусторонняя устойчивость кольцевого резонатора и его матрицы монодромии.

1.7 Простейший пример.

1.8 Условия устойчивости матрицы монодромии и фундаментальная мода.

1.9 Устойчивость матрицы монодромии и её спектральные свойства.

1.10 Окончательные выражения для фундаментальной моды.

1.11 Операторы рождения-уничтожения и высшие моды.

2.2 Лучи, гауссовы пучки и ABCD преобразования в вещественном и комплексном случаях. . .

2.3 Прямая и обратная волна.

2.4 Элементарные ABCD преобразования.

2.5 Интегральное представление ABCD преобразования. . . .

2.6 Ограниченность и неограниченность операторов U. .

2.7 Общий вид поля в оптической системе первого порядка. .

2.8 Заключение.

Оптические пучки и симплектические матрицы.

3.1 Введение. . .

3.2 Свойства симплектических преобразований. .

3.3 Устойчивость симплектических матриц. . .

3.4 Двусторонне устойчивые матрицы.

3.5 Односторонне устойчивые матрицы. . . . . .

3.6 Заключение.

Моды (собственные функции) кольцевых оптических резонаторов.

4.1 Введение.

4.2 Односторонняя и двусторонняя устойчивость кольцевого резонатора.■

4.3 Фундаментальная мода.

4.4 Пример континуального вырождения фундаментальной моды.

4.5 Операторы рождения-уничтожения.

4.6 Высшие моды.

4.7 Собственные функции и собственные значения волновых чисел резонатора. .

4.8 Заключение. 81

5 Слабо неоднородные резонаторы. 82

5.1 Введение.82

5.2 Постановка задачи.83

5.3 Невырожденный случай.85

5.4 Вырожденный случай.86

5.5 Собственные колебания поля в оптическом резонаторе со слоем пассивной (активной) среды.87

5.6 Численные расчеты для резонатора с выбранными параметрами.90

5.7 Заключение.94

А Лучевой метод в комплексном случае. 96

В Распространение пучка в среде с произвольной продольной и квадратичной поперечной неоднородностью. 101

С Явно решаемый случай построения фундаментальной моды резонатора. 103

Заключение 108

Введение.

Во введении, после краткого обзора результатов по оптическим резонаторам, сформулированы основные цели и задачи диссертации.

Открытые (квазиоптические) резонаторы - это открытые структуры, способные поддерживать много типов колебаний, размеры которых велики по сравнению с длиной волны. Согласно Физической Энциклопедии [14] первый вариант открытого резонатора в виде плоскопараллельных зеркал конечных размеров был предложен Прохоровым A.M., Дикке P.T.(Dicke R.H.), Шавловым A.JI. (Schawlow A.L.) и Таунсом 4.(Townes Ch.) в 1958 г. для электромагнитных колебаний субмиллиметрового и оптического диапазона.

Резонансной системой лазера является открытый оптический резонатор, содержащий моды электромагнитного излучения оптического диапазона с различной конфигурацией поля и потерями, сосредоточенные, как правило, в окрестности оптического контура резонатора.

Теория оптических резонаторов стала интенсивно развиваться после пионерских работ Фокса А. и Ли Т. [18], [48], выполненных в I960 -1961 гг. В этих работах проведено численное моделирование процессов установления колебаний в оптических резонаторах в результате многократного отражения от зеркал. Результаты Фокса и Ли показали плодотворность анализа полей в оптических резонаторах путём решения интегральных уравнений на основе принципа Гюйгенса в интегральной форме Френеля - Кирхгофа.

В связи с техническим внедрением лазеров резко возрос интерес к экспериментальным и теоретическим исследованиям оптических резонаторов [9], [17]. Проведённые исследования оптических резонаторов можно условно разделить на две группы.

К первой относятся работы, в которых развивается скалярная теория собственных колебаний резонаторов и с позиций этой теории объясняются результаты эксперимента. Большое внимание при этом обращается на дифракционные эффекты, оказывающие существенное влияние на формирование структуры собственных типов колебаний.

Вторая группа исследований посвящена изучению поляризационных характеристик поля в оптических резонаторах. В этих исследованиях электромагнитные поля предполагаются плоскими и пренебрегают рядом дифракционных эффектов. Указанные ограничения связаны с непреодолёнными трудностями теории оптических резонаторов на основе уравнений Максвелла. Среди работ этой группы следует отметить исследования по методу Джонса [8] . Мы не цитируем работы этой группы исследований, т.к. векторная теория оптических резонаторов на основе уравнений Максвелла ещё не построена и в диссертации не рассматривается.

К настоящему времени большинство исследований посвящено скалярной теории оптических резонаторов. Эта группа исследований оказалась наиболее продвинутой. Достижения в скалярной теории оптических резонаторов связаны с развитием лучевого метода [3], [11], [16], [19], [40], [50], [51], а также с работами по высокочастотной дифракции с использованием классических эталонных задач математической теории дифракции [3], [4], [15], [20], [21], [22]. Широкое распространение получил метод параболического уравнения. Этот метод был предложен Леонтовичем М.А. [36] и Фоком В.А. [45]. Метод параболического уравнения в теории оптических резонаторов применяли Вайнштейн JI.A. [4] и Быков В.П. [20], [21]. В работах [3],[37] построена скалярная теория двухзеркаль-ных и многозеркальных оптических резонаторов без потерь и усиления и созданы модели распространения лучей в неоднородной среде, заполняющей резонатор.

При расчёте оптических резонаторов в прикладной геометрической оптике широко используется метод лучевых матриц или матриц распространения. Использование матричного аппарата позволяет более компактно решать задачи расчёта сложных оптических систем. Для оптических резонаторов метод лучевых матриц введён, по-видимому, Берто-лотти [47] и развит в работах Когельника [49], [52], [55].

Результаты, достигнутые к настоящему времени по теории оптических резонаторов с достаточно широким обзором литературных источников, собраны в работах [1], [3], [4], [5], [9], [11], [13], [17], [18], [44], и посвящены исследованию пассивных оптических резонаторов без потерь. Вопросы систематического исследования активных и пассивных резонаторов с потерями и усилением в этих работах затронуты не были. Очень перспективный с теоретической и практической точки зрения метод ABCD матриц был построен только для моделей резонаторов без потерь и усиления поля.

Целью диссертации является обобщение указанной техники на резонаторы с потерями и усилением. В этом случае лучевые матрицы становятся, вообще говоря, комплексными, что приводит к появлению ряда качественно новых эффектов.

Основные результаты диссертации сводятся к следующим.

• Построена, основанная на матричной технике, скалярная теория плоских и трёхмерных оптических резонаторов с потерями и усилением поля.

Сформулированы условия устойчивости оптических резонаторов с потерями и усилением поля, которые имеют качественно иной вид, чем в резонаторах без потерь и усиления.

По свойствам комплексных ABCD матриц можно указать резонаторы с односторонней и двухсторонней устойчивостью. В моделях резонаторов без потерь и усиления, рассмотренных в цитированных выше работах, односторонней устойчивости обнаружить невозможно. Резонаторы без потерь и усиления либо двухсторонне устойчивы, либо неустойчивы.

Получены простые формулы для собственных частот и мод оптических резонаторов (включая высшие моды).

Дано единое описание встречных волн в оптических резонаторах при помощи матрицы монодромии, не зависящей от направления распространения поля.

Установлена биортогональность встречных волн в смысле вещественного скалярного произведения для оптических резонаторов с потерями и усилением поля.

Установлена ортогональность между собственными волнами одного направления в смысле вещественного скалярного произведения с комплексным весом, не зависящим от номера моды.

Исследованы вырожденные резонаторы (совпадение собственных чисел матрицы монодромии). В случае диагонализируемой матрицы монодромии может возникнуть дополнительный континуальный параметр, не определяемый резонатором, что соответствует континуальному набору собственных колебаний резонатора. Приведены примеры конкретных резонаторов, отвечающие этим случаям.

Другие случаи вырождения характеризуются жордановой формой недиагонализируемой матрицы монодромии.

• Описаны резонаторы с обратным рассеянием для случая достаточно разнесённого спектра, когда можно пренебречь межмодовыми взаимодействиями. Приведены конкретные примеры, иллюстрирующие линейную связь встречных волн и приводящие к потере гауссовой формы собственных колебаний.

Достоверность результатов работы.

Достоверность результатов работы основывается на:

• на надёжности выбранных теоретических моделей асимптотической теории дифракции;

• на положительных отзывах рецензентов на опубликованные в открытой печати статьи по материалам диссертации.

Научная и практическая ценность результатов работы.

Научная и практическая ценность результатов работы состоит:

• в построении, основанной на матричной технике, скалярной теории оптических резонаторов с потерями и усилением поля;

• в понимании формальных (математических) и качественных (физических) механизмов собственных колебаний в оптических резонаторах с потерями и усилением поля;

• в представлении простых формул для собственных колебаний и частот оптических резонаторов с потерями и усилением поля, в том числе и с обратным рассеянием, удобных для конкретных расчётов;

• просматривается перспектива построения векторной теории оптических резонаторов с потерями и усилением поля, на основе развитой в диссертации матричной техники.

Диссертация состоит из пяти глав, введения, заключения, приложения и списка литературы. Каждая из глав содержит краткое введение в частную задачу данной главы с литературным обзором и заключением. Остановимся на кратком содержании каждой главы.

Заключение.

Сформулируем основные новые результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту:

• Построена, основанная на матричной технике, скалярная теория плоских и трёхмерных оптических резонаторов с малыми потерями и усилением поля.

• Сформулированы условия устойчивости оптических резонаторов с потерями и усилением поля, которые имеют качественно иной вид, чем в резонаторах без потерь и усиления.

• По свойствам комплексных ABCD матриц можно указать резонаторы с односторонней и двухсторонней устойчивостью. В моделях резонаторов без потерь и усиления, односторонней устойчивости обнаружить невозможно. Резонаторы без потерь и усиления либо двухсторонне устойчивы, либо неустойчивы.

• Получены простые формулы для собственных частот и мод оптических резонаторов (включая высшие моды).

• Дано единое описание встречных волн в оптических резонаторах при помощи матрицы монодромии, не зависящей от направления распространения поля.

• Установлена биортогональность встречных волн в смысле вещественного скалярного произведения для оптических резонаторов с потерями и усилением поля.

Установлена ортогональность между собственными волнами одного направления в смысле вещественного скалярного произведения с комплексным весом, не зависящим от номера моды.

Исследованы вырожденные резонаторы (совпадение собственных чисел матрицы монодромии). В случае диагонализируемой матрицы монодромии может возникать дополнительный континуальный параметр, не определяемый резонатором, что соответствует континуальному набору собственных колебаний резонатора. Приведены примеры конкретных резонаторов, отвечающие этим случаям. Другие случаи вырождения характеризуются жордановой формой недиагонализируемой матрицы монодромии.

Описаны резонаторы с обратным рассеянием для случая достаточно разнесённого спектра, когда можно пренебречь межмодовыми взаимодействиями. Приведены конкретные примеры, иллюстрирующие линейную связь встречных волн и приводящие к потере гауссовой формы собственных колебаний.

1. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и лазерные пучки. М.: Наука, 1990, 263 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: "Наука", 1989. 472 с.

3. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972, с.265-302.

4. Вайнштейн JI.A. Открытые резонаторы и открытые волноводы, М.: Советское радио,1966, 333 с.

5. Гончаренко A.M. Гауссовы пучки света. Минск, Изд. Наука и техника, 1977, 144 с.

6. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: "Наука", 1970. - 536 с.

7. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория, ИЛ, М., 1962.

8. Джеррард А., Бёрч Дж.М. Введение в матричную оптику. М.: Мир, 1978, 341 с.

9. Ищенко Е.Ф. Открытые оптические резонаторы. Москва, Советское радио, 1980, 208 с.

10. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972, 740 с.

11. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М:, Наука, 1980, 304 с.

12. Лазеры. Оптические когерентные квантовые генераторы и усилители. Сборник статей. Перевод с английского. Под редакцией Жа-ботинского М.Е. и Шмаонова Т.А. М:, ИИЛ, 1963, с.325-362.

13. Маркузе Д. Оптические волноводы. Мир, Москва, 1974, 576 с.

14. Физическая энциклопедия, т.З, М:,Научное издательство" Большая Российская энциклопедия", 1992, с.491.

15. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Советское радио, 1970, 520с.

16. Хёнл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964, 428 с.

17. Optical Resonators Science and Engineering. Edited by Ram Kos-sowsky, Miroslav Jelinek and Josef Novak. Nato ASI Series. 3.High Technology - Vol.45, pp.504.

18. Справочник по лазерам. Том 2. Перевод с английского. Под редакцией А.М.Прохорова. М.: Советское радио. 1978, 400с.

19. Бабич В.М., Лазуткин В.Ф. О собственных функциях, сосредоточенных вблизи замкнутой геодезической, сб. Проблемы математической физики, вып.2, изд-во ЛГУ, 1967

20. Быков В.П. Геометрическая оптика трёхмерных колебаний в открытых резонаторах, сб. Электроника больших мощностей, вып.4, М.: Наука, 1965

21. Быков В.П. Лучевая теория открытых резонаторов и открытых волноводов, колебания в которых ограничены каустическими поверхностями, Радиотехника и электроника, 11, №3 (1966)

22. Вайнштейн JI.A. Открытые резонаторы для квантовых генераторов света, ЖЭТФ, 44, №3, 1050 (1963)

23. Коваленко Е.С. Моды произвольного порядка в неоднородных резонаторах ОКГ. Квантовая электроника, 1976, 3, № 2, с.433-43.5.

24. Кривошлыков С.Г., Сисакян И.Н. Когерентные состояния и распространение света в неоднородных средах. Квантовая электроника, 1980, 7, № 3, с.553-565.

25. Кудашов В.Н., Плаченов А.Б., Радин A.M. Собственные колебания в слабо-неоднородных лазерных резонаторах. Оптика и спектроскопия, 85, № 2, 1998, с. 149-154.

26. Кудашов В.Н., Плаченов А.В., Радин A.M. Комплексные ABCD преобразования для кольцевых оптических резонаторов с потерями и усилением. Квантовая электроника, 27, № 1 (1999), 87-92.

27. Кудашов В.Н., Плаченов А.Б., Радин A.M. Явно решаемый случай построения фундаментальной моды резонатора в виде гауссова пучка со сложным астигматизмом. Оптика и спектроскопия, 2000, 88, № 2, с. 127-129.

28. Кудашов В.Н., Плаченов А.В., Радин A.M. Оптические пучки со сложным астигматизмом при совпадении собственных чисел лучевой матрицы резонатора. Оптика и спектроскопия, 2000, 88, № 1, с. 130-136.

29. Кудашов В.Н., Плаченов А.Б., Радин A.M. Комплексные ABCD преобразования для оптических пучков со сложным астигматизмом. Оптика и спектроскопия, 2000, 88, № 2, с. 330-335.

30. Кудашов В.Н., Плаченов А.В., Радин A.M. Фундаментальная мода трёхмерного кольцевого резонатора, содержащего селектирующие элементы.

31. Леонтович М.А. Об одном методе решения задач о распространении электромагнитных волн, Известия АН СССР, сер. физ. 8, №1, 1944, 16-22

32. Попов М.М. Геометрическая оптика и собственные частоты колце-вых резонаторов. Вест. Ленингр. ун-та., №4 (1967)

33. Радин A.M. и др. Оптика и Спектроск., 1986, 60, 3, 642.

34. Радин A.M. и др. Оптика и Спектроск., 1986, 60, 1, 168.

35. Рытов С.М. О переходе от волновой к геометрической оптике, ДАН 18, №4-5 (1938)

36. Скрябин Д.В., Радин A.M. Оптика и Спектр., 1993, т.75, вып.1, с.175-185.

37. Скрябин Д.В., Радин A.M. Оптика и Спектр., 1994, т.77, No.l, с.109-115.

38. Скрябин Д.В., Радин A.M. Оптика и Спектр., 1991, 71, 6.

39. Славянов С.Ю. К теории открытых резонаторов ЖЭТФ, 1973, т.64, №3, с.785-695

40. Фок В.А. Поле плоской волны вблизи поверхности проводящего тела Изв. АН СССР, сер. физ. 10, №2, (1946)

41. Bastiaans M.J. Second-order moments of the Wigner distribution function in first-order optical systems. Optik, 88, № 4 (1991) 163-168.

42. Bertolotti M. Matrix representation of geometrical properties of laser cavities, Nuovo Cimento, 1964, v.32, p.1242-1257

43. Fox A.G., Li Т., Bell System Techn. Journ., 40, No.2 453 (1961).

44. Gordon J.P., Kogelnik H. Equivalence relation among spherical mirror optical resonators Bell Syst. Techn. J.,1964, v.43, N6, p.2873-2886

45. Keller J.В., Lewis R.M., Seckler B.D. Asymptotic solution of some diffraction problems, Commun of the Pure and Appl. Math. 9, No.2, 1956, 207-265

46. Keller J.В., Rubinow S. Asimptotic solutions of eigenvalue problems, Annals of Physics, 10, No.2, (1960)

47. Kogelnik H. Imaging of optical modes resonators with internal lenses, Bell Syst. Techn. J., 1965, v.44, N3, p. 455-493.

48. Kogelnik H., Li T. Laser beams and resonators Appl. Opt., 1966, v.5, N10, p.1550-1567

49. Skryabin D.V. and Radin A.M. Laser Physics, 1994, v.4, No.l.

50. Spreeuv R.G.S., Beijersbergen M.W., Woerdman J.P. Phys. Rev. 1992, v.45, p.1213.