Анализ и синтез в микрооптике на основе метода конечных элементов в рамках электромагнитной теории тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ

В МИКРООПТИКЕ.И

1.1. Физическая постановка задачи

1.2. Метод конечных элементов для решения уравнения Гельмгольца.

1.3. Метод граничных элементов для решения уравнения Гельмгольца.

1.4. Объединенный метод на основе метода конечных элементов Галеркина (МКЭГ) и метода граничных элементов (МГЭ).

1.5. Сравнение с аналитическим решением.

1.6. Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОХОЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО

ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ РЕФРАКЦИОННЫЕ

И ДИФРАКЦИОННЫЕ КОРОТКОФОКУСНЫЕ МИКРОЛИНЗЫ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Дифракция плоской волны на»рефракционных и дифракционных линзах.;.,.:.

2.3. Сравнение дифракции света на микролинзах в свободном пространстве и в волноводе с идеально-отражающими стенками.

2.4. Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. СИНТЕЗ ДИФРАКЦИОННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

ГРАДИЕНТНЫМ МЕТОДОМ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ

ОБЪЕДИНЕННОГО МЕТОДА МКЭГ-МГЭ.

3.1. Градиентный алгоритм расчета параметров элементов микрооптики.

3.2. Численное моделирование и оптимизация рельефа бинарных микролинз.

3.3. Выводы по главе 3.

Актуальность исследования. Возрастающие потребности в анализе сложных задач распространения света и быстрое развитие вычислительной техники привели к разработке численных методов для расчета дифракции лазерного излучения на неоднородностях среды и элементах микрооптики.

В опто- и микроэлектронике используются сложные оптические устройства с размерами порядка длины волны падающего света, работа которых описывается нетривиальными физическими эффектами, такими как множественное рассеяние на периодических структурах (дифракционные решетки), рассеяние и дифракция на непериодических структурах (дифракционные оптические элементы (ДОЭ), элементы Брегга), дисперсия и нелинейные преобразования лазерных импульсов. Действие этих элементов не может быть i/ 1 предсказано на основе геометрической оптики или скалярной теории дифракции, и требуется изучение распространения световых волн через них с помо

О "1 rp i/ щью векторной модели дифракции. 1акже использование векторной модели дифракции требуется, когда представляющая интерес область расчета расположена вблизи или внутри оптического элемента. Все это создает большую потребность в эффективных численных подходах для моделирования волнового распространения света, по возможности с учетом дисперсии, рассеяния, сложных эффектов интерференции, нелинейного самовозбуждения и т.п. Хотя аналитические решения векторной задачи дифракции могут быть получены для некоторых периодических структур [65], а также для избранных непериодических объектов (сфера, полуплоскость, цилиндр) [45, 76], для других апериодических структур граничные условия на электромагнитное поле делают аналитическое решение невозможным.

Таким образом, для задач моделирования дифракции света на элементах с размерами порядка длины волны свет должен рассматриваться как электромагнитное излучение, что позволяет перенести множество разработанных методов электромагнитного моделирования СВЧ и радиоволн на область оптического моделирования.

Большинство численных методов (метод моментов, метод конечных разностей, метод граничных элементов, метод конечных элементов и др.) пришли в оптику из других областей науки, и до сих пор не было разработано ни одного универсального подхода, позволяющего покрыть большой ряд оптических (и электромагнитных) задач. В общем, обычно требуется объединять использование двух или трех методов для вычисления широкого круга задач, что приводит к развитию различных объединенных методов моделирования [25, 31, 32].

Основная часть численных методов моделирования дифракции могут классифицироваться как дифференциальные [26], разностные [37, 47], интегральные [1, 6, 42, 43, 44], вариационные [8, 20, 66, 78], дискретных источников [5], лучевые [39].

Интегральные методы основаны на применении интегральных теорем Грина, в которых используются фундаментальные решения задачи (функции Грина). Популярность интегральных методов основывается на их способности решать неограниченные полевые задачи, т.к. условие излучения Зоммерфельда безусловно удовлетворяется в формулировке задачи. Более того, интегральные методы требуют знания поля только на поверхности дифракционного элемента, а не полного поля в пространстве, что минимизирует число неизвестных. В работах [29, 38] представлен объединенный метод на основе метода граничных элементов. Паулюс и Мартин [27] разработали метод расчета дифракции на слоях с неоднородностью на основе интегральных уравнений, связанный с численным решением тензора Грина. Недостатки таких методов следующие. Они приводят к полностью заполненным матрицам и, следовательно, требуют большего объема компьютерной памяти и длительное время вычисления. Также они накладывают необходимость рассмотрения границы применения методов по физической границе рассеивателя. Если неоднородность имеет нетривиальную форму, то это приводит к увеличению числа неизвестных.

Разностные методы основаны на приближенном решении системы уравнений Максвелла или эквивалентных ей волнового уравнения и уравнения Гельмгольца с помощью разностных схем. Разностное решение уравнений Максвелла рассматривалось в работах [10,18, 30, 35,47]. В работе [11] описано разностное решение волнового уравнения. Недостатками такого подхода являются невозможность использования условий излучения, ограничения на шаги сетки. Для моделирования невременных задач прохождения излучения разностными схемами используется конечное количество длин волн падающего импульса, что искажает спектр волны.

Значительное усилие сосредотачивается на разработке условий поглощающей границы, которые могут быть применены к открытому рассеивателю [4, 20]. На этой искусственной границе, поле явно не известно. Единственная существующая информация - геометрия рассеивающего предмета внутри рассчитываемой области и падающее поле. Однако условия поглощающей границы, как правило, генерируют отраженные поля, которые могут привести к непредсказуемым ошибкам. В последнее время в проблеме граничных условий появился некоторый прогресс [4].

В отличие от методов разностного решения системы уравнений Максвелла интегральные и вариационные методы не требуют конструирования сложных поглощающих граничных условий [20, 37].

Вариационные методы в задачах с ограниченным объемом основаны на решении уравнения Гельмгольца путем минимизации некоторого функционального соотношения. В работе [20] уравнение Гельмгольца решалось методом конечных элементов Галеркина с использованием граничных условий сложного вида, что потребовало применение границы, определенной формы. Его формулировка проста и может быть применена к произвольной неоднородной среде. Однако он не включает в себя условия излучения Зоммерфельда.

В работе [25] представлен гибридный метод на основе метода конечных элементов, сформулированного через вариационный метод Ритца, и интегрального метода граничных элементов. В данном гибридном методе метод конечных элементов применяется для решения уравнения Гельмгольца во внутренней части неоднородного элемента микрооптики и применяется интегральная методика, метод граничных элементов, к области, внешней к рассматриваемому объекту, где должны удовлетворяться условия излучения. Оба метода соединяются на границе между внешней и внутренней частями, с удовлетворением условий непрерывности поля. Использование метода конечных элементов для определения поля внутри рассеивателя приводит к матрице трехдиагональ-ного вида, что требует меньше компьютерной памяти и времени вычисления, чем интегральные методы [54]. Результатом использования метода граничных элементов для определения поля на границе является более точное решение, чем применение метода конечных элементов с условиями поглощающей границы. Но применение метода Ритца к решению уравнения Гельмгольца некорректно, т.к. он накладывает требование положительности оператора решаемого уравнения, а однозначный вывод о знакоопределенности оператора уравнения Гельмгольца сделать нельзя. Известно, что метод Галеркина не требует положительности оператора.

Поэтому актуальна разработка объединенного метода на основе метода конечных элементов, сформулированного через метод Галеркина, и метода граничных элементов.

В микрооптике используются короткофокусные рефракционные и ди-фрационные линзы с числовой апертурой близкой к единице [40]. В работе М.А. Голуба, H.JI. Казанского, В.А. Сойфера [50] подробно рассматривается задача распространения излучения через линзу в приближении Френеля-Кирхофа. Получена зависимость эффективности дифракционных линз от числа уровней квантования фазовой функции, представлены величины отклонений положения фокуса дифракционных линз от геометрического фокуса. В работах [23, 24] исследовано распределение интенсивности света при прохождении излучения через дифракционные микролинзы вблизи от линзы, эффективность микролинз в зависимости от вида квантования фазы. Но не было представлено распределение интенсивности поля внутри дифракционных микролинз. Головашкин Д.Л., Сойфер В.А. в работе [49] провели исследование влияния числа уровней квантования микролинзы в волноводе на эффективность и смещение фокуса. В работе [9] исследованы зависимости положения фокуса и длины фокального пятна для микролинз на подложке, формирующих удлиненное фокальное пятно. В работах [21, 22] представлены решение и численные результаты задач дифракции на микролинзах на подложке.

Однако системного изучения влияния числа уровней квантования, апертуры микролинз в свободном пространстве на эффективность и смещение фокуса не проводилось. Поэтому актуально исследование прохождения электромагнитной волны через рефракционные и дифракционные микролинзы в свободном пространстве.

Статьи по субволновой дифракционной оптике отражают схожую ситуацию, какая была в дифракционной оптике. Сначала разрабатываются методы анализа, их развитие следует за технологиями изготовления и за развитием методов синтеза [3]. Градиентные процедуры синтеза были разработаны для субволновых периодических структур [65]. Однако синтез элементов микрооптики для общих функций формирования луча, таких как отклонение, разбиение, фокусировка луча, осложнен отсутствием простой аналитической связи между характером субволновой структуры и дифракцией света на ней. В работе [70] применен генетический алгоритм для глобальной оптимизации фазы дифракционного оптического элемента. В работах [28, 33] применен генетический алгоритм оптимизации для синтеза дифракционных микролинз. Но использование такого подхода затруднено, если решение прямой задачи требует больших вычислительных затрат. Таким образом, актуальна разработка градиентного метода оптимизации для синтеза элементов микрооптики.

Таким образом, целью работы является анализ дифракции электромагнитной волны в микрооптике и синтез элементов микрооптики, формирующих заданное распределение поля дифракции, на основе применения метода конечных элементов.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

• разработка объединенного метода на основе метода конечных элементов и метода граничных элементов для анализа дифракции света в микрооптике;

• численное исследование влияния апертуры, числа уровней квантования микролинзы на положение ее фокуса и энергетическую эффективность с использованием разработанной методики;

• разработка градиентного метода оптимизации для синтеза элементов микрооптики на основе объединенного метода.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Разработан объединенный метод на основе метода конечных элементов Галеркина (МКЭГ) и метода граничных элементов (МГЭ) для решения двумерного уравнения Гельмгольца.

2. Проведено численное исследование распределения интенсивности электромагнитного поля внутри и вблизи рефракционных и дифракционных цилиндрических микролинз в свободном пространстве.

3. Разработан алгоритм градиентной оптимизации микрорельефа на основе объединенного метода МКЭГ-МГЭ для синтеза элементов микрооптики, формирующих заданное распределение интенсивности.

На защиту выносятся.

1. Объединенный метод МКЭГ-МГЭ для решения двумерного уравнения Гельмгольца.

2. Результаты численного исследования прохождения электромагнитной волны через дифракционные цилиндрические микролинзы с высокой числовой апертурой.

3. Градиентный метод оптимизации на основе объединенного метода МКЭГ-МГЭ для синтеза элементов микрооптики, формирующих поле дифракции с заданными характеристиками.

Практическая ценность работы определяется следующими результатами. Предложенные и исследованные методы для анализа и синтеза элементов микрооптики позволяют рассчитать дифракцию света на микроструктурах и оптимизировать параметры микроструктур, формирующих поле дифракции с заданными характеристиками. Учет особенностей явлений дифракции электромагнитных волн на микролинзах в соответствии с выработанными рекомендациями позволяет минимизировать дифракционные потери.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: международная школа для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (г. Саратов, 1999), международная научная молодежная конференция «XXV Гагаринские чтения» (г. Москва, 1999), 5-я международная конференция «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии» (г. Самара, 2000), международная школа для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (г. Саратов, 2000), международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2001), международный симпозиум по оптической науке и технологии (г. Сан-Диего, США, 2001), совместные научные семинары Института систем обработки изображений РАН и кафедры Технической кибернетики Самарского государственного аэрокосмического университета.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 13 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (81 наименований), приложения, изложенных на 116 страницах, содержит 45 рисунков.

3.3. Выводы по главе 3

1. На основе решения прямой задачи объединенным методом МКЭГ-МГЭ разработан градиентный метод решения обратной задачи, состоящей в расчете профиля элемента микрооптики из условия формирования заданного распределения интенсивности в выбранной области.

2. Результаты расчета профиля элементов микрооптики подтверждают работоспособность и эффективность разработанной градиентной процедуры оптимизации.

3. С помощью градиентной процедуры оптимизации возможно найти бинарный рельеф микролинзы (диаметром - 8 длин волн, фокусным расстоянием -5 длин волн), осуществляющей фокусировку плоской ТЕ волны с дифракционной эффективностью более 70 %.

4. Показано также, что разработанная градиентная процедура оптимизации позволяет рассчитать профиль бинарной микролинзы (диаметром - 8 длин волн, с фокусным расстоянием - 3,5 длин волн), осуществляющей фокусировку плоской ТЕ волны в три пятна с дифракционной эффективностью более 85 %, и профиль бинарной линзы (диаметром - 5 длин волн, фокусным расстоянием - 4 длины волны) с фокусом, смещенным с оптической оси, с дифракционной эффективностью более 45 %.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие новые научные результаты.

1. Разработан объединенный метод на основе метода конечных элементов Галёркина и метода граничных элементов для численного решения уравнения Гельмгольца, записанного в двумерной декартовой системе координат, позволяющий моделировать дифракцию световой волны на микронеоднородностях в однородной среде.

2. На основе численного исследования поля дифракции плоской волны на микролинзах размером нескольких длин волн в свободном пространстве с помощью объединенного метода МКЭГ-МГЭ определены положения и зависимости ширины фокального пятна от апертуры, зависимости эффективности и положения максимума интенсивности от уровней квантования фазовой функции, и показано, что:

• уменьшение числа уровней квантования рельефа (до четырех) дифракционных микролинз в однородном пространстве незначительно влияет на положение фокуса микролинз;

• помещение микролинзы в волновод влияет на положение и значение максимума интенсивности поля дифракции и ее эффективность; внутри микрообъектов и на их поверхности могут возникать локальные максимумы интенсивности, в несколько раз превышающие интенсивность падающей волны.

3. На основе решения прямой задачи объединенным методом МКЭГ-МГЭ разработан градиентный метод решения обратной задачи, состоящей в расчете профиля микрооптического элемента из условия формирования заданного распределения интенсивности в выбранной области.

1. Brebbia С.A. The boundary Element Method for Engineers // Pentech Press, London; Halstead Press, New York, 1978 (Second edition, 1980).

2. Jaswon M.A., and Symm G.T. Integral Equation Methods in Potential Theory and Elastostatics // Academic Press, London, 1977.

3. LeCompte M., Shi S., Prather D. Interleaved diffractive optical element design // Proceedings of SPIE. 2001. - Vol. 4436. -P. 115-122.

4. Berenger G.P. A perfectly matched Layer for the absorption of electromagnetic Waves // Journal of Computational Physics. 1994. - vol. 114. - P. 185-200.

5. Blaike R. J., McNab S. J. Evanescent interferometric lithography // Applied optics. 2001. - Vol. 40. - N. 4. - P. 1692-1698.

6. Choi M. K. Numerical calculation of light scattering from a layered sphere by the boundaiy-element method // Journal of Optical Society of America. -2001.-Vol. 18.-N. 3.-P. 577-583.

7. Colton D., Kress R. Integral equation methods in scattering theory // John Wiley&Sons, New York, 1983.

8. Davies J. B. Finite element analysis of waveguides and cavities a review // IEEE Trans. Magn. - 1993. - Vol. 29. - P. 1578-1583.

9. Dong B.-Z., Liu J., Gu B.-Y., Yang G.-Z. Rigorous electromagnetic analysis of a microcylindrical axilens with long focal depth and high transverse resolution // Journal of Optical Society of America. 2001. - Vol. 18. - N. 7. -P. 1465-1470.

10. Dou W. В., Yung E. K. N. Diffraction of an electromagnetic beam by an aperture in a conducting screen // Journal of Optical Society of America. -2001. Vol. 18. - N. 4. - P. 801 -806.

11. Gruzdev V., Gruzdeva A. Finite-difference time-domain modeling of laser beam propagation and scattering in dielectric materials // Proceedings of SPIE. 2001. - Vol. 4436. - P. 27- 38.

12. Hatakoshi G., Fujima H., Goto K. Waveguide grating lenses for optical couplers//Applied Optics.-1984.-Vol. 23.-N. 11.-P. 1749-1753.

13. Hirayama K., Glytsis E.N., Gaylord Т.К., and Wilson D.W. Rigorous electromagnetic analysis of diffractive cylindrical lenses // Journal of Optical Society of America. 1096.-Vol. 13.-P. 2219-2231.

14. Kotlyar V.V., Nesterenko D.V. A finite element method in the problem of light diffraction by micro-optics // Optical Memory and Neural Networks. -2000. Vol. 9. - No. 3. - P. 209-219.

15. Kotlyar V.V., Nesterenko D.V. Analysis of light diffraction by binary micro-optics using a combination of boundary element method and finite element method // Proceedings of SPIE. 2001. - Vol. 4242. - P. 125 - 132.

16. Kotlyar V.V., Nesterenko D.V. Design of subwavelength binary microoptics using a gradient optimization method // Proceedings of SPIE. 2001. -Vol. 4436.-P. 171-178.

17. Kotlyar V.V., Nesterenko D.V. Modeling of the light diffraction by microop-tic elements using the finite element method // Proceedings of SPIE. 1999. -Vol. 4002.-P. 135-142.

18. Lee J.-F., Palandech R., and Mittra R. Modeling three-dimensional discontinuities in waveguides using nonorthogonal FDTD algorithm // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1992. - Vol. 40. - P. 346-352.

19. Li Y. Establishment of the maximum encircled energy in the geometrical focal plane//Opt. Acta.- 1984.-Vol. 31.-N. 10.-P. 1107-1118.

20. Lichtenberg В., Gallagher N. Numerical modeling of diffractive devices using the finite element method // Optical Engineering. 1994. - Vol. 33. -No. 11.-p. 3518.

21. Liu J., Dong B.-Z., Gu B.-Y., Yang G.-Z. Entirely electromagnetic analysis of microlenses without a beam-shaping aperture // Applied Optics. 2001. -Vol. 40.-N. 4.-P. 1686-1691.

22. Liu J., Gu B.-Y., Dong B.-Z., Yang G.-Z. Interference effect of dual diffractive cylindrical microlenses analyzed by rigorous electromagnetic theory // Journal of Optical society of America. 2001. - Vol. 18. -N. 3. - P. 526536.

23. Mait J. N., Prather D. W., Mirotznik M. S. Binary subwavelength diffractive lens design // Opt. Lett. 1998. - Vol. 23. - P. 1343-1345.

24. Mait J., Prather D., Mirotznik M. Design of binary subwavelength diffractive lenses by use of zeroth-order effective-medium theory // Journal of Optical Society of America. 1999. - Vol. 16. -N. 5. - P. 1157-1167.

25. Mirotznik M., Prather D., Mait J. A hybrid finite element-boundary element method for the analysis of diffractive elements // Journal of Modern Optics. -1996.-Vol. 43. -N. 7. P. 1309-1321. .

26. Montiel F., Neviere M. Differential theory of gratings: extension to deep gratings of arbitrary profile and permittivity through the R-matrix propagation algorithm // Journal of Optical Society of America. 1994. - Vol. 11. - P. 3241-3250.

27. Paulus M., Martin O. J. F. Light propagation and scattering in stratified media: a Green's tensor approach // Journal of Optical Society of Amereca. -2001. Vol. 18. - N. 4. - P. 854-861.

28. Prather D. Design and application of subwavelength diffractive lenses for integration with infrared photodetectors // Optical Engineering. 1999. - Vol. 38.-N. 5.-P. 870-878.

29. Prather D. W., Mirotznik M. S., Mait J. N. Boundary integral methods applied to the analysis of diffractive optical elements // Journal of Optical Society of America. 1997. - Vol. 14. - P. 34-43.

30. Prather D. W., Shi S. Formulation and application of the finite-difference time-domain method for the analysis of axially symmetric diffractive optical elements // Journal of Optical Society of America. 1999. - Vol. 16. - N. 5. -P. 1131-1142.

31. Prather D., Shi S. Combined scalar-vector method for the analysis of diffractive optical elements // Opt. Eng. 2000. - Vol. 39. - N. 7. - P. 1850-1857.

32. Prather D. W., Shi S., Bergey J. S. Field stitching algorithm for the analysis of electrically large diffractive optical elements // Optical Letters. 1999. -Vol. 24.-N. 5.-P. 273-275.

33. Prather D., Shi S., Mackie D. Electromagnetic optimization of multilevel diffractive elements by use of the wavelet transform // Optical Letters. 2000. -Vol. 25.-N. 14.-P. 1004-1006.

34. Schweicher E. Introductory review to diffraction optics// Phis.Rev.X, 1985. -N. 1-16.

35. Shi S., Tao X., Yang L., Prather D. W. Analysis of diffractive optical elements using a nonuniform finite-difference time-domain method // Opt. Eng. -2001.-Vol. 40.-N. 4.-P. 503-510.

36. Swanson G., Veldkamp W. Binary lenses for use at 10.6 micrometers // Opt. Eng. 1985. - Vol. 24. - N. 5. - P. 791-795.

37. Taflove A. Computational electromagnetics: the finite-difference time domain method // Artech House, Boston. 1995.

38. Tanaka M., Tanaka К. Computer simululation for two-dimensional near-field optics with use of a metal-coated dielectric probe // Journal of Optical Society of Amereca. 2001. - Vol. 18. -N. 4. - P. 919-925.

39. Voznesensky N. Simulation model for light propagation through nanometer-sized structures // Optical Memory and Neural Networks. 2000. - Vol. 9. -N.3.-P. 175-183.

40. Yongqi Fu, Bryan Kok Ann Ngoi. Investigation of diffractive-refractive mi-crolens array fabricated by focused ion beam technology // Opt. Eng. 2001. -Vol. 40. - N. 4. - P. 511-516.

41. Борн M., Вольф Э. Основы оптики: пер. с англ. М.: Наука, 1973. - 720 с.

42. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов // Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 524 с.

43. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987, с. 104-107.

44. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике: пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 248 с.

45. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982.-272 с.

46. Вычислительная оптика. Справочник под редакцией М.М. Русинова. -JL: Машиностроение, 1984.-423 с.

47. Головашкин Д.Л., Дегтярев А.А., Сойфер В.А. Моделирование волно-водного распространения света оптического излучения в рамках электромагнитной теории // Компьютерная оптика, 1997, №17. 5 с.

48. Головашкин Д.Л., Котляр В.В., Нестеренко Д.В. Анализ дифракции света на микролинзах в свободном пространстве и волноводе // Компьютерная оптика.-2001.-№21.-с. 31 -35.

49. Головашкин Д.Л., Сойфер В.А. Анализ прохождения электромагнитного излучения через дифракционную линзу // Автометрия, Новосибирск, изд-во СО РАН, 6, 1999.-с. 119-121.

50. Голуб М.А., Казанский Н.Л., Сойфер В.А. Математическая модель фокусировки лазерного излучения элементами компьютерной оптики // Научное приборостроение. 1993. -т.З. -N1. - с.8-28.

51. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: Гос.изд.физ-мат. лит, 1959. - 572 с.

52. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики: пер. с нем. М.: Иностранная литература, 1950. - 456 с.

53. Зоммерфельд А. Оптика: пер. с нем. М.: Иностранная литература, 1953.-486 с.

54. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. -М.: Высшая школа, 1991. 223 с.

55. Каули Д. Физика дифракции. М.: Мир, 1979. - 432 с.

56. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. - 832 с.

57. Котляр В.В., Нестеренко Д.В. Анализ задачи дифракции света на микрооптике гибридным методом конечных элементов граничных элементов // Компьютерная оптика. - 2000, - №20. - с. 10-14.

58. Котляр В.В., Нестеренко Д.В. Моделирование дифракции света на элементах микрооптики методом конечных элементов // Материалы Международной молодежной научной школы по оптике, лазерной физике и биофизике. Сарат. гос.ун-т, 2000. с. 54-56.

59. Котляр В.В., Нестеренко Д.В. Синтез бинарной микрооптики с заданным распределением интенсивности // Тезисы докладов международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», Самара. 2001. - с. 76-77.

60. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. - 926 с.

61. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981.-416 с.

62. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. -536 с.

63. Методы компьютерной оптики // Под ред. В.А. Сойфера. М.: Физмат-лит, 2000. - 688 с.

64. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

65. Неганов В.А., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Линейная макроскопическая электродинамика. М.: Радио и связь, 2000. - 509 с.

66. Нестеренко Д.В. Исследование дифракции света на микроструктурах методом конечных элементов // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции XXV Гагаринские чтения. Москва. -1999.-с. 161-162.

67. Павельев B.C. Стохастическая оптимизация фазы радиально-симметричного ДОЭ // Компьютерная оптика. 2001, - №21. - с. 126-130.

68. Русинов М.М. Техническая оптика. М.: Физматгиз, 1961. - 328 с.

69. Савельев И.В. Основы теоретической физики. М.: Наука, 1975. - т. 1.

70. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. М.: Наука, 1988.-430 с.

71. Сисакян И.Н., Сойфер В.А. Тонкая оптика, синтезируемая на ЭВМ // Физические основы прикладной голографии. Л.: Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе АН СССР, 1984. - с. 142-164.

72. Сойфер В.А. Введение в дифракционную микрооптику. Самара, 1996. -94 с.

73. Солимено С., Крозиньяни Б., Порто П.Ди. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения. М.: Мир, 1989. - 662 с.

74. Стреттон Д. Теория электромагнетизма: пер. с англ. М.: Гостехиздат, 1948.-780 с.

75. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. - 512 с.

76. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1966.-724 с.

77. Туров Е.А. Материальные уравнения электродинамики. М.: Наука, 1983.- 158 с.

78. Котляр В.В., Нестеренко Д.В. Градиентный метод оптимизации в задаче синтеза бинарной микрооптики // Известия СНЦ РАН. 2001, - Том. 3. -№1. - с. 104-110.