Анализ линейного распространения фемтосекундных лазерных импульсов в кварцевом стекле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Козлова Елена Сергеевна

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ В КВАРЦЕВОМ СТЕКЛЕ

01.04.05 - Оптика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

005550110 ............12 О! 2014

Самара-2014

005550110

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)» (СГАУ) на кафедре технической кибернетики и Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте систем обработки изображений Российской академии наук.

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Котляр Виктор Викторович

Официальные оппоненты: Осипов Олег Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, проектор по информатизации и образовательным технологиям ФГОБУ ВПО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций н информатики»

Никонов Владимир Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры оптики и спектроскопии ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Ведущая организация: Самарский филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Физического института им. П.Н. Лебедева РАН

Защита состоится 19 сентября 2014 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.01. созданного при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)», по адресу: 443086, г. Самара. Московское шоссе, д. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ. Автореферат разослан «2» июня 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., профессор В.Г. Шахов

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена математическому моделированию линейного распространения фемтосекундных электромагнитных импульсов в дисперсионной среде (в кварцевом стекле).

Актуальность темы. Современная оптика сделала значительный шаг в области уменьшения длительности генерируемых импульсов. Разработаны и продемонстрированы методы генерации импульсов с длительностью менее 5 фс (В. Schenkel, 2003; К. Yamane, 2003). Максимальная мощность фемтосекундных лазерных импульсов на данный момент может превышать 1 ПВт, а интенсивность при фокусировке пучка достигает 1021 Вт/см2 (К. Zhao, 2012). Линейное распространение импульсов происходит при мощности менее 1012 Вт/см2. Огромные интенсивности в сфокусированных пучках и связанные с нею напряжённости электрических и магнитных полей дают возможность изучать процессы взаимодействия света с веществом в режимах, прежде недоступных экспериментаторам. Высокая концентрация энергии при фокусировке пучков фемтосекундных лазеров открывает новый путь в прецизионной микрообработке материалов (X. Liu, 1997; П.Г. Крюков, 2012), а в медицине обеспечивает возможность проведения тонких операций в офтальмологии и нейрохирургии (H.H. Бочкарёв,

2007). Фемтосекундные импульсы нашли широкое применение в волоконной оптике (М. Block, 2012). Так же ультракороткие импульсы нашли свое применение в фемтосекунд-ной и электронной микроскопии (A. Povolotskiy, 2005). Фемтосекундные импульсы используются для генерации ультрафиолетового света (Z. Liu, 2012) и в качестве «оптических пуль» (В. Piglosiewicz, 2011). С появлением лазерных фемтосекундных импульсов, которые позволили наблюдать и контролировать быстропротекающие молекулярные взаимодействия, получило свое развитие новое направление в химии - фем-тохимия (J.S. Baskin, 2001). Ввиду достаточно широкого применения ультракоротких импульсов в различных областях науки и техники множество работ посвящено способам их пространственно-временного преобразования и фокусировки (В. Piglosiewicz, 2011). Однако длительность ультракоротких импульсов составляет всего несколько фемто-секунд (а иногда и несколько десятков аттосекунд) и такие импульсы обладают очень большим спектром. Это явление называется явлением сверхуширения спектра, когда ширина спектра становится соизмерима с его центральной частотой (W.L. Chan,

2008). Благодаря сверхуширению спектра возможно наблюдать влияние дисперсии на процесс распространения электромагнитного излучения в среде. Вввду этого актуальным является исследование распространения фемтосекундных импульсов в различных оптических волокнах (M.B. El_Mashade, 2009). Однако установки по генерации и пространственно-временному преобразованию фемтосекундных импульсов являются достаточно сложными, наукоёмкими и дорогостоящими, что приводит к целесообразности первоначальных численных расчётов по моделированию распространения таких импульсов в различных средах, предворяющих экспериментальные исследования (Z.L. Horvath, 2001).

Для моделирования распространения света в дисперсных материалах были разработаны различные модификации разностного метода решения уравнений Максвелла (FDTD-метода), позволяющие в процессе вычислений учитывать зависимость диэлектрической проницаемости от частоты. Все эти модификации могут быть разделены на три группы. К первой группе относятся алгоритмы (R.J. Ludibers, 1990), которые используют преобразованную в дискретную форму временную свёртку Фурье-образа от диэлектрической проницаемости и напряжённости электрического поля. Некоторые алгоритмы (R.J. Luebbers, 1990; D.F. Kelley, 1996) вычисляют свёртку рекурсивно. Так же существует модификация этого метода, в основу которой положено предположение о том. что Фурье-образ от функции диэлектрической проницаемости

является кусочно-линейным на временном inare(R.J. Hawkins, 1993). Это позволяет повысить точность метода. Ко второй группе относятся алгоритмы (T. Kashiwa, 1990; Yu. Liu, 2012), использующие вспомогательное уравнение, связывающее вектор плотности электрической индукции поля и вектор напряжённости. Основным их преимуществом является высокая точность. Однако, в дополнение к тем ресурсам, что использует стандартный FDTD-метод, требуется дополнительный объём памяти для хранения промежуточных переменных. К третьей группе относится алгоритм (D.M. Sullivan, 1992), в котором используется Z-преобразование уравнений Максвелла. Недостатком данного метода, как и в случае использования дополнительного дифференциального уравнения, является проблема ресурсоёмкости, высокой вычислительной сложности и высоких временных затрат на получение решения. Несмотря на необходимость учёта зависимости диэлектрической проницаемости от частоты при моделировании распространения ультракороткого импульса и большое количество разработанных методов, позволяющих производить такой учёт, этим требованием часто пренебрегают, так как применение «дисперсных» методов значительно усложняет процедуру расчёта и увеличивает время работы программы.

Одним из фундаментальных свойств коротких импульсов, распространяющихся в среде с частотной дисперсией, является то, что высокочастотная составляющая импульса распространяется в среде со скоростью света в вакууме. Это явление было предсказано Зоммерфельдом и Бршиюэном в 1914 году. Данный феномен называется оптическим предвестником (К.Е. Oughstun, 1994). Зоммерфелвд и Бриллюэн асимптотическим методом седловой точки рассмотрели распространение синусоидального импульса, умноженного на функцию Хевисайда (резкий передний фронт импульса), в среде с одним резонансом Лорентца. Они нашли, что раньше всех в точку наблюдения приходит высокочастотный предвестник (предвестник Зоммерфельда - ПЗ), который распространяется со скоростью света в вакууме, следом за ним приходит другой предвестник (предвестник Бриллюэна - ПБ) с низкочастотной составляющей сигнала, который распространяется с фазовой скоростью сигнала, а за ним уже приходит основной сигнал (несущий импульс - НИ) с групповой скоростью. Моделирование распространения предвестников, как правило, проводят с помощью FDTD-метода, обобщённого на случай учёта дисперсии (R. Safïan, 2006; H. Jeong, 2009). Предвестники моделировались в однополюсной (один резонанс) дисперсионной среде Лорентца с помощью 1D FDTD-метода (R. Safïan, 2006). Также моделировались предвестники в промежуточном спектральном режиме (H. Jeong, 2009): несущая частота импульса не была равна частоте резонанса поглощения Лоренща, и не была много меньше его. Предвестники исследовались аналитически также для однополюсной среды Лорентца (В. Маске, 2013). Было показано, что амплитуда ПЗ описывается функцией Бесселя первого порядка, а ПБ -функцией Эйри.

Вследствие широкого (сотни нанометров) спектра ультракоротких импульсов и их особого взаимодействия с веществом стало необходимо (и возможно) уточнять зависимость диэлектрической проницаемости (коэффициентов преломления и поглощения) от частоты. Развиваются методы измерения и уточнения диэлектрической проницаемости материалов (P. Baneijee, 2011; J. Krnpka, 2006). Результаты по изучению свойств пропускания и поглощения материалов отражены в большом количестве работ (Е.В. Балашова, 2010; H.H. Кононов, 2011), в том числе и результаты по оценке показателя преломления и коэффициента поглощения кварцевого стекла (К. Kajihara, 2007). Из результатов экспериментального анализа оптических свойств кварцевого стекла следует, что общепринятая (трёхпараметрическая) модель Селлмейера применима в диапазоне от 0,21 до 7 мкм (A. Couairon, 2005). При анализе процессов распространения ультракоротких импульсов, длительностью менее 3 фс, необходимо ис-

пользовать модель, учитывающую все особенности диэлектрической проницаемости кварцевого стекла. Был проведён анализ и обобщение большого числа экспериментальных данных (R. Kitamura, 2007), полученных в ходе экспериментов по измерению показателя преломления и коэффициента поглощения кварцевого стекла, в результате чего были построены экспериментальные дисперсионные "кривые" (облако экспериментальных значений для показателя преломления и коэффициента поглощения) для кварцевого стекла. Была предложена модель дисперсии для кварцевого стекла, однако её область применимости охватывает диапазон от 7 до 50 мкм (R. Kitamura, 2007). Для других материалов только начинают производить такие экспериментальные исследования (Е.В. Балашова, 2010; H.H. Кононов, 2011). Их результаты являются достаточно разрозненными, что является весомым аргументом для исследования распространения ультракоротких импульсов именно в кварцевом стекле.

Из приведенного обзора современных публикаций следует, что остаются нерешенными следующие проблемы:

1.He исследовалась пространственно-временная дифракция коротких импульсов на основе численного решения линейного волнового уравнения с учетом дисперсии среды. Ргшать волнового уравнения легче и быстрее, чем систему уравнений Максвелла.

2.Не исследовались параметры фокальной области при острой фокусировке фемтосекундных импульсов с помощью компонент микрооптики.

3.Не исследовались оптические предвестники в средах с несколькими резонан-сами дисперсионной кривой (в многополюсных дисперсных средах).

Цель диссертационной работы. Анализ линейного распространения фемтосекундных электромагнитных импульсов в среде с частотной дисперсией на основе численного моделирования.

Задачи диссертационной работы.

1.Разработать метод разностного решения линейного волнового уравнения, описывающего распространение ТЕ-поляризованного электромагнитного импульса в пла-нарном волноводе с учетом дисперсии материала; сравнить полученное решение с аналитическим и с решением, полученным с помощью коммерческой программы Full-WAVE, реализующей разностный метод решения системы уравнений Максвелла с учетом дисперсии вещества

2.Численно исследовать острую фокусировку фемтосекундного лазерного импульса с помощью компонентов микрооптики: сферы, полусферы, полупараболоида и полуэллипсоида.

3.Исследовать эффект образования предвестников при распространении электромагнитного импульса с резким передним фронтом в среде с частотной дисперсией (кварцевое стекло) с помощью численного моделирования.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены следующие результаты.

1.Для моделирования линейного распространения ТЕ-поляризованных фемтосекундных лазерных импульсов в планарном волноводе разработана явная конечно-разностная схема решения волнового уравнения с дисперсионным слагаемым, записанного в оригинальной и упрощающей расчёт форме. Получено аналитическое решение волнового уравнения без дисперсии в виде ряда из нестационарных тригонометрических мод планарного волновода. Среднеквадратическое отклонение численного решения от аналитического составило 0,005%. При одинаковых параметрах сетки отсчётов разностное решение волнового уравнения на порядок точнее, чем решение, полученное

с помощью коммерческого пакета Ри11\УАУЕ, реализующего разностное решение системы уравнений Максвелла.

2.Численно исследована острая фокусировка фемтосекундных лазерных линейно-поляризованных импульсов (длительностью по полуспаду интенсивности 1Д4фс и 2,98 фс с несущей длиной волны Хо=532 нм) с помощью компонент микрооптики из кварцевого стекла с учетом частотной дисперсии. Показано, что микросфера с диаметром 2 мкм формирует у своей поверхности эллиптический фокус с размерами по осям (0,42 ± 0,04)Хо и (0,52 ± 0,04)Хо; глубина фокуса для микросферы почти не зависит от длительности импульса 0,2Хо; максимальная интенсивность в фокусе микросферы увеличивается с ростом длительности импульса; при фокусировке микросферой пространственное уширение больше для менее короткого импульса, а временного ушире-ния импульса не наблюдается.

З.С помощью разностного решения волнового уравнения с учётом дисперсии показано, что интенсивность предвестников Зоммерфельда и Бриллюэна увеличивается, если несущая длина волны начального импульса приближается к длине волны резонанса; при этом длины волн предвестников оказываются меньше, чем длина волны самого высокочастотного резонанса: для кварцевого стекла длина волны предвестников лежит в области экстремального ультрафиолета и меньше 60 нм. Получена уточненная модель частотной дисперсии для кварцевого стекла, которая учитывает шесть резонансов (в отличие от известной модели Селлмейера, которая учитывает только три резонанса) дисперсионной кривой и дает более точное совпадение модельных кривых показателя преломления и коэффициента поглощения с экспериментальными данными в диапазоне от 20 нм до 1000 мкм (СКО 6%).

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты по моделированию распространения ультракороткого лазерного излучения в дисперсионных средах могут использоваться в микро- и нанолитографии, оптических системах памяти с увеличенной плотностью записи информации, в оптической микроскопии и оптической манипуляции микрочастицами, в системах передачи информации.

Достоверность полученных результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием результатов расчетов экспериментальным данным, полученным другими авторами, а также совпадением результатов моделирования, полученных с помощью независимых программ. Например, проводилось сравнение результатов программы, разработанной автором, и коммерческой программы Ри11\УАУЕ.

Основные положения, выносимые на защиту.

КСреднеквадратическое отклонение (СКО) теоретических и рассчитанных с помощью разностного решения волнового уравнения коэффициентов отражения и пропускания Френеля для фемтосекундного импульса света с ТЕ-поляризацией длительностью 4,22 фс и с несущей длиной волны 633 нм при прохождении через стеклянную пластину (нормальное падение) без учета дисперсии материала составило 0,47%. При полном внутреннем отражении ультракороткого импульса (1 фс) с несущей длиной волны 633 нм от раздела двух сред (кварц и вакуум) даже без учета дисперсии материала происходит искажение (похожее на дифференцирование импульса) и уширение импульса (почти в два раза), что согласуется с результатом эксперимента, полученным другими авторами.

2.При прохождения линейно-поляризованного фемтосекундного импульса длительностью по полуспаду интенсивности 2,98 фс и с несущей длиной волны 532 нм через волновод без оболочки в виде цепочки из четного числа кварцевых микросфер диаметром 2 мкм на расстоянии 8 мкм импульс не уширяется по времени по

полуспаду интенсивности, в то время как, при распространении этого импульса через волновод без оболочки в виде кварцевого цилиндра с круглым сечением диаметром 2 мкм, импульс уширяется более, чем в 2 раза.

3.Оптические предвестники появляются как в случае импульсного излучения, так и в случае полубесконечной волны с резким передним фронтом (передний фронт импульса и волны всегда начинается с нулевой интенсивности). В случае «обрыва» заднего фронта входящего излучения на ненулевом значении интенсивности, интенсивность предвестника увеличивается. В случае выбора несущей длины волны близко к длине волны резонанса дисперсионной кривой относительная интенсивность предвестника (по сравнению с несущим импульсом) увеличивается и предвестники могут сравняться по интенсивности с несущим импульсом. При удалении точки наблюдения от источника (начала координат) интенсивность предвестников увеличивается.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 статьях в реферируемых отечественных журналах, рекомендованных ВАК, а также в материалах 9 научных конференций.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертационную работу, представлялись на 9 конференциях, в том числе на шести международных и трёх всероссийских. На Международной молодёжной конференции посвященной 50-летию первого полета человека в космос «Королёвские чтения» (г. Самара: СГАУ, 4-6 октября, 2011 г.). На IX, X, XI Всероссийских молодежных Самарских конкурсах-конференциях научных работ по оптике и лазерной физике, (г. Самара: СФ ФИАН, ноябрь 2011, 2012, 2013 гг.). На Молодежной научной школе по нанофотонике 20го международного конгресса Nanostructures: Physics and Technology, (г. Самара: ИСОИ РАН, 30 июня, 2012 г.). На VII Международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики - 2012». (г. Санкт-Петербург НИУ ИТМО, 15-19 октября, 2012 г.). На Международной конференции «The International Conference on Coherent and Nonlinear Optics/The Lasers Aplications, and Technologies (ICONO/LAT:20I3)» (г. Москва, 18-22 июня, 2013г.). На VIII Международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика - 2013» (г. Санкт-Петербург, 14-18 октября, 2013 г.). На 11 международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений - 2013" (г. Самара: СГАУ (НИУ), 23-28 сентября, 2013 г.).

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав. Заключения, списка цитируемой литературы (167 наименований). Работа изложена на 128 страницах и содержит 48 рисунков.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы ее цель и задачи, дан краткий обзор научных работ по рассматриваемым вопросам, показана научная новизна полученных результатов, приводятся положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации рассматривается волновое уравнение без учета дисперсии (М. Вот, 2005):

о)

or л

где Д с - оператор Лапласа по пространственным переменным х и z\ Et=Er (x,r,r) ~

проекция вектора напряжённости (ТЕ-поляризация) электрического поля на ось_у; т = ct - аналог времени распространения: t - время; с - скорость света в вакууме; я = л(х,г) -показатель преломления: / = /(^,г,г) -функция источников.

Для первой краевой задачи для волнового уравнения (1) в общем виде с помощью метода разделения переменных находится аналитическое решение:

X, ( л:) = СОБ (а,а,) • бш (а, х) - эт (а,ах) • сое (а,х); гт (г) = сое(Рта:)• бш(/?„:)-бш0та:)•««; г», (г) = С, (г) -С08(г».г) + С, (г)-8т (гыг);

(2)

где Х,(х), г.(г)'

лУ , ят ,

. л/д' + Д; - собственные функ-

:- Р. -- '~

Ь%-а1 к-а. п

ции и собственные числа оператора Лапласа по переменным х,гиг, соответственно, I _ ["д и и = ]> д/ - порядковые номера собственных функций и чисел; [ах;6х] и - границы расчетной области в пространстве, а [аг;67] - во времени; г) и

р2(г,г), а так же г) и у,2(х,г) - граничные условия; с, (г) и с, (г) ~ коэффициенты разложения, которые находятся с помощью метода неопределённых коэффициентов Лагранжа (В.А. Зорич, 1997).

Далее производится построение явной конечно-разностной схемы и сравнение численных решений, полученных с помощью разработанной программы, в основу которой положена разработанная явная конечно-разностная схема, и коммерческого пакета Ри11\УАУЕ, а так же аналитического решения. При решении краевой задачи для двумерного волнового уравнения (световой импульс в планарном волноводе) с помощью явной конечно-разностной схемы (дискретность сетки отсчетов по времени составляет 5 десятитысячных длины волны) скорость сходимости близка к квадратичной, а СКО между численным и полученным аналитическим (2) (с удержанием 1500 членов ряда) решениями равно 0,005%. Показано, что разностное решение волнового уравнения, реализованного в среде программирования МаЙаЬ, описывает распространение ТЕ-поляризованного электромагнитного импульса в планарной среде на порядок точнее, чем разностное решение уравнений Максвелла ЮТЕ)-методом с помощью коммерческой программы Ри11\УАУЕ. При одних и тех же параметрах сетки СКО от аналитического решения составило 0,014% и 1%, соответственно (Рисунок 1). Моделирование проводилось на сетках, представленных в Таблице 1: Их, /г., А, -дискретность сетки отсчётов.

й К к К

1 М 6,33 Аг/63,3 VI266

2 дуб,33 /У633 VI266

О 0.5 I 1.5 2 2.5 сТ, мкм

Рисунок 1. Напряжённость электрического поля, рассчитанная аналитически (кривая 1), пакетом FullWAVE на сетке D=1 (кривая 2) и сетке D=2 (кривая 3), разностной схемой на сетке D=1 (кривая 4) и сетке D=2 (кривая 5)

Во второй части главы с помощью разработанной конечно-разностной схемы решения (1) проводится моделирование процесса прохождения ультракороткого импульса через тонкую пленку. Дискретность разбиения области по пространству составляла более 60 отсчетов на длину волны (А.=Я(/633, /г.=Л(/63,3). а по времени - 1266 отсчетов на время, за которое свет проходит расстояние в длину волны ih,=XJ 1266). При сравнении теоретических и расчётных коэффициентов отражения и пропускания Френеля для фемтосекундного импульса света с ТЕ-поляризацией длительностью 4,22 фс и несущей длиной волны 633 нм при прохождении через стеклянную пластину толщиной 1,3 мкм (нормальное падение) без учета дисперсии материала СКО составило 0,47%.

В конце главы с помощью разработанной конечно-разностной схемы проводится численное моделирование процесса полного внутреннего отражения фемтосекундного гауссова импульса от границы раздела двух сред. На Рисунке 2 можно наблюдать явление полного внутреннего отражения от границы двух сред: оптического стекла и воздуха (граница представлена чёрной линией), где 10 - падающий импульс, R - отражённый импульс, а направление распространения импульсов указано стрелками.

^ X, МКМ j X. МКМ J

1 ' «i ' Io_^ "i. I 0,6

-/ ~ °1 ^0A -2 ^^ -2 0.2

~30 1 2 3 4 5 б ~30 1 2 3 4 5 6 °

a) Z, MKM gj z, MKM

Рисунок 2. Картина дифракции для импульса длинной 1 фс в момент времени: а) 1,36 фс (до отражения): б) 15.97 фс (часть импульса отразилась)

На Рисунке 3 показаны сечения амплитуды падающего и отражённого импульсов. Отражённый импульс исказился и уширился в два раза. Это результат согласуется с экспериментом в Opt. Lett., 10,218 (1985).

х, мкм

П1

/о

/л:

0 1

3 < Z, мкм

1о ni

У /Л;

0 1

б)

3 4 Z, мкм

0,2 0,3 Z. мкм

0,4 0,46

а) -■мкм б)

Рисунок 3. Сечение амплитуды импульса в момент времени 15.97 фс: а) падающего

(/о); б) отраженного (К)

Во второй главе диссертации рассматривается волновое уравнение с учетом дисперсии:

где Фурье-образ от диэлектрической проницаемости. В случае немагнитной

среды электрическая индукция имеет вид интеграла свёртки Дюамеля (С.А. Ахманов, 1988).

Волновое уравнение (3) записано в новой форме: вторая производная по времени внесена под интеграл свёртки, описывающий электрическую индукцию или поляризацию вещества. Это упрощает схему расчёта. Разработана явная конечно-разностная схема для решения такого волнового уравнения (случай ТЕ-поляризации), позволяющая моделировать распространение электромагнитного излучения в планар-ном волноводе с учётом зависимости диэлектрической проницаемости вещества от частоты излучения. В этом случае требуется меньше ресурсов памяти, так как хранятся на каждом временном слое только отсчёты напряжённости поля Еук и отсчёт поля на предыдущем временном слое Е„кВ FDTD-методе на каждом временном слое в случае ТЕ-поляризации хранятся отсчёты трёх проекций векторов напряжённости электрического и магнитного полей: Evk , Нх + п, И. ~"2.

Сравнение результатов численного моделирования распространения фемтосе-кундного импульса длительностью 3,55 фс с несущей длиной волны 532 нм в планар-ном волноводе из кварцевого стекла, полученных с помощью решения волнового уравнения и решения уравнений Максвелла FDTD-методом с учётом дисперсии, реализованном в коммерческой программе FuliWAVE показало, что СКО обоих решений составило 1 %. Для учета зависимости дисперсии от частоты использовалась известная трёхпараметрическая модель Селлмейера (A. Couairon, 2005):

(4)

где Я - длина волны: -Ает(х,г) ~ величина резонанса; Лт = Хт - резонансная длина волны; у]т = г]т (х,2) - коэффициент демпфирования, \ - мнимая единица.

Вторая часть главы посвящена моделированию РОТО-методом фокусировки двух линейно-поляризованных фемтосекундных лазерных импульсов с несущей дли-

ной волны 532 нм и разной длительностью по полуспаду интенсивности ИХУНМ (1,24 фс и 2,98 фс) с помощью четырёх микролинз (сферы, полусферы, полупараболоида и полуэллипсоида) с эквивалентными параметрами (диаметры сферы и полусферы - 2 мкм. и диаметры максимальных сечений полупараболоида и полуэллипсоида тоже - 2 мкм) и с учётом частотной дисперсии вещества с помощью модели Селлмей-ера. Было показало, что:

а) ширина фокусного пятна по полуспаду интенсивности вдоль линии, перпендикулярной плоскости поляризации, не зависит от длительности импульса и от дисперсии вещества: сфера и полупараболоид формируют одинаковые и меньшие фокусные пятна (0,42 ± 0,04)Х, чем полуэллипсоид (0,52 ± 0,04)Х и полусфера (0,70 ± 0,04)1:

б) ширина фокусного пятна по полуспаду интенсивности вдоль линии, параллельной плоскости поляризации, также не зависит от длительности импульса и дисперсии вещества: сфера формирует меньшее фокусное пятно (0,52 ± 0,04)л. чем полупараболоид (0,61 ± 0,04)Х, и полуэллипсоид (0,61 ± 0,04)Х. и полусфера (0,70 ± 0,04)Х; при этом полусфера с числовой апертурой №4=0,7 формирует круглое фокусное пятно с диаметром (0,70 ± 0,04)Х, который почти равен дифракционному пределу 0.51 А/№4=0,7 1X;

в) глубина фокуса для полусферы и полуэллипсоида растет пропорционально увеличению длительности импульса и почти не зависит от длительности импульса для сферы и полупараболоида;

г) интенсивность в фокусе (и отношение интенсивности в фокусе к интенсивности падающего света) больше для более короткого импульса при фокусировке полусферой, полупараболоидом и полуэллипсоидом; и наоборот, при фокусировке микросферой интенсивность в фокусе больше для более длительного импульса;

д) пространственное и временное уширение импульса на выходе из оптического элемента к импульсу на входе оказывается больше для более короткого импульса при фокусировке полусферой, полупараболоидом и полуэллипсоидом; и наоборот, при фокусировке сферой пространственное уширение больше для менее короткого импульса, а временного уширения для обоих импульсов нет;

е) несмотря на слабую зависимость дисперсионной кривой для кварца от длины волны в области видимого спектра, результаты фокусировки коротких импульсов микросферой могут приводить к относительной ошибке в 15-28%, если не учитывать частотную дисперсию вещества, а при расчёте фокусировки фемтосекундных импульсов с длиной волны 532 нм с помощью кварцевых полусферы (№4=0,7). полупараболоида или полуэллипсоида зависимостью дисперсии вещества от частоты можно пренебречь, так как сё неучёт приводит к небольшой ошибке в 3-5 %.

Третья часть главы посвящена моделированию распространения фемтосекунд-ного импульса в волноводах двух типов. Первый тип представляет собой обычный волновод из кварцевого стекла цилиндрической формы (без оболочки). Второй тип представляет собой упорядоченные друг за другом микросферы, изготовленные так же из кварцевого стекла (Рисунок 5).

Рисунок 5. Схематичное изображение кварцевых волноводов двух типов: цилиндрического (а) и из чётного числа микросфер (б)

Для учёта зависимости диэлектрической проницаемости от частоты излучения применялась трёхпараметрическая модель Селлмейера (А. Соиа^гоп, 2005). Были рассчитаны коэффициенты временного уширения и усиления импульса, а так же коэффициент сужения спектра импульса Расчёты проводились РОТО-методом, реализованным в программе РиНШАУЕ (Я8ой). Моделирование показало, что линейно-поляризованный фемтосекундный импульс длительностью по полуспаду интенсивности (Р\УНМ) 2,98 фс и с несущей длиной волны 532 нм при распространении через волновод, в виде цепочки из четного числа кварцевых микросфер диаметром 2 мкм, не уширяется по времени по полуспаду интенсивности на расстоянии 8 мкм, в то время как, при распространении через волновод, в виде кварцевого цилиндра с круглым сечением диаметром 2 мкм, он уширяется более, чем в 2 раза (Рисунок 6).

\Е\2.а.и.

а) ct, мкм 5) СО. ПГц

Рисунок 6. Временное распределение интенсивности (а) и спектр (б) электромагнитного излучения на выходе из цилиндрического - линия 1 и волновода

из микросфер - линия 2

Четвёртая часть главы посвящена моделированию процесса распространения поляризованного света через тонкую серебряную пластину толщиной 50 нм с расположенным в центре круглым отверстием, диаметром 100 нм. «Наблюдение» производилось на расстоянии 10 нм от плоскости апертуры. В ходе моделирования было показано, что вне зависимости от типа падающего излучения (импульс или непрерывная волна) величины энергии, прошедшей через апертуру, достаточно близки (СКО 8,3%). С увеличением несущей длины волны количество прошедшей энергии излучения уменьшается (Рисунок 7), причём импульс всегда лучше проходит через пластину. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными работами других авторов (Арр1. Ори 40, 2229, (2007)).

Рисунок 7. Энергия прошедшего излучения: кривая 1 - непрерывная волна, кривая 2 -импульс 4 фс (а); маркеры - непрерывная волна, кривая - импульс (б) (Appl. Opt., 40,

2229, (2007)).

В третьей главе диссертации моделируется распространение предвестников Зоммерфельда (ПЗ) и Бриллюэна (ПБ) в 20 среде из кварцевого стекла и в 20 модельной среде типа кварца с тремя резонансами в модели Селлмейера (А. Соиамп, 2005). Проведено численное исследование зависимости формы оптического предвестника и его количественных характеристик от параметров входного излучения: длительности, несущей частоты, формы. На Рисунке 8 приведены графики интенсивности и амплитуды спектра для входного импульса длительностью 0,7 фс с резким передним и задним фронтом. Показано, что с помощью выбора несущей длины волны {Хо=120 нм) близко к резонансу (Х0=116 нм) возможно увеличить интенсивность оптического предвестника вплоть до того, что его интенсивность станет величиной одного порядка с интенсивностью несущего импульса (Рисунок 9).

Рисунок 8. Входящий импульс длительностью 0,7 фс (1,75-Хо мкм, Хо=120 нм): а) интенсивность: б) амплитуда спектра (вертикальные линии соответствуют несущей

частоте и длине волны)

Рисунок 9. Результат моделирования при z=l 5 мкм для импульса длительностью 1,75-Яо мкм и несущей частотой, близкой к резонансу (Яя= 120 нм): а) интенсивность (вертикальные линии соответствуют времени прибытия ПЗ. ПБ и НИ); б) амплитуда спектра (вертикальные линии соответствуют частотам ПЗ a)z, ПБ сов, НИ wCR и

несущей соо)

Численное моделирование предсказывает появление оптического предвестника как в случае импульсного излучения, так и в случае полубесконечной волны с резким передним фронтом (передний фронт всегда начинается с нулевой интенсивности). В случае «обрыва» заднего фронта входящего излучения на ненулевом значении интенсивности, интенсивность предвестника увеличивается в среднем в 230 раз для

Х0 =532 нм (далеко от резонанса) и в среднем в 10 раз для Х0 = 120 нм (близко к резонансу). В случае выбора несущей длины волны близко к резонансу дисперсионной кривой, описываемой известной моделью Селлмейера. относительная интенсивность предвестника (по сравнению с несущим импульсом) увеличивается в среднем в 2500 раз. предвестники становятся сравнимы по интенсивности с несущим импульсом, а в некоторых случаях даже превосходят его в 2-4 раза. При удалении точки наблюдения от источника (начала координат) интенсивность предвестников увеличивается в среднем в 200 раз для Х0 =532 нм (далеко от резонанса) и в среднем в 2 раза для Х0 =120 нм (близко к резонансу). По результатам моделирования были рассчитаны усреднённые значения частот (длин волн) предвестников. Частота ПЗ равна 107,54 ПГц (18 нм), ПБ - 49,18 ПГц (38 нм). Рассчитанные частоты не зависят от параметров входного излучения, но зависят от дисперсии вещества (расположения резонансов дисперсионной кривой). Частоты предвестников выше частот резонансов и лежат в области экстремального ультрафиолета.

В четвертой части главы найдены параметры (резонансные длины волн, амплитуды и коэффициенты демпфирования) модели Селлмейера для более точного согласования (СКО 6%. для классической модели СКО 37%) модельных кривых показателя преломления и коэффициента поглощения с облаком экспериментальных значений дисперсионных кривых кварцевого стекла, приведённых в Appl. Opt, 46, 3118, (2007). На Рисунке 10 приведены графики показателя преломления и коэффициента поглощения, полученные с помощью новой модели.

4

3 2 /

%-2 10-' 10" 10' Ю2 101 7 О'2 in-1 10" 10' 102 103 А. мкм д) Я. мкм

Рисунок 10. Зависимость показателя преломления (а) и коэффициента поглощения (б) от длины волны для уточнённой модели Селлмейера - кривая, и экспериментальные данные, приведённые в Appl. Opt, 46,3118, (2007) - точки

Сравнение результатов моделирования распространения гауссова (по пространству и по времени) импульса длительностью 3,35 фс в волноводах из кварцевого стекла, дисперсия которых описывалась стандартной и уточнённой моделями Селлмейера, показало существенное влияние дисперсии на процесс распространения импульса: высокое поглощение (в 10 раз больше) и замедление (на 0,35 мкм за 7 мкм). Уточнённая модель дисперсии приводит к тому, что фемтосекундный импульс в кварце теряет 90% своей энергии на расстоянии 7 мкм. Моделирование распространения фемтосекундного прямоугольного импульса с резким передним фронтом в пленарном волноводе из кварцевого стекла с учётом дисперсии (с помощью новой уточнённой модели) так же показало наличие ПЗ и ПБ. разделённых в пространстве.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные новые научные результаты.

1 .Для моделирования линейного распространения ТЕ-поляризованных фемтосе-кундных лазерных импульсов в пленарном волноводе разработана явная конечно-разностная схема решения волнового уравнения с дисперсионным слагаемым, записанного в оригинальной и упрощающей расчёт форме. Получено аналитическое решение волнового уравнения без дисперсии в виде ряда из нестационарных тригонометрических мод гшанарного волновода. Среднеквадратическое отклонение численного решения от аналитического составило 0,005%. При одинаковых параметрах сетки отсчётов разностное решение волнового уравнения на порядок точнее, чем решение, полученное с помощью коммерческого пакета Ри11\УАУЕ, реализующего разностное решение системы уравнений Максвелла.

2.Численно исследована острая фокусировка фемтосекундных лазерных линейно-поляризованных импульсов (длительностью по полуспаду интенсивности 1,24 фс и 2,98 фс с несущей длиной волны >-о=532 нм) с помощью компонент микрооптики из кварцевого стекла с учетом частотной дисперсии. Показано, что микросфера с диаметром 2 мкм формирует у своей поверхности эллиптический фокус с размерами по осям (0,42 ± 0,04)Хо и (0,52 ± 0,04)Хо; глубина фокуса для микросферы почти не зависит от длительности импульса 0,2Хо; максимальная интенсивность в фокусе микросферы увеличивается с ростом длительности импульса; при фокусировке микросферой пространственное уширение больше для менее короткого импульса, а временного ушире-ния импульса не наблюдается.

3.С помощью разностного решения волнового уравнения с учётом дисперсии показано, что интенсивность предвестников Зоммерфельда и Бриллюэна увеличивается, если несущая длина волны начального импульса приближается к значению длины волны резонанса; при этом длины волн предвестников оказываются меньше, чем длина волны самого высокочастотного резонанса: для кварцевого стекла длина волны предвестников лежит в области экстремального ультрафиолета и меньше 60 нм. Получена уточненная модель частотной дисперсии для кварцевого стекла, которая учитывает шесть резонансов (в отличие от известной модели Селлмейера, которая учитывает только три резонанса) дисперсионной кривой и дает более точное совпадение модельных кривых показателей преломления и поглощения с экспериментальными данными в диапазоне от 20 нм до 1000 мкм (СКО 6%).

4.Среднеквадратическое отклонение (СКО) теоретических и рассчитанных с помощью разностного решения волнового уравнения коэффициентов отражения и пропускания Френеля для фемтосекундного импульса света с ТЕ-поляризацией длительностью 4,22 фс и с несущей длиной волны 633 нм при прохождении через стеклянную пластину (нормальное падение) без учета дисперсии материала составило 0.47%. При полном внутреннем отражении ультракороткого импульса (1 фс) с несущей длиной волны 633 нм от раздела двух сред (кварц и вакуум) даже без учета дисперсии материала происходит искажение (похожее на дифференцирование импульса) и уширение импульса (почти в два раза), что согласуется с результатом эксперимента, полученным другими авторами.

5.При прохождения линейно-поляризованного фемтосекундного импульса длительностью по полуспаду интенсивности 2,98 фс и с несущей длиной волны 532 нм через волновод без оболочки в виде цепочки из четного числа кварцевых мик-

г"

\

росфер диаметром 2 мкм на расстоянии 8 мкм импульс не уширяется по времени по полуспаду интенсивности, в то время как, при распространении этого импульса через волновод без оболочки в виде кварцевого цилиндра с круглым сечением диаметром 2 мкм, импульс уширяется более, чем в 2 раза.

б.Оптические предвестники появляются как в случае импульсного излучения, так и в случае полубесконечной волны с резким передним фронтом (передний фронт импульса и волны всегда начинается с нулевой интенсивности). В случае «обрыва» заднего фронта входящего излучения на ненулевом значении интенсивности, интенсивность предвестника увеличивается. В случае выбора несущей длины волны близко к резонансу дисперсионной кривой относительная интенсивность предвестника (по сравнению с несущим импульсом) увеличивается и предвестники могут сравняться по интенсивности с несущим импульсом. При удалении точки наблюдения от источника (начала координат) интенсивность предвестников увеличивается.

Результаты диссертационной работы иопубликованы в следующих работах в журналах, рекомендованных ВАК и реферируемых в Scopus

1. Дегтярёв, A.A. Исследование погрешности разностного решения однонаправленного уравнения Гельмгольца методом вычислительного эксперимента [Текст] / A.A. Дегтярёв, Е.С. Козлова//Компьютерная оптика. -2012.-Т. 36(1).-С. 36-45.

2. Козлова, Е.С. Моделирование распространения короткого двумерного импульса света [Текст] / Е.С. Козлова, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2012. -Т.36(2). — С. 158-164.

3. Козлова, Е.С. Моделирование предвестников Зоммерфельда и Бриллюэна в среде с частотной дисперсией на основе разностного решения волнового уравнения [Текст] / Е.С. Козлова, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2013. - Т.37(2). -С.146-154.

4. Козлова, Е.С. Моделирование фокусировки фемтосекундного импульса эллипсоидом, параболоидом, сферой и полусферой [Текст] / Е.С. Козлова, В.В. Котляр // Компьютерная оптика, — 2013. — Т.37(1). — С. 31-38.

5. Козлова, Е.С. Исследование влияния параметров короткого импульса на интенсивность оптического предвестника [Текст] / Е.С. Козлова, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2013. - Т.37(4). - С. 436-442.

6. Козлова Е.С. Уточненная модель дисперсии для кварцевого стекла [Текст] / Е.С. Козлова, В.В. Котляр// Компьютерная оптика.-2014.- Т.38(1).-С. 51-55.

7. Козлова Е.С. Моделирование распространения фемтосекундного импульса в среде с частотной дисперсией [Текст] / Е.С. Козлова // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2013. - Т.. 15(6). - С. 105-108.

8. Котляр, В.В. Фокусировка непрерывного и импульсного лазерного излучения с помощью микросферы [Текст] / В.В. Котляр, С.С. Стафеев, Е.С. Козлова, A.A. Морозов // Компьютерная оптика. - 2012. - Т. 36(4). - С 489-496.

Подписано в печать 28 мая 2014г. Формат 60x84/16. Объем 1 пл. Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии ООО "Инсома Пресс" г. Самара, ул. Санфировой, 110А, оф. 22А, тел. 222-92-40