Дифракция электромагнитных волн на нескольких телах вращения при наличии неоднородной плазмы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Козлов Игорь Петрович

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 01.04.03 - РАДИОФИЗИКА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Самара-2004

Работа выполнена в Московском университете леса на кафедре физики и в Ракетно-космической корпорации «Энергия»

Научный консультант -

доктор физико-математических наук, профессор Е.И. Нефедов Официальные оппоненты:

Член-корреспондент РАН, доктор технических наук, профессор Бахрах Л.Д. доктор физико-математических наук, профессор В.П. Захаров доктор физико-математических наук, профессор А.А. Рухадзе

Ведущая организация -

Государственный научно-производственный ракетно-космический центр ЦСКБ - «Прогресс»

Защита состоится « »_2004г. в_часов на заседании

диссертационного совета Д219.003.01 в Поволжской государственной академии телекоммуникаций и информатики (ПГАТИ) по адресу:

443010, г. Самара, ул. Л. Толстого, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГАТИ.

Автореферат разослан « »_2004года.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Развитие космической техники требует широкого применения математического моделирования при создании космических систем, что обусловлено их существенным усложнением, удорожанием и необходимостью сокращения времени проектирования. Создание антенных систем в СВЧ диапазоне радиоволн на космическом аппарате (КА) связано с жесткими ограничениями по месту расположения, весовым, габаритным и другим характеристикам, что сопряжено со значительными техническими трудностями. Положение усугубляется при размещении антенн вблизи острых выступающих частей или при наличии около КА неоднородной холодной плазмы с критической концентрацией. Такая плазма может быть, например, от струи электрореактивного двигателя (ЭРД) или появляться при возрастании активности Солнца. В обоих случаях при анализе работы антенн надо учитывать особенности решения задач дифракции электромагнитных волн на острой кромке и распространения волн в неоднородной среде. Все это требует развития строгой теории дифракции волн на нескольких телах.

Особенности решения задачи взаимодействия электромагнитного излучения с холодной плазмой при резком изменении свойств среды приводят к усложнению проблемы электромагнитной совместимости радиосистем в присутствии вблизи КА холодной плазмы, концентрация которой достигает критической. Роль математического моделирования в этом случае возрастает из-за невозможности экспериментальной наземной отработки всех аспектов нелинейного взаимодействия холодной плазмы около КА с СВЧ полем. В результате появляется необходимость моделирования также космических радиофизических экспериментов. Возросшие требования к безопасности космических полетов подчеркивают значимость предполагаемых исследований.

ЮС. НАЦИОНАЛЬНА БИБЛИОТЕКА

л

Теория дифракции электромагнитных волн на двух телах систематически изложена Ивановым Е.А. Метод решения для двух шаров в сферических координатах применили при многочисленных расчетных исследованиях Burning J.H. и Lo Y.T. Однако решение и расчет задач дифракции волн на сложных препятствиях, которыми можно моделировать КА, антенны с диском, неоднородную плазму, представляют существенные трудности. Аналитические исследования дифракции волн на диэлектрическом шаре с шаровым включением проводились Uzunoglu N.K. с помощью векторной теоремы сложения. Анализ особенности решения такой задачи при резком изменении диэлектрической проницаемости можно провести в плоскослоистом приближении, развитом в работах Бреховских Л.М., Каценеленбаума Б.З., которое позволяет сократить число независимых переменных задачи.

Плоскослоистое приближение актуально в связи с воздействием мощных сверхкоротких лазерных и СВЧ импульсов на мишени, из-за которых возникает облако холодной плазмы с закритической концентрацией. В этом направлении требуется развитие работ Гинзбурга В.Л. и Ландау Л.Д. Сразу отметим, что рассматриваемая задача сводится к решению уравнения Шредингера, имеющего приложения в различных областях физики.

Основная цель исследований. Работа направлена на создание машинных методов проектирования антенн КА с учетом электромагнитной совместимости; на исследования взаимодействия электромагнитных волн с холодной плазмой вблизи критической концентрации. Предполагается развитие теории дифракции волн в неоднородных, в том числе локально неоднородных, средах.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- создан метод решения и расчета задачи дифракции волн на нескольких телах вращения сложной формы размером до нескольких длин волн; решены задачи дифракции волн на двух телах типа диск с полусферами и неоднородный шар без центральной симметрии;

- выявлена аномалия в решении одномерного волнового уравнения; теоретически предсказана качественная зависимость решения задачи

нормального падения плоской волны на холодную плоскослоистую плазму вблизи критической концентрации от малых параметров задачи;

- разработано плоскослоистое приближение при заданной точности задачи взаимодействия электромагнитных волн с холодной плазмой;

- решена задача дифракции волн на плазменном образовании произвольного размера с учетом особенности в нуле диэлектрической проницаемости;

- разработаны математические методы моделирования антенн КА с учетом

взаимодействия радиоволн с холодной плазмой;

Обоснованность и достоверность результатов работы. Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических моделей, а приближенные методы корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов (при использовании разработанных преобразований амплитуд волн) осуществлялся исследованием внутренней сходимости решений и согласием полученных данных с известными расчетными и экспериментальными результатами.

Практическая значимость работы подтверждается тем, что разработанные методы использованы при создании антенн КА РКК «Энергия», прошедших летные испытания. Развитые методы могут быть использованы при проектировании антенных систем КА с учетом влияния локализованного вблизи КА источника холодной плазмы. Численное моделирование с использованием развитых методов позволяет значительно улучшить качество проектов при сокращении времени и стоимости разработки.

Апробация работы. Результаты работы докладывались в ИОФАН РАН, в ИРЭ РАН, в ИФО РАН, в МГУ, в МФТИ; на конференции в Звенигороде по физике плазмы и УТС (2002, 2003, 2004), на Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 2002), на Всероссийской школе-конференции по дифракции и распространению волн (Москва, 1998), на Всероссийской конференции по распространению радиоволн (Санкт-Петербург, 1996), на Международном симпозиуме по решению обратных задач дистанционного зондирования (Гамбург, Германия, 1999), на

Международном симпозиуме по электрореактивным двигателям (Китакуши, Япония, 1999), на Международном симпозиуме по прикладному электромагнетизму (Метцофо, Греция, 1996), на Съезде по спектроскопии (Звенигород, 2001), на У! Международной научно-технической конференции «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» (Самара, 1999), на II Международной научно-технической конференции "Физика и технические приложения волновых процессов" (Самара, 2003), на научных сессиях, посвященных Дню Радио, (Москва, 1994 - 2001) и др.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод преобразования амплитуд волн при смещении и вращении сферической системы координат. Метод позволяет решать и проводить вычисления по итерационной схеме задач дифракции волн на двух телах сложной формы характерного размера до нескольких длин волн.

2. Метод решения задачи о распространении волн в нелинейной слабо поглощающей среде в плоскослоистом приближении с заданной точностью. Метод сокращает число независимых переменных задачи. Вывод количественных критериев коротковолнового и длинноволнового приближений, критерия появления поверхностной волны.

3. Выявлена аномалия в решении одномерного волнового уравнения при резком изменении свойств среды.

4. Метод предварительного проектирования антенн космических аппаратов при наличии неоднородного плазменного образования и взаимодействия антенн между собой и корпусом космического аппарата.

Публикации. Основные результаты, представленные в работе, получены лично автором. Вклад автора был определяющим при разработке теоретических идей и методов исследований. По теме диссертации опубликовано 57 научных работ, включая одну монографию, из них 52 выполнены автором единолично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, включающих обзор литературы, изложение и обсуждение полученных результатов, выводов и списка цитируемой литературы.

Текст диссертации изложен на 232 страницах машинописного текста, иллюстрирован 59 рисунками. Библиография включает 156 наименований.

Содержание работы

Во введении показывается общая направленность работы на развитие методов проектирования антенн КА. Наличие вблизи КА холодной плазмы, концентрация которой достигает критической, приводит к усложнению решения проблемы электромагнитной совместимости радиосистем. Математическое моделирование предполагает использование строгой теории дифракции на двух телах. Дается постановка задачи предварительного проектирования антенн. Предполагается, прежде всего, расчет ДН антенн и их подбор под те ДН, которые задаются требованиями по программе полета КА. Главным является выбор типа антенн, их места расположения и определение их основных параметров. При этом надо учесть явления, связанные с зависимостью радиофизических параметров антенн от влияния расположенных в ближней зоне других антенн, корпуса КА (с острыми кромками) и бортового источника холодной плазмы. Таким источником плазмы может быть струя ЭРД.

Применение строгой теории дифракции на двух телах позволяет разрабатывать приближенные методы, исследовать вопросы электромагнитной совместимости радиосистем, связанные с влиянием на характеристики антенны полей других антенн и холодной плазмы, концентрация которой достигает критической. Уточнение решения Иванова Е.А. задачи дифракции на двух шарах [1] позволило нам при получении формул переразложения полей разработать универсальный подход, основанный на использовании проекции поля на орт по г одной из локальных систем координат. Этот подход применил также Ерофеенко В.Т. [2] для получения формул переразложения в криволинейных координатах. Нами разработан итерационный метод расчета для размеров препятствий до нескольких длин волн. Позже близкий метод расчета дифракции на ансамбле частиц применил Yu-lin Xu [3].

При предварительном проектировании антенн КА не требуется высокая точность расчетов, поэтому достаточно рассмотреть осесимметричную систему тел, поверхности которых совпадают полностью или частично с координатными сферическими поверхностями. Такими телами являются диск с полусферами и сферически-слоистый шар, у которого центры сферических подслоев смещены. Слоистый шар позволяет учесть в неоднородной плазме трансформацию волн ортогональных поляризаций, что необходимо при исследовании возможности развязки приемных и передающих антенн по поляризации.

Важным этапом проектирования являются исследования особенностей решения задач дифракции на кромке диска, в точке «почти касания» шаров, а также условий, в которых эти особенности сказываются. Локальное применение плоскослоистого приближения позволит в струе (в модели неоднородного шара) вблизи критической концентрации плазмы учесть нелинейные явления, которые могут привести к сбою радиосвязи. Так, введение затухания позволит провести анализ решения такой задачи в случае слабой нелинейности. Далее полученное решение можно увязать с более точной моделью плазмы вблизи критической концентрации. В статье [4] численно исследуется распространение радиоволн в плоскослоистой плазме с учетом нелинейности. Применяется метод, близкий к нашему методу, что подтверждает эффективность предлагаемого нами метода, в том числе, при решении нелинейной задачи.

В первой главе Состояние- исследований о влиянии струи электрореактивного двигателя на радиосистемы космического аппарата

дается обзор состояния исследований в области проектирования и создания радиосистем КА с учетом взаимодействия с плазменной струей ЭРД. Отмечено аномальное возрастание СВЧ шумов ЭРД при выходе установки на максимальную мощность. Обсуждаются способы уменьшения взаимодействия приемных и передающих радиосистем.

Во второй главе Дифракция электромагнитных волн на двух телах дан

метод преобразований амплитуд волн скалярных потенциалов при переходе

между двумя локальными системами координат, полученных смещением и вращением. Метод применен при решении задачи дифракции на двух шарах.

В разделе 2.1 приведены рекуррентные соотношения для сферических волновых функций и даны основные характеристики электромагнитного поля.

В разделе 2.2 изложен метод преобразований амплитуд сферических волн при смещении начала координат. Решения уравнений Максвелла при разделении переменных в сферических координатах представляются скалярными потенциалами и электрических (ТМ) волн (Яг=0)в виде:

В.,

и=«»(«ф)+о ^(«Ф)

?ш(р) > ■Р,т(со&ву" ,.,г'г' О)

и подобно V магнитных (ТЕ, Ег = 0) для амплитуд волн ^„т-'^пт'^-'гт'^ят» где , а через обозначена область, занятая источниками,

длина волны в свободном пространстве, - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости однородной среды.

Составляющие напряженности электрического Е (и аналогично магнитного Н) полей в двух локальных сферических системах координат (полученных смещением по оси z) с центрами 0Й $ = ±1, (рис.1) связаны соотношением

где I - расстояние между центрами 0, И 0.,.

Представляя поля в (2) через скалярные потенциалы (1), применяя к правым частям известные теоремы сложения и используя ортогональность собственных сферических функций, получены преобразования амплитуд волн при переходе между двумя локальными системами координат в однородной среде

где При этом , коэффициенты

зависят от положения нового начала координат в старой системе координат, например,

Из (3) видно, что один тип волн при переходе от одной локальной системы координат к другой приводит к появлению обоих типов волн. Преобразования амплитуд волн (3) показывают взаимную зависимость ТМ и ТЕ-волн при смещении начала координат, наглядно демонстрируя неправомочность замены суперпозиции полей суперпозицией скалярных потенциалов полей, что сделано Е. А. Ивановым в [1] при решении задачи дифракции на двух шарах.

В разделе 2.3 рассмотрены преобразования амплитуд волн при вращении сферической системы координат, когда одна локальная система координат фг) получена из другой (г, 9, <р) двумя поворотами. ТМ и ТЕ-волны в этих системах координат преобразуются независимо, поскольку радиальные составляющие электромагнитного поля не трансформируются -

Разложение полей по собственным функциям и применение теорем сложений для многочленов Лежандра приводит к соотношениям типа:

Л>Рс^(со3ео)созтФо-**^„(созе0)51п/жр0 (6)

где а индекс (2) соответствует координатам

функции в целях сокращения записи не расписываем.

В случае перехода между двумя произвольно расположенными локальными системами координат преобразования амплитуд волн предполагают и смещение, и вращение. При этом азимутальные гармоники (по т) не разделяются, что очень усложняет решение задачи дифракции на двух телах.

Далее рассматривается осесимметричная система тел, когда решения для различных азимутальных гармоник независимы. Поэтому приводится решение для произвольного т, а в целях сокращения записи рассматриваются решения для гармоник вида cosrncp ТМ волн и siwwtp ТЕ-волн.

В разделе 2.4 рассмотрено решение задачи дифракции электромагнитных волн на двух шарах в пустоте (рис.1). Здесь и далее, амплитуды падающих С'^, D'„ , отраженных А'т, ВД, ТМ и ТЕ-волн обозначены, как CJ, i4',s=±l.C каждым телом свяжем локальную систему координат с центром 0,$ (j = ±1) и координатную поверхность радиуса ограничивающую тело, поверхности Oj не должны пересекаться. Пусть поле в общей области около поверхности Oj

AOs ~50s syOs ~f\Os

задается амплитудами волн

сторонних токов Jo и «неизвестными амплитудами волн» > > С',,,,, > г обусловленными взаимным влиянием тел. После удовлетворения граничных условий непрерывности тангенциальных

составляющих полей на поверхности каждого шара имеем «граничные условия для амплитуд волн»

где например, для

идеально проводящей сферы выражаются в виде:

С («,)

"" CW (8)

Подставляя преобразования амплитуд волн (3) в (7), получаем относительно неизвестных амплитуд волн бесконечную систему линейных уравнений

Решение системы (9) относительно ^„гВ^ (5 = ±1) является искомым. Показана разрешимость системы методом усечения. Суммарное поле в общей области представляется геометрической суммой полей, определяемых этими

амплитудами волн и амплитудами волн сторонних токов

В разделах 2.4.1 - 2.4.3 рассмотрены конкретные источники возбуждения двух шаров, приведены результаты расчетов, которые далее в пятой главе используются в качестве моделей разнообразных антенн КА. В разделе 2.5 дан итерационный метод (метод переотражений) расчета дифракции на двух телах (рис.1) при многократном применении преобразований амплитуд волн, обусловленных взаимным влиянием двух тел

где р = 1, 2, 3,...порядок рассеяния. Пусть известно поле вблизи одного из взаимодействующих тел (при наличии второго тела),

амплитуды отраженных волн этого поля. Тогда амплитуды падающих волн около второго тела находятся с помощью (10), а уже А'^, В^

определяются из "граничных условий для амплитуд волн"

где Я, - радиус 5-го отражателя. Этот процесс можно повторять многократно -амплитуды волн =4^, (р = 1, 2, 3,...), являющиеся решением

задачи дифракции на двух телах, при этом не изменяются. Многократным применением (11) и (10) можно уточнить приближенное решение задачи, заданное, например, амплитудами волн сторонних токов на одном из отражателей . Предполагается, что для достаточно малого

итерационный процесс сходится. В результате получим

Для сходимости решения при больших размерах отражателей преобразуем итерационный процесс тем, что введем малый параметр - приращение радиуса одного из препятствий Тогда при увеличении порядка

рассеяния р будет постепенно увеличиваться электродинамическое взаимодействие между телами. Малым параметром при таких итерациях может быть также изменение диэлектрической проницаемости одного из тел. Метод, являющийся развитием метода преобразований амплитуд волн, позволяет анализировать внутреннюю сходимость решения, обобщить решение на случай N тел произвольной формы.

В разделе 2.6 предложенным методом преобразований амплитуд волн решена задача дифракции плоской электромагнитной волны, падающей под углом на неоднородном

диэлектрическом шаре (рис. 2). Шар образован из вложенных один в другой однородных шаров, центры которых лежат на полярной оси, а поверхности не пересекаются. Плоская волна задается амплитудами волн . А поле в

слое (диэлектрическая проницаемость слоя

представляется вблизи этих поверхностей в локальных координатах с центрами неизвестными амплитудами

Кя > ^С»> В™ и ¿т»' С™' для ТМ и ТЕ- волн соответственно.

При решении задачи сначала находятся «граничные условия для амплитуд волн» на поверхности с,- , преобразования амплитуд волн (4), (5) дополняют линейную систему уравнений для неизвестных амплитуд волн до полной.

В разделе 2.7 дан метод зеркальных изображений в виде преобразований амплитуд волн при переходе от свободного пространства к полупространству,

Рис. 2. Дифракция плоской волны на шаре

между поверхностями

ограниченному идеально проводящей плоскостью Для двух тел данный

переход обоснован в случае, если радиус кривизны второго тела

В разделе 2.8 приводится расчет антенной решетки на сфере и полусфере, расположенной на идеально проводящей плоскости. Используется метод преобразований амплитуд волн при вращении системы координат и метод зеркальных изображений. Результаты расчетов обсуждаются в пятой главе..

В результате предложен метод преобразований амплитуд волн для решения и расчета задач дифракции на двух телах. Метод состоит в том, что «граничные условия для амплитуд волн» на поверхности каждого тела в локальной системе координат образуют неполную бесконечную систему линейных уравнений. Преобразования неизвестных амплитуд волн при переходе от каждой локальной системы координат к другой дополняют эту систему до полной. Исследована разрешимость бесконечной системы методом усечения. Метод позволяет проводить расчеты для размеров шаров до нескольких длин волн.

В третьей главе Дифракция волн на N телах сложной формы исследуется дифракция волн на N телах вращения.

В разделе 3.1 рассматривается задача возбуждения произвольными сторонними токами системы из двух идеально проводящих тел: диска, сопряженного с двумя полусферами, и сферы (рис. 3). Видимо, впервые возбуждение уединенного диска рассмотрено Яблочкиным Н.А. По схеме, данной в [5], все пространство разбивается на три области (I, II, III), на границе которых решения «сшиваются» методом наименьших квадратов.

^г.т Спт

Пусть п_| , — 1 - падающие амплитуды волн

пт пт

поля, отраженного от сферы радиуса Л+;, в системе координат с центром -1.

Пусть £0-1 , 2jO-i и ^jOî , - амплитуды волн сторонних токов, заданных в

областях II и I соответственно, а j-p. , р2 И Bs ' В1 ' D* ' D'

неизвестные амплитуды волн в областях II и I соответственно (рис. 3). Теперь, записывая систему уравнений при возбуждении диска для произвольного т, получим из граничных условий на сфере радиуса г_/ и преобразований амплитуд волн (3) систему уравнений, дополняющую предыдущую до полной.

После понижения порядка системы получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд ТЕ и ТМ-волн для каждой модуляции т. В результате решения системы методом усечений

находим , jj-i , а затем и , . Суммарное поле находится, как и

Л/Т? пт пм ЯП

ранее. Численные исследования обобщены в пятой главе. Результаты исследований особенности поля на краю диска приведены в приложении.

В разделе 3.2 дано решение задачи дифракции на осесимметричной системе N тел вращения сложной формы, приводятся результаты расчетов.

В разделе 3.3 приводится решение задачи дифракции волн на плазменном образовании произвольного размера с учетом особенности решения в нуле е. При этом решение в приближении геометрической оптики сшивается с точным решением для неоднородного шара (со смещенными центрами поверхностей e=const) с помощью принципа Гюйгенса. Методология построения решения в разделах 3.2 и 3.3 аналогична той, которая изложена в разделе 3.1.

В результате метод преобразования амплитуд волн позволил создать универсальную, эффективную расчетную модель для нескольких тел вращения сложной формы (с острыми кромками) характерных размеров до пяти длин волн. Метод может быть расширен на произвольно расположенную группу тел.

В четвертой главе Плоскослоистое приближение с заданной точностью рассмотрено взаимодействие электромагнитных волн с неоднородным слоистым

диэлектриком в случае » 1, где е' = е - is", е" = const, г - радиус

кривизны поверхности £"=const. Главное внимать уделяется физическому смыслу полученных решений и вопросам их применимости.

Выявлена аномалия в решении задачи нормального падения плоской электромагнитной волны на плоскослоистый диэлектрик без поглощения, диэлектрическая проницаемость е которого изменяется от £| до е^, £) > 0, 0 < О (рис. 4). Простое объяснение этой особенности связано с неустойчивостью решения вблизи нуля Б ПО направлению распространения волны (0 = 0). Так,

возмущение при приводит при

поскольку

инвариант на плоском слое [6]. Для Е-волны напряженность электрического поля (Е) возрастает до бесконечности при 0

(решение на полубесконечном слое разлагается в ряд [7]). В результате уравнение

в общем случае, неприменимо в окрестности нуля е, задача может быть нелинейной.

В разделе 4.1 изложен метод самосогласованных конечных разностей решения задачи о нормальном падении плоской волны на плоскослоистый диэлектрик без поглощения от z\ до zs при е > 0 (рис. 4, кривая 3). До слоя при z<z/ и за слоем при среда однородная, причем за слоем имеется только проходящая волна. Слой £(г) разбивается на однородные подслои переменной толщины, e(zi),...e(z„),..£(zv), так что 82= e(z„)/e(z„+i) = const (Дzn = z„+1 - г„ -» 0 при п -> со). Вблизи нуля е зависимость принимается в виде

gr(EL) = const (Е = р2/(6 +fe)2), (12)

Рис. 4. Линейный слой, переходящий вблизи нуля е в нелинейный. Кривые 1-3 - разные приближения

где gr(e) = -a/z312, а — dz!d{kz), El= e(zl) (рис. 4, кривая 3). Для слоя (12) имеется точное решение задачи в элементарных функциях. Не нарушая общности, рассмотрим случай, когда сдвиг фаз волны при прохождении слоя k(Z|-

Z\) « 1. Напряженность электрического поля в подслоях ищем в виде

Тогда для коэффициентов

отражения и амплитуд волн проходящей волны в системе

координат с центром z = О справедливо:

пл 0 ч пп _ r„H+Rj expQAp,,,,) ^

RH ехр(2ф„) = Я0я =—--—-Г, Л"Н=АН{\

1 н——

Mo*«)

.(13)

где L-l, RL0H = RLH,hpL = Q,pn=^h„, rnH = Apw=^-4,(14)

Rlh - коэффициент отражения от части слоя (12), Ь„ц =5, е^Е^б2'1""1'. Рекуррентная формула (13) -Ro// =/?{gr(ei), Sj/£дг, 5} при.5 1 сводится к уравнению Риккати. Выделяется принцип подобия слоев (в предположении £ > 0), имеющих эквивалентные коэффициенты отражения, а при Дф « 1 равные поля Е = £"{gr(E|), Eifen}. У подобных слоев совпадают £г(Еп)=-а„/(Ел)3/2, п = но отличаются

В разделе 4 2 изложен принцип предельного перехода, с помощью которого решена основная задача - задача нормального падения плоской волны на линейный полубесконечный слой без поглощения. Это решение (квазирешение) рассматривается как предельный случай общего решения для слоя с поглощением, задаваемым величиной при замене

вблизи линейной функции

const) нелинейной - gr(E') - const (рис. 4). При этом модель 2 (кривая 2) выбрана из условия, что dz/dz = 0 при Е = En, а модель 3 (кривая 3) является вырожденным случаем модели 1 (кривая 1) при z"JZl<< 1. Слой в модели 1 с зависимостью e(z)

в виде нелинейной функции при ¡Б!.! —> 0 переходит в линейный полубесконечный, который можно аппроксимировать в случае "сверхмалого" поглощения при е" << моделями 3 при « 1 или 2 при 1.

Для Е-волны Н^ = А^ ехр(— ¡-^Ъ^кг+ ), где Щ; и А"Е определяются по формулам (13), (14) после замены в них индексов Н на Е, при этом

Я

8„я=-

5 =5 пЕ °»Н , ь „

Принцип подобия неоднородных слоев справедлив и для Е-волны. Решение для компоненты вектора Умова-Пойнтинга (.У,, ~ Н"')) будет

В модели 2 (рис. 4, кривая 2) легко получить, что 0.3 - 0.21 при (б"/б£)2 = при В результате в моделях 3 и 2 имеем, что

0 при —> 0 (при Ел; > 0 и е.цт < 0), то есть энергия волны «не проходит» в область Б < 0. Это свойство и принцип подобия слоев позволяют выделить математическую критическую точку в нуле вблизи которой решение в модели 2 резко зависит от граничных условий.

В модели 3 (рис. 4, кривая 3) отмечена количественная зависимость решения от малых изменений кг вблизи нуля е. Так после раскрытия неопределенности

для линейного слоя Возможность

бесконечного значения Е, ранее доказанная для Е-волны на полубесконечном слое [7], наглядно показана на рис. 4, кривая 3, уменьшением толщины подслоев (при переходе между подслоями справа коэффициент отражения постоянный). Однако переход к решению для вектора Умова-Пойнтинга позволяет улучшить сходимость и устранить количественную зависимость решения от малых изменений параметров задачи.

С физической точки зрения, следуя принципу предельного перехода, основная

задача является случаем близкого к нормальному падения волны на "почти" плоский слой 0 со «сверхмалым» поглощением (е" «а273), при е'Уео

» 1 - волна может "прожигать" слой Е = Ео (Ео = Eisin20] - действительная величина).

В разделе 4.3 дан анализ решения задачи вблизи поверхности, где диэлектрическая проницаемость обращается в нуль (s = 0). Проводятся исследования сходимости решения. Рассмотрено нормальное падение на плоскослоистый диэлектрик луча, угловая ширина которого Вблизи нуля е имеет место ветвление решения, которое качественно зависит от малых параметров физической задачи, прежде всего, угла падения волны (0|), ширины луча кривизны поверхности и поглощения

Направление вектора Умова-Пойнтинга для проходящей плоской Е-волны (поляризованной в плоскости падения) задается формулой

ctgO„E = Re{y'Jy,-l)/Re(y'„), где y.=z'. /е0.

При значении бифуркационного параметра ё"/Ео » 1 луч проходит в область £ < 0, а при

условии

возможно появление

поверхностной

Е-волны. При образовании

стоячей волны (в неоднородной среде) малая 0

часть энергии волны может "закачиваться" в рИс 5 Зависимость поля Е от I =

£/е,[^(е!)]"г/3, при е"~0 и 6| = 0,

поверхностную Е-волну вблизи нуля Е. В ^^ _ 00()1; е]=о.1327354 и

нестационарной задаче "закачки" надо учитывать £1=0-1327356(1 - точное

решение; 2 - приближенное форму и характерный размер поверхности е ~ 0. решение, использующее

одну функцию Эйри

В результате плоскослоистая модель

= » 1) применима только в пределах падающего луча, характеризуя

локальные свойства поверхности Б = СОГ^.

При X ~ 1 надо рассматривать задачу дифракции на неоднородном шаре. При

происходит дифракционное рассеяние падающего излучения.

Результаты расчетов полей Едля двух значений £] представлены на рис.5, где показано, что положение нуля при определенных условиях зависит от малых изменений параметров задачи. Сравнение с классическим решением основной задачи через функции Эйри [6] при пренебрежении одной из функций Эйри из-за малости скачка производной показало, что вблизи нуля надо учитывать обе функции Эйри.

В разделе 4.4 рассмотрено взаимодействие электромагнитной волны с холодной плазмой, приведены количественные критерии применимости плоскослоистого приближения, дано решение слабо нелинейной задачи. Решения задач распространения волн для моделей 1, 2, 3 (рис. 4, кривые 1, 2, 3 соответственно) являются приближенными решениями для полубесконечного слоя со «сверхмалым» поглощением при линейной функции Е(г). Для модели 3 применим принцип подобия плоских слоев и закон сохранения энергии. Модель 2 привлекательна в практике при применении закона сохранения энергии для анализа закритической плазмы, когда задача слабо нелинейная.

Слой с нелинейной зависимостью при = 20 может служить

длинноволновым приближением при заданной точности расчета. Модели 2, 3 при использовании полученных количественных критериев применимости коротковолнового и длинноволнового приближений, критериев появления поверхностной волны и применимости модели нормального падения плоской волны на плоскослоистую среду позволяют проводить расчеты с заданной точностью, что необходимо из-за особой точки

В разделе 4.5 рассмотрено решение обратной задачи нормального падения плоской волны на плоскослоистый диэлектрик. Устранена некорректность задачи без поглощения. Сокращение числа независимых переменных упрощает решение задачи. Так,

Рассматриваемая задача в общем случае описывается уравнением Шредингера, которое входит в так называемую пару Лакса метода

обратной задачи, как своеобразного нелинейного обобщения классического метода Фурье, что подчеркивает фундаментальный характер проводимых исследований задачи о распространении волн в плоскослоистой среде.

В результате теоретически предсказана качественная зависимость решения задачи взаимодействия электромагнитной волны с холодной плазмой в плоскослоистом приближении вблизи критической концентрации от малых параметров задачи. Получено решение для плотности потока энергии, которое хорошо сходится и этим привлекательно для практики. Выявленная локализация поля поверхностной Е-волны вблизи критической концентрации плазмы подтверждает известный эффект «разбухания» поля.

В окрестности нуля когда неприменимо плоскослоистое

приближение, можно использовать модель плазмы в виде неоднородного шара, образованного вложенными друг в друга однородными шарами без центральной симметрии, что приводит к трансформации полей двух ортогональных поляризаций. Локальное применение плоскослоистого приближения при исследовании дифракции волн на таком образовании позволяет улучшить сходимость решения и одновременно учесть слабую нелинейность задачи, а в дальнейшем решить нелинейную задачу.

Вблизи критической концентрации холодной плазмы электромагнитные волны при слабой нелинейности могут обратимо переходить в плазменные волны или другие типы колебаний. В этом случае решение сильно зависит от свойств среды, поэтому можно ожидать обнаружение новых физических явлений, связанных с преобразованием разных видов энергии.

Выделен новый класс задач о близком к нормальному падении плоской волны на «почти» плоскослоистую среду с резко изменяющимися свойствами при «сверхмалом» поглощении (критерий дан). В общем случае бифуркационная задача поиска стационарных решений является нелинейной и нестационарной. Эти задачи могут иметь широкое применение при изучении волновых процессов в средах с резко изменяющимися свойствами в различных областях физики.

Выявленные нами особенности решения задачи о взаимодействии электромагнитных волн с холодной плазмой получили подтверждение на XXIX и XXX Звенигородских конференциях по физике плазмы и УТС. Там обсуждались различные (в том числе резонансные) явления вблизи критической концентрации плазмы, см. например, [8-9]. Сделано обобщение теоретических и экспериментальных исследований, связанных с воздействием мощного электромагнитного излучения на вещество. В [10] теоретически показано, что локализация поверхностной волны определяется нулем диэлектрической проницаемости. В [11] показано, что электронные ленгмюровские колебания вблизи критической поверхности, непрерывно меняя свою природу по мере распространения, выходят из плазмы в вакуум в виде электромагнитной волны.

Полученные нами результаты подтверждаются в [12] Шестопаловым В.П. и Яциком В.В. нахождением в плоском слое морсовской критической точки, вблизи которой наблюдается аномальная дисперсия и возможно появление поверхностной Е-волны. Но достоверность расчетов обратной задачи в [12] вызывает сомнение из-за особенности поля при е ~ 0 не только качественного, но и количественного характера.

В пятой главе Проектирование антенн космического аппарата изложен метод предварительного проектирования антенн КА. Модель двух тел учитывает электродинамическое взаимодействие антенн между собой, с корпусом КА, с его выступающими частями в присутствии плазменного образования (ПО). Используются численные исследования решений задач дифракции и анализ особенности поля. Метод предполагает из серии расчетов выбор нескольких приемлемых вариантов антенн, а затем их оптимизацию по техническим характеристикам и стоимости. Показано применение различных моделей.

В разделе 5.1 рассмотрено моделирование антенн КА. Применяются:

а) идеально проводящий диск, сопряженный с двумя полусферами (рис.6);

б) неоднородный диэлектрический шар без центральной симметрии (рис. 2);

в) антенная решетка на проводящей полусфере с диском (рис. 7).

Рис. 6. Возбуждение крестообразным вибратором диска с полусферами

сфере и полусфере с плоскостью, zp - ось симметрии излучателя

диском (кг = 2.5, г\ = Г2 = 0). Кривые 1-3 соответствуют кИо = 1; 4-6 — ЛЛ0 =1.8; 7-9 -кко = 2/2. При этом кривые 1 ,.4,7 соответствуют /о = 90°; 2,5,8 -_/о= 110°; 3,6,9-/о =150®

кнд

Рис. 9. ДН турникетной антенны над диском с Ш = 2, п = Г2= 0 при /tto= 1.2; fo = 120°; Wo = 1, расположенным около > сферы. Кривые 1-5 соответствуют значениям kR и kh: 8,4; 4,4; 0,2; 4,2; 8,2 (R - радиус сферы, А - расстояние от диска до сферы)

КНД

в. град

Рис. 10. ДН антенной решетки из трех симметрично расположенных излучателей (8[ = 10°) на сфере с Л = 3). (сплошные кривые) и полусфере с диском (штриховые). На излучателях 1-4 разные сдвиги фаз

В разделе 5.2 изложен метод расчета дифракции волн на двух телах сложной формы. Сначала рассматривается дифракция волн на уединенном теле с центром 0.|, например, на диске (рис. 6) или неоднородном диэлектрическом шаре без центральной симметрии (рис. 2). Решение этой задачи можно формально представить в виде операторного уравнения для амплитуд волн

Влияние соседнего тела (с центром определяется отраженным полем от этого тела, которое в координатах с центром определяется неизвестными

амплитудами волн , . Чтобы учесть это влияние в (15) достаточно

формально ввести замену

Аналогичная операция производится относительно уединенного тела с центром Неизвестные амплитуды волн находятся многократным

применением преобразований амплитуд волн при переходе между локальными координатами с центрами (см. раздел 2.5), например, при

одновременном увеличении размера тела в центре до заданного.

В разделе 5.3 даны следующие расчетные модели антенн КА.

Типы антенн КА. Антенны моделируются произвольно ориентированными заданными токами (вибраторами); системой заданных токов, например, крестообразным вибратором; кольцевой и меридиональной щелями. Может рассматриваться антенна с диском (рис.6.). На рис. 8 приведены результаты расчета коэффициента направленного действия (КНД) по круговой поляризации крестообразного вибратора над диском.

Модели корпуса КА. Корпус КА моделируется диском с двумя полусферами (рис. 6); двумя телами (рис. 1, 3). Численные исследования ДН для разнообразных моделей показывают, что для КА характерного размера (расчеты возможны для можно пользоваться приближенными

решениями. При форма КА практически не влияет на ДН.

Выполнен проект антенны неориентированного КА характерного размера 2R = 1.3Х., форма которого близка к телу вращения. При этом использованы расчеты модели проводящей полусферы и двух проводящих сфер. Исследования показывают, что при возбуждении крестообразной антенной КА характерного размера меньше 15А., форма тела в зоне тени антенны практически не влияет на вероятностные характеристики направленности антенны.

Модель антенны с диском около КА. На рис. 9 приведены ДН в единицах КНД по круговой поляризации при возбуждении турникетной антенной диска при наличии проводящей сферы для различных размеров сферы и расстояний от диска до сферы. Антенна с диском по ДН почти не излучает назад, но сфера, расположенная от антенны на расстоянии, меньшем А, может значительно изменить ДН антенны. Что объясняется существенным излучением антенны назад в ближней зоне, которое переотражается сферой вперед. В результате выбрана оптимальная длина штанги для антенны с диском около КА.

Модель антенной решетки на КА, которая представляется полусферой с диском. Расчеты антенной решетки из трех симметрично расположенных излучателях круговой поляризации показывают, что путем

подбора сдвигов фаз на излучателях можно обеспечить КНД > 5 в секторе углов е<50° (рис.10). В этом случае кромка диска (штриховые кривые) не оказывает влияния на ДН решетки. При аналогичные расчеты

показывают, что ДН при различных размерах кромки диска близки в главном направлении, но весьма различаются в боковых лепестках.

Модель антенн спускаемого аппарата при посадке (сфера расположена над идеально проводящей плоскостью). Расчеты для сферы радиусом Я = Х12 позволили выбрать оптимальные параметры турникетной антенны. Результаты исследования влияния наводимых на сфере плоскостью токов показывают, что ими можно пренебречь при расстояниях от сферы до плоскости больших Модель антенн КА при наличии плазменного образования. Система двух тел позволяет моделировать КА с расположенной вблизи неоднородной плазмой

(рис. 11). Рассмотрено возбуждение сферы кольцевой щелью (кг/)— 1,,}о = е"*1, 9о = 90°) в присутствии неоднородного шара. Расчетные ДН приведены на рис.12, где пунктиром отмечены результаты расчета без учета взаимного влияния двух тел, штрихпунктирной кривой расчет для уединенной сферической антенны Приближенное решение применимо при расстоянии от шара большем 1.5Х.

Рассматривается случай нормального падения плоской волны на линейный слой плазмы толщиной от меняется от в плоскослоистом

приближении. На рис. 13 для а = ¿¡£/с1(к2) = 5 даны результаты расчета коэффициента отражения в зависимости от соответствует

В результате разработан метод предварительного проектирования антенн КА. Метод основан на решении и численных исследованиях задач дифракции волн на нескольких телах вращения сложной формы. Показано, что вблизи уровня критической концентрации плазмы решение неустойчиво и возможно нелинейное взаимодействие плазмы с СВЧ полем. Локальное применение в сферической геометрии плоскослоистого приближения позволит в дальнейшем решить эту нелинейную задачу.

В приложении приведены результаты исследований особенности электромагнитного поля на краю диска. Выделены особенности решения при скользящем падении вертикально поляризованной плоской волны на диск и в квазиоптической области в случае осесимметричного возбуждения диска. Показана применимость модели при проектировании антенн КА. На рис.14 даны результаты расчета антенны с диском изделия 11Ф93 РКК «Энергия». На рис. 15 представлены полученные нами результаты расчетов возбуждения диска в сравнении с расчетными данными, полученными по асимптотическим формулам Пименова Ю. В. На рис. 16 расчет обратного рассеяния при скользящем падении плоской волны дан в сравнении с литературными данными.

Сравнение полученных результатов расчетов с известными расчетными и экспериментальными данными дало хорошее согласие, что показывает эффективность разработанного математического аппарата.

с+|

А+|

Рис. 11. Модель КА с расположенным вблизи плазменным образованием

на рис. 11, кг. | = 2. гг = 0: 1 -£1 = 8, А/ = 4;2-е|=2,й = 4; 3-81=2,^=8

Рис. 13. Зависимость коэффициента отражения линейного слоя плазмы от его толщины при £| = 1, с!е/с1()а)=5 для ад 1-5х10"\2-6х10'5, 3-2x10"5, 4-5Х10"4

Рис. 14. Расчетная и экспериментальная (пунктир) ДН турникетной антенны с диском изд. 11Ф95 при кГц = 2.1.; АЛ„=1.6;/в=135°

Рис. 15. Расчетная ДН при возбуждении диска радиуса ЗХ осевым вибратором в сравнении с литературными данными (пунктир)

/

1 1 1 1 1 1 1 1 №

ш 0 1 1 \

Рис.16. Кривые поперечного сечения обратного рассеяния (о) при во - 90 для горизонтально поляризованной плоской волны (пунктир - литературные данные)

В заключении сформулированы основные результаты работы.

1. Предложен метод преобразования амплитуд волн для аналитического решения задачи дифракции электромагнитных волн на нескольких телах вращения. Созданный математический аппарат позволяет проводить вычисления для размеров тел вплоть до нескольких длин волн.

2. Впервые выявлена особенность качественного характера решения задачи о распространении волн при резком изменении свойств плоскослоистой среды. Решена задача о распространении волн в неоднородной среде в плоскослоистом приближении с заданной точностью расчета. Предложенный метод решения позволил сократить количество независимых параметров задачи. Даны количественные критерии длинноволнового и коротковолнового приближений, критерий появления поверхностной волны. Решение задачи для плотности потока энергии позволило улучшить сходимость.

3. Выделен класс задач о распространении и дифракции волн при близком к нормальному падении плоской волны на плазмоподобную среду с резко изменяющимися свойствами при "сверхмалом" поглощении. Показана возможность нелинейных явлений, нестационарных процессов. Теоретически предсказана качественная зависимость решения задачи взаимодействия электромагнитной волны с холодной плазмой вблизи критической концентрации от малых изменений параметров задачи.

4. Разработан метод предварительного проектирования антенных систем КА различных типов с учетом электромагнитной совместимости. Модель позволяет учитывать электромагнитное взаимодействие антенн между собой, с корпусом КА и с неоднородной плазмой. Проведенные исследования использованы при построении ряда антенных систем для изделий РКК «Энергия».

Созданный математический аппарат позволяет моделировать космические радиофизические эксперименты. Проведенные фундаментальные исследования могут быть использованы для описания разнообразных волновых явлений в средах с резко изменяющимися свойствами.

Основные публикации по теме диссертации

1. Козлов И. П. Дифракция электромагнитных волн на двух сферах // Известия вузов. Радиофизика.- 1975.-Т. 18,N7.-C.997-1008.

2. Козлов И. П. Метод решения задачи дифракции плоской электромагнитной волны на плазменном образовании / Сб. Дифракция и распространение электромагнитных волн // М.: МФТИ- 1993. - С.104-113.

3. Козлов И. П., Ильин Ю. А. Обратные задачи дистанционного зондирования плоскослоистой структуры в СВЧ диапазоне / Труды 4-ой международной н.-т. конференции "Распространение и дифракция электромагнитных волн в неоднородных средах" // М.: РНТО РЭС. - 1994. - С.97.

4. Kozlov I.P. Mathematic Methods of Spacecraft Antenna System Designing / Proc. 45-th Congr. Int. Astr. Federation. - Jerusalem (Israel). - 1994. - Paper IAF-94-U.2.469(12p).

5. Козлов И.П. Проектирование антенных систем космических аппаратов / Сб. Дифракция и распространение электромагнитных волн // М.: МФТИ. - 1995. -С.97-105.

6. Козлов И.П. Электромагнитные поля вблизи каустики // Электродинамика и техн. СВЧ и КВЧ. - 1996. - Т.4, N4. - С.63-69.

7. Козлов И.П. Падение электромагнитной волны на плоскослоистый диэлектрик // Электродинамика и техн. СВЧ и КВЧ. - 1996. - Т.4, N4. - С.56-62.

8. Козлов И.П. Прохождение радиоволн через плазменное образование произвольного размера / Труды XYIII Всероссийской конференции по распространению радиоволн // С.-П., - 1996. - С.78.

9. Kozlov I. P. The Electromagnetic Wave Diffraction For Two Bodies / Proc. TransBlackSea region Symposium Applied Electrom. // Metsovo-Epirus (Greece). -1996.-pp.147-148.

Ю.Козлов И. П. Исследование задачи отражения плоской электромагнитной волны от плоскослоистого диэлектрика // Радиотехника и электроника. -1997. -Т.42,№2.-С.142-146.

П.Козлов И.П. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на плоскослоистый диэлектрик // Вестник МАИ. - 1997. - Т.4, №2. - С.37—41. 12.Козлов И. П. Плоские электромагнитные волны в плоскослоистой среде // Вестник МАИ. - 1999. -Т.6, №1. -С.54-60.

H.Kozlov I. P. Mathematical Modeling of the Electric Propulsion Plasma Plume Interaction with Spacecraft Radiot. Systems / Proc. 26th Intern. El. Prop. Conf. // Kitakyushu (Japan). - 1999. - Paper IEPC-99-229 (7p).

Н.Козлов И.П. Исследование электромагнитных полей на скачке диэлектрической проницаемости // ЖТФ. -1999. — Т.69, №8. — С.5-9.

15.Kozlov I. P. Electromagnetic Properties ofNatural Media Near Zero Permittivity / Proc. IEEE 1999 Int. Geosc. and Remote Sens. Sump. // Hamburg (Germany). - 1999. - Paper BB E02 KOZI.

16.Козлов И.П. Исследование электромагнитных полей в плоскослоистой среде вблизи нуля диэлектрической проницаемости // Радиотехника и электроника. -1999. - Т.44, N12, - С.1470-1471.

17.Козлов И. П. Исследования прохождения электромагнитной волной плоского слоя диэлектрика вблизи критической точки // Письма в ЖТФ. -2000. - Т.26, Вып.14.-С.28-35.

18.Козлов И.П. Электромагнитные поля в плоскослоистых средах вблизи нуля диэлектрической проницаемости // Радиотехника и электроника. - 2000. - Т. 45, N5.-C.545-551.

19.Козлов И. П. Распространение электромагнитных волн в неоднородной плоскослоистой среде // Радиотехника и электроника. - 2001. - Т.46, N1. - С.66-71.

20.Козлов И. П. Дифракция электромагнитных волн на двух шарах // Радиотехника и электроника. - 2001. -Т.46, N2. - С. 180-185.

21.Козлов И. П. Математическое моделирование взаимодействия электромагнитного излучения со струей электрореактивного двигателя космического аппарата // Радиотехника и электроника. - 2001. - Т.46, N3. -С.290-295.

22.Козлов И. П. Проектирование антенн космических аппаратов // Радиотехника и электроника. -2001. - Т. 46, №8. - С.932-939.

23.Козлов И. П. Взаимодействие электромагнитного излучения со струей электрореактивного двигателя// Письма в ЖТФ. - 2001. - Т.27, Вып.24. - С.8-14.

24.Козлов И. П. Дифракция электромагнитных волн на двух телах и проектирование антенн космического аппарата / Труды XI Всероссийской школы-конференции по дифракции волн // М.: Изд. МГУ. - 1998. - С.71-76.

25.Kozlov I. P. Electromagnetic Properties ofNatural Media Near critical point/ Proc. of the Intern. Conf. Math, and Phys. Method in Ecology and Env. Monitoring // Moscow.-2001.-pp. 145-150.

26.Козлов И.П. Неустойчивость лазерного луча в неоднородной плазме около критической концентрации // Прикладная физика. - 2002. - С.121-129.

27.Козлов И.П. Решение некорректной задачи о распространении плоской электромагнитной волны в плоскослоистом диэлектрике без поглощения вблизи нуля диэлектрической проницаемости // Лесной вестник. - 2002. - №1. - С.121-125.

28.Козлов И. П. Критическая точка в нуле диэлектрической проницаемости плоско и сферически-слоистого диэлектрика при моделировании плазменной струи электрореактивного двигателя // Лесной вестник. - 2002. - №1. - С. 125129

29. Козлов И. П. Структурная неустойчивость решения волнового уравнения при резком изменении свойств среды / Тезисы докладов IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2002) // С.-П.-2002.-С. 134-135.

30.Козлов И. П. Дифракция электромагнитных волн на двух шарах в приложении к проектированию антенн космических аппаратов // Письма в ЖТФ. -2003. -Т.29, Вып.7. -С.18-26.

31.Козлов И. П. Особенность решения задачи о распространении электромагнитной волны в холодной плазме // Тезисы докладов XXX

Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС // Звенигород- 2003.-С.135.

32.Козлов И. П. Взаимодействие электромагнитного излучения с плазменной струей электрореактивного двигателя космического аппарата // Математическое моделирование. - 2003. - Т.15, N7. - С.81-85.

33.Kozlov I. P. Solution Peculiarity for the Problem of Plane Electromagnetic Wave Propagation in Cold Plasma // 30-th EPS С on Contr. Fus. and Plasma Physics // St.-Pits. - 2003. - Paper P-2.39.

34.Козлов И.П. Особенность решения задачи дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонком идеально проводящем диске // Вестник МГУЛ - Лесной вестник.- 2004.- № 1 .-С. 108-116.

35.Козлов И.П. Дифракция электромагнитных волн на симметрично расположенных идеально проводящих диске и сфере // Вестник МГУЛ - Лесной вестник. - 2004. -№1. - СП6-121.

36.Дордус И.Д., Козлов И.П., Кюркчан А.Г. Взаимодействие электромагнитного излучения с холодной плазменной струей электрореактивного двигателя космического аппарата // Вестник МГУЛ - Лесной вестник. - 2004. - №1. -С.121-128.

37.Козлов И.П. Проектирование антенн космических аппаратов с электрореактивным двигателем. Монография. // М.: МГУЛ. - 2004. - 209с.

Литература

1.Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах // Минск: наука и техника.- 1968-583с.

З.Ерофеенко В.Т., Кравченко В.Ф., Крючков А.Н. Теоремы сложения для базисных электромагнитных полей // Радиотехника. - 1995. - №6. - С.49-57. 3.Yu-lin Xu. Electromagnetic scattering by an aggregate of spheres // Applied Optics. - 1995. - Vol.34, No.21 - pp.4573-4588.

4.Куницын В.Е., Нестеров И.А., Стефанчук А.Д. Численное моделирование распространения радиоволн в слоистой плазме // Радиотехника и электроника. -1999. -Т.44, №12. - С. 1445-1451.

5.Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны - М.: Радио и связь. - 1957. - 440с.

6.Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме // М.: Наука. - 1967.- 683с.

7.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред - М.: Наука. -1973.-297с.

8.Быстров А. М., Гильденбург В.Б. Автоконверсия частоты излучения в процессе оптического пробоя тонкой пленки конденсированной среды / Тезисы докладов XXIX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС // М.: ФИАН. -2002. -С.181.

9.Гильденбург В.Б. Нелинейная динамика неравновесных оптических и микроволновых разрядов / Тезисы докладов XXX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС // М.: ФИАН. - 2003. - С.14.

10.Кузелев В. М., Романов Р.В., Рухадзе А.А. Влияние поперечного профиля плазмы на структуру поверхностной волны плазменного волновода // ФП.- 2001. -Т.27,№3.-С.260-275.

11.Тимофеев А.В. О «выходе» электронных ленгмюровских колебаний из замагниченной плазмы // ФП. - 2001. - Т.27, №11. - С.1046-1049.

12.Шестопалов В.П., Яцик В.В. Спектральная теория диэлектрического слоя и морсовские критические точки дисперсионных уравнений // Укр. физ. журн. -1997. - Т.42, №7. - С.861-869.

Отпечатано с готового оригинала Лицензия ПД № 00326 от 14.02.2000 г.

Подписано к печати /С-ОЪ. ОЦ-. Формат 60x88/16

Бумага 80 г/м1 "Снегурочка" Ризография

ОбъемЛдуп л. _Тираж МО экз._Заказ № $ог_

Издательство Московского государственного университета леса. 141005. Мьгппци-5, Московская обл., 1-я Институтская, 1, МГУЛ. Телефоны: (095) 588-57-62,588-53-48,588-54-15. Факс: 588-51-09. Е-тай. ш!а1@т{>и1 ас ли

#16064

Введение.

1. Состояние исследований о влиянии струи электрореактивного двигателя на радиосистемы космического аппарата.

2. Дифракция электромагнитных волн на двух сферах.

2.1.Сферические функции, основные характеристики электромагнитного поля.

2.2.Метод преобразований амплитуд волн.

2.2.1. Смещение начала координат.

2.2.2. Вращение системы координат.

2.3.Строгое решение задачи дифракции волн на двух сферах.

2.3.1. Поле произвольно ориентированного диполя.

2.3.2. Возбуждение двух сфер турникетной антенной.

2.3.3. Дифракция на сфере, расположенной над проводящей плоскостью.

2.4.Метод переотражений при решении задач дифракции на двух телах.

2.5.Дифракция волн на неоднородном шаре без центральной симметрии.

2.6.Метод зеркальных изображений в сферической системе координат.

2.7.Метод расчета антенной решетки на сфере.

3. Дифракция волн на N телах сложной формы.

3.1. Дифракция волн на двух телах: диске и сфере.

3.2.Дифракции волн на N телах.

3.3.Дифракция волн на плазменном образовании произвольного размера.

4. Плоскослоистое приближение при заданной точности расчета.

4.1.Метод самосогласованных конечных разностей.

4.2.Принцип предельного перехода, особенность в нуле е.

4.3.Исследования полей вблизи нуля в.

4.4.Взаимодействие волны с холодной плазмой.

4.5.Обратная задача рассеяния волн.

Актуальность проблемы. Развитие космической техники требует широкого применения математического моделирования при создании космических систем, что обусловлено их существенным усложнением, удорожанием и необходимостью сокращения времени проектирования.

Создание антенных систем в СВЧ диапазоне радиоволн на космическом аппарате (КА) связано с жесткими ограничениями по месту расположения, весовым, габаритным и другим характеристикам, что сопряжено со значительными техническими трудностями. Положение усугубляется при размещении антенн вблизи острых выступающих частей или при наличии около К А неоднородной холодной плазмы с критической концентрацией. Такая плазма может быть, например, от струи электрореактивного двигателя (ЭРД) или появляться при возрастании активности Солнца. В обоих случаях при анализе работы антенн надо учитывать особенности решения задач дифракции электромагнитных волн на острой кромке и распространения волн в неоднородной среде. Все это требует развития строгой теории дифракции волн на нескольких телах.

Особенности решения задачи взаимодействия электромагнитного излучения с холодной плазмой при резком изменении свойств среды приводят к усложнению проблемы электромагнитной совместимости радиосистем в присутствии вблизи КА холодной плазмы, концентрация которой достигает критической. Роль математического моделирования в этом случае возрастает из-за невозможности экспериментальной наземной отработки всех аспектов нелинейного взаимодействия холодной плазмы около КА с СВЧ полем. В результате появляется необходимость моделирования также космических радиофизических экспериментов. Возросшие требования к безопасности космических полетов подчеркивают значимость предполагаемых исследований.

Теория дифракции электромагнитных волн на двух телах систематически изложена Ивановым Е.А. Метод решения для двух шаров в сферических координатах применили при многочисленных расчетных исследованиях Brüning J.H. и Lo Y.T. Однако решение и расчет задач дифракции волн на сложных препятствиях, которыми можно моделировать КА, антенны с диском, неоднородную плазму, представляют существенные трудности. Аналитические исследования дифракции волн на диэлектрическом шаре с шаровым включением проводились Uzunoglu N.K. с помощью векторной теоремы сложения. Анализ особенности решения такой задачи при резком изменении диэлектрической проницаемости можно провести в плоскослоистом приближении, развитом в работах Бреховских Л.М., Каценеленбаума Б.З., которое позволяет сократить число независимых переменных задачи.

Плоскослоистое приближение актуально в связи с воздействием мощных сверхкоротких лазерных и СВЧ импульсов на мишени, из-за которых возникает облако холодной плазмы с закритической концентрацией. В этом направлении требуется развитие работ Гинзбурга B.JI. и Ландау Л.Д. Сразу отметим, что рассматриваемая задача сводится к решению уравнения Шредингера, имеющего приложения в различных областях физики.

Основная цель исследований. Работа направлена на создание машинных методов проектирования антенн КА с учетом электромагнитной совместимости; на исследования взаимодействия электромагнитных волн с холодной плазмой вблизи критической концентрации. Предполагается развитие теории дифракции волн в неоднородных, в том числе локально неоднородных, средах.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- создан метод решения и расчета задачи дифракции волн на нескольких телах вращения сложной формы размером до нескольких длин волн; решены задачи дифракции волн на двух телах типа диск с

I полусферами и неоднородный шар без центральной симметрии;

- выявлена аномалия в решении одномерного волнового уравнения; теоретически предсказана качественная зависимость решения задачи нормального падения плоской волны на холодную плоскослоистую плазму вблизи критической концентрации от малых параметров задачи;

- разработано плоскослоистое приближение при заданной точности задачи взаимодействия электромагнитных волн с холодной плазмой;

- решена задача дифракции волн на плазменном образовании произвольного размера с учетом особенности в нуле диэлектрической V проницаемости;

- разработаны математические методы моделирования антенн КА с учетом взаимодействия радиоволн с холодной плазмой;

Практическая значимость работы подтверждается тем, что разработанные методы использованы при создании антенн КА РКК

Энергия», прошедших летные испытания. Развитые методы могут быть использованы при проектировании антенных систем КА с учетом влияния локализованного вблизи КА источника холодной плазмы. Численное моделирование с использованием развитых методов позволяет значительно улучшить качество проектов при сокращении времени и стоимости разработки.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод преобразования амплитуд волн при смещении и вращении сферической системы координат. Метод позволяет решать и проводить вычисления по итерационной схеме задач дифракции волн на двух телах сложной формы характерного размера до нескольких длин волн.

2. Метод решения задачи о распространении волн в нелинейной слабо поглощающей среде в плоскослоистом приближении с заданной точностью. Метод сокращает число независимых переменных задачи. Вывод количественных критериев коротковолнового и длинноволнового приближений, критерия появления поверхностной волны.

3. Выявлена аномалия в решении одномерного волнового уравнения при резком изменении свойств среды.

4. Метод предварительного проектирования антенн космических аппаратов при наличии неоднородного плазменного образования и взаимодействия антенн между собой и корпусом космического аппарата.

Задача предварительного проектирования антенн КА состоит в определении типа и параметров антенной системы по заданной диаграмме направленности (ДН), которая, в свою очередь, определяется из программы полета КА. Предварительное проектирование предполагает не просто расчет параметров антенн, удовлетворяющих заданным требованиям. Предполагается моделирование работы радиосистемы в процессе выполнения программы полета КА с учетом электромагнитной совместимости. Работоспособность радиосистемы КА обеспечивается учетом влияния других СВЧ систем, учетом влияния радиофизической обстановки вблизи КА, особенно во время проведения радиофизических экспериментов, связанной с наличием плазменных образований. Проектирование предполагает, в том числе, анализ влияния мощного СВЧ излучения передатчика на устойчивость плазменной струи ЭР Д.

Обратная задача определения параметров антенн нами решается методом подбора - прежде всего, методом простого моделирования, использующего программные средства решения прямой задачи расчета ДН антенн (по заданным синусоидальным токам на вибраторах). Существенным является присутствие на линии радиосвязи с КА или вблизи КА плазменных областей (искусственного или естественного происхождения) с критической концентрацией, соответствующей нулю диэлектрической проницаемости в модели сплошной среды (для рабочей длины радиоволны).

При предварительном проектировании антенн КА необходимо, прежде всего, проведение качественного анализа явлений, влияющих на радиофизические характеристики антенн. Из основных явлений выделим дифракцию электромагнитных волн на антеннах, корпусе КА с его острыми выступающими частями, плазменном образовании и нелинейное взаимодействие поля передающих антенн с неоднородной холодной плазмой, например, струи ЭРД. Особое внимание надо обратить на проблему электромагнитной совместимости. Изучение перечисленных выше явлений приводит к необходимости решения задачи дифракции на двух телах. На этапе предварительного проектирования можно ограничиться простыми моделями, описываемыми полностью или частично сферическими координатами. Такие модели позволяют выявить основные закономерности и учесть особенности решения краевых задач. При этом точность расчетов не нужна выше (7-10) % по полю.

Данная монография посвящена разработке методов предварительного проектирования антенных систем КА на основе математического моделирования, предполагающего использование строгой теории дифракции на двух телах. При этом существенное внимание уделяется особенностям решения краевых задач.

Задача дифракции волн на диске со сферой является модельной задачей при расчете турникетной антенны с диском (радиуса до длины волны) около КА. На этапе предварительного проектирования антенн, когда не требуется высокая точность расчетов, рассматривается осесимметричная система двух тел. Космический аппарат довольно сложной формы, с точки зрения выявления общих закономерностей, можно аппроксимировать идеально проводящим диском, сопряженным с двумя полусферами. Наличие кромки диска важно при предварительном анализе влияния, например, солнечных батарей. Плазменное образование вблизи КА моделируется неоднородным шаром, образованным вложенными друг в друга без центральной симметрии однородными шарами. Такая модель холодной плазмы вблизи критической концентрации позволяет учесть трансформацию волн ортогональных поляризаций и нелинейные явления, из-за чего СВЧ поле передатчика может попасть в приемную антенну.

Машинные методы проектирования СВЧ систем находят все большее применение в науке и технике. Так, например, стоящие проблемы, принципы создания и перспективы применения объемных интегральных схем СВЧ и КВЧ изложены в книге [1]. Тем более это касается : космической техники, стоимость создания которой возрастает. Математическое моделирование работы радиосистем космического аппарата (КА) позволяет существенно улучшить качество проектов, осуществить системный подход к созданию космического комплекса. Важной проблемой является электромагнитная совместимость радиосистем, когда на борту КА находится источник неоднородной низкотемпературной плазмы. В работах этого направления автор имел поддержку академика РАН Б.Е. Чертока, профессоров Б.З. Каценеленбаума, Е.И. Нефедова, Ю.А. Ильина, к.т.н. H.A. Яблочкина.

В настоящее время главные усилия в теории дифракции на двух или нескольких телах (когда эффективные размеры тел и расстояния между ними порядка длины волны) направлены на развитие численных методов. Вычислительные методы в электродинамике обобщены при блестящем изложении в книге под редакцией Р. Митры [2]. Примером применения интегральных методов, частично совмещенных с аналитическими методами, являются работы E.H. Васильева [3]. Аналитические исследования решения краевых задач с острыми краями проведены В.Ф. Апельциным и А.Г. Кюркчаном [4]. Среди наиболее известных методов решения задачи рассеяния волн группой тел отметим такие, как метод специальной ортогонализации Я.Н. Фельда, метод вспомогательных токов [5], метод дискретных источников [6], метод диаграммных уравнений [7], метод В. Тверского [8]. Аналитический метод разделения переменных систематически изложен Е.А. Ивановым [9].

В предлагаемой работе применяется метод собственных функций. Этот метод в сферических координатах позволяет обобщить хорошо известные решения для одиночных препятствий на решения для нескольких тел. Кроме этого, сферические функции хорошо исследованы, что делает вычисления не слишком громоздкими. Осевая симметрия задачи за счет выделения одной азимутальной гармоники упрощает решение и его анализ. Разделение переменных в сферической системе координат с использованием векторной теоремы сложения позволяет расширить класс решаемых задач дифракции электромагнитных волн от уединенного шара до произвольной совокупности непересекающихся шаров [10 - 12]. Однако в ряде работ, основанных на использовании скалярных потенциалов Дебая и теоремы сложения, например [9, 13], принцип суперпозиций полей (представленных разложением по собственным функциям в локальных системах координат со смещенными центрами) ошибочно переносился на суперпозицию скалярных потенциалов - векторная задача заменялась скалярной. Нами в [14, 15] уточнено это решение и дан метод решения задачи дифракции на непересекающихся шарах. Получены преобразования амплитуд волн при переходе между двумя локальными сферическими системами координат, полученными смещением начала сферической системы координат. Преобразования показывают, что возбуждение одного типа волн в первой локальной сферической системе координат при переходе смещением ко второй приводит к появлению двух типов волн.

Аналитический метод решения задачи дифракции волн на двух телах дает возможность разработать наглядные модели, позволяющие изучать физику взаимодействия двух отражателей. Сначала для поля вблизи каждого тела выделены неизвестные амплитуды волн, обусловленные влиянием соседнего отражателя, а затем показана взаимосвязь полей около этих отражателей через преобразования неизвестных амплитуд волн при переходе между двумя локальными системами координат. Из граничных условий на поверхностях отражателей в локальных координатах получена неполная бесконечная система линейных алгебраических уравнений, которая дополняется преобразованиями неизвестных амплитуд волн до полной системы. Доказана разрешимость этой бесконечной системы уравнений методом усечения.

Важным свойством преобразований амплитуд волн, если известно поле вблизи одного из взаимодействующих тел (при наличии второго тела), является то, что эти преобразования допускают многократное применение (при этом амплитуды волн не изменяются). Поэтому приближенное решение задачи дифракции на двух телах может быть уточнено многократным применением преобразований амплитуд волн. В результате разработан итерационный метод расчета при введении малого параметра [16, 17], когда, например, при многократном применении преобразований амплитуд волн постепенно увеличивается размер одного из препятствий от минимального (для которого итерационный процесс сходится) до заданного. Развитый таким образом метод преобразований амплитуд волн позволяет проводить вычисления для тел сложной формы размеров до нескольких длин волн.

Из литературных источников известны многочисленные расчеты дифракции на двух шарах [11]. Известны расчеты для ансамбля шаров, произвольно расположенных в пространстве [18], причем используется итерационный метод расчета, близкий к нашему методу, но опубликованный значительно позже. При этом нам удалось использовать в расчетах тела существенно более сложной формы.

Разработанный метод преобразований амплитуд волн использован для решения и расчета задач дифракции волн на двух шарах; на неоднородном диэлектрическом шаре, образованном из вложенных друг в друга однородных шаров без центральной симметрии (шары не пересекаются). Хотя ранее были известны решения этих задач (см. библиографию), на них продемонстрирован предложенный метод решения. Кроме этого даны решения новых задач дифракции, которые значительно сложнее и представляют интерес в практике моделирования антенн. Так решена задача дифракции волн на двух телах типа идеально проводящий диск с полусферами и неоднородный шар, образованный вложенными друг в друга (при осевой симметрии задачи) однородными диэлектрическими шарами. Получено решение задачи дифракции на системе N тел. Дано решение задачи дифракции волн на неоднородном диэлектрическом теле произвольного размера, когда решение по методу геометрической оптики "сшивается" со строгим решением для неоднородного шара вблизи нуля диэлектрической проницаемости (где необходимо строгое решение) с помощью принципа Гюйгенса.

Выделена особенность решения задачи дифракции волн на неоднородном шаре, образованном из вложенных один в другой однородных шаров без центральной симметрии, в точке «почти касания» шаров, когда свойства среды резко изменяются. Проведены исследования этой особенности в плоскослоистом приближении, позволяющем улучшить сходимость решения.

Исследованы особенности решения задачи дифракции на краю диска. Выделены особенности решения при осесимметричном возбуждении диска в квазиоптической области и при скользящем падении вертикально поляризованной плоской волны на диск. При предварительном проектировании рассматривается возбуждение диска радиуса меньше половины длины электромагнитной волны, поэтому указанную особенность решения при осесимметричном возбуждении диска можно не учитывать при расчетах. Численные исследования в [11] показали, что при расчетах дифракции волн на двух шарах хорошо «работает» лучевая оптика. Поскольку расстояние между диском и сферой, по крайней мере, больше радиуса диска, то это дает нам основание рассматривать диск в модели двух тел на уровне строгости метода частичных областей (при «сшивании» полей в частичных областях по методу наименьших квадратов), что затем было подтверждено расчетами.

Показано практическое применение теории дифракции волн на нескольких телах при проектировании антенн. Создан метод предварительного проектирования антенн КА на основе решения задачи дифракции волн на двух телах сложной формы. Метод позволяет проводить вычисления при размерах тел сложной формы до нескольких длин волн. Электродинамическая модель двух тел позволяет учесть взаимное влияние антенн между собой, с корпусом КА или его выступающими частями, в присутствии плазменной струи ЭР Д. Модель позволяет исследовать явления, связанные с электромагнитной совместимостью радиосистем при наличии на борту КА источника плазмы.

Важным этапом предварительного проектирования являются исследования особенностей поля в точке «почти касания» шаров и на кромке диска, а также условий, в которых эти особенности сказываются.

Рассмотрено решение стационарной задачи взаимодействия плоской электромагнитной волны с неоднородной плазмой в плоскослоистом приближении - частного случая решения фундаментального уравнения Шредингера. Предложенный метод самосогласованных конечных разностей предполагает разбиение неоднородного слоя диэлектрика на однородные подслои переменной толщины, согласованной с изменением функции г{г) на слое. Автомодельное решение позволило сократить количество независимых параметров слоя. Разработанные количественные критерии применимости коротковолнового и длинноволнового приближений, критерий появления поверхностной волны позволяют проводить вычисления с заданной точностью.

В результате теоретически предсказана качественная зависимость решения задачи взаимодействия электромагнитной волны с холодной плазмой в плоскослоистом приближении вблизи критической концентрации от малых параметров задачи. Получено решение для плотности потока энергии, которое хорошо сходится и этим привлекательно для практики.

В окрестности нуля 8, когда неприменимо плоскослоистое приближение, можно использовать модель плазмы в виде неоднородного шара, образованного из вложенных друг в друга однородных шаров без центральной симметрии, что приводит к трансформации полей двух ортогональных поляризаций. Локальное применение плоскослоистого приближения при исследовании дифракции волн на таком образовании позволяет улучшить сходимость решения и одновременно учесть слабую нелинейность задачи.

Трансформация электромагнитных волн в плазменные волны может вызвать в струе плазменный резонанс. Исследования возникающих нестационарных колебаний позволят изучать специфические явления около КА и оценить их влияние, прежде всего, на радиосвязь, устойчивость и другие параметры струи ЭРД вблизи критической концентрации плазмы. Таким образом, появляется нелинейная, нестационарная задача возбуждения в неоднородной плазме плазменных волн. Плазменные волны, в свою очередь, могут привести опять к электромагнитным колебаниям или могут изменить форму струи, в результате оказать влияние на тягу двигателя. I

Выводы

Сложная структура рассеянного поля диском связана с особенностью решения на краю бесконечно тонкого диска. При проектировании антенн с диском в резонансной области при заданной точности расчета не хуже 7 % по полю особенность решения не сказывается.

В квазиоптической области особенность решения приводит к необходимости учета нерегулярной части тока. Влияние кромки диска в наибольшей степени сказывается при скользящем падении вертикально поляризованной плоской волны на диск - волна "не замечает" диск при 0О = 71/2. При наклонном падении плоской волны на диск приближение физической оптики применимо при гсоз60 > X /2. При заданной точности расчетов выше нескольких процентов надо уже учитывать нерегулярную часть тока.

Рассмотренная нами математическая модель может быть доработана решением в сферических координатах задачи дифракции волн на рупоре конечной толщины полураствором 0О ~ тс/2, что позволит учесть толщину диска.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложен метод преобразования амплитуд волн для аналитического решения задачи дифракции электромагнитных волн на нескольких телах вращения. Созданный математический аппарат позволяет проводить вычисления для размеров тел вплоть до нескольких длин волн.

2. Впервые выявлена особенность качественного характера решения задачи о распространении волн при резком изменении свойств плоскослоистой среды. Решена задача о распространении волн в неоднородной среде в плоскослоистом приближении с заданной точностью расчета. Предложенный метод решения позволил сократить количество независимых параметров задачи. Даны количественные критерии длинноволнового и коротковолнового приближений, критерий появления поверхностной волны. Решение задачи для плотности потока энергии позволило улучшить сходимость.

3. Выделен класс задач о распространении и дифракции волн при близком к нормальному падении плоской волны на плазмоподобную среду с резко изменяющимися свойствами при "сверхмалом" поглощении. Показана возможность нелинейных явлений, нестационарных процессов. Теоретически предсказана качественная зависимость решения задачи взаимодействия электромагнитной волны с холодной плазмой вблизи критической концентрации от малых изменений параметров задачи.

4. Разработан метод предварительного проектирования антенных систем КА различных типов с учетом электромагнитной совместимости. Модель позволяет учитывать электромагнитное взаимодействие антенн между собой, с корпусом КА и с неоднородной плазмой. Проведенные исследования использованы при построении ряда антенных систем для изделий РКК «Энергия».

В результате проведенных исследований разработан математический аппарат для описания взаимодействия (в модели сплошной среды) холодной неоднородной плазмы с электромагнитной волной. В окрестности нуля при ~ 1, когда неприменимо плоскослоистое приближение, можно использовать модель плазмы в виде неоднородного шара, образованного вложенными друг в друга однородными шарами без центральной симметрии, что приводит к трансформации полей двух ортогональных поляризаций. Локальное применение плоскослоистого приближения при резком изменении диэлектрической проницаемости позволяет улучшить сходимость решения и одновременно учесть слабую нелинейность задачи. В дальнейших исследованиях решение этой нелинейной задачи можно увязать с более точной моделью плазмы вблизи критической концентрации, которая основана на квантовых явлениях.

Вблизи критической концентрации холодной плазмы электромагнитные волны при слабой нелинейности могут обратимо переходить в плазменные волны или другие типы колебаний. В этом случае решение сильно зависит от свойств среды, поэтому можно ожидать обнаружение новых физических явлений, связанных с преобразованием разных видов энергии.

Подчеркнем, что следствием нелинейного взаимодействия СВЧ излучения с плазменной струей ЭРД может быть как сбой в радиосвязи, так и появление неустойчивости плазменной струи.

Проведенные фундаментальные исследования могут быть использованы для описания волновых явлений при резком изменении свойств плазмоподобной среды в различных областях физики.

Полученные решения можно распространить на криволинейные координаты, допускающие разделение переменных при решении уравнений Максвелла.

1. Гридин В.Н., Нефедов Е.И., Черникова Т.Ю. Электродинамика структур крайне высоких частот - М.: Наука. - 2002. - 359с.

2. Вычислительные методы в электродинамике, под ред. Р. Митра М.: Мир.- 1977.-485с.

3. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения М.: Радио и связь. -1987.-272с.

4. Апельцин В.Ф., Кюркчан А.Г. Аналитические свойства волновых полей М.: изд. МГУ. - 1990. - 207с.

5. Фельд Я.Н. Рассеяние волн на идеально проводящих и импедансных телах // РЭ. 1986. - Т.31, №7. - С.1265-1275.

6. Еремин Ю.А., Орлов Н.В. Анализ рассеяния волн на нескольких магнитодиэлектрических телах методом дискретных источников // РЭ. 1994. - Т.39, №5. - С.740-748.

7. Кюркчан А.Г. Применение метода диаграммных уравнений к решению задачи рассеяния волн группой тел // РЭ. 1996. - Т.41, №1. - С.40-45.

8. Twersky V. Multiple Scattering by Arbitrary Configuration in Three Dimesions // J. Math. Phys. 1962. - Vol.3, No.l. - P.83-91.

9. Иванов E.A. Дифракция электромагнитных волн на двух телах -Минск: Наука и техника. 1968. - 584с.

10. Tversky V. Multiple Scattering of Electromagnetic Waves by Arbitrary Configurations // J. Math. Phys. 1967. - Vol.8, No.3. - pp.589-610.

11. Bruning J.H., Lo Y.T. Multiple Scattering of EM Waves by Spheres // IEEE Trans. Antennas Propogation. 1971 - AP-19, No 5. - pp.391-401.

12. Stein S. Addition Theorems for Spherical Wave Function I I Quart. Appl. Math.-1961.-Vol.19, No. 1-pp.410.

13. Розенберг В.И. Рассеяние и ослабление электромагнитного излучения атмосферными частицами Л.: Гидрометеоиздат. - 1972. -212с.

14. Козлов И.П. Дифракция электромагнитных волн на двух сферах // Изв. вузов. Радиофизика. 1975. - Т.18, №7. - С.997-1008.

15. Козлов И.П. Дифракция электромагнитных волн на двух шарах // РЭ.- 2001. Т.46, №1. - С.51-61.

16. Kozlov I.P. Mathematic Methods of Spacecraft Antenna System Designing / Proc. 45-th Congr. Int. Astr. Federation. Jerusalem (Israel).- 1994. Paper IAF-94-U.2.469 (12p).

17. Козлов И.П. Проектирование антенных систем космических аппаратов / Сб. Проблемы распространения и дифракции электромагнитных волн М.: МФТИ. - 1995. - С.97-105.

18. Yu-lin Xu. Electromagnetic scattering by an aggregate of spheres //Applied Optics. 1995. - Vol.34, No.21 -pp.4573-4588.

19. Воскресенский Д.И., Пономарев Л.И., Родин C.B. Взаимодействие электромагнитных полей с неоднородными средами // Зарубежная радиоэлектроника. 1996. - №7. - С.6-14.

20. Кусайкин А.П., Посдинчук А.Е., Сиренко Ю.К. Двумерные обратные задачи дифракции волн на локально-неоднородных диэлектрических рассеивателях // Радиотехника. 1992. - №1-2. - С.90-94.

21. Hahner Peter, A uniqueness theorem for a transmission problem in inverse electromagnetic scattering // Inverse Probl. 1993. -9, No 6. -pp.667-678.

22. Захарьев Б.Н., Чабанов B.M. Послушная квантовая механика. Новый статус теории в подходе обратной задачи М.: Институт компьютерных исследований. - 2002. - 300с.

23. Агранович З.С., Марченко В.А. Обратная задача рассеяния -Харьков: изд. ХГУ. 1960. - 268с.

24. Козлов И.П. Метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на плазменном образовании / Сб. Распространение и дифракция электромагнитных волн М.: МФТИ. - 1993. - С. 104-113.

25. Козлов И.П. Исследование задачи отражения плоской электромагнитной волны от плоскослоистого диэлектрика // РЭ. -1997. -Т.42, №2. С. 142-146.

26. Козлов И.П. Исследования прохождения электромагнитной волной плоского слоя диэлектрика вблизи критической точки // Письма в ЖТФ. 2000. - Т.26, вып. 14. - С.28-35.

27. Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике М.: Наука.- 1988.-287с.

28. Егоров А.И. Уравнения Риккати М.: Физматлит. - 2001. - 318с.

29. Андрианов В.А., Юшкова O.B. Математическая модель для расчета коэффициента отражения от диэлектрически неоднородного полупространства // РЭ. 1994. - Т.39, №4. - С.548-552.

30. Марков Г.Т., Васильев E.H. Математические методы прикладной электродинамики М.: Сов. радио. - 1970. - 120с.

31. Гинзбург В. J1. Распространение электромагнитных волн в плазме -М.: Наука.- 1967.-683с.

32. Козлов И.П. Исследование электромагнитных полей на скачке диэлектрической проницаемости // ЖТФ. 1999. - Т.69, №8. - С.5-9.

33. Кравцов Ю.А. Комплексные лучи и комплексные каустики // Изв. вузов. Радиофизика. 1967. Т.10, №9-10. - С.1283-1304.

34. Пермяков В.А. О поведении электромагнитного поля в окрестности простого нуля диэлектрической проницаемости // Изв. вузов. Радиофизика. 1969. - №8. - С. 1264-1265.

35. Пермяков В. А. Об условиях локальной плоскослоистой аппроксимации в электродинамике неоднородных сред // РЭ. 1994. - Т.39, №3. - С.365-370.

36. Стретт Дж. В. (Лорд Рэлей) Теория звука (1, 148 б) Гостехиздат. -1955.-504с.

37. Степанов Н.С. Волны в нестационарных средах // Изв. вузов. Радиофизика. 1993. - Т.36, №7. - С.623-634.

38. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики М.: Высшая школа. - 1991. - 224с.

39. Ерофеенко В.Т., Кравченко В.Ф., Крючков А.Н. Теоремы сложения для базисных электромагнитных полей // Радиотехника. 1995. -№6. - С.49-57.

40. Ерофеенко В.Т. Теоремы сложения Минск: Наука и техника. -1989.-254с.

41. Fikioris J.G., Uzunoglu N.K. Scattering from an eccentrically stratified dielectric sphere // J. Opt. Soc.Am. Oct. 1979. - Vo.69, No 10. -pp.77-89.

42. Козлов И.Ы. Электромагнитные поля в плоскослоистых средах вблизи нуля диэлектрической проницаемости// РЭ. 2000. - Т.42, №5.-С.545-551.

43. Жекулин JI.A. Исследование распространения электромагнитнойjволны в негомогенной ионизированной среде // ЖЭТФ. 1934. -Вып. 1 (Т.4). - С.76-95.

44. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред М.: Физматгиз. - 1959. - 532с.

45. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач -М.: Наука.- 1986.-287с.

46. Фок В.А. Проблемы диффракции и распространения электромагнитных волн М.: Сов. радио. - 1970. - 520с.

47. Шестопалов В.П., Яцик В.В. Спектральная теория диэлектрического слоя и морсовские критические точки дисперсионных уравнений // Укр. физ. журн. 1997. - Т.42, №7. - С.861-869.

48. Chryssoula A. Kyriazidou, Nicolaos G. Alexopoulos. Physically Realizable Media with Permittivity less than Unity: Analysis of Surfacewaves / Proc. of the Int. Conf. On ICEAA99 // Torino (Italy) 1999. -pp.47-50.

49. Куницын B.E., Нестеров И.А., Стефанчук А.Д. Численное моделирование распространения радиоволн в слоистой плазме // РЭ. 1999. -Т.44, №12. - С.1445-1451.

50. Додин Е.И., Фиш Н. Дж. Запись, считывание и обработка оптической информации при обратном рамановском рассеянии лазерных импульсов в плазме / Тезисы докладов XXIX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС М.: изд. ФИАН. - 2002. -С.180.

51. Гильденбург В.Б. Нелинейная динамика микроволновых и оптических разрядов в условиях плазменного резонанса / Тезисы докладов XXIX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС М.: изд. ФИАН. - 2002. - С. 155.

52. Быстров A.M., Гильденбург В.Б. Автоконверсия частоты излучения в процессе оптического пробоя тонкой пленки конденсированной среды / Тезисы докладов XXIX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС М.: изд. ФИАН. - 2002. - С. 181.

53. Козлов И.П. Особенность решения задачи о распространении электромагнитной волны в холодной плазме / Тезисы докладов XXX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС М.: изд. ФИАН.-2003.-С. 190.

54. Гильденбург В.Б. Нелинейная динамика неравновесных оптических и микроволновых разрядов / Тезисы докладов XXX Звенигородскойконференции по физике плазмы и УТС М.: изд. ФИАН- 2003. -С.14.

55. Тимофеев A.B. О «выходе» электронных ленгмюровских колебаний из замагниченной плазмы //ФП. 2001. - Т.27, №11.- С. 1046-1049.

56. Кузелев В.М., Романов Р.В., Рухадзе A.A. Влияние поперечного профиля плазмы на структуру поверхностной волны плазменного волновода // ФП. 2001. - Т.27, №3. - С.260-271.

57. Введенский Н.В., Гильденбург В.Б. Генерация сильных ленгмюровских полей при оптическом пробое плотных газов // Письма в ЖЭТФ. 2001.- Т.76, Вып. 6, - С.440-454.

58. Быстров A.M., Гильденбург В.Б. Генерация плазменных колебаний в СВЧ-разряде низкого давления // ФП. 2001. - Т.27, №1, - С.71-78.

59. Кузелев М.В., Рухадзе A.A. О квантовом описании линейных кинетических свойств бесстолкновительной плазмы // УФН. 1999. - Т. 169, №6. - С.687-689.

60. Сафонов И.Б. Отражение электромагнитной волны от однородного поглощающего полупроводящего слоя с идеально проводящим экраном//РЭ.- 1993.-С.1400-1407.

61. Козлов И. П. Взаимодействие электромагнитного излучения со струей электрореактивного двигателя // Письма в ЖТФ- 2001- Т.27, Вып.24. -С.8-14.

62. Kozlov I.P. Mathematical Modelling of the Electric Propulsion Plasma Plume Interaction with Spacecraft Radiotechnical Systems / 26th Intern. El. Prop. Conf. // Kitakyushu (Japan) 1999. - 7p.(IEPC-99-229).

63. Козлов И. П. Проектирование антенн космических аппаратов // РЭ.2001. Т. 46, №8. - С.932-939.

64. Dordus I.D., Kozlov I.P. Spacecraft Antenna Systems Designing / 46-th Congr. of the Int. Astr. Fed. // Oslo. 1995. - Paper (IAF-95-u.2.329).

65. Kozlov I. P. Wave Diffraction For Two Bodies / TransBlackSea Région Symposium on Applied Electrom. // Metsovo-Epirus (Greece). 1996. -. p.137.

66. Бишаев A.M., Калашников B.K., Ким В. Численное исследование струи разреженной плазмы стационарного ускорителя с замкнутым дрейфом электронов (УЗДП) // ФП. 1992. - Т. 18, Вып.6-С. 698-707.

67. Кюркчан А.Г. К решению задачи рассеяния волн на нескольких телах // ДАН. 1996. - Т.348, №5. - С.603 - 607.

68. Кирдяшев К.П., Ефимов А.И., Лукин Д.С. Аномальное СВЧ излучение стационарного плазменного двигателя // Письма в ЖТФ.2002. -Т.28, Вып.З С.80-87.

69. Кирдяшев К.П. Высокочастотные волновые процессы в плазмо-динамических системах М.: Энергоатомиздат. - 1982. - 144с.

70. Кирдяшев К.П. СВЧ колебания как показатель предельных режимов магнитоплазмодинамического двигателя // Письма в ЖТФ. 2000. -Т.26, Вып. 14. - С.42-47.

71. Терешин О.Н. Развязка двух антенн щелевого типа при помощи ребристой структуры, расположенной в плоскости щелей // РЭ. -1960. -Т.5. -№ 12.-С. 1944-1950.

72. Кюркчан А.Г. Связь между антеннами в присутствии ребристых структур // РЭ. 1977. - Т.22, №7. - С. 1362-1373.

73. Кюркчан А.Г., Свистунов Г.А. Развязка антенн с помощью подстилающих поверностей // Сб. «Антенны». 1982. - Вып.ЗО, С.114.

74. Кюркчан А.Г., Зимнов М.Х. Связь между антеннами на цилиндре в присутствии ребристых структур // РЭ. 1985. - Т.ЗО, №12 -С. 2308.

75. Бененсон JI.C., Кюркчан А.Г., Суков А.И. Развязка антенн при помощи периодических структур // РЭ. 1992 - Т.37, №1. -С.77-89.

76. Бененсон JI.C., Кюркчан А.Г. Метод развязки антенн при помощи периодических структур // Радиотехника. (Электром. волны). 1995. -№12. - С.62.

77. Кюркчан А.Г., Бененсон JI.C. Методы развязки при помощи периодических структур (гл. 8) / В кн.: Справочник по антенной технике. Т.1 М.: изд. ИПРЖР «Радиотехника». - 1997. - 248с.

78. Кюркчан А.Г. Возбуждение нитью тока периодической ребристой структуры, обладающей свойствами искусственной жесткой поверхности // РЭ. 1999. - Т.44, №7. - С.787-793.

79. Kildal P.-S. Artifically soft and hard surfaces in electromagnetics // IEEE Trans. 1990. - V.AP-38, No 10, p.1537.

80. Кюркчан А.Г., Соловейчик A.JI. Рассеяние волн периодической решеткой, находящейся вблизи плоской границы раздела двух сред // РЭ. 2000. Т.45, № 4. - С.389-396.

81. Вайнштейн JI. А. Электромагнитные волны M.: Радио и связь. -1957.-440с.

82. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп -М.: Наука.- 1965.-588с.

83. Козлов И. П., Яблочкин Н. А. Дифракция электромагнитных волн на диске с полусферами (Рукоп.) / Деп. в ВНТИЦЕНТР №72060771, 1973.

84. Бреховских А. М. Волны в слоистых средах М.: Наука. - 1973. -478с.

85. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т.1. М.: Мир. - 1984. -350с.

86. Агранович В.М., Миллс Д.Л. Поверхностные поляритоны М.: Наука.- 1985.-525с.

87. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн -М.: Энергия.- 1983.-295с.

88. Каценеленбаум Б. 3. Высокочастотная электродинамика М.: Наука. -1966.-240с.

89. Денисов Н. Г. Об одной особенности поля электромагнитной волны, распространяющейся в неоднородной плазме // ЖЭТФ. 1956. -Вып. 4 (10). - С.609-619.

90. Гордиенко В. М., Савельев А. Б. Фемтосекундная плазма в плотных наноструктурированных мишенях: новые подходы и перспективы // УФН. 1999. - Т.169, №1. - С.53-59.

91. Бабин А. А., Киселев A.M. и др. Экспериментальные исследования воздействия субтераваттного фемтосекундного лазерного излучения на прозрачные диэлектрики при аксиконовой фокусировке // УФН. -1999.-Т.169, №1.-С.80-84.

92. Каценеленбаум Б. 3. Проблемы аппроксимируемости электромагнитного поля М.: Наука. - 1996. - 176с.

93. Кузелев М.В., Рухадзе A.A. Микроволновый и оптический пробой газов в сверхмощных импульсных полях // ФП. 2001. - Т.27, №2. -С.170-175.

94. Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов Ижевск: ИКИ. -2002. - 96с.

95. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи М.: Мир. - 1987.-480с.

96. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Л. Солитоны и нелинейные волновые уравнения М.: Мир. - 1988. - 698с.

97. Белинский В.А., Захаров В.Е. Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных решений // ЖЭТФ. 1978. - Т.75, вып.6. - С. 1953-1971.

98. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерная явтомодуляция волн в нелинейных средах// ЖЭТФ. 1971. - Т.74, Вып.6. - С. 118-134.

99. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувиля М.: Наука. -1984.-240с.

100. Левитан Б.М. Введение в спектральную теорию М.: Наука. - 1970. -671с.

101. Шадан К., Сабатье П. Обратная задача в квантовой теории рассеяния -М.: Мир. 1980.

102. Захарьев Б.Н., Чабанов В.М. Послушная квантовая механика. Новый статус теории в подходе обратной задачи М.: Наука. - 1980.

103. Михнев В.А. Реконструктивная микроволновая структуроскопия многослойных диэлектрических сред Мн.: Светоч. - 2002. -167с.

104. Конев В.А., Михнев В.А. О контроле трещин в диэлектрических слоях методом поверхностных волн // Весщ АН БССР, сер. ф1з.-техн. навук-1984, №2.-С.106-110.

105. Andrejewski W. Die Bengung electromagnetischer Wellen an der leitenden Kreisscheibe und an der kreisförmigen Öffnung im leitenden ebenen Schirm // Zs. angew. Phus. 1953. - No. 5. - p. 178.

106. Leitner A., Spence R.D. Effect of a circular ground plane on antenna radiation//Jour. Appl. Phys.-1950.-Vol. 21, No. 10-p.1001-1006.

107. Tang C.L. On the radiation pattern of a base driven antenna over a circular conducting screen // Jour. Soc. Industr. and Appl. Math-1962-Vol.10, No. 4-p.695-708; 1963.- Vol.11, No. 4.- p.l 113.

108. Белкина М.Г. / Сб. Дифракция электромагнитных волн на некоторых телах вращения М.: Сов. Радио. - 1957. - 176с.

109. Пименов Ю.В., Брауде Л.Г. Излучение элементарного щелевого вибратора, расположенного в центре идеально проводящего диска / Сб. «Антенны» М. - 1969. - Вып.6.

110. R.De Vore, D.B.Hodge and R.G. Konuonmjian. Backscattering Cross Sections of Circular Disk for Arbiitrary Incidence // Jour, of Phus. 1971.- Vol.42,No. 8.-pp. 1194- 1206c.

111. Кочержевский Г.Н. Излучение щели, прорезанной в идеально проводящем круглом диске // Радиотехника. 1955 - Т. 10, №4-С.48-55.

112. Уфимцев П. Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции- М.: Сов. Радио. 1962. - 243с.

113. Апельцин В.Ф., Кюркчан А.Г. Гипотеза Релея и аналитические * свойства волновых полей // РЭ. 1985. - ТХХХ, Вып.2.1. С. 193-210.

114. Денисенко Н.И., Пименов Ю.В. О проникновении электромагнитного поля через круглое и кольцевое отверстия // Радиотехника. 1983. - №5. - С.69-71.

115. Козлов И.П. Дифракция электромагнитных волн на симметрично расположенных идеально проводящих диске и сфере // Вестник МГУЛ Лесной вестник. - 2004. - №1. - С. 116-121.

116. Козлов И.П. Особенность решения задачи дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонком идеально проводящем диске // Лесной вестник. 2004. - №1. - С. 108-116.

117. Козлов И.П. Исследование электромагнитных полей в плоскослоистой среде вблизи нуля диэлектрической проницаемости // РЭ. 1999. - Т.44, №12. - С.1470-1471.

118. Козлов И.П. Падение электромагнитной волны на плоскослоистый диэлектрик // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1996 - Т.4,4. С.56-62.

119. Козлов И.П. Исследование электромагнитных полей в плоскослоистой среде вблизи нуля диэлектрической проницаемости // РЭ. 1999. - Т.44, №12. - С.1470-1471.

120. Козлов И.П. Прохождение радиоволн через плазменное образование произвольного размера / Труды XYIII Всероссийской конференции по распространению радиоволн // С.-П., 1996. - С.78.

121. Козлов И.П. Исследования полей вблизи каустики/ Труды 6-ой международной Крымской конференции СВЧ-техники и телеком, технол. // Севастополь (Украина). 1996. - С.67-72.

122. Козлов И. П. Антенная решетка на полусфере с диском / LI Научная сессия, посвященная Дню радио (тезисы докладов 4.1) //М., РНТО-1996.- С.51-52.

123. Козлов И.П. Исследование распространения волн в плоском слое диэлектрика / LII Научная сессия, посвященная Дню радио (тезисы докладов 4.1)//Москва, РНТО.- 1997.- С.185-186.

124. Козлов И.П. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на плоскослоистый диэлектрик // Вестник МАИ 1997 - Т.4, №2. -С.37-41.

125. Kozlov I. P. Mathematical Modeling of Small Satellites Antennas / Small Satellite Conference // Korolev, Mose. reg. 1998.

126. Козлов И.П. Дифракция электромагнитных волн на двух телах и проектирование антенн космического аппарата/ Труды XI Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн // М.: Изд. МГУ. 1998. - С.121- 122.

127. Козлов И.П. Электромагнитные поля вблизи каустики // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1996. - Т.4, №4. -С.63-69.

128. Козлов И. П. Анализ основного решения задачи о распространении электромагнитной волны в плоском слое диэлектрика/ IV Научная сессия, посвященная Дню радио (тезисы докладов) // М., РНТО, -1999. С.170-172.

129. Козлов И. П. Плоские электромагнитные волны в плоскослоистой среде.// Вестник МАИ. 1999. - Т.6, №1. - С.54-60.

130. Козлов И. П. Математическое моделирование взаимодействия * электромагнитного излучения со струей электрореактивногодвигателя космического аппарата // РЭ. 2001. - Т.46, N3. - С.290-295.

131. Kozlov I. P. Electromagnetic Properties of Natural Media Near Critical Point / Proc. of the Intern. Conf. Mathematical and Physical Methods in Ecology and Environmental Monitoring // Moscow, okt. 23-25. 2001. C.145-149.

132. Козлов И.П. Взаимодействие электромагнитного излучения с плазменной струей электрореактивного двигателя космического аппарата / Труды LVI научной сессии, посвященной Дню радио. Том 2 // Москва, 2001. - изд. предпр. ред. ж. "Радиотехника". -С.295-297.

133. Козлов И.П. Неустойчивость лазерного луча в неоднородной плазме около критической концентрации // Прикладная физика. 2002. -С.121-129.

134. Козлов И.П. Решение некорректной задачи о распространении плоской электромагнитной волны в плоскослоистом диэлектрике без поглощения вблизи нуля диэлектрической проницаемости // Лесной вестник. 2002. -№1. - С. 121-125.

135. Козлов И. П. Критическая точка в нуле диэлектрическойпроницаемости плоско и сферически-слоистого диэлектрика при моделировании плазменной струи электрореактивного двигателя // Лесной вестник. 2002. - №1. - С. 125-129.

136. Козлов И. П. Неустойчивость лазерного луча в неоднородной плазме около критической концентрации // Тезисы докладов XXVIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, 2001г., г. Звенигород, М. обл., М: изд.:ФИАН, Т27.

137. Козлов И. П. Взаимодействие СВЧ излучения с плазменной струей электрореактивного двигателя космического аппарата / Тезисы докладов IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2002) // С.-П. 2002. -С.137-138.

138. Козлов И. П. Структурная неустойчивость решения волнового уравнения при резком изменении свойств среды / Тезисы докладов IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2002) // С.-П. 2002. - С.134-135.

139. Козлов И.П. Новый метод дистанционного зондирования / Труды симпозиума "Аэрокосмические методы и геоинформационные технологии в лесоведении и лесном хозяйстве"// М., Центр поfc проблемам экологии и продуктивности лесов АН РФ. 2002. 1. С.152-153.

140. Козлов И. П. Дифракция электромагнитных волн на двух шарах в ^ приложении к проектированию антенн космических аппаратов //

141. Письма в ЖТФ. 2003. - Т.29, Вып.7. - С. 18-26.

142. Козлов И. П. Взаимодействие электромагнитного излучения с плазменной струей электрореактивного двигателя космическогоаппарата I ! Математическое моделирование. 2003. - T. 15, №7. -С.81-85.

143. Kozlov I. P. Solution Peculiarity for the Problem of Plane Electromagnetic Wave Propagation in Cold Plasma // 30-th EPS C. on Contr. Fus. and Plasma Physics // St.-Pitsb. 2003. - Paper P-2.39.

144. Козлов И. П., Нечинская Л.И. Метод дистанционного зондирования/ Тезисы докладов 2-й Международной научной конференции «Мониторинг состояний лесных и урбоэкосистем» // М.: изд. МГУл. 2002. - С.99.

145. Козлов И. П. Нелинейное взаимодействие электромагнитной волны с холодной плазмой / Тезисы докладов XXXI Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, г. Звенигород (Моск. обл.) // Москва.-2004.-С. 143.

146. Дордус, И.Д., Козлов И.П., Кюркчан А.Г. Взаимодействие электромагнитного излучения с холодной плазменной струей электрореактивного двигателя космического аппарата // Лесной вестник.-2004.-№!.-С. 121-128.

147. Козлов И.П. Проектирование антенн космических аппаратов электрореактивным двигателем. Монография. М.: МГУЛ. - 2004. 209с.