Коротковолновая нелучевая асимптотика в задачах дифракции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

íf

Президиум ВАК России

решение отп/0 " ^^ г.,

жрисудил ученую с^пезь ДОЮ 'OPA ^ ¿/Рал. ____

sí/Начальннк управления ВАК России

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 517.9

ФИЛИППОВ Вячеслав Борисович

КОРОТКОВОЛНОВАЯ НЕЛУЧЕВАЯ АСИМПТОТИКА В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ. ПОЛУЧЕНИЕ И ОБОСНОВАНИЕ

01.01.02. Дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 5

ГЛАВА 1. О СТРОГОМ ОПРАВДАНИИ КОРОТКОВОЛНОВОЙ АСИМПТОТИКИ ДЛЯ ЗАДАЧИ

ДИФРАКЦИИ В ЗОНЕ ТЕНИ 13

§ 1. Основные результаты 16

1. Интегральное уравнение для функции Грина на границе 16

2. Обоснование коротковолновой асимптотики 23

§ 2. Доказательство лемм 2 и 3 28

3. Предварительные замечания 28

4. Оценка быстро меняющихся множителей и определение существенной области интегрирования 47

4.1. Оценка функции 48

л

4.2. Оценка функции 55

4.3. Оценка функций 59

5. Завершение доказательства лемм 2 и 3 68

5.1. Оценка интеграла /ю 69

5.2. Доказательство леммы 3 77

Приложение 1. Некоторые геометрические оценки 79 Приложение 2. Некоторые оценки для точного решения на

круге 84

ГЛАВА 2. О СТРОГОМ ОПРАВДАНИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ТИПА "ВОЛН СОСКАЛЬЗЫВАНИЯ" 96

§ 1. Основная теорема 96

1. Основной результат. Интегральные уравнения 96

2. Доказательство теоремы 101

§ 2. Доказательство леммы 102

3. Доказательство леммы для аналитического контура. Оценка интеграла Ki(M,£) 102

4. Завершение доказательства леммы для аналитического контура. Оценка интеграла 108

5. Доказательство леммы для конечногладкого контура 112

ГЛАВА 3. ДИФРАКЦИЯ НА НЕПЛОСКИХ ЭКРАНАХ 117

§ 1. Дифракция на искривленной полуплоскости 117

1. Постановка задачи. Основные результаты 117

2. Асимптотика решения задачи дифракции на искривленной полуплоскости в окрестности ее ребра 118

§ 2. Коротковолновая асимптотика тока в задаче дифракции на неплоских экранах 126

1. Асимптотика первичного поля и тока в области вне окрестности края 128

2. Вторичные поле и ток 136

3. Окончательные формулы 138

§ 3. Ток, возбужденный на неплоских экранах 141

1. Вычисление тока, возбужденного на неплоском экране 141

2. Результаты численных расчетов. Основные выводы 144

ГЛАВА 4. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА КОРОТКОВОЛНОВОЙ АСИМПТОТИКИ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ 146

§ 1. Метод расчета поля точечного источника в волноводе 146

1. Преобразование решения двумерной задачи распространения волн, возбуждаемых точечным источником 147

2. Комбинированное представление для вычисления звукового поля 150

3. Вычисление интегралов I^ß, I$aß ^^

4. Формулировка основных результатов 159

ГЛАВА 5. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН СОСКАЛЬЗЫВАНИЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ С ЛИНИЯМИ РАЗРЫВОВ КРИВИЗНЫ 160

§ 1. Дифракция на линии соединения выпуклой поверхности с плоскостью 160

1. Дифракция волны соскальзывания на границе сопряжения с плоскостью 160

2. Нахождение функции Грина 164

3. Дифракционное поле в области вне границы справа

от точки разрыва кривизны 167

§ 2. Вычисление поля и тока на плоской границе 172

1. Вычисление функции Эйри wi(t) от комплексного аргумента 173

2. Вычисление цилиндрических функций от комплексного аргумента и комплексного значка 174

§ 3. Дифракция волны соскальзывания на границе сопряжения двух выпуклых поверхностей 177

1. Постановка задачи. Основные соотношения 177

2. Нахождение функции Грина 181

ГЛАВА 6. ДИФРАКЦИЯ НА НЕГЛАДКИХ ОБЪЕКТАХ 186

§ 1. Дифракция на клиновидной области с искривленными

гранями 186

1. Решение в окрестности ребра 186

2. Дифракционное поле вне окрестности ребра 190

ЛИТЕРАТУРА 200

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертация посвящена исследованиям в области получения и обоснования коротковолновой асимптотики для задач дифракции в особых случаях, там где обычный лучевой метод неприменим. Это либо задачи рассеяния на всевозможных негладких телах, таких как неплоские экраны, тела с ребрами и линиями разрыва кривизн, а также рассмотрение областей, куда не попадает падающее и отраженное поле, например, зона тени.

Одной из наиболее разработанных областей теории дифракции является задача дифракции на выпуклом теле. Область вне тела по характеру рассеянного поля может быть разбита на три области: освещенную область, полутень и зона тени.

В освещенной области поле определяется прямыми и отраженными лучами. Лучевой метод, восходящий к работам Ж.С.Адамара, позволяет находить отраженное поле с произвольной точностью для произвольного тела, как для скалярных (акустических), так и для векторных (электромагнитных, упругих и т.д.) задач, (см., например, [1, 3, 4, 6, 8, 31, 33,]).

Поле в полутени, угаданное еще О.Френелем, корректно получено в работах [31, 35, 48, 62, 87, 89].

Анализ точных решений, например, задачи дифракции на круговом идеально отражающем цилиндре, показал, что поле в зоне тени хотя и не равно нулю, но ничтожно мало (экспоненциально мало по k, где к—волновое число). Опираясь на эти точные решения, J.B.Keller (см.[113]) предложил эвристический метод для нахождения поля в тени для произвольной выпуклой области.

Выли предложены методы для построения равномерных асимптотических формул, справедливых во всей внешности тела (см. [12, 31, 117, 119]).

Таким образом, к середине 50-ых годов существовали методы для получения формальной асимптотики для всех трех областей. Эти решения приближенно удовлетворяли уравнению и граничному условию, т.е. делали невязку в уравнении и граничном условии сколь угодно малыми по к (к—волновое число).

Вскоре, в начале 60-х годов, в первую очередь, благодаря работам Е.игэеП'а, В.М.Бабича и В.С.Буслаева (см. [5, 6, 35, 123]) было получено строгое обоснование коротковолновых асимптотических формул в освещенной области и полутени. Для решения в зоне тени из них следовала лишь сверхстепенная малость. Позднее были получены и экспоненциальные оценки для решения в зоне тени (см., например, [18, 42, 110]), но эти оценки не давали обоснование асимптотики.

Автором было получено обоснование коротковолновой асимптотики в зоне тени для двумерного случая. Изложению этих результатов посвящены главы 1 и 2. В главе 1 обоснование получено для главного члена асимптотики в случае, когда точки источника и наблюдателя лежат на границе, которая предполагается аналитической выпуклой кривой. В главе 2 этот результат переносится на случай произвольного конечно-гладкого контура с точкой наблюдения, находящейся вне границы и для произвольного приближения. Материал этих глав опубликован в работах автора [45, 46, 80, 81].

Для многомерного случая в настоящее время получены лишь оценки вне поля в зоне тени. Наиболее точные оценки для трехмерного случая найдены в работах В.М.Бабича и Н.С.Григорьевой (см. [42 ]) и для многомерного случая в работах Н.ЬеЬеаи (см. [110]).

Обоснование асимптотики получено на следующем пути. Найдено новое интегральное уравнение для решения задачи на границе. Ядро этого интегрального уравнения представляет собой двойной интеграл по внешности области от произведения фундаментального решения и невязки. Для получения экспоненциально-точной оценки интеграла используется метод деформации области интегрирования в С2 комплексную окрестность с оценкой в ней подынтегрального выражения. Переход в комплексную область позволяет превратить осцилляции в убывание. В некотором смысле эта идея созвучна идее многомерного метода перевала. Здесь вопрос усложняется кусочной аналитичностью подынтегрального выражения.

На таком пути удается получить экспоненциально точную оценку для ядра интегрального уравнения и тем самым доказать малость интегрального оператора в некотором функциональном пространстве для случая, когда граница является аналитической кривой.

Результат для конечно-гладкого контура получается с помощью аппроксимации его аналитическим контуром и использования оценок, полученных ранее для него.

Глава 3 диссертации посвящается изучению задачи дифракции на неплоском экране, результаты опубликованы в работах [82-84] автора.

После того, как Зоммерфельдом было получено решение для задачи плоской волны на полуплоскости, возникло естественное желание получить нечто подобное и для задачи дифракции на отрезке. Но вскоре стало ясно, что нахождение подобного решения для отрезка маловероятно. Возникли два асимптотических случая: случай малого отрезка и случай большого отрезка. Были предложены два метода: метод Рэлея и метод Шварцшильда для получения разложения в этих случаях.

Метод Шварцшильда состоит в нахождении асимптотического разложения по обратным степеням ка (к— волновое число, а—- длина отрезка), каждый член ряда отвечает некоторому кратному дифракционному полю, первичному, вторичному и т.д. и соответствует дифракционному полю последовательно дифрагирующего на концах отрезка. Для нахождения каждого слагаемого получается система парных интегральных уравнений, аналогичная той, которая возникает в задаче дифракции на полуплоскости. Решение каждой системы находится явно в виде интегралов Зоммерфельда.

Метод, разработанный автором для решения задачи дифракции на неплоском экране (или искривленном отрезке), в некотором роде является обобщением метода Шварцшильда. В этом случае задача усложняется более сложной картиной лучей: кроме отраженной и краевой волны будут еще краевые волны, переотраженные от границы, волны шепчущей галереи с вогнутой и волны соскальзывания с выпуклой стороны экрана. Решение строится последовательно, сначала асимптотика находится в области ребра экрана и затем она продолжается вне окрестности ребра вблизи экрана. Это позволяет найти асимптотику тока, которая будучи подставлена в формулу Грина дает асимптотику всюду в области вне экрана. Производя асимптотическое разложение этого интеграла, можно получить, в частности, асимптотику диаграммы направленности экрана в любом направлении и в любом приближении. До этого метод Кирхгофа и метод геометрической теории дифракции (см., например, [26, 114]) позволяли получать ее только в первом приближении.

Для представления поля вблизи вогнутой поверхности экрана автором был разработан "комбинированный метод", согласно которому поле представляется в виде конечной суммы геометрооптических волн, конечной суммы нормальных волн и остатка. Для остатка по-

лучена простая формула.

Количество отщепленных геометрооптических волн (М) и нормальных волн (Л^) определяются точными оценками, показывающими, что для реальных задач эти величины невелики и исчисляются единицами. Результаты численного счета, приведенные в §3 подтверждают это. Остаток имеет порядок последней отщепленной нормальной волны.

"Комбинированный метод", разработанный автором для решения задачи дифракции на неплоском экране, позволяет получать эффективное представление для поля и в других волноводных задачах. В §4 показывается возможность его использования для задачи распространения волн во внутреннем волноводе. Ранее использовалось представление поля в виде суперпозиции лучевого поля и интерференционной волны (см. [31, 32]), которое в некоторых случаях оказывается неудобным.

Применение "комбинированного метода" автором иллюстрируется на примере эталонной задачи, допускающей разделения переменных. Представление поля в виде комбинации геометрооптических и нормальных волн получено путем преобразования контурного интеграла, представляющего точное решение.

Для эталонной задачи представление "комбинированного метода" получается строго, но каждое из слагаемых в этом представлении допускает обобщение на случай произвольной зависимости скорости от глубины и на случай продольно неоднородного волновода. Идеология, близкая к рассматриваемой, предлагалась ранее в (см. [52]), но в отличие от рассмотрений главы 4, там результат получался на физическом уровне строгости. После опубликования работы автора (см. [85]), в которой приводились результаты, помещенные в главе 4, появилась серия работ РеЬзоп'а (см. [104, 105,

116]) с изложением близких результатов, но следует отметить, что они отличаются неточными, а иногда и ошибочными, формулировками и отсутствием строгих доказательств.

Главы 5 и 6 диссертации посвящены рассмотрению задачи дифракции на телах с кусочно-гладкой границей. В главе 5 рассма-

и л и

тривается случаи границы с разрывом кривизны и в главе 6 случаи границы с ребром. Реезультаты опубликованы в работах [49, 50].

Рассмотрению задачи дифракции на области с разрывом кривизны посвящен работы ряд работ (см., например, [112]), но в них исследуется случай, когда линия разрыва находится в освещенной области. В работе автора анализируется случай, когда линия сопряжения находится в зоне тени и на нее набегает волна соскальзывания.

Метод, используемый автором для получения решения, является в некотором роде обобщением метода параболического уравнения Леонтовича-Фока. Используется свойство мультипликативности этих уравнений. Рассматривается два случая: сопряжение выпуклой поверхности и плоской и двух выпуклых поверхностей. Рассмотрение ведется для двумерной задачи Дирихле, хотя результаты с легкостью переносятся на случай других граничных условий и большего количества измерений.

В §1,2 главы 5 рассматривается случай сопряжения выпуклой поверхности с плоской. Внешность границы разбивается на две подобласти: внешность выпуклой кривой и внешность плоской. Набегающая волна соскальзывания является решением задачи в выпуклой части. Для нахождения решения над плоской частью границы ставится начально-краевая задача для уравнения Шредингера без потенциала. Решение ее записывается в явном виде. Показывается, что полученное решение является непрерывным продолжением

- и -

решения слева от линии разрыва и имеет все априорно ожидаемые физические и геометрические свойства.

В §3 рассматривается аналогичным образом случай сопряжения двух выпуклых поверхностей. Показывается, что при удалении от точки сопряжения решение превращается в волну соскальзывания. В явном виде находится коэффициент дифракции.

В главе 6 рассматривается задача дифракции лучевого поля на теле с ребром. Изложение ведется для двумерного случая, т.е. предполагается, что граница области является углом с искривленными гранями. По методике изложение главы 6 примыкает к методам, использованным в главе 3. Как и в главе 3, решение сначала строится в окрестности ребра и затем продолжается вдоль границы. В главном приближении решение в окрестности ребра совпадает с решением для касательного клина, которое дается интегралом Зоммерфельда- Малюженца. Поправка к решению, обусловленная кривизной, была получена в [24]. Затем в зависимости от того, является ли поверхность выпуклой или вогнутой, решение, справедливое в окрестности ребра, сшивается в случае выпуклой кривой с суперпозицией волн соскальзывания и в случае вогнутой — с суперпозицией волн шепчущей галереи. Коэффициент дифракции находится в явном виде.

Для представления поля в окрестности вогнутой поверхности, как и в случае дифракции на неплоском экране, может быть использовано представление поля, полученное с помощью "комбинированного метода". Аналогичным образом может быть рассмотрена вторичная, третичная дифракции, т.е. дифракция поля рассеянного одним ребром на другом ребре и т.д. При увеличении кратности дифракции решение уменьшается более чем в \fkci (где к — волновое число, с1 — расстояние между ребрами). С точки зрения методики

получение многократно дифракционного поля ничем не отличается от получения первичного дифракционного поля. Поэтому это рассмотрение в диссертации не рассматривается. В работе рассматривается случай задачи Дирихле, хотя рассмотрение других граничных условий может быть проведено аналогичным образом.

Кроме теоретических рассмотрений в диссертации приводятся результаты численного счета, выявляющие качественные характеристики решений и показывающие эффективность используемого метода. Так, в §3 главы 3 численный счет подтверждает эффективность применения "комбинированного метода" в задаче дифракции на неплоском экране. Устанавливается, что в реальных задачах число отщепленных геометрооптических и нормальных волн исчисляется единицами.

Глава 1. О СТРОГОМ ОПРАВДАНИИ КОРОТКОВОЛНОВОЙ АСИМПТОТИКИ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ В ЗОНЕ ТЕНИ

Глава 1 посвящена получению строгого обоснования коротковолновой асимптотики в зоне тени в случае, когда точки источника и наблюдения принадлежат границе области, которая предполагается аналитической кривой,

Описание процесса дифракции коротких волн на препятствиях в однородной среде приводит к проблеме нахождения коротковолновой асимптотики решения внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца, которая, в свою очередь, распадается на две различные проблемы. Первая — построение асимптотического ряда по обратным степен�