Возбуждение поверхностных волн вблизи криволинейных границ упругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

1. Актуальность теш исследования.

2. Структура диссертации

3. Краткий обзор литературы

Глава I. Общие вопросы постановки задач и методы вычисления полей дифрагированных волн

1.1. Уравнения теории упругости.

1.2. Выражения для компонентов тензора напряжений

1.3. Комбинированный метод вычисления контурных • интегралов специального вида.

Глава 2. Высокочастотный источник на криволинейной границе упругого тела

2.1. Постановка задачи

2.2. Волновое поле вблизи источника

2.3. Разложение во френелевой зоне.

2.4. Зона Фока

2.5. Волны соскальзывания.

2.6. Волны Рэлея.

2.7. Размерности и физический смысл величин

Глава 3. Дифракция на криволинейной трещине

3.1. Постановка задачи.

3.2. Волновое поле в окрестности края, трещины.

3.3. Нахождение нулевого приближения.

3.4. Построение высших приближений

3.5. Исследование нулевого приближения. Продолжение решения

3.6. Смешанные поверхностные волны

Основой асимптотического расчета полей коротких волн являются лучевые представления. В тех случаях, когда поле лучей регулярно, интенсивность волновых полей может быть вычислена при помощи лучевых рядов, главные члены которых имеют простой и наглядный вид. В тех случаях, когда регулярность нарушается, необходимо использовать локальные разложения, вид которых определяется из тщательного анализа поля лучей, В результате такого анализа выделяются зоны, где должны быть справедливы оба разложения - и лучевое и локальное. При построении асимптотических выражений необходимо добиваться согласованности разложений в этих зонах. При этом, как правило, приходится сталкиваться с немалыми трудностями, так как локальные разложения, в отличие от лучевых, строятся обычно по дробным степеням малого параметра - длины волны.

Применение равномерных формул, казалось бы, позволяет избежать этих трудностей, однако эти формулы весьма громоздки и сложны, ято является серьезным препятствием к их эффективному практическому применению даже в акустичнских задачах, не говоря уже о векторных задачах в теории упругости.

Исходя из этих соображений, для описания полей коротких поверхностных волн в диссертации использовались локальные разложе-.ния типа пограничного слоя. При построении каждого локального разложения явно найдены первые два приближения и показана принципиальная разрешимость задач для последующих приближений. Целью работы было получение максимально удобных вычислительных формул. Поэтому окончательные результаты записаны либо в виде явных формул, либо через специальные типы контурных интегралов, методы вычисления которых разработаны сравнительно недавно в работах

В.М.Бабича, В.С.Булдырева, И.А.Молоткова, В.Б.Филиппова и др.

I1-15]

Необходимо особо остановиться на термине "короткие волны", Под этим понимается малость длины волны. Но раз малость, то значит по сравнению с чем-то. Следовательно, подразумевается наличие в задаче еще какого-то размерного параметра или параметров. Поскольку рассматривается распространение поверхностных волн вдоль криволинейных границ, то основным таким параметром является эффективный радиус кривизны поверхности. Для того, чтобы представить себе реальное значение параметров, обратимся, например, к сейсмическим волнам.

Источник сейсмических волн может быть охарактеризован спектром излучаемых частот. Короткие волны, имеющие более высокие частоты, при распространении быстро гасятся на неоднородностях среды. Здесь термин "короткие волны" означает малость по сравнению с этими неоднородностями и длинами остальных излучаемых волн. Таким образом, датчики сейсмических станций зарегистрируют "длинные волны", так как у них значительно выше проникающая способность. Такие волны имеют частоты порядка 0.05 - 2 Гц, а скорости распространения: продольные - 5-9 км/с, поперечные - 2.5-4.5км/с. То есть длины волн имеют значения 15-110 км для продольных и 8-40 км для поперечных волн. Однако встречающиеся в сейсмологии радиусы кривизны поверхностей составляют сотни и даже тысячи километров. По сравнению с ними эти волны уже оказываются короткими и для расчета полей таких волн применимы полученные в диссертации результаты. Подобный подход возможен и в задачах распространения волн во льдах Антарктиды и ледниках, а также в задачах дефектоскопии.

Метод нахождения волновых полей основан на построении методом склейки разложений асимптотических выражений для поверхностных волн. В работе этот метод применяется к двум задачам - о действии сосредоточенной силы на криволинейную поверхность упругого тела и о дифракции на криволинейной трещине. Найдены коэффициенты возбуждения поверхностных волн и получены удобные формулы для вычисления полей этих волн. В результате исследования удалось сделать некоторые обобщения. Разработанная методика склейки разложений во френелевой зоне с зоной Фока, а фоковских разложений с разложениями типа пограничного слоя является универсальной и применима ко всем задачам распространения упругих поверхностных волн вблизи криволинейных границ, в которых решение в окрестности особой точки может быть найдено в виде контурных интегралов с характерным набором особенностей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ниже будут приведены полученные в диссертации формулы для вычисления полей поверхностных волн и сделаны некоторые обобщения.

I. Поле, создаваемое волной Рэлея, может быть вычислено по формулам: и. ш с п. о&)

JCT-I" со где а X о fCS) О

0 равно:

I) Б случае поверхностного источника

2) При дифракции на трещине

1С LC Р^Сс"1)

MtP)

М, Сае)

2. Если смешанная поверхностная волна распространяется вдоль вогнутой границы, то выражения для поля представляют собой сумму к нормальных мод, каждая из которых может быть вышеле-на по .«следующим формулам:

Wj'ft*) V р)

Чм Jfk i rV.ir

V> е

-1' -ОЛ

Т 1 т ру~) vi +

3.56) e + где Vk k~~ CL

СС/Ъ ^ ds

C4-M0 о

А. t/ О j><s) с

CI u> Dj

I \ j

3.57)

Ь^ - нули функции Эйри Щ , таблицу их значений можно найти, например в приложении к ["з] . Поскольку ^ эти волны быстро затухают с ростом S

3. Если волна распространяется вдоль выпуклой границы, ее вычисление сложнее и может быть выполнено по формулам: г t<-wfk *

LOOS,

S) i л. d s и О fCs)

OJ -I

-ь x—i Л , nfcJ4i) 1 т (/ v U-WftfelS. 1 V

HL a о

JCsjJ

3.58) С iMr^lWt 4

S> oJ

Vi

-Л У X

W/fff'tUL

Рис. 3.8

- ±2Y у У

Здесь С задается формулой (3*57), интегралы по "рогатому" контуру могут быть вычислены комбинированным методом.

В коэффициент возбуждения С входит рi - интенсивность источника, при этом 6-1 соответствует задаче о действии сосредоточенной силы на поверхность упругого тела, L—Л - задаче о дифракции на криволинейной трещине. Их значения следующие: рЦЧ\оСсЛа') I^zlcl' M^(CL') (3.59)

Таким образом, для построения полей поверхностных волн в целом ряде задач достаточно найти интенсивность реального или условного источника в точке возбуждения поверхностных волн. В частности, можно рассмотреть задачу дифракции на области, заключенной между двумя касающимися кривыми. Это естественное обобщение задачи о дифракции на трещине. При этом возможны два случая касания кривых (рис.3.8 а.б), в обоих случаях интенсивность будет равна р (соотношение (3.59) ), а в формулах (3.56), (3.58) необходимо брать уравнение соответствующего берега - ft(%) или jus) •

Вообще, данный метод применим к задачам, в которых решение вблизи точки рождения поверхностных волн может быть найдено в виде контурных интегралов с характерным набором особенностей.

К таким задачам относится, например, дифракция на криволинейном клине при смешанных граничных условиях или задача о дифракции на конечной криволинейной трещине. В подобных задачах предложенный метод может найти широкое применение.

1. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Метод пограничного олоя в задачах дифракции коротких волн и его становление. -- Кр. тезисы докладов У1 Всесоюз. симп. по дифракции и распространению аолн. Ереван, 1973, т.1, с.350-357.

2. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Асимптотические методы в теории дифракции и распространения волн. Рязань, 1975, 190с.

3. Бабич В.М.,'Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М., 1972, 456с.

4. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции коротких волн. -Л., 1974, 124 с.

5. Бабич В.М.высокочастотный точечный источник колебаний вблизи вогнутого зеркала. Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР, 1975, т.51, с.5-20.

6. Бабич В.М. Точечный источник колебаний на границе области.- Зап. научн. семинаров ЛОЖ АН СССР, 1975, т.62, с. 3-20.

7. Булдырев B.C., Ланин А.И. О вычислении функции (J^ • Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР, т.51, 1975, с.85-92.

8. Ланин А.И. К расчету интерференционных волн в задачах дифракции на цилиндре и шаре. Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР, т.9, 1968, с.64-104.

9. Булдырев B.C., Ланин А.И. Асимптотические формулы для волны, распространяющейся доль вогнутой поверхности, границы их применимости. Радиотехника и электроника. 1975, 20, с.49-58.

10. Филиппов В.Б. Дифракщш на искривленной полуплоскости.- Зап. научн. семинаров ЛОМ АН СССР, 1974, т.42, с.244-249.

11. Филиппов В.Б. Коротковолновая асимптотика тока в задаче дифракции на неплоском экране. Зап. научн. семинаров ЛОМИ

12. АН СССР, 1975, т.51, с.172-182.

13. Граунов ЛК., Филиппов В.Б. О вычислении тока, возбужденного на неплоском экране. Зап. научн. семинаров ЛОЖ АН СССР,

14. J3# Phi iiippc>v V. В. О «Н уас^ои а v\ov\plamr .—

15. Wave ftlotie>и , 3, 4381, p. -80.

16. Филиппов В.Б. Коротковолновая асимптотика тока и угловая диаграмма в задаче дифракции на неплоском экране. 1Ш Все-союзн. симпозиум по дифракции и распространению волн., Ростов-на-Дону, I, 1977, с.47-50.

17. Булдырев B.C., Грикуров В.Э. Интерференционная головная волна в теории упругости. Сб. Проблемы мат.физики, в.8, 1976, с.16-29.

18. Фок В.А. Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности. М., 1946, 82 с.

19. Бабич В.М., Иванов М.И. Решение задач рассеяния упругих волн с помощью асимптотических разложений. Тезисы докл. Всесоюз. школы "Динамика взаимодействия деформируемых сред", Ереван, 1984.

20. Иванов М.И. Дифракция высокочастотной упругой волны на криволинейном разрезе. Вестник ЛГУ, 1984, 13, с.108-110.

21. Леонтович М.А. Об одном методе решения задач о распространении электромагнитных волн.- Изв. АН СССР, сер.физ., 1944,т.8, В I.

22. Леонтович М.А., Фок В.А. Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности Земли по методу параболического уравнения. ЖЭТФ, 1946, т.16, .£ 7.

23. Малюжинец Г.Д., Вайнштейн Л.А. Поперечная диффузия при дифракции на импедансном цилиндре большого радиуса. Радиотехникаи электроника, 1961, т.6, № 8,9.

24. Кравцов Ю.А. Об одной модификации метода геометрической оптики. Изв. вузов, Радиофизика, 1964, т.7, № 4.

25. Lewis Lucf^D. as^mptot.c ieory . C©*im, риие and appl. 4<36Sy v. 2QyA/d.

26. Ludwify D. Uhifohfrt a s у fop tot Sc. expa^Uo* c,£bkegg auaxwex oije&i. Соилч.рире awd appl. i^afit,и.2oк/2.

27. Бабич В.М. Методика Д.Людвига и методика пограничного слоя в задаче дифракции на гладком теле. Зап. научн. семинаров ЛОЖ АН ССОР, 1972, т.27.

28. Булдырев B.C. Спектральные характеристики оператора Шрединге-ра. Изв. АН СССР, сер. Математическая, 1975, т.39, с.149--235.

29. Буслаев B.C. Коротковолновая асимптотика в окрестности расположенного на границе источника. Кр. тексты докладов

30. У1 Всесоюз. симпозиума по дифракции и распространению волн, Ереван, 1973, т.1, с.37-40.28.ьБуслаев B.C. Теория потенциала и геометрическая оптика. - Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР, 1971, т.22, с.175-180.

31. Эрдейи А. Асимптотические разложения. Физматгиз, 1962, 214 с.

32. Булдырев B.C., Ланин А.И. Об исследовании интерференционного волнового поля на поверхности упругого шара. Численные методы решения задач мат.физики, 1966, с.131-133.

33. Булдырев B.C., Ланин А.И. Исследования функции Грина в задаче дифракции на прозрачном круговом цилиндре. ЖВМиМФ, 1966, т.6, № I, с.90-105.

34. Булдырев B.C. Распространение волн вблизи изогнутой поверхности неоднородного тела. Проблемы мат.физики, 1967, Ш 2, с.61-84.

35. Ланин А.И. К расчету интерференционных волн в задачах дифрак- JL32 ции на цилиндре и шаре. Зап. научн. семинаров ЛОМИ АЛ СССР,1968, т.9, с.64-104.

36. Фок В.А. Таблицы функций Эйри. М., 1946, 53 с.

37. Бреховских Л.М. О поверхностных волнах в твердом теле, удерживаемых кривизной границы. Акуст. журнал, 1966, ХП, в.З, с.374-376.

38. Бреховских Л.М. О поверхностных волнах в твердом теле, удерживаемых кривизной границы. Акуст. журнал, 1966, ХП, в.4,с.541-555.

39. Мухина И.В., Молотков И.А. О распространении волн Рэлея в упругом полупространстве, неоднородном по двум координатам. -- Изв. АН СССР, Физика Земли, 1967, № 4, с.3-8.

40. Крауклис П.В., Цепелев Н.В. Распространение колебаний вблизи границы неоднородного упругого полупространства с фазовой скоростью, близкой к скорости продольных волн. Изв. АН ССОР, Физика Земли, 1971, № 9, с.28-33.

41. Крауклис П.В., Коптев В.И., Крауклис Л.А., Якубов В.А. Теоретико-экспериментальное исследование волн, скользящих вдоль вогнутой границы. АН СССР, Вопросы динамической теории распространения сейсм. волн, XXI, с.124-130.

42. Кузе А.Г. Возбуждение смешанных поверхностных волн. Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР, т.62, с.92-110.

43. Бабич В.М. Принцип взаимности для динамических уравнений теории упругости. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн, У1, 1962, с.60-74.

44. Аленивдн А.Г. О задаче Лэмба для неоднородного упругого полупространства. Проблемы мат.физики, 1966, I, с.5-32.

45. Шульга Н.А. Поверхностные волны в ортотропному регулярно-слоистом полупространстве. Материалы Всесоюз. конференциипо механике сплошной среды, 1979, с.202-211.

46. Бабич С.Ю., Гузь А.Н., Еуче А.П. Поверхностные волны, волны Стоили и Лява в телах с начальны?,® напряжениями. Материалы Всесоюз. конференции по механике сплошной среды, 1979, с.91-102.

47. Киселев А.П., Чихачев Б.А. Методика локальных разложений в задачах с двумя скоростями распространения волн. Краткие тексты докладов У1 Всес.симпозиум по дифракции и распространению волн, 1973, с.376-380.

48. Киселев А.П. Тонкий цилиндрический излучатель в неоднородной упругой среде. Ж.техн. физ., 1984, 54, № 2, с.209-215.

49. Соболев С.Л. Некоторые вопросы теории распространения колебаний. В книге "Диф. и инт. уравнения мат.физики", М., ОНТИ, 1937.

50. Lord Re^e-iftk. IwestifiaUoh of the Disturbance Pmduded fy q ifsUfiitctl dshdc №am 4 . W.-M. See. 4, <Щ

51. Бабич B.M. 0 распространении волн Рэлея вдоль поверхности однородного упругого тела произвольной формы. ДАН СССР, 1961, т.137, JS 6, с.1263-1266.

52. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М., 1954, 428 с.51. /Йаие/Ш £>«"е e&t.'s/te^ Vаи der> t4aff£enp.-~ 2. Qnpu>. tHath. took., tel. л/33 11-{О.

53. XB.AcUebfach a*d /l.K.GauUsek.-aeo^U^ tkeotg ef diftradux,e&xttocfc^a^ics. Aeeu^-i.^oc.A^^Sl53. й.к. Cxciu.U<&*f 10. Acke^&xcb, H.Mc.Naketi.- ЯллпЦ-ач. UfctRctp1. liasM^auit cttffiwifw fy ckacs. i.A.S.A. Gl^qSipJUt-ffit,

54. ДЖ GrauUw.- Ou. jfUaieUj^ QvpAffafbic E^pau &CM£L -pel twou&ua/ ElastedftbaMCs. tot f facta* tyctaetcs55. кат{ Р.С., I.E. В Jarttd wan? рсера^аЬ'ои Си, hotuogekpeuj Okd (мкыш^екеои* v^edla. 1 dcoust At*., -/ад u.S^ p.

55. Дж.Ахенбах. Задачи о распространении упругих волн при нераз-рутлающих испытаниях. В сб. Механика деформируемых твердых тел: направления развития, М., МИР, 1983, с.324-345.

56. Поручиков В.Б. Решение динамических задач теории упругости для угловых областей со смешанными условиями, ПММ, 1978, т.42, в.5.

57. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М., 1979, 320 с.

58. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М., 1962.

59. Крейн М.Г.Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов. УМН, 1958, т.13, в.5.

60. Федорюк М.В. Метод перевала.- М., 1977.

61. Рее УМ. cxwJt lYlow С.С. "She DiMsadCou oj Еtactic Шгмл aid йуиаюче c,c>useut raUousr Cvdwe <$■ Russaic .1. Л/aw. York, <ЪП\

62. Партон B.3., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М., 1981, 688 с.

63. Флитман Л.М. Динамическая задача о штампе на упругой полуплоскости. ПММ, 1959., т.23, в.4.

64. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М., т.2, 1958, 627 с.

65. Фомин В. Л. Механика континуума для инженеров. Л., 1975, 118 с.

66. Смирнова Н.С. Вычисление волновых полей в окрестности особых точек. Вопросы динамической теории распространения волн. -- Л., В 6, 1962, C.I02-III.