Нелинейные эффекты в теории сдвиговых поверхностных акустических волн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

.^¿¿г

Ит Л

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛЛОВ

¡¡ИСЛПДИНР

На правах рукописи

ГОРЕНЦВЕИГ Владимир Иосифович

УДК 539.2

нелинейные эффекты в теории сдвиговых поверхностных

акустических волн

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Харьков - 1993

Работа выполнена в Физико-техническом институте низких температур им. Б.И. Веркина Академии Наук Украины.

Научный руководитель - член-корреспондент АН Украины,

доктор физико-математических наук профессор A.M. Косевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

профессор Ф.Г. Басс (Институт радиоэлектроники АН Украины); доктор физико-математических наук ведущий научный сотрудник A.C. Рожавский (ФТИНТ АН Украины)

Ведущая организация - Харьковский государственный университет, кафедра теоретической физики

Защита состоится " /ЧсЗ^ЭТД 1993 г. в 1 ^ ^ часов на заседании специализированного совета К.138.01.01 при Институте монокристаллов АН Украины (310001, г. Харьков, пр. Ленина, 60 )

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института монокристаллов АН Украины

Автореферат разослан " 1Г 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета К. 138. 01.01 г,

кандидат технических наук (иЙТиО*

Л. В. Атрощенко

.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ '

Актуальность темы. В последние годы проявляется большой ■ интерес к' изучению влияния ' нелинейных . свойств среды ' на .распространение волн.' Для поверхностных 'акустических волн, такие эффекты Являются весьма существенными, поскольку даже при не очень больших мощностях источника колебаний амплитуда волны, локализованной у поверхности кристалла, может быть не малой. ■ . -

• Для сдвиговых упругих волн у' поверхности твердого тела-учет . нелинейности является особенно, важным, так как существуют . чисто . сдвиговые волны, локализация ■ которых вблизи ■ поверхности полностью обусловлена . нелинейными ■ свойствами среды'. • ....

Цель диссертации. Настоящая .работа посвящена/ теоретическому исследованию влияния нелинейности упругой среды на распространение в ней сдвиговых поверхностных волн при условии, что не-происходит возбуждения волн вертикальной поляризации. Значительное внимание уделено чисто сдвиговым ' волнам у свободной поверхности твердого ■ тела, ' локализация которых обусловлена нелинейностью среды, - • исследованы их .пространственная .форма, условия возбуждения. и влияние взаимодействия волны основной частоты с высшими гармониками.

. - Рассмотрены нелинейные сдвиговые волны,' локализованные у Поверхности раздела двух упругих сред.' Исследовано, влияние нелинейности упругих-свойств пластины на сдвиговые волны в сист.еме, состоящей из пластины и упругой Подложки.

Научная новизна. Приведенные, в диссертации результаты получены впервые, за исключением того, что возможность локализации чисто сдвиговой волны у свободной поверхности упругой- среды •за. счет ее нелинейности была обнаружена В. Г. Можаёв'ым*.'. .

») Mozhaev. V. С!. A new- type of. surface acoustic waves in . solids due-to'nonlinear elasticity // Phys. Lett. A. - 1989. T. 139,' .N 7/7 P.' '333-337.

Практическая ценность проведенных в диссертационной работе исследований связана как с дальнейшим развитием теории нелинейных поверхностных акустических волн, так и с возможностью использования полученных в диссертации результатов для экспериментального обнаружения новых эффектов в распространении акустических волн большой амплитуды. Эти эффекты могут найти техническое применение в акусто-электронных устройствах, а также в методах ультразвукового контроля дефектов и свойств приповерхностного слоя различных изделий.

Положения, выносимые на защиту,

1. Показано, что у свободной поверхности среды с фокусирующей нелинейностью упругих свойств может существовать набор чисто сдвиговых волн, огибающие которых описываются И-солитонными решениями нелинейного уравнения Иредингера. Локализация этих волн у поверхности полностью обусловлена нелинейностью среды. Характерная длина локализации может составлять несколько десятков длин волн при реально достижимых амплитудах. Полученные нелинейные поверхностные моды обладают собственной модуляцией амплитуды и фазы вдоль направления распространения волны.

2. Выяснено, что возбуждение каждой нелинейной сдвиговой поверхностной моды с помощью источника колебаний, локализованных у поверхности кристалла в некотором его начальном сечении, должно происходить пороговым образом в зависимости от площади профиля амплитуды возбуждающих колебаний.

3. Получена в общем виде система связанных нелинейных уравнений для огибающих сдвиговых волн основной и высших гармоник и указана процедура последовательных приближений для ее решения. Для стационарной волны у свободной поверхности фокусирующей среды найден профиль амплитуды третьей гармоники, которая имеет максимум на определенной глубине; его величина составляет порядка 10% от величины максимума первой гармоники.

4. Показано, что вдоль поверхности раздела двух нелинейных упругих сред при определенных соотношениях между их параметрами могут распространяться локализованные чисто сдвиговые волны. Для существования этих волн чри заданной частоте максимум амплитуды волны должен превышать определенное пороговое значение.

3. Рассмотрены чисто сдвиговые волны в нелинейном Фокусирующем слое, лежащем на упругом полупространстве. Показано, что в такой системе существуют два типа сдвиговых мод, один из которых обобщает линейные волны Лява. Моды второго типа, имеющие кноидальный профиль амплитуды в слое, возникают при превышении максимумом амплитуды определенного порогового значения, а в пределе линейной теории упругости отсутствуют.

Апробация работы. Результаты исследований, вошедшие в диссертацию, были представлены на IV Международной конференции по физике поверхности (Закопане, Польша, 1989 г. ) Международной конференции "Нелинейные явления - следующее десятилетие" с Лос-Аламос, США, 1990 г. ) , Всесоюзном семинаре "Поверхностные волны в твердых телах и слоистых структурах" ("Новосибирск, 1990 г. ) , XI Европейской конференции по физике поверхности (Саламанка, Испания, 1990 г.), XII Европейской конференции по физике поверхности (Стокгольм, Швеция, 1991 г. ).

Публикации, Материалы диссертации изложены в 4 статьях, опубликованных во всесоюзных и международных физических журналах.

Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 12 рисунков. Список литературы включает 47 наименований. Общий объем диссертации составляет 122 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель диссертационной работы. Указаны новизна и практическая ценность полученных результатов, кратко изложено содержание диссертации. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту. Приведен список публикаций по материалам диссертации.

В первой главе дан краткий обзор типов и свойств поверхностных волн, существующих в линейной теории упругости. Приведены сведения о волнах вертикальной поляризации (волны Рэлея и Стоунли). Основное внимание уделено чисто сдвиговым волнам и факторам, обуславливающим их локализацию у поверхности кристалла. Рассмотрены волны в упругом полупространстве с расположенным на нем твердым слоем (волны Лява), а также волны, локализованные у поверхности за счет приповерхностных искажений, пространственной дисперсии или пьезоэффекта.

Вторая глава посвящена чисто сдвиговым волнам, локализованным у свободной поверхности упругой среды за счет ее нелинейности. Исследованы пространственная форма этих волк, условия их возбуждения и влияние взаимодействия волны основной частоты с высшими гармониками.

В разделе 2.1 приведено волновое уравнение с учетом кубической нелинейности для волн чисто сдвиговой поляризации у поверхности кристалла в случае, когда не происходит возбуждения волн вертикальной поляризации. Указано условие применимости этого уравнения, заключающееся в малости нелинейных чненов по сравнению с линейными. В предположении медленности зависимости смещения от глубины ( ось г ) по сравнению с волновой зависимостью вдоль направления распространения ( ось х ) произведен переход к упрощенному уравнению:

с"2и,. - и - и = аи2и . (1)

^ хх г г ххх

Это уравнение содержит один параметр нелинейности («), в

зависимости от знака которого среда называется фокусирующей (а < 0) или дефокусирующей (а > 0). Полученное уравнение применимо при условиях

и является исходным для дальнейшего рассмотрения.

В разделе 2.2. проведен анализ обнаруженного В.Г.Можаевым эффекта нелинейной локализации чисто сдвиговой волны у свободной поверхности упругого полупространства, когда граничное условие имеет вид

и I Л = О . (3)

г 'г = 0

Рассмотрены случаи фокусирз7ющей и дефокусирующей нелинейности. В случае фокусирующей среды, когда решение для амплитуды волны имеет вид

исг) = и^эесМСг - г„)/П , (4)

где

О , Г5>

характерная длина локализации обратно пропорциональна максимуму и амплитуды волны:

Г1 = С |а|/8)1/2к2и„. (5)

Произведена оценка длины локализации при реальных значениях параметра нелинейности и реально достижимых амплитудах, показывающая, что эта длина может составлять несколько десятков длин волн.

В случае дефокусирующей среды решение уравнения для амплитуды волны имеет вид

Шг) = и соБесМ(г - г >/13 , <7>

• *

который не удовлетворяет граничному условию (3) на оьоболп-'й поверхности.

В разделе 2.3 рассматривается волка, огибающая копр'- у изменяется вдоль направления распространения: •

и = р У<х,г)ехр( 1 (кох - >Л)) + к . с. , ко= и/с . '.-'>

Для медленно меняющейся огибающей,

|V | « k0|V] , (9)

получено нелинейное уравнение Шредингера:

i2k V + V - £ к4 IVI2V = О . (10)

Ох zz 4 о 1 1

Рассмотрены N-солитонные решения этого уравнения и выяснено,

что при специальном выборе их произвольных параметров

соответствующие сдвиговые волны удовлетворяют граничному

условию на свободной поверхности и локализованы вблизи нее.

Полученные нелинейные поверхностные моды обладают

собственной модуляцией амплитуды ( U = |V| ) и фазы вдоль

направления распространения волны (см. рис. 1 ) ;

пространственная частота нелинейной самомодуляции

пропорциональна квадрату максимума амплитуды волны.

В разделе 2.4 рассмотрена задача возбуждения нелинейных

поверхностных сдвиговых мод с помощью локализованных у

поверхности кристалла колебаний в некотором его поперечном

сечении. С использованием метода обратной задачи рассеяния

показано, что каждая из мод возбуждается пороговым образом в

зависимости от площади профиля W(z> амплитуды начальных

колебаний. Ыода с номером N возбуждается при условии

|(2N - 1) < о < |(2N + 1) , (11)

где безразмерная площадь начального возбуждения

со

CT - füzMizy/U^l . (12)

о

В случае прямоугольного профиля W(z) исследована зависимость частоты модуляции и амплитуды возбуждаемых волн от площади профиля начальных колебаний. Сделана оценка минимальной мощности qN источника, необходимой для возбуждения нелинейных мод первого (N = 1) и второго (N = 2) порядков, показывающая реальную возможность возбуждения этих волн:

q = 1 Вт/см2 . q2 = 10 Вт/см2 . (13) В разделе 2.5 исследуется взаимодействие волны основной

Рис. 1. Модуляция амплитуды поверхностной волны 2-го

порядка вдоль направления распространения С Ь = к1 ) для двух значений относительной пространственной частоты: а) о = 1/4 ; б) о = 1/6 .

частоты с высшими гармониками. Получена в общем виде система связанных нелинейных уравнений для огибающих сдвиговых волн основной и высших гармоник. Указана процедура последовательных приближений для ее решения, основанная на иерархии численных малостей слагаемых в правых частях уравнений этой системы. Для стационарной волны, локализованной у свободной поверхности среды с фокусирующей нелинейностью, найден профиль амплитуды третьей гармоники максимум которой расположен на определенной глубине и по величине составляет порядка 10% от величины максимума амплитуды первой гармоники (см. рис. 2 ). Проанализировано влияние высших гармоник на основную гармонику. Найдена в первом приближении поправка к решению основного приближения для амплитуды первой гармоники, обусловленная взаимодействием с третьей гармоникой. Относительная величина этой поправки составляет не более 10% .

В третьей главе рассмотрена задача о распространении чисто сдвиговых волн вдоль поверхности раздела двух нелинейных пругих сред.

В разделе 3.1 приведены граничные условия на поверхности раздела сред (с модулями сдвига мх и м2 >:

и1 = и1 „ : м,и I „ = м„и I „ ., (14)

'г -+0 'г »-О 1 г 'г =+0 2 г 'г = -0

Указана связь между длинами < 1 и 1 ) локализации единой волны в двух граничащих средах ( с поперечными скоростями звука с и с ),

с2(к2 - 1~2) = с2(к2 - 1^2> , (15)

играющая важную роль при выяснении условий существования ЕОЛНЫ.

В разделе 3.2 исследован случай, когда граничат две фокусирующие среды, а в разделе 3.3 - фокусирующая и дефокусирующая среды. Получены соотношения между параметрами сред, при которых вдоль поверхности раздела могут расгространяться локализованные чисто сдвиговые волны. Показано, что для существования этих волн при заданном

Рис. 2. Зависимость амплитуды первой (верхняя кривая) и третьей (нижняя кривая) гармоник волны 1-го порядка от глубины.

значении волнового числа максимум и амплитуды волны должен

т

превышать определенное пороговое значение. Например, в случае с<1 < О при с > с2 и > должны

выполняться соотношение |а1 | > |<*2 | и пороговое неравенство

и 2 [8(С? ~ сЪ/(.\а,|с2 - |а 1сЬ]1/2/к (16)

т 1 2 I 1 ' 1 'г'г

В четвертой главе исследовано влияние нелинейности упругих свойств пластины на сдвиговые волны в системе, состоящей из пластины и упругой подложки.

В разделе 4.1 рассмотрена задача о волнах в нелинейной пластине с обеими свободными поверхностями, а в разделе 4.2 - о волнах в связанных акустически пластине и неограниченной по толщине подложке. Показано, что в обоих случаях при фокусирующей нелинейности пластины в такой системе существуют два типа сдвиговых мод. Первый тип обобщает известные в линейной теории упругости моды (поперечные нормальные волны в свободной пластине или волны Лява в пластине с подложкой). Моды второго типа, имеющие кноидальный профиль амплитуды в пластине,

U(z) = и апГ(г - г )/11 , (17)

ш •

возникают при превышении максимумом амплитуды определенного порогового значения. Например, в случае с < с2 при > с /с (где индексы 1 и 2 относятся к пластине и подложке соответственно) должно выполняться неравенство

ищ > М3С8(С2 - С1)/|а|(ц1С2 - ц2С1)]'1/2/к . (18)

В пластине с подложкой оба типа мод могут существовать как в случае замедляющей (сх < с2 ), так и в случае ускоряющей > с2 ) пластины.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Показано, что у свободной поверхности упругой среды с Фондирующей нелинейностью может существовать набор чисто сдвиговых волн, огибающие которых описываются Ы-солитонными Решениями нелинейного уравнения Шредингера. Локализация этих воли у поверхности полностью обусловлена нелинейностью

среды. Характерная длина локализации обратно пропорциональна максимуму амплитуды волны и может составлять несколько десятков длин волн при реально достижимых амплитудах. Полученные нелинейные поверхностные моды < при N 5: 2 ) обладают собственной модуляцией амплитуды и фазы вдоль направления распространения волны с пространственной частотой пропорциональной квадрату максимума амплитуды волны.

2. Выяснено, что возбуждение каждой нелинейной сдвиговой поверхностной моды с помощью источника колебаний, локализованных у поверхности кристалла в некотором его начальном сечении, должно происходить пороговым образом в зависимости от площади профиля амплитуды возбуждающих колебаний. Сделана оценка мощности источника, необходимой для возбуждения нелинейных мод первого СП = 1) и второго (Ы = 2) порядков, показывающая реальную возможность возбуждения этих волн.

3. Получена в общем виде система связанных нелинейных уравнений для огибающих сдвиговых волн основной и высших гармоник и найдена процедура последовательных приближений для ее решения. Для стационарной волны у свободной поверхности фокусирующей среды найдены профиль амплитуды третьей гармоники (максимум которой расположен на определенной глубине и составляет по величине порядка 10% от величины максимума первой гармоники) и малая поправка к решению основного приближения для амплитуды первой гармоники, обусловленная взаимодействием с третьей гармоникой.

4. Показано, что вдоль поверхности раздела двух нелинейных упругих сред при определенных соотношениях между их параметрами могут распространяться локализованные чисто сдвиговые волны. Для существования этих волн при заданном значении волнового числа максимум амплитуды волны должен превышать определенное пороговое значение.

5. Иследовано влияние нелинейности упругих свойств пластины

на чисто сдвиговые волны в системе, состоящей из пластины и неограниченно^по толщине- упругой подложки; Показано, что- в такой системе в.'случае фокусирующей" нелинейности 'существуют два типа, сдвиговых мод,"один из которых обобщает извёстные в 'линейной теории упругости вйлны Лява.. 'Моды второго, типа,', имеющие кноидальный профиль, .амплитуды в пластине,- возникают, если.максимум амплитуды превышает определенное пороговое значение. Оба типа нелинейных мод могут существовать как для •замедляющей, так и-для'ускоряющей'.пластины.

■ Основные результаты • диссертации . опубликованы . в. следующих статьях: . -

1. V. I. Gorentsveig, Yu; S. Klvshar, A. M. Kosevich, . and ■ E. S; Syrkln. Nonlinear surface eiasti'.c modes in "crystals //-Phys. Lett. A. - 1990. .--144, No.. 8, 9. '- p. 479-486. . .2, В. И. Горенцвейг, Ю. С. Кившарь, E. С.Сырккн. Нелинейные сдвиговые волны, локализованные у границы .раздела двух упругих сред // 'Письма, в' ЖТФ. .-. 1990. - 16, вып.. 20. С. 41-46. ' •'.'''-.-'- '..' ' - ' ■. '. '

• 3. В. И. Горенцвейг, Ю.С.' .Кившарь, A.M. Косевич,. Е.С.; Сыркнн. ■ Самомодулированные нелинейные . сдвиговые'. поверхностные акустические.волны в кристаллах-.'// ФНТ. - -1990'. - 16,. .N.11'» - С. 1472-1482.' ■ '. ". " '• . . .

4. V. I. Gorentsveig,' -Yu. S". Kivshar,' A". Ц. Kosevich, , and E. S. Syrkin, Nonlinear- surface modes-in crystals // Int. J. Engng. Sci.' T- 1991. '- 29,• No/"3.'- P. '271-279..' •