Нелинейные упругие волны в двухкомпонентных твердых сдвиговых смесях

Рыжаков, Алексей Игоревич

Нелинейные упругие волны в двухкомпонентных твердых сдвиговых смесях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Рыжаков, Алексей Игоревич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Нелинейные упругие волны в двухкомпонентных твердых сдвиговых смесях»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные упругие волны в двухкомпонентных твердых сдвиговых смесях"

На правах рукописи

НЕЛИНЕЙНЫЕ УПРУГИЕ ВОЛНЫ

В ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ ТВЕРДЫХ СДВИГОВЫХ СМЕСЯХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2004

Работа выполнена в Нижегородском филиале института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ерофеев В.И. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Землянухин А.И. доктор физико-математических наук, профессор Сучков С.Г.

Ведущая организация:

Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем Госстандарта РФ (Нижний Новгород)

Защита состоится 21 декабря 2004 г. в 15-30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.243.10 в Саратовском государственном университете по адресу (410026, г.Саратов, ул. Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке

СГУ.

Автореферат разослан 18 ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент

Шевцова Ю.В.

£2>0£3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность: Упругие волны являются наиболее эффективным инструментом исследования напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств твердых тел. Это связано с тем, что волны представляя собой естественное, а не инородное поле для твердых тел, могут распространяться на достаточно большие глубины, взаимодействовать со средой, не внося при этом искажений в происходящие там процессы. Однако количество волновых эффектов, которые используются в диагностике материалов и элементов конструкций, крайне мало. Достоверность же прогнозов часто оказывается недостаточной. Богатство волновых эффектов в твердых телах воспринимается не как благо, а как помеха волновому зондированию, основанной на той или иной методике, игнорирующей эти эффекты.

Внутренняя логика механики деформирования твердого тела как науки, а также запросы практики (прежде всего, неразрушающих испытаний материалов и элементов конструкций) требуют совершенствования математических моделей деформируемых тел, делая их наиболее адекватными происходящим процессам. Необходимо выявлять линейные и нелинейные эффекты, которые возможны при распространении и взаимодействии волн в твердых телах, изучать особенности их проявления, влияние различных факторов. Изучение волновых эффектов позволит использовать их для разработки новых методов и средств измерения, контроля и диагностики.

смесью, одновременно занята обоими компонентами. Предложенная теория позволяет описывать смеси реальных материалов моделью двух взаимодействующих упругих сред.

На актуальность данной диссертации указывает то, что развиваемая в ней теория смесей позволяет изучить влияние наличия микроструктуры на дисперсионные характеристики упругих волн, а также исследовать нелинейные эффекты при распространении волн в неоднородных материалах. Полученные результаты диссертации могут быть, в частности, использованы для описания механических явлений, экспериментально наблюдаемых в композитных материалах.

Работа выполнялась по:

Комплексной программе Российской Академии Наук, раздел II "Машиностроение " по теме: "Разработка методов диагностики напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств материалов и элементов конструкций, основанных на применении эффектов нелинейной акустики " (2001-2003 г. г., научный руководитель, профессор Ерофеев В. И.);

Плану основных заданий Нф ИМАШ РАН 2004-2005 г.г. по теме: "Волны деформации в структурно - неоднородных материалах и элементах конструкций" (научный руководитель, профессор Ерофеев В. И., профессор Потапов А. И.);

Грантам РФФИ: "Нелинейные акустические волны в твердых телах с дислокациями" (2000-2002 г.г., №00-02-17337, научный руководитель, профессор Ерофеев В. И.); "Нелинейные акустические волны в неоднородных, поврежденных и структурированных средах. Теория. Эксперимент. Приложения." (2003-2005 г.г. №03-02-16924, научный руководитель, профессор Ерофеев В. И.)

Федеральной целевой программе "Интеграция": "Экспериментальное исследование и математическое

моделирование деформации и разрушения новых материалов и прогнозирование ресурса конструкций" (научный руководитель, профессор Баженов В. Г.)

Работа имеет следующие цели:

- разработка математической модели сдвиговых смесей твердых деформируемых тел для описания их физико-механических и дисперсионных свойств.

- изучение особенностей распространения волн Римана и нелинейных стационарных волн в сдвиговых смесях.

- изучение резонансных волновых взаимодействий в сдвиговых смесях.

Научная новизна: В диссертации развита теория

многокомпонентных смесей деформируемых твердых тел. Разработана математическая модель двухкомпонентной сдвиговой смеси, учитывающая геометрическую и физическую нелинейность.

Изучены линейные и нелинейные эффекты, которые возникают при распространении и взаимодействии волн в смесях.

Научное и практическое значение: Построение достоверной математической модели двухкомпонентной сдвиговой смеси и полученные в диссертации результаты помогут при изучении физико-механических свойств реальных материалов.

Также возможно создание новых методов акустической диагностики технологических систем, включая строительные материалы и конструкции.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Построение математической модели двухкомпонентных сдвиговых смесей деформируемых твердых тел, учитывающих геометрическую и физическую нелинейности.

2. Исследование особенностей распространения и взаимодействия упругих волн в сдвиговых смесях деформируемых твердых тел.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации докладывались на Всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций, посвященной памяти профессора А. И. Весницкого (Нижний Новгород, 2004 г.); Восьмой научной сессии молодых ученых Нижегородской области (г. Дзержинск, 2003г.); на семинарах лаборатории волновых процессов в материалах и конструкциях Нф ИМАШ РАН (Нижний Новгород, 2002-2004 г.г.).

Публикации. Основные положения диссертации содержатся в работах [1-6].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем составляет 90 страниц, включая 23 рисунка, 10 страниц библиографии, содержащей 90 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается общая характеристика работы, формулируются цели, отмечается их актуальность.

Глава 1. Обзор работ по математическим моделям смесей деформируемых твёрдых тел. Вывод модели двухкомпонентной сдвиговой смеси с учетом геометрической и физической нелинейности.

Идея использования взаимопроникающих континуумов при решении задач механики не нова и имеет более чем столетнюю историю. Еще в работах: Фика (1855) и Стефана (1871) была построена теория смеси, включающая соответствующие балансовые уравнения и термодинамические ограничения. Концепция многих взаимодействующих континуумов использовалась в работах Глейзбрука (1885), Н. Е. Жуковского (1889) Рейнольдса (1903), Гильберта (1907). Главным образом, это были работы по смесям газов и жидкостей.

Смеси же твердых деформируемых тел впервые обсуждались в работах Грина и Стила по диффузионной теории смеси. К этому времени теория смесей газов и жидкостей, как и теория насыщенных жидкостью или газом твердых тел, была уже развита. Возможно, поэтому первые работы касающиеся смесей твердых тел, формально использовали описание взаимодействия компонентов смеси, принятое для смесей жидкостей и насыщенных жидкостью твердых сред.

А первыми, формально связавшими развиваемый аппарат теории смеси твердых тел с реальными упругими материалами были работы Лемпрайера, в которых предложена другая, сдвиговая, модель взаимодействия между компонентами смеси. При этом в качестве конкретных физических материалов рассмотрены слоистые композиты.

Согласно гипотезам, которые были впервые сформулированы А. Грином и Т. Стилом, определим двухфазный материал как материал, составленный из двух твердых взаимно нерастворимых фаз и содержащий в представительном элементе достаточно много частиц обеих фаз. Между частицами происходит относительное смещение и в случае модели сдвиговой смеси такое смещение однозначно определяется вектором

относительных перемещений . Внутренняя энергия зависит

от парциальных тензоров деформации Грина:

(а) 1 гк 2

(и{а)+и(ц) ^{а^Л V 1,к к,г 1,1 г, к )

О)

и описывается потенциалом Мурнагана в виде:

Здесь приняты следующие обозначения V = и^ - С/р^ -

К К Л

относительное

перемещение;

/к гк

—"^ - инвариантны тензоров деформаций; греческие

индексы принимают значения 1 2; латинские 1,2,3; а+3 = 3.

Уравнения динамики двухкомпонентной сдвиговой смеси во втором приближении запишутся в виде:

аа д(2

(я + и ) ^ а ^а >

дх^дх.

я2 тг(6) я2

- 2 Иъ> дх,дх. Ч » 1 ) 1

ил Ь. II

(а)

о:

где- ) нелинейные слагаемые.

Проводится анализ дисперсионных зависимостей для

линеаризованной системы, то есть Показано что в

двухкомпонентной сдвиговой смеси могут распространятся продольные и сдвиговые упругие волны. Однако эти волны, в отличие от волн в классическом изотропном твердом теле обладают дисперсией, и каждый из типов волн характеризуется двумя дисперсионными ветвями. На частоте

и ниже вторая мода преобразуется в

экспоненциально-затухающую. Другими словами, для второй моды смесь является фильтром высоких частот, частота определяет начало полосы

непропускания.

Если в нелинейно - упругой смеси вдоль оси х = х распространяется

плоская продольная волна, уравнения динамики (3) перепишутся в следующем виде:

aV» 2 а2««

8t2

aV2> 2 э V2>

а,2

Р\ a*z п н — ох- (4)

Р\ дх дх2

Рг

32 а**

Рг

где

N:' =ЗЯ +8¿Í +2А +4 В. +2С

р2 дх дх2

коэффициент

1111

нелинейности,^. = ^(Л.+ 2ц.)/р., с^. = ^(А^ +2^)/ р..

Далее показано, что система (4) эквивалентна системе эволюционных уравнений:

dW, d2W. яЗ

W2=Wl'

(5)

sw dw34 dW д

± _J¡± +ь2 J^ +w2+w3+W4y-

8t 2 дх *

где IV - величина, комплексно сопряженная с и^) +1У2

Из (5) следует, что одна из дисперсионных ветвей для продольных волн описывается уравнением Кортевега - де — Вриза, а другая — уравнением Шредингера.

Глава 2. Распространение нелинейных волн в двухкомпонентной сдвиговой упругой смеси.

В п. 2.1. изучается распространение волн Римана в двухкомпонентной смеси. Проводится анализ изменения профиля волны в двухкомпонентной смеси и в классической нелинейно-упругой среде. Проводится сравнение полученных результатов. Установлено, что эффект нелинейности в классической среде выражен сильнее, чем в смеси.

В п. 2.2. рассматриваются особенности распространения нелинейных стационарных волн в двухкомпонентной сдвиговой смеси. Отмечено, что распространение плоских продольных волн влияют два фактора: дисперсия и нелинейность. Получены уравнения, позволяющие анализировать свойства, распространяющихся в смеси, стационарных волн. Установлено, что в двухкомпонентной сдвиговой смеси могут существовать как периодические, так и уединенные волны.

Решение системы (5) при Ж = ^=№^=^=0 и ^<с2 выражается

через эллиптический синус:

УЮ-Л

1 + 52->/1-*2 + Л4 2/. . ,

--от (кн$,.0

3«

Здесь А ■

За

- амплитуда волны;

(6) 1/2

нелинейный аналог волнового числа; - модуль эллиптической функции, определяющий степень искажения формы волны по сравнению с синусоидальной.

При , решение (6) принимает вид гармонической волны:

а при оно вырождается в уединенную волну импульсной формы

(солитон):

где А* = - амплитуда солитона, Д = - его ширина.

Получены зависимости амплитуд волн от коэффициента нелинейных искажений и от скоростей распространяющихся волн для всех физически реализуемых случаев. Также получены зависимости между параметрами солитона для различных отношений скоростей волн и для различных отношений плотностей материалов.

Глава 3. Нелинейные резонансные взаимодействия волн в сдвиговой упругой смеси.

Продольные волны, описываемые различными дисперсионными ветвями, связаны между собой за счет квадратичной нелинейности и между ними возможны трехволновые резонансные взаимодействия. Показано, что могут существовать два качественно различных случая резонансных троек:

а) две волны описываются верхней дисперсионной ветвью и одна -нижней;

(О

<а

"о

б) две волны описываются нижней дисперсионной ветвью и одна -верхней (см. рисунок).

В первом случае частоты и волновые числа волн, составляющих резонансную тройку, должны удовлетворять условиям синхронизма:

где - значения частот и волновых чисел, лежащих на

верхней дисперсионной ветке, а - значения частот и волновых

чисел, лежащих на нижней дисперсионной ветке.

Во втором случае, условия синхронизма записываются следующим образом:

(9)

где - значения частот и волновых чисел, лежащих на верхней

дисперсионной ветке, а - значения частот и волновых чисел,

лежащих на нижней дисперсионной ветке.

Показано что и том и в другом случае возможна распадная неустойчивость высокочастотной волны, приводящая у генерации волн более низких частот. При этом процесс трехчастотных взаимодействий имеет характер пространственных биений.

Далее в главе изучается фазово-групповой синхронизм волн в двухкомпонентной нелинейной сдвиговой смеси. Показано, что между длинными и короткими волнами может возникать взаимодействие. При совпадении групповой скорости коротких волн с фазовой скоростью (й>ч) («,)

длинной волны взаимодействие между ними становится

особенно сильным (резонансным).

Основные результаты диссертации.

1. Разработана математическая модель сдвиговой смеси деформируемых твердых тел, учитывающая конечность парциальных тензоров деформации каждой компоненты, которая позволяет описывать динамические процессы в материале.

2. Основываясь на математической модели сдвиговой смеси, изучены особенности распространения волны Римана. Показано, что расстояние, на котором произойдет опрокидывание волны в смеси будет больше, чем для классической нелинейно-упргой среды.

3. Изучено распространение нелинейных стационарных волн в двухкомпонентной сдвиговой смеси. Установлено, что в двухкомпонентной сдвиговой смеси могут существовать как периодические, так и уединенные волны. Получены зависимости амплитуд волн от коэффициента нелинейных искажений и от скоростей распространяющихся волн для всех физически реализуемых случаев, а также зависимости между параметрами солитона для различных отношений скоростей волн и для различных отношений плотностей материалов.

4. Изучены нелинейные резонансные взаимодействия квазигармонических волн в двухкомпонентной сдвиговой смеси. Получены условия синхронизма и дисперсионные уравнения для волн, составляющих резонансную тройку. Получена система укороченных уравнений для комплексных амплитуд взаимодействующих волн. Получено решение системы, которое носит характер пространственных биений. Изучен фазово— групповой синхронизм длинных и коротких волн.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Рыжаков А. И., Шешенин С. Ф. Взаимодействие упругих волн, распространяющихся в инерционной твердой смеси, с абсолютно жесткой стенкой. // Моделирование динамических систем. / Сборник научных трудов. Нижний Новгород. Изд-во "Интелсервис". 2002. с. 5464.

2. Рыжаков А. И. Упругие волны в твердых смесях и диагностика структурированных материалов. // Восьмая нижегородская сессия молодых ученых. (Технические науки ): Тезисы докладов.-Н. Новгород: Изд. Гладкова О. В., 2002. -166 с, с.22

3. Рыжаков А. И., Шарабанова А. В. Волны Римана в двухкомпонентной сдвиговой твердой смеси. // Прикладная механика и технологии машиностроения: Сборник научных трудов / под ред. Ерофеева В. И., Смирнова С. И., Сорокина Г. К. - Нижний Новгород: Издательство общества "Интелсервис", 2003. Вып. 2(6). - 208 стр., с. 158-163.

4. Рыжаков А. И. Волны деформации в двухкомпонентных твердых смесях. // Всероссийская научная конференция по волновой динамике машин и конструкций, посвященная памяти профессора А. И. Весницкого. Тезисы докладов. Нижний Новгород, 2004. 122 с. - с. 103.

5. Ерофеев В. И., Рыжаков А. И. Распространение стационарных волн в нелинейно-упругой двухкомпонентной сдвиговой смеси. // Прикладная механика и технологии машиностроения. Сборник научных трудов. — Нижний Новгород. Издательство "Интелсервис". Нф ИМАШ РАН. 2004. Вып. 1(7). С. 13-27.

6. Ерофеев В. И., Рыжаков А. И. Взаимодействие высокочастотных и низкочастотных волн в нелинейно-упругой сдвиговой смеси. (Фазово-групповой синхронизм) // Прикладная механика и технологии машиностроения. Сборник научных трудов. - Нижний Новгород. Издательство "Интелсервис". Нф ИМАШ РАН. 2004. Вып. 1(7). С. 28-33.

»2354*

РНБ Русский фонд

2005-4 23063

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Рыжаков, Алексей Игоревич

Введение.

1.1. Обзор работ по механике смесей.

1.2. Сдвиговые смеси - основные гипотезы и математическая модель.

1.3. Дисперсионные свойства.

1.4. Физические постоянные в теории смеси.

1.5. Получение эволюционных уравнений.

Глава 2. Распространение нелинейных волн в двухкомпонентной сдвиговой упругой смеси.

2.1. Волны Римана в двухкомпонентной сдвиговой упругой смеси.

2.2. Нелинейно-упругие стационарные волны в двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси.

Глава 3. Нелинейные резонансные взаимодействия волн в сдвиговой упругой смеси.

3.1.0 нелинейных резонансных взаимодействиях упругих волн.

3.2. Нелинейные резонансные взаимодействия квазигармонических упругих волн в нелинейной сдвиговой смеси.

3.3. Фазово-групповой синхронизм длинных и коротких волн.

Введение диссертация по механике, на тему "Нелинейные упругие волны в двухкомпонентных твердых сдвиговых смесях"

Актуальность; Упругие волны являются наиболее эффективным инструментом исследования напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств твердых тел. Это связано с тем, что волны представляя собой естественное, а не инородное поле для твердых тел, могут распространяться на достаточно большие глубины, взаимодействовать со средой, не внося при этом искажений в происходящие там процессы. Однако количество волновых эффектов, которые используются в диагностике материалов и элементов конструкций^ крайне мало. Достоверность же прогнозов часто оказывается недостаточной. Богатство волновых эффектов в твердых телах воспринимается не как благо, а как помеха волновому зондированию, основанному на той или иной методике, игнорирующей эти эффекты.

Внутренняя логика механики деформированного твердого тела как науки, а также запросы практики (прежде всего, неразрушающих испытаний материалов и элементов конструкций) требуют совершенствования математических моделей деформируемых тел, делая их наиболее адекватными происходящим процессам. Необходимо выявлять линейные и нелинейные эффекты, которые возможны при распространении и взаимодействии волн в твердых телах, изучать особенности их проявления, влияние различных факторов. Изучение волновых эффектов позволит использовать их для разработки новых методов и средств измерения, контроля и диагностики.

В диссертационной работе предложено использовать теорию твердых смесей для математического моделирования сред с микроструктурой. В основу этой теории положена концепция взаимопроникающих континуумов, из которой следует, что каждая точка области, занятая смесью, одновременно занята обоими компонентами. Предложенная теория позволяет описывать смеси реальных материалов моделью двух взаимодействующих упругих сред.

На актуальность данной диссертации" указывает то, что развиваемая в ней теория смесей позволяет изучить влияние наличия микроструктуры на . дисперсионные характеристики упругих волн, а также исследовать нелинейные эффекты при распространении волн в неоднородных материалах. Полученные результаты диссертации могут быть, в частности, использованы для описания механических явлений, экспериментально наблюдаемых в композитных материалах.

Работа имеет следующие цели:

- разработка- математической модели сдвиговых смесей твердых деформируемых тел для описания их ' физико-механических и дисперсионных свойств.

- изучение особенностей распространения волн Римана и нелинейных стационарных волн в сдвиговых смесях.

- изучение резонансных волновых взаимодействий в сдвиговых смесях.

Научная новизна: В. диссертации развита теория многокомпонентных смесей деформируемых твердых тел. Разработана математическая модель двухкомпонентной сдвиговой смеси, учитывающая геометрическую и физическую нелинейность.

Основные положения, выносимые на защиту

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты диссертации.

Получена система укороченных уравнений для комплексных амплитуд взаимодействующих волн. Получено решение системы, которое носит характер пространственных биений. Изучен фазово-групповой синхронизм длинных и коротких волн.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Рыжаков, Алексей Игоревич, Нижний Новгород

1. Ахенбах Дж. Колебания и волны в направленных армированных композитах // Композиционные материалы. -М.: Мир, 1978. - Т. 2. - 564 с.

2. Бедфорд, Сазерленд, Лингл. О теоретическом и экспериментальном исследованиях распространения волн в упругом материале, армированном волокнами // Прикл. механика: Тр. Амер. о-ва. инж. — мех., 1972. 39, №2. - С. 279-281.

3. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Изд-во АН СССР. 1957.

4. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. -452 с.

5. Викторов И. А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966. -168 с.

6. Динамика и устойчивость слоистых композиционных материалов. Киев: Наук, думка, 1992.

7. Ерофеев В. И., Кажаев В. В., Шешенин С. Ф. Дисперсия продольных и сдвиговых упругих волн в твердых двухкомпонентных инерционных смесях. // Механика композиционных материалов и конструкций. 1999, Т5, №3, С. 107-114.

8. Жуковский Н. Е. Избр. собр. соч.: В 3 т. -• Л.; М.: Гостехиздат, 1948-1950.

9. Зарембо JI. К., Красильников В. А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1996 - 520 с.

10. Крайко А. Н., Нигматулин Р. И., Старков В. К., Стернин Л. Е. Механика многофазовых сред // Итоги науки и техники. Механика разреженного газа и многофазных сред. 1972. -6.-С. 93-174.

11. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972.-470 с.

12. Мун Ф. Удар и распространение волн в композиционных материалах // Композиционные материалы. М.: Машиностроение, 1978.-Т.7.-344с.

13. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.- 336 с.

14. Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. -312 с.

15. Новиков А.А. О применимости метода связанных волн к анализу нерезонансных взаимодействий // Изв. вузов. Радиофизика, 1976. Т.19, №2. С.321-323.

16. Пелиновский Е. Н., Фридман В. Е., Энгельбрехт Ю. К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин: Изд-во "Валгус", 1984.

17. Подстригач Я. С. Диффузионная теория неупругих металлов // Журн. прикл. механики и техн. физики.- 1965.-№2.-С. 6772.

18. Рабинович М. И., Трубецков Д.- И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.- 432 с.

19. Рахматулин X. А. Основы газодинамики взаимопроницаемых движений сжимаемых сред // Прикл. математика и механика.- 1956.-20, №2

20. Рахматулин Х.А., Саатов Я.У., Филиппов И.Г., Артыков Т.У. Волны в двухкомпонентных средах. — Ташкент: Фан, 1974.266 с.

21. Рущицкий Я. Я. Об одном случае распространения волн в смеси упругих материалов. // Прикл. механика.- 1978. 14, №1. С. 25-33.

22. Рущицкий Я. Я. Определение физических постоянных теории смеси упругих материалов при помощи экспериментально полученных дисперсионных кривых. // Прикл. механика. 1979. - 15, №6.-- С. 26-32.

23. Рущицкий Я. Я. Элементы теории смесей. Киев: Наук, думка, 1991.

24. Рущицкий Я. Я. Взаимодействие упругих волн в двухфазном материале // Прикл. механика, 1992. Т. 28, №5. С. 13-21.

25. Рущицкий Я. Я. Взаимодействие волн сжатия и сдвига в композитном материале с нелинейно-упругими компонентами в микроструктуре // Прикл. механика, 1993. Т. 29, №4. С. 23-30.

26. Саатов Я. У. Плоские задачи механики упругопористых сред.- Ташкент: Фан, 1975.- 251 с.

27. Столл Р. Д. Акустические волны в водонасыщенных осадках // Акустика морских осадков / Под ред. JI. Хемптона. М.: Мир, 1977.-533 с.

28. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 622 с.

29. Филиппов И. Г. Динамическая теория относительного течения многокомпонентных сред // Прикл. механика. -1971.-7, №10.-С.92-99.

30. Филиппов И. Г., Чебан В. Г. Неустановившиеся движения сплошных сжимаемых сред // Кишинев: Штиинца, 1973. -436 с.

31. Хорошун JL П. К теории взаимопроникающих упругих смесей // Прикл. механика. 1977. - 13, №10. — С. 124-132.

32. Хорошун JI. П. Методы теории случайных функций в задачах о макроскопических свойствах микронеоднородных сред // Прикл. механика.- 1978.- 14, №2. С.3-17.

33. Христенсен. Затухание гармонических волн в слоистых средах // Тр. Амер. об-ва инж.-мех. Прикл. механика. 1973. -40, №1.-С.164-169.

34. Школьник И. Э, Красновский Б. М., Юровский В. А. Повышение эффективности ультразвукового метода контроля прочности на основе измерения параметров нелинейности бетона. // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1985. №2. С. 94-96.

35. Шульга Н. А. Прохождение акустической волны через регулярную систему тонких пластин // Докл. АН УССР. Сер. А.- 1975. №10. - С. 912-914.

36. Шульга Н. А. Отражение упругих волн от ортотропного регулярно-слоистого полупространства // Прикл. механика. -1975.-15, №5.-С. 33-38.

37. Шульга Н. А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев. Наук, думка, 1981.-200с.

38. Шульга Н. А., Савин В. Г. Фазовые и групповые скорости поверхностной волны Лява в слоистой среде // Акуст. Журн. 1975. - 21, №2. - С. 260-263.

39. Barker L. М., Lundergan С. D., Chen P. J., Gurtin М. Е. Nonlinear viscoelasticity and the evolution of stress waves in laminated composites: a comparison of theory an experiment // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1974. - 41, N 4. - P. 1025-1030.

40. Bedford A., Stern M. On wave propagation in fiber reinforced materials // Trans. ASME: J. Appl. Mech. - 1970. -37, N 4. - P. 1190-1192.

41. Bedford A., Stern M. Toward a diffusing continuum theory of composite materials //Ibid. 1971. - 38. N 1. - P. 8-14.

42. Bedford A., Stern M. A multi-continuum theory for composite elastic materials // Acta mech. 1972. - 14. N 1. - P. 85-102.

43. Bedford A., Drumheller G. S. On a generalized effective stiffens theory // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1974. - 41. N 1. - P. 305-307.

44. Bedford A., Drumheller G. S., Sutherland H. J. On modeling the dynamics of composite materials // In Mechanics Today / Ed. S. Nemat-Nasser. 1976. - 3. P. 1-54.

45. Biot M. A. General theory of three-dimensional consolidation // J. Appl. Phys. 1941. - 12, N 1. - P. 155-164.

46. Biot M. A. Consolidation settlement under a rectangular load distribution // Ibid. N 3. - P. 426-430.

47. Biot M. A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // Ibid. 1955. - 26, N 1. - P. 182-185.

48. Biot M. A. General solution of the equation of elasticity and consolidation for a porous materials // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1956. - 23. N 1. - P. 91-96.

49. Biot M. A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media I I J. Appl. Phys. 1962. -33, N 10. P. 1482-1498.

50. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid -saturated solid. // J. Acoust. Soc. Amer. 1956. -28, N 2, -P.168-191.

51. Biot M. A. Variational lagrangian thermodynamics of nonisotermal fin the strain mechanics of porous solid and thermomolecular diffusion // Int. J. Solids and Struct. 1977. -13, N 6.-P. 579-597.

52. Biot M. A., Willis D. G. The elastic coefficient of theory consolidation // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1957. - 24, N 3. -P. 594-601.

53. Cryer C. W. A comparison of three dimensional consolidation theories of Biot and Terzaghi // Quart. J. Mech. And Appl. Math.- 1963. 16, N 4. - P. 401-412.

54. Deresiewicz H. The effect of boundaries on wave propagation in a liquid- filled porous solid // Bull. Seism. Soc. America. 1960.- 50, N 4. P. 599-607; 1964. - 54. N 1. - P. 417-423.

55. Ericksen J. L. Truesdell C. Exact theory of stress and strain in rods and shells // Arch. Ration. Mech. And Anal. 1958. - 1, N 4.-P. 295-323

56. Fick A. Uber diffusion // Ann. der Phys. 1855. -94. - S. 56 -86.

57. Glazebrook R. T. Report on optical theories // Rep. Brit. Assos. Adv. Sci. 1885. - 55. - P. 157-261.

58. Green A. E., Steel T. R. Constitutive equations for interacting continua // Int. J. Eng. Sci. 1966. - 4, N 4. - P. 483-500.

59. Hegemier G. A. On a theory of interacting continua for wave propagation in composites // Dynamic of composite materials / Ed. E. H. Lee. New York: ASME. - 1972. - P. 70-121.

60. Hegemier G. A., Gurtman G. A., Nayfen A. H. A continuum mixture theory of wave propagation in laminated and fiber reinforced composites // Int. J. Solids and Struct. 1973. - 9, N 4.-P. 395-414.

61. Herrman G., Kaul R. K., Delph T. J. On continuum modeling of the dynamic behavior of layered composites // Arch. Mech. -19787. 28, N 3. - P. 405-421.

62. Hilbert D. Mechanic der Continua // Lectures 1906-1907. 1907.

63. Jahanmir M., Tiersten T. F. Load transfer and surface wave propagation in fiber reinforced composite materials.// Int. J. Solids and Struct. 1978. - 14, N 2. - P. 227-240.

64. Landergan C. D., Drumheller D. S. Propagation of stress waves in a laminated composite // J. Appl. Phys. 1971. -42, N 6. - P. 669-975.

65. Landergan C. D., Drumheller D. S. Dispersion of shock waves in a composite materials // Proceedings of the 17-th Sagamore Army Materials Research Conference / End. J. Wiess. New York: Syracuse Univ. Press. - 1971. - P. 141-156.

66. Lempriere B. On practicability of analyzing waves in composites by the theory of mixtures // Lockheed Palo Alto Research Laboratory. Report. No LMSC-6-78-69-21. 1969. - P. 76-90.

67. Lempriere B. The practicability of analyzing waves in composites by the theory of mixtures // Colloquium on dynamic behavior of the composite materials. Univ. of California, San Diego, 1969. -P. 84-85.

68. Marrin S. E., Bedford A., Stern M. Steady state wave propagation in fiber reinforced elastic materials // Development in Mechanics. / Ed. E. H. Lee, A. A. Szewczyk. - Notre Dame, Indiana: Notre Dame press, 1971. - Vol. 6. P. 515 - 628.

69. Munson D. E., Schuler К. M. Steady wave analysis of wave propagation in laminates and mechanical mixtures // J. Compos. Mat. 1971. - 5, N. 3. - P. 286- 304.

70. Nayfeh A. N., Nassar E. A. Simulation of the influence of bonding materials on the dynamic behavior of laminated composites // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1978. - 45, N 10. -P. 822 - 828.

71. Peck J. C., Gurtman G. A. Dispersive pulse propagation parallel to interface of a laminated composite // Trans. ASME: J. Appl. Mech.- 1969. 36, N 2. - P. 479-484.

72. Postma G. W. Wave propagation in a stratified medium // Geophysics. 1955. - 20, N 6. - P. 480-488.

73. Reynolds O. The sub-mechanics of the universe: Turbulent flow. Paper 3.- 1903.

74. Robinson C. W., Leppelmeier G. W. Experimental verification of dispersion relation for layered composites // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1974. - 41, N 1. - P. 89-91.

75. Saint-Venant A.-J.-C. Barre de. Memoire sur la torsion des prismes, avec des considerations sur leur flexion // Men. Divers Savants. -1885. P. 233-560.

76. Stefan J. Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Wien. -1871. - 63, N 1. - P. 63-73.

77. Stern M., Bedford A. Wave propagation in elastic laminates usig a multicontinuum theory // Acta mech. -1972. -15, N1.-P. 2138.

78. Sutherland H. J. On the separation of geometric and viscoelastic dispersion in composite materials // Int. J. Solids and Struct. -1975.- 11,N3.-P. 233-246.

79. Sutherland H. J., Calvit H. H. A dynamic investigation of fiberienforced viscoelastic materials. Experimental and theoretical analysis of pulse propagation in glass- and nylon -reinforced Urethane filaments // Exp. Mech. 1974. -N 8. - P. 304-310.

80. Tiersten T. R., Jahanmir M. A. A theory of composites modeled as interpenetrating solid continua // Arch. Ration. Mech. and Anal.-1977.-54, N2.-P. 153-163.

81. Tolstoy I., Usdin E. Wave propagation in elastic plates: low and high mode dispersion // J. Acoust. Soc. Amer. 1957. Vol. 29, N 1. P. 37-42.

82. Truesdell C. Sulle basi della termomecanica // Rediconti della Academia Nazionale dei Lincei. Classe di science fisiche matematiche e naturali. 1957. Serie VIII, 22, Gennao о Febbr. -S. 33-38; 158-166.

83. Vardoulakis I. G., Georgiadis H.G. SH Surface waves in a homogenius Gradient -Elastic Half-Space with Surface Energy. // J.Elasticity. 1997. V. 47., P. 147-165.

84. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. -328 с.

85. Рыжаков А. И. Упругие волны в твердых смесях и диагностика структурированных материалов. // Восьмая нижегородская сессия молодых ученых. (Технические науки ): Тезисы докладов.-Н. Новгород: Изд. Гладкова О. В., 2002. -166 е., с.22

86. Рыжаков А. И. Волны деформации в двухкомпонентных твердых смесях. // Всероссийская научная конференция по волновой динамике машин и конструкций, посвященная памяти профессора А. И. Весницкого. Тезисы докладов. Нижний Новгород, 2004. 122 с. с. 103.