Волны в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией

Шешенина, Ольга Александровна

Волны в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Шешенина, Ольга Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Волны в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией»

Автореферат диссертации на тему "Волны в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией"

На правах рукописи

ШЕШЕНИНА Ольга Александровна

ВОЛНЫ В ГРАДИЕНТНО-УПРУГОЙ СРЕДЕ С ПОВЕРХНОСТНОЙ ЭНЕРГИЕЙ

Специальность: 01.02.04 механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математический наук

Нижний Новгород, 2004 г.

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете и Нижегородском филиале института машиноведения Российской Академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Ерофеев Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Новиков Валерий Вячеславович

кандидат технических наук Мишакин Василий Васильевич

Ведущая организация: Саратовский государственный

университет

Защита состоится « » 2004 г. в /3 час.

на заседании диссертационного совета Д212.166.09 при Нижегородском государственном университете им.Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Нижний Новгород, ГСП-1000, пр.-т Гагарина, 23, корп. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ННГУ.

Автореферат разослан « 2. О »_¡^ССС^Л'_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

ЗШ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Идеализированная модель классической теории упругости не учитывает зернистость материалов. Расхождения между экспериментом и теорией наблюдается, например, при исследовании волн с большими частотами (или с малыми длинами волн).

В рамках классической теории упругости невозможно объяснить, например, дисперсию упругих волн, существование антиплоских поверхностных волн, несмотря на их экспериментальное доказательство.

Теории упругости, учитывающие микроструктуру, являются обобщением классической теории и наделяют каждую точку континуума такими свойствами твердого тела, как вращение и деформация. Это приводит к тому, что взаимодействие двух частей тела, соприкасающихся по бесконечно малому элементу поверхности, характеризуется не только силовым вектором, но и действием двойных сил. Попытки учесть процессы, происходящие внутри частиц среды, взаимодействие с соседними частицами тела приводят к сближению данных теорий с физикой твердого тела, оставаясь все же в рамках теории сплошной среды.

Наиболее общая и полная линейная теория упругости, учитывающая микроструктуру появилась в 60-тых годах в работе Р.Д. Миндлина, где частица могла линейно деформироваться. Недостаток этой теории, большое количество упругих констант.

Теория градиентной упругости с поверхностной энергией, предложенная Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом, основывается на линейной теории упругости Р.Д. Миндлина. Выбранный ими вид функции потенциальной энергии содержит, кроме классических компонент, дополнительные слагаемые: градиент деформации и поверхностную энергию. Теория Я. Вардолакиса и X. Георгиадиса уже дает результаты, согласующиеся с реально наблюдаемыми явлениями, и представляет интерес для изучения.

В механике сплошной среды большую роль играет использование волновых представлений для описания и исследования напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств твердых тел.

РОС. И ,'! "НДЛЬНАЯ Б'г, - теКА ■ •• -Ьфг

Цель работы состоит в изучении дисперсионных зависимостей и нелинейных эффектов, появляющихся при распространении различных типов волн в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией.

Научная новизна. В диссертации получила развитие теория градиентной упругости с поверхностной энергией. Получено уравнение движения. Исследованы монохроматические продольные и сдвиговые волны, поверхностные волны Релея, БН - поверхностные волны и БН - волны в слое.

Изучены нелинейные эффекты, которые возникают при распространении продольных, сдвиговых и 8Н-поверхностных волн в исследуемой модели среды.

Показано, что градиентно-упругая модель среды с поверхностной энергией дает результаты, согласующиеся с экспериментальными данными, но не описывающиеся как классической теорией упругости, так и существующими теориями, учитывающими микроструктуру.

Практическая ценность. Построение математической модели для сред, обладающих зернистым строением, необходимо при исследовании реакции материалов на внешние воздействия, характерный размер которых соизмерим с размером зерна.

Полученные результаты могут найти применение в неразрушающем контроле при исследовании высокочастотными волнами строительных материалов и конструкций на наличие дефектов, а также их формы, объема и ориентации; акустоэлектронике, при изучении высокочастотных волн в твердых телах.

Достоверность. Достоверность результатов диссертации определяется тем, что в низкочастотном приближении наблюдается соответствие дисперсионных зависимостей волн, распространяющихся в исследуемой модели среды и в классической теории упругости. Также наблюдается хорошее соответствие с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся следующие основные положения работы:

- Математическая модель градиентно-упругой среды с поверхностной энергией (уравнения в перемещениях).

- Описание и исследование продольных и сдвиговых упругих волн и им соответствующих затухающих возмущений в неограниченном градиентно-упругом пространстве.

- Результаты исследования релеевских, БН- поверхностных волн и антиплоских волн в слое из градиентно-упругого материала. Определение области существования БН- поверхностных волн.

- Результаты исследования влияния геометрической нелинейности на монохроматические волны и БН- поверхностные волны, распространяющиеся в градиентно-упругой среде.

Основные результаты диссертации были получены при выполнении работы по:

- Комплексной программе Российской Академии наук, раздел II «Машиностроение» по теме: «Разработка методов диагностики напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств материалов и элементов конструкций, основанных на применении эффектов нелинейной акустики» (2001-2003г г, научн. рук., проф. Ерофеев В.И.);

- Плану основных заданий Нф ИМАШ РАН 2004-2005г.г. по теме: «Волны деформации в структурно-неоднородных материалах и элементах конструкций» (научн рук., проф. Ерофеев В.И., проф. Потапов А.И.);

- Грантам РФФИ: «Нелинейные акустические волны в твердых телах с дислокациями» (2000-2002г.г., №00-02-17337, рук. проф. Ерофеев В.И.); «Нелинейные акустические волны в неоднородных, поврежденных и структурированных средах. Теория. Эксперимент. Приложения.» (2003-2005г.г., №03-02-16924, рук. проф. Ерофеев В.И.).

- Федеральной целевой программе «Интеграция»: «Экспериментальное исследование и математическое моделирование деформации и разрушения новых материалов и прогнозирование ресурса конструкций» (рук. проф. Баженов В.Г.).

Работа была поддержана стипендией Ученого Совета ННГУ в 2002-2003уч.г..

на международном симпозиуме «Актуальные проблемы нелинейной волновой физике». (Москва-Н.Новгород, ИПФ РАН, 2003); на X Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, МАИ, 2004).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 работах. Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 103 стр, диссертация содержит 29 рисунков. Список литературы состоит из 76 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается общая характеристика работы, формулируются цели, отмечается их актуальность.

В Первой главе описаны основные направления развития континуальных теорий упругости, учитывающих микроструктуру; дается описание двойных сил и показывается необходимость их введения в механику сплошных сред; изложена линейная теория упругости Миндлина.

В п.1.1 приведена краткая история развития теорий упругости, учитывающих микроструктуру; представлен обзор литературы по данному направлению. Отмечены две основные работы Р.Д. Миндлина и А.К. Эрингена, указано на их сходство и отличие.

В классической теории упругости предполагается линейный характер перемещений в окрестности точки. Взаимодействие двух частей тела в этом случае передается через усилия. Если учитывать квадратичные слагаемые в разложении в ряд Тейлора перемещения в окрестности некоторой точки, то при описании взаимодействия двух частей тела одних усилий будет недостаточно. Можно предположить, что наряду с обычными силами, нужно учитывать двойные силы. В п.1.2 дается определение двойных сил и им соответствующих двойных напряжений, показаны все возможные направления действия двойных сил.

Показано также, что при соответствующих расположениях источника двойной силы и электрического диполя, поле напряжений и электрическое поле затухают одинаково на больших расстояниях от источников напряжений. Диполь в электродинамике порождает

электрическую двойную силу. Заметим, что диполи в электродинамике используются широко. Поэтому введение двойных сил в механику сплошной среды является естественным обобщением классической теории.

Структурно-феменологическая модель среды Миндлина представлена в п.1.3. В данной теории вводится понятие единичной ячейки (микросреды), которая может быть интерпретирована как периодическая структура кристаллической решётки, молекула полимера, кристалл поликристалла или зерно зернистого материала.

Перемещение материальной точки характеризуется вектором U. Предполагается, что в каждую материальную точку вложен микрообъем (микросреда), отнесенный к локальным координатам, которые движутся поступательно вместе с перемещениями U.

Макроперемещения, как и в классической теории упругости, определяются через макрокоординаты х, и время t. Микроперемещения линейно зависят еще и от микрокоординаты и характеризуются тензором микродисторсии. Предполагается, что микродисторсия однородна в микросреде и изменяется при переходе от одного элемента к другому. В макроконтинууме появляется отклик от деформации структурного элемента.

Поскольку деформации макрообъема и составляющих его структурных элементов различны, то вводится тензор относительной дисторсии (разность между градиентом макроперемещений и микродисторсией), который характеризует степень этого различия. Также вводится градиент микродисторсии (макроградиент микродисторсии), который показывает степень изменения микродисторсии при переходе от одного элемента к другому.

В данном пункте дана геометрическая интерпретация микродисторсии, относительной дисторсии, градиента микродисторсии, появляющихся под влиянием напряжений и двойных напряжений.

Приведен вывод уравнений движений и граничных условий в напряжениях.

Отмечено, что полученные уравнения содержат в себе уравнения континуума Коссера, линейный вариант теории моментных напряжений и линейную форму обобщения теории моментных напряжений, сделанного P.A. Тупиным. Последние два случая ограничиваются малыми частотами.

Функция плотности потенциальной энергии для анизотропного тела будет содержать 903 независимые константы. Для изотропной

микрооднородной среды-13. Большое количество упругих констант затрудняют ее исследование.

Во Второй главе описана градиентно-упругая среда с поверхностной энергией и показано ее отношение к среде Миндлина; получены уравнения движения и граничные условия; исследованы монохроматические продольные и сдвиговые волновые движения.

В п.2.1 представлены основные положения градиентной теории упругости с поверхностной энергией, предложенной Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом. Она основывается на линейной теории упругости с микроструктурой Миндлина. Теория Я. Вардолакиса и X. Георгиадиса использует основную структуру теории Миндлина.

Рассматривается однородное пространство с микроструктурой. Положение каждого структурного элемента в этой среде определяет радиус-вектор в декартовой системе координат 0Х\Х2ХПолагаем, что микросреда сливается с макросредой, микросреда занимает куб с ребром длиной 2И.

В данной теории предполагается следующий постулат для функции плотности энергии деформации;

ЦГ = \ Хечяегг + + цс(дт£^ \дт£гч)+ /лЬтдт (едгег1/)

где Я и - стандартные постоянные Ламе, с, Ъ — модули упругости градиентной среды, Ьт=ЬЭт, 9т9т = 1, дт означает дифференцирование по координате хт, Е^ =(д ,11 ч+д ди г) -

компоненты тензора деформации, Vг - компоненты вектора перемещений и, индексы д,г,т пробегают значения от 1 до 3.

Первое и второе слагаемые заимствованы из классической теории упругости. Третье слагаемое, содержащее градиент деформации учитывалось еще Леру в начале 20-го века. Последний член в силу теоремы Гаусса-Остроградского может быть записан в форме интеграла по поверхности, поэтому получил название поверхностной энергии.

Предполагается также, что коэффициент с зависит от размеров

структурных элементов и равен с —{к! 4)2. Положительная определенность плотности потенциальной энергии накладывает ограничения постоянные среды:

ЗА + 2я>0, м> 0, с> О, -\<Ысх'2<\.

Приведены уравнения движения и граничные условия в напряжениях, полученные Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом. Автором диссертации было получено уравнение движения в перемещениях:

рй = /Д и + (Я + 2^)ди + (Л + р- ¿*сД)г<ЛгоШ - 2и,

где р - плотность микроматериала, / = р/г2 / 3- момент инерции микроэлемента.

В п.2.2 рассматриваются плоские продольные и сдвиговые волновые движения.

Для нахождения дисперсионных зависимостей, решение уравнения движения в перемещениях ищется в виде бегущей гармонической волны

иг=АеКк^Х1-а)+сг., г=1,2, где II 1(2)" означает компоненту продольного (поперечного) движения, (О - частоту, ^/>(5)- волновое число продольного (поперечного) движения.

Оказалось, что решение полученных дисперсионных уравнений существует не только для действительных, но и для мнимых волновых чисел. Последний случай соответствует движениям, периодичным во времени и затухающим вдоль оси х,:

II, = Ае-Кр^-ш+с.с.. г=1,2, кР(5) = ¿КР(8).

Действительный корень дисперсионного уравнения соответствует распространяющейся моде, переносящей энергию.

Нераспространяющейся моде соответствует мнимый корень. Будем называть ее затухающим возмущением.

Вводятся нормированные переменные:

"V - °> /г ' <-</ - ,

^ г

где ст- скорость сдвиговой волны в классической теории упругости.

В нормированных переменных были построены зависимости частоты от волнового числа и фазовой скорости от частоты для рассматриваемых типов движений.

Как продольные, так и сдвиговые волны обладают дисперсией. У распространяющихся мод при малых значениях волнового числа, когда размер микроэлемента не оказывает влияния на волновой процесс, дисперсия отсутствует. В этом случае фазовая скорость совпадает со скоростями продольной и сдвиговой волн в классической теории упругости. При со —> оо дисперсия также отсутствует.

Для затухающих возмущений КР^ означают интенсивность

затухания, которая уменьшается с ростом частоты. Модули нормированных волновых чисел для затухающих продольных и сдвиговых возмущений находятся в интервалах соответственно

^<ка<1, 5 = Л/(Я + 2^)1 ц

и стремятся к нижней границе при СО —»со.

Дисперсионное уравнение для продольной волны в нормированных величинах зависит лишь от коэффициента Пуассона V, необходимого для разрешения этого уравнения. Характер дисперсионной кривой при разных значениях V не изменяется, однако при его увеличении возрастает отношение фазовых скоростей продольной и поперечной волн. Дисперсионное уравнение для сдвиговой волны в нормированных переменных не содержит параметров.

Заметим, что в уравнении движения в перемещениях нет слагаемых с параметром Ь. Скорости продольных и сдвиговых волн также не зависят от данного параметра, т.е. дополнительное слагаемое в выражении плотности потенциальной энергии, отвечающее за поверхностную энергию, не влияет на распространение объемных волн в исследуемой модели среды.

Имеется ряд работ, посвященных экспериментальному изучению дисперсии продольных упругих волн в конструкционных материалах. В п.2.3 представлены дисперсионные зависимости продольных волн, полученных экспериментально. Исследования показывают, что для некоторых материалов в высокочастотном диапазоне наблюдается уменьшение фазовой скорости продольной волны, оставаясь далее практически постоянной.

Классическая теория упругости не позволяет описать дисперсию продольной волны и утверждает, что ее фазовая скорость постоянна во всем частотном диапазоне. Заметим, что модель среды Коссера вообще не описывает дисперсию продольной волны, а модель среды Леру, описывая дисперсию, приводит к отсутствию асимптотического значения фазовой скорости при со —>сс.

Таким образом, преимущество рассматриваемой модели градиентно-упругой среды по сравнению с классической теорией упругости, моделями Коссера и Леру, заключается в том, что она позволяет описать дисперсию продольной упругой волны и правильно указывает высокочастотную асимптотику.

В Третьей главе исследуются волны, которые распространяются в полупространстве и слое вдоль поверхностей, ограничивающих эти среды. Поверхностную энергию здесь характеризует параметр Ь2

{Ь\ =¿3 =0) и его нормированный аналог Ь^ =Ь2^1с.

В п.3.1 рассматривается поверхностная волна Релея. Вектор перемещения будет иметь две отличные от нуля компоненты 11 = (х|, Х2 ), £/2 , х2 ),0). Предполагается, что плоскость х2 = 0 свободна от напряжений. Для исследования поверхностной волны используется представление решения в виде гармонических волн с амплитудой, экспоненциально убывающей вглубь полупространства.

Получено дисперсионное уравнение, зависящее от коэффициента Пуассона и параметра, характеризующего поверхностную энергию. Дисперсионные кривые были построены для сред с различными сочетаниями значений V и Ь(1. Оказалось, что дисперсионные зависимости для сред с фиксированным отношением V и различных значениях Ъд близки друг к другу настолько, что их графики сливаются. Поэтому можно предположить, что введение дополнительного слагаемого в выражение плотности потенциальной энергии, отвечающего за поверхностную энергию, незначительно влияет на характер распространения поверхностной волны Релея.

По дисперсионным кривым можно сделать вывод, что скорость волны Релея зависит от частоты, т.е. имеет место дисперсия. Если разложить дисперсионное уравнение в ряд Тейлора в окрестности (0 = 0, то можно показать, что значение фазовой скорости С* совпадает со значением фазовой скорости поверхностной волны

Релея в классической теории упругости. Аналогичным способом найдено асимптотическое значение фазовой скорости, которое оказалось одним и тем же для материалов с любыми параметрами V и Ьл.

В п.3.2 рассматриваются антиплоские сдвиговые (т.е. горизонтально поляризованные или БН) поверхностные движения. Впервые этот тип волн в исследуемой модели среды рассматривался Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом. Предполагается, что вектор перемещения имеет вид и = (ОДС/3(д^,

Дисперсионное уравнение для 8Н- поверхностных волн было получено ранее Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом. Оно содержит параметр и имеет решение не при любых частотах. Начало диапазона действительных (й определяет частоту среза.

Автору диссертации удалось найти явную зависимость волнового числа от частоты и условие, из которого определяется частота среза.

Были построены дисперсионные зависимости нормированной частоты от нормированного волнового числа и нормированной фазовой скорости от нормированной частоты соответственно при разных значениях параметра отвечающего за поверхностную

энергию. Показано, что БН - поверхностные волны в полупространстве однородного материала обладают дисперсией.

Показано, что чем больше величина параметра, характеризующего поверхностную энергию Ьтем шире частотный диапазон, в котором эти волны могут существовать.

При (О оо фазовая скорость стремится к асимптотическому значению фазовой скорости плоской сдвиговой волны.

Для данной задачи дополнительное слагаемое в выражении плотности потенциальной энергии позволяет теоретически доказать существование БН- поверхностных волн в случае однородной среды, занимающей полупространство. Экспериментально эти волны наблюдаются, например, в кристаллоакустике, однако в рамках классической теории упругости они не могут быть описаны. Рассматриваемый случай - подтверждение влияния слагаемого в выражении плотности потенциальной энергии, отвечающего за поверхностную энергию.

БН - волны в слое рассматриваются в п.3.3. Слой ограничен плоскостями х2 = 0 и = с/. Задача двумерная, перемещение частиц среды происходит в направлении параллельном оси х3 и зависит только от (Х\ ,х2). Данная задача отличается от предыдущей наличием дополнительной граничащей поверхности. Вид вектора перемещения и уравнение движения заимствуется из предыдущего пункта.

Найдено дисперсионное уравнение. Оказалось, что оно, как и в случае монохроматических движений, имеет решение, как для действительных, так и для мнимых волновых чисел.

Для каждого значения частоты дисперсионное уравнение обладает конечным числом вещественных корней и конечным числом мнимых корней.

Приведен переход от дисперсионного уравнения к его сокращенному варианту в области действительных волновых чисел. Однако практические вычисления показывают, сокращенной дисперсионной зависимостью можно пользоваться и в области мнимых к^.

Дисперсионное соотношение в нормированных переменных зависит от толщины слоя и параметра Ъд. Были построены и исследованы зависимости нормированной частоты от нормированного волнового числа для разных сочетаний толщин слоя и параметра, отвечающего за поверхностную энергию. Найдены точки ветвления. Нулевая мода по своим дисперсионным свойствам идентична сдвиговой волне в неограниченной градиентно-упругой среде. Аналогичная ситуация наблюдается и в классической теории упругости, но там эта мода не обладает дисперсией.

Асимптотическое значение фазовой скорости БН - волны в слое совпадает с асимптотическим значением фазовой скорости БН -поверхностной волны.

В п.3.4 подводятся итоги по третьей главе.

При нулевой частоте для продольных, сдвиговых волн, БН -волн в слое и поверхностных волн значения фазовых скоростей совпадают с соответствующими значениями фазовых скоростей, вычисленными в рамках классической теории упругости. Как и в классической теории упругости, совпадают между собой дисперсионные кривые нулевой моды антиплоской (БН) волны в

слое и объемной сдвиговой волны. Дисперсионные уравнения для всех рассматриваемых типов волн записаны через нормированные частоту и волновое число. Полученные дисперсионные зависимости дополнительно могут включать лишь параметры V и Ьс). Благодаря дополнительному слагаемому в выражении плотности потенциальной энергии, с которым связан параметр Ь(1, доказывается существование антиплоских поверхностных волн. На дисперсионные же зависимости других типов волн это слагаемое оказывает слабое влияние. Хотя коэффициент Пуасонна вносит некоторые количественные изменения в дисперсионные кривые, их характер остается неизменным.

РИС 1

Приведем асимптотические значения фазовых скоростей для всех рассматриваемых типов волн, выраженные через скорость объемной сдвиговой волны, известную из классической теории упругости (в скобках приведены значения, соответствующие «

классической теории упругости):

Продольная волна 0.61сг (с,)

Сдвиговая волна 0.43сг (ст)

Поверхностная волна Релея 0.32 сг (С*)

Сдвиговая антиплоская поверхностная волна 0.43сг (не существует)

Сдвиговая антиплоская волна в слое 0.43сг (СТ)

На рис.1 даны зависимости нормированной фазовой скорости от нормированной частоты для продольной (кривая 1), сдвиговой (кривая 2), релеевской волны (кривая 3), 8Н- поверхностной волны (кривая 4) и их асимптоты (штриховые прямые) при Ъа = 0.5, V = 0.25.

Четвертая глава направлена на исследование влияния геометрической нелинейности на продольную, сдвиговую и поверхностную 8Н- волны.

В п.4.1 дается определение геометрической нелинейности, приведены нелинейные соотношения для симмефичных напряжений и двойных напряжений, появляющихся в градиентно-упругой среде с поверхнолстной энергией.

Нелинейные уравнения, описывающие продольные и сдвиговые движения, получены в п.4.2 и в п.4.3 соответственно. Поверхностную энергию здесь характеризует параметр Ь-,. Его нормированная

величина равна = 6, л/с.

Дисперсия и нелинейность уравнения приводят к образованию волновых движений, распространяющихся с постоянной скоростью и не меняющих своего профиля. Решения ищутся в классе стационарных волн деформации.

Показано, что стационарные продольные возмущения удовлетворяют уравнению, которое описывает колебания ангармонического осциллятора с квадратичной нелинейностью.

Если параметр, характеризующий поверхностную энергию, равен нулю, то при продольной деформации со стационарной

скоростью, которая находится в интервале может

распространяется аномальный солитон; кноидальные волны двигаются

со стационарной скоростью V е (-%/3/8сх,с1); для классического

солитона выполняется V > С].

Показано также, что стационарные сдвиговые волны деформации при Ь^ — 0 можно описать уравнением Дуффинга, и

^ V

они могут распространяться со скоростью -сх < V <СТ.

искажений. Для уединенных волн представлены зависимости амплитуды от ширины и ширины от скорости (солитонов) и размера зерна. Проведен анализ построенных графиков.

Построение фазовых портретов возможно и тогда, когда параметр, отвечающий за поверхностную энергию, не равен нулю. Наличие Ьс! приводит к разрушению стационарных движений. В случае Ь^ ^ 0 стационарных продольных и сдвиговых волн нет.

Завершает исследование градиентно-упругой среды с поверхностной энергией анализ антиплоской сдвиговой поверхностной волны с учетом геометрической нелинейности (п.4.4). По аналогии с линейной задачей, полагаем Ь = Ь2,Ь\ = Ь^ =0.

Показано, что в нелинейном приближении в определенном диапазоне частот достаточно учитывать наибольшую из двух составляющих решения линейной задачи. Решение ищется в виде одной гармоники с медленно меняющейся комплексной амплитудой. Показано, что эволюцию комплексной амплитуды квазигармонической волны описывает нелинейное параболическое уравнение Шредингера.

Из теории нелинейных волн известно, что при определенных условиях квазигармоническая волна оказывается неустойчивой по отношению к разбиению на отдельные волновые пакеты (модуляционная неустойчивость). Показано, что согласно критерию Лайтхилла, при разных значениях параметра, характеризующего поверхностную энергию будет один, два или три интервала частот, при которых возникает модуляционная неустойчивость.

Найдены выражения, описывающие амплитуду волн огибающих и ссоответствующую БН - поверхностную волну, промодулированную по периодическому закону.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Получены уравнения в перемещениях, описывающие динамику градиентно-упругой среды с поверхностной энергией.

2. Выявлено, что продольные и сдвиговые волны, распространяющиеся в изотропной градиентно-упругой среде, а также волны Релея, распространяющиеся вдоль границы изотропного градиентно-упругого полупространства, обладают дисперсией. Фазовые скорости этих волн уменьшаются с ростом частоты. Такой эффект имеет многочисленные экспериментальные подтверждения, но не описываются классической теорией упругости.

3. Показано, что БН- поверхностные волны (т.е. неплоские сдвиговые волновые движения, амплитуда которых экспоненциально уменьшается с ростом расстояния от свободной поверхности) могут существовать в однородном полупространстве, если задача анализируется в рамках теории градиентной упругости, обобщенной на случай учета поверхностной энергии. Существование таких волн, неоднократно наблюдавшихся экспериментально, не может быть предсказано классической теорией упругости. В линейном приближении проанализированы дисперсионные свойства поверхностных сдвиговых волн, определен частотный диапазон их существования. В нелинейном приближении исследована модуляционная неустойчивость таких волн, приводящая к их самомодуляции и образованию стационарных волн огибающих.

4. Выявлено, что антиплоские сдвиговые волны в градиентно-упругом слое существуют и обладают дисперсией. В отличии от классической теории упругости, они имеют точки ветвления, не разделяются на симметричные и антисимметричные моды и для каждого значения частоты существует конечное число нераспространяющихся мод.

5. Показано, что в нелинейной градиентно-упругой среде могут распространяться стационарные волны деформации - солитоны и их периодические аналоги. Проанализировано влияние размера зерна в материале и параметра, характеризующего поверхностную энергию, на величину амплитуды, скорости и ширины солитона деформации.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Георгиадис X., Ерофеев В.И., Шешенина O.A. Поверхностные сдвиговые волны в однородном градиентно-упругом полупространстве с поверхностной энергией. // Тез. док. международной науч.-тех. конференции «Испытания материалов и конструкций». Н. Новгород. 2000. с. 33.

2. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н., Шешенина O.A. . Поверхностно-сдвиговые волны в структурированных материалах. // Тез. док. Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2001. с. 163.

3. Ерофеев В.И., Шарабанова A.B., Шешенина O.A. Упругие волны в структурированных и поврежденных материалах// Современные технологии в кораблестроительном образовании, науке и производстве/ Всеросс. н.-т. конференции. Н.Новгород: изд.-во НГТУ. 2002. с. 293-294.

4. Ерофеев В.И., Шешенина O.A. Волны в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией// Математическое моделирование систем и процессов. Пермь. ПГТУ. 2002. №10. с. 32-41.

5. Ерофеев В.И., Шешенина O.A. Волны Релея на границе градиентно-упругого пространства с поверхностной энергией. // Испытания материалов и конструкций. / Сборник научных трудов. Н. Новгород. Изд-во «Интелсервис». 2002. Вып. 3. с.42-45.

6. Ерофеев В.И., Шешенина O.A. Распространение поверхностных волн Релея в среде Коссера. // Моделирование динамических систем / Сборник научных трудов. Н Новгород Изд-во «Интелсервис».2002. с.22-25.

7. Ерофеев В.И., Шешенина O.A., Георгиадис X. Поверхностные сдвиговые волны в однородном градиентно-упругом полупространстве с поверхностной энергией. // Вестник ННГУ. Серия «Механика». 2002. Вып. 4. с. 58-71.

8. Ерофеев В.И., Шешенина O.A., Георгеадис X. Поверхностные сдвиговые волны в структурированных материалах. // Труды нижегородской акустической научной сессии. Н. Новгород; ТАЛАМ, 2002. с. 152-154.

9. Erofeyev V.I., Sheshenina O.A. Surface shear waves in homogeneous gradient-elastic half space with surface energy // Abstr. 30 RAS-GAMM Summer School "Advanced Problems in Mechanics". June 27 - July 6, 2002. St. Petersburg (Repino). P. 41.

10. Erofeyev V.I., Sheshenina O.A. Surface shear waves in homogeneous gradient-elastic half space with surface energy // Nonlinear Acoustics at the Beginning of the 21s1 Century. Edited by O.V. Rudenko and O.A. Sapozhnikov. Fakulty of Physics, MSU, Moscow, 2002. V.2. P. 641-644.

П.Ерофеев В.И., Шешенина O.A. Сдвиговые горизонтальные волны в слое градиентно упругого материала с поверхностной энергией // Проблемы прочности и пластичности. Межвуз.сб / Н.Новгород. Изд-во ННГУ. 2003. Вып. 65. с. 31-37.

12.Шешенина О.А. Нелинейные плоские продольные стационарные волны в градиентно-упругой среде// Прикл. мех. и технологии машиностроения / Сборник научных трудов. Н. Новгород. Изд-во «Интелсервис». 2003. Вып. 2(6). с. 144-151.

РНБ Русский фонд

2006-4 9818

7 i ¡i , ,

í J Í i''

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шешенина, Ольга Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРИИ УПРУГИХ СРЕД С МИКРОСТРУКТУРОЙ (ОБЗОР)

1.1. Основные работы по теориям упругости, учитывающим дополнительные независимые степени свободы частиц

1.2. Двойные силы, тензор двойных напряжений

1.3. Линейная теория упругости с микроструктурой Миндлина

ГЛАВА 2. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ГРАДИЕНТНО

УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ С ПОВЕРХНОСТНОЙ ЭНЕРГИЕЙ

2.1. Математическая модель градиентно-упругой среды с поверхностной энергией. Уравнения движения и граничные условия.

2.2. Монохроматические волновые движения в безграничной среде.

2.3. Экспериментальные исследования продольных волн.

ГЛАВА 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ ГРАНИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

3.1. Поверхностная волна Релея.

3.2. Поверхностная SH-волна.

3.3. Антиплоская волна в слое.

3.4 Сравнение фазовых скоростей различных типов волн

ГЛАВА 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН

4.1. Влияние геометрической нелинейности.

4.2. Продольные стационарные волны.

4.3. Сдвиговые стационарные волны.

4.4 Самомодуляция квазигармонической SH - поверхностной волны.

Введение диссертация по механике, на тему "Волны в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией"

Актуальность. Классическая теория упругости дает удовлетворительные решения довольно широкого класса задач. Результаты этой теории обычно хорошо соответствуют экспериментам при напряжениях, меньших предела упругости материала. Значительное различие между теорией и экспериментом возникают в тех случаях, когда существенными являются градиенты напряжений, например при концентрации напряжений вокруг отверстий и выточек.

Идеализированная модель классической теории не учитывает реальную зернистость материалов. Расхождения между экспериментом и теорией наблюдается при получении реакции тела на воздействие, характерный размер которого имеет порядок размера зерна. Примером внешнего физического воздействия могут служить волны с большими частотами (или с малыми длинами волн), примером сред- кристаллы, поликристаллические металлы, высокие полимеры.

В настоящее время интенсивно развиваются модели упругих сред с микроструктурой, которые являются естественными обобщениями классической теории упругости [7,29,41,51,55,61,75]. Элементами микроструктуры служат частицы зернистого материала. Попытки учесть процессы, происходящие внутри частиц среды, взаимодействие с соседними частицами тела приводят к сближению механики сплошных сред с физикой.

В физике твердого тела, главным образом в материаловедении, получила признание концепция структурных уровней деформации [7,55]. Согласно этой концепции каждая точка твердого тела представляет собой сложную систему взаимодействующих структур более низкого структурного уровня.

Теории континуумов с микроструктурой по своим гипотезам занимают промежуточное положение между классической теорией упругости и физикой твердого тела, стоящей на позиции существования структурных уровней. Материальная точка в континууме с микроструктурой имеет "разумную" степень сложности, что позволяет описывать и структуру материала (это не доступно для теории упругости), и волны деформации (это не доступно для материаловедения).

Обратим внимание на основную идею теории упругости о постоянстве массовой плотности, которая очевидно нарушается, если принять во внимание прерывистую зернистую и молекулярную природу реальных материалов. Наблюдается зависимость локальных плотностей от выбранного объема усреднения, если он меньше или соизмерим с размером частиц среды. При этом законы движения и исходные аксиомы справедливы для сколь угодно малой части тела.

Сложное взаимодействие частиц в классической механике передается лишь через усилия. Подробный анализ передачи усилий между отдельными зернами в материале является серьезной проблемой. Теории сред с микроструктурой построены на модели тела в виде сплошной среды, имеющей ряд необычных на первый взгляд свойств. Во-первых, структурные элементы такой среды обладают дополнительными степенями свободы. Во-вторых, взаимодействие двух частей тела, соприкасающихся по малому элементу поверхности, характеризуется не только усилиями, как в классической теории упругости, но и двойными силами, антисимметричная часть которых равна моменту.

Наиболее общие и полные теории сред с микроструктурой были представлены в работах Р.Д. Миндлина [63] и А.К. Эрингена [49]. Последний из них получил нелинейные тензоры, характеризующие деформирование макроэлемента, однако дальнейшее рассмотрение, проведенное в его работах, допускает лишь собственные вращения микроэлементов. На данный момент наибольший интерес вызывает линейная теория упругости с микроструктурой Р.Д. Миндлина, в которой микроэлементы могут не только вращаться, но и линейно деформироваться. Существенным недостатком этой теории является то, что уравнения движения содержат большое количество упругих констант, подлежащих экспериментальному определению.

Теория градиентной упругости с поверхностной энергией, предложенная Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом [74], основывается на линейной теории упругости Р.Д. Миндлина. Выбранный ими вид функции потенциальной энергии содержит, кроме классических компонент, дополнительные слагаемые: градиент деформации и поверхностную энергию. Теория Я. Вардолакиса и X. Георгиадиса уже дает результаты, согласующиеся с реально наблюдаемыми явлениями, и представляет интерес для изучения.

Теория, предложенная Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом, как и другие теории, учитывающие микроструктуру и строящиеся на базе классической теории упругости, содержат ее в качестве предельного частного случая.

Данная работа направлена на изучение периодических во времени движений в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией.

В настоящей работе исследуются различные типы волн в градиенто-упругом пространстве, неограниченном и ограниченном поверхностями. В рамках градиентной теории упругости с поверхностной энергией показано существование SH- поверхностной волны, которую в классической теории упругости описать невозможно. Анализируется влияние микроструктуры на волновые процессы, а также исследуется влияние геометрической нелинейности на продольные, сдвиговые и SH- поверхностные волны.

Научная новизна. В диссертации получила развитие теория градиентной упругости с поверхностной энергией. Получено уравнение движения. Исследованы монохроматические продольные и сдвиговые волны, поверхностные волны Релея, SH- поверхностные волны и SH-волны в слое.

Изучены нелинейные эффекты, которые возникают при распространении продольных, сдвиговых и SH-поверхностных волн в исследуемой модели среды.

На защиту выносятся следующие основные положения работы:

- Математическая модель градиентно-упругой среды с поверхностной энергией (уравнения в перемещениях).

- Результаты исследования релеевских, SH- поверхностных волн и антиплоских волн в слое из градиентно-упругого материала. Определение области существования SH- поверхностных волн.

- Результаты исследования влияния геометрической нелинейности на монохроматические волны и SH- поверхностные волны, распространяющиеся в градиентно-упругой среде.

Основные результаты диссертации были получены при выполнении работы по:

- Комплексной программе Российской Академии наук, раздел II «Машиностроение» по теме: «Разработка методов диагностики напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств материалов и элементов конструкций, основанных на применении эффектов нелинейной акустики» (2001-2003г.г., научн. рук., проф. Ерофеев В.И.);

- Плану основных заданий Нф ИМАШ РАН 2004-2005г.г. по теме: «Волны деформации в структурно-неоднородных материалах и элементах конструкций» (научн. рук., проф. Ерофеев В.И., проф. Потапов А.И.);

Работа была поддержана стипендией Ученого Совета ННГУ в 2002-2003уч.г.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации докладывались на Международной научно-технической конференции «Испытания материалов и конструкций» (Н. Новгород, Нф ИМАШ РАН, 2000); на Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001); на XXX Международной научной школе «Актуальные проблемы механики» (С. Петербург, ИПМаш РАН, 2002); на XVI Международном симпозиуме по нелинейной акустике (Москва, МГУ, 2002); на Нижегородской акустической научной сессии (ННГУ, 2002); на Международном симпозиуме «Актуальные проблемы нелинейной волновой физике» (Москва-Н.Новгород, ИПФ РАН, 2003); на X Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, МАИ, 2004).

Публикации. Основные положения диссертации содержатся в работах [4,10-18,38,53,54].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 103 стр, диссертация содержит 29 рисунков. Список литературы состоит из 76 наименований.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты и выводы работы следующие:

3. Показано, что SH- поверхностные волны (т.е. неплоские сдвиговые волновые движения, амплитуда которых экспоненциально уменьшается с ростом расстояния от свободной поверхности) могут существовать в однородном полупространстве, если задача анализируется в рамках теории градиентной упругости, обобщенной на случай учета поверхностной энергии. Существование таких волн, неоднократно наблюдавшихся экспериментально, не может быть предсказано классической теорией упругости. В линейном приближении проанализированы дисперсионные свойства поверхностных сдвиговых волн, определен частотный диапазон их существования. В нелинейном приближении исследована модуляционная неустойчивость таких волн, приводящая к их самомодуляции и образованию стационарных волн огибающих.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе проведено исследование волновых процессов в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Шешенина, Ольга Александровна, Нижний Новгород

1.Л., Кувшинский Е.В., Основные уравнения теории упругости с вращательным взаимодействием частиц // Физика тв. тела, 1960. Т. 2. №7. С. 1399-1409.

2. Бленд Д.Р. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир. 1972.- 183 с.

3. Быков В.Г. Сейсмические волны в пористых насыщенных породах. -Владивосток: Дальнаука, 1999. 108 с.

4. Горьденблатт И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. -М. .-Наука, 1969.-300 с.

5. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук. Думка, 1981.-284 с.

6. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во Московского ун-та, 1999.-328 с.

7. Ерофеев В.И., КажаевВ.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 208 с.

8. Ерофеев В.И., Родюшкин В.М. Наблюдение дисперсии упругих волн в зернистом композите и математическая модель для его описания. // Акуст. журнал. 1992. Т. 38. №6. С. 1116-1117.

9. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н., ШешенинаО.А. . Поверхностно-сдвиговые волны в структурированных материалах. // Тез. док.

10. Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе итехнике». Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2001. с. 163.

11. ЕрофеевВ.И., ШешенинаО.А. Волны в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией// Математическое моделирование систем и процессов. Пермь. ПГТУ. 2002. №10. С. 32-41.

12. ЕрофеевВ.И., ШешенинаО.А. Волны в градиентно-упругой среде споверхностной энергией // ПММ. 2004.(в печати)

13. Ерофеев В.И., ШешенинаО.А. Волны Релея на границе градиентно-упругого пространства с поверхностной энергией. // Испытания материалов и конструкций. Сборник научных трудов. Н. Новгород. Изд-во «Интелсервис». 2002. Вып. 3. С. 42-45.

14. Ерофеев В.И., ШешенинаО.А. Распространение поверхностных волн Релея в среде Коссера. // Моделирование динамических систем./ Сборник научных трудов. Н. Новгород. Изд-во «Интелсервис».2002. С. 22-25.

15. ЕрофеевВ.И., ШешенинаО.А. Сдвиговые горизонтальные волны в слое градиентно упругого материала с поверхностной энергией // ППП: Межвуз.сб./ Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2003. Вып. 65. С. 3137.

16. Ерофеев В.И., ШешенинаО.А., ГеоргиадисХ. Поверхностные сдвиговые волны в однородном градиентно-упругом полупространстве с поверхностной энергией. // Вестник ННГУ. Серия «Механика». 2002. Вып. 4. С. 58-71.

17. Ерофеев В.И., Шешенина О.А., Георгеадис X. Поверхностные сдвиговые волны в структурированных материалах. // Трудынижегородской акустической научной сессии. Н. Новгород: TAJIAM,2002. С. 152-154.

18. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.:Наука, 1966.-519 с.

19. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М.: Изд-во иностр.лит., 1955. - 192 с.

20. Кондратьев А.И. Прецизионные измерения скорости и затухания ультразвука в твердых телах. // Акуст. Журнал. 1990. Т. 36. №3. С. 470-476.

21. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. -V М.: Наука, 1984.-400 с.

22. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория ассиметрической упругости. Учет «внутреннего вращения». // Физика тв. тела, 1963. Т.5 №9. С. 2591-2598.

23. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.:Наука, 1975. 415 с.

24. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7, Теорияупругости. М.:Наука, 1987. - 247 с.

25. Левин В.М., Николаевский В.Н. Осреднение по объему и континуальная теория упругих сред с микроструктурой // Современные проблемы механики и авиации. М.: Машиностроение, 1982. С. 182-193.

26. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.:Наука, 1980.-512 с.

27. Ляв А. Математическая теория упругости, ОНТИ, М.-Л., 1935. -674 с.л 29 Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра,1996.-448 с.30