Нелинейные волны деформации в двухкомпонентных твердых средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи оозо5ве^ /

ТТЕГУШИН Антон Геннадьевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ В ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ ТВЕРДЫХ СРЕДАХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2007

003056654

Работа выполнена в Нижегородском филиале Института машиноведения им. A.A. Благонравова Российской Академии наук и в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Ерофеев Научный консультант: кандидат технических наук

С.Ф. Шешенин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.И. Землянухин доктор физико-математических наук, профессор И.А. Волков

Ведущая организация: Московский государственный

технический университет им. Н.Э. Баумана

Защита состоится « 24 » апреля 2007 г. в 14°° час. на заседании диссертационного совета Д 212.243.10 в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410026, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ. Автореферат разослан 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

к.ф.-м.н., доцент //fitfjf / Ю.В. Шевцова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из важных задач механики деформируемого твердого тела на современном этапе является необходимость совершенствования математических моделей различных сред: структурированных, многокомпонентных, многофазных и других. Это обусловлено широким внедрением композиционных материалов, разработкой и внедрением субмикро- и нанокристаллических материалов, а также техническими и технологическими проблемами сейсмо- и геофизики.

Изучение особенностей распространения упругих волн в средах с внутренними степенями свободы актуально в связи с тем, что волны являются высокоэффективным инструментом исследования напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств твердых тел.

Следует, однако, заметить, что количество волновых эффектов, которые используются сегодня в диагностике материалов и элементов конструкций, крайне мало. Достоверность же прогнозов часто оказывается недостаточной.

Необходимо выявлять линейные и нелинейные эффекты, которые возможны при распространении и взаимодействии волн в твердых телах, изучать особенности их проявления, влияние различных факторов. Изучение волновых эффектов позволит использовать их для разработки новых методов и средств измерения, контроля и диагностики.

Цель работы состоит в изучении дисперсионных зависимостей и нелинейных эффектов, проявляющихся в твердых двухкомпонентных материалах (сдвиговая смесь, пористый материал, среда Био, содержащая полости, заполненные жидкостью).

Научная новизна. В диссертации получила развитие теория упругих сред с микроструктурой.

- Показано, что динамика двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси и динамика твердого пористого материала могут быть описаны системой четырех нелинейных уравнений в частных производных, два из которых являются комплексно-сопряженными уравнениями Шредингера, а два -уравнениями Кортевега-де Вриза.

- Исследовано нелинейное взаимодействие квазигармонических продольных волн, распространяющихся в двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси и в твердой среде с полостями. Показано, что в результате взаимодействия низкочастотной волны (вибрационное поле) и высокочастотной волны (ультразвук) генерируется ультразвуковая волна суммарной частоты. Эта волна может находиться в фазово-групповом синхронизме с вибрационным полем. Расчеты качественно соответствуют данным о наблюдении генерации ультразвука сейсмическими воздействиями.

- Произведен расчет зависимости параметра упругой нелинейности материала от его пористости, позволяющей объяснить наблюдаемые

экспериментально аномально большие значения параметра нелинейности пористых и трещиноватых геологических пород.

- Изучено распространение нелинейных стационарных волн продольной деформации в двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси, твердом пористом материале и среде Био, содержащей полости, заполненные жидкостью. Установлено, что в этих средах могут существовать, как периодические, так и уединенные волны конечной амплитуды (солитоны), распространяющиеся без изменения своей формы. Исследовано влияние пористости на амплитуду, длину периодической волны и ширину солитона.

Практическая значимость. Результаты исследований могут служить теоретическим обоснованием при разработке новых методов неразрушающего контроля материалов и элементов конструкций. В частности, может найти применение рассчитанная зависимость параметра упругой нелинейности материала от его пористости, позволяющая объяснить наблюдаемые экспериментально аномально большие значения параметра нелинейности пористых и трещиноватых геологических пород.

В ряде недавних публикаций (В.Н. Николаевский и др.) замечено, что именно в режиме фазово-группового синхронизма происходит генерация ультразвука низкочастотными сейсмическими воздействиями. Ультразвук, в свою очередь, способствует повышению конечной нефтеотдачи пластов. Генерировать же ультразвук в обычном (линейном) режиме крайне затруднительно, т.к. проблематично создать мощный постоянно действующий его источник и преодолеть частотно зависимое затухание в земных породах. Построение достоверных математических моделей будет способствовать процессу управляемой и оптимальной генерации ультразвука. От наблюдаемого физического явления можно будет перейти к созданию новой технологии полного извлечения остаточной нефти.

Основные результаты диссертации были получены при выполнении работы по:

- Комплексной программе Российской Академии наук, раздел И «Машиностроение» по теме: «Разработка методов диагностики напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств материалов и элементов конструкций, основанных на применении эффектов нелинейной акустики» (2001-2003г.г., научн. рук проф. Ерофеев В.И.);

- Плану основных заданий Нф ИМАШ РАН:

на 2004-2005г.г. по теме: «Волны деформации в структурно-неоднородных материалах и элементах конструкций» (научн. рук. проф. Ерофеев В.И.); на 2006-2008г.г. по теме: «Разработка новых принципов акустической диагностики структурно-неоднородных, композитных, микро- и нанокристаллических материалов и элементов конструкций» (научн. рук. проф. Ерофеев В.И.);

- Грантам РФФИ: «Нелинейные акустические волны в неоднородных, поврежденных и структурированных средах. Теория. Эксперимент. Приложения» (2003-2005г.г., №03-02-16924, рук. проф. Ерофеев В.И.); «Теоретические и экспериментальные исследования распространения нелинейных акустических волн в структурированных и поврежденных элементах конструкций» (2006-2008г.г., № 06-02-17158 рук. проф. Ерофеев В.И.).

- Федеральной целевой программе «Интеграция»: «Экспериментальное исследование и математическое моделирование деформации и разрушения новых материалов и прогнозирование ресурса конструкций» (рук. проф. Баженов В.Г.).

Результаты работы нашли отражение в специальных курсах лекций: «Волновые процессы в механических системах. Теория и приложения» и «Волновые процессы в сплошных средах», читаемых студентам ННГУ и НГТУ.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики сплошных сред, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

1. Система нелинейных эволюционных уравнений, описывающих волновые процессы в двухкомпонентных твердых средах.

2. Результаты исследований нелинейного взаимодействия квазигармонических волн, находящихся в условиях фазово-группового синхронизма.

3. Результаты исследования нелинейных стационарных волн деформации в твердой сдвиговой смеси, твердом пористом материале и в среде Био, содержащей полости, заполненные жидкостью.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на: Международном (ШТАМ) симпозиуме по аналитической и численной механике разрушения неоднородных материалов (г. Кардиф, Великобритания, 2001 г.); 16-м Международном симпозиуме по нелинейной акустике (г. Москва, 2002 г.); 2-й Международной конференции по механике пористых материалов, посвященной памяти М. Био (РоготесЬап1С5-П) (г. Гренобль, Франция); 30-й и 31-й Международных Летних школах-конференциях «Актуальные проблемы механики» (г. Санкт-Петербург, Репино, 2002, 2003, 2005 г.г.); 10-м и 12-м Международных конгрессах по звуку и вибрациям (г. Стокгольм, Швеция, 2003 г., г. Лиссабон, Португалия, 2005 г.); 5-й Европейской конференции по механике деформируемого твердого тела (Е8МС-5) (г. Салоники, Греция, 2003 г.); 5-м Всемирном

конгрессе по ультразвуку (WCU-2003) (г. Париж, Франция, 2003 г.); Международном симпозиуме «Актуальные проблемы нелинейной волновой физики» (г. Нижний Новгород - Москва, 2003 г.); 5-м Международном симпозиуме аспирантов по проблемам гражданского строительства (г. Дельфт, Нидерланды, 2004 г.); 21-м Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (г. Варшава, Польша, 2004 г.); Европейском научном коллоквиуме «Многомасштабное моделирование в механике деформируемого твердого тела» (EUROMECH-468) (г. Санкт-Петербург, Репино, 2005 г.); Международной конференции по управлению и синхронизации в динамических системах (г. Мехико, Мексика, 2005 г.); 5-м Международном симпозиуме «Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред» (г. Горис, Армения, 2005 г.); Европейском научном коллоквиуме «Волновая механика длинных гибких конструкций, взаимодействующих с движущимися нагрузками и потоками» (EUROMECH-484) (г. Дельфт, Нидерланды, 2006 г.); Международной (СНГ) научно-технической конференции «Испытания материалов и конструкций» (г. Нижний Новгород, 2000 г.); Международной (СНГ) школе-конференции «Лобачевские чтения-2002» (г. Казань, 2002 г.); 11-й Сессии Российского акустического общества (г. Москва, 2001 г.); 6-й Нижегородской сессии молодых ученых (секция «Математика и математическое моделирование») (г. Сэров, 2002 г.); Конференции ННГУ «Вычислительная математика и кибернетика» (г. Нижний Новгород, 2000 г.); семинарах кафедры теоретической механики ННГУ и лаборатории волновых процессов в материалах и конструкциях Нф ИМАШ РАН.

Публикации. По материалам диссертации опубликована 21 работа, основными из которых являются научные статьи [1-11].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем составляет 134 стр., включая 22 рисунка, 20 стр. библиографии, содержащей 192 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проведенных исследований, указывается их цель, научная новизна и практическая значимость, кратко излагается содержание диссертации.

В первой главе приводится обзор публикаций, посвященных динамическим процессам в многокомпонентных континуумах (пористые, водонасыщенные материалы, смеси и другие).

Идея применения математических моделей взаимопроникающих континуумов для описания механических процессов имеет полуторавековую историю. Первые работы по теории смеси, включающие в себя балансовые уравнения и соответствующие термодинамические ограничения, принадлежат А. Фику (1855г.) и Дж. Стефану (1871г.).

Работы по смесям газов и жидкостей, содержащие концепцию многих взаимодействующих континуумов, принадлежат Р. Глейзбруку (1885г.), Н.Е. Жуковскому (1899г.), О. Рейнольдсу (1903г.), Д. Гильберту (1907г.).

В 1930-х - 50-х г.г. наиболее выдающимися работами отечественных ученых по многокомпонентным континуумам являются следующие: В.М. Маккавеев, М.А. Великанов (движение наносов, 1931г.); Л.С. Лейбензон (механика жидкости в пористых средах, 1936г.); Л.Д. Ландау (гидродинамика жидкого гелия, 1941г.); ЯМ. Френкель (сейсмические волны в водонасыщенных грунтах, 1944г.); С.Г. Телетов (движение парожидкостных потоков, 1945г.); Н.А. Слезкин (движение пульпы, 1952г.); Г.И. Баренблат (движение взвешенных частиц в турбулизованном потоке, 1953г.); Ф.И. Франк (методы усреднения, 1953г.).

Начало современного этапа развития механики многофазных сред принято отсчитывать от времени появления работ Х.А. Рахматулина (1956г.) и К. Трусделла (1957г.), имевших широкий резонанс.

Обзор современного состояния механики многофазных сред можно найти в монографиях Р.И. Нигматулина (1987 г.), В.Е. Накорякова, Б.Г. Покусаева и И.Р. Шрейбера (1990 г.) Д.А. Губайдуллина (1998 г.).

Близкая идейно к механике многофазных сред, теория водонасыщенных твердых пористых материалов развивалась, в основном, независимо от этих работ, ее основоположниками признаны М. Био (1955-1962г.г.) и X. Дересевич (1960, 1964).

С 1999 г. с периодичностью раз в три года проводятся Международные конференции по механике пористых материалов (РСЖОМЕСНА№С8), посвященные памяти М. Био.

В п. 1.2. диссертации содержится обзор работ, доложенных на конференциях, проходивших во Франции (2002) и в США (2005).

Основные гипотезы теории двухкомпонентных твердых смесей были сформулированы А.Грином и Т.Стилом (1966) . Согласно этим гипотезам смесь представляет собой два взаимопроникающих континуума. Каждая точка области, заполненной смесью, одновременно занята обеими компонентами, между которыми происходит взаимное относительное движение. Деформированное состояние каждого континуума определяется парциальными тензорами деформаций и вращений. Однако при движении смеси происходит не только деформирование отдельных континуумов, но и их взаимное смещение. Кинематически такое смещение может однозначно определяться компонентами вектора относительных перемещений (сдвиговая модель смеси), относительных скоростей (диффузионная модель смеси) или компонентами вектора относительных ускорений (инерционная модель смеси).

Первые работы, касающиеся смесей твердых тел, использовали гипотезы, принятые в теории газожидкостных смесей и в теории флюидонасыщенных твердых тел, т.е. это были работы по диффузионным смесям.

Сдвиговая модель смеси была обоснована Б. Лемпрайером (1969), связавшим математический аппарат смесей с реальными материалами -

слоистыми композитами. Лемпрайер показал, что при движении упругого импульса вдоль слоев композита между слоями возникает силовое взаимодействие, являющееся следствием различия сдвиговых свойств слоев. Сила такого взаимодействия прямо пропорциональна разности средних перемещений в контактирующих слоях.

Дальнейшее развитие эта теория получила в работах А. Бедфорда, М. Стерна, Г. Хегемиера и других исследователей.

Теория сдвиговых смесей была обобщена Т.Ф. Тирстеном и М. Яханмиром (1977, 1978), Я.Я. Рущицким (1992, 1993) на случай учета геометрической и физической нелинейностей.

Инерционная модель смеси была предложена И.Г. Филипповым, в дальнейшем развивалась и использовалась в работах В.И. Ерофеева, В.В. Кажаева и С.Ф. Шешенина (1999,2004).

Модели твердых пористых материалов строились, изначально, по аналогии с моделями жидкостей, содержащих пузырьки газа и их «твердотельная» специфика не всегда учитывалась.

Одномерная задача динамики упругой среды с полостями рассматривалась в работе Д. М. Донского и А. М. Сутина (1984), в работах Л.А. Островского (1988, 1989). Вывод трехмерных моделей пористых сред содержится в работах А.Г. Багдоева и A.B. Шекояна (1999, 2004), Л.Д. Акуленко и C.B. Нестерова (2005).

Во второй главе рассматриваются три математические модели, описывающие динамику твердой сдвиговой смеси, твердого пористого материала и водонасыхценной среды Био с полостями. Для перечисленных моделей приводятся предварительные предположения, сделанные на этапе вывода уравнений, и анализ структуры математических моделей. Для трех моделей получены дисперсионные зависимости и проведен их анализ. При помощи метода связных нормальных волн получены эволюционные уравнения и выявлены области применимости эволюционных уравнений.

В п. 2.1. двухфазный материал определяется как материал, составленный из двух твердых взаимно нерастворимых фаз и содержащий в представительном элементе достаточно много частиц обеих фаз. Между частицами происходит относительное смещение и в случае модели сдвиговой смеси такое смещение однозначно определяется вектором относительных

перемещений U^-V^. В теории двухкомпонентной смеси предполагается,

что внутренняя энергия U зависит от парциальных тензоров деформации Грина и описывается потенциалом Мурнагана.

Уравнения динамики двухкомпонентной сдвиговой смеси во втором приближении запишутся в виде:

аа

а%(а) д2и{д)

--!- _ Ь +А, I - ' -

\ а 'а'

а я„2 ох, к

дх.дх. I I

(Яз+Яз!

з; ех.ас. V ' ' / '

/ I

где через обозначены нелинейные слагаемые. Здесь плотность р ,

г аа

как характеристика а-ой компоненты смеси, не является плотностью а-ой компоненты. Она равна произведению плотности а-ой компоненты р^ на объемную концентрацию ga этой компоненты в смеси, то есть: (а)

Раа Р0 8а'

Проводится анализ дисперсионных зависимостей для линеаризованной системы. Показано, что в двухкомпонентной сдвиговой смеси могут распространяться продольные и сдвиговые упругие волны. Однако эти волны, в отличие от волн в классическом изотропном твердом теле, обладают дисперсией, и каждый из типов волн характеризуется двумя дисперсионными

ветвями. На частоте = +

( \

1 1

-р

, р < 0 и ниже вторая мода

преобразуется в экспоненциально-затухающую. Другими словами, для второй моды смесь является фильтром высоких частот, частота ю^

определяет начало полосы непропускания.

Далее дается обзор методов определения физических постоянных в теории смеси. Существуют два подхода. Первый подход основан на гипотезе Трусделла, его основным признаком можно считать следующее: модель двухкомпонентной смеси используется для описания только двухкомпонентной реальной смеси; обязательно вводится промежуточная модель, в каждом конкретном случае имеющая свои дополнительные ограничения (влияние которых не всегда анализируется). Реальная среда моделируется некоторой идеальной кусочно-однородной двухкомпонентной (слоистой, волокнистой, зернистой) упругой средой, для которой уже тем или иным способом вычисляются физические параметры модели двух взаимодействующих континуумов. Следует обратить внимание, что в таком подходе существует, по крайней мере, два канала проникновения неточностей: вследствие неточности промежуточной модели и неточности способа вычисления приведенных физических параметров модели смеси по промежуточной модели.

Второй подход характерен тем, что моделируемая реальная смесь не предполагается двухкомпонентной. Полагается достаточным предположение,

что в смеси имеется два доминирующих компонента. При таком подходе есть две возможности определения постоянных модели. Первая состоит в определении набора экспериментов, из которых могут быть найдены постоянные модели. Собственно говоря, так всегда поступают в классической теории упругости. Здесь возможно появление дополнительных неточностей за счет неточностей эксперимента. Вторая возможность состоит в построении промежуточной модели, учитывающей более чем двух компонентную структуру смеси и приводящей эту структуру к двухкомпонентному континууму.

В п. 2.2 изучается распространение волны в полубесконечной твердой вязкой среде с полостями с учетом геометрической, физической и полостной нелинейностей. Пусть имеется полубесконечная, изотропная, вязкая (модель Фойхта), среда с полостями, в которой распространяются волны с конечной амплитудой (т.е. нелинейные волны при учете геометрической, физической и полостной нелинейностей). Матрица, т.е. основная среда считается однородной. Предполагается также, что расстояние между полостями намного больше радиуса полостей и гораздо меньше, чем длина волны. При указанных предположениях, распространение квазипродольной нелинейной волны описывают следующие уравнения

32м д2щ1 , ч дгщ

Эг 9х} дх>2дх3

д2и% д (ди. Зн,^ . /, \д2и,

дг дх3{дх, дхг) 5*з

, 3 (ди, диЛ ЗК г, _ ч , Э3и,

+ А--+—2- -ЛГ-(А + 2ц)+Ь—+

дх3 ^йх, дх2) дх3 Эх3Эг

, рд\ диу дх% дхз

V + а20У-^-К-вУ2-рХ2 УУ + Г2)=

С1

V И> р0 (Зх3 / 1 8х2 8х]

Здесь р0 — начальная плотность материала, <и02 = ^ - квадрат резонансной

рА,

частоты колебаний объема поры, а с/ =1^13^) _ квадрат скорости

Ро

продольной волны. Также введены обозначения: С = я =—!_ и

Р = (4ц + ЗХ + 2А + 6В + 2С), где Р - коэффициент, обусловленный геометрической и физической нелинейностями, А, В, С - константы Ландау

третьего порядка, £ = +-т), - коэффициент динамической вязкости, иХ1 -

поперечные, а иъ — продольные компоненты перемещений, х, - координаты, а ( - время. Координаты х, и х5 выбраны в касательной плоскости к невозмущенной волне, а х, направлена вдоль распространения волны. Продольная волна, распространяющаяся в смеси обладает дисперсией, т.е. ее фазовая скорость Уф~со/кФсот1. В частотном диапазоне от ш = 0 до

а = й>0 = ±2

Л сх

Ш (где с* =^/р0)

имеется

одна

С; у у Су

дисперсионная ветвь, а при а> 3 й>0 появляется вторая дисперсионная ветвь.

Определим величину как пористость и изучим влияния пористости

на дисперсию волны. Изменение дисперсионных свойств от пористости качественно представлено на Рис. 1.

Рас. 1, Влияние пористости на дисперсионные свойства продольной волны.

Далее исследовано влияние вязкости на дисперсионные характеристики распространяющейся волны. На рис. 2 показана зависимость фа-юной скорости волны от пористости материала на различных частотах. На более высоких частотах вязкость значительно влияет на скорость волны. Рис. 3 показывает, что пористость вносит тем больший вклад в затухание, чем выше частота распространяющейся волны.

Рис, 3. Изменение затухания от пористости.

II. 2.3 посвящен изучению особенностей распространения волн в пористой водонасыщенной среде. В качестве модели среды выбирается твердый упругий каркас с многочисленными расположенными порами, связанными между собой и заполненными жидкостью, т.н. среда Био. Волновой процесс в такой упруго!юристой насыщенной жидкостью среде описывается системой из двух векторных уравнений, первое из которых описывает движение твердого каркаса, а второе — жидкости. Пусть имеется полу бесконечная среда Био, в которой существуют полости с жидкостью. Предполагается, что расстояние между полостями намного больше радиуса полостей, но гораздо меньше распространяющейся в среде длины волны. Вокруг полостей есть твердый материал каркаса. Учитывается вязкость твердого каркаса по модели Фойхта и взаимное трение между двумя фазами.

Распространение плоской продольной волны в среде Био, содержащей полости, заполненные жидкостью, описывается следующей системой уравнений (вязкостью пренебрегается):

д\ Р п д1г

д\

д\

чзу

.54

аг дх ох ох

Р>2

81

- + Р 22

д(2

дх1

дх2

54-Э;2

+ ю2у-Су2 -4лг2р0'

3 -М- + +ли )

* I дх

= 0

(3)

где у3 и м, - перемещения жидкой и твердой фазы, соответственно, у — объем полости возмущенной волной, р0 - плотность твердой фазы, рп, рп, рп, 2 и Д - коэффициенты, характеризующие жидконасыщенную среду, N - количество полостей, г2 - радиус полостей, со2 = (^2р0) '(3)Ро +4р), р0 - начальное давление в жидкости внутри полости, У - показатель адиабаты жидкости.

Продольная волна, распространяющаяся в среде, обладает дисперсией. В

частотном диапазоне от <о = 0 до а = <о0=±-

1 Зур0+4р

1 + пМХ + 2Ц)г,}

3 /Р„ +4/1

имеется одна дисперсионная ветвь, а при ю > ю0 появляется вторая дисперсионная ветвь.

В п. 2.4 описывается метод связных нормальных волн, позволяющий свести модели смеси и пористого материала к эволюционным уравнениям:

- ~ ^г + "Л = + К У. ГГ2 = (Г,',

81 дх дх

(4)

где IV величина, комплексно-сопряженная с Ж

Эволюционные уравнения одинаковы по виду для обеих моделей. Отличаются они лишь коэффициентами и видом связей начальных переменных с новыми.

Выражения для коэффициентов в случае твердой сдвиговой смеси имеют следующий вид:

а, = —

Р\Р 2

Е = -Р1Р2

2 \-р(р1+рг)

. «2 = -

Р1Р2

/2 /}(р,+р2)с2,

1 I Р,Р2 (с\ р,2 + (с,2 + 4с2 )р, р2 + 4с\р\

2 \|-/3(р,+Р2)1 р,2+5р,р2+4р2

, г, - П^Р.+^Ра)

2 е2(р,+р2) '

Связь новых переменных (IV) с исходными (и'"*) определяются выражениями

дх

а,®

р, + 2р2

Эх |П р,р2 Г2с1а*2

/|—-с: Р,

31

а2 р

С ■ «'!

"" 5 2

А дх2)

(Ц+ТГ4)

В случае твердого пористого материала коэффициенты и связи между исходными переменными и новыми запишутся:

д, = гс/яЛоА^Юо +4яЯ0с,2^/(в)02 сг2 =

с2 = с,ю0 /^/юо + 4лЯ0с/Лг, # = с,3 / 8л)0 т/^2 + 4яй„с/ТУ, 6, = 0,5Р/роЛ/< + АпЯ^Ы

Ь,=

р ^со2 +

2р0

с, ©л

1-р0О

1+-

®0

\3

ю2 + 4яЛ0с;ЛГ

/4тгй„РЛг2к

Связь новых переменных (И^) с исходными (и, у) определяются выражениями

5м

5 ] + (й)2 + У4)

' Зх

Для система (4) представляет собой комплексно-сопряженные

уравнения Шредингера, а для — уравнения Кортевега-де Вриза.

Нелинейность приводит к тому, что все четыре уравнения оказываются связанные между собой.

Анализ системы (4) показал, что в широком частотном диапазоне, эволюционные уравнения достаточно хорошо аппроксимируют дисперсионные зависимости исходных систем. Дисперсионные зависимости, соответствующие исходным системам и системам эволюционных уравнений показаны на рис. 4 и рис. 5.

ГТ I Т1 I

1000 2000 3000 к

Рис. 4. Точные и аппроксимационные дисперсионные зависимости для сдвиговой модели твердой смеси.

Рис. 5. Точные и аппроксимационные дисперсионные зависимости для модели пористого материала.

Переход к эволюционным уравнениям позволил оценить вклад «полостной» нелинейности в общую нелинейность для модели твердого пористого материала. Это можно осуществить, проанализировав изменения коэффициента нелинейности Ь2/с2 от пористости.

При увеличении пористости и выполнении условия А»Ь» Л0

коэффициент нелинейности ведет себя, как Ьг!сг=—+ п{с,!с^)г

2Рос,

т.е. линейно растет с ростом пористости и может достигать нескольких порядков, что согласуется с имеющимися многочисленными экспериментальными данными.

В третьей главе изучаются взаимодействия волн, частоты которых существенно отличаются друг от друга, но фазовые скорости низкочастотных волн при этом равняются групповым скоростям высокочастотных волн.

Такая картина наблюдается в различных физических задачах. При этом высокочастотная волна, как правило, генерирует низкочастотную.

В сейсмике экспериментально наблюдалась другая ситуация. Она описана В.Н. Николаевским (1996). Низкочастотное вибрационное воздействие на земные породы порождает ультразвук. При этом генерация ультразвука была

наиболее эффективной, если выполнялось условие фазово-группового синхронизма.

В качестве базовых моделей для описания этого эффекта и изучения волновых взаимодействий выбираются: математическая модель двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси и математическая модель твердого пористого материала.

Считаем, что в среде распространяются волна с частотой ын и волновым числом кн и волна с частотой <эв и волновым числом кв. При этом ю„ « со,, т.е. волну отождествляем с вибрационным полем, а волну ЯГ!- с ультразвуковым акустическим сигналом.

В результате взаимодействия двух волн на квадратичной нелинейности системы (4) будет генерироваться волны Щ суммарной частоты, удовлетворяющая условиям трехчастотного резонансного взаимодействия (Рис. 6)

Ультразвуковая волна суммарной частоты а>Е должна, согласно поставленной задаче, подчиняться еще и условию фазово-группового синхронизма с вибрационным полем, т.е.

где V =—- — групповая скорость ультразвука, а К, =ю 1к — фазовая

скорость вибрационного поля. Для двухкомпонентной смеси:

V =У

'те гФ„

¿СО,

Для твердого пористого материала:

® ^

>

Рис. 6. Зависимость частоты распространения упругой волны от волнового числа (при этом

к

Из анализа величины отношения о)г/шн были определены параметры модели твердого пористого материала, при которых возможен процесс фазово-группового синхронизма. Так, при <аг / а>„ ~102 получаем количество полостей ЛГ-105 с радиусами Яь ~ 10~2м., а из соотношения определяющего соотношение объемов пор и основной матрицы (основного материала) может быть найден объем пористого материала, для конкретных длин распространяющихся в нем волн.

Четвертая глава посвящена исследованию нелинейных стационарных волн деформации в двухкомпонентных твердых сдвиговых смесях, твердых пористых материалах и в средах Био, содержащих полости.

Показано, что в этих средах совместное действие нелинейных и дисперсионных факторов, их ((конкуренция», может привести к формированию стационарных волн. Такие волны распространяются с постоянной скоростью без изменения своей формы.

В частности, показано, что в твердых пористых материалах могут существовать периодические нелинейные стационарные волны деформации и солитоны деформации.

Скорость распространения периодической волны V при этом удовлетворяет условию 0<У <ст/Л](сг/с,)2 + яЛ0'N . Качественные зависимости амплитуды А и длины периодической волны А от пористости приведены на рис. 7. С ростом пористости происходит уменьшение амплитуды и увеличение длины волны.

Рис. 7. Качественные зависимости амплитуд А и периодов колебаний Л периодической V волны от

пористости Л^тУ

о<г<1

Скорость солитона деформации удовлетворяют условию V > сг /л1(с,/с,)2 . Качественные зависимости амплитуды Ае и ширины

А солитона от пористости Л0!Л/ приведены на рис. 8. С ростом пористости происходит уменьшение амплитуды и ширины, при этом амплитуда убывает быстрее.

Рис. 8.

Кач ественные зависимости ь амплитуд Ас и ширины Д солитона от пористости R¡N

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Осуществлен переход от систем нелинейных уравнений, описывающих динамику двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси и динамику

твердого пористого материала, к эволюционным уравнениям. Показано, что эволюционные уравнения представляют собой систему четырех нелинейных уравнений в частных производных, два из которых являются комплексно-сопряженными уравнениями Шредингера, а два -уравнениями Кортевега-де Вриза.

2. Исследовано нелинейное взаимодействие квазигармонических продольных волн, распространяющихся в двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси и в твердой среде с полостями. Показано, что в результате взаимодействия низкочастотной волны (вибрационное поле) и высокочастотной волны (ультразвук) генерируется ультразвуковая волна суммарной частоты. Эта волна может находиться в фазово-групповом синхронизме с вибрационным полем. Расчеты качественно соответствуют данным о наблюдении генерации ультразвука сейсмическими воздействиями.

3. Рассчитана зависимость параметра упругой нелинейности материала от его пористости, позволяющая объяснить наблюдаемые экспериментально аномально большие значения параметра нелинейности пористых и трещиноватых геологических пород.

4. Изучено распространение нелинейных стационарных волн продольной деформации в двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси, твердом пористом материале и среде Био, содержащей полости, заполненные жидкостью. Установлено, что в этих средах могут существовать, как периодические, так и уединенные волны конечной амплитуды (солитоны), распространяющиеся без изменения своей формы. Исследовано влияние пористости на амплитуду, длину периодической волны и ширину солитона.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ерофеев В.И., Пегушин А.Г. Дисперсия и затухание акустических волн в вязкоупругих пористых материалах // Физическая акустика. Распространение и дифракция волн // Сб.трудов XI Сессии Российского акустического общества. М.: ГЕОС. 2001. T.l. С.256-259.

2. Erofeyev V.L, Pegushitt A.G. Propagation and Longitudinal Elastic Waves in Porous Materials I I Acoustics Letters. 2001. V.24, No 9. P. 161-164.

3. Erofeyev V.L., Pegushitt A.G. Nonlinear Effects of Plane Longitudinal Wave Propagation in Porous Materials // Nonlinear Acoustics at the Beginning of the 21 st Century. Edited by O.V.Rudenko and O.A.Sapozhnikov. Fakulty of Physics, MSU, Moscow, 2002. V.2. P.791-794.

4. Erofeyev V.L, Pegushitt A.G. Nonlinear wave propagation in porous materials // IUTAM Symposium on Analitical and Computational Fracture Mechanics of

Non-Homogeneous Materials. Proceedings. Held in Cardiff, UK, 16-22 June 2001. B.L. Karihalo (Ed.). Kluwer Academic Publishers. 2002. P.487-491.

5. Erofeyev V.I., Pegushin A.G. Dispersion and nonlinearity influence on plane longitudinal wave propagation in porous materials // Proc. Tenth Int. Congress on Sound and Vibration. Stockholm. Sweden. (7-10 July 2003). Published by IIAV. 2003. V.4. P.2033-2040.

6. Erofeyev V.I., Pegushin A.G. Propagation of a soliton in a porous medium I I Proceedings of the World Congress on Ultrasonics (WCU-2003). (September 7-10, 2003. Paris, France). 2003. P. 497.

7. Pegushin A.G. Material porosity influence on dispersive and nonlinear properties of plane longitudinal waves II Proceedings of the 5th international PhD symposium in civil engineering, 16-19 June 2004, Delft, the Netherlands. A.A.Balkema Publishers. 2004. Vol.2.P.773-779.

8. Erofeyev V.I., Pegushin A.G. Waves of deformation propagation in nonlinear viscously elastic porous // 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (August 15-21,2004. Warsaw, Poland). Abstracts and CD-ROM Proceeding. IPPT PAN, Warsaw, 2004.

9. Erofeyev V.I., Pegushin A.G. Sheshenin S.F. Nonlinear wave interactions in solids with microstructure II Twelfth Int. Congress on Sound and Vibration. Lisbon. Portugal. (11-14 July 2005). Abstracts and CD-ROM Proceeding. Published by IIAV. 2005.

10. Ерофеев В.И., Пегушин А.Г., Шешенин С.Ф. Резонансные взаимодействия высокочастотных и низкочастотных волн в нелинейно-упругих средах с микроструктурой // Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред. Труды V Международной конференции (1-7 октября 2005, г. Горис, Армения). Ереван: Изд-во «Гитутюн» НАН Армении. 2005. С.191-196.

11 .Ерофеев В.И., Пегушин А.Г., Шешенин С.Ф. Нелинейные эволюционные уравнения для анализа волновых процессов в твердых пористых материалах // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Серия «Математическое моделирование и оптимальное управление». 2006. Вып. 3 (32). С. 55-58.

Подписано к печати 13,03. 07г.____

Форма! 60x90 !/16. 1 усл. печ. л.

Тираж ] 00 экз. Закат № /А/_

I ()У ВНО «Нижегородский государственный архитекгурно-строительный университет» 603950, II. Новгород. Ильинская ул., 65.____

Полиграфический центр ННГАСУ 603950, Н. Новгород. Ильинская ул., 65.

Введение.

Глава 1. Обзор работ по механике двухкомпонентных твердых сред

1.1. Работы по механике смесей.

1.2. Обзор работ по трудам Международных конференций Poromech II и Poromech III по механике пористых материалов, посвященных памяти М. Био.

Глава 2. Математические модели. Дисперсионные свойства линейных волн. Нелинейные эволюционные уравнения

2.1 Двухкомпонентпые твердые сдвиговые смеси.

2.2. Твердый пористый материал.

2.3. Двухкомпонентная среда Био с полостями.

2.4. Получение эволюционных уравнений методом связанных нормальных волн.

Глава 3. Взаимодействие высокочастотных и низкочастотных квазигармонических волн в нелинейных упругих средах при выполнении условия фазово-группового синхронизма

3.1. Фазово-групповой синхронизм в твердой сдвиговой смеси.

3.2. Фазово-групповой синхронизм в твердом пористом материале.

Глава 4. Нелинейные стационарные волны

4.1. Стационарные волны в твердых сдвиювых смесях.

4.2. Нелинейные стационарные волны в твердых пористых материалах.

4.3 Нелинейные стационарные волны в среде Био.

Актуальность темы. Одной из важных задач механики деформируемого твердого тела на современном этапе является необходимость совершенствования математических моделей различных сред: структурированных, многокомпонентных, многофазных и других. Это обусловлено широким внедрением композиционных материалов, разработкой и внедрением субмикро- и нанокристаллических материалов, а также техническими и технологическими проблемами сейсмо- и геофизики.

Изучение особенностей распространения упругих волн в средах с внутренними степенями свободы актуально в связи с тем, что волны являются высокоэффективным инструментом исследования напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств твердых тел.

Следует, однако, заметить, что количество волновых эффектов, которые используются сегодня в диагностике материалов и элементов конструкций, крайне мало. Достоверность же прогнозов часто оказывается недостаточной.

Необходимо выявлять линейные и нелинейные эффекты, которые возможны при распространении и взаимодействии волн в твердых телах, изучать особенности их проявления, влияние различных факторов. Изучение волновых эффектов позволит использовать их для разработки новых методов и средств измерения, контроля и диагностики.

Цель работы состоит в изучении дисперсионных зависимостей и нелинейных эффектов, проявляющихся в твердых двухкомпонентных материалах (сдвиговая смесь, пористый материал, среда Био, содержащая полости, заполненные жидкостью).

Научная новизна. В диссертации получила развитие теория упругих сред с микроструктурой.

- Показано, что динамика двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси и динамика твердого пористого материала могут быть описаны системой четырех нелинейных уравнений в частных производных, два из которых являются комплексно-сопряженными уравнениями Шредингера, а два -уравнениями Кортевега-де Вриза.

- Исследовано нелинейное взаимодействие квазигармонических продольных волн, распространяющихся в двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси и в твердой среде с полостями. Показано, что в результате взаимодействия низкочастотной волны (вибрационное иоле) и высокочастотной волны (ультразвук) генерируется ультразвуковая волна суммарной частоты. Эта волна может находиться в фазово-групповом синхронизме с вибрационным полем. Расчеты качественно соответствуют данным о наблюдении генерации ультразвука сейсмическими воздействиями.

- Произведен расчет зависимости параметра упругой нелинейности материала от его пористости, позволяющей объяснить наблюдаемые экспериментально аномально большие значения параметра нелинейности пористых и трещиноватых геологических пород.

- Изучено распространение нелинейных стационарных волн продольной деформации в двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси, твердом пористом материале и среде Био, содержащей полости, заполненные жидкостью. Установлено, что в этих средах могут существовать, как периодические, так и уединенные волны конечной амплитуды (солитоны), распространяющиеся без изменения своей формы. Исследовано влияние пористости на амплитуду, длину периодической волны и ширину солитона.

Практическая значимость. Результаты исследований могут служить теоретическим обоснованием при разработке новых методов неразрушающего контроля материалов и элементов конструкций. В частности, может найти применение рассчитанная зависимость параметра упругой нелинейности материала от его пористости, позволяющая объяснить наблюдаемые экспериментально аномально большие значения параметра нелинейности пористых и трещиноватых геологических пород.

В ряде недавних публикаций (В.Н. Николаевский и др.) замечено, что именно в режиме фазово-группового синхронизма происходит генерация ультразвука низкочастотными сейсмическими воздействиями. Ультразвук, в свою очередь, способствует повышению конечной нефтеотдачи пластов. Генерировать же ультразвук в обычном (линейном) режиме крайне затруднительно, т.к. проблематично создать мощный постоянно действующий его источник и преодолеть частотно зависимое затухание в земных породах. Построение достоверных математических моделей будет способствовать процессу управляемой и оптимальной генерации ультразвука. От наблюдаемого физического явления можно будет перейти к созданию новой технологии полного извлечения остаточной нефти.

Основные результаты диссертации были получены при выполнении работы по:

- Комплексной программе Российской Академии наук, раздел II «Машиностроение» по теме: «Разработка методов диагностики напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств материалов и элементов конструкций, основанных на применении эффектов нелинейной акустики» (2001-2003г.г., научн. рук проф. Ерофеев В.И.);

- Плану основных заданий Нф ИМАШ РАН: на 2004-2005г.г. по теме: «Волны деформации в структурно-неоднородных материалах и элементах конструкций» (научн. рук. проф. Ерофеев В.И., проф. Потапов А.И.); на 2006-2008г.г. по теме: «Разработка новых принципов акустической диагностики структурно-неоднородных, композитных, микро- и нанокристаллических материалов и элементов конструкций» (научн. рук. проф. Ерофеев В.И., проф. Потапов А.И.);

- Грантам РФФИ: «Нелинейные акустические волны в неоднородных, поврежденных и структурированных средах. Теория. Эксперимент. Приложения» (2003-2005г.г., №03-02-16924, рук. проф. Ерофеев В.И.); «Теоретические и экспериментальные исследования распространения нелинейных акустических волн в структурированных и поврежденных элементах конструкций» (2006-2008г.г., № 06-02-17158 рук. проф. Ерофеев В.И.).

- Федеральной целевой программе «Интеграция»: «Экспериментальное исследование и математическое моделирование деформации и разрушения новых материалов и прогнозирование ресурса конструкций» (рук. проф. Баженов В.Г.).

Результаты работы нашли отражение в специальных курсах лекций: «Волновые процессы в механических системах. Теория и приложения» и «Волновые процессы в сплошных средах», читаемых студентам ННГУ и НГТУ.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики сплошных сред, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

1. Система нелинейных эволюционных уравнений, описывающих волновые процессы в двухкомпонентных твердых средах.

2. Результаты исследований нелинейного взаимодействия квазигармонических волн, находящихся в условиях фазово-группового синхронизма.

3. Результаты исследования нелинейных стационарных волн деформации в твердой сдвиговой смеси, твердом пористом материале и в среде Био, содержащей полости, заполненные жидкостью.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на: Международном (IUTAM) симпозиуме по аналитической и численной механике разрушения неоднородных материалов (г. Кардиф, Великобритания, 2001 г.); 16-м Международном симпозиуме по нелинейной акустике (г. Москва, 2002 г.); 2-й Международной конференции по механике пористых материалов, посвященной памяти М. Био (Poromechanics-Il) (г. Гренобль, Франция); 30-й и 31-й Международных Летних школах-конференциях «Актуальные проблемы механики» (г. Санкт-Петербург, Репино, 2002, 2003, 2005 г.г.); 10-м и 12-м Международных конгрессах по звуку и вибрациям (г. Стокгольм, Швеция, 2003 г., г. Лиссабон, Португалия, 2005 г.); 5-й Европейской конференции по механике деформируемого твердого тела (ESMC-5) (г. Салоники, Греция, 2003 г.); 5-м Всемирном конгрессе по ультразвуку (WCU-2003) (г. Париж, Франция, 2003 г.); Международном симпозиуме «Актуальные проблемы нелинейной волновой физики» (г. Нижний Новгород - Москва, 2003 г.); 5-м Международном симпозиуме аспирантов по проблемам гражданского строительства (г. Дельфт, Нидерланды, 2004 г.); 21-м Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (г. Варшава, Польша, 2004 г.); Европейском научном коллоквиуме «Многомасштабное моделирование в механике деформируемого твердого тела» (EUROMECH-468) (г. Санкт-Петербург, Репино, 2005 г.); Международной конференции по управлению и синхронизации в динамических системах (г. Мехико, Мексика, 2005 г.); 5-м Международном симпозиуме «Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред» (г. Горис, Армения, 2005 г.); Европейском научном коллоквиуме «Волновая механика длинных гибких конструкций, взаимодействующих с движущимися нагрузками и потоками» (EUROMECH-484) (г. Дельфт, Нидерланды, 2005 г.); Международной (СНГ) научно-технической конференции «Испытания материалов и конструкций» (г. Нижний Новгород, 2000 г.); Международной (СНГ) школе-конференции «Лобачевские чтения-2002» (г. Казань, 2002 г.); 11-й Сессии Российского акустического общества (г. Москва, 2001 г.); 6-й Нижегородской сессии молодых ученых (секция «Математика и математическое моделирование») (г. Саров, 2002 г.); Конференции ННГУ «Вычислительная математика и кибернетика» (г. Нижний Новгород, 2000 г.); семинарах кафедры теоретической механики ННГУ и лаборатории волновых процессов в материалах и конструкциях Нф ИМАШ РАН.

Публикации. По материалам диссертации опубликована 21 работа, основными из которых являются научные статьи [141-151].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем составляет 134 стр., включая 22 рисунок, 20 стр. библиографии, содержащей 192 наименование.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К основным результатам диссертации относятся:

1. Осуществлен переход от систем нелинейных уравнений, описывающих динамику двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси и динамику твердого пористого материала, к эволюционным уравнениям. Показано, что эволюционные уравнения представляют собой систему четырех нелинейных уравнений в частных производных, два из которых являются комплексно-сопряженными уравнениями Шредингера, а два - уравнениями Кортевега-де Вриза.

2. Исследовано нелинейное взаимодействие квазигармонических продольных волн, распространяющихся в двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси и в твердой среде с полостями. Показано, что в результате взаимодействия низкочастотной волны (вибрационное поле) и высокочастотной волны (ультразвук) генерируется ультразвуковая волна суммарной частоты. Эта волна может находиться в фазово-групповом синхронизме с вибрационным полем. Расчеты качественно соответствуют данным о наблюдении генерации ультразвука сейсмическими воздействиями.

3. Рассчитана зависимость параметра упругой нелинейности материала от его пористости, позволяющая объяснить наблюдаемые экспериментально аномально большие значения параметра нелинейности пористых и трещиноватых геологических пород.

4. Изучено распространение нелинейных стационарных волн продольной деформации в двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси, твердом пористом материале и среде Био, содержащей полости, заполненные жидкостью. Установлено, что в этих средах могут существовать, как периодические, так и уединенные волны конечной амплитуды (солитоны), распространяющиеся без изменения своей формы. Исследовано влияние пористости на амплитуду, длину периодической волны и ширину солитона.

1. Ахенбах Дж. Колебания и волны в направленных армированных композитах // Композиционные материалы. - М.: Мир, 1978. - Т. 2. -564 с.

2. Бедфорд, Сазерленд, Лингл. О теоретическом и экспериментальном исследованиях распространения волн в упругом материале, армированном волокнами // Прикл. механика: Тр. Амер. о-ва. инж. -мех., 1972. 39, №2. - С. 279-281.

3. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Изд-во АН СССР. 1957.

4. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. - 452 с.

5. Викторов И. А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966. - 168 с.

6. Динамика и устойчивость слоистых композиционных материалов. Киев: Наук, думка, 1992.

7. Ерофеев В. И., Кажаев В. В., Шешенин С. Ф. Дисперсия продольных и сдвиговых упругих волн в твердых двухкомпонентных инерционных смесях. // Механика композиционных материалов и конструкций. 1999, Т5, №3, С. 107-114.

8. Жуковский Н. Е. Избр. собр. соч.: В 3 т. Л.; М.: Гостехиздат, 19481950.

9. Зарембо Л. К., Красильников В. А. Введение в нелинейную акустику. -М.: Наука, 1996-520 с.

10. Крайко А. Н., Нигматулин Р. И., Старков В. К., Стернин Л. Е. Механика многофазовых сред // Итоги науки и техники. Механика разреженного газа и многофазных сред. 1972. - 6. - С. 93-174.

11. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. -470 с.

12. Мун Ф. Удар и распространение волн в композиционных материалах // Композиционные материалы. М.: Машиностроение, 1978. - Т.7.-344с.

13. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.- 336 с.

14. Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. - 312 с.

15. Новиков А.А. О применимости метода связанных волн к анализу нерезонансных взаимодействий // Изв. вузов. Радиофизика, 1976. Т. 19, №2. С.321-323.

16. Пелиновский Е. И., Фридман В. Е., Энгельбрехт Ю. К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин: Изд-во "Валгус", 1984.

17. Подстригач Я. С. Диффузионная теория неупругих металлов // Журн. прикл. механики и техн. физики.- 1965.-№2.-С. 67-72.

18. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.- 432 с.

19. Рахматулин X. А. Основы газодинамики взаимопроницаемых движений сжимаемых сред // Прикл. математика и механика.- 1956.-20, №2

20. Рахматулин Х.А., Саатов Я.У., Филиппов И.Г., Артыков Т.У. Волны в двухкомпонентных средах. Ташкент: Фан, 1974.-266 с.

21. Рущицкий Я. Я. Об одном случае распространения волн в смеси упругих материалов. // Прикл. механика.- 1978. 14, №1. С. 25- 33.

22. Рущицкий Я. Я. Определение физических постоянных теории смеси упругих материалов при помощи экспериментально полученных дисперсионных кривых. // Прикл. механика. 1979. - 15, №6. - С. 2632.

23. Рущицкий Я. Я. Элементы теории смесей. Киев: Наук, думка, 1991.

24. Рущицкий Я. Я. Взаимодействие упругих волн в двухфазном материале // Прикл. механика, 1992. Т. 28, №5. С. 13-21.

25. Рущицкий Я. Я. Взаимодействие волн сжатия и сдвига в композитном материале с нелинейно-упругими компонентами в микроструктуре // Прикл. механика, 1993. Т. 29, №4. С. 23-30.

26. Саатов Я. У. Плоские задачи механики упругопористых сред.-Ташкент: Фан, 1975.- 251 с.

27. Столл Р. Д. Акустические волны в водонасыщенных осадках // Акустика морских осадков / Под ред. JI. Хемптона. М.: Мир, 1977. -533 с.

28. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 622 с.

29. Филиппов И. Г. Динамическая теория относительного течения многокомпонентных сред // Прикл. механика. -1971.-7, №10.-С.92-99.

30. Филиппов И. Г., Чебан В. Г. Неустановившиеся движения сплошных сжимаемых сред // Кишинев: Штиинца, 1973. - 436 с.

31. Хорошун Л. П. К теории взаимопроникающих упругих смесей // Прикл. механика. 1977. - 13, № 10. - С. 124-132.

32. Хорошун Л. П. Методы теории случайных функций в задачах о макроскопических свойствах микронеоднородных сред // Прикл. механика.- 1978.- 14, №2.-С.3-17.

33. Христенсен. Затухание гармонических волн в слоистых средах // Тр. Амер. об-ва инж.-мех. Прикл. механика. 1973.-40, №1.-С.164-169.

34. Школьник И. Э, Красновский Б. М., Юровский В. А. Повышение эффективности ультразвукового метода контроля прочности на основе измерения параметров нелинейности бетона. // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1985. №2. С. 94-96.

35. Шульга Н. А. Прохождение акустической волны через регулярную систему тонких пластин // Докл. АН УССР. Сер. А.- 1975. №10. - С. 912-914.

36. Шульга Н. А. Отражение упругих волн от ортотропного регулярно-слоистого полупространства // Прикл. механика. 1975. - 15, №5. - С. 33-38.

37. Шульга II. А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев. Наук, думка, 1981.-200с.

38. Шульга Н. А., Савин В. Г. Фазовые и групповые скорости поверхностной волны Лява в слоистой среде // Акуст. Журн. 1975. -21,№2.-С. 260-263.

39. Barker L. М., Lundergan С. D., Chen P. J., Gurtin М. Е. Nonlinear viscoelasticity and the evolution of stress waves in laminated composites: a comparison of theory an experiment // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1974. -41, N4.-P. 1025-1030.

40. Bedford A., Stern M. On wave propagation in fiber reinforced materials // Trans. ASME: J. Appl. Mech. - 1970. -37, N 4. - P. 1190-1192.

41. Bedford A., Stern M. Toward a diffusing continuum theory of composite materials //Ibid. 1971. - 38. N 1. - P. 8-14.

42. Bedford A., Stern M. A multi-continuum theory for composite elastic materials // Acta mech. 1972. - 14. N 1. - P. 85-102.

43. Bedford A., Drumheller G. S. On a generalized effective stiffens theory // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1974. - 41. N 1. - P. 305-307.

44. Bedford A., Drumheller G. S., Sutherland H. J. On modeling the dynamics of composite materials // In Mechanics Today / Ed. S. Nemat-Nasser. -1976.-3. P. 1-54.

45. Biot M. A. General theory of three-dimensional consolidation // J. Appl. Phys. 1941. - 12, N 1. - P. 155-164.

46. Biot M. A. Consolidation settlement under a rectangular load distribution // Ibid. N 3. - P. 426-430.

47. Biot M. A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid //Ibid. -1955.- 26, N 1.- P. 182-185.

48. Biot M. A. General solution of the equation of elasticity and consolidation for a porous materials // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1956. - 23. N 1. -P. 91-96.

49. Biot M. Л. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media//J. Appl. Phys. 1962.-33, N 10. P. 1482-1498.

50. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid saturated solid. // J. Acoust. Soc. Amer. - 1956. -28, N 2. - P. 168-191.

51. Biot M. A. Variational lagrangian thermodynamics of nonisotermal fin the strain mechanics of porous solid and thermomolecular diffusion // Int. J. Solids and Struct. 1977. - 13, N 6. - P. 579 - 597.

52. Biot M. A., Willis D. G. The elastic coefficient of theory consolidation // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1957.-24, N 3. - P. 594-601.

53. Cryer C. W. A comparison of three dimensional consolidation theories of Biot and Terzaghi // Quart. J. Mech. And Appl. Math. - 1963. - 16, N 4. - P. 401-412.

54. Deresiewicz II. The effect of boundaries on wave propagation in a liquid-filled porous solid // Bull. Seism. Soc. America. 1960. - 50, N 4. - P. 599607; 1964. - 54. N 1.-P. 417-423.

55. Ericksen J. L. Truesdell C. Exact theory of stress and strain in rods and shells // Arch. Ration. Mech. And Anal. 1958. - 1, N 4. - P. 295-323

56. Fick A. Uber diffusion // Ann. der Phys. 1855. - 94. - S. 56 - 86.

57. Glazebrook R. T. Report on optical theories // Rep. Brit. Assos. Adv. Sci. -1885.-55.-P. 157-261.

58. Green A. E., Steel T. R. Constitutive equations for interacting continua // Int. J. Eng. Sci. 1966. - 4, N 4. - P. 483-500.

59. Hegemier G. A. On a theory of interacting continua for wave propagation in composites // Dynamic of composite materials / Ed. E. H. Lee. New York: ASME.- 1972.-P. 70-121.

60. Hegemier G. A., Gurtman G. A., Nayfen A. H. A continuum mixture theory of wave propagation in laminated and fiber reinforced composites // Int. J. Solids and Struct. 1973. - 9, N 4. - P. 395 - 414.

61. Herrman G., Kaul R. K., Delph T. J. On continuum modeling of the dynamic behavior of layered composites // Arch. Mech. 19787. - 28, N 3. - P. 405421.

62. Hilbert D. Mechanic der Continua // Lectures 1906-1907. 1907.

63. Jahanmir M., Tiersten T. F. Load transfer and surface wave propagation in fiber reinforced composite materials // Int. J. Solids and Struct. 1978. - 14, N 2. - P. 227-240.

64. Landergan C. D., Drumheller D. S. Propagation of stress waves in a laminated composite // J. Appl. Phys. 1971. -42, N 6. - P. 669-975.

65. Landergan C. D., Drumheller D. S. Dispersion of shock waves in a composite materials // Proceedings of the 17-th Sagamore Army Materials Research Conference / End. J. Wiess. New York: Syracuse Univ. Press. -1971.-P. 141-156.

66. Lempriere B. On practicability of analyzing waves in composites by the theory of mixtures // Lockheed Palo Alto Research Laboratory. Report. No LMSC-6-78-69-21. 1969. - P. 76-90.

67. Lempriere B. The practicability of analyzing waves in composites by the theory of mixtures // Colloquium on dynamic behavior of the composite materials. Univ. of California, San Diego, 1969. - P. 84-85.

68. Marrin S. E., Bedford A., Stern M. Steady state wave propagation in fiber reinforced elastic materials // Development in Mechanics. / Ed. E. H. Lee, A. A. Szewczyk. - Notre Dame, Indiana: Notre Dame press, 1971. - Vol. 6. P. 515-628.

69. Munson D. E., Schuler К. M. Steady wave analysis of wave propagation in laminates and mechanical mixtures // J. Compos. Mat. 1971. - 5, N. 3. - P. 286-304.

70. Nayfeh A. N., Nassar E. A. Simulation of the influence of bonding materials on the dynamic behavior of laminated composites // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1978. - 45, N 10. - P. 822 - 828.

71. Peck J. С., Gurtman G. A. Dispersive pulse propagation parallel to interface of a laminated composite // Trans. ASME: J. Appl. Mech.- 1969. 36, N 2. -P. 479-484.

72. Postma G. W. Wave propagation in a stratified medium // Geophysics. -1955.-20, N6.-P. 480-488.

73. Reynolds 0. The sub-mechanics of the universe: Turbulent flow. Paper 3. - 1903.

74. Robinson C. W., Leppelmeier G. W. Experimental verification of dispersion relation for layered composites // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1974. -41, N l.-P. 89-91.

75. Saint-Venant A.-J.-C. Barre de. Memoire sur la torsion des prismes, avec des considerations sur leur flexion // Men. Divers Savants. 1885. - P. 233560.

76. Stefan J. Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. -Wien.-1871.-63, N l.-P. 63-73.

77. Stern M., Bedford A. Wave propagation in elastic laminates usig a multicontinuum theory // Acta mech. -1972. -15, N 1. P. 21-38.

78. Sutherland H. J. On the separation of geometric and viscoelastic dispersion in composite materials // Int. J. Solids and Struct. 1975. - 11, N 3. - P. 233-246.

79. Sutherland H. J., Calvit H. H. A dynamic investigation of fiberienforced viscoelastic materials. Experimental and theoretical analysis of pulse propagation in glass- and nylon reinforced Urethane filaments // Exp. Mech. - 1974. -N 8. - P. 304-310.

80. Tiersten T. R., Jahanmir M. A. A theory of composites modeled as interpenetrating solid continua // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1977. -54, N2.-P. 153-163.

81. Tolstoy I., Usdin E. Wave propagation in elastic plates: low and high mode dispersion//J. Acoust. Soc. Amer.- 1957. Vol. 29, N 1. P. 37-42.

82. Truesdell С. Sulle basi della termomecanica // Rediconti della Academia Nazionale dei Lincei. Classe di science fisiche matematiche e naturali. 1957.- Serie VIII, 22, Gennao о Febbr. -S. 33-38; 158-166.

83. Vardoulakis I. G., Georgiadis H.G. SH Surface waves in a homogenius Gradient -Elastic Half-Space with Surface Energy. // J.Elasticity. 1997. V. 47., P. 147-165.

84. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. -328 с.

85. Ababou R., Parra J.O., Hackert C.L., Sablik M.J., Zook B.J. Seismic waves in randomly heterogeneous media: multiple scattering dispersion and attenuation // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp 599-606

86. Angel Y.C., Aristequi C., Chapelon J.-Y. Reflection and transmission of plane waves by anisotropic line-scatterers // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp 607-612

87. Berryman J.G., Pride S.R. Dispersion of extensional and torsional waves in porous cylinders with patchy saturation // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp 613-618

88. Cieszko M., Kubik J. Finite-amplitude wave propagation in fluid filling rigid porous materials // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp 619-626

89. Dauchez N., Etchessahar M., Sahraoui S. On measurement of mechanical properties of sound absorbing materials // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp 627-632

90. Dunin S., Mikhailov D., Nikolaevskiy V. P-waves in realistic formations: gas bubbles effect // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp 633-638

91. Dusseault M.B., Shand D., Meling Т., Spanos Т., Davidson B.C. Field applications of pressure pulsing in porous media // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp 639-646

92. Dutta N.C. Detection of hazardous, fluid-filled, unconsolidated, porous sediments in the deepwater tertiary clastics basins: a seismic approach // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 647-650

93. Gasser S., Paun F., Brechet Y. Numerical implementation of homogenized acoustic properties of periodic porous media // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 657-662

94. Gurevich B. Attenuation in porous rocks: insights from analysis for a system of solid and viscous fluid layers // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp 663-670

95. Hanyga A. A calculus for memory effects in dynamics of porous media // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp 671-676

96. Hosokawa A. Ultrasonic wave propagation in water-saturated honeycomb ceramics // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 677-682

97. Kaczmarek M., Hornowski Т., Skumiel A. and Labowski M. Wave propagation in ferrofluids. Soft porous media model and experimental results // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 691-696

98. Lafarge D., Gareton V. Sound propagation in ducts lined with porous materials // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp 697-702

99. Lafarge D. Determination of the dynamic bulk modulus of gases saturating porous media by Brownian motion simulation // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 703-708

100. Maeso J., Aznarez J., Dominguez J. Numerical model for dynamic behavior of reservoir bottom sediments // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 709-714

101. Nakoryakov V.E., Dontsov V.E. and Gasenko V.G. On the structure of complicated shape solitary waves in a liquid with gas bubbles due to two different bubbles sizes // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp 715-722

102. Oka F., Boutillier B. Compressional wave propagation characteristics through a water saturated gradient-dependent viscoelastic porous material // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 723-730

103. Parra J.O., Hackert C.L. Dynamic fluid pressure in vuggy carbonate rock // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 739-744

104. Pham N.H., Carcione J.M., Ilelle H.B. Effects of frequency and fluid distribution on elastic waves in partially saturated rocks: Poroelastic numerical experiments // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 745-752

105. Plyushchenkov B.D., Turchaninov V.I. Optimum approximation of convolution of arbitrary grid function with the power kernel // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 753-762

106. Poesio P., Ooms G., Schraven A. and van der Bas F. Theoretical and experimental study of acoustic streaming in porous media // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 763-768

107. Pride S.R., Berryman J.G. Attenuation of P-waves by waveOinduced fluid flow // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 775-782

108. Scott Т.Е., Jr, Abousleiman Y. Determination of the stress-induced dynamic moduli of a porous medium subjected to various deformation pathways // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 795-800

109. Scott Т.Е., Jr, Abousleiman Y. An experimental method for measuring anisotropic poroelastic Biot's effective stress parameters from acoustic wave propagation // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 801-806

110. Smeulders D., Cortis A., Guermond J-L., Lafarge D. Influence of pore roughness on high-frequency permeability // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 807-812

111. Numerical analysis of wave propagation in saturated non-linear porous media, C.Y. Song, T.S. Butalia, B.A. Dreger, // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp 813-818

112. Spanos T.J.T., Udey N., Dusseault M.B. Completing Biot theory // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 819-826

113. Tod S.R., Hudson J.A., Liu E. An effective medium theory for a cracked porous media // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 827-832

114. Trofymchuk O.M., Gomilko O.M. and Savitsky O.A. Dynamic contact problems for poroelastic liquid-saturated half-space // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 833-838

115. Vashishth Anil К., Khurana Poonam. Elastic wave propagation in anisotropic porous layered media // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 839-844

116. Vasserman E.S. Pressure waves in capillaries containing liquid plugs: numerical simulation // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 845-850

117. Wang H.G., Berryman J.G. Constitutive theory for velocity dispersion in rock with dual porosity // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 851-856

118. Yamamoto K., Kitahara M. Elastic wave scattering analysis of cavities in poroelastic media using three-dimensional boundary element formulation // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 857-864

119. Yamamoto T. Imaging permeability structure within highly permeable earth // Poromechanics II, Auriault et al (eds), Swets & Zeitlinger, Lisse. 2002, pp. 865-871

120. Shapiro S.A. and Kaselow A. Stress and pore pressure dependent anisotropy of elastic waves in porous structures // Poromechanics Biot Centennial (1905 - 2005) Abousleiman, Cheng & Ulm (eds), 2005 Taylor & Francis Group, London, pp. 167-172

121. Wei C., Muralleetharan K.K. Effects of fluid flow on wave velocity and attenuation in porous rocks // Poromechanics Biot Centennial (1905 -2005) Abousleiman, Cheng & Ulm (eds), 2005 Taylor & Francis Group, London, pp. 181-189

122. Albers B. Surface waves on permeable and impermeable boundaries of poroelastic media // Poromechanics Biot Centennial (1905 - 2005) Abousleiman, Cheng & Ulm (eds), 2005 Taylor & Francis Group, London, pp. 209-216

123. Kaczmarek M., Kubik J. and Pakula M. Wave propagation in saturated high porosity materials // Poromechanics Biot Centennial (1905 - 2005) Abousleiman, Cheng & Ulm (eds), 2005 Taylor & Francis Group, London, pp. 223-228

124. Chao G., Smeulders D. and van Dongen R. Attenuation of surface waves in porous media: shock wave experiments and modeling // Poromechanics -Biot Centennial (1905 2005) Abousleiman, Cheng & Ulm (eds), 2005 Taylor & Francis Group, London, pp. 229-234

125. Yamanoto К., Yamamda M. Wave scattering in porous media and shape reconstruction of scatterers // Poromechanics Biot Centennial (1905 -2005) Abousleiman, Cheng & Ulm (eds), 2005 Taylor & Francis Group, London, pp. 235-240

126. Liu K-W. ang, J-X., Cui Z-W. Guided waves in borehole embedded in a non-Newtonian fluid-saturated porous solid // Poromechanics Biot Centennial (1905 - 2005) Abousleiman, Cheng & Ulm (eds), 2005 Taylor & Francis Group, London, pp. 241-246

127. Boutin C., Bazaille M. Scattering of long acoustic waves in porous media // Poromechanics Biot Centennial (1905 - 2005) Abousleiman, Cheng & Ulm (eds), 2005 Taylor & Francis Group, London, pp. 247-252

128. Aldridge D.F., Symons N.P. and Bartel L.C. Poroelastic wave propagation with a velocity-stress-pressure algorithm // Poromechanics Biot Centennial (1905 - 2005) Abousleiman, Cheng & Ulm (eds), 2005 Taylor & Francis Group, London, pp. 253-258

129. Vikhorev A.A., Ammerman M., Chesnokov E.M. Reflection of elastic waves in the layered Biot medium // Poromechanics Biot Centennial (1905 - 2005) Abousleiman, Cheng & Ulm (eds), 2005 Taylor & Francis Group, London, pp 267-274

130. Zhang X., Liu K. and Liu J. Wavelet finite element method for 2-D wave equation in fluid-saturated porous media // Poromechanics Biot Centennial (1905 - 2005) Abousleiman, Cheng & Ulm (eds), 2005 Taylor & Francis Group, London, pp. 275-282

131. Markov M.G. and Verzhbitskiy V.V. Electroseismic waves from acoustic source in fluid-filled borehole // Poromechanics Biot Centennial (19052005) Abousleiman, Cheng & Ulm (eds), 2005 Taylor & Francis Group, London,pp.283-289

132. Ерофеев В.И., Пегушин А.Г. Дисперсия и затухание акустических волн в вязкоупругих пористых материалах // Физическая акустика. Распространение и дифракция волн / Сб.трудов XI Сессии Российского акустического общества. М.: ГЕОС. 2001. Т. 1. С.256-259.

133. Erofeyev V.I., Pegushin A.G. Propagation and Longitudinal Elastic Waves in Porous Materials // Acoustics Letters. 2001. V.24, No 9. P.161-164.

134. Erofeyev V.I., Pegushin A.G. Propagation of a soliton in a porous medium // Proceedings of the World Congress on Ultrasonics (WCU-2003). (September 7-10, 2003. Paris, France). 2003. P. 497.

135. Erofeyev V.I., Pegushin A.G. Waves of deformation propagation in nonlinear viscously elastic porous // 21st International Gongress of

136. Theoretical and Applied Mechanics (August 15-21, 2004. Warsaw, Poland). Abstracts and CD-Rom Proceeding. IPPT PAN, Warsaw, 2004.

137. Erofeyev V.I., Pegushin A.G. Sheshenin S.F. Nonlinear wave interactions in solids with microstructure // Twelfth Int. Congress on Sound and Vibration. Lisbon. Portugal. (11-14 July 2005). Abstracts and CD-Rom Proceeding. Published by IIAV. 2005.

138. Biot М.А. Mechanics of deformation and propagation in porous media // J. Appl. Phys. 1962. V. 33. № 4. P. 1482-1498.

139. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Серия географ, и геофиз. 1944. Т. 8.№ 4. С. 133-150.

140. Косачевский Л.Я.О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах // ПММ. 1959. Т. 53. Вып. 6. С. 1115-1123.

141. Городецкая Н.С.Затухание симметричных волн при распространении в пористо-упругом слое со свободными поверхностями // Акуст. вестн. 1998. Т. 1. № 4. С. 4-18.

142. Багдоев А.Г. Пространственные нестационарные движения сплошной среды с ударными волнам. Ереван. Изд-во АН АрмССР, 1961. 276 с.

143. Leclairo F., Cohen-Tenou dji, Aguirre-Peunte Y. Extension of Biot's theory of waves propagation to seismicity // Geophys. J. int. 1999. V. 137. № 6. P. 3753-3768.

144. Shapiro S.A. Audigane, Royer Y. Large-scale in situ permeability tensor of rocks from induced micro-seismicity // Geophys. J. Int. 1999. V. 137. № 1. P. 207-213.

145. Николаевский B.H., Басниев K.C., Горбунов A.T., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970, 335 с.

146. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. С приложениями к проблемам газовых и нефтяных пластов. М.: Недра, 1996. 447 с.

147. Быков В.Г. Сейсмические волны в пористых насыщенных породах. Владивосток: Дальнаука, 1999. 108 с.

148. Быков В.Г. Нелинейные волновые процессы в геологических средах. Владивосток: Дальнаука, 2000. 190 с.

149. Наугольных К.А., Островский JI.A. Нелинейные волновые процессы в акустике. М.: Наука, 1990. 237 с.

150. Багдоев А.Г., Шекоян А.В. Нелинейные волны в твердой вязкой среде в полостями // Акуст. ж. 1999. Т. 45. № 2. С. 149-156.

151. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во МГУ, 1999.328 с.

152. Багдоев А.Г., Шекоян А.В. Нелинейные волновые пучки в упругом, вязком дисперсионном и теплопроводящем пьезодиэлектрическом слое. // Изв. НАН Армении. Механика. 1995. Т. 48. № 1. С. 64-72.

153. Шекоян А.В. Приближенное трехмерное солитонное решение при наличии дисперсии и диссипации // Изв. НАН Армении. Физика. 1998. Т. 33. №4. С. 187-190.

154. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.478 с.

155. Багдоев А.Г., Шекоян А.В. Поперечная устойчивость солитонов и волн модуляции с учетом диссипации // Изв. ПАИ Армении. Физика. 2000. Т. 35. №2. С. 85-89.

156. Багдоев А.Г., Петросян Л.Г. Распространение волн в микрополярной электропроводящей жидкости // Изв. АН АрмССР. Механика. 1983. Т. 33. №5. С. 3-16.

157. Михайлов Д.Н. Различие продольных волн Френкеля-Био в водонасыщенной и газонасыщенной пористых средах// Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 1.С. 121-130.

158. Заславский Ю.М. Характеристики волн Био, излучаемых вибрационным источником во флюидонасыщенную среду// Акуст. журн. 2005. Т.51. №6. С. 759-770.

159. Захаров В.Е. Коллапс ленгмюровких волн // ЖЭТФ. 1972. - Т.62, №5.- С. 1745-1759.

160. Benney D.J. Significant Interactions Between Small and Large Scale Surface Waves// Stud. Appl. Math. 1976. - V.55, №2. -P.93-106.

161. Benney D.J. General Theory For Interactions Between Short and Long Surface Waves// Stud. Appl. Math. 1977. - V.56, №1. -P.81-94.

162. Басович А.Я., Таланов В.И. Адиабатическое взаимодействие волн// М.: Наука, 1981.-С. 147-166.

163. Гумеров Н.А. О квазимонохроматических слаболинейных волнах в пузырьковой среде с малой диссипацией// ПММ. 1992. - Т.56. №1. -С.58-67.

164. Зозуля О.М., Рыбак С.А. Одномерная модуляционная неустойчивость волновых пакетов в средах с резонансной дисперсией// Акуст.журнал. -1998. Т.44, №2. - С.278-280.

165. Ахатов И.Ш., Хисматуллин Д.Б. Длинно-коротковолновое взаимодействие в пузырьковых жидкостях// ПММ. 1999. -Т.63, №6. -С.980-990.

166. Ахагов И.Ш., Хисматуллин Д.Б. Влияние диссипации на взаимодействие длинных и коротких волн в пузырьковых жидкостях// Изв.РАН.МЖГ.- 2000

167. Николаевский В.Н. Степанова Г.С. Нелинейная сейсмика и акустическое воздействие на нефтеотдачу пласта// Акуст.журнал. -2005.- Т.51 .Приложение: выпуск «Геоакустика». С. 150-159.

168. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 624 с.

169. Алешин А.С., Гущин В.В., Креков М.М., Николаев А.В., Соколов А.В., Шалашов Г.М. Экспериментальные исследования нелинейных взаимодействий сейсмических поверхностных волн // Докл. АН СССР. 1980. Т.260, № 3, С.574-575.

170. Гущин В.В., Шалашов Г.М. О возможности использования нелинейных сейсмических эффектов в задачах вибрационного просвечивания Земли // Исследование Земли невзрывными сейсмическими источниками. М.: Наука, 1981. С.144-155.

171. Бакулин В.Н., Протосеня А.Г. О наличии нелинейных эффектов при распространении упругих волн в горных породах // Докл. АН СССР. 1982. Т.263. № 2. С. 314-316.

172. Грошков А.Л., Калимулин P.P., Шалашов Г.М., Шемагин В.А. Нелинейное межскважинное прозвучивание методом модуляции акустических волн сейсмическими полями // Докл. АН СССР. 1990. Т.313, № 1. С.63-65.

173. Беляева И.Ю. Тиманин Е.М. Экспериментальное исследование нелинейных свойств поросодержащих упругих сред // Акустический журн. 1991. Т.37, № 5. С. 1026-1028.

174. Зименков С.В., Назаров В.Е. Нелинейные акустические эффекты в песке // Акустический журн. 1992. Т.38, № 6. С.1118-1120.

175. Зименков С.В., Назаров В.Е. Нелинейные акустические эффекты в образцах горных пород// Физика Земли. 1993. № 1. С. 13-18.

176. Беляева И.Ю., Зайцев В.Ю., Островский JI.A. Нелинейные акустоупругие свойства зернистых сред // Акустический журн. 1993. Т.39, № 1. С.25-32.

177. Николаев А.В. Проблемы четырехмерной геофизики // Динамические процессы в геофизической среде. М.: Наука, 1994. С.5-11.

178. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Инерционные и диссипативные свойства пористой среды, заполненной вязкой жидкостью // Известия РАН. Механика Твердого Тела. 2005. № 1. С.109-119.