Исследование высокочастотных волновых процессов в упругих средах с приложением к задачам ультразвукового неразрушающего контроля тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

-----г; г г— р " РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

у ! ¡V V. V) 4

< 1 í

На правах рукописи

СУМБАТЯН МЕЖЛУМ АЛЬБЕРТОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В УПРУГИХ СРЕДАХ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ЗАДАЧАМ УЛЬТРАЗВУКОВОГО НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1995

Работа выполнена на кафедре теории упругости механико-математического факультета Ростовского госуниверститета. НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ - академик РАН. профессор И.И.Ворович ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ : член-корр. РАН. доктор физ.- мат. наук,

профессор В.А.БАБЕШКО доктор физ,- мат. наук, профессор В.М.АЛЕКСАНДРОВ

доктор физ, - мат. наук, профессор И. Б.СИМОНЕНКО

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ : Институт механики Московского

государственного университета

Защита диссертации состоится 1995 г.

в часов на заседании Диссертационного Совета

Д 063.52.07 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344104. г.Ростов-на-Дону, ул. Зорге 5, РГУ. механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ (ул. Пушкинская, 148).

44

Автореферат разослан у/ / ММ№ 1995 г-

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физ. - мат. наук, доцент Н. В.БОЕВ

АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЙ волновых процессов на высоких частотах обусловлена^ потребностями,, ультразвукового-неразрушающего-----------

контроля материалов, где частоты колебаний составляют миллионы герц. В результате геометрические размеры всегда больше длины волны. Именно, для наиболее характерных случаев размеры преобразователя в десятки, а дефекта - в несколько раз больше длины волны.

При исследовании тракта излучения - приема ультразвуковых преобразователей одной из важных проблем является проблема взаимодействия упругих волн с дефектами различной формы. Другой актуальной задачей является задача исследования ближнего поля излучения датчиков различных типов - нормальных, наклонных, раздельно-совмещенных и других. В рассматриваемом диапазоне изменения физических параметров все эти процессы по существу являются высокочастотными.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является" создание и развитие новых 'аналитичес- ■ ких и численных методов исследования высокочастотных волновых процессов в упругих и акустических средах с приложением к проблемам ультразвукового неразрушающего контроля. При этом многие новые результаты развиваются одновременно в упругом и скалярном случае, поскольку даже для задач скалярной акустики они получены впервые.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы:

1. Построены физическая и геометрическая теории дифракции в коротковолновом диапазоне для дефектов невыпуклой формы.

2. Для контактных задач о взаимодействии штампов с полуогра-ничекными основаниями впервые получены явные коротковолновые асимптотики.

3. Предложена модификация классического метода граничных интегральных уравнений, специально приспособленная для высоких частот колебания.

4. Разработаны новые численные методы уточненного расчета тракта излучения - приема ультразвуковых преобразователей различного типа, основанные на уравнениях динамической теории упругости

и приспособленные для персональных компьютеров.

5. Разработаны численные методы решения обратной задачи о восстановлении формы дефекта по рассеянному на нем волновому полю, реализуемые на персональном компьютере - как в скалярном, так и в упругом случае.

6. Построены новые аналитические теории для волновых перио-

дических решеток - в двумерном и трехмерном случае.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ работы определяется ее тематикой, подчеркнуто ориентированной на приложение в ультразвуковом нераз-рушающем контроле материалов. По результатам выполненных исследований автором были расчитаны характеристики как традиционных, так и вновь создаваемых ультразвуковых датчиков. Особенно эффективным оказалось применение строгих методов расчета на основе уравнений динамической теории упругости в различных критических случаях, когда применение стандартных инженерных методов приводит к неверным результатам. Многие методики расчета сравнивались с результатами экспериментов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на 5-м Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981), на 2-й Всосоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси, 1984), на 3-й и 4-й Всесоюзных конференциях "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Харьков, 1985 и Одесса, 1989), на 2-й Украинской Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (Киев, 1986), на 3-й Межотраслевой конференции "Неразрушающие методы контроля изделий из полимерных материалов" (Туапсе, 1989), на 12-й Всесоюзной научно-технической конференции "Неразрушающие физические методы контроля" (Свердловск, 1990), на 10-м Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Винница, 1990), на "Дне дифракции" (Ленинградский государственный университет, 1987), на семинаре им. Л.А.Галина (ИПМ АН РАН, Москва, 1994), на семинаре кафедры механики-в Чалмерском технологическом университете (Швеция, Гетеборг, 1993), на факультетах математики университетов г.г. Катания и Болонья (Италия, 1994), на факультете прикладной математики университета г. Салерно (Италия. 1993 и 1994), а также на семинарах кафедры теории упругости Ростовского госуниверситета.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях [1-27], из которых 19 статей опубликованы в центральной российской печати и 6 статей - в ведущих западных журналах.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, занимающих ZG2 страницы машинописного текста и списка основной используемой литературы, содержащей 236 наименований.

- 5 -СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечается актуальность темы диссертации, дан краткий обзор литературы по аналитическим и численным методам решения задач дифракции упругих и акустических волн, по динамическим контактным задачам, по некорректным задачам применительно к обратным задачам о реконструкции образа дефекта в упругой среде, а также по основным методам расчета тракта излучения-приема ультразвуковых преобразователей различного типа. Отмечен значительный вклад в рассматриваемую тематику, внесенный ведущими российскими и зарубежными исследователями - В..М. Александровым, В.А.Ба-бешко, В.М.Бабичем. Р.Баттерфилдом, П.Бенерджи, А.В.Белоконем, В.А.Боровиковым. К.Бреббия, Л. М. Бреховских. В. С. Булдыревым. В. А. Буровым, А.Л.Бухгейм, Р. Б. Вагановым. Л. А. Вайнштейном, А. X. Вопил-киным, И.И.Воровичем, Л.Вроубелом, Т.Н.Галишниковым, A.A.Горюно-вым, В. Т. Гринченко, А. Н.Тузь, А. К. Гурвичем. Д. Б. Диановым, В.Ф. Емец, И.Н.Ермоловым, А.С.Ильинским. М.Ш.Исраиловым, Г.Кайно. Б.З. Каценеленбаумом, Б.Е.Кинбером, Д. Колтоном, А. С. Космодамианским, Р. Крессом, В. Д. Купрадзе, А. Г. Кюркчан. В.В.Мелешко, Р.Миттра, Н.Ф. Морозовым, 3. Т. Назарчуком, В. Новацким, В. В. Панасюком, В.З.Парто-ном, П.И.Перлиным, Г.И.Петрашенем, Г.Я.Поповым, В.Б.Поручиковым, В.Г.Романовым, О.А.Савицким, М. П. Савруком, А. В. Сасковцом, В. М. Сеймовым, Е.Скучиком, Ж.Телесом, А.Н.Тихоновым, А.Н.Трофимчуком, А.Г. Угодчиковым, А. Ф. Улитко, Ю.А.Устиновым, Н. М. Хуторянским, Е.Л.Шен-деровым, В. Г. Щербинским, J.D.Achenbach, N.N. Bojarski, A.Bostrom. А. К. Gautesen, D.S.Jones, J.B.Keller. J. Krautkramer, H. Lanib, K.J. Langenberg, R.M.Lewis, R.Mlttra. У. H. Pao, C.C.Mow, A.G.Ramn. A.Roger и другими авторами.

Отмечено, что задачи, порождаемые практикой ультразвукового неразрушающего контроля материалов, по своей сути являются высокочастотными, поскольку в них размеры преобразователя обычно в десятки раз превышают длину волны, а размеры дефекта также в несколько раз больше как продольной, так и поперечной длин волн.

Задачи дифракции волн на прямолинейных препятствиях, так же как и динамические контактные задачи для неограниченных тел с прямолинейными границами, сводятся к интегральным уравнениям (или системам уравнений) с ядром, зависящим от разности аргументов, на вещественном отрезке. Основные аналитические и численные методы

решения таких уравнений приспособлены для невысоких частот. Для получения явных высокочастотных асимптотик приходится решать проблему факторизации знаменитой функции Релея, имеющей на вещественной оси точки ветвления. Эта факторизация осуществлена в настоящей работе. В полуограниченных областях (таких как полоса, слой и т.д.) явных высокочастотных решений не было известно вообще. и существовало мнение, что их построение невозможно в принципе. Результаты, полученные автором и изложенные в настоящей работе, опровергают это мнение.

В дифракции на изолированном непрямолинейном препятствии ядра соответствующих интегральных уравнений не являются разностными (за исключением случая круглого препятствия), а имеют более сложную зависимость от своих аргументов. В коротковолновой области аналитические результаты здесь, в основном, получены для выпуклых объектов и сводятся к физической и геометрической теориям дифракции, лучевой оптической теории и теории "ползущих" волн. Эти результаты невозможно применять для невыпуклых препятствий. В коротковолновой дифракции на объектах невыпуклой формы автору известны лишь три попытки получить аналитические результаты в скалярном случае (все - в работах западных исследователей), однако они не привели к построению законченных теорий. Эта задача была выполнена в работах автора, в которых построены физическая и геометрическая теории дифракции для невыпуклых препятствий (как в скалярном, так и в упругом случае). Эти результаты изложены в настоящей диссертации.

Для исследования взаимодействия упругих волн с дефектами сложной формы более эффективно применение численных методов решения граничных интегральных уравнений, выписанных по границе дефекта, однако они теряют свою эффективность в коротковолновой области. Известны различные методы по приспособлению численных методов к высоким частотам, однако оставался открытым вопрос, возможно ли принципиальное снижение размерности для предельно коротких волн. Некоторые новые подходы в этом направлении предложены в настоящей диссертационной работе.

Одной из основных целей неразрушающего контроля является распознавание образа дефекта. Эта проблема связана с обратной

-----задачей-дифракции-о восстановлении-формы-препятствия" по-известно-"

му рассеянному на нем волновому полю. Данное научное направление относится к некорректным по А.Н.Тихонову задачам и особенно бурно развивается в последние годы. В настоящей работе предложены эффективные численные методы решения подобных задач - как в скалярном, так и в упругом случае.

Некоторые последние исследования показывают, что при излучении ультразвуковых волн в акустические и упругие среды возможно усиление интенсивности вводимой в среду волны, если использовать в качестве искусственного согласующего слоя периодические решетки различной конфигурации. Идейно это направление исследований родственно применению рупоров в обычном звуковом диапазоне. В данной диссертации дан строгий математический анализ нахождения коэффициетов отражения и прохождения для периодических решеток, • поскольку близостью коэффициента отражения к единице определяется эффективность усиления волны, излучаемой преобразователями поршневого типа.

Первая глава посвящена развитию новых асимптотических методов в контактных задачах о высокочастотных колебаниях атампа на упругих основаниях. В § 1.1 основание является упругой полуплоскостью. Рассматриваемая задача сводится к следующему интегральному уравнению:

1

|х| < 1,

(1)

Ь, (Ю

(2и2-I)2

Здесь зависимость от времени всех величин принимается в виде

f(x,t) = Re[f(x)exp(-itot)]. В уравнении (1) p(x) - амплитуда контактного напряжения, W - амплитуда колебаний штампа, X - параметр. который на высоких частотах мал. fi - модуль сдвига ,v - ко. эффициент Пуассона, а - полуширина штампа, ш - частота колебания.

Исходное уравнение (1) эквивалентно двум :

СО 00

I 4>(t)K(x-t)dt = -x-+j[4>(-x- + t) - v(T) ]K(x+-c)dT (2) о о

оэ

J v(t)K( )at - l (3)

если

p fx) - -jj- w [ ф ( i-^-S ) + ф ( ) - v (x) ] (4)

Доказывается, что последний интеграл в (2) имеет оценку ~ Х1/2, X 0 равномерно по х, и поэтому при построении главного члена асимптотики решения при X - 0 его можно отбросить.

Решение уравнения на оси (3) строится применением преобразования Фурье и имеет вид v(x) = -i(ßX)"1 з v. Для успешного решения уравнения на полуоси (2) предлагается следующая приближенная факторизация символа ядра

4u2/ u2-ß2 / u2-l + (2u2-!)2

,—- — »u y u H i -W

Lt(u)= у U -ß - ~ (5)

16u4 ( u2-ß2)( u2-l) - (2u2-!)4

А /и2

M (и) М (и) = L (и)

(и2 - и^ ) (и —z ) (и —z ) + Im z > 0. А > О, В > О

М+(и) = Ви/и ± ß /и ± 1 + (^Ги ± I)2

--------которая-улавливает-все-особенности_функции-ь( (и)___________________________

С учетом сказанного факторизация функции L(u) осуществляется в виде

А / ц + |3

Ь(и) = -г- М (и) (6)

(и + и ) (и + г) (и + г)

В результате выражение для функции <р(х) удается выписать в явном виде. Определены динамическая податливость основания и сдвиг фаз между осадкой и приложенной силой. ■

В § 1.2 рассматривается антиплоская задача о высокочастотном колебании штампа на упругом слое. Рассматриваемая задача может быть сведена к интегральному уравнению ..1-гс рода относительно контактного давления, отнесенного к 0/1г:

а

pa)K(x4)<U = 1 . !х| < а. (7)

1

К(х) =

%

L(u) e"lkux du. L(u) = -y— . Y = /u2-l

Здесь h - толщина слоя, ju - модуль сдвига, к = шЬ/с. Ь - полуширина штампа, с - скорость распространения поперечных волн, W -амплитуда колебания штампа, а = Ь/h. Область высоких частот ш соответствует большим значениям параметра к, при этом второй независимый параметр задачи полагается фиксированным: а = const. С ростом параметра К у символа ядра уравнения (7) L(u) появляется все больше вещественных нулей ±а и полюсов ±6 :

лш - я/2

= / ь НН ■ Р»= Iх ь 1-Е—]

поэтому методы типа "метода фиктивного поглощения" с ростом частоты будут требовать решения линейных алгебраических систем все

более высокого порядка.

Доказано, что коротковолновая асимптотика внешнего решения имеет вид:

где - фактор функции й(и). п - число нулей ат > 0.

В § 1.3 предложенный метод применяется к решению плоской задачи о высокочастотных колебаниях штампа на упругом слое, сцепленном без трения с жестким основанием, которая сводится к интегральному уравнению относительно неизвестного контактного напряжения р(х). отнесенного к 0/П

т(х)

к 1к1„ п тй [а )

_0 у + ' т

[ Рт(а+х) + Гт(а-х) ]. (9)

' Ъё к 2С_ (0) ш=1 к2 - (ят)

2

гтсх) = ехр(1 1/кг-(зст)2 ) х, й(и) = с+(и)с_(и). в (и) = 1 - ехр(-2к*)

а

|х| < а.

(10)

Ни) = Ц (и) - Ь2 (и)

Ц (и) = б/Л(и), Ц (и) = б1Р1 (и)/Д(и)

1 1

Р (и) = ехр(-2эеб1) + ехр(-2эебг) - ехрС-гаеб^б,,) Д(и) = 4игб1бгС1 (и)Г2(и) - (2иг - 1)гС2(и)Г1 (и) (и) = 1 - ехр(-2эебк), Гк (и) = 1 + ехр(-2эебк), к=1,2

____^ _2*у ( с ^ ^

б1 = , бг = , (5г = ^ = I ^ ) •

р

* -- -еф- . а - +

1-2и

- 11 -

Полученные результаты имеют качественно тот же вид. что и

в § 1.2. __

----------Во- второй главе предлагаются два" мётодаГ гюзволяющие преодолеть традиционные трудности, присущие численным методам решения граничных интегральных уравнений на высоких частотах.

Первый метод, описанный в § 2.1, является развитием классического итерационного метода наискорейшего спуска со специальным ускорением сходимости. Как известно, задачу дифракции в акустической среде можно свести к интегральным уравнениям, получаемым из интегральной формулы Кирхгофа. Запишем рассматриваемый класс интегральных •уравнений в операторном виде

В х = у (11)

Пусть спектр оператора В лежит в интервале [ш, М1, 0 < тп < М. Для уравнения первого рода всегда т = 0, что следует из вполне непрерывности интегрального оператора. Доказано, что если уравнение (11) имеет решение,то метод наискорейшего спуска (м.н.с.)

II Ьх II2

х = х--11- , Ьх = Вх - у (12)

П + 1 п (1х , ВЬх )

п п

сходится к решению х' в норме пространства Я монотонно, т.е. IIх - х* II < 1 х - х* |. При этом если тп > 0, то

К (1^-)" (13)

если ш = 0, то

Р(хп) = (В(хп - х* ),хп - х*) = (14)

Численная реализация требует замены исходного интегрального оператора конечномерным. Показано, что матрица получающихся алгебраических систем является плохо обусловленной, поэтому скорость сходимости здесь очень медленная. В связи с этим возникает проблема ускорения м.н.с. (12). В данной работе используется метод

ускорения, который опирается на некоторые асимптотические (при больших п) закономерности м.н.с. Показано, что при п - » для итерационного процесса (12) имеют место следующие равенства

■ F(xu) ш _||Axu - f||2

ptVi) 14-1 - f"2

(15)

x - X = С' n

Из (16) следует, что после того как м.н.с. вышел на свою асимптотику, очередной шаг итерации можно осуществить в виде

х - с2х „

X = —а-(17)

1 - с2

причем с2 может быть вычислено по формуле (15). Использование такого подхода в конкретных численных примерах показывает быстрое ускорение итерационного процесса для любых, в том числе и плохо обусловленных, матричных уравнений (т/М <1, с2 ~ 1).

Рассмотрены некоторые примеры, которые подтверждают эффективность предложенного метода.

Метод § 2.2 учитывает физические особенности дифракционных явлений на выпуклых и вогнутых участках границы дефекта, что позволяет существенно сократить размерность.

Пусть на объект с границей I, находящийся в акустической среде, падает известная, например, плоская волна. Пусть граница I свободна от усилий. В скалярной среде это соответствует нулевому давлению на границе - р| = 0, в упругой - отсутствию напряжений на контуре I: TJ1 = О. Тг\1 = О (Г - вектор усилий). Тогда ГИУ прямого метода в первом случае имеет следующий вид:

Н0(1)(кг) g(y) dsy = р0 = е1к(Ч'х) (18)

g(y) = %I. г = | X - у |. х е 1

u у 11

где к - волновое число, q - единичный вектор, определяющий направление" падающего~поля,~Н0(п функция-Ханкеля-первого~рода"ну^" левого порядка.

В упругой среде вместо одного уравнения имеем систему двух

уравнений:

и1 (х)

[Р4 (1) (х.у)^ (у) + Р2(1) (х,у)и2 (у)]= 2ц/(х) (19)

и2 (х)

[Р1 (2> (х.у)^ (у) + Р2С2) (х,у)и2 (у)№у =2иг°(х), хе1 Р(к) (х,у) = 2Дд|-[й(к) (х,у)] + Хпу с!1уу [й(к) (х,у)] +

+ р. (пу X гогу[и(к) (X. у) ] }

и0 (х) = Я ехрЦк (я-х)), г = |х - у|, к, а = 1,2 где 5, - символ Кронекега. кик- волновые числа, соответс-

ко г * р а

твующие продольной и поперечной волнам. Здесь, для определенности, рассматривается падение продольной волны.

Построим выпуклую оболочку объекта, т.е. наименьший выпуклый контур, содержащий контур I. Это означает проведение касательных, которые отделяют участки вогнутости I от участков выпуклости I . Проведением касательных, параллельных д, выделим область глобальной тени АВ, находящейся на задней части контура. Очевидно, что точки А и В принадлежат выпуклым участкам I .

Пусть I - характерный размер области. Тогда в асимптотическом смысле кЬ > 1, крЬ > 1, кзЬ > 1 решение интегральных уравнений в зоне тени равно нулю. Поэтому ГИУ (18) и (19) сужаются на дугу АВСд. В дальнейшем под ^ и I будем понимать только те их части, которые находятся на лицевой стороне граничного контура АВСО.

2

Поведение решения на выпуклых участках I качественно отличается в физическом смысле от поведения решения на вогнутых участках Если на I (дуги ВО и АС на рис.1) не могут происходить переотражения лучей, то на 12 такие переотражения могут играть существенную роль. Следовательно, на высоких частотах решение уравнений (18) и (19) на выпуклых участках ВБ и АС определяется так же, как и для выпуклых тел. Для уравнения (18) это означает, что

g(y) = г|§в- = 21к^-пу)ехр(1к^-у)). У е (20)

В упругой среде в окрестности каждой точки выпуклых участков I решение системы (19) совпадает с известным решением задачи об отражении плоской волны от свободной границы упругой полуплоскости.

С каждой точкой у г li свяжем единичные орты т , п , образующие правую систему с учетом того, что пу - внешняя нормаль. Пусть { - единичный вектор, определяющий направление поперечной волны, отраженной от границы I в точке у. Тогда

их(у) = С—(ч• ху) (1 + Урр) + ^ (1упу)Урз]ехр(1уд-у)) (21)

кР

. У £ 1,

-Ц„ (У)_-_[=(ч-Пу) (1---V )-+--а._(И-----Су-) V—3ехр< 1к-<€?■ у))---------------

к

р

Здесь Урр и Урз - коэффициенты отражения от границы в точке

у £ I соответственно продольной и поперечной волны.

В результате проекции вектора перемещения {и и2} на выпуклых участках I находятся, минуя решение системы (19), в следующем виде

^(у) = Пхип(у) + п2их(у), и2(у) = П2ип(у) - п1ит(у) (22)

где п4, пг - проекции вектора пу.

Таким образом, осталось найти только значения неизвестных функций в уравнениях (18) и- (19) на вогнутых участках -I . Данная редукция существенно сокращает время вычислений, поскольку оно определяется величиной М3, где М - число точек коллокаций в квадратурных формулах.

Численная реализация изложенного метода проведена для объектов как выпуклой, так и невыпуклой формы.

Третья глава носит явно выраженный прикладной характер и посвящена различным точным методам расчета тракта излучения -приема ультразвуковых преобразователей.

В § 3.1 доказывается, что представление о зеркальном образе нормального преобразователя, хорошо известное в скалярной теории, может быть распространено и на упругий случай. Именно, доказано, что вычисление донного эхо-сигнала на расстоянии к эквивалентно рассмотрению задачи о паре "излучатель-приемник" для двух равных преобразователей, помещенных на противоположных сторонах плиты толщиной 2к.

В § 3.2 метод Шоха, позволяющий свести вычисление ближнего поля преобразователя произвольной формы к однократному интегралу, переносится со скалярного на упругий случай. Суть метода состоит

в следующем. Пусть на поверхности излучателя 3 задано постоянное давление рд. Тогда в скалярном случае давление в точке М равно (см. рис. 2)

-^[•"■-¿Г^ч-г Р^н

о о

Здесь была использована замена переменных г2 = р2 + г2, <33 = рйрйч» = гйгй<р, гйг = рйр, г1 = (г2 + р1г)1/г.

Проблема становится гораздо сложнее, если среду нельзя считать скалярной. Так, решение для нормальной сосредоточенной силы 0, действующей на поверхность упругого полупространства, не выписывается в элементарном виде, а выражается в виде интеграла Фурье-Бесселя. Например, напряжение

Ч-ЬЛ " ^ а а0(др) Аа (24)

2 ^ ) (2а2-к 2)г - 4а2V, К, 0

о г 12

г = (а2 - к г)1/г. к = ш/с , у = (а2 - к г)1/г, к = ш/с .

1 р Р р 2 3 3 ф

с и с - скорости распространения продольной и поперечной волн.

________Однакодля.- ультразвукового—излучателя,—для которого-^—г-»-1;--------------

Ksr » 1 везде, кроме малой окрестности самого излучателя, интегралы типа (24) могут быть достаточно точно приближены их асимптотическими выражениями. В самом деле, основной вклад в рассматриваемый интеграл вносит окрестность стационарной точки а = р/г. Это позволяет оценить интеграл (24) следующим образом: '

_(2аг-52)2_

i\(a) =

Г2(а) -

(2а2-б2)2 + 4а2 /1 - а2 /б2 - а2

•I с

(25)

4а2 /1 - а2 / ß2 - а2

(2аг- 1)г + 4а2 /1 - а2 / ß2 - а2

Если теперь излучатель представляет собой равномерно распределенную нагрузку р0. действующую по площади Б, то представление (25) для сосредоточенной силы позволяет применить метод Шоха.

В отличие от акустического случая внутренний интеграл при этом точно не вычисляется. Однако для ультразвукового излучателя (крг » 1 к2г » 1) этот интеграл может быгь эффективно вычислен стандартным приемом интегрирования по частям. Ограничиваясь главным членом, получаем

б =

2Spo

2%

дф г

) + e^Tfj^

rt (ф)

r=z

(26)

2Л

Qik z z e p " Ш

>i\rlfi( ) + е1кЛг2( Cf? )

dip

ri (Ч))/

г

о

В § 3.3 рассматривается проблема вычисления АРД-диаграммы

(Амплитуда - Расстояние - Диаметр) нормального ультразвукового преобразователя (рис.3).

Ро

Л

Рис.3

Падающее поле вызвано приложенной нагрузкой р0, определено при г > О и может быть представлено в виде интеграла Ханкеля:

б 0 = р Л (2«2-к22)2еЛ2 - 4а2КЛе-*г2 т (аг) т

2 0 1 Д(а) 0 1

о

т ° = 2рр Т (2а»-Кдг?Ч(е"*'2 - от (ОТ) X

0 ] Д(а) 0 1

(аЮсЗа (27)

(<Ж)сЗа

^ = /от - крг. х, = / а2 - кз2, Д(а) = (2а2-кз2)2 - Аа2^*,,

здесь кр = ш/ср, 7сз = ш/сз. с и сз - скорости распространения продольных и поперечных волн.

Рассеянное поле будем считать состоящим из двух частей, определенных соответственно при > 0 и при гг > 0. Каждое из них также описывается интегралами Ханкеля. выражающимися через разности нормальных и тангенциальных перемещений берегов трещины

_ (раскрытия-трещины) .-Для-нахождения-последних-можно-выписать следующие интегральные уравнения :

21с 2

juzpdpj ^fa)cLJ0 (ar)JQ (ap)da = —б2° (0 < г < b) (28)

о о Ь

jurpdpj Y^a)"-1! (ar)Ji (OP)13« = —— \z° (0 < г < b) (29)

о 0

здесь uz = uz' + uz2, u = u.2 - u.1, ц - модуль сдвига. Последние уравнения стандартным способом можно свести к уравнениям второго рода. Это удается достичь введением -новых функций <p(xj и т|)(а:}:.

го Ь 00 Ь

Juz'pJj (ap)da = jq>(t) sinatdt, ju.pJt (ap)da = ji|)(t) slnatdt

< г < b) (29) I

В результате для величины, откладываемой на АРД-диаграмме, имеет вид

^ = -а-Г-и(й)(1 (:2а-г -Кг г е~П-4а2^ е%П «Ж)йа -

Р И^рИ J К, а 1

о о

Ь са

+ 2 |т|)(1;М1;|(2аг-кзг )г (е-^11 - е"^11) азхг.са ^ (аР)ба] (30) о о

В § 3.4 осуществляется расчет АРД-диаграммы наклонного преобразователя.

* /

/ /

/ // / / 1

J / * 0 РисА

Пусть прямоугольный преобразователь расположен в наклонной плоскости призмы, причем угол падения равен р (рис. 4). Выражение для касательного напряжения, падающего на трешину, имеет вид

пад _ zk3 ггг Z(2(x-x0)2 + (у-у0)2)sin2a + (r2-2z2) (x-x0)cos2a •,

Т =V|JL ^ Г

X q exp[i(kar - kx0slnp)]dx0dy0 , (31)

M = a( (r2-2z2 )2 + 41z(r2-z2)q) кз = ш/сз, cp и с. - скорость соответственно продольных и поперечных волн, q = 1/аг (rz-z*)-гг. S - площадь проекции преобразователя, а = с /с , (x.y.z) - координаты точки на трещине,

Р S

г =/',x-xQ)г + (y-yQ)2 +Z2, а - угол ввода, ksinp = kssina. Напряжения (31) известным образом участвуют в интегральном уравнении относительно амплитуды колебания берегов трещины. Вид интегрального уравнения аналогичен приведенному выше, причем -спад из (31) является в нем свободным членом. Данное уравнение решается методом коллокации.

Далее осуществляем аналогичные операции в обратном направлении. Сначала выписываем формулу для напряжений, отраженных от трещины. Они имеют вид, аналогичный тпад в (31).

Создана программа на языке Фортран для PC/AT - 286/287, требующая в среднем 40 с для каждой точки на АРД-диаграмме.

В главе 4 строятся физическая и геометрическая тёоршГ~"дйф-~ ракции для дефектов невыпуклой формы. §4.1 посвящен модификации теории Кирхгофа для этого случая. В классическом случае применение физической теории дифракции Кирхгофа к выпуклым препятствиям позволяет свести проблему вычисления дифрагированного поля к некоторому однократному интегралу. В данном параграфе доказывается, что обобщение классического подхода на невыпуклые препятствия сводит проблему к вычислению некоторого многократного интеграла. Физически это связано с тем, что на вогнутых участках границы могут происходить многократные переотражения лучей. В этом смысле кратность интеграла в развиваемой физической теории дифракции равна кратности возможного числа переотражений.

§ 4.2 посвящен развитию лучевой теории дифракции применительно к произвольным (невыпуклым) гладким препятствиям, как в скалярном, так и в упругом случае.

Пусть на контур 1 падает некоторая волна от точечного источника х0. Если любой луч вида х0 - у - х отражается от контура I только один раз, тогда согласно физической теории дифракции Кирхгофа давление р(х) определяется следующим образом

если граница препятствия является акустически твердой. Здесь

Р (X) = |2р1п°(У)2£ <3э

(32)

Р1пс(У)

е1к|у-х0[

к -

СО

(33)

/| У - Х0 I

/ |х - у|

е

СОБй

(34)

Оценивание интеграла (32) методом стационарной фазы приводит к хорошо известному результату

ехрШка. + и + ? (б-1)]> р(х) = - 0 —^—-

к -» «о

(35)

|Ь + Ь +

2Ь„Ь

"о " ' "рсоэЗ- ' 5 = з1ёп( Ц + Ь + )

Далее, рассмотрим повторное отражение луча х0 - у - уг _ излучающегося из точки а: и принимающегося в точке х .

Л к РиС'5

Давление в точке приема р(х3) дается следующей формулой

р(х,) -

2р(Уг>|$ /з2

(36)

Здесь р(уг) - давление в падающей волне, которое определяется после первого отражения на контуре I . ■

В то же время давление р(уг) само выражается подобной формулой:

Р(У?) =

2Р (У1Цп аз

(37)

Принимая во внимание выражение (33), выпишем следующее основное - представление___________________________________________________________________

„/v \ - i к cosí), cosí) P(V " St ,—

dst ds2

(38)

где фаза ф = I + ¡^"Ц! + 1^3 ' - ТепеРь вычисление

асимптотики интеграла (38)с применением метода двумерной стационарной фазы приводит к следующему результату

Р(х_,) =

ехрШкдд+Ц+Ц) + f (52-2)]}

/ Ь0ц L2 /|det(D2)|

(39)

где О - гессиан:

11 2 ~ + + PjCOstfj

1

1

p,cosi)

(40)

а 52 = signD2

разность между числом положительных и

отрицательных собственных значений матрицы о .

Если число переотражений произвольно и равно N. то общий результат для этого случая может быть получен, используя тот же самый метод. Мы приходим к оценке некоторого N - мерного интеграла, что позволяет получить следующий общий результат

ехрШк II + f (5„ - N)]}

-.1-0 "-----

N

п L

|det(DH)

(41)

1 + 1 + E , "T"

n - í n

p COSÍ) ' rn n

d , = d n■»!, m n, n+ 1

s

D

2

- 24 -

с1пт = 0, п * т . п * т+1, 5Ы =

В § 4.3 в качестве примера рассмотрена важная задача о симметричном отражении плоской акустической волны от вогнутой части полукруга. Здесь удается выписать явный результат для амплитуды отраженной волны в виде бесконечного ряда

як »

Р =

2 1»«

Н-1

ШЬ„

(42)

Ц, = 2Ез1п

2Н

1,

Ен " 2

если N > 2

с

В § 4.4 полученные результаты обобщаются на задачи коротковолновой дифракции на полости в упругой среде. Для различных видов переотражений, в том числе со сменой типа волн, выписаны явные выражения для амплитуды переотраженной волны.

Например, двойное отражение р-э-р задается следующей формулой

иг<Х3> = а ./к ^Р^ С03^ С03д2 *

р

(43)

ехр{1[крЬ0+кзЬ1+крЬ2 + I (5г-2)]} / Ь0ЦЬг /|с1е1(В2)|

5, = signD,

' соэ^д. , к соз2К. , собА. , к, созу

Т" ~ЗТТ I п 1 & л

о„ =

Ч * ' ЛЧ * ' Р1

"ГБ7 рк1

соэ-у срэу

А

собт созК.. созг9„ , к со5г,)(.. , созЗ. , к сову

-С 2 "ТГ8" г "ОГ^

"р Р г

Здесь д

и У1 - углы падения и отражения в первой точке отраже-

ния,Лг и 02 - углы падения-и отражения-во второй- точке -отраже----

ния, а V (31) и Узр(4г) - соответствующие коэффициенты отражения.

Глава 5 посвящена обратным задачам дифракции о восстановлении формы рассеивателя по известному волновому полю. В § 5.1 дается критический обзор существующих методов решения данной обратной задачи.

В § 5. 2 предлагается итерационный численный метод реконструкции Формы препятствия в скалярном случае.

Пусть на тело, расположенное в акустической среде, падает некоторая заданная волна р0. Для простоты ограничимся двумерным случаем. Обычно падающая волна бывает плоской, следовательно, р0 = е1кх (к - волновое число). Пусть контур I, ограничивающий данное тело, имеет представление в полярных координатах р = р(Ф), О < ф < гл. Для определенности будем считать контур I акустически " мягким. В этом случае граничное условие имеет вид р| = О.

Если известно рассеянное от тела поле при всех углах ф, то задачу удается свести к нелинейной системе интегральных уравнений

г(Ф.д) = [р2 (Ф) + р2(3) - 2р(ф)р(3)соз(ф-3)]1/г

относительно двух неизвестных функций g(¡)) и р(д).

Известно, что рассматриваемая задача некорректна по А.Н.Тихонову. Это вызвано тем. что оператор прямой задачи 0: р(<р) - Р(ф) является вполне непрерывным в пространствах, естественным образом

связанных с данной задачей. Тогда, очевидно, обратный оператор 0м:

Г(ф) ~ р(ф) не может быть непрерывным.

Кроме того, задача нелинейна. Все это усложняет ее решение.

Алгоритм численного решения строится следующим образом. Сна-

(44;

(45)

чала уравнения (44), (45) записываются в конечномерном виде на узлах А Сф1 =

.....Sj.Pj--.-Pj) = 0 . 1 = 1.....2J (46)

Составим функционал невязки

ЧЧ&р)-" К, I2

На нулевом шаге отыскивается шгп^, р] на всевозможных кругах. Пусть найденному таким образом кругу соответствуют значения Я°,р°. Далее применяется итерационный метод градиентного спуска.

Я = -А'Г. q = ^,Др)т (47)

где А - якобиан системы (46), / - вектор левых частей.

Оказывается, что для сложных задач метод обладает очень медленной сходимостью, поэтому возникает проблема ускорения метода градиентного спуска. Показывается, что направление спуска ц = -В Ф ускоряет процесс, если положительно определенную матрицу В брать в виде: В = (А*А + а!)"1, О < а < 1.

На рис. ~ 6 приведены примеры восстановления контура I методом, описанным в этом параграфе.

В § 5.3 развитый выше в скалярном случае метод применяется

- для-задач-реконструкции-образа дефекта—в—упругой—среде.—Тогда--вместо системы уравнений (44), (45) имеем систему трех нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которая получается добавлением к функции рассеяния, известной в дальнем поле

2Л

/r б (R.tp) ~ F(ф) = rrR-c°

. ik р(в)соэ(§-ф) е р х (48)

x{Uj (3) [2fik(d. (p)cosip + (¡Ш + u2 (3) [2/ik(3, ф)sincp + Xn¿ (ÚJUdí. k(ú,ip) = n O)cosip + n2 (3)sinip,

^(3) = p(3)cosá + p'(3)sln3, ng(3) = "p(í)sin3 - p; (3)cos3.

двух граничных уравнений (19).

К решению некорректной нелинейной системы (19), (48) применяется метод, аналогичный развитому в § 5. 2.

В § 5.4 для решения обратной задачи о восстановления образа дефекта применяется метод случайного поиска.

В § 5.5 для реконструкции формы выпуклого рассеивателя применяется лучевой метод. Может быть доказано, что амплитуда отраженной волны в лучевом приближении имеет следующий вид

А = с ИГ , У = R1R2 (49)

где с - некоторая постоянная, 1 - гауссова кривизна поверхности в точке, где нормаль сопадает с направлением облучения. Таким образом, в рамках описанного подхода исследуемая задача сводится к проблеме Минковского: по заданной гауссовой кривизне восстановить форму замкнутой гладкой выпуклой поверхности.

Конкретное построение искомой поверхности осуществляется так. Вводим вспомогательную функцию Р(а), связанную с расстоянием р(а) от начала координат до касательной плоскости с нормалью а следующим образом:

Р ^ " аг ■ аз 1 = ГР<'(Х1/Г' аг/Г- аз/г)

а = (ctj.eс2.ссз;, г = (aJ2+a22+ a32)1/z

Здесь а - вектор внешней нормали к поверхности. Функция Р(а) удовлетворяет следующему уравнению

PuP« + РпРзз+ р22рзз - р1г2 - р132 - р232 ■ TT«« <51>

( Р13 =7)гР/да1да]; i.j = 1,2.3 )

где к(а) > 0 - величина, обратная известной гауссовой кривизне. Для решения последнего уравнения применяется переход к сферической системе координат и разностные выражения для первых и вторых производных на сетке, состоящей из параллелей и меридианов. В результате приходим к некоторой нелинейной системе алгебраических уравнений

АР = К (52)

с сильно разреженной матрицей. Данная система решается методом Ньютона-Канторовича.

В главе 6 строится теория периодических тонких акустических решеток, играющих большую роль при усилении излучаемых ультразвуковых сигналов. В § 6.1 аналитические результаты в двумерной задаче о наклонном прохождении волны через решетку распространяются на более высокие частоты. Именно, до сих пор было известно лишь низкочастотное приближение при ка -> 0. В настоящей работе выведено аналитическое приближение для коэффициентов отражения и прохождения, равномерно пригодное во всем одномодовом диапазоне О < ка < л. Показано, что все известные результаты являются частными 'случаями выведенных выражений.

В § 6.2 данная проблема исследуется в трехмерном случае для периодической решетки с равными отверстиями произвольной формы.

Показано, что рассматриваемая задача может быть сведена к двумерному интегральному уравнению следующего вида

]][к:у-л.2-г;) - —]а!ти)<ЭД; = -1, (у.2) с з0________(53)

¿о

К(у г) = — ? соз(лпу/а)соз(тт!2/а) а2 п. ш = 1 ^пш

2 2 1/2 ч = 1/(т + п )

пт

С использованием формулы суммирования Пуассона выводится простое представление для ядра уравнения (54), когда -мала, а частоты - низкие:

ксу.2) = + ^

+ г1

2

+ + С - 1п4Я

(55)

В результате в ряде случаев удается получить окончательные результаты в замкнутой форме. Например, для апертуры круглой формы выражение для коэффициента отражения имеет вид

К = —^ • хс = £ [1 + I (21п1 " 3 + С " (56)

1 ~ Ш

где С = 0.5772 - постоянная Эйлера. Для апертуры квадратной формы имеем

к = :—Ч-' \ ='1г [°-819 + I (21п1 + с " 1п4гФ <57>

1 " жг

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построены физическая и геометрическая теории дифракции в

коротковолновом диапазоне для дефектов невыпуклой формы.

2. Для контактных задач о взаимодействии штампов с полуограниченными основаниями впервые получены явные коротковолновые асимптотики.

3. Предложена модификация классического метода граничных интегральных уравнений, специально приспособленная для высоких частот колебания.

4. Разработаны новые численные методы уточненного расчета тракта излучения - приема ультразвуковых преобразователей различного типа, основанные на уравнениях динамической теории упругости и приспособленные для персональных компьютеров.

5. Разработаны численные методы решения обратной задачи о восстановлении формы дефекта по рассеянному на нем волновому полю, реализуемые на персональном компьютере - как в скалярном, так и в упругом случае.

6. Построены новые аналитические теории для волновых периодических решеток - в двумерном и трехмерном случае.

ПУБЛИКАЦИИ

По теме работы опубликованы 34 работы, полный список которых приведен в диссертации. Основными из них являются следующие:

1. Боев Н.В., Ворович И.И., Сумбатян М. А. Метод граничных интегральных уравнений в задачах коротковолновой дифракции// Изв. РАН. МТТ. - 1992. - С. 38-42.

2. Боев С.И., Сумбатян М.А. Динамическая контактная задача для упругой полуплоскости при высоких частотах колебания//ПММ. -1985. - 49. вып. 6. - С. 1039 - 1043.

3. Брацун Г.А., Сумбатян М.А. Исследование вопроса практической устойчивости метода вспомогательных источников//Журн. вы-числ. математики и мат. физики. - 1993. - 33, N 1. -С.142-146.

- 319 с.

4. Ворович И. И., Сумбатян М. А. Восстановление образа дефекта по рассеянному волновому полю в акустическом приближении//Изв. АН СССР. МТТ. - 1990. - N 6. - С. 79-84.

5. Дружинина И. Д., Сумбатян М.А. Численно - аналитический метод

в задачах коротковолновой дифракции //Акуст. журнал. - 1990. -36. вып. 2. - С. 269-275.

6. Дружинина И.Д.. Сумбатян М.А. Коротковолновая дифракция на телах с произвольной гладкой границей в двумерном случае//

Акуст. журнал. - 19927 - 387~вып737 - СГ470-476:

7. КутюринЮ. Г.. Рапопорт Д. А., Сумбатян М. А., Сычава В. Я. Решение задачи построения зависимости амплитуды принимаемого сигнала от расстояния между краем дефекта и осевой линией акустического луча//Дефектоскопия. - 1990. - N 9. - С.35-39.

8. Сумбатян М. А. Об одном аналитическом подходе к пространственным контактным задачам теории упругости//ПММ. - 1982. -46. ВЫП. 3. - С. 488-493.

9. Сумбатян М.А. Асимптотика решения контактной задачи для упругого слоя при высоких частотах колебания //Докл. АН СССР. - 1988. - 299, N 6. - С. 1344 - 1346.

10. Сумбатян М.А. Развитие метода Шоха для численного исследования поля ультразвукового излучателя //Акуст. журнал. 1988. - 34, вып. 1. - С. 185-187.

И. Сумбатян М.А. Расчет диаграммы отражения от круглой трещины для нормального у. з. искателя //Изв. АН СССР. МТТ. - 1989. -N 1. - С. 133-137.

12. Сумбатян ш.А., Дружинина И. Д. К расчету диаграммы направленности призматического искателя //Дефектоскопия. - 1989. -

N 3. - С. 3-7.

13. Сумбатян М.А., Сычава В.Я. Прохождение нестационарного импульса через слой с затуханием//ПММ. - 1989. - 53, вып. 3. -С.526-527.

14. Сумбатян М.а. Плоская контактная задача для упругого слоя при высоких частотах колебания//ПММ. - 1990. - 54. вып. 2. -С. 307 - 311.

15. Сумбатян М.А. Некоторые методы эффективного вычисления поля круглого УЗ излучателя на упругом полупространстве// В сб.: "Механика деформир. твердого тела". - Ереван. - 1990. -

С. 329-334.

16. Сумбатян М. А., Дружинина И. Д. Расчет АРД-диаграммы наклонного преобразователя //Дефектоскопия. - 1990. - N 7. - С. 90-91.

17. Сумбатян М.А. Методы быстрого вычисления квадратур при исследовании поля круглого УЗ излучателя в акустическую среду// В сб.: "Математические методы прикладной акустики", вып. 2. -Ростовский госуниверситет. - 1990. - С.135-140.

18. Сумбатян М.А., Боев Н.В. Восстановление формы дефекта по рассеянному волновому полю в двумерной упругой среде//Докл. АН СССР. - 1991. - 318. N 4. - С. 880-882.

19. Сумбатян М.А. Метод глобального случайного поиска в обратных задачах с приложением к проблеме распознавания образа дефек-та//ПММ. - 1992. - 56. ВЫП. 5. - С.873-876.

20. Сумбатян М.А.. Дружинина И. Д. Расчет акустического тракта наклонного преобразователя с критическим углом призмы //Дефектоскопия. - 1992. - N 1. - С. 59-60.

'21. Сумбатян М. А., Троян Э.А. Восстановление формы выпуклого дефекта по рассеянному волновому полю в лучевом приближении// ПММ. - 1992. - 56, вып. 3. - С. 552-556.

22. Scarpetta Е.. Sumbatyan М.А. Explicit analytical results for one-mode normal reflection and transmission by a periodic array of screens//J. Math. Analysis and Applications. -1995. - 19. N 1.

23. Solokhin N.V.. Sumbatyan M.A. Ultrasonic through-transmission technique for composite materlals//European Journal of NOT. -1993. - 2. N 3. - P.91-93.

24. Solokhin N. V., St-loatyan M. A. Artificial layer//Research in Nonaestr. Eval. - 1995. - 6, N 1. - P. 19-34.

25. Sumbatyan M.A., Solokhin N.V., Trojan E. A. Reconstruction of convex flaws using back-scattered ultrasound//NDT & E International. - 1993. - 26. N 5. - P. 227-230.

26. Sumbatyan M.A., Boyev N.V. Mathematical modelling for the practice of ultrasonic inspection//Ultrasonics. - 1994. - 32. N 1. - P.5-11.

27. Sumbatyan M.A., Boyev N.V. High-frequency diffraction by non-con/ex obstacles//Journal Acoust. Soc. America. - 1994. -95. N 5. P. 2346-2353.

Формат 60 х 84 I/I6, Бумага писчая RXCy N Уч.-изд. л. 2,0. Тира* 100 экз. С III

Редакционно-издательский центр Ростовской-на-Дону государственной академии строительства. 344022, Ростов-на-Дону, ул.Социалистическая, 162.

ЛР !." 020818. Подписано в печать