Коротковолновые методы реконструкции дефектов сложной формы в упругих телах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. РАСЧЕТ ФОКУСИРУЮЩИХ ПОЛЕЙ ПРИ 25 ПЕРЕХОДЕ ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

§1Л Постановка задачи

§1.2. Метод решения

§1.3. Численные результаты. Оценка применимости преобразователей в форме двух пластин с различными углами раскрытия для фокусировки ультразвуковых волн

ГЛАВА 2. ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ

ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ О РЕКОНСТРУКЦИИ ДЕФЕКТОВ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ В ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

§2.1. Постановка обратной задачи дифракции в коротковолновом приближении

§2.2. Определение амплитуды рассеяния при нормальном отражении в упругой среде

§2.3. Зависимость между амплитудой обратного рассеяния и гауссовой кривизной поверхности отражателя

§2.4. Сведение обратной задачи к проблеме

Минковекого

§2.5. Приведение задачи определения формы поверхности по известной гауссовой кривизне к нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка

§2.6. Двумерный случай. Сведение задачи к линейному дифференциальному уравнению

ГЛАВА 3. РЕКОНСТРУКЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ДЕФЕКТОВ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ ЧЕРЕЗ ОПОРНУЮ ФУНКЦИЮ ПО ИЗВЕСТНОЙ АМПЛИТУДЕ ОБРАТНОГО РАССЕЯНИЯ

§3.1. Существование и единственность решения

§3.2. Описание численного алгоритма. Сведение к матричному нелинейному уравнению

§3.3. Примеры реконструкции дефектов в виде тел вращения

§3.4. Реконструкция цилиндрических дефектов с различным сечением

ГЛАВА 4. РЕКОНСТРУКЦИЯ ВЫПУКЛОЙ ОБОЛОЧКИ ДЕФЕКТОВ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ ПО ИЗВЕСТНОМУ ВРЕМЕНИ ПРИХОДА ОТРАЖЕННОЙ ВОЛНЫ

§4.1. Некорректность задачи восстановления выпуклой оболочки отражателя но времени прихода

§4.2. Использование кубических сглаживающих сплайнов

§4.3. Примеры реконструкции дефектов

Актуальность решения задач высокочастотной дифракции обусловлена бурным развитием ультразвукового неразрушающего контроля, медицинской томографии, акустической микроскопии, сейсмологии и геофизики. Задачам распространения и дифракции линейных упругих и акустических волн посвящена обширная литература. Хочется отметить исследования^ ставшие уже классическими - монографии В.А.Бабешко и О.Д.Пряхиной [9], В.А.Бабешко, Е.В.Глушкова, Ж.Ф.Зинченко [7], В.М.Бабича и В.С.Булдырева [10], Л.М.Бреховских и О.А.Година [17], Р.Б.Ваганова и Б.З.Кацеленбаума [18], И.И.Воровича и В.А.Бабешко [23], И.П.Гетмана и Ю.А.Устинова [28], В.Т.Гринченко и В.В.Мелешко [32], А.Н.Гузь, В.Д.Кубенко и М.А.Черевко [33], И.Н.Ермолова [37, 38], О.Ю.Жария и А.Ф.Улитко [42],

A.А.Золотарева, О.Д.Пряхиной, М.Г.Селезнева и А.В.Смирновой [43], М.Ш.Исраилова [45], Г.Кайно [46], Д.Колтона и Р.Кресса [48], Ю.А.Кравцова и Ю.И.Орлова [50], В.Д.Купрадзе [51], Л.Л.Ландау и Е.М.Лифшица [53], Р.Миттра и С.Ли [56], Н.И.Мусхелишвили [57], В.Новацкого [59], В.З.Партона и П.И.Перлина [60], Г.И.Петрашеня [61], В.Б.Поручикова [65],

B.М.Сеймова [69], В.М.Сеймова, А.Н.Трофимчука и

0.А.Савицкого [70], Е.Скучика [72], А.Г.Угодчикова и Н.М.Хуторянского [80], В.А.Фока [83], Х.Хенла, А.Мауэ и К.Вестпфаля [84], Е.Л.Шендерова [85], К.Аки и П.Ричардса [2],

A.G. Ramm [87], J.Krautkramer, H.Krautkramer [102], работы

B.М.Александрова и В.Г.Буряка [3], Ю.Л.Газаряна [27],

1.D.Achenbach, A.K.Gautesen [86], D.Colton, R.Kress [91], F.A.Lee [103], Y.H.Pao, С.С.Mow [106, 107], посвященные волновым процессам в неограниченных средах и в телах конечных размеров. Можно отметить несколько традиционных направлений при решении данных задач.

Во-первых, это построение точных аналитических решений. Точные аналитические решения известны лишь для некоторых задач рассеяния на объектах канонической формы, которые допускают разделение переменных. Классической задачей такого рода является задача о поле точечного излучателя, расположенного на конечном удалении от плоской границы раздела двух однородных сред. Впервые эту задачу для электромагнитных волн довольно полно рассмотрел Зоммерфельд [44]. Теория, предложенная Зоммерфельдом, может быть применена при рассмотрении полностью поглощающих экранов, к излучению колеблющихся поверхностей без экрана, излучению вблизи угловых точек.

Точные решения были получены также в задачах дифракции для кругового цилиндра в акустической среде в виде ряда Ватсона (Хенл, Мауэ [84]), дифракции плоской волны на упругом цилиндре ( Пао [106]) и на сферической полости ( Пао [107]), дифракции цилиндрической волны на круговом цилиндре ( Ли [103]). Решения многих задач могут быть получены в квадратурах [59, 60]. Одно из наиболее полных изложений подходов, приводящих к точным решениям задач дифракции для акустической среды можно найти в монографии Скучика [72], а для задач дифракции в упругих средах - в монографиях [32, 33, 45, 65].

Следующее важное направление, возникающее при решении широкого класса задач дифракции упругих и акустических волн, состоит в сведении к сингулярным и регулярным граничным интегральным уравнениям. Математические методы решения таких уравнений описаны в монографиях Бабешко [5], Воровича и Бабешко[23], Миттра и Ли [56], Партона и Перлина [60], Сеймова [69], Угодчикова [80] и др. Применение численных методов можно найти у Бенерджи и Баттерфилда [12]. Важной особенностью данного метода ГЙУ, в основе которого лежит классическая теория потенциала [51] является сведение краевой задачи в области к решению регулярных и сингулярных граничных интегральных уравнений и систем меньшей размерности. Однако данное преимущество достигается за счет определенных потерь, так как получаемые для внешней задачи уравнения неразрешимы на собственных частотах внутренней краевой задачи. Достаточно полный обзор методов, позволяющих обойти данную трудность, представлен в монографии Колтона и Кресса [48]. Однако описанные ими методы, носящие больше теоретический характер разрешения вопросов существования и единственности решения, в задачах коротковолновой дифракции неприменимы из-за уплотнения спектра резонансных частот, на которых внешняя задача перестает быть разрешимой.

Из большого числа работ, посвященных дифракции на цилиндрических препятствиях произвольных сечений, можно выделить работы Тобокмана [116, 117, 118, 119], с использованием аппроксимации Паде и метода простых итераций, начинающихся с приближенного решения Кирхгофа. Приводимые численные результаты показывают хорошие аппроксимации только для средних частот.

В коротковолновой области заслуживают внимания работы Рытова [68], Ахенбаха [86]. Дальнейшее развитие волновые задачи в областях сложной геометрии получили в работе

Гетмана и Устинова [28]. Метод граничных интегральных уравнений получил свое развитие в работах Ватульяна и его учеников [19, 20]. Для широкого круга задач ими сформулированы граничные интегральные уравнения первого рода с гладкими ядрами, основываясь на использовании преобразования Фурье и анализе характеристического многочлена оператора упругости на полярных многообразиях и не используя понятия фундаментальных решений. Гладкость ядер может нарушаться только на особых множествах задачи ( ребрах, углах, точках смены граничных условий ). Сочетая классические методы дискретизации метода граничных элементов с методами регуляризации удается построить дискретный аналог ГИУ 1-го рода, достаточно хорошо аппроксимирующий исходный оператор. При этом обязателен учет структуры решения на этапе дискретизации для эффективного учета окрестностей особых точек.

Для слоистых сред с каноническими полостями и упругими включениями методы ГИУ были развиты Ляпиным [54, 55].

Следующее направление связано с развитием асимптотических методов решения задач дифракции, неразрывно связанных с теорией, предложенной Кирхгофом. На основе физически ясных предположений основные свойства рассеянного поля находятся без трудоемкой процедуры решения граничных интегральных уравнений. Суть теории в том, что волновое поле в отверстии и на освещенной поверхности экрана принимают равным волновому полю в падающей волне. При этом не принимаются в расчет искажения волнового поля в непосредственной близости от границы отверстия. Предполагается также, что на теневой стороне экрана потенциал скорости и его нормальная производная равны нулю, как если бы экран был полностью поглощающим для дифрагированного поля. Эта теория изначально предложенная для скалярных задач акустики, впоследствии была применена к задачам дифракции на трещинах и полостях в упругих средах [15, 89].

Теория Кирхгофа дает прекрасные результаты в случае, когда диаметр отверстия больше трех длин волн, а точка наблюдения удалена от плоскости экрана. Вблизи края решение Кирхгофа значительно отличается от точного решения.

Учет формы дифрагирующего тела возможен при более точном учете граничных условий. При этом можно дополнить значение падающего поля граничными значениями, полученными из решения Зоммерфельда [44]. и

Геометрической теории дифракции посвящены многочисленные работы [18, 49, 70] и др. Довольно полный обзор лучевых методов приведен в [84]. Основы теории заложены Келлером [101]. Согласно Келлеру кривизна дифрагирующего края была учтена путем введения «геометрооптического» коэффициента расхождения. Приближение Келлера приводит к простым формулам, которые хорошо согласуются с результатами точных расчетов. Его можно применить для отверстий произвольной формы даже в тех случаях, когда линейный размер отверстия соизмерим с длиной волны. Данный подход можно обобщить на случай рассеяния на цилиндрах произвольного поперечного сечения и трехмерных телах с гладкой границей. Суть метода в том, что отраженное поле вычисляется по законам геометрической оптики, а дифракция на крае учитывается на основании законов дифракции. Дифрагированные лучи образуют конус, вершина которого лежит на дифрагирующем элементе, а осью является касательная к этому элементу. Падающий луч и «дифракционный конус» расположены с противоположных сторон плоскости, нормальной к краю элемента. Предполагается, что угловое распределение интенсивности дифрагированных лучей имеет точно такой же вид, как цри дифракции на полуплоскости, а для учета кривизны дифрагирующего края предполагается, что дифрагированные лучи расходятся так, как если бы они распространялись перпендикулярно краю.

Общий лучевой подход к решению задач коротковолновой дифракции в акустической среде состоит в том, что потенциал давления представляется в виде ряда по обратным степеням волнового числа [48, 50, 95]. В результате задача сводится к решению уравнений для эйконала и переноса, исследованию которых посвящены работы Рытова [68], Бабича и Булдырева [10]. Особенности лучевой теории упругих волн в твердом теле освещены в монографии Ландау и Лифшица [53], а также в работах ученых киевской школы ( см. монографию Подильчука с соавторами [64]). Однако отмеченный подход обладает определенными недостатками, к числу которых, относится неприменимость лучевой теории для определения дифракционного поля на каустиках.

Фок [82, 83] использует для преодоления указанного недостатка асимптотическую теорию ползущих волн. Им разработан подход, использующий функции Эйри при описании волновых полей, имеющих конечное значение на каустике.

Во многих работах методом разделения переменных звуковое поле произвольного источника может быть представлено в виде интеграла по горизонтальным компонентам волнового вектора от решений одномерного волнового уравнения [10, 17, 18, 49] и т.д. Основным способом оценки полей по их интегральному представлению является асимптотический метод эталонных интегралов. Наиболее употребительным его вариантом является метод перевала или седловой точки [81]. Функция Грина в задачах коротковолновой дифракции, как известно, содержит экспоненту с большим значением волнового числа в показателе и медленно меняющейся функцией. Основной вклад в поле рассеяния дает окрестность точки стационарной фазы, определяющей луч, проходящий в точку наблюдения. Фазовая функция из интегрального представления звукового поля при этом удовлетворяет уравнению эйконала, а амплитуда луча -уравнению переноса. Подробное описание применения метода стационарной фазы для расчета локационного отражения волны от гладких выпуклых поверхностей рассмотрено у Шендерова [85]. Локационное отражение от полостей с выпуклой гладкой границей в упругой среде рассмотрено в работах [35, 114].

Как известно, скорость продольных волн во многих твердых телах примерно в 2 раза выше, чем поперечных, и в практике ультразвукового контроля можно считать, что волны обоих типов распространяются практически независимо. Более точно, распространяясь независимо внутри среды, продольные и поперечные волны взаимодействуют только на границе области. Следовательно, в задачах излучения волн граничными поверхностями различных вибраторов на расстояниях порядка нескольких длин волн вдали от границы мы легко разделяем продольную и поперечную составляющую волнового поля, каждая из которых определяется своим скалярным потенциалом из соответствующего уравнения Гельмгольца. Более того, моделируя нестационарную задачу о генерировании ультразвуковых волн в упругую среду датчиками с коротким импульсом (2-3 периода стандартной синусоиды ) с помощью гармонического по времени процесса, одновременный учет продольной и поперечной составляющей поля внутри области является некорректным. Это связано с тем, что такой короткий ультразвуковой импульс, посылаемый с границы области, порождает упругую волну, продольная компонента которой приходит в точку наблюдения примерно в два раза быстрее поперечной. Таким образом, практически во всех внутренних точках среды продольная и поперечная составляющие никогда не появляются одновременно. Это и объясняет большую популярность обычно используемой в ультразвуковом неразрушающем контроле скалярной ( жидкостной) модели.

Широко используется метод Шоха, позволяющий выписать волновое поле в произвольной точке в виде однократного интеграла по конечному отрезку. Интересно развитие метода Шоха в работе [73] для вычисления поля ультразвукового преобразователя в упругой постановке.

Нужно отметить и ряд важных работ Ермолова [37 - 41]. Ему удалось представить поле излучения нормального преобразователя как результат интерференции сферических волн с определенной диаграммой направленности, тождественной для всех элементарных источников на поверхности излучателя. При расчете отражения от плоского дефекта им используется теория дифракции Кирхгофа. Предложены простые приближенные формулы расчета амплитуды ультразвуковой волны, отраженной от препятствия.

Необходимо отметить также работы ученых ростовской школы [15, 35, 114], предложивших нетрадиционную трактовку приближенного решения Кирхгофа в упругости для случая выпуклых полостей, сумевших перенести физическую теорию Кирхгофа на объекты сложной формы, обобщить лучевую теорию для задач дифракции на препятствиях произвольной формы, построить методы расчета акустического тракта ультразвуковых преобразователей различных типов, сочетающие точность упругой постановки задачи с естественными упрощениями, отвечающими физической сути исследуемых явлений. Приведены численные алгоритмы, позволяющие решать указанные задачи в масштабе реального времени, а также многочисленные результаты, показывающие применимость используемых подходов. Задача расчета амплитуды ультразвуковой волны, отраженной от «монетообразной» трещины, расположенной в упругом полупространстве, в осесимметричной постановке решена в работе [74].

Описанные выше методы посвящены в основном решению прямой задачи дифракции - определению поля, рассеянного от препятствия заданной формы. В практике ультразвукового неразрушающего контроля одной из основных целей является определение формы и ориентации дефекта, поэтому часто приходится решать обратную задачу - определение формы препятствия по известным характеристикам рассеянной волны.

Необходимо отметить, что данная проблема является некорректной по Тихонову [77] и нелинейной одновременно. Среди основных подходов к решению обратных задач можно выделить разложение известной функции рассеяния в дальнем поле в ряд Фурье. Тогда коэффициенты разложения однозначно определяют рассеянное поле в виде сходящегося во внешности наименьшего круга, содержащего отражатель, ряда. При этом граница неизвестного препятствия восстанавливается при соблюдении граничных условий. Для восстановления невыпуклых объектов применяется прием последовательного продолжения волнового поля рассеянной волны. Такой подход очень сложен в реализации, также как и вычисление суммы ряда рассеянного поля, когда точки лежат вблизи круга его сходимости [99].

Далее можно выделить подход [90, 92], состоящий в использовании целых функций, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца. Задача сводится к минимизации неотрицательного функционала на компактном множестве. Применение данного подхода на практике вызывает затруднения, так как нужно знать амплитуду рассеяния в дальнем поле на некотором интервале значений волнового числа.

Существенным недостатком описываемых методов является неприменимость их в случае, когда известен лишь модуль рассеянного поля в дальней зоне. Кроме того, что большинство из существующих подходов способны восстанавливать границу только звездной области, их применение к реальным трехмерным задачам в высокочастотной области приводит к существенному увеличению количества определяемых неизвестных, что неприменимо на используемых в УЗНК персональных компьютерах.

Методы, позволяющие преодолеть указанные трудности, описываются в работе Воровича и Сумбатяна [25].

Заметим, что в рассматриваемой нелинейной некорректной задаче вопросы существования и единственности практически не изучены. К известным результатам в этой области можно отнести доказательство единственности восстанавливаемой поверхности в скалярном случае в ситуации, когда рассеянное поле известно на некотором интервале изменения волнового числа к [48].

Некоторые практические методы реконструкции дефектов в упругих телах описаны в работах [58, 102, 117].

В данной диссертационной работе приводится общий подход к решению обратной задачи дифракции в упругих средах на высоких частотах, позволяющий избежать указанных трудностей.

В практике УЗНК не всегда можно корректно определить характерные размеры рассеивателя произвольной формы с помощью обыкновенных плоских нормальных и наклонных преобразователей, так как известно, что из-за дифракции пучок волн начинает расходиться в радиальном направлении за пределами ближней зоны излучателя, внося искажения при определении формы и ориентации дефекта. Данная проблема решается созданием сходящихся волновых фронтов сферической или цилиндрической формы. При этом происходит фокусировка звукового давления, колебательной скорости частиц и интенсивности звука. Осуществляться фокусировка может при помощи активных или пассивных преобразователей, использовании периодических решеток различной конфигурации в качестве согласующего слоя и т.п. В последнее время появилось множество работ [46, 88, 96, 97, 98, 110] и др., рассматривающих вопросы фокусировки ультразвуковых полей. Большинство из них рассматривают данную задачу в применении к ультразвуковому микроскопу и использует в основном неточные полуинженерные методы. В главе 1 рассматривается возможность фокусировки ультразвуковой волны датчиком, выполненным в форме двух наклоненных прямоугольных излучателей, на основе точного расчета волнового поля, создаваемого в упругой среде.

С учетом проведенного обзора в данной диссертационной работе ставятся следующие цели:

1. Построить алгоритмы расчета фокусирующих полей упругих волн, работающие в реальном масштабе времени.

2. Построить общий подход к решению обратных задач дифракции о реконструкции формы дефектов сложной невыпуклой формы в упругой среде в высокочастотном случае.

3. Провести обоснование эффективности общего подхода на конкретных примерах реконструкции.

Настоящая работа состоит из введения, четырех глав и шестнадцати параграфов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сформулирован общий подход к решению обратной задачи дифракции в упругой постановке.

2. Решена задача о распределении ультразвукового поля, создаваемого двумя пластинами, наклоненными к границе твердого тела в иммерсионном методе контроля. Дана физическая оценка численных результатов, позволяющая давать рекомендации по применению таких датчиков для фокусировки поля в упругой среде.

3. Решена задача о восстановлении выпуклых дефектов сложной формы в твердом теле по известной амплитуде рассеянной продольной ультразвуковой волны.

4. Решена задача о реконструкции выпуклой оболочки рассеивателя по известному времени прихода отраженной волны.

1. Адлер Л., Бразил М.А., Смит Дж.Х. Перераспределение энергии гауссовского ультразвукового пучка, отраженного от раздела жидкость твердое тело // Акуст. Журн. -1975. -Т.21, Jfe 1. -С.1-10.

2. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. Теория и методы : Пер. с англ. -М.: Мир, 1983. -Т. 1,2. 880 с.

3. Александров В.М., Буряк В.Г. О некоторых динамических смешанных задачах теории упругости//ПММ, -1978. -42, вып.1, -С. 114-121.

4. Алешин Н.П., Белый В.Е., Вопилкин А.Х., Вощанов А.К., Ермолов И.Н., Гурвич А.К. Методы акустического контроляометаллов. -М. : Машиностроение. -1989. -456 с.

5. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. -М. Наука, 1984. -254 с.

6. Бабешко В.А.Новый метод решения краевых задач механики сплошной среды и математической физики для неклассических областей// ДАН СССР, -1985, -284, № 1, -С. 73-76.

7. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. -М. Наука, 1989. -343 с.

8. Бабешко В.А., Золотарева Л.И. Возбуждение волн в упругой среде заглубленным жестким вибратором. // Изв. АН СССР, МТТ, № 5, 1981. С.94-99.

9. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах//ПММ, 1980. Т. 44, вып. 3.с. 477-484.

10. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. -М. Наука, 1972. -456 с.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы. ~М,: Наука. -1973.

12. Беннерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М. Мир, 1984. 494 с.

13. Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. Т. I. М. Л: ОНТИ. Глав. ред. общетех. лит. и номогр. , 1935. 330с.

14. Боев Н.В., Ватульян А.О., Сумбатян М.А, Восстановление контура препятствий по характеристикам рассеянного акустического поля в коротковолновой области. Акустический журнал, 1997. Т.43, N 4,С.~458-462.

15. Боев Н.В., Ворович И.И., Сумбатян М.А. Метод граничных интегральных уравнений в задачах коротковолновой дифракции //Изв. РАН МТТ. -1992. С. 38-42.

16. Бреховских Л.М., Годин O.A. Акустика слоистых сред. -М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. 416 с.

17. Ваганов Р.Б., Кацеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. -М.: Наука, 1982. -272 с.

18. Ватульян А.О., Корейский С.А. О восстановлении формы приповерхностного дефекта в полупространстве// Докл. РАН, 1995, т.334, Ш 6. -С. 753-755.

19. Ватульян А.О. , Коренский С.А. Метод линеаризации в геометрических обратных проблемах теории упругости//ПММ. 1997. Т.61. вып.4. С.639-646.

20. Вопилкин А.Х. Волны дифракции и их применение в ультразвуковом неразрушающем контроле//Дефектоскопия. -1985. -Ш 1. -С. 20-34.

21. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. -М.: Наука, 1974. 455 с.

22. Ворович И.Й., Бабешко В.А. Дйнамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. -М.: Наука. 1979. - 319 с.

23. Ворович И.Й., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. -М.: Научный мир. 1999. - 246 с.

24. Ворович И.Й., Сумбатян М.А. Восстановление образа дефекта по рассеянному волновому полю в акустическом приближении//Изв. АН СССР. МТТ. -1990. 6. -С. 79-84.

25. Воронков В.А., Ермолов Й.Н. Диаграмма направленности наклонных преобразователей // Дефектоскопия. -1990. 5, С. 80-82.

26. Газарян Ю.Л. О поле точечного излучателя в слое, лежащем на полупространстве // Акуст. Журн. -1958. -Т.4, К» 3. -С.233-238.

27. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. -Ростов-на-Дону: йзд-во РГУ, 1993. 144 с.

28. Годин О.А. Примеры расчета отражения плоской волны от слоистых сред. // Вопросы дифракции электромагнитных волн. М.: Изд-е МФТИ, 1982. С.107-114.

29. Годин О.А., Прокопюк И.В. К теории смещения ограниченных волновых пучков при отражении // Акуст. Журн. -1985. -Т.31, № 2. -С.178-185.

30. Гребенник B.C., Тайц М.Э. Расчет диаграммы направленности призматического искателя if Дефектоскопия. -1981. -К« 1, С. 87-101.

31. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка. -1981. -284 с.

32. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наукова думка. 1978. -308 с.

33. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам.: Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1985. 304 с.

34. Дружинина И.Д., Сумбатян М.А. Численно-аналитический метод в задачах коротковолновой дифракции// Акуст. журн. -1990. -36. вып. 2. -С.269-275.

35. Дружинина И.Д., Сумбатян М.А. Коротковолновая дифракция на телах с произвольной гладкой границей в двумерном случае// Акуст. журн. -1992. -38. вып. 3. -С.470-476.

36. Ермолов Й.Н. Теория и практика ультразвукового контроля. М.: Машиностроение, 1981. 240 с.

37. Ермолов И.Н. Методы ультразвуковой дефектоскопии. -М.: МГИ. -1966. -4.1, 267 е.; Ч. И, 116 с.

38. Ермолов И.Н., Лапин Ю.В., Стасев В.Г. Поле излучения и приема по оси прямоугольного искателя // Дефектоскопия. -1979. -Jfe 8, С. 63-69.

39. Ермолов И.Н., Разыграев Н.П., Щербинский В.Г. Использование акустических волн головного типа для ультразвукового контроля ff Дефектоскопия. -1978. 1, С. 33-40.

40. Ермолов И.Н., Щербинский В.Г. Об использовании АРД-диаграмм при контроле наклонными искателями ff Дефектоскопия. -1970. 6, С. 41-46.

41. Жарий О.Ю., Улитко А.Ф. Ведение в механику нестационарных колебаний и волн. Киев: Выща Школа, 1989. - 184 с.

42. Кайно Г. Акустические волны: Устройства, визуализация и аналоговая обработка сигналов: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. 656 с.

43. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. -742 с.

44. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 311 с.

45. Кравцов Ю.А. О двух новых асимптотических методах в теории распространения волн в неоднородных средах // Акуст. Журн. -1968. -Т.14, № 1. -С.1-24.

46. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. -М.: Наука, 1980. 304 с.

47. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. -М.: Физматгиз, 1963. 472 с.

48. Кюркчан А.Г. Об обратной задаче рассеяния для уравнения Гельмгольца//Докл. АН СССР. 1984. - 275, № 1. -С. 48-51.

49. Ландау Л.Л., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. 3-е изд. - М.: Наука, 1986. 736 с.

50. Ляпин A.A., Румянцев А.Н., Селезнев М.Г. Динамическая контактная задача для двухслойного полупространства со сферической полостью// ПМТФ. 1991. - № 3. -С.125-129.

51. Ляпин A.A. О возбуждении |волн в слоистой среде с локальнымдефектом // ПМТФ. -1994. -Т.35. -№.5. -С.87-91.

52. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов : Пер. с англ. -М.: Мир, 1974. -327 с.

53. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. 511 с.

54. Мюллер Р.К., Кавех М., Уэйд Г. Реконструктивная томография и ее применение в УЗ технике. -ТИИЭР, 1979, т.67, № 4, с. 146-170.

55. Новацкий В. Теория упругости. -М.: Мир, 1975. 872 с.

56. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1977. - 312 с.

57. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л.: Наука, 1980. - 280 с.

58. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. - 411 с.

59. Погорелов A.B. Многомерная проблема Минковского. -М.: Наука, 1975.

60. Подильчук Ю.Н., Рубцов Ю.К., Сорока П.Н. Распространение упругих волн от криволинейной цилиндрической поверхности//ПМ. 1985. - 21, № 12. - С. 21-26.

61. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. -М.:Наука, 1986,- 328 с.

62. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. М.: Мир, 1989. 480 с.

63. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Госуд. изд-во. тех.-теор. лит., 1956. 420 с.

64. Рытов С.М. О переходе от волновой к геометрической оптике // ДАН СССР. -1938. -18, № 4-5. -С.263-266.

65. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев: Наукова Думка, 1976. - 283 с.

66. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий O.A. Колебания и волны в слоистых средах. Киев: Наукова Думка, 1990. - 222 с.

67. Селезнев М.Г. Возбуждение волн в двухслойной среде колеблющимся штампом.//ПММ, 1975. Т. 39, вып.2. -С. 381-384.

68. Скучик Е. Основы акустики. М. : Мир. -1975. -Т. 1, 520 е.; -Т.2, 542 с.

69. Сумбатян М.А. Развитие метода Шоха для численного исследования поля ультразвукового излучателя// Акустический журнал, 1988, т.34, вып.1, с.185-187.

70. Сумбатян М.А. Расчет диаграммы отражения от круглой трещины для нормального УЗ искателя.// Известия АН СССР. МТТ. т.24, № 1. 1989. с.133-137.

71. Сумбатян М.А., Троян Э.А. Обратная задача восстановления формы рассеивателя в лучевом приближении. Тез. докл. X Всес. симп. по дифр. и распростр. волн (СДВ-10), - Винница, -1990, -т.З, С. 268-270.

72. Сумбатян М.А., Троян Э.А. Восстановление формы выпуклого дефекта по рассеянному волновому полю в лучевом приблйжении//ПММ. 1992. Т.56. вып.З. С.552-556.

73. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. - 1974. 223 с.

74. Троян Э.А. Методы сплайн-апроксимации при реконструкции дефектов ультразвуковыми методами. Тез. докл. науч. конф. асп. и соиск. ( осень 1999), Ростов-на-Дону. С. 27-28.

75. Троян Э.А. К проблеме реконструкции дефектов сложной формы// Дефектоскопия. -2000. -№ 1, С. 72-75.

76. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. -Казань: Изд-во КГУ, 1986. 296 с.

77. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

78. Фок В.А. Дифракции радиоволн вокруг земной поверхности. М. : Изд-во АН СССР, 1946.

79. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М. : Сов. Радио, 1^70. -518 с.

80. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. -М. : Мир. 1964. -543 с.

81. Шендеров E.JI. Волновые задачи гидроакустики. JL: Судостроение, 1972. 352 с.

82. Achenbach I.D., Gautesen А.К. Geometrical theory of diffraction for three-D elastodynamics // J. Acoust. Soc. Amer. -1976. -61, N 2. -P.413-421.

83. A.G. Ramm. Scattering by Obstacles. D. Reidel Publ. Company: Dordrecht, 1986.

84. Bates K.N., Carome E„ Fester K., Liu R.Y., Shaw H.J. Digitally Controlled Electronically Scanned and Focused Ultrasonic Imaging System //1979. Ultrason. Symp. Proc. (IEEE), 79 CH1482-9, 216220.

85. Bostrom A. The null-field approach in series form The direct and inverse problems// J. Acoust. Soc. Amer. -1986. -79, N 5. -P.1223-1229.

86. Colton D., Kress R. The unique solvability of the null field equations of acoustics // Q. J. Mech. Appl. Math. -1983. -36, P.87-95.

87. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theoty. Springer-Verlag: New York, ed.2, 1998.

88. Colton D., Monk P. A novel method for solving the inverse scattering problem for time-harmonic acoustic waves in the resonance region//SIAM J. Appl. Math. 1985. - 45, N 6.- P. 1039-1053.

89. Colton D., Monk P. A novel method for solving the inverse scattering problem for time-harmonic acoustic waves in the resonance region II//SIAM J. Appl. Math. 1986. - 46, N 3.- P. 506-523.

90. Cromme L. Eine Klasse von Verfahren zur Ermitlung bester nichtlinearer Tschebyscheff-Approximationen // Numer. Math., 25, 1976. P.447-459.

91. D.A. McNamara, C.W.I. Pistorius, J.A.G. Malherbe. Introduction to the Uniform Geometrical Theory of Diffraction. Artech House: Boston, London, 1990.

92. Deschamps M., Som A. Acoustic signature of dispersive and orthotropic composites using a focused microscope // J. Acoust. Soc. Am. , 93, N 3, 1993. P.1374-1384.

93. Djelouah H., Baboux J.C., Perdrix M. The transient field of a planar ultrasonic transducer coupled to a lens: Experiments and simulations // J. Acoust. Soc. Am. , 87, N 1, 1990. P.76-80.

94. Djelouah H., Baboux J.C., Perdrix M. Theoretical and experimental study of the field radiated by ultrasonic focussed transducers // Ultrasonics, V. 29, 1991. P.188-200.

95. Imbriale W.A., Mittra R. The two-dimensional inverse scattering problem//IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1970. - AP-18. -P. 633-642.

96. Kao L.S., Shafie H.R., Hsu D.K., Wormley S.J., Thompson D.O. Two-dimensional US tomography in NDE by using area functions. IEEE Trans. Ultrason., Ferroel., and Freq. Contr., 1990, v. 37, N 2, p.148-158.

97. Keller J.B. Geometrical theory of diffraction // J. Opt. Soc. Amer. -1962. -52, N 2. -P.l 16-128.

98. Krautkramer J., Krautkramer H. Ultrasonic Testing of Materials. Berlin, Heidelberg, New York. Springer-Verlag. -1983. - 667 p.

99. Lee F.A. Scattering of a Cylindrical Wave of Sound by an Elastic Cylinder // Acustica. -1953. -13, N 13.

100. Lemons R.A., Quate C.F. A Scanning Acoustic Microscope. //1973. Ultrason. Symp. Proc. (IEEE), 73 CHO 807-8 SU, 18-20.

101. Mundry E., Wustenberg H. Theory and Experiments of Ultrasonic Defect Size Determination with the Double-Probe and the

102. Single Probe - Technique // Vortrag 5. Int. Conf. On Nondestructive Testing. - 1967.

103. Pao Y.H., Mow C.C. Dynamic stress concentration in an elastic plate with rigid circular inclusion // Proc. 4-th U.S. Nat. Congr. Appl. Mech., Pergamon Press. Oxford London - New York -Paris. - 1962. P.493-499.

104. Pao Y.H., Mow C.C. Scattering of plane compressional waves by a spherical obstacle // J. Appl. Phys. 1963. -34, N 3,1. P.493-499.

105. Pao Y.H., Sachse W. Interpretation of Time Records and Power Spectra of Scattered Ultrasonic Pulses in Solids. // J. Acoust. Soc. Am. , 56, N 5, 1974. P.1478-1486.

106. Reinsch C.H. Smoothing by spline functions // Numer. Math. 10. -1967. P.177-183.

107. Schmerr L.W., Sedov A., Lerch T.P. A boundary diffraction wave model for a spherically focused ultrasound transducer // J. Acoust. Soc. Am. , 101, N 3, 1997. P.1269-1277.

108. Schmerr L.W., Sedov A., Song S.J. Ultrasonic scattering by a flat-bottom hole in immersion testing: An analytical model // J. Acoust. Soc. Am. , 92, N 1, 1992. P.478-486.

109. Schoenberg I.J. Spline functions and the problem of graduation // Proc. Nat. Acad. Sci., 52, 1964. P.947-950.

110. Sumbatyan M.A., Boyev N.V. High-frequency difraction by nonconvex obstacles// J. Acoust. Soc. Am. , 95, N 5, 1994. P.2346-2353.

111. Sumbatyan M.A., Solokhin N.V., Trojan E.A. Reconstruction of convex flaws using backscattered ultrasound// NDT & E Intern. 1993. V.26. N.5. P.227-230.

112. Tamm K.C. 3- dimensional flaw characterization through 2-dimensional image reconstructions. Review of Progress in QNE, 1986, v. 5A, p. 541-552.

113. Tobocman W. Calculation of acoustic wave scattering by means of the Helmholtz integral equation. I // J. Acoust. Soc. Am. , 76, N 2, 1984. P.599-607.

114. Tobocman W. Calculation of acoustic wave scattering by means of the Helmholtz integral equation. II // J. Acoust. Soc. Am. , 76,N 5, 1984. P.1549-1554.

115. Tobocman W. Extension of the Helmholtz integral equation method to shorter wavelengths // J. Acoust. Soc. Am. , 80, N 6,1986. P.1828-1837.

116. Tobocman W. Extension of the Helmholtz integral equation method to shorter wavelengths. II // J. Acoust. Soc. Am. , 82, N 2,1987. P.704-706.