Весовая ограниченность квазилинейных операторов на конусах монотонных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи. УДК 517.51

ть

Шамбилова Гулдарья Эрмаковна

ВЕСОВАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ

Специа льность 01.01.01. — вгнттргтпрттньтй. кочтт тюкгпмй т* функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г г апр 2015

005567714

Москва - 2015

005567714

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования "Российский университет дружбы народов".

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Степанов В.Д.

Официальные оппоненты: Кусраев Анатолий Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук и Правительства Республики Северная Осетия-Алания, директор и заведующий отделом функционального анализа.

Прохоров Дмитрий Владимирович, доктор физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Вычислительный центр Дальневосточного отделения Российской академии наук, ведущиий научный сотрудник.

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "МЭИ".

Защита состоится « » М-СЬ^ 2015 г. в 15 ч.ЗО мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. № 495".

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан

9

Ученый секретарь диссертационного совета: Доктор физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Изучение интегральных неравенств занимает особое место в общей картине неравенств в классическом анализе. Современная форма интегральных неравенств в весовых пространствах Лебега является обобщением неравенств, которые изучались в фундаментальной работе Г. Хардн. В последние два десятилетия исследование оператора Харди и операторов типа Харди фокусировалось на характеризации весовых функций, для которых эти операторы ограничены.

Приведем основные определения. Пространство Лебега Ь), 0 < р < оо, состоит из всех измеримых функций, таких что

IIЛк := ( [Ь \Пх)Мх)йхУ < оо

при 0 < р < оо и

или» := евзвир!/^)!и(х) < оо.

а<х<Ь

Здесь и{х) > 0— измеримая весовая функция. Для краткости мы часто

будем писать Р . Весовое интегральное неравенство типа Харди

в пространстве Лебега имеет вид

£ f(t)dt " u(x)dx)' < С q " , (0.0.1)

где —оо < а < Ь < оо, 0<д<оо, 1 < р < оо, и, V— измеримые весовые функции, положительные почти всюду на (а, Ь). Задача характеризации данного неравенства состоит в нахождении необходимых и достаточных условий (критериев) на весовые функции и и» для выполнения неравенства (0.0.1). Эти критерии для различных значений параметров р и д можно найти в работах Б. Мукенхаупта1 , В. Г. Мазьи2 , Г. Синнамона 3, 4 и ряда

'Muckenhoupt В. Hardy's inequality with weights. // Studia Math. 1972. V. 44. P. 31-3S..

2Мазья В.Г. П|хк;транстла Соболева. ЛГУ. 1985.

3Simiamon G. A weighted gradient inequality. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 19S9. V. 111. № 3-4. P. 329-335.

4Sinnamon G. Weighted Hardy and Opial-type inequalities. // J. Math. Anal. Appl. 1991. V. 1G0. № 2. P. 434-445.

других авторов5, 6 .

Пусть 0 < р < оо и w(x) > 0 измеримая весовая функция на [0; +оо). Пространство Лоренца Ap(w) определяется в виде

Л» := |/ : ||/||Л1,(ш) = (f[/T.)P < оо

где /* - невозрастающая перестановка измеримой функции /, определенная по формуле

Г(i) := inf{y > 0 : Xf(y) < t}, где X/ - функция распределения:

Лf{y) := mes{x € X : |/(х)| > у).

С начала 90-х годов прошлого столетия начали интенсивно изучаться задачи об ограниченности классических операторов в пространтвах Лоренца, что привело к необходимости характеризовать весовые интегральные неравенства типа Харди на конусе монотонных функций. Например, известно, что максимальный оператор Харди - Литтлвуда

Mf(x) := sup [\f(y)\dy,

в mesВ Jв

где супремум берется по всем шарам В с центром в точке х е R" , допускает двустороннюю оценку

(Mfr(t)a±£r(s)ds, t> о,

поэтому ограниченнность оператора М : AP(v) —> Aq(u), 1 < р, q < оо, эквивалентна ограниченности оператора Харди

(Hf)(t):=jj*f(s)ds, t> 0,

действующего из LP^v) в Lq(u), 0 < р, q < оо, на конусе неотрицательных убывающих функций.

°Opic В., Kufner A. Hardy-tj^e inequalities. Pitman Research Notra in Mathematics, Series 219, Longman Science and Technology, Harlow. 1990.

r'Kufner A., Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type. World Scientific, New Jersey. 2003.

В 1990 г. М. Ариньо и Б. Мукенхаупт7 получили критерий указанной ограниченности при 1<р<ооии = и. В дальнейшем Е. Сойер8 обобщил результаты М. Ариньо и Б. Мукенхаупта для произвольных весовых функций и, V и параметров 1 < р, ц < оо. Случаи O<9<I<P<00,0 < р < <7 < оо, 0 < р < 1 были решены В. Д. Степановым9, а случай 0 < <7 < р < 1 М.Л. Гольдманом10 и Г.Беннеттом и К.Г. Гроссе-Эрдманом11. Для операторов Вольтерра критерии ограниченности на конусах монотонных функций получены О.В. Поповой12.

В дальнейшем весовым неравенствам на конусе монотонных функций посвящено множество публикаций13, поэтому данное направление исследований является актуальным.

Пусть ПЛ+ - множество всех неотрицательных измеримых по Лебегу функций на М+ := [0, оо) и С Ш+ конус всех невозрастающих функций.

Пусть 0 < д < оо. В работе Д.В. Прохорова и В.Д. Степанова14 был

7Arino М., Muckenlioupt В. Maximal functions on classical Lorcntz spaces and Hardy's inequality with weights for non-increasing functions. // Trans. Amcr. Math. Soc. 1090. V. 320. № 2. P. 727-735.

8Sawyer E. Boundedness of classical operators on classical Lorentz spaces, Studia Matli., 96 (1990), 145-158.

9Stepanov V.D. Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral operators. // J. London Math. Soc. (2) 1994. V. 50. № 1. P. 105-120.

10M.L. Goldman, H.P. Heinig and V.D. Stepanov. On the principle of duality ill Lorentz spaces, Caliad. J. Math. 48 (199G), no. 5, 959-979.

"Bennett G., Grosse-Erdmann K.-G. Weighted Hardy inequalities for decreasing sequences and functions. // Math. Ann. 200G. V. 334. № 3. P. 489-531.

12Попопа O.B. Неравенства типа Харди на конусах монотонных функций // Сибир. матом, жури. 2012. Т. 53. № 1. С. 187-204.

13Гогатншвили А., Степанов В.Д. Редукционные теоремы для весовых интегральных неравенств па конусе монотонных функций jj Успехи матем. наук. 2013. Т. G8. № 4. С. 3-G8.

14П]юхоров Д.В., Степанов В.Д. О весовых неравенствах Харди в смешанных нормах // Труды МИАН. 2013. Т. 283. С. 125-140.

изучен новый класс квазилинейных интегральных операторов вида

\Jx \Jо

(0.0.2)

^/(х):=Ц Ц fuj w(t)dtj\

f Гх f Г°° \ 1 \

(0.0.3)

(0.0.5)

(0.0.4)

играющих важную роль в теории пространств Морри15.

Пусть 0 < р < оо, 0 < г < оо. В диссертации изучаются неравенства вида

где константа С не зависит от / и полагается выбранной наименьшей из возможных, а в качестве R рассматриваются квазилинейные интегральные операторы вида (0.0.2)- (0.0.5), для которых мы даем исчерпывающее решение поставленной задачи, а также находим приложение полученных результатов к анализу операторов Харди на конусе квазивогнутых функций.

Цель работы

Целью работы является получение критериев выполнения интегральных неравенств на конусах монотонных и квазивогнутых функций.

Методика исследования

В работе используются методы теории функций, функционального и математического анализа.

Научная новизна

Основные результаты диссертации является новыми и обобщают или дополняют ранее известные.

I5Bureiikov V.l., Gogatishvili A., Guliev V.S., Mustafaeyev R.Ch. Boimdedness of the fractional maximal operator in local Morrey-type spaces // Complex Variables and Elliptic Equations. 2010. V. 55, N 8-10. P. 739-758.

( ^ПЯ/гр) r < с (jH/i^)'. / e

Теоретическая значимость

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

Аппробация работы

Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научном семинаре РУДН по функциональному анализу под руководством чл-корр. РАН В. Д. Степанова, на Российской школе-конференции с международным участием "Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы, 2014".

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях и тезисах доклада на научной конференции.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка" литературы (71 наименований). Объем диссертации составляет 121 страницу.

Содержание работы

Первая глава "Весовые интегральные операторы на конусах монотонных функций" носит вспомогательный характер.

Основным методом изучения интегральных неравенств на конусе монотонных функций является метод редукции, т.е. сведение данного неравенства на конусе монотонных функций к неравенству на неотрицательных функциях.

В данной главе представлены основные теоремы редукции из работ А. Гогатишвили и В.Д. Степанова10, которые далее используются во второй главе.

Вторая глава "Ограниченность квазилинейных операторов на конусах монотонных функций".

Основная цель во второй главе - дать решение задачи нахождения необходимых и достаточных условий выполнения весовых неравенств для ква-

10Гогатишвили А., Степанов В.Д. Редукционные теоремы для весовых интегральных неравенств па конусе монотонных функций // Успехи матем. наук. 2013. Т. С8. № 4. С. 3-С8.

зилинейных операторов на конусе монотонных функций. При решении задачи используется метод редукции интегральных неравенств на конусах монотонных функций к неравенствам на конусах неотрицательных функций, которые затем характеризуются с помощью известных и недавних результатов Д.В. Прохорова и В.Д. Степанова17. Однако, при решении задачи методами, предложенными в первом параграфе данной главы не удалось охватить все случаи параметров суммирования. Во втором параграфе на основе альтернативного подхода, основная идея которого взята из следующей работы Д.В. Прохорова и В.Д. Степанова18, этот пробел был восполнен.

Приведем основные результаты.

Пусть

J ft rt poo

' V, U(t) := / ы, W{t) := / w, 0 < t < oo. n Jo Jt

Теорема 1. Пусть Q < q < oo, 0<p<oo,0<r<oo. Тогда для наилучшей константы Ст в неравенстве

[TfYpj < сТ Ц [f]"vj jem^

выполняется оценка

СТ^А1+А2 + В, где - наилучшие константы в неравенствах

Ц p(x)[W(x)]i (£ Qf° hj' daA < A\ J°° hV,

Г (fGTA)!w

w(y)dy

p(x)dx

if

Jo

< Ap2 I hV,

17П1>охо1юв Д.В., Степанов В.Д. О весовых неравенствах Харди в смешанных нормах // Труды МИАН. 2013. Т. 283. С. 125-140.

18Прохо1х>в Д.В., Степанов В.Д. Оценки одного класса сублинейных интегральных операторов. // Доклады АН. 2013. Т. 453. С. 480-488.

при к £ Ш+, а константа В имеет вид

зщ^о (/о\р)"т\\

В :=

Гр(*) СМ |И<Т-'М,<т(Х)]|

Р < г;

йх\ , г < р,

где I := 1 _ I.

в г р

Здесь функции а : [О;оо) —> [О;оо) и а 1 : [О;оо) —¥ [О;оо) задаются формулами (т£ 0 = оо)

а(х) Ы > 0 : ^ р > 2 ^ р|, х > О,

а операторы ^ и имеют вид

:= Х[г.эс)(я) ^/_1( ^ ^ ^ Цб)^ ,

(х й 1 Nр

! , для 0<с<с2<оо,0<£<оо, Ле 9Л+.

Для предельных значений параметров имеет место следующее Замечание 1. (1) При ц — оо имеем

Ст&А1<1 + А2,1+В1, где УЦ.ъЛгл - наилучшие константы в неравенствах

^ р{х)[\¥{х)\г Ц™ /г)' и(з)с1з^ < А\Л £ НУ,

(ос Г эс - эо

[ р{х)еэзвир ([ к)" и{г)ю{г)(И сЬ) < Л?х / НУ, Jo ?>х \Л / / '

- 9-

при к 6 9Л+, а константа В\ имеет вид

зир(>0 (/о р)'11^4^30,

/о°°^(х) [см 1и»-'(*м*)]| 1ь{,

Р < г; ¿х) , г < р,

где I := 1 _ I.

5 Г р

(2) при р = оо или г = оо имеем

где

Ст = \\Т(-)\\Ьт, р = оо;

Сг = 8ирД(4)||^||' £, г = оо,

оо

:= езззирр(г), := езззирго(£).

0<г<(

Пусть

и ~ Г30

:= —, С/(£) := / и, 0 < г < К" Л

оо.

Теорема 2. Пусть 0 < д < оо, 0 < р < оо,0 < г < оо. Тогда для наилучшей константы С5 е неравенстве

(1™[3/(х)}гр(х)с1х^ ' < С5 ', / е ОТ1

выполняется оценка

С3^А1 + А2+ В, где А1, А2 - наилучшие константы в неравенствах

гх / у-оо / гу \ % _ >

/о Ц Ц

р(я)с£г < А?

!

и о

/■ОО / /><72(х) \ 9 / ЛЗО / м

1 рМЦ ■ -) (/•«и"1'1

^гоо

' к

о

при h G a константа В имеет вид supi>0 (/o^l^H^jp S™ Р(х) [(/oXp) Ц^-^М*)]!

L'-^LZi

p < r; dx ) , r < p.

Здесь операторы Г(, имеют вид

Г(/) / ГЗ

Tth(x):=X{LX){x)[Jx hV^" ù(s)ds) ,

T\c4}h{x) :=

■*{х) ц

"(<4 / г* У

/»V ïï(s)ds ,

для 0 < с < с/ < оо, 0 < £ < оо, Л е 0Л+.

Для предельных значений параметров имеем Замечание 2. (1) При д = оо имеем

С5 « А1 + А2 + В, -

где А1,Аг - наилучшие константы в неравенствах

2;Jess вир

1>х

(ГГ p(x)[W(x)Y ( [

/iF U(t)w(t)dt

dx] < A?

U h,

Jo

DO / /-S

/О Ч./0

при Н £ ЯЯ+, а константа В имеет вид

БиР;>о (/о/5)' И^Щ^/,« . /о"^) (/о1/5)

где i := 1 - I.

s r p

(2) При p = оо и при г = оо имеем

Cs = ||S(-)||L;> Р = оо; и р

AV ) tï(s)ds I сЬс I < A? J h,

Р < г; dx ) , г < р.

где

С5 = 8ирЯ(4)||:Г,||г г = (>0

х <(<ст2(х)

Я(Ь) езз8ирр(г).

0<г«

Теорема 3. Пусть 0<д<оо,0<р<оо,0<г<оо. Тогда для наилучшей константы Сд- в неравенстве

еГ{{х)Гр{х)<1х) Г < О (£°[/(х)Мх)<Ь)',/ е ал* выполняется оценка

С.г и М + ¿/г +

где £/1,3/2 - наилучшие константы в неравенствах

1о ^ ^ \1о

НУ) [и{у)]«ш{у)<1у

дх

лэо

<</ К и О

(Г*>(Г'У(Ш

при К Е а константа имеет вид

НУ ) й(я)(к <

лоо

/ л,

J о

эиРоо игру

./Г Р(х)

(Гр)

2 , ь^Ы'

^с-м^-с^)]

йх

Р < г; г < р.

где — - .

8 Г р

Для предельных значений параметров имеем Замечание 3. (1) При д = оо имеем

Сз- « М + +

где szf\,gfi - наилучшие константы в неравенствах

[( р(х)еsssup ([ hv\ U{t)w{t) dx] < „< Г h, yjО о<t<x [ \Jo J j у JQ

J^ p(x)esssup[w{t)Y (J ^^ hV^jP u(s)dsj j < ¿/2P J™ h,

при h S 2Я+, а константа 33 имеет вид

suPon (¡Г P)'

Tt

SB\=

Г p(x)

u°°p)

ЧС"1 (*)•<<*)]

P < r;

dx\ , r < p.

где - := - — i .

5 Г p

(2) при p = oo и при г = oo имеем

A

где

Cj- = sup&(t)\\T,\\' 1,r = oo, t> 0 !!,->££

^(i) esssupp(z).

Здесь функции С : [0; oo) [0;oo) 11 ( 1 : [0;oo) [0;oo) задаются формулами ( inf 0 = oo)

C(x) := sup |у > 0 : J U ~ \ Jx "} ' X ~ 0

C\x) :=sup|y > 0 : J U~2Jx ' X ~ а операторы Tt, Tjc,;] имеют вид

T,h(x) := X(o.f](a:) (j™ QT hvj " u(e)tfa) ,

Т[с4]Кх) := хм(х) Ц ^ НУ^ " Цз^!

для 0 < с < й < оо,0 < Ь,р < оо, Л € 9Л+.

Теорема 4. Пусть 0<<7<оо, 0<р<оо, 0<г<оо. Тогда для ;наилучшей константы Су в неравенстве

\yf{x))rP{x)dxJ <ОЦ ) ,/еяя;

выполняется оценка

Су « Ах + А2 + В, где Ах, Аг - наилучшие константы в неравенствах

(Г'и (Г о ^^

/

J

V

/•ОО / [X / /-оо \ J >

I р{х) [Jo \J 7 uí(y)w{y)dy

к L

при h £ ЯЛ+, а константа В имеет вид

Г <А? /

Jo

'■f

Jo

hV,

suPí>0 (/í°° />)7

Я

В :=

/о50

(Гр)

•^fc-'w.c^)]

da: | < A? / ftV

P < r;

; V

dx , r < p.

где -:=- — - .

й Г р

Замечание 4. (1) При ц = оо имеем

где Ах, Аг

О « Ах + А2 + В,

- наилучшие константы в неравенствах - 14-

f ( rC2{x) / ,<x> \ i \ r \ ' rx

J p(x)W(x) f J IJ h) u(s)ds 1 dx j <A?y /iV,

( / р^еБзэир ( / Л) \уо о<(<1 \Л /

при Л £ Ш1+, о константа В имеет вид

ГЭС

dx I < Af J hV

В :=

supt>0-(¡ГрУ Я

/о" Р(х)

ОГр)

я,

[С-'(х).С'х)]

р < г;

; V

ch , г < р.

г<?е I := I _ I .

я г р

(2) При р = оо и при г = оо имеем

,1

С>=||^(-)||ч, р = со;

t> о i

2, Г = ОО,

где

^(i) := esssupp(^).

2><

Ж(я) := ess sup [w(i)]r

C~2(l)<i<x

Здесь операторы и ¿S^.j] имеют вид

ЗЗД := X(0./](ar) (Y Q Л^',

М4х) := х\с.,1\(х) } .

для 0 < с < d < оо,0 <t < оо,Н е 9Л+.

Третья глава "Интегральные неравенства на конусах квазивогнутых функций".

Пусть </? € Ш+ - гладкая, строго возрастающая функцня, такая что <р(0) = 0,95(00) = оо. Обозначим через множество всех неотрицательных <£> - квазивогнутых функций, таких что

:= |/ G mtî : L G fflt^ j .

В данной главе приведены критерии ограниченности интегральных операторов типа Харди на конусе квазивогнутых функций.

Пусть и, V, и: € ШТ+, 0 < р, <7 < оо. Рассматривается неравенство

а

где

Г[А/~(х)]9и(х)<Ь) ' < СА ^£°[f(x)]*v(x)<bj ', / е % (0.0.6)

Af(x):= [ f(y)w(y)dy. Jo

Эта задача тесно связана с ограниченностью максимального оператора Харди-Литтлвуда в весовых Г—пространствах Лоренца вида

ГРМ := |/ : ||/||гя(ш) := (j£ f'Jw(t)dt}' < оо|

и в последние два десятилетия была решена для всех значений параметров 0 < р, q < 00, исключая случай 0 < q < 1 (см. работы В.Д.Степанова19, М.Л. Гольдмана20, Л.-Е. Перссона21, М.Л. Гольдманаи М.В. Сорокиной22). В третьей главе представлен альтернативный метод решения задачи, с помощью которого дается ответ в интегральном виде для всех случаев параметров. Кроме этого, мы находим критерий выполнения неравенства, аналогичного (0.0.6), с оператором

/•ОО

Bf(x):= J f(y)w(y)dy.

10Stepanov V.D. Integral operators 011 the cone of monotone functions // Л. London Math. Soc., 1993. V. 48. № 3. P. 4G5-487.

20Goldrnan M.L., Heinig H.P. and Stcpanov V.D. On the principle of duality in Lorentz spaces, Canad. J. Math. 48 (1990), no. 5, 959-979.

21Persson L.-E., Popova O.V. and Stepanov V.D. Weighted Hardy-type inequalities on the cone of quasi-concave functions, Math. Inequal. Appl. 17, (2014), no 3, 879-898.

22Гольдыан М.Л., Сорокина М.В. Трехвесовые неравенства типа Харди на конусе квазимонотонных функций. // Доклады АН. 2005. Т. 401. № 3. С. 301-305.

Приведем основные результаты.

Теорема 5. Пусть 0 < р,д < оо и и,и,ад € 9Я+. Тогда для наилучшей константы С а в иерванстве

Ш(х)}"и(х)<1х^ 4 < С А 0Н/(х)Ых)Лх)', / € % выполнено соотношение

САЪА0 + А1+А0+А1,

где константы в правой части имеют вид

(/ои(х)(1о'<ри>УдхУ оо тЩУу)

АГГ

[(УФ))"^)]™ «(в) ^У^У ' и{Ь) ^Г V«") Л (0.0.7)

для д <р.

и для г/ < р

о = 5иР оо

У{1)

Р < ч

\р

Г

тф) (/сЧгУ^У"' (л( у у.,

При р < д

А\ = Бир I / ы /е(о.ос) \Л

« вир ( [

(6(0,ос)

1

' Л)

1 / ^ / Г» \ -Ч

" [ ( Л у™ \

'о

т, 0 <р<1,

I ,р> 1,

где р' := При q < р

(•ж / г оо

£=!

Р-Я

/ I I intii I \

p-q

А=Чо U{X){L u) I^äw)^^"1

при 0 < р < 1 и

г л 1-И-

(0.0.8)

p-q

для p > 1. При p < q

/roo \ 1 г*

f I \4 I, w

Al = sup I / u J sup —1-¡-> O < p < 1

Í6(0,oo) \Л / «6(0,0 [V(s)]í

Ai « sup / и . . . .

fe(o,oo) / Wo

При q < p

roo

p-q

i i i J1 ' ni i i

p-q

(хс(хЧР

Ai = I I u{x) (¡u) I sup ' I dx

Jo \Jx J \s€(C-iW.C(x)) y{s)

при 0 < p < 1 и

Ai

при p > 1.

/ , гербах и

/■» Í г /■«*> (p(x)wY*

Теорема 6. Пусть 0 < р, д < оо и и, £ ЯЯ+. Тогда для наилучшей константы С в в неравенстве

[В/(х)]9и(*) ' < Сп [/(х)}'^^ ' , / е

имеем

Св ~ В0 + В1 + Во + В\, где константы в правой части определяются нио/се формулами

( лт-2(0 ( ГЧ*) \ « \ ' В' = вир^С*)]"1 ( Уо «(я) П <рю] ¿с] ,р<д

и

р-я

[ва

^ и{х) ^ ¿х^ <1Ь

(0.0.9)

при <7 < р. Аналогично,

В* = вирИ«)]"1 (^Ф) ' > Р

£ ^ и(х) (/ 0" шу Й, д <р.

(0.0.10)

при р < д имеем

В1 = эир ( / и ) ей

^У 0 < р < 1,

О Г* \ ? / /-30 / /•« (т„ \ р-1

' и о

и при д < р

[В,]- =

¿х, (0.0.11)

при 0 < р < 1,

та «

¡>т- с

ер-»)? р-<?

-1(х) V ^(в)У(а)

с¿х,

(0.0.12)

если р > 1. Аналогично, для константы В\ имеем при р < д :

В\ = БИР ( [ и)" 8ир[^(б)]^ ( [ № ) , 0 < р < 1,

ОО \Уо / 5>( \Л

В1 РИ Бир I / и оо \7о

7(Л€Г

Ц)^)^ I , р > 1,

и при д < р:

В, =

/

/•оо / гх

I *>и

v

а-1(ж)<я«г(ж) К (л5,*

йх

для 0 < р < 1 и при р > 1

\Bl\T-*

ГОО

/ "(я) Уо

о(х) / И*) „Д "-1

Ус-1 (х

Г"*»

(х) v ^ (*)

(р-1)? р-д

;(5)дв сЬ. (0.0.13)

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Степанову В.Д. за постоянную поддержку и ценные замечания, Российскому

Фонду фундаментальных исследований за частичную финансовую поддержку в рамках проекта 12-01-00554, а также гранту Президента России для ведущих научных школ (проект НШ № 4479.2014.1).

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шамбилова Г.Э. Весовые неравенства для квазилинейных интегральных операторов на конусе монотонных функций. // Вестник РУДН. №4. 2013. С. 17-28

2. ШамбиловаТтЭ. Весовые неравенства для одного класса квазилинейных интегральных операторов на конусе монотонных функций.// Си-бир. матем. журн. Т 55. №4. 2014. С. 912-936. Англ. пер.: Shambilova G.E. The weighted inequalities for a certain class of quasilinear integral operators on the cone of monotone functions. // Siberian Mathematical Journal. 2014. V. 55. No 4. P. 745-767.

3. Степанов В.Д., Шамбилова Г.Э. О весовой ограниченности одного класса квазилинейных операторов на конусе монотонных функций. // Доклады АН. Т 458. № 3. 2014. с. 268-271. Англ. пер.: Stepanov V.D., Shambiova G.E. Weight Boundedness of a Class of Quasilinear Operators on the Cone of Monotone Functions. // Doklady Mathematics. 2014. V 90. No 2. P 569-572.

4. Persson L.-E., Shambilova G.E., Stepanov V.D. Hardy-type inequalities on the weighted cones of quasi-concave functions.//Banach J. Math. Anal. 2015. No 2. P. 21-34.

Шамбилова Г.Э.

Весовая ограниченность квазилинейных операторов на конусах монотонных функций.

Аннотация

В работе получены необходимые и достаточные условия ограниченности квазилинейных интегральных операторов на конусах монотонных функций.

Получены необходимые и достаточные условия выполнения некоторых интегральных неравенств на конусе квазивогнутых функций.

Shambilova G.E.

Weighted boundedness of quasi-linear operators on the cones of monotone functions.

Abstract

In this work we obtain necessary and sufficient conditions for boundedness of quasi-linear operators on the cones of monotone functions.

We derive necessary and sufficient conditions for some integral inequalities to hold on the cone of quasi-concave functions.

Подписано в печать 10.03.2015 г. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме.

_Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 231._

Российский университет дружбы народов

_115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3_

Типография РУДН 115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, тел. 952-04-41