Точные константы в неравенствах для положительных операторов на корпусах монотонных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Хабаровский государственный технический университет

V о

На правах рукописи

2 НОВ УДК517-51

Мясников Евгений Анатольевич

/

ТОЧНЫЕ КОНСТАНТЫ В НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОШЛ'ЛТОРОВ НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск - 1997

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Хабаровского государственного технического университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.Д.Степанов.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.И.Буренков, кандидат физико-математических наук, доцент В.А.Вербицкий.

Ведущая организация

Воронежский государственный университет.

Защита диссертации состоится ДУ /гйЛ^Р 199-?г. в час. на заседании диссертационного совета Д.064.62.01 в Хабаровском государственном техническом университете по адресу: 680035, Хабаровск-35, ул.Тихоокеанская, 136, ауд. 315-л

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского государственного технического университета. Автореферат разослан 1997 года

Ученый секретарь диссертационного совета ^^ у кандидат физико-математических наук А.Д.Ухлов

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Работа посвящена нахождению точных констант с неравенствах для положительных линейных и сублинейных операторов, действующих на конусах монотонных функции.

Вопрос о точной константе сопровождает многие задачи математического анализа. Начиная с классической монографии Г.Г.Харди, Дж.Литглвуда и Г.По-лиа "Неравенства", многочисленные примеры такого сорта можно найти в литературе по вариационному исчислению (Г.Блнсс, М.А.Лаврентьев и Л.А.Люстернпк, Н.И.Ахнезер, и др.) экстремальным задачам, теории приближений (В.М.Тихомиров) и многим другим областям. С развитием функционального анализа, теории линейных преобразовании, задача о точной константе, как значении нормы некоторого оператора, приобрела новый смысл и, фактически, неотделима от хорошо известной задачи об его ограниченности.

В последнее время возобновился интерес к неравенствам типа Харди на монотонных функциях, значение которых для теории ортогональных рядов еще в 50-х годах было отмечено С.Б.Стечкиным. Для простейшего оператора интегрирования Харди критерий его ограниченности в весовой лебеговской норме па монотонных функциях был получен Д.Бондом, С.Г.Крейном и Е.М.Семеновым, а затем, в явном виде, М.Арнньо и Б.Макенхоуптом. Эти результаты дали импульс серии работ по следующим направлениям:

изучение случаев различных весов и индексов суммирования, переход к операторам и пространствам более общего типа, оценка и вычисление норм, и нашли обобщение в статьях К.Андерсена, Е.И.Бережного, М.Л.Гольдмана, К.Нойгебауэра, Э.Сойера, В.Д.Степанова, Г.Хайнига, многих других авторов. В настоящее время проблематика интенсивно развивается.

Цель работы - исследовать в возможно более общем виде задачу о нахождении точной константы в неравенстве для положительных операторов, выполненном на классе монотонных неотрицательных функций.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы математического анализа и теории функцнй, при этом наиболее интенсивно применены методы теории интегральных операторов и теории нормированных пространств.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты можно разделить на три основные группы.

1. Найдена точная константа в неравенстве для монотонных функций и интегральных операторов, действующих в весовых лебеговых пространствах.

2. Получена точная константа в неравенстве (I), выполненном для монотонных функций, при дополнительном требовании выпуклости и вогнутости операторов и пространств.

3. Результаты обобщены для классов квазимонотонных или радиально монотонных функций, а также даны примеры применения результатов для изучения ограниченности операторов, не являющихся положительными.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть применены в теории интерполяции, в теории функциональных пространств и интегральных уравнении.

Апробация работы. Результаты обсуждены на научно-реферативном семинаре "Функциональный анализ" под рук. профессора В.Д.Степанова на кафедре Высшей математики ХГТУ, на Российско-Японской конференции "Интегральные уравнения математической физики" (Хабаровск, сент. 1993 г.), на заседании секции "Анализ и геометрия" II Сибирского Конгресса по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, июнь 1996 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 1993-96 годах в работах [I-4], список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разделенных на 22 параграфа, и списка литературы. Объем диссертации - 115 страниц, подготовленных в редакторской системе WinWord 2.0. Библиография включает 94 наименования.

Содержание работы.

Во введении приводится краткий обзор литературы и сформулированы основные результаты диссертации.

Результаты I главы дополняют результаты работ Б.Берга, В.И.Буренкова, Л.Э.Перссона, где получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенств для операторов типа Харди, действующих на конусах монотонных функций. Кроме того, результаты дополняют работу Ш.Лая.

Пусть линейное пространство вещественнозначных измеримых функций, заданных на [0,со), и,уе5 -локально суммируемые на (0,со) весовые функции.а Т- интегральный оператор вида

{Tf){x)=\k{x,y)f{y)dy

(1)

с ядром к{х,у)> 0, локально суммируемым на (0,со)\ В I главе для индексов 0 < р < ц < со изучаются условия, при которых неравенства

Г/Ц-^Л,,

выполнены для всех монотонных неотрицательных функций / е5.

В § 1.1 установлена точная константа в интегральном неравенстве

у/р

I/?

V0

|[7£U)]4aVx <С ¡g"{x)v{x)dx

40

(2)

выполненном на классе неотрицательных, невозрастающих или неубывающих функций g, когда 0< р<д<«з, 0<р<\. Подобная задача решена для обратного неравенства

Г«, \]'ч

о ) \0

\1 1Р

(3)

при условии, что 1 < рйд<<х>. Основной результат главы - следующая теорема, сформулированная в § 1.1.

Теорема 1.1. Для интегрального оператора Т вида (1) с неотрицательным ядром к(х,у) справедливы следующие утверждения.

(а) Пусть 0 < р < д <°о, 0 < р<\. Если неравенство (2) с конечной правой частью выполнено для всех неотрицательных невозрастающих функций g, то наименьшее значение константы С определяется формулой

с =

у/?.

1 \

| ¡к(х^у\^х)еЬс Му

чоЧо ) ) \о у

-I !Р

(б) Пусть 1 < р < <7 < со. Если неравенство (3) с конечной правой частью выполнено для всех невозрастающих функций g> О, то наименьшее значение константы С имеет вид

С = $ ир

| ^к(х,у)(1у \(х)с!х

\о у

Заметим, что для неубывающих функций в диссертации сформулированы аналогичные утверждения, не приводимые здесь для краткости.

Доказательство Теоремы 1.1 проводится в § 1.2. В § 1.3 Теорема 1.1 дополняется следующим результатом.

Теорема 1.2. Пусть 0< /><1<^<оо. и Т2 - интегральные операторы вида (1.1.1) с неотрицательными ядрами к^ (х, у) и к-,(х, у) соответственно. Если неравенство

У» У/*

\о

\о

(4)

с конечной правой частью выполнено для всех неотрицательных невозрастающих функций g, то наименьшее значение конс танты С равно

С = эй

5Р

сс / /

о V и

1/17 Л

и(Л)</Л-

V

| \кг{х,у)4у х)(Ьс

о Чо

-Мр

Теоремы 1.1, 1.2 обобщены для квазимонотонных функций, соответствующий результат доказан в § 1.4.

/

\

Пусть 5 - пространство, определенное выше. Неотрицательную функцию / е5 назовем квазимонотонной, если существует функция ф ф>0 такая, что /Уф монотонна на (0,оо). Если //ф не возрастает, то /назовем ф-убыва-ющей, а если //ф не убывает, то ф-возрастающей. Справедлива

Теорема 1.3. Пусть ф 6 5 - неотрицательная функция. Для интегрального оператора Т вида (4) с ядром к{х,у)>0 таким, что локально сум-

мируемая на (0, оо)2 функция, справедливы следующие утверждения.

(а) Пусть 0< р<д<оо, 0< р<\. Если неравенство (2) с конечной правой частью выполнено для всех неотрицательных ф -убывающих функций g, то наименьшее значение константы С определяется формулой

С = SU

1>|

у/»

"(' Y YY'

J \k{x,y)<*{y)dy i{x)dx OVO / I 40

-I If

(б) Пусть 1 < p<q<sо. Если неравенство (3) с конечной правой частью выполнено для всех ф -убывающих функций g > 0, то наименьшее значение константы С дается выражением

(' tH' Y у1/'

С = sup |ф71/ J Jк{х,y)q>{y)dy v(x)dx

(> lo J ^OVO У J

(в) Пусть 0 < /J<1<9<CO, и Ти Тг - интегральные операторы вида (1) с неотрицательными ядрами 1\{х, у) и к2{х,у) соответственно. Если неравенство (4) с конечной правой частью выполнено для всех неотрицательных ф -убывающих функций g, то наименьшее значение константы С равно

40

V 1 l/y

u(.v)i/.v

\

Y V \х(' Y

J \kXxty)y[y)dy u{x)dx Л \k2{x,y)(f{y)dy v{x)dx

lp

В § 1.5 Теоремы 1.1, 1.2 обобщаются Теоремой 1.4 для радиально монотонных функций и интегральных операторов вида

Л"

где ядро

- локально суммируемая на Л" х Я" функция, причем не обязательно радиальная, т.е. не обязательно к(х,у) =

Результаты для радиально монотонных функций аналогичны результатам для монотонных функций, определенных на полуоси. Например, если неравенство

/

о

г ( ,р

¡[Т8(х)Уи(х)с1х ■ Чя" У 1л"

при 0 < р< <7 < со, 0< 1 выполнено для всех радиально убывающих функций g, то наименьшее значение константы С равно

/л ' ч„ V/«.

С = Би

У

/ \-1//>

| у(х)с/х № /

Во второй главе рассмотрена следующая задача.

Пусть б - конус монотонных функции, 71 и Т2 положительные субадци-тивные операторы, и 7^: (7 —> X, Т2: (7 —> У. Найти условия, необходимые и достаточные для выполнения неравенства

Ы\- -СЦ^Д' дая всех 8 еС-

В начале второй главы даны определения вогнутых и выпуклых пространств и операторов.

Пусть 5(7,Р) - линейное пространство вещественнозначных измеримых почти всюду конечных по С1аддитивной положительной мере р функций, заданных на интервале действительной оси J-{a,b), -со<д<6<оо, и ¿"(/.у) -аналогичное пространство с мерой у.

Положительный субаддитивный оператор Т назовем 1Г- вогнутым, если для любых справедливо неравенство

1(т№)

ч|/г

V к

<Т

ЕШ'

Ч1/Г

V к

(х), для у -п. в. А' eJ,

и 1Г- выпуклым, если для любых /к. > 0 выполнено обратное неравенство.

Квазибанахово пространство X измеримых функций назовем 1р- вогнутым, если для всех последовательностей {/к } <Г X

и 1р- выпуклым, если для всех {/к} с X выполнено обратное неравенство. Определим следующие классы функций. = { £ > 0: £ не возрастает на («,/>)},

(/*={#>():£ не убывает на (а, />)}, Я4 = {хм: «</<л}. На = {"/.[/л]: «<?</>},

буквой G обозначим один из классов Gi или GT. Здесь %[&] - характеристическая функция интервала [я,/].

Основным результатом 2 главы является следующая

Теорема 2.1. Пусть О < s < р< q < г < оо, X-идеальное I -выпуклее пространство, Y -идеальное I -вогнутое пространство, Т{- 1Г - выпуклый, Т2 - ls-вогнутый положительные операторы, причем G —> X и Т2: G —> Y. Тогда

\ых ых

SUÇ _ ,, = sur -—

\ЫУ Мх

Теорема 2.1 доказана в § 2.2 на основе Леммы, полученной В.И.Буренко-вым и М.Л.Гольдманом. В § 2.3 даны комментарии к доказательству.

В § 2.4 сформулирован и доказан результат для радиально монотонных неотрицательных функций из классов

^ = > 0: £(•*) = <?о(|л'|)> где gQ не возрастает на (а,Ь) },

Фа* = {# ^ 0: #(л) = £о(|А'|). гДе £о не Убывает на (а, б)}, В силу общего характера операторов, введено дополнительное требование радиальности и Г2. Положительный оператор Т: (?гаг/ —> X назовем радиальным, если существует положительный оператор Т0, действующий в й, такой, что для любой функции / еС,^ выполнено {Т/)(х) = У -п. в. х е/.

Определения выпуклых или вогнутых операторов и пространств функций, заданных в Я", совпадают с определениями для случая функций одной переменной.

Теорема 2.2. Пусть 0 < л < /?< д < г < X-идеальное ¡^-выпуклое, УгЫ-идеальное 1р-вогнутое пространства, Тх - 1г- выпуклый, Т2- ¡¿-вогнутый радиальные операторы, причем Т^. С,вг/ —> X и Т2. —» У. Тогда

5ирЕ4= 5ирЕ4. «-¿М-

Здесь Н - классы характеристических функций в Л". Доказательство Теоремы 2.2 проводится сведением ее к Теореме 2.1.

В § 2.5 доказано обобщение Теорем 1.1, 1.2 для квазимонотонных функций. Пусть дана функция ф, причем 0<фе5(У,р). Определим классы квазимонотонных функций

не возрастает на

(а,Ь)

=^Т(ф) = |/>0: ^ не убывает на

Символом (?(ф) обозначим один из классов или Справедлива

Теорема 2.3. Пусть 0 < Л' < р <(] < г <ю, Х- идеальное - выпуклое, У -идеальное 1р - вогнутое пространства, 1Г- выпуклый, Т2- 15-вогнутый положительные операторы, причем Тх\ С(ф) —» X, Т2: (3(ф) —> У. Тогда

= 511

п<1:

Ф

Шг

5Ш

ы

БЩ)^-тр- = вир

Т,

>(фхм)|

В § 2.6 приведены следствия из Теорем 2.1-2.3 в случае, когда один из операторов 7^, Т2 является тождественным и действует в лебеговом пространстве с мерой р. Заметим, что для оператора T2g = g результаты известны и получены В.И.Буренковым и М.Л.Гольдманом в 1995 г.

В 3 главе приведены примеры точных констант в неравенстве

Мл^ОДг

выполненном на конусе радиальных квазимонотонных функций в случае, когда X, У- весовые лебеговы пространства. Для приложений могут представлять интерес примеры, в которых 7^, Т,- операторы типа Харди

у/*

ул

\Лу)с1у

где 5>0, Аие(-оо,со). Такие операторы изучены в работах М.Л.Гольдмана. Кроме того, приведены точные константы в неравенствах для дифференциальных операторов вида

1/1

(

не являющихся положительными, но при дополнительных требованиях на радиальные функции /{х) = Х(|Л"|) - 0 обратных к Р1т, £21П|. Рассмотрены операторы Стеклова, операторы с показательным ядром

(77)(л-Ь|>/(')Л.

где к €(-00,00), и операторы типа

{Т/){х) = М\х{/(кх),

где М, к >0,1 е(-оо,со).

В 4 главе на основе Теорем, доказанных в главах I и 2, результата М.Ариньо и Б.Макенхоупта, а также неравенства

установленного Х.Хайнигом и С.Картун-Лебран, получены условия ограниченности преобразования Фурье, определенного для радиальных функций / еЬру в

каждой точке л' еЯ" по формуле

/У(л)= |ехр(-2шл/)/(г)Л,

л"

где XI - скалярное произведение Л',/е/?". Сформулированы три теоремы о необходимых и достаточных условиях выполнения неравенства

г г \ V/« г V/?

¡и * <С />{*)/№*

V«" VIх!/

у

при 0 < СО.

Интерес представляют следствия из Теорем 4.2, 4.3, позволяющие найти необходимые и достаточные условия, при которых неравенство

уЛт с \ЧР

¡^хЩх^Ох <С \У(х)/(ХУС(Х

у к" У V«"

(5)

выполнено для всех неотрицательных функций/таких, что монотонно

убывает к 0 при / —> со.

Пусть и, г> О локально суммируемые в Я" функции. Определим радиальные функции

И5.л|

"«(*)= Л'ГЧ'К

а для г > 0 определим функцию

^Руг(') = \и{х)с1х.

Следствие4.5.1. Пусть 0< р,<7<с0. функции /,у,М> 0,.причем ¡" '/оО) монотонно убывает к О при I —> со. Достаточным условием выполнения неравенства (5) является ограниченность следующих констант:

а) при 1 < р < q < со

иЦ{г) У"Р(г)< СО

и

(

Ы5' ,

б) при 0<^г< /?<00, /7>1 / у//

<00.

\\t\4t)(vmr'pd<

\R"

<00

( Y^

Я" >

11 1

где ~ ----;

s q р

в)при 0< р<(]<со,0 < р<\

А"<°° и Q=sup , У0(г)-'/Р«»;

r)npuO<q< р<1, - =---:

s q р

в;:< да и J"Г' £/*,(/) Ш3"* < «. .

Следствие 4.5.2. Пусть (5) выполнено для всех таких, что

g{t) = t" ]f0{t) монотонно убывает к 0 при t -> со. а) если 1 < р< q < со, то А,"< со.

£слм дополнительно существует константа В, не зависящая от f{x), такая, что для всех г > 0:

Вг-<иат(г)<и^г(г), (6)

то есть для всех г > О

> Вг'<^и{х)с1х1

то 4,"<оо.

б) Если О < р< ц < оо, то Сд'< со.

Если дополнительно выполняется (6), то АЦ< со.

Автор благодарен профессору В.Д.Степанову за постановку задачи, внимание к работе и помощь в подготовке диссертации, а также участникам семинара ХГТУ "Функциональный анализ" за обсуждение результатов.

Работы автора по теме диссертации.

1. Е.А.Мясников. Обобщение некоторых весовых неравенств на монотонных функциях для преобразования Фурье. Сб.трудов НИИ КТ ХГТУ, Хабаровск, 1993, 85-91.

2. E.A.Myasnikov, L.E.Persson, V.D.Stepanov. On the best constant in certain integral inequalities for monotone functions. Acta Sci.Math. (Szeged), 1994, 59, 613624.

3. E.А.Мясников. О точной константе в неравенстве с положительным оператором на конусах монотонных функций. Препринт № 5 ВЦ ДВО РАН, Хабаровск, 1996, 1-31.

4. E.A.Myasnikov. On the best constant in an inequality with positive operator on the cone of monotone functions. Мат.Заметки ЯГУ, Якутск, 1996, 3, № 2, 106113.