Весовые интегральные неравенства на конусах монотонных и квазивогнутых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.51

Попова Ольга Владимировна

ВЕСОВЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ И КВАЗИВОГНУТЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.01. — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 ОКТ 2012

Москва - 2012

005053829

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор, член-корреспондент РАН Степанов В. Д.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор Российского университета дружбы народов Гольдман M.J1.

Кандидат физико-математических наук

, доцент Российского государственного

университета нефти и газа им. И.М.Губкина Скориков A.B.

Ведущая организация: Московский энергетический институт

(Технический университет)

Защита состоится « 30 » ötVTJlSpA 2012 г. в (16 ч.ОО мин. на заседании диссертационного совета Q 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. № 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан _» ССИ-1 Я 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета: Кандидат физико-математических наук, доцент

есовский Л.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Изучение интегральных неравенств берет начало в классических работах Д.Гильберта, Т. Карлемана, Г.Г.Харди, Э.Ландау, Д.Е.Литтлвуда, Г. Пойа и других авторов. К настоящему времени их роль и значение для многих разделов функционального анализа, интегральных и дифференциальных уравнений значительно возросло. Наиболее интенсивно развивающейся областью последних двух десятилетий является нахождение критериев выполнения интегральных неравенств в весовых пространствах Лебега, берущих начало с неравенства Харди.

Дадим необходимые определения. Пусть 0 < р < оо, и(х) > 0- измеримая функция на полуоси (0, оо). Весовое пространство Лебега D'(u) состоит из всех измеримых функций, таких что

11/11,,«:= QT \f(x)\"u(x)dxy < оо.

Неравенство Харди в весовом пространстве Лебега имеет вид

{L (1fit)dt)9 u{x)dx) ' -с ОТ " > tw ^

(0.0.1)

где О < g < оо, 1 <р < ос. Задача характеризации данного и других интегральных неравенств состоит в нахождении необходимых и достаточных условий на весовые функции ни» для их выполнения. К настоящему моменту неравенство (0.0.1) характеризовано полностью. Критерии выполнения (0.0.1) для различных значений параметров р и q были найдены в работах Б.Мукснхаупта, В.Г.Мазьи, Г.Синнамона и ряда других авторов. Для измеримой функции / определим невозрастающую перестановку

Л0 := inf{y >0: \/{у) < t} ,

где А/— функция распределения

Л/(у) := mes {х £ X : \f(x)\ > у}. 3 -

Пространство Лоренца Ар(ги), 0 < р < ос состоит из вссх измеримых функций,таких что

нли= (£°{Г(г))рь>№у <оо.

Хорошо известная задача об исследовании ограниченности различных операторов, действующих в пространствах Лоренца, приводит к изучению неравенств на конусе неубывающих функций. Например, в гармоническом анализе важную роль играет максимальный оператор Харди-Литтлвуда

(Д//)0г):=8ир-5- / 1€Г,

хе(] М JQ

где С}— куб в пространстве К", стороны которого параллельны координатным осям, а |<3|- его мера Лебега. Хорошо известно, что

(м/)* (0 *>о.

Таким образом, задача характеризации весовых функций и и V, для которых оператор

М : Ар(у) ->■ А "(и), 1 < р, ц < оо,

ограничен, эквивалентна задаче характеризации весовых функций и и V, для которых интегральный оператор осреднения

(Р/)(0:=7 /'/(* *>0,

1 ./о

ограничен из Ьр(у) в Ьч(и), 0 < р, < оо на конусе неотрицательных убывающих функций 0 < / | . Это означает, что задача сводится к нахождению условий на весовые функции, для которых неравенство

ОГ 01о1Шз)" ит)' ~с (/50 тг,т)" (о-°-2)

выполняется для всех убывающих функций / > 0.

В отличие от неравенства (0.0.1) на множестве всех неотрицательных функций, неравенство (0.0.2) на конусе всех убывающих функций / > О оно имеет смысл для всех значений параметров 0 < р. г; < оо и к настоящему моменту полностью изучено в работах М.Ариньо и Б. Мукенхаупта,

Г.Беннетта и К.Гроесе-Эрдмана, М.Л. Гольдмана, Е. Сойера, В.Д. Степанова и других авторов.

Основной задачей диссертационной работы является изучение неравенства ^

(/о эс)™^) ' - ^ (/о ) ^^ (0-°'3)

где 0 < р, ц < оо,

К/(х):= [ к{х,у)/(у)ёи(у), (0.0.4)

7 [0.x]

А,/х и у- положительные <т—конечные меры Бореля на := [0, оо). Более того, мы рассматривем измеримое яд\юк(х,у) > 0, удовлетворяющее условию Ойнарова, т.е. когда существует константа £) > 1, для которой выполняется

/Г ^'(ж, г) + к(г, у)) < к{х, у) < Б(к(х, г) + к(г, у)), х>г>у. (0.0.5)

Неравенства (0.0.3) с интегральным оператором (0.0.4) на конусах монотонных функций начали изучаться сравнительно недавно. В данной работе мы получаем необходимые и достаточные условия для случая 0 < р < оо, 1 < <? < оо, дополняя уже известные результаты.

Кроме монотонных функций, особый интерес представляют конусы квазивогнутых функций, удовлетворяющих одновременно двум разным условиям монотонности.

Частным случаем функции, удовлетворяющей двум разным условиям монотонности, является такая функция и(£), что и(Ь) не убывает, а ^ не возрастает. Такие функции называются квазивогнутыми, поскольку было доказано, что они эквивалентны вогнутым функциям.

Анализ действия операторов на конусах вогнутых и квазивогнутых функций имеет большое значение, т.к. многие объекты гармонического анализа, теории интерполяции, теории операторов и других областей математики обладают свойством квазивогнутости, поэтому нашей второй задачей является изучение неравенств типа (0.0.3) на конусах квазивогнутых функций.

Определение 1. Пусть ф- непрерывная, строго возрастающая на [0, оо) функция, такая что ^(0) = 0 и Нт^эс = оо. Такая функция называется допустимой.

Определение 2. Функция / называется у—квазивогнутой, если / эквивалентна неубывающей функции на [0, оо), и £ эквивалентна невозрас-тающей функции на (0,оо).

- о -

Очевидно, что класс функций, удовлетворяющих двум различным условиям квазимонотонности, и класс квазивогнутых функции являются частными случаями класса ф—квазивогнутых функций.

Задача нахождения условий на весовые функции v и w и параметров р и <7, для которых выполняется вложение Ьрл! в Lq u на множестве квазивогнутых функций, является основным вопросом для понимания свойств этих функций. Для случая 0 < р < q < оо эта задача была решена Л. Малиграндой 1, а достаточные условия для случая 0<q=l<p<oo были получены В.Д. Степановым 2. Поскольку квазивогнутая функция u(t) может быть представлена в виде u(t) « Jjn¡j v(s)d.s для некоторой невоз-растающей функции v(t), несложно увидеть, что характеризация вложения Lp v LqM на конусе квазивогнутых функций эквивалентна характериза-ции вложения Гр ,, Гд и. Необходимые и достаточные условия на весовые функции v и и и параметры 0 < р, q < оо для того, чтобы выполнялись вложения ГрЛ, TqtU и Гр,„ Ai.u, были получены в работе М.Л. Гольдмана, Х.П. Хайнига и В.Д. Степанова3. Этот результат был получен посредством метода дискретизации, поэтому ответ дан в терминах дискретных последовательностей, что усложняет его проверку и использование. То же можно сказать и о критериях, полученных М.Л. Гольдманом и М.В. Сорокиной 4 для весовых неравенств типа Харди на конусе ф—квазивогнутых функций. Несколько лет спустя Г. Синнамон ° смог получить условия на весовые функции в интегральной форме, используя совершенно другой метод. Он также представил метод редукции для операторов, действующих на конусе квазивогнутых функции (более точно, на конусах функций с двумя условиями квазимонотонности). Примерно в то же время А. Гогатишвили и Л. Пик6 представили подход, основанный не только на методе дискретизации, но и, что еще более существенно, на методе антидискретизации, что позволило им получить в интегральной форме критерии вложений меж-

'Maligranda L. Weighted inequalities for quasi-monotone functions. // .]. London Math. Soc. (2) 1998. V. 57. № 2. P. 363-370.

2Stepanov V.D. Integral operators on the cone of monotone functions. // J. London Math. Soc. (2) 1993. V. 48. № 3. P. 465-487.

3Goldman M.L., Heinig H.P., Stepanov V.D. On the principle of duality in Lorentz spaces. /7 Canad. J. Math. 1996. V. 48. № 5. P. 939-979.

1Гольдмап М.Л., Сорокина M.B. Трехпесовые неравенства типа Харди на конусе квазимонотонпых функций. // Доклады АН. 2005. Т. 401. № 3. С. 301-305.

aSinnamon G. Embeddings of concave functions and duals of Lorentz spaces. /7 Publ. Mat. 2002. V. 46. № 2. P. 489-315.

6Gogatishvili A., Pick L. Discretization and anti-discretization of rearrangement-invariant norms. /7 Publ. Mat. 2003. V. 47. № 2. P. 311-358.

G

ду пространствами Лоренца, в частности, Грл, \м и Гр.„ <-> Гчм, при О < р, q < оо.

Цель работы

Целью работы является получение критериев выполнения интегральных неравенств на конусах монотонных и квазивогнутых функций.

Методика исследования

В работе используются методы теории функций, математического и функ ционального анализа.

Научная новизна

Основные результаты диссертации является новыми и обобщают или дополняют ранее известные.

Теоретическая значимость

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

Аппробация работы

Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научном семинаре РУДН по функциональному анализу под руководством чл-корр. РАН В. Д. Степанова, на Российской школе-конференции с международным участием "Математика, информатика и их приложения и роль в образовании, 2009 ".

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях, 2 препринтах и тезисах доклада на научной конференции.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (90 наименований). Объем диссертации составляет 131 страницу.

Содержание работы

Первая глава "Весовые интегральные неравенства на конусах моно-

тонных функций."

Данная глава содержит следующие основные результаты.

Пусть А— положительная сг—конечная мера Бореля на := [0,оо). Пусть Ш1+— класс всех борелевских функций /: [0, оо) —> [0,+оо], а Ш 4 (ЗЛ - подкласс 9Я+, состоящий из всех невозрастающих (неубывающих) функций / Е Положим А(х) := /[Пз.]йА и будем предполагать, что Л(х) < оо для всех х Е К+.

Теорема 1. Пусть 1 < 7 < оо. Тогда для всех / 6 ОТ 4-, / Ф 0 выполняется

< --г-- ^ 7-

(7+1)^ (/[0,ос)/™);

Пусть 0 < 7 < 1, тогда V/ 6 ЯЯ / ф О

(/мЯЛш)' 7

Теорема 2. Пусть — 1 < 7 < 0. Тогда для всех / € Ш /{х) > 0 А - п.в.

("7)1 < -——- , < 1-

(/[0.ОС) ЛЛШ)7

Теорема 3. Пусть 7 < —1. Тогда для всех / е Ш /(х) > 0, А — п.в. выполняется

1 т

0 < с7 <

(/[О.ЭО)ЛЛ^А)"

Результаты раздела резюмируются в следующем замечании. Замечание 1. Следующие неравенства эквивалентны:

(!) /[».^(/[х.эс)/^)'^)

(2) /[п..)(4.ос)/^)"+1^/<оо,

(3) Л

[О.эс)

(4) Л,

[О, ос)

еэз вир АДУ)Л(У) ^ зирА/(у)Л(у)

у>х

(5) Ло,ос)/7Л^<оо

<1\{х) < оо, -/+1

с1щ(х) < оо,

'[0,эс)

в смысле

(2) /б$^+о) (1) т (5) т (з) (4).

В следующем параграфе первой главы рассматривается неравенство

(/ (/ ■

}й\ (1\{Х) < С

[ №

** [О,ос)

(0.0.С)

на конусе невозрастающпх функций. Для наименьшей возможной константы в неравенстве (0.0.С) Зп мы имеем Зт яз где

(■/¡о-]ШХУЧ

Ь„ = вир--0<р<9<оо,

х>0

/[(),зс) \-/[(и]

при условиях

I и нч/

./[О.эс) \7[().г] / \7[0.г]

йц ) ¿р{х) , 0 < <? < р < оо,

[ (1ц = <х, ([ (¡Л < с [ ([ аЛ ф(г).

■/[О.зс) \./[0..г] / У[1,ЭС) \./[0,(] /

Полученные критерии мы сравниваем с критериями, полученными в работе М.Л. Гольдмана 7 для более общей формы неравенства (0.0.6). Тем же методом, что и неравенство (0.0.0), охарактеризованы: - неравенство

([ ([ /с/аУ с1Х(х)\ <С( [ /чЛ" (0.0.7)

\У[0.эс) \У[0.х] / / \У[О.эс) У

7Гольдман М.Л. Томные оценки норм операторов типа Харди на конусах кназимонотонных функций. // Тр. МИЛН. 2001. Т. 232. С. 115-143.

при р,д> 0 на конусе неубывающих функций как для случая р,д > 0, так и для случая р,д < 0;

- неравенство

([ ([ /¿дУодУ <с([ ¡чЛ"

\./[0.ос) \«'[.г,ос) / / V7 [0,ос) /

на конусе невозрастающих функций при р,д < 0;

- неравенство

([ ([ ¡йЛЧс1^{х)\ <с( ( ([ /¿лУйАиУ

на конусе невозрастающих функций при р, д > 0 (аналогично характеризуется последнее неравенство для отрицательных значений р, д, а также двойственное ему на конусе неубывающих функций).

В заключительном параграфе первой главы рассматривается неравенство (0.0.3) при 0 < р < со, I < д < со для оператора (0.0.4) с ядром, удовлетворяющим условию Ойнарова (0.0.5). Для данного неравенства при указанных значениях параметров получены необходимые и достаточные условия.

Теорема 4. Пусть 0 < р < со, 1 < д < оо, и при р > 1 выполнены условия

[ дХ = оо, ( [ дХ) < с [ ( [ с1Х) сIX(*).

[0,ос) / J[x.oс) /

Пусть также определены функции

Цх) := / к(х,у)()1у{у),

к(х):= к{у,х)с1ц{у),

J [х.эс)

й{х) := / йу{у). J\ 0.x]

Тогда неравенство (0.0.3) для оператора (0.0.4) выполняется для всех функций / 6 071 4- тогда и только тогда, когда

Ап < оо, р < д = 1,

где

В0< оо, 1 = q < р, А + А2,i + Alд + Л-2,2 < оо, 1 <p<q, В\ + В2Л + В*2Л + В-2.2 < ОО, 1 < q < р, Dl + D2 + D3<oo, 0 < р < 1 < g,

Ли := sup ( / kdv J ( / dX

¿>0 \J[О.т] /

Bn :=

/ w

Al := sup ( í A-P'dX t>o Vi[í.=c)

M

Л2л:= sup / A^)-'7^)^,*/^) ) I dp), <>ü V«/[0.í] / Vi[f,oc)

^ ! := sup ( í A-P'^'dX

t>o \V[ü.f]

k(y,t)4p(y)\ ,

A2.2 := sup I I A~p kp dX (>o \V[o.í]

B¡ := f (í Ш/iVf/ 7 A(x)~p' dX{x),

J\О.ЭС) W[ü.j] / \7[í.oc) /

ВГ2Л:= [ (f A(x)-^(xr'k(t,xr'dX(x)Y ( f dp) dp(t), J[О.ЭС) \7[0.f] / \J[t,x)

B.

2,1

A'"P"dX

[О.ЭС) \J{0,t\

x(l Цy,t)4p(y)) A(t)-"'¡y(tr'dX(t),

B-22 := í ( f dp]" ( f A-v'^'dx)"' A(x)~''' k(x)p' dX(x), J[О.зс) \J\x,x) J \J[0.x] )

:= вир I / кЧц) А{х)~р,

х>0 \У[0.х]

Д> := эир / к{у,х)Чц(у)\ и(х)А(х)

г>0 \Jlx.-x)

:= яир | / <1ц\ ¿(х)Л(ж) р.

Х>() \У[х.эс)

Аналогичные критерии получены для неравенства

. р

/[О.эс) / \./[0.эс)

(К/)Чц)' <с( [ ([ /йаУ^аУ (0.0.8)

) / \</ [О.ос) \7[х.ос) / /

при 0 < р < оо, 1 < д < оо для оператора (0.0.4) с ядром, удовлетворяющим условию (0.0.5).

Вторая глава "Весовые интегральные неравенства на конусах квазивогнутых функций."

Пусть ф— допустимая функция. Обозначим через подмножество функций из таких что /(£) не возрастает, а не убывает.

Основной результат второго параграфа представляет собой необходимые и достаточные условия, при которых неравенство вида

Л/(')= (/о,]№)'' (0'°"10)

<7 > ), Р > 0, выполняется для всех функций из И,..

Определение 3. Пусть функция ф— допустимая. Будем говорить, что мера ¿и невырождена относительно функции ф, если для любого £ 6 (0, оо) выполняется

Г ¿и{8) Г ¿и{я) [

/ ,, , ' < оо, / = / (Мв) = ОО.

У[0.оо) Ф(Я) + Ф{Ь) У[0.1] Ф{8) У[1.^)

'[О.эс) / \«/[().ос

где

Теорема 5. Пусть </ > 1, р > 0, мера и(х)(1х невырождена относительно функции £р(х). Тогда неравенство

(/..«, (/,, '«-Н' -Н'5 с {Ц * «■•ои|

выполняется для всех функций из Г^, тогда и только тогда, когда: (I) Л] < ехэ гфи = 1, О < р < 1, где

Л1:=8ирГ/ ([ Щг,уМг)с1г)(1ф{у))

(и) Л2 < оо д = 1, 1 < р < оо, где

(т) А3 < оо при q > 1, 0 < р < 1, где

/г / /•п1;п('0 \ 17 \ «

Л3:=8ир / / С/(в,г,)«М(г/) гф)^ (X) \^[П.эс) у у

(ю) Л4. 1 + Л4.2 + Л4.3 + Л4.4 < оо при 1 < р < <7 < оо, где

Аи :=яир(/ ¥(.5)(/(^(.5))У' Г [ и"(з)1о(з)(18V,

Л4.2 := вир ( [ £/(*, 7 ( [ " ,

/>0 \ii0.i] ) )

Л4.з := вир ( I У{8)а{зУ({(^'{8)))" ( [ и (у, МюМЧу) ' , '>» V-Ao.fl / )

Л4.4 := вир ( [ У(8)и(зу'д(г<р(з))) ? ( [ '>'» in.il /

Ь.2 + Л5.3 + Л5.4 < ОО п

Аьл := ( [ (! и»(,)гФК

и:

/[«.ос)

(г>) Л5.1 + Л5.2 + Л5.3 + Л5.4 < оо при 1 < (7 < р < оо, где

Л5.2 ■=( [ ( [ Щ1, хУ''¥(х)ф(хУ'с1(ч;>>(х))) ' \J[0,ос) V./[(>.(] /

х ( / и;« и;(1)Ч1 | ,

:= ( [ ([ V(зЩзУ^тз)))* ( [ и(у,фи>Шу \JlU.x) ЧУ [().(] / \7[(,ос)

Здесь

^5.4 := ( [ ( [ шт) ' ( [ <!№«))

\у[0.эс) \7[х.эс) / \»/[0,г] у

хЧ(х)и(х)р'с1(фр(х))^7. к(0 := / и, := / и,

Jp.il 7 [0,4]

./[<,эс)

¥(г) := У(<)"г/_1К(0 [

Л.зс)

Щ1,у):= [ Мул]

Пул] V

При остальных значениях параметров /), ц для неравенства (0.0.9) с оператором (0.0.10) получены достаточные условия.

В заключительном разделе с помощью принципиально другого метода характеризовано неравенство вида (0.0.9) для оператора

ад) = Ц (0-0Л2)

при тех же значениях параметров. Для этого оценка нормы вложения££ —> на конусе квазивогнутых функций при 0 < р, ц < оо. полученная Г.

Сшшамоном 8. была расширена нами на конус г—квазивогнутых функций. Приведем формулировку данного результата.

Для допустимой функции t(t) вводится класс (функций состоящий из функций /(f) е 9Л+, таких что fi'(f)a/(0 не убывает, а не

возрастает. В частности, класс состоит из всех функций /(f), таких что /(f) не убывает, а не возрастает. Также определены операторы

H^ah(x) := ф{х)~а [ r!>(t)nh{t)dt J[ П..г]

И

IIr Jh(.r) := t'-(.T)'5 [ iJ<(t)-3h(t)dt. J[r.X)

При q + ft > 0 также используется оператор

H^h(x) = Hc.nh(x) + //' </,(.,■)

-мшшгн

Теорема 6. Пусть 0 < g < p < oo, н, г e 9Л+, mopda (ii) Пусть 0 < p < q < oo, a, 9Jt+, тогда

Также сделано замечание о том. каким образом неравенство (0.0.9) с оператором (0.0.12) может быть сведено к тому же неравенству с оператором (0.0.10).

Третья глава "Ограниченность в Г-пространствах Лоренца некоторых операторов классического анализа."

8Sinnamon G. Embedding» of concave functions and duals of Lorcntz spares. /7 Publ. Mat. 2002. V. 46 № 2. P. 489-515.

В данной главе получены необходимые и достаточные условия ограниченности преобразования Гильберта

ННх) := lim [ (0.0.13)

<ы у

и потенциалов Рисса

Ш) ■•= ha\x-y\«-Jv> 0<«<»> (0.0.14)

в Г—пространствах Лоренца.

Укажем один из полученных результатов.

Теорема 7. Пусть 0 < р < оо, 1 < q < оо, и мера v(t)dt иевырождена относительно функции V. Положим

V(t) := [ V,

Jp.t]

V(t) := I/(f) + t» [ ^ds, J[t,-x) sИ

V(i) := V(i)-''-1 V(f) Ц t»-1.

Для того, чтобы преобразование Гильберта (0.0.13) было ограничено из Гр(г;) о Гв(и'), необходимо и достаточно выполнение следующих условий: (г) А := max Ai < оо, г = 1, 6 при 1 < р < 1 < оо, где

¿i:=sup(Y иУ([ vY,

t> о \J[i).t] J \J[t.x) J

^(¡„IM* Иг*»)* ■

Ar, :=

:= sup ( / on Vio

In» ( - J w(s)ds

[о./] W

¥

[t.x)

(ii) В := max В, < oo, i = 1, G при 1 < q < p < oo, где

Bi:= / / / Y) «,(0rfi ] ,

W[0.3c) V[0.<] / V[/.oc)

Во '■ =

вя :=

гф)

/[О.тс) V[t.3c) sî

rfs

[о./] ) t"

[О.эс) \J[t.oс) S''

гф) s"

(/

[О.эс) V[f.3c)

[П./]

rfs I ( / s"' In"' ( - ) V(s)d* ) ' f7'V(f)rfí

Д-, :=

u>j Ц In7' yV(s)di ) u»(f)rff

4/ (/

BG:=

(iii) D := max D¡ < oo, г = 1,4 7)/л< 0 < p < 1 < q < oo, где

Di := sup / w J V(i)~, í>(i \У [о./]

D4 := sup / 1пЧ - í¿'(.s)rf.s f>() V(o.*] Vs/

/."(ï"<„-!.

(iv) F < oo при 0 < p < 1 = q, где

F := sup (j f ln(t-) W(y)dy+ Г ln(f)^±dy

t>0 \t Jp.t] \yj J[t,oc) KtJ У

+j[ wWv+f ^dy)v{t)-h 1 У[о.(] J[t,oc) y ;

(v) G < oo при q = 1 < p < oo, где

G-=(l ili

\J[0.X) \t Jp.t] \yj J[t,ос) У

/ U,(y)d2/+ [ ^dyY V(t)dt\ .

t J[0.t] J[t.ос) У J J

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Степанову В.Д. за постоянную поддержку и ценные замечания, а также Российскому Фонду Фундаментальных Исследований за частиную финансовую поддержку в рамках проектов 09-01-00093 и 12-01-00554.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Степанов В.Д.. Перссон Л.-Е., Попова О.В. Двусторонние неравенства типа Харди для монотонных функций. // Докл. АН. 2009. Т. 429. № 2. С. 159-162.

2. Попова О.В. Двусторонние неравенства типа Харди для монотонных функций.// "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании," Тезисы докладов Российской Школы- конференции с международным участием. РУДН, 2009. С. 40.

3. Persson L.-E.. Popova O.V., Stepanov V.D. Two-sided Hardy-type inequalities for monotone fonctions. /7 Coinplex Var. Elliptic Equ. 2010. V. 55. № 8-10. P. 973-989.

4. Попова О.В. Неравенства типа Харди на конусах монотонных функций. // Сибирский матем. журнал. 2012. Т. 53. № 1. С. 187-204.

5. Popova 0. V". Weighted Hardy-type inequalities 011 tile cones of quasi-concave functions. // Research Report. Department of Engineering Sciences and Mathematics. Luleä University of Technology. Luleä. 2012. № 1.

G. Popova 0. V. On the reduction principle for weighted inequalities on the cone of quasi-concave functions and applications. // Research Report, Department of Engineering Sciences and Mathematics. Luleä University of Technology. Luleä. 2012. 3.

Попова О.В.

Весовые интегральные неравенства на конусах монотонных и квазивогнутых функций.

Аннотация

В работе получены необходимые и достаточные условия выполнения интегральных неравенств, в том числе, неравенств с интегральными операторами типа Вольтерра с ядрами Ойнарова, на конусах монотонных функций.

Получены необходимые и достаточные условия выполнения некоторых интегральных неравенств на конусе квазивогнутых функций, а также критерии ограниченности преобразования Гильберта и потенциалов Рисса в Г—пространствах Лоренца.

Popova O.V.

Weighted integral inequalities on the cones of monotone and quasi-concave functions.

Abstract

In this work we obtain necessary and sufficient conditions for integral inequalities, especially the inequalities with Volterra integral operators involving Oinarov's kernel, to hold on the cones of monotone functions.

We derive necessary and sufficient conditions for some integral inequalities to hold on the cone of quasi-concave functions and also establish the criteria of boundedness for the Hilbert transform and the Riesz potentials between the Lorentz Г—spaces.

Подписано в печать 26.09.2012 Заказ № 10396 Тираж 100 экз. Объем 1 п.л. Отпечатано: ООО «ВП24» г. Москва, ул. Трубная, д. 21 Телефон 8(495)648-61-59 www.vp24.ru

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ВЕСОВЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ

§1.1. История изучения весовых интегральных неравенств на монотонных функциях

§ 1.2. Некоторые двусторонние неравенства Харди на конусах монотонных функций

§ 1.3. Некоторые модификации неравенств Харди на конусах монотонных функций

§ 1.4. Неравенства для интегральных операторов с ядрами

Ойнарова на конусе невозрастающих функций

Глава 2. ВЕСОВЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НА КОНУСАХ КВАЗИВОГНУТЫХ ФУНКЦИЙ

§ 2.1. Исследование интегральных неравенств на конусе квазивогнутых функций. Основные результаты

§ 2.2. Ограниченность максимального оператора в Г—пространствах Лоренца

§ 2.3. Ограниченность двойственного оператора

Харди в Г—пространствах Лоренца

Глава 3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ В Г-ПРОСТРАНСТВАХ ЛОРЕНЦА НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ КЛАССИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

§ 3.1. Критерии ограниченности преобразования Гильберта, действующего между Г—пространствами Лоренца

§ 3.2. Критерии ограниченности потенциалов Рисса, действующих между Г—пространствами Лоренца

Задачи характеризации неравенств Харди для различных классов функций составляют значительную часть области классического анализа, посвященной исследованию интегральных и дифференциальных неравенств.

Неравенство Харди впервые возникло в дискретной форме в ходе попыток Г.Х. Харди доказать неравенство Гильберта. Он начал работу над этой задачей в 1915 г., и только в 1925 г. получил неравенство в интегральной форме - в том виде, в котором мы привыкли его видеть. Он сформулировал свой результат следующим образом: Пусть f(x) > 0, р > 1, / интегрируема на любом конечном интервале из промежутка (0,Х) и /р интегрируема на интервале (0, оо). Тогда выполняется неравенство

Нужно заметить, что Г.Х. Харди был не единственным математиком, который занимался изучением этого неравенства. М. Рисс, Э. Ландау, Д. Пойа также занимались исследованием данного вопроса.

Рассмотрим классическое пространство Лебега Ц3(а, 6, и), 0 < р < оо, состоящее из всех неотрицательных измеримых функций, таких что

Здесь и(х) > 0— весовая функция. Весовое интегральное неравенство типа Харди в пространстве Лебега имеет вид при 0 < р < оо и оо,и := еэввир|/(з:)| < оо. оо ,и а<х<Ъ

I, Ь а

•Г

0.0.1) где —оо < а < Ъ < оо, 0 < q < сю, 1 < р < оо, u,v— измеримые функции, положительные почти всюду на (а, Ь). Задача характериза-ции данного неравенства состоит в нахождении необходимых и достаточных условий, накладываемых на весовые функции для выполнения неравенства. Такие критерии для различных значений параметров р и q были получены в работах [1], [9], [27], [37], [42], [48], [49], [52], [59], [62], [63], [64], [68], [74], [75].

В случае произвольных <т—конечных мер неравенство имееет вид f ( ( fudx] v(x)dfi{x)]4 <с( [ fpwdu) " . (0.0.2)

J[a,b] \J\a,x} J ) \J[a,b] J

Наиболее полный результат для случаев двух (когда Л = v) и трех различных мер был получен Д.В. Прохоровым в статье [6]. Заметим, что критерий для случая трех различных мер содержит разложение Лебега меры г/, в то время как в случае X — и критерий имеет более привычную и удобную в использовании интегральную форму.

Подобные неравенства можно рассматривать не только в весовых пространствах Лебега. Рассмотрим, к примеру, пространства А, представленные Г.Г. Лоренцом в его работе [45]. Для измеримой функции / определим невозрастающую перестановку f(t) := inf {у > 0 : Xf(y) < t} , где А/— функция распределения

Xf{y) := mes{х G X : \f(x)\ > у} .

Пространство Лоренца Ap(u>), 0 < р < оо, состоит из всех измеримых функций, таких что nriu = (J™ (rmwmy <оо.

Необходимость исследовать ограниченность различных операторов, действующих в пространствах Лоренца, привела к изучению неравенств на конусе невозрастающих функций. Проиллюстрируем это на примере максимального оператора Харди-Литтлвуда

М/) (х):= 8иР [ |/(г)Мг, ^Г, где куб в пространстве Мп, стороны которого параллельны координатным осям, а его мера Лебега. Хорошо известно, что м/Г Г ГШ*, ¿>о (0.0.3) см., например, [15]). Таким образом, задача характеризации весовых функций и и г>, для которых оператор

М : Ар(у) А4(и), 0 < р, <7 < оо, ограничен, эквивалентна задаче характеризации весовых функций и и V, для которых оператор Харди

Р/)Щ :=1 Г * >0, Jo ограничен из 1/'(г>) в L9(г¿), 0 < р, д < оо, на конусе неотрицательных убывающих функций. Это означает, что задача сводится к нахождению условий на весовые функции, для которых неравенство Харди

ОГ 01о'и{г)с1г)4 -с (130р (о-°-4) выполняется для всех убывающих функций / > 0.

Это неравенство принципиально отличается от неравенства на множестве неотрицательных функций, поскольку оно имеет смысл для всех положительных значений параметров р и д, и изучение данного неравенства, как правило, разделяется на 4 случая: (I) 1 < р < ц < оо;

II) 0<д<р<оо, р > 1; (III) 0 < р < д, 0 < р < 1 и (IV) О < д < р < 1.

Указанная задача рассматривалась многими авторами. Один из первых результатов был получен Д. Бойдом [26] в 1967 г. Он получил необходимое и достаточное условие на весовую функцию ни, для которой неравенство ||Я/||рш < А||/||Р1Ш выполняется для всех функций О < / 4- • В 1990 г. этот же частный случай для 1<р = д<оои и{{) = г)^) был охарактеризован М. Ариньо и Б. Мукенхауптом в работе [13]. Их результат был обобщен Е. Сойером в статье [58] на более общий случай различных весовых функций у и и> и различных параметров 1 < р, д < оо. Данная статья важна еще и потому, что в ней, в ходе решения задачи характеризации ограниченности максимального оператора в пространствах Л, автор ввел понятие Г—пространств Лоренца. Г—пространство Лоренца состоит из всех измеримых функций /, таких что где /**(х) := у ^ ¡*{1)сИ. Изучение Г—пространств и их свойств приобрело актуальность после появления данной статьи, хотя такие пространства и ранее появлялись в работах других авторов (А.П.Кальдерой, Р.А.Хант и др.).

Многочисленные работы, посвященные неравенствам на конусах монотонных функций, включают [8], [20], [22], [23], [28], [29], [33], [35], [36], [38], [39], [41], [42], [51], [55], [60], [61], [66], [67], [68], [70] и многие другие.

Неравенства с произвольными мерами на монотонных функциях были рассмотрены в работах [39] и [61].

Более общим классом являются неравенства с интегральными операторами.

В данной работе рассматриваются неравенства для интегральных операторов Вольтерра. Они имеют форму (Kf)qdfi \Я < С ( f fpd\)P , (0.0.5)

J [О.оо) / \J[ 0,oo) J где 0 < р, q < оо,

Kf(x):= [ k(x,y)f(y)dv{y), (0.0.6) i и v— положительные о—конечные меры Бореля на := [0, оо). Более того, мы рассматривем измеримое ядро к(х,у) > 0, удовлетворяющее условию Ойнарова, т.е. существует константа/) > 1, для которой выполняется

D^(k(x, z) + k(z, у)) < к(х, у) < D(k(x, z) + k(z, у)), х > z > у.

0.0.7)

Изучение неравенств для операторов Вольтерра и других более общих операторов с заданным неотрицательным ядром k(x,t) началось с исследования оператора Римана-Лиувилля. В частности, неравенство

Kf)u\\q<C\\fv\\p, /< 0, (0.0.8) где

Kf(x):= [ k(x,y)f(y)dy, (0.0.9)

J[0,x] изучалось многими авторами. В. Д. Степанов получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы выполнялось неравенство (0.0.8), и чтобы оператор (0.0.9) был компактным, в случае оператора Римана-Лиувилля с ядром

Г(г) для 1 < р, q < оо (см., например, [72], [10], [11]).

Примерно в это же время Ф. X. Мартин-Рейес и Э. Сойер [47] различными методами охарактеризовали (0.0.8) при 1 < р < q < оо для класса интегральных операторов, заданного как

Кф/(х) := [ ф

J[0,x\ \х; где ф : (0,1) —» (0,оо)— невозрастающая функция, удовлетворяющая условию ф(аЬ) < И (ф(а) + ф(Ь)) для всех 0 < а, Ь < 1.

Аналогичные критерии были получены В.Д. Степановым ([12], [73]) для оператора свертки Вольтерра вида для случаев 1<р<д<оои1<д<р<оо,с Аг—условием на ядро. В работе [73] им рассмотрен оператор с ядром к, удовлетворяющим следующим условиям:

0 к{х) > 0 не убывает на (0, оо), (и) к(х + у) < В (к{х) + к(у)) для всех ж, у £ (0, оо). В 1991 г. С. Блум и Р. Керман [25] получили критерии, при которых (0.0.8) выполняется для операторов (0.0.9) при 1<р<д<оов предположении, что выполнено не только условие (0.0.7), но также к(х.у) > 0 для 0 < у < х. и ядро к(х,у) одновременно не убывает по х и не возрастает по у. Они рассматривали ядра ф(х, у) на М+ х со следующими свойствами: й Ф(Х>У) > 0 при х> у,

II) ф(х,у) не убывает по ге и не возравстает по у,

III) ф(х, у) ~ ф(х, г) + ф(г, у) при у < г < х.

В 1993 г. Р. Ойнаров [4] представил окончательную форму условия для ядра к и доказал соответствующие необходимые условия для неравенства (0.0.8) с оператором вида (0.0.9). Это следующее условие: к(х,у) > 0 для х > у. и существует константа £) > 0, такая что выполняется (0.0.7). Это условие обычно называют условием Ойнарова.

0.0.10)

В 1999 г. К. Лай [44] получил характеризацию неравенства (0.0.8), (0.0.9), которая имеет иную форму, включая случай 0 < д < 1 < р < оо.

Неравенство (0.0.5) с произвольными мерами Бореля рассматривалось частично в работах [49], [50], в дискретной форме в работах [16], [17], [18], а для трех различных мер - в [6]. Полная характериза-ция неравенства (0.0.5) для операторов с ядрами Ойнарова в случае 1 < р, д < оо была получена Д.В. Прохоровым в [56].

Неравенства типа (0.0.5) для оператора (0.0.6) на конусах монотонных функций изучались не так интенсивно, как классические неравенства Харди.

Весовые неравенства Харди на конусах монотонных функций рассматривались в [29], [30], [70]. В частности, в работе [70] был в явном виде описан ряд операторов и найдены критерии ограниченности максимального оператора Харди-Литтлвуда в пространстве Лоренца Гр(г>). В [55] некоторые классические результаты для неравенств типа Харди, в частности, результаты, полученные в [61], были обобщены на случай интегральных операторов Вольтерра с ядрами, удовлетворяющими некоторым уловиям монотонности. Более того, были показаны некоторые эквиввалентности между неравенствами на множестве неотрицательных и на множестве невозрастающих функций для различных типов интегральных операторов.

Помимо монотонных функций, имеет смысл также рассматривать функции, удовлетворяющие условию квазимонотонности. Функция f(x) называется квазимонотонной, если для некоторого а € 1 функция /(х)ха не возрастает или не убывает. Особый интерес представляют функции, удовлетворяющие одновременно двум разным условиям квазиминотонности. Различные типы неравенств на множествах таких функций были рассмотрены в работах [22], [23], [46], [53].

Частным случаем функции, удовлетворяющей двум разным условиям квазимонотонности, является такая функция u(t), что u(t) не убывает, а не возрастает. Такие функции называются квазивогнутыми, поскольку было доказано, что они эквивалентны вогнутым функциям.

Изучение вогнутых и квазивогнутых функций имеет большое значение, т.к. многие центральные объекты гармонического анализа, теории интерполяции, теории операторов и других областей математики обладают свойством квазивогнутости. Приведем несколько примеров таких объектов: i) Мы уже упоминали оператор /**(£) = \ Jj0 ^ f*(s)ds, который участвует в описании нормы функции f(t) в пространствах Лоренца Г. Несложно увидеть, что функция tf**(t) квазивогнута. ii) Другой пример - К—функционал Петре

K{t,x]A0,Ai) = inf (|Ык+*1Ык),

X0+Xi=X где (A0,t4i)— банаховы пространства, 0 < t < оо и х £ Aq + А\. Известно (см. [24]), что К также является квазивогнутым. iii) Модуль непрерывности uj = up.m{tj) = sup НДГЛк, h\<t где т к=О не убывает, что также можно рассматривать как частный случай квазивогнутости. iv) Фундаментальная функция фх{1) = ЦХ-бЦх, где X— перестановочно-инвариантное банахово функциональное пространство над ре-зонантным пространством с мерой (i?,//), Е— подмножество i?, такое что ц{Е) = также обладает свойством квазивогнутости (см., например, [21]).

В данной работе используется более общее понятие, чем квазивогнутость.

Определение 1. Пусть ф— непрерывная, строго возрастающая на [О, оо) функция, такая что ф{0) = 0 и lim^oo ф(Ь) = оо. Такая функция называется допустимой.

Определение 2. Функция / называется ф—квазивогнутой, если / эквивалентна неубывающей функции на [0, сю), и ^ эквивалентна невозрастающей функции на (0, оо).

Очевидно, что класс функций, удовлетворяющих двум различным условиям квазимонотонности, и класс квазивогнутых функций являются частными случаями класса ф—квазивогнутых функций.

Задача нахождения условий на весовые функции v и w и параметров р и q, для которых выполняется вложение Lp v в Lq u на множестве квазивогнутых функций, яввляется основным вопросом для понимания свойств этих функций. Для случая 0 < р < q < оо эта задача была решена JI. Малиграндой в [46], а достаточные условия для случая 0<q = l<p<oo были получены В. Д. Степановым в [70]. Поскольку квазивогнутая функция u(t) может быть представлена в виде u(t) ~ f^0tjv(s)ds для некоторой невозрастающей функции v(t), несложно увидеть, что характеризация вложения LP;V Lq u на конусе квазивогнутых функций эквивалентна характеризации вложения ГpjV ^ IV Необходимые и достаточные условия на весовые функции v и и и параметры 0 < р, q < оо для того, чтобы выполнялись вложения Гp.v <—> и ГР;г, ^ AijU, были получены в работе M.JI. Гольдмана, Х.П. Хайнига и В.Д. Степанова [36]. Этот результат был получен посредством метода дискретизации, поэтому ответ дан в терминах дискретных последовательностей, что усложняет его проверку и использование. То же можно сказать и о критериях, полученных M.JI. Гольдманом и М.В. Сорокиной в работе [3] для весовых неравенств типа Харди на конусе ф—квазивогнутых функций. Несколько лет спустя Г. Синнамон смог получить условия на весовые функции в интегральной форме в [65], используя совершенно другой метод. Он также представил метод редукции для операторов, действующих на конусе квазивогнутых функций (более точно, на конусах функций с двумя условиями квазимонотонности). Примерно в то же время А. Го-гатишвили и Л. Пик в работе [32] представили подход, основанный не только на методе дискретизации, но и, что еще более существенно, на методе антидискретизации, что позволило им получить в интегральной форме критерии вложений между пространствами Лоренца, в частности, ГРгУ Ад>и и ГР)У при 0 < р, д < оо.

Метод дискретизации, использованный в работах [36], [3] и [32], основан на построении для квазивогнутой (в общем случае, ф— квазивогнутой) функции и{€) дискретизирующей последовательности которая отделяет интервалы, на которых и(Ь) быстро растет, от интервалов, на которых ^ (в случае ф—квазивогнутой функции - ^щ) быстро убывает, и последующей работы с дискретными неравенствами. Методы дискретизации использовались многими авторами, к примеру, Г.А. Калябиным, В. Колядой, И. Нетрусовым, М.Л. Гольдманом, Н.Ю. Кругляком, Дж. Брудным, С. Янсоном, В. Овчинниковым, однако принято считать, что впервые этот был использован в работе К.И. Осколкова [5].

Выше мы описали краткую историю решения задачи характериза-ции ограниченности максимального оператора Харди-Литтлвуда между пространствами Лоренца А. Эта задача эквивалентна нахождению критериев ограниченности оператора Харди между пространствами Лебега для 0 < р, д < оо на конусе невозрастающих функций. Самые недавние результаты, касающиеся ограниченности максимального оператора Харди-Литтлвуда между Г—пространствами Лоренца, бы- 12 ли получены в [36], [3] и [65]. Как мы уже указали, в работах [36] и [3] ответы даны в виде неявных последовательностей, в то время как в [65] критерии имеют интегральную форму при 1 < р, д < оо и получены с использованием упомянутого принципа редукции.

Диссертация состоит из настоящего введения, трех глав и списка литературы.

Перейдем к изложению содержания диссертации.

Первая глава "Весовые интегральные неравенства на конусах монотонных функций."

Данная глава содержит следующие основные результаты.

Пусть Л— положительная а—конечная мера Бореля наМ+ := [0, оо). Пусть ШТ+— класс всех борелевских функций /: [0, сю) —»• [0,+сю], а (ШТ подкласс состоящий из всех невозрастающих (неубывающих) функций / Е Положим А(х) := ¿X и будем предполагать, что А (а:) < оо для всех х Е К+.

Теорема 1. Пусть 1 < 7 < оо. Тогда для всех / Е 4,, / ф О выполняется

Теорема 2. Пусть —1 < 7 < 0. Тогда для всех / Е 9Я ^ /0*0 > 0 А - п.в.

0.0.11)

Пусть 0 < 7 < 1, тогда V/ Е 9Я / ф 0

0.0.12)

0.0.13)

Теорема 3. Пусть 7 < — 1. Тогда для всех / Е Ш t, f{x) > О, Л п.в. выполняется

О < с7 <

0,оо) \J[0,x] dX

О.оо) 1.

0.0.14)

Результаты раздела резюмируются в следующем замечании. Замечание 1. Следующие неравенства эквивалентны:

1) /[о,») (Ща;) < оо,

2) /[О.оо

3) /,0,оо

4) /[0,„

5) I,О.оо в смысле х,оо) т, оо)

7+1 dßf < 00, 7 ess swp\f(y)A(y) ess supxf{y)A{y) PA^dX < 00 dX(x) < 00,

7+1 djif{x) < 00,

2) /€Ä+0) (1) Щ (5) Щ (3) (4). (0.0.15)

В следующем параграфе первой главы рассматривается неравенство / fdX I dX(x) )<С( pdß (0.0.16)

J[0,00) \J[x,оо) / / \J[0,00) / на конусе невозрастающих функций. Для наименьшей возможной константы в неравенстве (0.0.16) Jpq мы имеем Jpq « Spg, где

5, pq — SUP х>0 0 < р < q < 00, и pq

АЧХ

0 оо) \J [0,з] 7

J[ 0)f dß ) dp{x) j . 0 < q < p < 00, при условиях (¿/2 = 00, ( / ¿¡Л I <С / ( / ¿¿/1 ) (¿/¿(£). [0,сю) ' \^[0,.т] У У[.г,оо) Ч</[0,*] /

Полученные критерии мы сравниваем с критериями, полученными в работе [2] для более общей формы неравенства (0.0.16).

Тем же методом, что и неравенство (0.0.16), охарактеризованы: - неравенство 9 ч ( <1\(х) )<С( № (0.0.17)

0,оо) Ч«/[0.x] / / \7[0,оо) / при р, д > 0 на конусе неубывающих функций как для случая р, д > 0, так и для случая р. д < 0;

- неравенство ([ /¿лУаду<с(/ /^у

Ч-/[0,оо) Ч-У^оо) / / Ч^[0,оо) / на конусе невозрастающих функций прир, д < 0;

- неравенство

7 \ 1 /г /г \ Р \ 1 \ ? // // \' \р / ^(х) )<с( / /<гл ¿ц*)

Ч^[0,оо) Ч-/[х,оо,| / / [О.оо) Ч^[ж,оо) / / на конусе невозрастающих функций при р, д > 0 (аналогично характеризуется последнее неравенство для отрицательных значений а также двойственное ему на конусе неубывающих функций).

В заключительном параграфе первой главы рассматривается неравенство (0.0.5) при 0 < р < оо, 1 < д < оо для оператора (0.0.6) с ядром, удовлетворяющим условию Ойнарова (0.0.7). Для данного неравенства при указанных значениях параметров получены необходимые и достаточные условия.

Теорема 4. Пусть 0 < р < сю, 1 < q < оо, и при р > 1 выполнены условия ¿¿А = оо, ([ ¿л) <с[ ([

Пусть также определены функции

Цх) := / к(х,у)(11/(у), к{х) := / к(у,х)(1ц(у), й(х) := / ¿у{у).

О,ж]

Тогда неравенство (0.0.5) для оператора (0.0.6) выполняется для всех функций / Е 4- тогда и только тогда, когда

А0 < оо, р < д = 1,

В0 < оо, 1 = д < р, Ах + А2Д + А^д + А2,2 < оо, 1 < р < д, + Б2Д + КЦ + В2,2 < оо, 1 <я<р,

1 + £>2 + < оо, 0 < р < 1 < где

Д) := яир ( / Ыи ) ( / я>0 \7[0,а:] / \7[0,а;] ,

Лх^вир / л-рсгл / Ш/и , ¿>0 \7[4,оо) ) \7[0,4] /

Л2.1 := эир ( [ А{х)-р'й{х)р'к{1,х)р'(1\{х)]Р ( [

0 \У[0.4] / \7[4,оо) ! := 8ПР ( / Л-^А У ( к(у, 1)Ч^(у) )9 , ¿>0 / \./[*.оо) /

1 I р7 / С \ 4

А22:=8 ир / А~рк?(1Х) / ^

0 \У[0,4] / \./[«,оо)

В[:= / / / Л^А Л(1)"рсгЛ(х), — ( [ А(х)-р'й(хУк(1,х)р^Х(х) ) ( [ фУс^), J[0too) \7[0,4] / Ч^оо) / ( / \~PuPdX

О.оо) Х-'[0,4]

X I I к(у,г)Чц(у)) ЛСО"^)^),

Г[4.сх)) /

В'22 := / / Ф / Л-'А^А где ± = ± г q р'

А:=зир / Мм Л(х)"р.

0 [0,х] / г вир I / р з>0 \7[ж,оо) / 1 ч

1)з := эир ( / ) &(ж)Л(:е) р. х>0 \7[Х,00) /

Аналогичные критерии получены для неравенства

К/)чЛ' < С ( [ ( [ ' (0.0.18) г[0,оо) / \^[0,оо) \7[а.,оо) / / при 0 < р < оо, 1 < д < оо для оператора (0.0.6) с ядром, удовлетворяющим условию (0.0.7).

Вторая глава "Весовые интегральные неравенства на конусах квазивогнутых функций."

Пусть ф— допустимая функция. Обозначим через О^ подмножество функций из ШТ+, таких что f(t) не возрастает, а ?/>(£)/(£) не убывает.

Основной результат второго параграфа представляет собой необходимые и достаточные условия, при которых неравенство вида (А/Т¿7 <с[ , (0.0.19)

0,оо) / \^[0,оо) / где

А№ = ( [ ', (0.0.20)

9 > 1-, Р > 0, выполняется для всех функций из

Определение 3. Пусть функция ф— допустимая. Будем говорить, что мера (1и невырождена относительно функции ф, если для любого £ £ (0, оо) выполняется

1и{з) [ (IV (в) ^(в) [ < 00> / к \ = / dv{s) = оо. 7ro.ll <КЙ) J\ 1,оо) ф(1) ' 7 [ОД] ^ 1,00

Теорема 5. Пусть д > 1, р > 0, .мера v(x)dx невырождена относительно функции фр(х). Тогда неравенство ([ Л^иШзХ гуВД^У <С Г [ /ру(г)(иУ (0.0.21)

-/[0,оо) \Л[0,£] / / \./[0,оо) / выполняется для всех функций из тогда и только тогда, когда: (г) А\ < оо при д = 1,0<р<1, где

Ах := вир ( [ ( [ и (г, y)w{z)dz \ йф{у)\ Уф"?; ¿>0 ^[у,оо) / У

И) А2 < оо при <7 = 1,1 < р < оо. где

Al ■=\f ( [ (( и&#СоУ уй^Й)

7[0,оо) \7[0,4] \7[г,оо) / iii) A3 < 00 при q > 1, О < p < 1, где

As := sup I / / ] w(s)ds ) V(í) p; o V Jfo.oo) wo y iv) Л4Д + Л4.2 + A^3 + A^ < 00 npw 1 < p < q < 00, где

4tl := sup / V(s)d(^(s)) / Uq(s)w(s)ds t>0 V7[í,oo) / \7[0,í]

A4,2:= sup / U(t,s)pY(s)i;(syd(r(s))) / wq(s)ds\, t>o \J[0,í] / \7[í,oo) /

A4,3:= sup / /

0 \J[0,í] / \7[í,oo)

4 := sup í / V(5)[/(Sfd(^(S)) / ^

0 \7[0,í] / V[í,oo) , ty А5д + A5i2 + A5;3 + A5;4 < 00 при 1 < q < p < 00, где

А-5Д := ( / / Uq(s)w(s)ds

0,00) \7[0,з] 9

X ( / V(s)d(il>p(s)) Y(x)d(iPp{x)) j ,00) /

A52 := ( / / [0,00) V[O,Í]

X ( / к/Ч f[í,oo) У

A53 := ( I / / £%,í)Xí/)<¿?/

0,00) \7[0,í] / \J[i.oo)

Аь, 4 := ( f (f w(t)dt) 4 ( [ V{t)U(tydmt)))

J[0,oo) \J[:c,oo) / \J[0,x] J х¥(х)и{х)р^{фр(х))^

Здесь и

V(t) := f v, U{t) := f u, J[o,t] J[o,t]

V(i) := + ip(t)p f iP(s)~pv(s)ds,

J [i,oo)

V(i) := УЩ-Р'-^Й f il>(s)-pv(s)ds

J[t, oo)

U{t,y):=f ^f\ds.

Jlv.t] ns)

При остальных значениях параметров р. д для неравенства (0.0.19) с оператором (0.0.20) получены достаточные условия.

В заключительном разделе с помощью принципиально другого метода характеризовано неравенство вида (0.0.19) для оператора

Bf(t) = / /Чц (0.0.22)

J[t, oo) / при тех же значениях параметров. Для этого оценка нормы вложения Lp —> Lqu на конусе квазивогнутых функций при 0 < p,q < oo, полученная Г. Синнамоном в работе [65], была расширена нами на конус ф—квазивогнутых функций. Приведем формулировку данного результата.

Для допустимой функции ВВОДИТСЯ класс функций р., состоящий из функций /(t) G ШТ+, таких что ф(t)nf(t) не убывает, а f{t) не возрастает. В частности, класс Г^ состоит из всех функций f{t), таких что f(t) не убывает, а не возрастает.

Также определены операторы нф,аНх) := Ф{х)-п ( ф(г)аь,(г)(И

J[o,x] и и [х,оо)

При а + /3 > 0 также используется оператор нЦк{х) = Щ,ак{х) + Н^к(х)

Теорема 6. (%) Пусть 0 < д < р < оо, и, V е тогда otp таг м / КЯ " № >'" I ■ (0'°'23) ii) Пусть 0 < р < q < оо, и, v £ ШТ+, тогда sup Mfc и sup "г «Ii)г . (0.0.24)

Также сделано замечание о том, каким образом неравенство (0.0.19) с оператором (0.0.22) может быть сведено к тому же неравенству с оператором (0.0.20).

Третья глава "Ограниченность в Г-пространствах Лоренца некоторых операторов классического анализа."

В данной главе нами получены необходимые и достаточные условия ограниченности преобразования Гильберта

Hf(x) := lim [ Kp—Ady (0.0.25) e^°Je<\y\ У и потенциалов Рисса

Ш ■= \ I /(У|П Jy, 0 < а < п, (0.0.26)

JRn \х ~ У| в Г—пространствах Лоренца.

Укажем здесь один из полученных результатов.

Теорема 7. Пусть 0 < р < оо, 1 < q < оо, и мера v(t)dt невырождена относительно функции tp. Положим

V(t) := / v(s) t, оо)

00) & )

Для того, чтобы преобразование Гильберта (0.0.25) было ограничено из Гр(г>) в Tq(w), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

V{t):=V{t) + t> [ V-^ds,

J[t,oo) Sp

V(i) := V(typ,~lV(t) ( [

J[t, С i) А := тахАг < 00, г = 1,6 при 1 < p < q < 00, где p'

A\ := sup / w) / V ¿>0 \J[o,t] / \J[t,00) Q

A4 := sup ( f ds) 4 f sp' h/ (-) V(s)ds t>0 \J[t,00) у \7[i)0o)

A5 := sup ( f w)4 ( f lnp' (i) Y(s)ds) ? , i>0 \J[0,t] J \J[t,00) Vi/ /

A6 := sup f f In9 " ( f vV ;

0 \J[Q,t] \SJ ) \7[i,oo) / fn) В := max Д < 00, г = 1, 6 при 1 < q < p < 00, где

Bi:= I I [ I wf i I ,

0,oo) \7[(H] / \J[t,00) - 22

-'(HL^'iL^y^ï

HjLGW (/,/-' a - {LSL^)' iL/"' (Ov("№)í"'v">'tt г г

Вь-=( [ ( [ w)P ( [ Ii/ V(s)ds) Р' w(t)dt) , \J[0,оо) \J[0,i] / \./[i,oo) Ví/ / /

B6:= ( f ( í ln9 f-^) w{s)ds\ " ( í Y{s)ds\ " V{t)dt ) V/tO.oo) \J[0,í] Vs/ / \./[i,oo) / y m'j D := max Д < оо, г = 1,4 при 0<P<1<Q<OO, где

Di:=sup(/ lü) í>o \7[o,t] / i t>o \7[í,00) /

Da := sup ^ In9 Q 9 w;,) F < оо при O < p < 1 = g, где

F:=SuP(4 la(í)wiy)dy+[ o\W[o,í] ЧУ/ 7[í,oo) 2/ w(y)dy + / V(í)" v) G < оо при q = 1 < р < оо, где

G:=(/ (li bp WW

V7[0,oo) VW[0;í] V2/y 7[i,oo) Vi/ У w(y)dy + [ ^àdyY Y(t)dt) . 1 J[o,t] J[t, oo) 2/ / y

1. Б ату ев Э.Н., Степанов В. Д. О весовых неравенствах типа Хар-ди. // Сибир. матем. журнал. 1989. Т. 30. С. 13-22.

2. Голъдман М.Л. Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимонотонных функций. // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 115-143.

3. Голъдман М.Л., Сорокина М.В. Трехвесовые неравенства типа Харди на конусе квазимонотонных функций. // Доклады АН. 2005. Т. 401. № 3. С. 301-305.

4. Ойнаров Р. Двусторонние оценки нормы некоторых классов интегральных операторов. // Тр. МИАН. 1993. Т. 204. С. 240-250.

5. Осколков К.И. Аппроксимативные свойства суммируемых функций на множествах полной меры. // Матем. сб. 1977. Т. 103. № 4. С. 563-589.

6. Прохоров Д.В. Неравенство Харди с тремя мерами. // Тр. МИАН. 2006. Т. 255. С. 233-245.

7. Прохоров Д.В. Неравенство Харди с мерами, случай 0 < р < 1. // Мат. заметки. 2009. Т. 86. №6. С. 870-883.

8. Степанов В.Д. Об ограниченности линейных интегральных операторов на классе монотонных функций. // Сибир. матем. журнал. 1991. Т. 32. № 3. С. 222-224.

9. Степанов В.Д. О весовом неравенстве Харди. // Сибир. матем. журнал. 1987. Т. 28. № 3. С. 205-207.

10. Степанов В.Д. Об одном весовом неравенстве типа Харди для производных высших порядков. // Тр. МИАН. 1989. Т. 187. С. 178-190.

11. Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувил-ля. // Известия АН, сер. матем. 1990. Т. 54. № 3. С. 645-656.

12. Степанов В.Д. Об ограниченности и компактности одного класса интегральных операторов. // Доклады АН. 1990. Т. 312. № 3. С. 544-546.

13. Arino М., Muckenhoupt В. Maximal functions on classical Lorentz spaces and Hardy's inequality with weights for non-increasing functions. // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. V. 320. № 2. P. 727-735.

14. Asekritova I.U., Krugljak N. Ya., Maligranda L., Persson L.-E. Distribution and rearrangement estimates of the maximal function and interpolation. // Studia Math. 1997. V. 124. № 2. P. 107-132.

15. Bennett C., Rudnick K. On Lorentz-Zygmund spaces. // Dissertations Math. (Rozprawy Mat.) 1980. V. 175. P. 67.

16. Bennett G. Some elementary inequalities. I. // Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 1987. V. 38. № 152. P. 401-425.

17. Bennett G. Some elementary inequalities. II. // Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 1988. V. 39. № 156. P. 385-400.

18. Bennett G. Some elementary inequalities. III. // Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 1991. V. 42. № 166. P. 149-174.

19. Bennett G., Grosse-Erdmann K.-G. Weighted Hardy inequalities for decreasing sequences and functions. // Math. Ann. V. 2006. V. 334. № 3. P. 489-531.

20. Bennett G., Grosse-Erdmann K.-G. On series of positive terms. // Houston J. Math. 2005. V. 31. № 2. P. 541-585.

21. Bennett C., Sharpley R. Interpolation of operators. Academic Press, Boston. 1988.

22. Bergh J., Burenkov V., Persson L.-E. Best constants in reversed Hardy's inequalities for quasimonotone functions. // Acta Sei. Math. (Szeged) 1994. V. 59. № 1-2. P. 221-239.

23. Bergh J., Burenkov V., Persson L.-E. On some sharp reversed Holder and Hardy type inequalities. // Math. Nachr. 1994. V. 169. P. 19-29.

24. Bergh J., Löfström J. Interpolation Spaces. An introduction. Springer, Berlin. 1976.

25. Bloom S., Kerman R. Weighted norm inequalities for operators of Hardy type. // Proc. Amer. Math. Soc. 1991. V. 113. № 1. P. 135-141.

26. Boyd D.W. The Hilbert transform on rearrangement-invariant spaces. // Canad. J. Math. 1967. V. 19. P. 599-616.

27. Bradley J.S. Hardy inequalities with mixed norms. // Canad. Math. Bull. 1978. V. 21. № 4. P. 405-408.

28. Carro M.J., Pick L., Soria J., Stepanov V.D. On embeddings between classical Lorentz spaces. // Math. Inequal. Appl. 2001. V. 4. № 3. P. 397-428.

29. Carro M., Soria J. Weighted Lorentz spaces and the Hardy operator. // J. Funct. Anal. 1993. V. 112. № 2. P. 480-494.

30. Carro M., Soria J. Boundedness of some integral operators. // Canad. J. Math. 1993. V. 45. № 6. P. 1155-1166.

31. A. Gogatishvili A., Kufner A., Persson L.-E. Some new scales of weight characterizations of the class Bp. // Acta Math. Hungar. 2009. V. 123. № 4. P. 365-377.

32. Gogatishvili A., Pick L. Discretization and anti-discretization of rearrangement-invariant norms. // Publ. Mat. 2003. V. 47. № 2. P. 311-358.

33. Gogatishvili A., Stepanov V.D. Reduction theorems for operators on the cones of monotone functions. // Preprint CRM-1067, Barcelona. 2011.

34. Goldman M.L. On integral inequalities on the set of functionswith some properties of monotonicity.// Function spaces, differential operators and nonlinear analysis (Friedrichroda, 1992), Teubner-Texte Math. 1993. V. 133. P. 274-279.

35. Goldman M.L. Order-sharp estimates for Hardy-type operators on cones of quasimonotone functions. // Eurasian Math. J. 2011. V. 2. № 3. P. 143-146.

36. Goldman M.L., Heinig H.P., Stepanov V.D. On the principle of duality in Lorentz spaces. // Canad. J. Math. 1996. V. 48. № 5. P. 959-979.

37. Heinig H.P. Weighted estimates for classical operators. // Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications (Litomysl, 1986). Teubner-Texte Math. 93. Teubner, Leipzig. 1986. V. 3. P. 31-53.

38. Heinig H.P., Maligranda L. Weighted inequalities for monotone and concave functions. // Studia Math. 1995. V. 116. № 2. P. 133-165.

39. Johansson M., Stepanov V.D., Ushakova E.P. Hardy inequality with three measures on monotone functions. // Math. Inequal. Appl. 2008. V. 11. № 3. P. 393-413.

40. Kantorovich L. VAkilov G.P. Functional Analysis. Pergamon Press, Oxford. 1982.

41. Kokilashvili V., Meskhi A., Persson L.-E. Weighted norm inequalities for integral transforms with product kernels. Mathematics Research Development Series, New York. 2010.

42. Kufner A., Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type. World Scientific, New Jersey. 2003.

43. Kufner A., Maligranda L., Persson L.-E. The Hardy inequality. About its history and some related results. Vydavatelsky Servis, Pilsen. 2007.

44. Lai Q. Weighted modular inequalities for Hardy type operators. // Proc. London Math. Soc. (3) 1999. V. 79. № 3. P. 649-672.

45. Lorentz G.G. On the theory of spaces A. // Pacific J. Math. 1951. V. 1. P. 411-429.

46. Maligranda L. Weighted inequalities for quasi-monotone functions. //J. London Math. Soc. (2) 1998. V. 57. № 2. P. 363-370.

47. Martin-Reyes F.J., Sawyer E. Weighted inequalities for Riemann-Liouville fractional integrals of order one and greater. // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 106. № 3. P. 727-733.

48. Maz'ya W. Einbettungssätze für Sobolewsche Räume. Teil 1. Teub-ner-Texte zur Mathematik, Leipzig. 1979.

49. Maz'ya V.G. Sobolev spaces. Springer-Verlag. 1985.

50. Muckenhoupt B. Hardy's inequality with weights. // Studia Math. 1972. V. 44. P. 31-38.

51. Myasnikov E.A., Persson L.-E.; Stepanov V.D. On the best constants in certain integral inequalities for monotone functions. // Acta Sci. Math. (Szeged) 1994. V. 59. № 3-4. P. 613-624.

52. Opic B., Kufner A. Hardy-type inequalities. Pitman Research Notes in Mathematics, Series 219, Longman Science and Technology, Harlow. 1990.

53. Pecaric J.E., Persson L.-E. On Bergh's inequality for quasi-monotone functions. // J. Math. Anal. Appl. 1995. V. 195. № 2. P. 393-400.

54. Persson L.-E., Samko N., Wall P. Quasi-monotone weight functions and their characteristics and applications. // Math. Inequal. Appl. 2012. V. 12. № 3. P. 685-705.

55. Persson L.-E., Stepanov V.D., Ushakova E.P. Equivalence of Hardy-type inequalities with general measures on the cones of non-negative respective non-increasing functions. // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. V. 134. № 8. P. 2363-2372.

56. Prokhorov D. V. Inequalities of Hardy type for a class of integral operators with measures. // Anal. Math. 2007. V. 33. № 3. P. 199225.

57. Royden H.L. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. 1988.

58. Sawyer E. Boundedness of classical operators on classical Lorentz spaces. // Studia Math. 1990. V. 96. № 2. P. 145-158.

59. Sawyer E. Weighted Lebesgue and Lorentz norm inequalities for the Hardy operator. // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V. 281. № 1. P. 329-337.

60. Sinnamon G. Transferring monotonicity in weighted norm inequalities. // Collect. Math. 2003. V. 54. № 2. P. 181-216.

61. Sinnamon G. Hardy's inequality and monotonocity. // Function Spaces and Nonlinear Analysis (Eds.: P. Drabec and J. Rakosnik). Mathematical Institute of the Academy of Sciences of the Czech Republic, Prague. 2005. P. 292-310.

62. Sinnamon G. Weighted Hardy and Opial-type inequalities. //J. Math. Anal. Appl. 1991. V. 160. № 2. P. 434-445.

63. Sinnamon G. Operators on Lebesgue spaces with general measures. PhD Thesis. McMaster University, Hamilton. 1987.

64. Sinnamon G. A weighted gradient inequality. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 1989. V. 111. № 3-4. P. 329-335.

65. Sinnamon G. Embeddings of concave functions and duals of Lorentz spaces. // Publ. Mat. 2002. V. 46. № 2. P. 489-515.

66. Sinnamon G. Spaces defined by the level function and their duals. // Studia Math. 1994. V. 111. № 1. P. 19-52.

67. Sinnamon G. The level function in rearrangement invariant spaces. // Publ. Mat. 2001. V. 45. № 1. P. 175-198.

68. Sinnamon G., Stepanov V.D. The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p = 1. // J. London Math. Soc. (2) 1996. V. 54. № 1. P. 89-101.

69. Stepanov V.D. The weighted Hardy's inequality for non-increasing functions. // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V. 338. № 1. P. 173-186.

70. Stepanov V.D. Integral operators on the cone of monotone functions. j I J. London Math. Soc. (2) 1993. V. 48. K°- 3. P. 465-487.

71. Stepanov V.D. Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral operators. // J. London Math. Soc. (2) 1994. V. 50. № 1. P. 105-120.

72. Stepanov V.D. Two-weighted estimates for Riemann-Liouville integrals. // Czeskoslovenska Akademie Ved Matematicky Ustav. 1988. V. 39. P. 1-28.

73. V.D. Stepanov Weighted inequalities for a class of Volterra convolution operators. // J. London Math. Soc. (2) 1992. V. 45. № 2. P. 232-242.

74. Talenti G. Osservasioni sopra una classe di disuguaglianze. // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 1969. V. 39. P. 171-185.

75. Tomaselli G.A. A class of inequalities. // Boll. Un. Mat. Ital. (4) 1969. V. 2. P. 622-631.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

76. Степанов В.Д., Перссон JI.-E., Попова О.В. Двусторонние неравенства типа Харди для монотонных функций. // Докл. АН. 2009. Т. 429. № 2. С. 159-162.

77. Попова О. В. Двусторонние неравенства типа Харди для монотонных функций.// "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании," Тезисы докладов Российской Школы- конференции с международным участием, РУДН, 2009. С. 40.

78. Persson L.-E., Popova O.V., Stepanov V.D. Two-sided Hardy-type inequalities for monotone functions. // Complex Var. Elliptic Equ. 2010. V. 55. № 8-10. P. 973-989.

79. Попова O.B. Неравенства типа Харди на конусах монотонных функций. // Сибир. матем. журнал. 2012. Т. 53. № 1. С. 187-204.

80. Popova О. V. Weighted Hardy-type inequalities on the cones of quasi-concave functions. // Research Report, Department of Engineering Sciences and Mathematics. Luleä University of Technology, Luleä. 2012. № 1.

81. Popova O.V. On the reduction principle for weighted inequalities on the cone of quasi-concave functions and applications. // Research Report, Department of Engineering Sciences and Mathematics. Luleä University of Technology, Luleä. 2012. № 3.